贵州省遵义市绥阳县绥阳中学2019-2020学年高一第二学期期中考试数学试卷 Word版含答案

数 学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟。

第I 卷（选择题 共60分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题四个选项中，只有一项符合要求）1. 若集合2},8N {=<∈=a x x A ，则下列结论中正确的是A.A a ⊆}{B.A a ⊆C.A a ∈D.A a ∉ 2. 已知52)1(2++=+x x x f ，则=)1(fA.1B.3C.5D.83. 已知22.02.02.022log ===c b a ，，，则A.c b a >>B.a c b >>C.a b c >>D.c a b >>4. 若0tan <α，则下列结论一定正确是A.0sin <αB.02sin <αC.0cos <αD.02cos <α5. 若等差数列}{n a 的前7项之和为35，则=4aA.5B.10C.15D.35 6. 已知两非零向量b a ,b a b a +=，则b a >b a = C.b a ⊥ D.b a // 7. 针对柱、锥、台、球，给出下列命题,其中正确的是①如果一个几何体的三视图是完全相同的，则这个几何体是正方体； ②如果一个几何体的正视图和俯视图都是矩形，则这个几何体是长方体； ③如果一个几何体的三视图都是矩形，则这个几何体是长方体；④如果一个几何体的正视图和侧视图都是等腰梯形，则这个几何体是圆台.A.①②B.③C.③④D.①③ 8. 已知平面α和α外的一条直线l ，下列说法不正确的是 A.若l 垂直于α内的两条平行线，则α⊥l B.若l 平行于α内的一条直线，则α//l C.若l 垂直于α内的两条相交直线，则α⊥l D.若l 平行于α内的无数条直线，则α//l9. 某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为 A.610+ B.620+ C.6210+ D.6220+10. 在直三棱柱111C B A ABC -中，底面ABC 是等腰直角三角形，1==BC AB ，D 为侧棱1BB 上的动点，若1ADC ∆的周长的最小值为53+，则三棱锥ABC C -1的外接球的体积为 A.43πB.π3C.23πD.43π11. 关于函数x x x f cos cos )(+=，下列说法中正确的个数是 ①)(x f 是偶函数；②)(x f 在)2,0(π上单调递增；③)(x f 在]2,0[π上有两个零点；④)(x f 的最小值为2-.A.1个B.2个C.3个D.4个12. 已知函数21112)22(4)(a a ex f x x x -+-=---有唯一的零点，则负实数a 的值为A.1-B.2-C.2-D.4-第II 卷（非选择题 共90分)二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填写在答题卡相应位置）13. 在等比数列}{n a 中，16,151==a a ，则=3a . 14.在△ABC 中，6,5,4===c b a ，则=BAsin 2sin . 15. 圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则该圆锥的表面积为 .16. 魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，提出利用“牟合方盖”解决球体体积，“牟合方盖”由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一圆柱的侧面上，正视图和侧视图都是圆，每一个水平截面都是正方形，好似两个扣合 (牟合)在一起的方形伞(方盖).二百多年后，南北朝时期数学家祖暅在前人研究的基础上提出了《祖暅原理》:“幂势既同,则积不容异”.意思是:两等高立方体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体体积相等.如图有一牟合方盖，其正视图与侧视图都是半径为1的圆，正边形ABCD 是为体现其直观性所作的辅助线，根据祖暅原理，该牟合方盖体积为 .三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17. （本题满分10分）已知函数x x x x f 2cos 3sin cos )(-=.（I ）求)(x f 的最小正周期和最大值； （II ）求)(x f 在]32,6[ππ上的值域.第16题18. （本题满分12分）△ABC 的内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且B c C b a sin cos =-. （I ）求角B ；（II ）若2=b ，求△ABC 面积的最大值.19. （本题满分12分）记数列}{n a 的前n 项和为，*∈+=N ,2n n n S n .（I ）求数列}{n a 的通项公式； （II ）数列}32{nna ⨯的前n 项和n T .20. （本题满分12分） 如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，D 是AB 的中点，AC BC AC AB AC AA 3,2,21====.（I ）证明：//1BC 平面CD A 1； （II ）证明：⊥1BC C A 1.21. （本题满分12分）如图，BC 是半圆O 的直径，平面ABCD 与半圆O 所在的平面垂直， CD AB //，90=∠ABC ，141==CD AB ，E 是半圆O 上不同于C B ,的点，四边形FECD 是矩形. （I ）若3=BE ，证明：⊥FA 平面AEC ； （II ）若2=BC ，求三棱锥AEC D -体积的最大值.22. （本题满分12分）已知函数)0(1)1(log )(4>++=x x x x f 的图象上有一点列)N (),(*∈n y x P n n n ，点n P 在x 轴上的射影是)0,(n n x Q 且3),N ,2(3411=∈≥+=*-x n n x x n n .（I ）求数列}{n x 的通项公式；（II ）对任意的正整数n ，当]1,1[-∈m 时，不等式n y mt t >+-41332恒成立，求实数t 的取值范围；（III ）设四边形11++n n n n P Q Q P 的面积是n S ，求证:38121121<+++n nS S S .答案一、选择题二、填空题三、解答题 17. （I ）23)32sin(232cos 232sin 21212cos 3sin cos )(--=--=+⋅-=πx x x x x x x f ...........3分ππ==∴22T ，)(x f 的最大值为231-........................................................................................................7分 （II ）当]32,6[ππ∈x 时，],0[32ππ∈-x ，]231,23[)(--∈∴x f .......................................................10分 18. （I ）在△ABC 中，根据正弦定理知B C C B A sin sin cos sin sin =-................................................2分B C B C B C C B C B sin sin cos sin ,sin sin cos sin )sin(=∴=-+∴4,cos sin ,0sin ),,0(ππ=∴=∴≠∴∈B B B C C .......................................................6分（II ）根据余弦定理知，ac ac c a B ac c a b )22(24,cos 222222-≥-+=∴-+=224224+=-≤ac .................................................................................................9分12sin 21+≤=∴∆B ac S ABC .............................................................................................12分19. （I ）①当1=n 时，211==S a ；②当2≥n 时，n S S a n n n 21=-=-，)N (2*∈=∴n n a n ..........5分（II ）由（I ）知，nnn n a )31(32⨯=⨯，n n n n n T )31()31()1()31(3)31(2)31(11321⨯+⨯-++⨯+⨯+⨯=-1432)31()31()1()31(3)31(2)31(131+⨯+⨯-++⨯+⨯+⨯=n n n n n T 两式相减得1112)31())31(1(21)31(311))31(1(31)31()31()31(3132+++⨯--=⨯---=⨯-+++=n n n n n n n n n n T n n n n T )31(2)31(41431⨯-⨯-=∴-............................................................................................................................12分20. （I ）连接,1AC 记O C A AC =11 ，在△1ABC 中，D O ,分别是AB AC ,1的中点，1//BC DO ∴....2分⊄1BC 平面CD A 1，⊂DO 平面CD A 1，1//BC DO ，∴//1BC 平面CD A 1..............................................5分（II ）1BC 和C A 1为异面直线，由（I ）知11,//BC DO BC ∴与C A 1所成角即DO 与C A 1所成角.............8分在△DO A 1中，121,221,3211111=====+=C A O A BC OD D A ∴=∠∴=+,90,121221 OD A D A OD O A 异面直线1BC 与C A 1所成角为 90，⊥1BC C A 1.....................12分22.（I ）)1(413411+=+∴+=--n n n n x x x x ，又}1{31+∴=n x x 是以4为首项4为公比的等比数列)N (14,41*∈-=∴=+∴n x x n n n n .......................................................................................................................3分 （II ）n n n n x f y nn41144log )(4=+-==， 不等式n y mt t >+-41332对正整数n 恒成立，max 2)(4133n y mt t >+-∴ 而131411<++=+=+n n n n n y y n n ，}{n y ∴是一个减数列，41)(1max ==y y n （或用作差等方法判断单调性）.....5分0332>-∴mt t 对]1,1[-∈m 恒成立，解得1>t 或1-<t ..................................................................................7分（III ）)15(83)44)(414(21))((21)(211111111+=-++=-+=⨯+=+++++++n n n x x y y Q Q Q P Q P S n n n n n n n n n n n n n n n)111(38)55151(340)15151(340)15(51340)15(381+-=+-<+-=+⨯=+=∴n n n n n n n n n n nS n .....................10分38)111(38)1113121211(38121121<+-=+-++-+-<+++∴n n n nS S S n ..................................................12分。

