求曲线 的切线方程的几种方法

求切线方程的三种方法宝子们，今天咱们来唠唠求切线方程的那些事儿。

这切线方程啊，就像是给曲线找到一个最亲密接触的直线小伙伴，可有意思啦。

一、利用导数求切线方程。

咱先说说这个用导数的方法。

导数这玩意儿啊，其实就是曲线在某一点的斜率。

比如说有个函数y = f(x)，咱们先求出它的导数f'(x)。

那在某一点x = a处的切线斜率k呢，就等于f'(a)。

这时候啊，我们已经知道了斜率，再知道这个点(a, f(a))在切线上，就可以用点斜式y - y₁ = k(x - x₁)来求出切线方程啦。

就像你知道一个朋友的走路速度（斜率），又知道他从哪个地方（点）出发，就能算出他走的路线（切线方程）啦。

二、设切点法。

再来说说设切点法。

有时候啊，题目没有直接告诉你切点是啥。

这时候咱就可以聪明点，设切点为(x₀, y₀)。

那这个点既在曲线上又在切线上哦。

如果曲线方程是y = f(x)，那y₀ = f(x₀)。

然后呢，求出函数在x₀处的导数f'(x₀)，这就是切线的斜率啦。

再根据点斜式写出切线方程y - y₀ = f'(x₀)(x - x₀)。

这就像是在玩一个猜谜游戏，我们先假设一个神秘的点（切点），然后通过各种线索（曲线方程和导数）来找出这个切线方程这个宝藏呢。

三、利用已知切线方程的形式来求。

还有一种方法呢，就是利用已知切线方程的形式。

比如说对于圆的方程(x - a)²+(y - b)² = r²，在点(x₁, y₁)处的切线方程是(x₁ - a)(x - a)+(y₁ - b)(y - b)= r²。

对于椭圆、双曲线等一些特殊的曲线也有类似的固定形式的切线方程哦。

这就像是有个小秘籍一样，直接套用这个形式就能求出切线方程啦。

就好比你有一把万能钥匙，遇到特定的锁（特殊曲线在某点的切线），直接一插就能打开（求出切线方程）啦。

宝子们，这三种求切线方程的方法是不是很有趣呀？只要多练练，你就能在求切线方程这个小天地里畅游无阻啦。

切线方程知识点归纳总结
1. 切线的定义:
切线是在某一点与曲线相切,且只与曲线在该点相交的直线。

2. 求曲线在某一点的切线方程的一般步骤:
(1) 求出曲线在该点的导数,即切线斜率;
(2) 将切线斜率和该点的坐标代入直线方程y-y0=k(x-x0)即可得到切线方程。

3. 常见曲线的切线方程:
(1) 直线: y=kx+b,切线方程为y-y0=k(x-x0)
(2) 圆: (x-a)^2+(y-b)^2=r^2,切线方程为y-y0=k(x-x0),其中k=-(x0-
a)/(y0-b)
(3) 抛物线: y=ax^2+bx+c,切线方程为y-y0=2a(x-x0)(x0+b/2a)
(4) 双曲线: xy=c,切线方程为y(x0)-x(y0)=c
(5) 指数函数: y=a^x,切线方程为y-y0=y0ln(a)(x-x0)
(6) 对数函数: y=ln(x),切线方程为y-y0=1/x0(x-x0)
4. 切线的几何意义:
切线是曲线在某一点的切向直线,它的斜率就是曲线在该点的导数。

切线可以用来近似曲线在该点附近的变化情况。

5. 切线与曲线的关系:
切线只与曲线在一点相交,在该点处有相同的斜率。

当曲线在某点
可导时,该点处一定存在切线。

以上是关于切线方程的主要知识点总结,需要掌握切线的定义、求取方法、常见曲线切线方程形式以及切线的几何意义等内容。

求空间曲线在一点处的切线方程和法平面方程空间曲线的切线方程和法平面方程是研究空间曲线上某一点处几何性质的重要工具。

本文将介绍关于求解空间曲线的切线方程和法平面方程的基本原理和方法。

1. 空间曲线的切线方程设空间曲线为C，参数方程为：x = f(t)y = g(t)z = h(t)要求曲线在某一点P(t0)处的切线方程，可以通过以下步骤进行求解：（1）计算曲线在P(t0)处的切向量。