贵州省遵义市2019-2020学年第二次中考模拟考试数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=1．若点E 是边CD 的中点，连接AE ，过点B 作BF ⊥AE 交AE 于点F ，则BF 的长为（ ）A ．310B ．3105C ．10D ．35 2．下列几何体是棱锥的是( )A ．B ．C ．D ．3．如图：A 、B 、C 、D 四点在一条直线上，若AB ＝CD ，下列各式表示线段AC 错误的是( )A ．AC ＝AD ﹣CDB ．AC ＝AB+BC C ．AC ＝BD ﹣AB D ．AC ＝AD ﹣AB4．如图，电线杆CD 的高度为h ，两根拉线AC 与BC 互相垂直（A 、D 、B 在同一条直线上），设∠CAB ＝α，那么拉线BC 的长度为（ ）A ．sin h αB ．cos h αC ．tan h αD ．cot h α5．如果t>0,那么a+t 与a 的大小关系是( )A ．a+t>aB ．a+t<aC ．a+t≥aD ．不能确定6．如图,在△ABC 中,∠C=90°,∠B=30°,AD 是△ABC 的角平分线,DE ⊥AB,垂足为点E,DE=1,则BC=( )A ．3B ．2C ．3D ．3+27．将一副三角板和一张对边平行的纸条按如图摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是( )A ．15°B ．22.5°C ．30°D ．45°8．中华人民共和国国家统计局网站公布，2016年国内生产总值约为74300亿元，将74300亿用科学计数法可以表示为( )A ．1074310⨯B ．1174.310⨯C ．107.4310⨯D ．127.4310⨯9．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是 ( ) A ． B ． C ． D ．10．将某不等式组的解集13x ≤<-表示在数轴上，下列表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．11．如图，已知Rt △ABC 中，∠BAC=90°，将△ABC 绕点A 顺时针旋转，使点D 落在射线CA 上，DE 的延长线交BC 于F ，则∠CFD 的度数为（ ）A ．80°B ．90°C ．100°D ．120°12．下列四个图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如果关于x 的方程2x 2x m 0-+=（m 为常数）有两个相等实数根，那么m ＝______．14．如图，⊙C 经过原点且与两坐标轴分别交于点 A 与点 B ，点 B 的坐标为（﹣3，0），M 是圆上一点，∠BMO=120°．⊙C 圆心 C 的坐标是_____．15．计算：3a r ﹣（a r ﹣2b r）=____．16．从﹣2，﹣1，2这三个数中任取两个不同的数相乘，积为正数的概率是_____．17．如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，E 为BC 上一点，5CE =，F 为DE 的中点．若CEF ∆的周长为18，则OF 的长为________．18．函数y=12x -的定义域是________． 三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，以点A 为圆心，AC 为半径，作⊙A 交AB 于点D ，交CA 的延长线于点E ，过点E 作AB 的平行线EF 交⊙A 于点F ，连接AF 、BF 、DF（1）求证：BF 是⊙A 的切线．（2）当∠CAB 等于多少度时，四边形ADFE 为菱形？请给予证明． 20．（6分）某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x （元）与产品的日销售量y （件）之间的关系如表：x/元 … 15 20 25 …y/件 … 25 20 15 …已知日销售量y 是销售价x 的一次函数．求日销售量y （件）与每件产品的销售价x （元）之间的函数表达式；当每件产品的销售价定为35元时，此时每日的销售利润是多少元？21．（6分）据某省商务厅最新消息，2018年第一季度该省企业对“一带一路”沿线国家的投资额为10亿美元，第三季度的投资额增加到了14.4亿美元．求该省第二、三季度投资额的平均增长率．22．（8分）在平面直角坐标系中，O 为原点，点A （8，0）、点B （0，4），点C 、D 分别是边OA 、AB 的中点．将△ACD 绕点A 顺时针方向旋转，得△AC′D′，记旋转角为α．（I ）如图①，连接BD′，当BD′∥OA 时，求点D′的坐标；（II ）如图②，当α＝60°时，求点C′的坐标；（III ）当点B ，D′，C′共线时，求点C′的坐标（直接写出结果即可）．23．（8分）已知抛物线2y x bx c =++过点(0,0)，(1,3)，求抛物线的解析式，并求出抛物线的顶点坐标.24．（10分）已知关于x 的一元二次方程x 2+2（m ﹣1）x+m 2﹣3＝0有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若m 为非负整数，且该方程的根都是无理数，求m 的值．25．（10分）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，O 是边AC 上一点，以O 为圆心，以OA 为半径的圆分别交AB 、AC 于点E 、D ，在BC 的延长线上取点F ，使得BF=EF ．（1）判断直线EF 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若∠A=30°，求证：DG=12DA ； （3）若∠A=30°，且图中阴影部分的面积等于2233p -，求⊙O 的半径的长．26．（12分）已知：如图，在△OAB 中，OA=OB ，⊙O 经过AB 的中点C ，与OB 交于点D ，且与BO 的延长线交于点E ，连接EC ，CD ．（1）试判断AB 与⊙O 的位置关系，并加以证明；（2）若tanE=12，⊙O 的半径为3，求OA 的长．27．（12分）已知AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 相交，∠BAC ＝40°．（1）如图1，若D 为弧AB 的中点，求∠ABC 和∠ABD 的度数；（2）如图2，过点D 作⊙O 的切线，与AB 的延长线交于点P ，若DP ∥AC ，求∠OCD 的度数．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．B【解析】【分析】根据S △ABE =12S 矩形ABCD =1=12•AE•BF ，先求出AE ，再求出BF 即可． 【详解】如图，连接BE ．∵四边形ABCD 是矩形，∴AB=CD=2，BC=AD=1，∠D=90°，在Rt △ADE 中，22AD DE +2231+10，∵S△ABE=12S矩形ABCD=1=12•AE•B F，∴BF=5．故选：B．【点睛】本题考查矩形的性质、勾股定理、三角形的面积公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用面积法解决有关线段问题，属于中考常考题型．2．D【解析】分析：根据棱锥的概念判断即可.A是三棱柱，错误;B是圆柱，错误；C是圆锥，错误;D是四棱锥,正确.故选D.点睛：本题考查了立体图形的识别，关键是根据棱锥的概念判断.3．C【解析】【分析】根据线段上的等量关系逐一判断即可.【详解】A、∵AD-CD=AC，∴此选项表示正确；B、∵AB+BC=AC，∴此选项表示正确；C、∵AB=CD，∴BD-AB=BD-CD，∴此选项表示不正确；D、∵AB=CD，∴AD-AB=AD-CD=AC，∴此选项表示正确.故答案选：C.【点睛】本题考查了线段上两点间的距离及线段的和、差的知识，解题的关键是找出各线段间的关系. 4．B【解析】根据垂直的定义和同角的余角相等，可由∠CAD+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，可求得∠CAD=∠BCD，然后在Rt△BCD中cos∠BCD=CDBC，可得BC=cos cosCD hBCDα=∠.故选B．点睛：本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握同角的余角相等和三角函数的定义是解题的关键．5．A【解析】试题分析：根据不等式的基本性质即可得到结果.t＞0，∴a＋t＞a，故选A.考点：本题考查的是不等式的基本性质点评：解答本题的关键是熟练掌握不等式的基本性质1：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变.6．C【解析】试题分析：根据角平分线的性质可得CD=DE=1，根据Rt△ADE可得AD=2DE=2，根据题意可得△ADB 为等腰三角形，则DE为AB的中垂线，则BD=AD=2，则BC=CD+BD=1+2=1．考点：角平分线的性质和中垂线的性质．7．A【解析】试题分析：如图，过A点作AB∥a，∴∠1=∠2，∵a∥b，∴AB∥b，∴∠3=∠4=30°，而∠2+∠3=45°，∴∠2=15°，∴∠1=15°．故选A．考点：平行线的性质．8．D【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】解：74300亿=7.43×1012，故选：D．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．9．C【解析】试题解析：A. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；B. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；C. 既是中心对称图又是轴对称图形，故本选项正确；D. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误.故选C.10．B【解析】分析：本题可根据数轴的性质画出数轴：实心圆点包括该点用“≥”，“≤”表示，空心圆点不包括该点用“<”，“>”表示，大于向右小于向左．点睛：不等式组的解集为−1⩽x<3在数轴表示−1和3以及两者之间的部分：故选B.点睛：本题考查在数轴上表示不等式解集:把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画;< ,≤向左画),数轴上的点把数轴分成若干段,如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样,那么这段就是不等式组的解集.有几个就要几个.在表示解集时“≥”,“≤”要用实心圆点表示;“<”,“>”要用空心圆点表示.11．B【解析】【分析】根据旋转的性质得出全等，推出∠B=∠D，求出∠B+∠BEF=∠D+∠AED=90°，根据三角形外角性质得出∠CFD=∠B+∠BEF，代入求出即可．【详解】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，∴△ABC≌△ADE，∴∠B=∠D，∵∠CAB=∠BAD=90°，∠BEF=∠AED，∠B+∠BEF+∠BFE=180°，∠D+∠BAD+∠AED=180°，∴∠B+∠BEF=∠D+∠AED=180°﹣90°=90°，∴∠CFD=∠B+∠BEF=90°，故选：B．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，三角形外角性质的应用，掌握旋转变换的性质是解题的关键．12．D【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确．故选D．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．1【解析】析：本题需先根据已知条件列出关于m的等式，即可求出m的值．解答：解：∵x的方程x2-2x+m=0（m为常数）有两个相等实数根∴△=b2-4ac=（-2）2-4×1?m=04-4m=0m=1故答案为114．12）【解析】【分析】连接AB ，OC ，由圆周角定理可知AB 为⊙C 的直径，再根据∠BMO=120°可求出∠BAO 以及∠BCO 的度数，在Rt △COD 中，解直角三角形即可解决问题；【详解】连接AB ，OC ，∵∠AOB=90°，∴AB 为⊙C 的直径，∵∠BMO=120°，∴∠BAO=60°，∴∠BCO=2∠BAO=120°，过C 作CD ⊥OB 于D ，则OD=12OB ，∠DCB=∠DCO=60°， ∵B （30）， ∴BD=OD=32在Rt △COD 中．CD=OD•tan30°=12， ∴C （-32，12）， 故答案为C （312）． 【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系及圆周角定理、直角三角形的性质、坐标与图形的性质及特殊角的三角函数值，根据题意画出图形，作出辅助线，利用数形结合求解是解答此题的关键．15．2a r +2b r【解析】【分析】根据平面向量的加法法则计算即可．【详解】3a v ﹣（a v ﹣2b v） =3a v ﹣a v +2b v=2a v +2b v ，故答案为：2a v +2b v ，【点睛】本题考查平面向量，熟练掌握平面向量的加法法则是解题的关键．16．13【解析】【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与积为正数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【详解】列表如下：由表可知，共有6种等可能结果，其中积为正数的有2种结果，所以积为正数的概率为13， 故答案为13． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．17．72【解析】【分析】先根据直角三角形的性质求出DE 的长，再由勾股定理得出CD 的长，进而可得出BE 的长，由三角形中位线定理即可得出结论．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴BO DO =，BC CD =，90BCD ︒∠=．在Rt DCE ∆中，F 为DE 的中点， ∴12CF DE EF DF ===． ∵CEF ∆的周长为18，5CE =，∴18513CF EF +=-=，∴13DE DF EF =+=．在Rt DCE ∆中，根据勾股定理，得12DC ==，∴12BC =，∴1257BE =-=．在BDE ∆中，∵BO DO =，F 为DE 的中点，又∵OF 为BDE ∆的中位线， ∴1722OF BE ==． 故答案为：72. 【点睛】本题考查的是正方形的性质，涉及到直角三角形的性质、三角形中位线定理等知识，难度适中． 18．2x ≠【解析】分析：根据分式有意义的条件是分母不为0，即可求解.详解：由题意得：x-2≠0，即x 2≠.故答案为x 2≠点睛：本题考查了使函数有意义的自变量的取值范围的确定.函数是整式型，自变量去全体实数；函数是分式型，自变量是使分母不为0 的实数；根式型的函数的自变量去根号下的式子大于或等于0的实数；当函数关系式表示实际问题时，自变量不仅要使函数关系式有意义，还要使实际问题有意义.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）证明见解析；（2）当∠CAB=60°时，四边形ADFE 为菱形；证明见解析；【解析】分析（1）首先利用平行线的性质得到∠FAB=∠CAB ，然后利用SAS 证得两三角形全等，得出对应角相等即可；（2）当∠CAB=60°时，四边形ADFE 为菱形，根据∠CAB=60°，得到∠FAB=∠CAB=∠CAB=60°，从而得到EF=AD=AE ，利用邻边相等的平行四边形是菱形进行判断四边形ADFE 是菱形．详解：（1）证明：∵EF ∥AB∴∠FAB=∠EFA ，∠CAB=∠E∵AE=AF∴∠EFA =∠E∴∠FAB=∠CAB∵AC=AF ，AB=AB∴△ABC ≌△ABF∴∠AFB=∠ACB=90°， ∴BF 是⊙A 的切线.（2）当∠CAB=60°时，四边形ADFE 为菱形.理由：∵EF ∥AB∴∠E=∠CAB=60°∵AE=AF∴△AEF 是等边三角形∴AE=EF ，∵AE=AD∴EF=AD∴四边形ADFE 是平行四边形∵AE=EF∴平行四边形ADFE 为菱形.点睛：本题考查了菱形的判定、全等三角形的判定与性质及圆周角定理的知识，解题的关键是了解菱形的判定方法及全等三角形的判定方法，难度不大．20．（1）40y x =-+；（2）此时每天利润为125元．【解析】试题分析：（1） 根据题意用待定系数法即可得解；（2）把x=35代入（1）中的解析式，得到销量，然后再乘以每件的利润即可得.试题解析：（1）设y kx b =+，将15x =，25y =和20x =，20y =代入，得：25152020k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得：140k b =-⎧⎨=⎩， ∴40y x =-+；（2）将35x =代入（1）中函数表达式得：35405y =-+=，∴利润()35105125=-⨯=（元），答：此时每天利润为125元．21．第二、三季度的平均增长率为20%．【解析】【分析】设增长率为x ，则第二季度的投资额为10（1+x ）万元，第三季度的投资额为10（1+x ）2万元，由第三季度投资额为10（1+x ）2＝14.4万元建立方程求出其解即可．【详解】设该省第二、三季度投资额的平均增长率为x ，由题意，得：10（1+x ）2＝14.4，解得：x 1＝0.2＝20%，x 2＝﹣2.2（舍去）．答：第二、三季度的平均增长率为20%．【点睛】本题考查了增长率问题的数量关系的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据第三季度投资额为10（1+x ）2＝14.4建立方程是关键．22．（I ）（10，4）或（6，4）（II ）C′（6，（III ）①C′（8，4）②C′（245，﹣125） 【解析】【分析】（I ）如图①，当OB ∥AC′，四边形OBC′A 是平行四边形，只要证明B 、C′、D′共线即可解决问题，再根据对称性确定D″的坐标；（II ）如图②，当α=60°时，作C′K ⊥AC 于K ．解直角三角形求出OK ，C′K 即可解决问题； （III ）分两种情形分别求解即可解决问题；【详解】解:（I ）如图①，∵A（8，0），B（0，4），∴OB=4，OA=8，∵AC=OC=AC′=4，∴当OB∥AC′，四边形OBC′A是平行四边形，∵∠AOB=90°，∴四边形OBC′A是矩形，∴∠AC′B=90°，∵∠AC′D′=90°，∴B、C′、D′共线，∴BD′∥OA，∵AC=CO，BD=AD，∴CD=C′D′=12OB=2，∴D′（10，4），根据对称性可知，点D″在线段BC′上时，D″（6，4）也满足条件．综上所述，满足条件的点D坐标（10，4）或（6，4）．（II）如图②，当α=60°时，作C′K⊥AC于K．在Rt△AC′K中，∵∠KAC′=60°，AC′=4，∴AK=2，3∴OK=6，∴C′（6，23）．（III ）①如图③中，当B 、C′、D′共线时，由（Ⅰ）可知，C′（8，4）．②如图④中，当B 、C′、D′共线时，BD′交OA 于F ，易证△BOF ≌△AC′F ，∴OF=FC′，设OF=FC′=x ，在Rt △ABC′中，BC′=22AB AC -'=8， 在RT △BOF 中，OB=4，OF=x ，BF=8﹣x ，∴（8﹣x ）2=42+x 2，解得x=3，∴OF=FC′=3，BF=5，作C′K ⊥OA 于K ，∵OB ∥KC′，∴KC OB '=FK OF =FC BF'， ∴4KC '=3FK =35， ∴K C′=125，KF=95， ∴OK=245，∴C′（245，﹣125）． 【点睛】本题考查三角形综合题、旋转变换、矩形的判定和性质、平行线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．23．y=2x +2x ；（－1，－1）.【解析】试题分析：首先将两点代入解析式列出关于b 和c 的二元一次方程组，然后求出b 和c 的值，然后将抛物线配方成顶点式，求出顶点坐标.试题解析：将点（0,0）和（1,3）代入解析式得：0{13c b c =++=解得：2{0b c == ∴抛物线的解析式为y=2x +2x ∴y=2x +2x=2(1)x +－1 ∴顶点坐标为（－1，－1）.考点：待定系数法求函数解析式.24．（1）m ＜2；（2）m=1．【解析】【分析】（1）利用方程有两个不相等的实数根，得△=[2（m-1）]2-4（m 2-3）=-8m+2＞3，然后解不等式即可； （2）先利用m 的范围得到m=3或m=1，再分别求出m=3和m=1时方程的根，然后根据根的情况确定满足条件的m 的值．【详解】（1）△=[2（m ﹣1）]2﹣4（m2﹣3）=﹣8m+2．∵方程有两个不相等的实数根，∴△＞3．即﹣8m+2>3．解得 m ＜2；（2）∵m ＜2，且 m 为非负整数，∴m=3 或 m=1，当 m=3 时，原方程为 x 2-2x-3=3，解得 x 1=3，x 2=﹣1(不符合题意舍去)， 当 m=1 时，原方程为 x 2﹣2=3，解得 x 1x 2= ，综上所述，m=1．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=3（a≠3）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞3时，方程有两个不相等的实数根；当△=3时，方程有两个相等的实数根；当△＜3时，方程无实数根．25．（1）EF是⊙O的切线，理由详见解析；（1）详见解析；（3）⊙O的半径的长为1．【解析】【分析】（1）连接OE，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠AEO，∠B=∠BEF，于是得到∠OEG=90°，即可得到结论；（1）根据含30°的直角三角形的性质证明即可；（3）由AD是⊙O的直径，得到∠AED=90°，根据三角形的内角和得到∠EOD=60°，求得∠EGO=30°，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．【详解】解：（1）连接OE，∵OA=OE，∴∠A=∠AEO，∵BF=EF，∴∠B=∠BEF，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠AEO+∠BEF=90°，∴∠OEG=90°，∴EF是⊙O的切线；（1）∵∠AED=90°，∠A=30°，∴ED=12 AD，∵∠A+∠B=90°，∴∠B=∠BEF=60°，∵∠BEF+∠DEG=90°，∴∠DEG=30°，∵∠ADE+∠A=90°，∴∠ADE=60°，∵∠ADE=∠EGD+∠DEG ，∴∠DGE=30°，∴∠DEG=∠DGE ，∴DG=DE ，∴DG=12DA ； （3）∵AD 是⊙O 的直径，∴∠AED=90°，∵∠A=30°，∴∠EOD=60°，∴∠EGO=30°，∵阴影部分的面积2160π2π.23603r r ⋅⨯=⨯-= 解得：r 1=4，即r=1，即⊙O 的半径的长为1．【点睛】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，圆周角定理，扇形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．26．（1）AB 与⊙O 的位置关系是相切，证明见解析；（2）OA=1．【解析】【分析】（1）先判断AB 与⊙O 的位置关系，然后根据等腰三角形的性质即可解答本题；（2）根据题三角形的相似可以求得BD 的长，从而可以得到OA 的长．【详解】解：（1）AB 与⊙O 的位置关系是相切，证明：如图，连接OC ．∵OA=OB ，C 为AB 的中点，∴OC ⊥AB ．∴AB 是⊙O 的切线；（2）∵ED 是直径，∴∠ECD=90°．∴∠E+∠ODC=90°．又∵∠BCD+∠OCD=90°，∠OCD=∠ODC，∴∠BCD=∠E．又∵∠CBD=∠EBC，∴△BCD∽△BEC．∴BC BD CD BE BC EC==.∴BC2=BD•BE．∵1 tan2E∠=，∴12 CDEC=．∴12 BD CDBC EC==．设BD=x，则BC=2x．又BC2=BD•BE，∴（2x）2=x（x+6）．解得x1=0，x2=2．∵BD=x＞0，∴BD=2．∴OA=OB=BD+OD=2+3=1．【点睛】本题考查直线和圆的位置关系、等腰三角形的性质、三角形的相似，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．27．（1）45°；（2）26°．【解析】【分析】（1）根据圆周角和圆心角的关系和图形可以求得∠ABC和∠ABD的大小；（2）根据题意和平行线的性质、切线的性质可以求得∠OCD的大小．【详解】（1）∵AB是⊙O的直径，∠BAC=38°，∴∠ACB=90°，∴∠ABC=∠ACB﹣∠BAC=90°﹣38°=52°，∵D为弧AB的中点，∠AOB=180°，∴∠AOD=90°，∴∠ABD=45°；（2）连接OD，∵DP切⊙O于点D，∴OD⊥DP，即∠ODP=90°，∵DP∥AC，∠BAC=38°，∴∠P=∠BAC=38°，∵∠AOD是△ODP的一个外角，∴∠AOD=∠P+∠ODP=128°，∴∠ACD=64°，∵OC=OA，∠BAC=38°，∴∠OCA=∠BAC=38°，∴∠OCD=∠ACD﹣∠OCA=64°﹣38°=26°．【点睛】本题考查切线的性质、圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．。