在曲线上选取一点P(t0)，将参数t作适当的微小变化dt，得到曲线上另一点P(t0+dt)。

连接P(t0)和P(t0+dt)两点，得到曲线上的一小段切线段。

切向量是切线段的方向矢量，表示曲线在该点的切线的方向。

切向量的计算公式为：T = lim(dt→0) (P(t0+dt) - P(t0)) / dt（2）确定切线方向向量。

切线方向向量与切向量相同，方向与曲线的切线一致。

所以切线方向向量T即为切线向量。

（3）确定切线点坐标。

将参数t赋值为t0，得到切线过点P(t0)的坐标。

（4）写出切线方程。

以切线点为起点，以切线方向向量为方向，可得到切线方程的一般形式：(x - x0) / a = (y - y0) / b = (z - z0) / c其中，(x0, y0, z0) 为切线点坐标，(a, b, c)为切线方向向量。

2. 空间曲线的法平面方程设空间曲线为C，参数方程为：x = f(t)y = g(t)z = h(t)要求曲线在某一点P(t0)处的法平面方程，可以通过以下步骤进行求解：（1）计算曲线在P(t0)处的切向量。

切向量T已在求解切线方程时计算过。

（2）确定法平面的法向量。

法向量是垂直于切线向量的向量，在二维平面上与切线方向向量一致，在三维空间中由切线向量和一般的纵轴方向共同确定。

可以通过叉乘计算得到法向量：N = T × (0, 0, 1) 或 N = (0, 0, 1) × T其中，×表示向量的叉乘运算。

高数中求曲线的切线方程
在高等数学中，我们经常需要求曲线的切线方程。

给定一个曲线和一个点，我们要找出这个点处的切线方程。

假设曲线方程为 y = f(x)，给定的点为 (x0, y0)。

切线的斜率就是函数在该点的导数。

所以，首先我们需要求出函数 f(x) 在 x0 处的导数。

然后，使用点斜式方程 y - y0 = m(x - x0) 来求切线方程，其中 m 是斜率。

用数学公式表示，我们有：
1.导数 f'(x0) = lim (x->x0) [f(x) - f(x0)] / (x - x0)
2.切线方程为 y - y0 = f'(x0) * (x - x0)
现在我们要来解这个问题，给定一个具体的曲线和点，求出切线方程。

计算结果为：切线斜率 m = 0
所以，给定点 (x0, y0) 处的切线方程为：y0。

过一点求曲线的切线方程的三种类型舒云水过一点求曲线的切线方程有三种不同的类型，下面举例说明﹒1.已知曲线)(x f y =上一点))(,(00x f x P ，求曲线在该点处的切线方程﹒这是求曲线的切线方程的基本类型，课本上的例、习题都是这种类型﹒其求法为：先求出函数)(x f 的导数)(x f '，再将0x 代入)(x f '求出)(0x f '，即得切线的斜率，后写出切线方程)(0x f y -=)(0x f ')(0x x -，并化简﹒例1 求曲线33)(23+-=x x x f 在点)1,1(P 处的切线方程﹒解：由题设知点P 在曲线上，∵x x y 632-='，∴曲线在点)1,1(P 处的切线斜率为3)1(-='f ，所求的切线方程为)1(31--=-x y ，即43+-=x y ﹒2. 已知曲线)(x f y =上一点))(,(11x f x A ，求过点A 的曲线的切线方程﹒这种类型容易出错，一般学生误认为点A 一定为切点，事实上可能存在过点A 而点A 不是切点的切线，如下面例2，这不同于以前学过的圆、椭圆等二次曲线的情况，要引起注意，这类题型的求法为：设切点为))(,(00x f x P ，先求出函数)(x f 的导数)(x f '，再将0x 代入)(x f '求出)(0x f '，即得切线的斜率（用0x 表示），写出切线方程)(0x f y -=)(0x f ')(0x x -，再将点A 坐标),(11y x 代入切线方程得)(01x f y -=)(0x f ')(01x x -，求出0x ，最后将0x 代入方程)(0x f y -=)(0x f ')(0x x -求出切线方程﹒例2 求过曲线x x y 23-=上的点)1,1(-的切线方程﹒解：设切点为点)2,(0300x x x -，232-='x y ，切线斜率为2320-x ， 切线方程为))(23()2(020030x x x x x y --=--﹒又知切线过点)1,1(-，把它代入上述方程，得)1)(23()2(100030x x x x --=---﹒解得10=x ，或210-=x ﹒所求切线方程为)1)(23()21(--=--x y ，或)21)(243()181(+-=+--x y ，即02=--y x ，或0145=-+y x ﹒上面所求出的两条直线中，直线02=--y x 是以)1,1(-为切点的切线，而切线0145=-+y x 并不以)1,1(-为切点，实际上它是经过了点)1,1(-且以)87,21(-为切点的直线，如下图所示﹒这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点﹒3. 已知曲线)(x f y =外一点))(,(11x f x A ，求过点A 作的曲线的切线方程﹒这种类型的题目的解法同上面第二种类型﹒例 3 过原点O 作曲线6324+-=x x y 的切线，求切线方程﹒（2009年全国卷Ⅰ文21题改编 ）解：由题设知原点O 不在曲线上，设切点坐标为P )63,(20400+-x x x ， x x y 643-='，切线斜率为（03064x x -），切线方程为：))(64()63(00302040x x x x x x y --=+--﹒ 又知切线过点)0,0(，把它代入上述方程，得))(64()63(000302040x x x x x --=+--﹒ 整理得：0)2)(1(2020=-+x x ﹒ 解得20-=x ，或20=x ﹒ 所求切线方程为：x y 22-=或x y 22=﹒练习：1.求曲线14)(23+-=x x x f 在点)2,1(-P 处的切线方程﹒2. 求过曲线34313+=x y 上的点)4,2(的切线方程﹒3.过点)2,0(作抛物线12++-=x x y 的切线，求切线方程﹒ 答案：1.035=-+y x ；2.044=--y x 或02=+-y x ；3.023=+-y x 或02=--y x ﹒。