期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A={x|2x-x2≤0}，B={x|x＞1}，则A∩B=（）A.（1，2）B.（1，2]C.[2，+∞）D.[0，1）2.下列函数中，既是奇函数又是减函数的是（）A. C.f（x）=xf（x）=（）xB.D.f（x）=f（x）=-x33.已知单位向量，向量夹角为，则是（）A. B. C.1 D.04.已知log2a＞log b，则下列不等式一定成立的是（）A.C.2a-b＜1B.D.log（a-b）＞05.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2+b2-c2=ab=，△则ABC的面积为（）A. B. C. D.6.已知，则x（1-4x）取最大值时x的值是（）A. B. C. D.7.已知tan（α+）=，且-＜α＜0，则sin2α+2sin2α等于（）8.A. B. C. D.若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且x∈[0，1]时，f（x）=x，则函数h（x）=f（x）-log|x|的零点个数是（）A.6个B.8个C.2个D.4个9.如图所示为函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，之间的距离为5，且f（1）=0，则f（-1）=（））的部分图象，A，B两点22 5A.B. 2C. D.10. 已知两个等差数列{a n}和{b }的前 n 项和分别为和 B ，且，则 （ ）A.B.C. D.1511. 若函数是 R 上的单调减函数，则实数 a 的取值范围是（）.A.（-∞，2）B. C.（0，2）D.12. 已知正项等比数列{a }满足：a =a +2a ，若存在两项 a ，a 使得 的最小值为（）=4a ，则 +A. B. C.2D.二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13. 设变量 x ，y 满足约束条件，则目标函数 z =x +y 的最大值为______．14. 若函数 f （x ）是定义在 R 上的偶函数，且在（-∞，0]上是增函数，f （-2）=0，则使得 f （x +1）＞0 的 x 的取值范围是______15. 在△ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，且满足 sin A sin B +sin 2 C =sin 2 A +sin 2 B ， 若△ABC 的面积为 ，则 ab =______． 16. 某小区拟对如图一直 △角ABC 区域进行改造，在三角形各边上选一点连成等边三角 △形DEF ，在其内建造文化景观．已知 AB =20m ，AC =10m ， △则DEF 面积最小值为______ 三、解答题（本大题共 6 小题，共 72.0 分）17. 已知函数．（1）求函数的最小正周期和单调增区间；（2）求函数在区间上的最大值．18. 某企业生产甲、乙两种产品均需用 A ，B 两种原料 已知生产 1 吨每种产品需原料及 每天原料的可用限额如表所示：吨吨甲31乙 22原料限额 128(1) 设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为 x ，y 吨，试写出关于的线性约束条 件并画出可行域；n n n m n 7 6 5 1如果生产 1 吨甲、乙产品可获利润分别为 3 万元、4 万元，试求该企业每天可获 得的最大利润．19. 已知数列{a }前 n 项和为（1）求数列{a }的通项公式；．（2）设数列 b =a •a ；求数列的前 n 项和 T ．20. 已知向量 =（sin A ，sin C ）， =（cos C ，cos A ），别 △是ABC 的三边 a ，b ，c 所对的角． （1）求∠B ；（2）若 b =2，a +c =4， △求ABC 的面积．=sin2B ．且∠A ，∠B ，∠C 分21. 已知数列{a }满足 a =1，a =2a +1． （Ⅰ）证明数列{a +1}是等比数列，并求数列{a }的通项公式； （Ⅱ）令 b =3n •（a +1），求数列{b }的前 n 项和 T22. 已知函数，g （x ）=x 2-ax +6．（Ⅰ）若 g （x ）为偶函数，求 a 的值并写出 g （x ）的增区间；（Ⅱ）若关于 x 的不等式 g （x ）＜0 的解集为{x |2＜x ＜3}，当 x ＞1 时，求的最n n n n n +1 n n 1 n +1 n n n n n nn小值；（Ⅲ）对任意x∈[1，+∞），x∈[-2，4]，不等式f（x）≤g（x）恒成立，求实数a 1212的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合 A ={x |2x -x 2≤0}={x |x ≤0 或 x ≥2}， B ={x |x ＞1}，∴A ∩B ={x |x ≥2}=[2，+∞）．故选：C ．先分别求出集合 A 和 B ，由此能求出 A ∩B ．本题考查交集的相关性质以及集合的取值范围的求解，能否求出集合 A 以及集合 B 的取 值范围是解决本题的关键，考查计算能力，是简单题．2.【答案】D【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于 A ，f （x ）= ，为奇函数但在其定义域上为增函数，不符合题意；对于 B ，f （x ）= ，为奇函数但在其定义域上不是减函数，不符合题意；对于 C ，f （x ）=（ ）x ，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；对于 D ，f （x ）=-x 3，既是奇函数又是减函数，符合题意； 故选：D ．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．本题考查函数的单调性与奇偶性的判断，关键是掌握函数的奇偶性与单调性，属于基础 题．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查了平面向量数量积的运算以及求向量的模长，属基础题．| |=| |=1，【解答】=1× = ，所以| |=，代入求解即可．解：由为单位向量，向量夹角为 ，则| |=| |=1，所以||==1×= ，==1，故选：C ． 4.【答案】D【解析】解：∵log a ＞log b ，∴a ＞b ＞0，所以 0＜，2 a -b ＞20 =1，故 A 、C 不正确；当 a -b ＞1 时，log （a -b ）＞0，当 0＜a -b ≤1 时，log （a -b ）≤0，故 B 不正确；2 2 2 2∵，∴选项D正确；故选：D．由题意可得a＞b＞0，依次比较即可．本题考查函数的单调性，函数值的比较，属于中档题．5.【答案】B【解析】解：△在ABC中，∵a2+b2-c2=，∴cos C==．∴sin C==．∴S=ab sin C=故选：B．=ab=，利用余弦定理计算cos C，得出sin C，代入面积公式S=本题考查了余弦定理，三角形的面积公式，属于基础题．6.【答案】C即可求出面积．【解析】解：∵，则x（1-4x）=4x（1-4x）×=当且仅当4x=1-4x即x=取等号故选：C．变形成和为定值后利用基本不等式即可求解本题主要考查了利用基本不等式求解最值中等号成立条件的求解，和为定值的配凑是求解的关键7.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查三角的化简和求值，结合两角和差的正切公式以及1的代换以及弦化切是解决本题的关键．考查学生的转化计算能力．利用两角和差的正切公式先计算tanα的值，利用1的代换结合弦化切进行求解即可．【解答】解：由tan（α+）=，得tanα=tan（α+-）===则sin2α+2sin2α===，△ABC==- ，故选：B ． 8.【答案】B【解析】解： 根据题意，当 x ∈[0，1]时，f （x ）=x ，且 f （x ）为偶函 数，则当 x ∈[-1，0] 时，f （x ）=-x ；函数 f （x ）满足 f （x +2）=f （x ），即函数 f （x ）是周期为 2 的周期函数， 其图象如图：函数 y =f （x ）-log |x |的零点的个数等于函数 y =f （x ）的图象与函数 y =log |x |的图象的交 点个数，在同一个坐标系中画出函数 y =f （x ）的图象与函数 y =log |x |的图象， 显然函数 y =f （x ）的图象与函数 y =log |x |的图象有 8 个交点， 故选：B ．根据题意，由 f （x ）的奇偶性和解析式可得当 x ∈[-1，0]时，f （x ）=-x ，进而分析可得 函数 f （x ）是周期为 2 的周期函数，据此可得 f （x ）的图象，又由函数 y =f （x ）-log |x | 的零点的个数等于函数 y =f （x ）的图象与函数 y =log |x |的图象的交点个数，据此分析函 数的图象分析可得答案．本题考查方程根的存在性及根的个数判断，以及函数与方程的思想，解答关键是运用数 形结合的思想，属于基础题．9.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查由函数 y =A sin （ωx +φ）的部分图象求解析式，属于中档题．根据 A 、B 两点之间的距离为 5，求得 T 的值，可得 ω 的值，根据 f （1）=0，结合 φ 的 范围求得 φ 的值，从而求得函数的解析式，从而求得 f （-1）的值． 【解答】解：∵A ，B 两点之间的距离为 5，则有：=5，求得 T =6，∴ω= = ，∴f （x ）=2sin （ x +φ），∵f （1）=2sin （ +φ）=0， ∴ +φ=k π，k ∈Z ，解得：φ=k π-，k ∈Z ，∵，∴φ= ，∴f （-1）=2sin （- + ）=2× =，5 5 5 5 5 510.【答案】B【解析】解：依题意，数列{a }和{b }是等差数列，所以 ==，又因为，所以 == =故选：B ．= = ．因为数列{a }和{b }是等差数列，所以 ==，又因为 ，将 n =13 代入即可得到结果．本题考查了等差数列的前 n 项和、等差数列的性质 11.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查分段函数的单调性问题，要注意不连续的情况．由函数是单调减函数，则有 a-2＜0，且注意 2（a -2）≤ 【解答】．解：∵函数是 R 上的单调减函数，∴∴故选：B ．12.【答案】B【解析】解：∵正项等比数列{a }满足：a =a +2a ，∴，整理，得 q 2-q -2=0，又 q ＞0，解得，q=2，∵存在两项 a ，a 使得，∴整理，得 2m +n -2=16，即 m +n =6， ∴，，当且仅当 = 取等号，但此时 m ，n ∉N *．又 m+n =6， 所以只有当 m =2，n =4 时，取得最小值是 ．n n n n n 7 6 5 m n由正项等比数列通项公式结合已知条件求出q=2，再由，求出m+n=6，由此利用均值定理能求出结果．本题考查代数式的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正项等比数列的性质和均值定理的合理运用．13.【答案】2【解析】解：作出约束条件对应的平面区域如图阴影部分所示；由z=x+y得y=-x+z，平移直线y=-x+z，由图象可知当直线y=-x+z经过点B时，直线y=-x+z的截距最大，此时z最大；由，解得，即B（2，0），代入目标函数z=x+y得z=2，即目标函数z=x+y的最大值为2．故答案为：2．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．本题主要考查了线性规划的应用问题，利用目标函数的几何意义，数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．14.【答案】（-3，1）【解析】解：根据题意，函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在（-∞，0]上是增函数，则f（x）在[0，+∞）上为减函数，且f（2）=0，f（x+1）＞0⇒f（x+1）＞f（2）⇒|x+1|＜2，解可得：-3＜x＜1，即不等式的解集为（-3，1）；故答案为：（-3，1）．根据题意，分析可得f（x）在[0，+∞）上为减函数，且f（2）=0，据此可得f（x+1）＞0⇒f（x+1）＞f（2）⇒|x+1|＜2，解可得x的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于基础题．15.【答案】4【解析】【分析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．由正弦定理化简已知等式可得a2+b2-c2=ab，由余弦定理可得cos C，根据同角三角函数基本关系式可得sin C，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：∵sin A sin B+sin2C=sin2A+sin2B，∴由正弦定理可得：ab+c2=a2+b2，即：a2+b2-c2=ab，∴由余弦定理可得：cos C===，可得：sin C=∵△ABC的面积为=，，可得：=ab sin C=ab，∴解得：ab=4．故答案为4．16.【答案】【解析】解：由△于ABC是直三角形，AB=20m，AC=10m，可得CB=10，由于DEF是等边三角形，设∠CED=θ，DE=x，那么∠BFE=30°+θ，则CE=x cosθ，△在BFE中由正弦定理，可得：=，可得x==，其中tanα=；可得：x≥；△则DEF面积S=x2×sin60°≥．故答案为：．△ABC是直三角形，DEF是等边三角形，AB=20m，AC=10m，CB=10，可得∠A=60°，∠B=30°；设∠CED=θ；DE=x，那么∠BFE=30°+θ；则CE=x cosθ，在三角△形BFE中利用正弦定理求解x的最小值，即可求△解DEF区域内面积的最小值．本题考查三角形的面积的求法，考查DEF边长的求法，角的表示求解最值问题，是中档题，解题时要注意正弦定理的合理运用．17.【答案】解：（1）∵∴由.的最小正周期；，解得，．∴函数的单调增区间为；（2）由（1）知在∴在上为增函数，, 上为增函数，则在上的最大值.【解析】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查 型函数的图 象和性质，是中档题．（1）利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积，则周期可求，再由复合函数的单调性 求单调增区间；（2）由（1）知在,上为增函数，则在上为增函数，再由函数的单调性求最值． 18.【答案】解：（1）由题意可得：，画出可行域如图：（2）该企业每天可获得的利润为 z ，则 z =3x +4y ，联立化 z =3x +4y 为 y =-，解得 A (2，3)， ，由图可知，当直线 y =-过 A 时，直线在 y 轴上的截距最大，z 有最大值为 3×2+4×3=18．即该企业每天可获得的最大利润为 18 万元．【解析】（1）直接由题意得到关于 x ，y 的线性约束条件并画出可行域；（2）设该企业每天可获得的利润为 z ，则 z =3x +4y ，化目标函数为直线方程的斜截式， 数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案． 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．19.【答案】解：（1）当 n =1 时，S =a =1当 n ≥=2 时，此时 n =1 也满足上式，∴a =2n -1 5 分 （2）∵b =a •a ，∴b n =（2n -1）（2n +1）， ∴8 分∴．．．【解析】（1）当 n =1 时，S =a =1，当 n ≥=2 时，a =S -S ，即可得出．（2）由 b =a •a ，可得 b =（2n -1）（2n +1），利用裂项求和方法即可得出． 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能 力，属于中档题．第 11 页，共 13 页1 1．．n n n n +1 ．．12 分n n n -11 1 n n n +1 n20.【答案】解：（1）∵ =（sin A ，sin C ）， =（cosC ，cosA ）， ∴=sin A c osC +cosA sinC =sin2B ，∴sinB=2sinB cosB ， ∵0＜B ＜π，sinB≠0，∴解得 cosB = ，可得 B = ．（2）∵由（1）及余弦定理可得 cosB ==cos = ，∴a 2+c 2=ac+4 ，∵a+c=4 ，∴（a+c ）2=a 2+c 2+2ac=16， ∴ac=4 ，∴S = acsin B = = ．△ABC【解析】（1）由已知利用平面向量数量积的运算、两角和的正弦函数公式及二倍角的正弦函数公式可求 sin B =2sin B c osB ，结合范围 0＜B ＜π，求得 cosB = ，可得 B 的值．（2）由（1）及余弦定理可得 a 2+c 2=ac+4 ，结合已知 a +c=4 ，可求 a c=4 ，利用三角形的 面积公式即可计算得解．本小题主要考查三角恒等变换、余弦定理、解三角形以及向量的数量积运算等有关知识， 考查运算求解能力，是一道难度不大的综合题．21.【答案】解：（Ⅰ）证明：a =2a +1，即为 a +1=2 （a +1），则=2，又 a +1=2 ，故{a +1}是以首项为 2，公比为 2 的等比数列，所以 a +1=2 n ，故 a =2 n -1；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴∴∴=6+3，，-3n 2n-1，则．【解析】（Ⅰ）将等式两边加 1，由等比数列的定义和通项公式，可得证明，可得所求通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．本题考查等比数列的定义和通项公式、求和公式的运用，考查错位相减法求和，考查化 简运算能力，属于中档题．22.【答案】解：（Ⅰ）∵g （x ）为偶函数，g （x ）=x 2-ax+6 ，n+1 n n+1 n1nn n第12页，共13页∴g （-x ）=g （x ）， ∴x 2 -ax +6=x 2 +ax +6， ∴a =0，∴g （x ）=x 2+6，∴g （x ）的增区间为（0，+∞）；（Ⅱ）∵关于 x 的不等式 g （x ）＜0 的解集为{x |2＜x ＜3}， ∴a =2+3=5，∴g （x ）=x 2 -5x +6，∴x ＞1 时，= = =（x -1）+ -3≥2-3=2 -3，当且仅当x =∴+1 时取等号，的最小值为 2 -3，（Ⅲ）∵任意 x ∈[1，+∞），∴f （x ） =f （1）=l=-1，，∵任意 x 1∈[1，+∞），x ∈[-2，4]，不等式 f （x ）≤g （x ）恒成立， ∴x 2 -ax +6≥-1 在[-2，4]上恒成立， 即 x 2-ax +7≥0 在[-2，4]上恒成立，设 h （x ）=x 2-ax +7，则对称轴为 x = ，①当 ≤-2 时，即 a ≤-4 时，h （x ）在[-2，4]上为增函数，∴h （x ） =h （-2）=11+2a ≥0，即 a ≥- ，∴- ≤a ≤-4，②当 ≥4 时，即 a ≥8 时，h （x ）在[-2，4]上为减函数，∴h （x ） =h （4）=23-4a ≥0，即 a ≤ ，∴此时为空集，③当-4＜a ＜8 时，h （x ）在[-2， ]为减函数，在[ ，4]上为增函数，， h （x ） =h （ ）=- +7≥0，即-2 ∴-4＜a ≤2综上所述 a 的取值范围为[- ，2 ]≤a ≤2【解析】（Ⅰ）根据偶函数的定义即可求出 a 的值，根据二次函数的性质可得增区间， （Ⅱ）先求出 a =5，再构造基本不等式，即可求出最小值， （Ⅲ）先根据复合函数的单调性，求出函数 f （x ） =-1，则可得 x 2-ax +7≥0 在[-2，4] 上恒成立，再分类讨论，即可求出 a 的范围．本题考查恒成立问题的求解方法，考查数学转化思想方法及分类讨论的数学思想方法， 是中档题．第 13 页，共 13 页1 max2 1 2 min min minmax。