求曲线在某点的切线方程方法引言在数学和物理学中，研究曲线的切线是很常见的问题。

切线可以帮助我们了解曲线的局部特征和性质，它在微积分、力学和工程学等领域中都有广泛的应用。

本文将介绍一些常见的方法来求解曲线在某点的切线方程。

切线的定义在数学中，曲线上某点的切线可以被定义为通过该点并且与曲线在该点附近重合的直线。

切线的斜率即为曲线在该点的导数。

方法一：求导法一种常见的方法是使用导数来求解曲线在某点的切线方程。

设曲线的方程为y=f(x)，我们要求解曲线在点(x0,y0)处的切线方程。

1.首先求曲线的导数f'(x)。

2.将点(x0,y0)带入导数函数，求出导数的值f'(x0)。

3.使用切线方程的一般形式y-y0=f'(x0)(x-x0)，将(x0,y0)和f'(x0)代入，得到切线方程。

方法二：斜率和点法另一种常用的方法是使用斜率和已知点来求解切线方程。

同样假设曲线的方程为y=f(x)，我们要求解曲线在点(x0,y0)处的切线方程。

1.计算曲线在点(x0,y0)处的斜率，即f'(x0)。

2.使用点斜式切线方程y-y0=f'(x0)(x-x0)，将(x0,y0)和f'(x0)代入，得到切线方程。

方法三：曲线近似法第三种方法是使用曲线的近似来求解切线方程。

此方法适用于那些难以计算导数的曲线。

1.在点(x0,y0)处取曲线的一个非常小的线段，该线段基本上与切线重合。

2.使用线性函数来拟合这个线段，得到近似切线方程。

方法四：参数法对于参数方程表示的曲线，我们可以使用参数法来求解切线方程。

假设曲线的参数方程为x=f(t)，y=g(t)，我们要求解曲线在参数值t0处的切线方程。

1.计算参数值t0对应的点的坐标(x0,y0)。

2.求解参数方程的导数dx/d t和dy/dt。

3.使用点斜式切线方程y-y0=(dy/d t)/(dx/d t)(x-x0)，将(x0,y0)、dx/d t和d y/dt代入，得到切线方程。

用导数求切线方程的四种类型在微积分中，切线是曲线上某一点的切线。

通过使用导数，我们可以求解给定曲线上某一点的切线方程。

在本文中，我们将探讨四种使用导数求解切线方程的常见类型。

1. 曲线方程已知的情况首先，我们考虑的是当曲线方程已知时求解切线方程的情况。

假设我们有一个曲线y=f(x)，其中f(x)是一个可导函数。

要求解曲线上某一点(x1,y1)处的切线方程，我们可以执行以下步骤：1.计算函数f(x)在点(x1,y1)处的导数f′(x1)。

2.使用点斜式或一般式等方程形式得到切线方程。

点斜式切线方程的一般形式为y−y1=m(x−x1)，其中m是斜率。

一般式切线方程的一般形式为ax+by=c，其中a,b,c是常数。

2. 给定两个点的情况其次，我们考虑的是当曲线上两个点已知时求解切线方程的情况。

与上一种情况不同，我们不知道曲线的具体方程，但我们已知曲线上的两个点(x1,y1)和(x2,y2)。

为了求解这种情况下的切线方程，我们可以按照以下步骤进行：1.使用点斜式求解斜率。

2.写出点斜式的一般方程形式y−y1=m(x−x1)。

3.将另一个点(x2,y2)替代初始点(x1,y1)。

4.解方程得出切线方程。

3. 已知切线方程的情况接下来，我们讨论已知切线方程的情况。

假设我们已经知道了曲线上某一点处的切线方程，我们的目标是求解曲线方程。

我们可以按照以下步骤进行操作：1.确定切线方程的斜率m。

2.使用导数的定义f′(x)=m来设置方程。

3.解方程以获得曲线方程。

4. 求解切线与坐标轴的交点最后，我们研究切线与坐标轴相交的情况。

为了求解切线与x轴和y轴的交点，我们可以按照以下步骤进行：1.求解切线与x轴的交点：将y值设为0，然后解方程得到x坐标的值。

2.求解切线与y轴的交点：将x值设为0，然后解方程得到y坐标的值。

通过上述四种类型的方法，我们可以使用导数来求解切线方程。

这些方法在解决微积分问题以及实际问题中的应用非常广泛。

用导数求切线方程的四种类型求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00()P x y ，及斜率，其求法为：设00()P x y ，是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(())P x f x ，的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．下面例析四种常见的类型及解法． 类型一：已知切点，求曲线的切线方程此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可．例1 曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程为（ ） Ａ．34y x =- Ｂ．32y x =-+ Ｃ．43y x =-+ Ｄ．45y x =- 1解：由2()36f x x x '=-则在点(11)-，处斜率(1)3k f '==-，故所求的切线方程为(1)3(1)y x --=--，即32y x =-+，因而选Ｂ．练习：1．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( )/A ．不存在B ．与x 轴平行或重合C ．与x 轴垂直D ．与x 轴斜交答案 B 2.已知函数y ＝f (x )的图像如右图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )>f ′(xB ) B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定!答案 B2．曲线y ＝－2x 2＋1在点(0,1)处的切线的斜率是( )A ．－4B ．0C ．4D ．不存在答案 B10．已知曲线y ＝2x 3上一点A (1,2)，则A 处的切线斜率等于( ) A ．2B ．4C ．6＋6·Δx ＋2·(Δx )2D ．6答案 D4．函数y ＝sin 2x 的图像在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，14处的切线的斜率是( )？答案 D分析 将函数y ＝sin 2x 看作是由函数y ＝u 2，u ＝sin x 复合而成的． 解析 ∵y ′＝2sin x cos x ， ∴y ′|x ＝π6＝2sin π6cos π6＝322．曲线y ＝13x 3－2在点(－1，－73)处切线的倾斜角为( ) A ．30° B ．45° C ．135° D ．60°答案 B,6．y ＝x 3的切线倾斜角的范围为________．答案 [0，π2) 解析 k ＝y ′＝3x 2≥0.8．设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，点P 处切线倾斜角为α，则角α的取值范围是( )∪⎝ ⎛⎭⎪⎫56π，π ∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫23π，π 答案 D解析 由y ′＝3x 2－3，易知y ′≥－3，即tan α≥－ 3. ∴0≤α<π2或23π≤α<π.^14．已知曲线C ：y ＝x 3，求在曲线C 上横坐标为1的点处的切线方程．解析 将x ＝1代入曲线C 的方程得y ＝1，∴切点P (1,1)． ∵y ′＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0x ＋Δx3－x 3Δx＝lim Δx →03x 2Δx ＋3xΔx 2＋Δx3Δx＝lim Δx →0[3x 2＋3xΔx ＋(Δx )2]＝3x 2，∴y ′|x ＝1＝3.∴过P 点的切线方程为y －1＝3(x －1)， 即3x －y －2＝0.14．求曲线y ＝sin x 在点A (π6，12)处的切线方程．》解析 ∵y ＝sin x ，∴y ′＝cos x .∴y ′|x ＝π6＝cos π6＝32，k ＝32. ∴切线方程为y －12＝32(x －π6)． 化简得63x －12y ＋6－3π＝0.6．曲线y ＝xx －2在点(1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝x －2B ．y ＝－3x ＋2C ．y ＝2x －3D ．y ＝－2x ＋1答案 D例3 求曲线y ＝1x 2－3x在点(4，12)处的切线方程．【思路分析】 将函数变形为y ＝(x 2－3x )－12，将其看做是由函数y ＝u －12、u ＝x 2－3x 复合而成．:【解析】 ∵y ＝1x 2－3x＝(x 2－3x )－12，∴y ′＝－12(x 2－3x )－32·(x 2－3x )′ ＝－12(x 2－3x )－32·(2x －3)．∴曲线y ＝1x 2－3x 在点(4，12)处的切线斜率为k ＝y ′|x ＝4＝－12(42－3×4)－32·(2×4－3)＝－516.∴曲线在点(4，12)处的切线方程为 y －12＝－516(x －4)，即5x ＋16y －28＝0.探究3 本题不要将函数y ＝1x 2－3x 看做是由y ＝1u ，u ＝v ，v＝x 2－3x 三个函数复合而成的，这样求导就麻烦了．思考题3 (1)曲线y ＝3x 2＋1在点(1,2)处的切线方程为__________________． |【答案】 3x －2y ＋1＝0(2)y ＝11－x 2的水平切线方程是________． 【解析】 令y ′＝0，得x ＝0，∴y ＝1.12．求曲线y ＝2x －x 3在点(－1，－1)处的切线的方程及此切线与x 轴、y 轴所围成的平面图形的面积．答案 x ＋y ＋2＝0；28．曲线y ＝e 12 x在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )e 2 B ．4e 2 C ．2e 2 D ．e 2答案 D解析 ∵y ′＝12·e 12 x，#∴切线的斜率k ＝y ′|x ＝4＝12e 2.∴切线方程为y －e 2＝12e 2(x －4)．∴横纵截距分别为2，－e 2，∴S ＝e 2，故选D.11．已知函数y ＝f (x )的图像在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________.答案 3解析 f ′(1)＝12，f (1)＝12×1＋2＝52，∴f (1)＋f ′(1)＝3. 5．如图是函数f (x )及f (x )在点P 处切线的图像，则f (2)＋f ′(2)＝________.答案 98(解析 由题图知，切线方程为x4＋错误!