2019年遵义市高一数学下期中试卷附答案一、选择题1．下列命题正确的是（ ） A ．经过三点确定一个平面B ．经过一条直线和一个点确定一个平面C ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面D ．四边形确定一个平面2．已知平面//α平面β，直线m αÜ，直线n βÜ，点A m ∈,点B n ∈，记点A 、B 之间的距离为a ,点A 到直线n 的距离为b ,直线m 和n 的距离为c ,则 A ．b a c ≤≤B ．a c b ≤≤C ． c a b ≤≤D ．c b a ≤≤3．已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m ⊥β的是( ) A ．α⊥β，且m ⊂α B ．m ⊥n ，且n ∥β C ．α⊥β，且m ∥αD ．m ∥n ，且n ⊥β4．长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，则该长方体外接球的表面积为( ) A ．72π B ．56π C ．14π D ．64π5．如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是( )A ．B ．C ．D ．6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．7．，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ）①若，，则； ②若，，则； ③若，，，则④若，，，则.A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④8．已知AB 是圆22620x y x y +-+=内过点(2,1)E 的最短弦，则||AB 等于（ ）A ．3B ．22C ．23D ．259．若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是( )． A ．130B ．140C ．150D ．16010．已知ABC V 的三个顶点在以O 为球心的球面上，且2AB =，4AC =，25BC =,三棱锥O ABC -的体积为43，则球O 的表面积为（ ） A ．22πB ．743πC ．24πD ．36π11．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是1BC ，1CD 的中点，则下列说法错误．．的是( )A ．MN 与1CC 垂直B ．MN 与AC 垂直 C ．MN 与BD 平行D ．MN 与11A B 平行12．已知平面αβ⊥且l αβ=I ，M 是平面α内一点，m ，n 是异于l 且不重合的两条直线，则下列说法中错误的是（ ）. A ．若//m α且//m β，则//m l B ．若m α⊥且n β⊥，则m n ⊥ C ．若M m ∈且//m l ，则//m βD ．若M m ∈且m l ⊥，则m β⊥二、填空题13．若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形，则此圆柱的体积为 .14．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为1CC 上的动点，Q 为1BD 上的动点，则线段PQ 的长度的最小值为______.15．一个直三棱柱的每条棱长都是3，且每个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为________16．在平面直角坐标xOy 系中,设将椭圆()2222110y x a a a +=>-绕它的左焦点旋转一周所覆盖的区域为D ，P 为区域D 内的任一点，射线()02x y x =≥－上的点为Q ，若PQ 的最小值为a ，则实数a 的取值为_____．17．若圆1C ：220x y ax by c ++++=与圆2C ：224x y +=关于直线21y x =-对称，则c =______.18．如图，在△ABC 中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD=DA ，PB=BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是 .19．正三棱柱的底面边长为，高为2，则它的外接球的表面积为 ．20．正四棱锥S -ABCD 的底面边长和各侧棱长都为2，点S 、A 、B 、C 、D 都在同一个球面上，则该球的体积为______．三、解答题21．已知点(3,3)M ，圆22:(1)(2)4C x y -+-=. （1）求过点M 且与圆C 相切的直线方程；（2）若直线40()ax y a -+=∈R 与圆C 相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为23，求实数a 的值.22．已知ABC ∆的三个顶点(),A m n 、()2,1B 、()2,3C -. （1）求BC 边所在直线的方程；（2）BC 边上中线AD 的方程为2360x y -+=，且7ABC S ∆=，求点A 的坐标. 23．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ．求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1； （2）BE ⊥C 1E ．24．在平面直角坐标系xOy 中，直线2210x y +-=与圆C 相切，圆心C 的坐标为()2,1-（1）求圆C 的方程；（2）设直线y =x +m 与圆C 交于M 、N 两点. ①若22MN ≥m 的取值范围；②若OM ⊥ON ，求m 的值.25．若圆M 的方程为22(2)(5)10x y -+-=，△ABC 中，已知(1,1)A ，(4,2)B ，点C 为圆M 上的动点．（1）求AC 中点D 的轨迹方程； （2）求△ABC 面积的最小值．26．如图,四边形ABCD 为矩形,且2,1,AD AB PA ==⊥平面ABCD , 1PA =,E 为BC 的中点.（1）求证:PE DE ⊥； （2）求三棱锥C PDE -的体积；（3）探究在PA 上是否存在点G ,使得EG P 平面PCD ，并说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】根据确定一个平面的公理及推论即可选出. 【详解】A 选项，根据平面基本性质知，不共线的三点确定一个平面，故错误；B 选项，根据平面基本性质公理一的推论，直线和直线外一点确定一个平面，故错误；C 选项，根据公理一可知，不共线的三点确定一个平面，而两两相交且不共点的三条直线，在三个不共线的交点确定的唯一平面内，所以两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，正确；选项D,空间四边形不能确定一个平面，故错误；综上知选C. 【点睛】本题主要考查了平面的基本性质公理一及其推论，属于中档题.2．D解析：D【解析】 【分析】根据平面与平面平行的判断性质,判断c 最小,再根据点到直线距离和点到直线上任意点距离判断a 最大. 【详解】由于平面//α平面β,直线m 和n 又分别是两平面的直线,则c 即是平面之间的最短距离. 而由于两直线不一定在同一平面内,则b 一定大于或等于c ,判断a 和b 时, 因为B 是上n 任意一点,则a 大于或等于b . 故选D. 【点睛】本题主要考查面面平行的性质以及空间距离的性质，考查了空间想象能力，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.3．D解析：D 【解析】 【分析】根据所给条件，分别进行分析判断，即可得出正确答案. 【详解】解：αβ⊥且m α⊂⇒m β⊂或//m β或m 与β相交，故A 不成立；m n ⊥且//n β⇒m β⊂或//m β或m 与β相交，故B 不成立；αβ⊥且//m α⇒m β⊂或//m β或m 与β相交，故C 不成立； //m n 且n β⊥⇒m β⊥，故D 成立；故选：D 【点睛】本题考查直线与平面的位置关系，线面垂直判定，属于基础题.4．C解析：C 【解析】 【分析】由题意首先求得长方体的棱长，然后求解其外接球的表面积即可. 【详解】设长方体的棱长分别为,,a b c ，则236ab bc ac =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以()236abc =，于是213a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，设球的半径为R ，则2222414R a b c =++=，所以这个球面的表面积为24R π=14π． 本题选择C 选项. 【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.5．A解析：A 【解析】 【分析】利用线面平行判定定理可知B 、C 、D 均不满足题意，从而可得答案． 【详解】对于B 项，如图所示，连接CD ，因为AB ∥CD ，M ，Q 分别是所在棱的中点，所以MQ ∥CD ，所以AB ∥MQ ，又AB ⊄平面MNQ ，MQ ⊂平面MNQ ，所以AB ∥平面MNQ ， 同理可证，C ，D 项中均有AB ∥平面MNQ . 故选：A.【点睛】本题考查空间中线面平行的判定定理，利用三角形中位线定理是解决本题的关键，属于中档题．6．D解析：D 【解析】该几何体为半圆柱，底面为半径为1的半圆，高为2，因此表面积为,选D.7．B解析：B 【解析】 【分析】在①中，由面面平行的性质定理得m ∥β；在②中，m 与n 平行或异面；在③中，m 与β相交、平行或m ⊂β；在④中，由n ⊥α，m ⊥α，得m ∥n ，由n ⊥β，得m ⊥β．【详解】由α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，知：在①中，若α∥β，m ⊂α，则由面面平行的性质定理得m ∥β，故①正确； 在②中，若m ∥α，n ⊂α，则m 与n 平行或异面，故②错误；在③中，若α⊥β，α∩β＝n ，m ⊥n ，则m 与β相交、平行或m ⊂β，故③错误； 在④中，若n ⊥α，m ⊥α，则m ∥n ， 由n ⊥β，得m ⊥β，故④正确． 故选：B ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力，考查化归与转化思想，是中档题．8．D解析：D 【解析】 【分析】求出圆的标准方程，确定最短弦的条件，利用弦长公式进行求解即可． 【详解】圆的标准方程为（x ﹣3）2+（y +1）2＝10，则圆心坐标为C （3，﹣1），半径为过E 的最短弦满足E 恰好为C 在弦上垂足，则CE ==，则|AB |==， 故选D ． 【点睛】本题主要考查圆的标准方程的求解，以及直线和圆相交的弦长问题,属于中档题．9．D解析：D 【解析】设直四棱柱1111ABCD A B C D -中，对角线119,15AC BD ==， 因为1A A ⊥平面,ABCD AC Ì,平面ABCD ，所以1A A AC ⊥，在1Rt A AC ∆中，15A A =，可得AC ==同理可得BD ===，因为四边形ABCD 为菱形，可得,AC BD 互相垂直平分，所以8AB ===，即菱形ABCD 的边长为8， 因此，这个棱柱的侧面积为1()485160S AB BC CD DA AA =+++⨯=⨯⨯=， 故选D.点睛：本题考查了四棱锥的侧面积的计算问题，解答中通过给出的直四棱柱满足的条件，求得底面菱形的边长，进而得出底面菱形的底面周长，即可代入侧面积公式求得侧面积，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及空间想象能力，其中正确认识空间几何体的结构特征和线面位置关系是解答的关键.10．C解析：C 【解析】 【分析】由已知可得三角形ABC 为直角三角形，斜边BC 的中点O '就是ABC V 的外接圆圆心，利用三棱锥O ABC -的体积，求出O 到底面的距离，可求出球的半径，然后代入球的表面积公式求解． 【详解】在ABC V 中，∵2AB =，4AC =，25BC =得AB AC ⊥， 则斜边BC 的中点O '就是ABC V 的外接圆的圆心， ∵三棱锥O ABC -的体积为43， 11424323OO '⨯⨯⨯⨯=，解得1OO '=，221(5)6R =+=， 球O 的表面积为2424R ππ=． 故选C ．【点睛】本题考查球的表面积的求法，考查锥体体积公式的应用，考查空间想象能力和计算能力，属于基础题.11．D解析：D【解析】 【分析】先利用三角形中位线定理证明//MN BD ，再利用线面垂直的判定定理定义证明MN 与1CC 垂直，由异面直线所成的角的定义证明MN 与AC 垂直，即可得出结论.【详解】如图：连接1C D ，BD ，Q 在三角形1C DB 中，//MN BD ，故C 正确．1CC ⊥Q 平面ABCD ，1CC BD ∴⊥，MN ∴与1CC 垂直，故A 正确；AC BD ^Q ，//MN BD ，MN ∴与AC 垂直，B 正确；∵//MN BD ，MN ∴与11A B 不可能平行，D 错误 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了正方体中的线面关系，线线平行与垂直的证明，异面直线所成的角及其位置关系，熟记正方体的性质是解决本题的关键.12．D解析：D 【解析】 【分析】根据已知条件和线面位置关系一一进行判断即可. 【详解】选项A ：一条直线平行于两个相交平面，必平行于两个面交线，故A 正确； 选项B ：垂直于两垂直面的两条直线相互垂直，故B 正确； 选项C ：M m ∈且//m l 得m α⊂且//m β，故C 正确；选项D ：M m ∈且m l ⊥不一定得到m α⊂，所以,m l 可以异面，不一定得到m β⊥. 故选：D . 【点睛】本题主要考查的是空间点、线、面的位置关系的判定，掌握线面、线线之间的判定定理和性质定理是解决本题的关键，是基础题.二、填空题13．2π【解析】试题分析：设圆柱的底面半径为r 高为h 底面积为S 体积为V 则有2πr=2⇒r=1π故底面面积S=πr2=π×(1π)2=1π故圆柱的体积V=Sh=1π×2=2π考点：圆柱的体积 解析：【解析】试题分析：设圆柱的底面半径为，高为，底面积为，体积为，则有，故底面面积，故圆柱的体积.