＝1，f (2)＝·(1－24)＝94， f ′(2)＝－错误!＝－错误!. ∴f (2)＋f ′(2)＝94－98＝98.类型二：已知斜率，求曲线的切线方程此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决． 例2 与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程是（ ）Ａ．230x y -+= Ｂ．230x y --= Ｃ．210x y -+=Ｄ．210x y --=2 解：设00()P x y ，为切点，则切点的斜率为0022x xy x ='==|．01x =∴．由此得到切点(11)，．故切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=，故选Ｄ．￥评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用∆法加以解决，即设切线方程为2y x b =+，代入2y x =，得220x x b --=，又因为0∆=，得1b =-，故选Ｄ．练习：3．曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为3，则点P 的坐标为( ) A ．(－2，－8) B ．(1,1)，(－1，－1) C ．(2,8) D ．(－12，－18)答案 B13．若曲线y ＝2x 3上某点切线的斜率等于6，求此点的坐标． 解析 ∵y ′|x ＝x 0＝lim Δx →02x 0＋Δx 3－2x 30Δx＝6x 20， ∴6x 20＝6.∴x 0＝±1.故(1,2)，(－1，－2)为所求．3．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( ) —A ．3B ．2C ．1答案 A解析 y ′＝12x －31x ，由12x －3x ＝12.得x ＝3或x ＝－2.由于x >0，所以x ＝3.3．已知曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为2x ＋y ＋1＝0，那么( )A ．f ′(x 0)＝0B ．f ′(x 0)<0C ．f ′(x 0)>0D ．f ′(x 0)不能确定答案 B5．如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( ) }A ．f ′(x 0)>0B ．f ′(x 0)<0C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)不存在答案 B7．在曲线y ＝x 2上切线的倾斜角为π4的点是( )A ．(0,0)B ．(2,4)C ．(14，116)D ．(12，14)答案 D2．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( )A ．4x －y －3＝0B ．x ＋4y －5＝0C ．4x －y ＋3＝0D ．x ＋4y ＋3＝0&答案 A解析 ∵l 与直线x ＋4y －8＝0垂直， ∴l 的斜率为4.∵y ′＝4x 3，∴由切线l 的斜率是4，得4x 3＝4，∴x ＝1. ∴切点坐标为(1,1)．∴切线方程为y －1＝4(x －1)， 即4x －y －3＝0.故选A.11．已知P (－1,1)，Q (2,4)是曲线y ＝x 2上的两点，则与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程是________．答案 4x －4y －1＝0解析 k ＝4－12－－1＝1，又y ′＝2x ，,令2x ＝1，得x ＝12，进而y ＝14，∴切线方程为y －14＝1·(x －12)， 即4x －4y －1＝0.13．如果曲线y ＝x 2＋x －3的某一条切线与直线y ＝3x ＋4平行，求切点坐标与切线方程．答案 切点坐标为(1，－1)，切线方程为3x －y －4＝013．曲线y ＝x 3＋3x 2＋6x －10的切线中，斜率最小的切线方程为______________．答案 3x －y －11＝0解析 y ′＝3x 2＋6x ＋6＝3(x ＋1)2＋3≥3，当且仅当x ＝－1时取等号，当x ＝－1，时y ＝－14. ∴切线方程为y ＋14＝3(x ＋1)，即3x －y －11＝0.|9．设直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b 的值为________．答案 ln2－14．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( )A ．1 C ．－12 D ．－1答案 A14．设曲线y ＝e ax 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝________.答案 2解析 由题意得y ′＝a e ax ，y ′|x ＝0＝a e a ×0＝2，a ＝2.10．函数f (x )＝a sin ax (a ∈R )的图像过点P (2π，0)，并且在点P 处的切线斜率为4，则f (x )的最小正周期为( ) -A ．2πB ．π答案 B解析 f ′(x )＝a 2cos ax ，∴f ′(2π)＝a 2cos2πa . 