考点：圆柱的体积14．【解析】【分析】首先根据数形结合分析可知线段的长度的最小值转化为在平面上投影线段的最小值然后转化为点到直线的距离的最小值【详解】当平面时线段与其在平面上投影相等当与平面不平行时是斜线段大于其在平面上 解析：22【解析】 【分析】首先根据数形结合分析可知线段PQ 的长度的最小值转化为PQ 在平面ABCD 上投影线段的最小值，然后转化为点到直线的距离的最小值. 【详解】当//PQ 平面ABCD 时，线段PQ 与其在平面ABCD 上投影相等，当PQ 与平面ABCD 不平行时，PQ 是斜线段，大于其在平面ABCD 上投影的长度，∴求线段PQ 的最小值就是求其在平面ABCD 上投影的最小值，点P 在平面ABCD 的投影是点C ，点Q 在平面ABCD 的投影在BD 上，∴求线段PQ 的最小值转化为点C 到BD 的距离的最小值，连接,AC BD ，交于点O ，AC BD ⊥，∴点C 到BD 的距离的最小值22CO =.2 【点睛】本题考查几何体中距离的最小值，意在考查空间想象能力和数形结合分析问题的能力，属于中档题型.15．【解析】【分析】设此直三棱柱两底面的中心分别为则球心为线段的中点利用勾股定理求出球的半径由此能求出球的表面积【详解】∵一个直三棱柱的每条棱长都是且每个顶点都在球的球面上∴设此直三棱柱两底面的中心分别 解析：21π【解析】 【分析】设此直三棱柱两底面的中心分别为12,O O ，则球心O 为线段12O O 的中点，利用勾股定理求出球O 的半径2R ，由此能求出球O 的表面积． 【详解】∵一个直三棱柱的每条棱长都是3，且每个顶点都在球O 的球面上， ∴设此直三棱柱两底面的中心分别为12,O O ，则球心O 为线段12O O 的中点，设球O 的半径为R ，则2223232132324R ⎛⎫⎛⎫=+⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴球O 的表面积2S 4R 21ππ== . 故答案为：21π．【点睛】本题考查球的表面积的求法，空间思维能力，考查转化化归思想、数形结合思想、属于中档题．16．【解析】【分析】先确定轨迹再根据射线上点与圆的位置关系求最值即得结果【详解】所以为以为圆心为半径的圆及其内部设射线的端点为所以的最小值为故答案为：【点睛】本题考查动点轨迹以及点与圆位置关系考查数形结 113-+【解析】 【分析】先确定D 轨迹，再根据射线上点与圆的位置关系求最值，即得结果. 【详解】2222222(1)1,111,y x c a a c a a =+∴=--=∴=-Q ， 所以D 为以(1,0)F -为圆心，1a +为半径的圆及其内部， 设射线()02x y x =≥－的端点为(2,2)A ，所以PQ 的最小值为131||(1),1312,AF a a a a --+===. 113-+ 【点睛】本题考查动点轨迹以及点与圆位置关系，考查数形结合思想以及基本分析求解能力，属中档题.17．【解析】【分析】两圆关于直线对称即圆心关于直线对称则两圆的圆心的连线与直线垂直且中点在直线上圆的半径也为即可求出参数的值【详解】解：因为圆：即圆心半径由题意得与关于直线对称则解得圆的半径解得故答案为 解析：165-【解析】 【分析】两圆关于直线对称即圆心关于直线对称，则两圆的圆心的连线与直线21y x =-垂直且中点在直线21y x =-上，圆1C 的半径也为2，即可求出参数,,a b c 的值. 【详解】解：因为圆1C ：220x y ax by c ++++=，即22224224ab a b cx y 骣骣+-琪琪+++=琪琪桫桫， 圆心111,22C a b ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，半径r =由题意，得111,22C a b ⎛⎫-- ⎪⎝⎭与()20,0C 关于直线21y x =-对称，则112,122112221,22b a ba ⎧-⎪=-⎪⎪-⎨⎪--⎪⎪=⨯-⎩解得85=-a ，45b =，圆1C的半径22r ==，解得165c =-. 故答案为：165-【点睛】本题考查圆关于直线对称求参数的值，属于中档题.18．【解析】中因为所以由余弦定理可得所以设则在中由余弦定理可得故在中由余弦定理可得所以过作直线的垂线垂足为设则即解得而的面积设与平面所成角为则点到平面的距离故四面体的体积设因为所以则（1）当时有故此时因解析：12【解析】 ABC ∆中，因为2,120AB BC ABC ==∠=o ，所以30BAD BCA ∠==o .由余弦定理可得2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅2222222cos12012=+-⨯⨯=o ，所以AC =设AD x =，则0t <<DC x =.在ABD ∆中，由余弦定理可得2222cos BD AD AB AD AB A =+-⋅22222cos30x x =+-⋅o 2234x x =-+.故2234BD x x =-+.在PBD ∆中，PD AD x ==，2PB BA ==.由余弦定理可得2222222(234)3cos 2222PD PB BD x x x BPD PD PB x +-+--+∠===⋅⋅⋅， 所以30BPD ∠=o .过P 作直线BD 的垂线，垂足为O .设PO d = 则11sin 22PBD S BD d PD PB BPD ∆=⨯=⋅∠， 2112342sin 3022x x d x -+=⋅o ， 解得2234d x x =-+.而BCD ∆的面积111sin (23)2sin 303)222S CD BC BCD x x =⋅∠=⋅=o . 设PO 与平面ABC 所成角为θ，则点P 到平面ABC 的距离sin h d θ=. 故四面体PBCD 的体积211111sin (23)33332234BcD BcD BcD V S h S d S d x x x θ∆∆∆=⨯=≤⋅=⨯-+ 21(23)6234x x x x -=-+设22234(3)1t x x x =-+=-+023x ≤≤12t ≤≤.则231x t -=-（1）当03x ≤≤时，有2331x x t ==-故231x t =-此时，221(31)[23(31)]t t V -----=21414()66t t t t-=⋅=-.214()(1)6V t t=--'，因为12t ≤≤，所以()0V t '<，函数()V t 在[1,2]上单调递减，故141()(1)(1)612V t V ≤=-=. （2）当323x <≤时，有2331x x t -=-=-， 故231x t =+-.此时，221(31)[23(31)]6t t V t +--+-=21414()66t t t t-=⋅=-. 由（1）可知，函数()V t 在(1,2]单调递减，故141()(1)(1)612V t V <=-=. 综上，四面体PBCD 的体积的最大值为12. 19．【解析】试题分析：由正三棱柱底面边长为得底面所在平面截其外接球所成圆半径为又由高为则球心到圆的球心距为根据球心距截面圆半径球半径构成的直角三角形满足勾股定理我们易得半径满足：已知求得正三棱柱外接球所 解析：【解析】试题分析：由正三棱柱底面边长为2，得底面所在平面截其外接球所成圆O 半径为23r =，又由高为2，则球心到圆O 的球心距为1d =，根据球心距，截面圆半径，球半径构成的直角三角形满足勾股定理，我们易得半径R 满足：22273R r d =+=，已知求得正三棱柱外接球，所以外接球的表面积为22843S R ππ==． 考点：棱柱的几何特征，球的表面积，空间位置关系和距离．【方法点晴】解决本题的关键是确定球心的位置，进而确定半径．因为三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，所以过三角形的外心且垂直于此三角形的所在平面的垂线上的任意一点到次三角形三个顶点的距离相等，所以过该三角形的三个顶点的球的球心必在垂线上．所以本题中球心必在上下底面外心的连线上，进而利用球心距，截面圆半径，球半径构成的直角三角形，即可算出．20．【解析】如图过S 作SO1⊥平面ABCD 由已知=1在Rt △SO1C 中∵SC ＝∴∴O1S ＝O1A ＝O1B ＝O1C ＝O1D 故O1是过SABCD 点的球的球心∴球的半径为r ＝1∴球的体积为点睛：与球有关的组合解析：43π【解析】如图，过S 作SO 1⊥平面ABCD ，由已知1112O C AC ==1.在Rt △SO 1C 中， ∵ SC ＝2 ，∴ 22111SO SC O C =-=，∴ O 1S ＝O 1A ＝O 1B ＝O 1C ＝O 1D ，故O 1是过S ，A ，B ，C ，D 点的球的球心，∴ 球的半径为r ＝1， ∴ 球的体积为34433r π=π.点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.三、解答题21．（1）3x =或34210x y +-=；（2）34-. 【解析】 【分析】（1）考虑切线的斜率是否存在，结合直线与圆相切的的条件d=r ，直接求解圆的切线方程即可．（2）利用圆的圆心距、半径及半弦长的关系，列出方程，求解a 即可． 【详解】（1）由圆的方程得到圆心(1,2)，半径2r =. 当直线斜率不存在时，直线3x =与圆C 显然相切；当直线斜率存在时，设所求直线方程为3(3)y k x -=-，即330kx y k -+-=， 221k =+，解得34k =-，∴ 方程为33(3)4y x -=--，即34210x y +-=. 故过点M 且与圆C 相切的直线方程为3x =或34210x y +-=.（2）∵ 弦长AB 为3 2.圆心到直线40ax y -+=的距离d =∴224⎛⎫+=⎝⎭， 解得34a =-. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，考查切线方程的求法，考查了垂径定理的应用，考查计算能力．22．（1）240x y +-=；（2）点A 坐标为()3,4、()3,0- 【解析】 【分析】（1）利用两点式求得BC 边所在直线方程；（2）利用点到直线的距离公式求得A 到直线BC 的距离，根据面积7ABC S ∆=以及点A 在直线2360x y -+=上列方程组，解方程组求得A 点的坐标. 【详解】（1）由()2,1B 、()2,3C -得BC 边所在直线方程为123122y x --=---，即240x y +-=. （2）BC ==A 到BC 边所在直线240x y +-=的距离为d =A 在直线2360x y -+=上，故1722360ABCS BC d m n ∆⎧=⋅⋅=⎪⎨⎪-+=⎩，即2472360m n m n ⎧+-=⎨-+=⎩，解得()3,4A 或()30A -,. 【点睛】本小题主要考查利用两点式求直线方程，考查点到直线的距离公式，考查三角形面积公式，属于基础题.23．（1）见解析；（2）见解析. 【解析】 【分析】(1)由题意结合几何体的空间结构特征和线面平行的判定定理即可证得题中的结论； (2)由题意首先证得线面垂直，然后结合线面垂直证明线线垂直即可. 【详解】（1）因为D ，E 分别为BC ，AC 的中点，所以ED ∥AB .在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ∥A 1B 1， 所以A 1B 1∥ED .又因为ED ⊂平面DEC 1，A 1B 1⊄平面DEC 1， 所以A 1B 1∥平面DEC 1.（2）因为AB =BC ，E 为AC 的中点，所以BE ⊥AC . 因为三棱柱ABC-A 1B 1C 1是直棱柱，所以CC 1⊥平面ABC . 又因为BE ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥BE .因为C 1C ⊂平面A 1ACC 1，AC ⊂平面A 1ACC 1，C 1C ∩AC =C ， 所以BE ⊥平面A 1ACC 1.因为C 1E ⊂平面A 1ACC 1，所以BE ⊥C 1E . 【点睛】本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.24．（1）22(2)(1)4x y -++=；（2）①51m -≤≤-；②352m -+=或352m -=【解析】 【分析】（1）假设圆的方程，利用以()2,1C -为圆心的圆与直线210x y +-=相切，即可求得圆C 的方程；（2）①直线y x m =+圆C 交于M 、N 两点，根据圆心到直线的距离，半径，弦长之间的关系，得到关系式求出m 的范围.②设()()1122,,,M x y N x y ，联立直线与圆的方程，通过韦达定理以及判别式，通过OM ⊥ON ，求出m 的值即可. 【详解】解：（1）设圆的方程是222(2)(1)x y r -++=，依题意，直线210x y +-=与圆C 相切，∴所求圆的半径2r ==，∴所求的圆方程是22(2)(1)4x y -++=； （2）①圆心()2,1C -到直线y x m =+的距离d ==MN ∴==≥解得51m -≤≤-；②设()()1122,,,M x y N x y ，22(2)(1)4y x mx y =+⎧⎨-++=⎩， 消去y ，得到方程2222(1)210x m x m m +-+++=，由已知可得，判别式(224(1)422+1)0m m m ∆=--⨯+>， 化简得2610m m ++<，21212211,2m m x x m x x +++=-+=①， 由于OM ⊥ON ，可得12120x x y y += 又1122,y x m y x m ==++， 所以()2121220x x m x x m +++=②，由①，②得m =或m =，满足>0∆，故m =或m =. 【点睛】本题重点考查圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系，考查圆中弦长的计算，合理运用圆的性质是关键.注意韦达定理及整体思想的运用，属中档题. 25．（1）2235()(3)22x y -+-= （2）12【解析】 【分析】（1）利用相关点法求出点D 的轨迹方程；（2）首先求出直线AB 的方程，求出圆心到直线的距离，圆心到直线的距离减去半径即圆上的点到直线的距离的最小值，即可求出ABC ∆面积的最小值。

2019-2020年高一下学期期中数学试卷含解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．一枚硬币连掷三次至少出现一次正面的概率为（）A． B． C． D．2．从12个同类产品（其中10个是正品，2个是次品）中任意抽取3个的必然事件是（）A．3个都是正品B．至少有1个是次品C．3个都是次品D．至少有1个是正品3．某公司xx～xx年的年利润x（单位：百万元）与年广告支出y（单位：百万元）的统计资料如表所示：年份xx xx xx xx xx xx利润x 12.2 14.6 16 18 20.4 22.3支出y 0.62 0.74 0.81 0.89 1 1.11根据统计资料，则（）A．利润中位数是16，x与y有正线性相关关系B．利润中位数是18，x与y有负线性相关关系C．利润中位数是17，x与y有正线性相关关系D．利润中位数是17，x与y有负线性相关关系4．程序框图如图所示：如果输入x=5，则输出结果为（）A．325 B．109 C．973 D．2955．用“更相减损术”求98和63的最大公约数，要做减法的次数是（）A．3次B．4次C．5次D．6次6．从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下（单位：克）125 120 122 105 130 114 116 95 120 134，则样本数据落在[114.5，124.5）内的频率为（）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.57．从学号为1号至50号的高一某班50名学生中随机选取5名同学参加数学测试，采用系统抽样的方法，则所选5名学生的学号可能是（）A．1，2，3，4，5 B．5，15，25，35，45C．2，4，6，8，10 D．4，13，22，31，408．给出以下四个问题：①输入一个正数x，求它的常用对数值；②求面积为6的正方形的周长；③求三个数a，b，c中的最大数；④求函数的函数值．其中不需要用条件语句来描述其算法的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．向顶角为120°的等腰三角形ABC（其中AC=BC）内任意投一点M，则AM小于AC的概率为（）A． B． C． D．10．某大学共有本科生5000人，其中一、二、三、四年级的人数比为4：3：2：1，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为200的样本，则应抽取三年级的学生人数为（）A．80 B．40 C．60 D．2011．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A．7 B．9 C．10 D．1112．甲袋中装有3个白球和5个黑球，乙袋中装有4个白球和6个黑球，现从甲袋中随机取出一个球放入乙袋中，充分混合后，再从乙袋中随机取出一个球放回甲袋中，则甲袋中白球没有减少的概率为（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卷的横线上.）13．把xx转化为二进制数为．14．如图是某学校抽取的n个学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第3小组的频数为18，则n的值是．15．用秦九韶算法求多项式：f（x）=1+x+2x2+3x3+4x4+5x5+7x7在x=2的值时，v3的值为．16．日前，广佛肇城际轨道已开通投入运营，假设轻轨列车每15分钟一班，在车站停2分钟，则乘客到达站台能立即上车的概率是．三、解答题（本大题共6小题，共56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．若二进制数100y011和八进制数x03相等，求x+y的值．18．（1）函数，编写出求函数的函数值的程序（使用嵌套式）；（2）“求的值．”写出用基本语句编写的程序（使用当型）．19．在某幼儿园的美术课上，老师带领小朋友用水彩笔为本子上两个大小不同的气球涂色，要求一个气球只涂一种颜色，两个气球分别涂不同的颜色．小朋友豆豆可用的有暖色系水彩笔红色、橙色各一支，冷色系水彩笔绿色、蓝色、紫色各一支．（1）豆豆从他可用的五支水彩笔中随机取出两支按老师要求给气球涂色，求两个气球同为冷色的概率．（2）一般情况下，老师发出开始指令到涂色活动全部结束需要10分钟，豆豆至少需要2分钟完成该项任务．老师发出开始指令1分钟后随时可能来到豆豆身边查看涂色情况．求当老师来到豆豆身边时，豆豆已经完成任务的概率．20．已知集合A=[﹣2，2]，B=[﹣1，1]，设M={（x，y）|x∈A，y∈B}，在集合M内随机取出一个元素（x，y）．（1）求以（x，y）为坐标的点落在圆x2+y2=1内的概率；（2）求以（x，y）为坐标的点到直线x+y=0的距离不大于的概率．21．运行如图所示的程序框图，当输入实数x的值为﹣1时，输出的函数值为2；当输入实数x的值为3时，输出的函数值为7．（Ⅰ）求实数a，b的值；并写出函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求满足不等式f（x）＞1的x的取值范围．22．为调查我校学生的用电情况，学校后勤部门组织抽取了100间学生宿舍某月用电量调查，发现每间宿舍用电量都在50度到350度之间，其频率分布直方图如图所示．（1）为降低能源损耗，节约用电，学校规定：每间宿舍每月用电量不超过200度时，按每度0.5元收取费用；超过200度，超过部分按每度1元收取费用．以t表示某宿舍的用电量（单位：度），以y表示该宿舍的用电费用（单位：元），求y与t的函数关系式？（2）求图中月用电量在（200，250]度的宿舍有多少间？（3）在直方图中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，宿舍用电量落入该区间的频率作为宿舍用电量取该区间中点值的频率（例如：若t∈[150，200），则取t=175，且t=175发生的频率等于落入[150，200）的频率），试估计我校学生宿舍的月均用电费用．xx学年湖南省娄底市高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．一枚硬币连掷三次至少出现一次正面的概率为（）A． B． C． D．【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【专题】计算题．【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是将一枚硬币连续抛掷三次共有23=8种结果，满足条件的事件的对立事件是三枚硬币都是反面，有1种结果，根据对立事件的概率公式得到结果【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是将一枚硬币连续抛掷三次共有23=8种结果，满足条件的事件的对立事件是三枚硬币都是反面，有1种结果，∴至少一次正面向上的概率是1﹣=，故选A．【点评】本题考查等可能事件的概率，本题解题的关键是对于比较复杂的事件求概率时，可以先求对立事件的概率．2．从12个同类产品（其中10个是正品，2个是次品）中任意抽取3个的必然事件是（）A．3个都是正品B．至少有1个是次品C．3个都是次品D．至少有1个是正品【考点】随机事件．【分析】任意抽取3个一定会发生的事：最少含有一个正品，根据题目条件选出正确结论，分清各种不同的事件是解决本题的关键．【解答】解：任意抽取3个一定会发生的事：最少含有一个正品，故选D【点评】我们学过的事件的定义：随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；必然事件：在一定条件下必然发生的事件；不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件．3．某公司xx～xx年的年利润x（单位：百万元）与年广告支出y（单位：百万元）的统计资料如表所示：年份xx xx xx xx xx xx利润x 12.2 14.6 16 18 20.4 22.3支出y 0.62 0.74 0.81 0.89 1 1.11根据统计资料，则（）A．利润中位数是16，x与y有正线性相关关系B．利润中位数是18，x与y有负线性相关关系C．利润中位数是17，x与y有正线性相关关系D．利润中位数是17，x与y有负线性相关关系【考点】变量间的相关关系；众数、中位数、平均数．【专题】计算题．【分析】求出利润中位数，而且随着利润的增加，支出也在增加，故可得结论．【解答】解：由题意，利润中位数是=17，而且随着利润的增加，支出也在增加，故x与y有正线性相关关系故选C．【点评】本题考查变量间的相关关系，考查中位数，解题的关键是理解正线性相关关系，属于基础题．4．程序框图如图所示：如果输入x=5，则输出结果为（）A．325 B．109 C．973 D．295【考点】程序框图．【专题】计算题；数形结合；定义法；算法和程序框图．【分析】方法一：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量x的值，并输出．模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．方法二：由程序框图可知：此问题相当于先求出满足以下条件：数列{a n}的a1=5，a n+1=3a n﹣2，要求其通项公式第一次大于或等于200时即输出其值．【解答】解：方法一：程序在运行过程中各变量的值如下表示：x 是否继续循环循环前5/第一圈13 是第二圈37 是第三圈109 是第四圈325 否故最后输出的x值为325，方法二：由序框图可知：此问题相当于先求出满足以下条件数列的通项公式，数列{a n}的a1=5，a n+1=3a n﹣2，当a n≥200时，即输出a n．∵a n+1=3a n﹣2，∴a n+1﹣1=3（a n﹣1），∵a1﹣1=5﹣1=4≠0，∴数列{a n}是以4为首项，3为公比的等比数列，∴an﹣1=4×3n﹣1，∴an=4×3n﹣1+1，令4×3n﹣1+1≥200，解得n≥5．故当n=5时，输出的x应是4×34+1=325．选：A．【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．5．用“更相减损术”求98和63的最大公约数，要做减法的次数是（）A．3次B．4次C．5次D．6次【考点】用辗转相除计算最大公约数．【专题】计算题；算法和程序框图．【分析】我们根据“以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数．继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止．”的原则，易求出98和63的最大公约数．统计减法次数可得答案．【解答】解：用“更相减损术”求98和63的最大公约数，98﹣63=35，63﹣35=28，35﹣28=7，28﹣7=21，21﹣7=14，14﹣7=7，共需要6次减法运算，故选：D【点评】本题考查的知识点是最大公因数和更相减损术，更相减损术的方法和步骤是：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数．继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止．6．从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下（单位：克）125 120 122 105 130 114 116 95 120 134，则样本数据落在[114.5，124.5）内的频率为（）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5【考点】频率分布表．【专题】计算题．【分析】从所给的十个数字中找出落在所要求的范围中的数字，共有4个，利用这个频数除以样本容量，得到要求的频率．【解答】解：∵在125 120 122 105 130 114 116 95 120 134十个数字中，样本数据落在[114.5，124.5）内的有116，120，120，122共有四个，∴样本数据落在[114.5，124.5）内的频率为=0.4，故选C【点评】本题考查频率分布表，频数、频率和样本容量三者之间的关系是知二求一，这种问题会出现在选择和填空中，有的省份也会以大题的形式出现，把它融于统计问题中．7．从学号为1号至50号的高一某班50名学生中随机选取5名同学参加数学测试，采用系统抽样的方法，则所选5名学生的学号可能是（）A．1，2，3，4，5 B．5，15，25，35，45C．2，4，6，8，10 D．4，13，22，31，40【考点】系统抽样方法．【专题】概率与统计．【分析】计算系统抽样的抽取间隔，由此可得答案．【解答】解：系统抽样的抽取间隔为=10，由此可得所选5名学生的学号间隔为10，由此判定B正确，故选：B．【点评】本题考查了系统抽样方法，熟练掌握系统抽样方法的特征是解题的关键．8．给出以下四个问题：①输入一个正数x，求它的常用对数值；②求面积为6的正方形的周长；③求三个数a，b，c中的最大数；④求函数的函数值．其中不需要用条件语句来描述其算法的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】条件语句；设计程序框图解决实际问题．【专题】阅读型．【分析】对于选项①，②值，代入相应的公式求即可，对于选项③，④值域代入相应的公式时需要分类讨论，故要用到条件语句来描述其算法．【解答】解：对于①输入一个正数x，求它的常用对数值，代入lgx求即可；对于②，求面积为6的正方形的周长，代入a2求即可；对于③，求三个数a，b，c中的最大数，必须先进行大小比较，要用条件语句；对于④，求函数的函数值，必须对所给的x进行条件判断，也要用条件语句．其中不需要用条件语句来描述其算法的有2个．故选B．【点评】本题考查算法适宜用条件结构的问题，是在解决时需要讨论的问题．属于基础题．9．向顶角为120°的等腰三角形ABC（其中AC=BC）内任意投一点M，则AM小于AC的概率为（）A． B． C． D．【考点】几何概型．【专题】数形结合；定义法；概率与统计．【分析】根据几何概型的概率公式求出满足条件的区域对应的面积即可得到结论．【解答】解：若AM小于AC，则M位于阴影部分，∵∠C=120°，∴∠A=30°，则三角形ABC的面积为S△ABC==×AC2=AC2，扇形的面积S=AC2=πAC2，则对应的概率P===，故选：B．【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，根据条件求出对应区域的面积是解决本题的关键．10．某大学共有本科生5000人，其中一、二、三、四年级的人数比为4：3：2：1，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为200的样本，则应抽取三年级的学生人数为（）A．80 B．40 C．60 D．20【考点】分层抽样方法．【专题】计算题．【分析】要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为200的样本，根据一、二、三、四年级的学生比为4：3：2：1，利用三年级的所占的比例数除以所有比例数的和再乘以样本容量即得抽取三年级的学生人数．【解答】解：∵要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为200的样本，一、二、三、四年级的学生比为4：3：2：1，∴三年级要抽取的学生是=40，故选B．【点评】本题考查分层抽样方法，本题解题的关键是看出三年级学生所占的比例，本题也可以先做出三年级学生数和每个个体被抽到的概率，得到结果．11．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A．7 B．9 C．10 D．11【考点】程序框图．【专题】计算题；整体思想；定义法；推理和证明．【分析】算法的功能是求S=0+lg+lg+lg+…+lg的值，根据条件确定跳出循环的i值．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=0+lg+lg+lg+…+lg的值，∵S=lg+lg+…+lg=lg＞﹣1，而S=lg+lg+…+lg=lg＜﹣1，∴跳出循环的i值为9，∴输出i=9．故选：B【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．12．甲袋中装有3个白球和5个黑球，乙袋中装有4个白球和6个黑球，现从甲袋中随机取出一个球放入乙袋中，充分混合后，再从乙袋中随机取出一个球放回甲袋中，则甲袋中白球没有减少的概率为（）A． B． C． D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】白球没有减少的情况有：①抓出黑球，抓入任意球，概率是：．抓出白球，抓入白球，概率是，再把这2个概率相加，即得所求．【解答】解：白球没有减少的情况有：①抓出黑球，抓入任意球，概率是：．抓出白球，抓入白球，概率是=，故所求事件的概率为=，故选C ．【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，属于基础题．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卷的横线上.） 13．把xx 转化为二进制数为 11111100000（2） ．【考点】进位制．【专题】计算题；转化思想；转化法；算法和程序框图．【分析】利用“除k 取余法”是将十进制数除以2，然后将商继续除以2，直到商为0，然后将依次所得的余数倒序排列即可得到答案．【解答】解：xx ÷2=1008 01008÷2=504 0504÷2=252 0252÷2=126 0126÷2=63 063÷2=31 (1)31÷2=15 (1)15÷2=7 (1)7÷2=3 (1)3÷2=1 (1)1÷2=0 (1)故xx （10）=11111100000（2）故答案为：11111100000（2）【点评】本题考查的知识点是十进制与其它进制之间的转化，其中熟练掌握“除k 取余法”的方法步骤是解答本题的关键，属于基础题．14．如图是某学校抽取的n 个学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第3小组的频数为18，则n 的值是 48 ．【考点】频率分布直方图．【专题】应用题；概率与统计．【分析】根据频率和为1，求出前3个小组的频率和以及第3小组的频率，再求样本容量n的值．【解答】解：根据频率分布直方图，得从左到右的前3个小组的频率和为：1﹣（0.0375+0.0125）×5=0.75；又这三组频率之比为1：2：3，∴第3小组的频率为×0.75=0.375，且对应的频数为18，∴样本容量n==48．故答案为：48．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率=的应用问题，是基础题目．15．用秦九韶算法求多项式：f（x）=1+x+2x2+3x3+4x4+5x5+7x7在x=2的值时，v3的值为70．【考点】秦九韶算法．【专题】算法和程序框图．【分析】根据秦九韶算法先别多项式进行改写，然后进行计算即可．【解答】解：根据秦九韶算法，把多项式改成如下形式解：f（x）=7x7+0x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x+1=（（（（（（7x+0）x+5）x+4）x+3）x+2）x+1）x+1 当x=2时，v1=7×2+0=14，v2=14×2+5=33，v3=33×2+4=70，故答案为：70【点评】本题主要考查秦九韶算法的应用，根据秦九韶算法的步骤把多项式进行改写是解决本题的关键．16．日前，广佛肇城际轨道已开通投入运营，假设轻轨列车每15分钟一班，在车站停2分钟，则乘客到达站台能立即上车的概率是．【考点】几何概型．【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计．【分析】本题是一个几何概型，试验发生包含的事件是轻轨列车每15分钟一班，共有15分钟，满足条件的事件是乘客到达站台立即乘上车，只有2分钟，根据概率等于时间长度之比，得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的事件是轻轨列车每15分钟一班，共有15分钟满足条件的事件是乘客到达站台立即乘上车，只要2分钟，记“乘客到达站台立即乘上车”为事件A，∴事件A发生的概率P=，故答案为：．【点评】本题是一个等可能事件的概率，概率之比是时间长度之比，是一个不能列举出的事件数，是一个几何概型，注意解题的格式．三、解答题（本大题共6小题，共56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．若二进制数100y011和八进制数x03相等，求x+y的值．【考点】进位制．【专题】计算题；规律型；分类讨论；转化思想；算法和程序框图．【分析】直接利用进位制运算法则化简求解即可．【解答】解：100y011=1×26+y×23+1×2+1=67+8y，x03=x×82+3=64x+3，∴67+8y=64x+3，∵y=0或1，x可以取1、2、3、4、5、6、7，y=0时，x=1；y=1时，64x=72，无解；∴x+y=1．【点评】本题考查进位制的应用，函数与方程思想的应用，考查计算能力．18．（1）函数，编写出求函数的函数值的程序（使用嵌套式）；（2）“求的值．”写出用基本语句编写的程序（使用当型）．【考点】绘制简单实际问题的流程图．【专题】算法和程序框图．【分析】（1）根据题目已知中分段函数的解析式，根据分类标准，设置两个选择语句的并设置出判断的条件，再由函数各段的解析式，确定判断条件的“是”与“否”分支对应的操作，由此即可编写满足题意的程序．（2）这是一个累加求和问题，共99项相加，可设计一个计数变量，一个累加变量，用循环结构实现这一算法．【解答】解：（1）INPUT“x=”；xIF x＞=0 and x＜=4 THENy=2*xELSE IF x＜=8 THENy=8ELSEy=2*（12﹣x）END IFEND IFPRINT yEND …（2）．S=0K=1DOs=s+1/k（k+1）k=k+1LOOP UNTIL k＞99PRINT sEND …【点评】本题考查了设计程序框图解决实际问题，（1）主要考查编写程序解决分段函数问题．（2）主要考查利用循环结构进行累加．19．在某幼儿园的美术课上，老师带领小朋友用水彩笔为本子上两个大小不同的气球涂色，要求一个气球只涂一种颜色，两个气球分别涂不同的颜色．小朋友豆豆可用的有暖色系水彩笔红色、橙色各一支，冷色系水彩笔绿色、蓝色、紫色各一支．（1）豆豆从他可用的五支水彩笔中随机取出两支按老师要求给气球涂色，求两个气球同为冷色的概率．（2）一般情况下，老师发出开始指令到涂色活动全部结束需要10分钟，豆豆至少需要2分钟完成该项任务．老师发出开始指令1分钟后随时可能来到豆豆身边查看涂色情况．求当老师来到豆豆身边时，豆豆已经完成任务的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；简单线性规划．【专题】概率与统计．【分析】（1）由题意得到两个气球共20种涂色方案，其中有6种全冷色方案．由此能求出两个气球同为冷色的概率为；（2）老师发出开始指令起计时，设豆豆完成任务的时刻为x，老师来到豆豆身边检查情况的时刻为y，利用几何概率能求出老师来到豆豆身边时豆豆完成任务的概率．【解答】答案：（1）如下表格，假设非同冷色为1，同为冷色为2，红色橙色绿色蓝色紫色红色0 1 1 1 1橙色1 0 1 1 1绿色1 1 0 2 2蓝色1 1 2 0 2紫色1 1 2 2 0易知两个气球共20种涂色方案，其中有6种全冷色方案，故所求概率为：．（2）老师发出开始指令起计时，设豆豆完成任务的时刻为x，老师来到豆豆身边检查情况的时刻为y，则由题有…式①，若当老师来到豆豆身边时豆豆已经完成任务，则…式②，如图所示，所求概率为几何概型，阴影部分（式②）面积为×（10﹣2）×（10﹣2）=32，可行域（式①）面积为（10一1）×（10﹣2）=72，所求概率为．【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意可行域的合理运用．20．已知集合A=[﹣2，2]，B=[﹣1，1]，设M={（x，y）|x∈A，y∈B}，在集合M内随机取出一个元素（x，y）．（1）求以（x，y）为坐标的点落在圆x2+y2=1内的概率；（2）求以（x，y）为坐标的点到直线x+y=0的距离不大于的概率．【考点】几何概型．【专题】概率与统计．【分析】（1）画出区域，其面积表示所有基本事件，此圆x2+y2=1的面积表示满足条件的基本事件，所求为面积比；（2）由以（x，y）为坐标的点到直线x+y=0的距离不大于，求出x，y满足的关系，得到区域面积，求面积比．【解答】解：（1）由题意，画出区域，如图，所求概率满足几何概型，所以所求为圆的面积与矩形面积比，所以以（x，y）为坐标的点落在圆x2+y2=1内的概率为；（2）由以（x，y）为坐标的点到直线x+y=0的距离不大于，所以，即|x+y|≤1，满足条件的事件是图中阴影部分，所以以（x，y）为坐标的点到直线x+y=0的距离不大于的概率为．【点评】本题考查了几何概型的概率求法，关键是将所求的概率利用基本事件的集合度量即区域的长度或者面积或者体积表示，求比值．21．运行如图所示的程序框图，当输入实数x的值为﹣1时，输出的函数值为2；当输入实数x的值为3时，输出的函数值为7．（Ⅰ）求实数a，b的值；并写出函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求满足不等式f（x）＞1的x的取值范围．【考点】程序框图．【专题】综合题；算法和程序框图．【分析】（I）算法的功能是求f（x）=的值，根据输入实数x的值为﹣1时，输出的函数值为2；当输入实数x的值为3时，输出的函数值为7求得a、b；（II）分别在不同的段上求得函数的值域，再求并集．【解答】解：（Ⅰ）由程序框图知：算法的功能是求f（x）=的值，∵输入x=﹣1＜0，输出f（﹣1）=﹣b=2，∴b=﹣2．∵输入x=3＞0，输出f（3）=a3﹣1=7，∴a=2．∴．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：①当x＜0时，f（x）=﹣2x＞1，∴；②当x≥0时，f（x）=2x﹣1＞1，∴x＞1．综上满足不等式f（x）＞1的x的取值范围为或x＞1}．【点评】本题借助考查选择结构程序框图，考查了分段函数求值域，解题的关键是利用程序框图求得分段函数的解析式．22．为调查我校学生的用电情况，学校后勤部门组织抽取了100间学生宿舍某月用电量调查，发现每间宿舍用电量都在50度到350度之间，其频率分布直方图如图所示．（1）为降低能源损耗，节约用电，学校规定：每间宿舍每月用电量不超过200度时，按每度0.5元收取费用；超过200度，超过部分按每度1元收取费用．以t表示某宿舍的用电量（单位：度），以y表示该宿舍的用电费用（单位：元），求y与t的函数关系式？（2）求图中月用电量在（200，250]度的宿舍有多少间？（3）在直方图中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，宿舍用电量落入该区间的频率作为宿舍用电量取该区间中点值的频率（例如：若t∈[150，200），则取t=175，且t=175发生的频率等于落入[150，200）的频率），试估计我校学生宿舍的月均用电费用．【考点】频率分布直方图．【专题】应用题；概率与统计．【分析】（1）按分段函数求出宿舍的用电费用函数；（2）利用频率=，计算对应的频数即可；（3）利用频率分布直方图估算我校学生宿舍的月均用电费用是多少．【解答】解：（1）根据题意，得；当0≤t≤200时，用电费用为y=0.5x；当t＞200时，用电费用为y=200×0.5+（t﹣200）×1=t﹣100；综上：宿舍的用电费用为y=；（2）∵月用电量在（200，250]度的频率为50x=1﹣（0.0060+0.0036+0.0024+0.0024+0.0012）×50=1﹣0.0156×50=0.22，∴月用电量在（200，250]度的宿舍有100×0.22=22（间）；（3）估计我校学生宿舍的月均用电费用为75×0.0024×50+125×0.0036×50+175×0.0060×50+225×0.22+275×0.0024×50+325×0.0012×50=186（度）．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了利用直方图求平均数的应用问题，是基础题目．。