又a sin2πa ＝0，∴2πa ＝k π，k ∈Z . ∴f ′(2π)＝a 2cos k π＝4，∴a ＝±2. ∴T ＝2π|a |＝π.6．曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是( )B ．25C ．3 5D ．0|答案 A解析 y ′＝22x －1＝2，∴x ＝1.∴切点坐标为(1,0)．由点到直线的距离公式，得d ＝|2×1－0＋3|22＋12＝ 5. 19．曲线y ＝x (x ＋1)(2－x )有两条平行于y ＝x 的切线，则两切线之间的距离为________．答案 16272解析 y ＝x (x ＋1)(2－x )＝－x 3＋x 2＋2x ，y ′＝－3x 2＋2x ＋2，令－3x 2＋2x ＋2＝1，得 x 1＝1或x 2＝－13.∴两个切点分别为(1,2)和(－13，－1427)． 切线方程为x －y ＋1＝0和x －y －527＝0.—∴d ＝|1＋527|2＝16227.类型三：已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．6．下列说法正确的是( )A ．曲线的切线和曲线有交点，这点一定是切点B ．过曲线上一点作曲线的切线，这点一定是切点C ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处无切线D ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)不一定存在 答案 D 例3 |例4求过曲线32y x x =-上的点(11)-，的切线方程．3解：设想00()P x y ，为切点，则切线的斜率为02032x xy x ='=-|．∴切线方程为2000(32)()y y x x x -=--．320000(2)(32)()y x x x x x --=--．又知切线过点(11)-，，把它代入上述方程，得3200001(2)(32)(1)x x x x ---=--．解得01x =，或012x =-．故所求切线方程为(12)(32)(1)y x --=--，或13112842y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+=-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即20x y --=，或5410x y +-=．评注：可以发现直线5410x y +-=并不以(11)-，为切点，实际上是经过了点(11)-，且以1728⎛⎫- ⎪⎝⎭，为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，解决此类问题可用待定切点法． 练习：类型四：已知过曲线外一点，求切线方程此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解． 例4 、例5求过点(20)，且与曲线1y x=相切的直线方程．4解：设00()P x y ，为切点，则切线的斜率为0201x xy x ='=-|．∴切线方程为00201()y y x x x -=--，即020011()y x x x x -=--． 又已知切线过点(20)，，把它代入上述方程，得02011(2)x x x -=--． 解得000111x y x ===，，即20x y +-=． 评注：点(20)，实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，充分反映出待定切点法的高效性例5 已知函数33y x x =-，过点(016)A ，作曲线()y f x =的切线，求此切线方程．5解：曲线方程为33y x x =-，点(016)A ，不在曲线上． 设切点为00()M x y ，，则点M的坐标满足30003y x x =-．因200()3(1)f x x '=-，！故切线的方程为20003(1)()y y x x x -=--．点(016)A ，在切线上，则有32000016(3)3(1)(0)x x x x --=--． 化简得308x =-，解得02x =-．所以，切点为(22)M --，，切线方程为9160x y -+=．评注：此类题的解题思路是，先判断点A 是否在曲线上，若点A 在曲线上，化为类型一或类型三；若点A 不在曲线上，应先设出切点并求出切点．练习：17．已知曲线方程为y ＝x 2，求过A (3,5)点且与曲线相切的直线方程．解析 解法一 设过A (3,5)与曲线y ＝x 2相切的直线方程为y －5＝k (x －3)，即y ＝kx ＋5－3k .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋5－3k y ＝x 2，得x 2－kx ＋3k －5＝0.#Δ＝k 2－4(3k －5)＝0，整理得(k －2)(k －10)＝0. ∴k ＝2或k ＝10. 所求的直线方程为2x －y －1＝0,10x －y －25＝0.解法二 设切点P 的坐标为(x 0，y 0)， 由y ＝x 2，得y ′＝2x .∴y′|x＝x0＝2x0.由已知kPA＝2x0，即5－y03－x0＝2x0.又y0＝2x0，代入上式整理，得x0＝1或x0＝5.{18．已知曲线S：y＝3x－x3及点P(2,2)，则过点P可向S引切线，其切线条数为()A．