贵州省遵义市2019-2020年度高一下学期数学期中考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2016·四川理) 设直线l1 ， l2分别是函数f（x）= 图象上点P1 ， P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1 ， l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是（）A . （0，1）B . （0，2）C . （0，+∞）D . （1，+∞）2. （2分） (2020高一下·滦县期中) 在中，已知，，，则此三角形的情况为（）A . 无解B . 只有一解C . 有两解D . 解的个数不确定3. （2分） (2020高一下·滦县期中) 不等式的解集为（）A . 或B .C . 或D .4. （2分） (2020高一下·滦县期中) 设等比数列的前n项和为，且，则（）A . 255B . 375C . 250D . 2005. （2分） (2020高一下·滦县期中) 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则等于（）A .B .C .D . 16. （2分）已知等差数列中，，则的值是（）A . 15B . 30C . 31D . 647. （2分） (2019高二上·辽宁月考) 已知等比数列满足，且，则当时，（）A .B .C .D .8. （2分） (2020高一下·滦县期中) 设，若是的等比中项，则的最小值为（）A . 8B .C . 1D . 49. （2分） (2020高一下·滦县期中) 满足约束条件，若取得最大值的最优解不唯一，则实数的值为（）A . 或-1B . 2或C . 2或1D . 2或-110. （2分） (2020高一下·滦县期中) 在等比数列中，是它的前n项和，若 , 且与的等差中项为17，则（）A .B . 16C . 15D .11. （2分） (2019高一下·杭锦后旗期中) 如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为，，此时气球的高是，则河流的宽度BC等于（）A .B .C .D .12. （2分）已知为等差数列，，以表示的前n项和，则使得达到最大值的n是（）A . 21B . 20C . 19D . 18二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）以下说法正确的是________．（填写所有正确的序号）①若两非零向量，若，则的夹角为锐角；②若，则，反之也对；③在中，若，则，反之也对；④在锐角中，若，则14. （1分）(2020·定远模拟) 在锐角中，角A、B、C所对的边分别为，且A、B、C成等差数列，，则面积的取值范围是________．15. （1分） (2020高一下·滦县期中) 在中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，若，，则的最大值为________16. （1分）设是数列的前n项和，且，，则 ________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2020高二下·石家庄期中) 已知函数f（x）=（log2x﹣2）（log4x﹣）．（1）当x∈[1，4]时，求该函数的值域；（2）若f（x）≤mlog2x对于x∈[4，16]恒成立，求m得取值范围．18. （10分）(2020高一下·滦县期中) 在中,内角A､B､C的所对的边是a､b､c,若（1）求A；（2）若 ,求的面积.19. （10分） (2019高三上·郑州期中) 已知等差数列的公差，其前项和为，若，且成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）若，证明： .20. （5分） (2020高一下·滦县期中) 某客运公司用A、B两种型号的车辆承担甲、乙两地的长途客运业务，每车每天往返一次．A、B两种型号的车辆的载客量分别是32人和48人，从甲地到乙地的营运成本依次为1500元/辆和2000元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的车队，并要求种型号的车不多于种型号的车5辆．若每天从甲地运送到乙地的旅客不少于800人，为使公司从甲地到乙地的营运成本最小，应配备A、B两种型号的车各多少辆？并求出最小营运成本．21. （15分）(2020高一下·滦县期中) 在中，，点在边上，且.（1）求角A的大小；（2）若为的中线，且，求的长；（3）若为的高，且，求证：为等边三角形.22. （10分） (2020高一下·滦县期中) 已知正项数列的前n项和为是与的等比中项.（1）求证：数列是等差数列；（2）若，数列的前n项和为，求 .参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、第11 页共11 页。