0 B．1C．2 D．3答案D解析显然P不在S上，设切点为(x0，y0)，由y′＝3－3x2，得y′|x＝x0＝3－3x20.切线方程为y－(3x0－x30)＝(3－3x20)(x－x0)．∵P(2,2)在切线上，∴2－(3x0－x30)＝(3－3x20)(2－x0)，即x30－3x20＋2＝0.—∴(x0－1)(x20－2x0－2)＝0.由x0－1＝0，得x0＝1.由x20－2x0－2＝0，得x0＝1± 3.∵有三个切点，∴由P向S作切线可以作3条．综合练习：10．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)等于()A．0 B．－4C．－2 D．2答案B'解析 f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，令x ＝1，得f ′(1)＝2＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝－2. ∴f ′(0)＝2f ′(1)＝－4.12．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为( )A ．4B ．－14C ．2D ．－12答案 A解析 依题意得f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4，选A.,15．(1)求过曲线y ＝e x 上点P (1，e)且与曲线在该点处的切线垂直的直线方程；(2)曲线y ＝15x 5上一点M 处的切线与直线y ＝－x ＋3垂直，求此切线方程．解析 (1)∵y ′＝e x ，∴曲线在点P (1，e)处的切线斜率是y ′|x ＝1＝e. ∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为k ＝－1e . ∴所求直线方程为y －e ＝－1e (x －1)， 即x ＋e y －e 2－1＝0.(2)∵切线与y ＝－x ＋3垂直，∴切线斜率为1. 又y ′＝x 4，令x 4＝1，∴x ＝±1.∴切线方程为5x －5y －4＝0或5x －5y ＋4＝0.!4．y ＝ax 2＋1的图像与直线y ＝x 相切，则a ＝( ) D ．1答案 B解析 由已知{ y ＝ax 2＋1，y ＝x 有唯一解，即x ＝ax 2＋1，ax 2－x ＋1＝0有唯一解， ∴Δ＝1－4a ＝0，∴a ＝14.15．点P 在曲线y ＝f (x )＝x 2＋1上，且曲线在点P 处的切线与曲线y ＝－2x 2－1相切，求点P 的坐标． |解析 设P (x 0，y 0)，则y 0＝x 20＋1.f ′(x 0)＝lim Δx →0x 0＋Δx2＋1－x 20＋1Δx＝2x 0. 所以过点P 的切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)， 即y ＝2x 0x ＋1－x 20.而此直线与曲线y ＝－2x 2－1相切，所以切线与曲线y ＝－2x 2－1只有一个公共点．由{ y ＝2x 0x ＋1－x 20，y ＝－2x 2－1，得2x 2＋2x 0x ＋2－x 20＝0.即Δ＝4x 20－8(2－x 20)＝0.解得x 0＝±233，y 0＝73.~所以点P 的坐标为(233，73)或(－233，73)．17．若直线y ＝kx 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 相切，求k 的值． 解析 设切点坐标为(x 0，y 0)，y ′|x ＝x 0＝3x 20－6x 0＋2＝k . 若x 0＝0，则k ＝2.若x 0≠0，由y 0＝kx 0，得k ＝y 0x 0.∴3x 20－6x 0＋2＝y 0x 0，即3x 20－6x 0＋2＝x 30－3x 20＋2x 0x.解之，得x 0＝32. ∴k ＝3×(32)2－6×32＋2＝－14. 综上，k ＝2或k ＝－14.16．已知函数f (x )＝2x 3＋ax 与g (x )＝bx 2＋c 的图像都过点P (2,0)，且在点P 处有公共切线，求f (x )、g (x )的表达式． :解析 ∵f (x )＝2x 3＋ax 的图像过点P (2,0)，∴a ＝－8.∴f (x )＝2x 3－8x .∴f ′(x )＝6x 2－8.对于g (x )＝bx 2＋c 的图像过点P (2,0)，则4b ＋c ＝0. 又g ′(x )＝2bx ，∴g ′(2)＝4b ＝f ′(2)＝16. ∴b ＝4.∴c ＝－16. ∴g (x )＝4x 2－16. 综上可知，f (x )＝2x 3－8x ，g (x )＝4x 2－16.1．已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 1，l 2的方程；(2)求由直线l 1，l 2和x 轴所围成的三角形的面积．分析 (1)求曲线在某点处的切线方程的步骤：先求曲线在这点处的导数，这点对应的导数值即为过此点切线的斜率，再用点斜式写出直线方程；(2)求面积用S ＝12a ·h 即可完成． :解析 (1)因为y ′＝2x ＋1，则直线l 1的斜率k 1＝2×1＋1＝3，则直线l 1的方程为y ＝3x －3，设直线l 2过曲线y ＝x 2＋x －2上的点B (x0,y0)，因为l 1⊥l 2。