数 学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷(非选择题)两部分，共150分,考试用时120分钟。

第I 卷（选择题 共60分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题四个选项中，只有一项符合要求）1. 若集合2},8N {=<∈=a x x A ,则下列结论中正确的是A.A a ⊆}{ B 。

A a ⊆ C 。

A a ∈ D 。

A a ∉2. 已知52)1(2++=+x x x f ，则=)1(fA.1 B 。

3 C.5 D 。

83. 已知22.02.02.022log ===c b a ，，，则A 。

c b a >> B.a c b >> C 。

a b c >> D 。

c a b >>4. 若0tan <α,则下列结论一定正确是A.0sin <α B 。

02sin <α C 。

0cos <α D 。

02cos <α5. 若等差数列}{n a 的前7项之和为35，则=4aA.5B.10 C 。

15D.356. 已知两非零向量b a ,满足b a b a +=+，则 A.b a > B 。

b a = C.b a ⊥D.b a //7. 针对柱、锥、台、球，给出下列命题，其中正确的是①如果一个几何体的三视图是完全相同的，则这个几何体是正方体；②如果一个几何体的正视图和俯视图都是矩形，则这个几何体是长方体；③如果一个几何体的三视图都是矩形，则这个几何体是长方体； ④如果一个几何体的正视图和侧视图都是等腰梯形，则这个几何体是圆台.A 。

①② B.③ C.③④ D 。

①③8. 已知平面α和α外的一条直线l ，下列说法不正确的是A.若l 垂直于α内的两条平行线，则α⊥lB.若l 平行于α内的一条直线,则α//lC.若l 垂直于α内的两条相交直线，则α⊥lD 。

若l 平行于α内的无数条直线，则α//l9. 某几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积为A.610+B 。