空间曲线切线方程的求法空间曲线的切线方程是指在空间中，通过曲线上一点的直线方程。

求解空间曲线的切线方程有多种方法，下面将详细介绍其中两种常用的方法。

方法一：向量法利用向量法，可以通过曲线参数方程求解切线方程。

设空间曲线的参数方程为：x = f(t)y = g(t)z = h(t)首先，我们需要求曲线上某一点的切向量。

切向量就是曲线在该点的切线方向上的单位向量。

对于参数方程，我们可以通过对各个方向求导得到切向量。

令r(t) = (x(t), y(t), z(t))为曲线上的点，则切向量T(t) =r'(t) = (x'(t), y'(t), z'(t))。

切向量的方向向量可以通过对参数方程分别求导得到。

找到切向量后，我们可以通过设定曲线上某一点的坐标，代入切向量的方程，得到切线的参数方程。

例如，假设曲线上某一点的坐标为(x0, y0, z0)，则切线的参数方程可以表示为：x = x0 + t * x'(t)y = y0 + t * y'(t)z = z0 + t * z'(t)这样，我们就可以求得空间曲线的切线方程了。

方法二：法向量法使用法向量法求解空间曲线的切线方程也是一种常见且有效的方法。

法向量与切向量是垂直的，所以如果我们能够求得曲线上某一点的法向量，就能得到切线的方程。

首先，我们可以通过对参数方程分别求导得到切向量T(t)。

接下来，我们需要求解曲线上某一点的法向量。

法向量的方向是曲线在该点的垂直方向上的单位向量。

设曲线在点P上的法向量为N，曲线的切向量为T。

因为N与T垂直，所以它们的点积等于0。

即：N·T = 0将切向量的各个分量代入上式，得到一个关于未知数t的方程。

通过求解这个方程，我们可以得到t的值。

然后，将t的值代入到曲线的参数方程中，就可以得到点P的坐标。

最后，我们可以利用曲线上某一点的坐标和法向量，通过点法式方程来表示切线的方程。