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《泛函分析》教学大纲（本科）说明1本课程的教学目的与要求本大纲适用专业为数学与应用数学专业脱产与本科。
《泛函分析》是现代教学中的一门较新的数学分支，它综合地运用分析的，代数和几何的观点、方法研究分析数学中的许多问题，由它把具体的分析问题，由于它把具体的分析问题抽象到一种更加纯粹的代数拓扑结构的形式中进行研究，因此逐步形成了综合运用代数、几何处理问题的新方法，正因为这种纯粹形式的代数，拓扑结构是根植于肥沃的经典分析和数学物理土壤之中的，所以由此发展起来的基本概念，定理和方法也就显的更为广泛，更为深刻，现在泛函分析已成为一门内容丰富，方法系统，体系完备，应用广泛的独立分支，通过该课程的学习，学生不仅能学到泛函分析的基本理论和方法，而且对学习其他数学分支以及把他应用到数理经济，现代控制论，量子场论，统计物理。
工程技术等领域有很大帮助。
2本课程的主要内容：本课程主要介绍线性泛函分析，重点介绍Banach空间最基本的几个定理，如泛函延拓，逆算子定理共鸣定理及某些具体空间泛函表示定理等，Hilbert空间几何学以及距离空间的必要知识，压缩映象原理等。
3教学重点与难点本重点是几个最基本的定理，如泛函延拓定理，逆算子定理，共鸣定理，他们也是本章的重点。
4本课程的知识范围及与相关课程的关系本课程主要可以在学完数学分析、线性代数空间、解析几何及实变函数，复变函数后学习。
5教材的选用本课程选用程其襄的《实变函数与泛变分析基础》。
6．教学学时分配本课程为一学期课程，每周４学时，总学时为７２学时，其中授课６２学时，习题课８学时，机动２学时, 函授按脱产学时的百分之四十进行面授。
教学内容第六章距离空间（２５学时）一、教学内容距离空间的概念，距离空间中开集闭集，稠密性与可分性，连续映照的概念，距离空间中完备性，及其上连续映照，具体空间收敛性、完备性判定法及不动点定理。
二、教学目的及要求要求学生掌握距离空间的一些基本概念，为后面学习打下基础。
第三章赋范空间3.1. 范数的概念“线性空间”强调元素之间的运算关系，“度量空间”则强调元素之间的距离关系，两者的共性在于：只研究元素之间的关系，不研究元素本身的属性。
为了求解算子方程，需要深入地了解函数空间的结构与性质，为此，我们不仅希望了解函数之间的运算关系和距离关系，还希望了解函数本身的属性。
那么，究竟需要了解函数的什么属性呢？3.1.1. 向量的长度为了回答上述问题，我们需要从最简单的函数空间——欧氏空间——中寻找灵感。
回想一下，三维欧氏空间中的元素被称为“向量”，向量最重要的两大属性是：长度和方向，向量的许多重要性质都是由其长度和方向所决定的。
这一章的任务就是将欧氏空间中向量的长度推广为（以函数空间为原型的）一般线性空间中元素的广义长度，下一章的任务就是将欧氏空间中向量的方向推广为（以函数空间为原型的）一般线性空间中元素的广义方向。
可以想象：其元素具有广义长度和广义方向的线性空间必将像欧氏空间那样，呈现出丰富多彩的性质，并且这些性质必将有助于求解算子方程。
图3.1.1. 三维欧氏空间中向量的大小和方向矩阵论知识告诉我们：可以为欧氏空间中的向量赋予各种各样的长度，并且可以根据问题需要来选择最合适的向量长度。
实际上，可以在数域F 上的n 维欧式空间n F 上定义向量12(,,,)n x x x x =的如下三种长度（称为“范数”）：● 2-范数（也称为欧氏范数）：2x =● 1-范数：11nk k x x ==∑；● ∞-范数：1max k k nxx ∞≤≤=。
图3.1.2. 三种向量范数对应的“单位圆” 图3.1.3. “单位圆”集合的艺术形式下一节将谈到：就分析性质而言，这三种向量范数没有任何区别。
我们注意到：通常将2或3中两个向量之间的距离定义为两者的差向量的长度。
由此可知：如果有了长度的概念，就可以诱导出距离；反之则不然。
因此，长度是比距离更本质的概念。
3.1.2. 范数的定义我们希望将向量范数的概念推广到（以函数空间为原型的）无限维线性空间的场合。
1.什么是数学，数学的内涵是什么？第一章19世纪时由恩格斯给出的定义，数学是研究现实世界的数量关系和空间形式（简称：数与形）的科学按照恩格斯所说，数与形是数学的两大基本柱石之一。
整个数学都是由此提炼、演变与发展起来的。
20世纪初的定义，数学是研究模式与秩序的科学,数学研究的基本对象是各种各样的集合以及在它们上面赋予的各种结构。
一、对数学进行分类（1）从纵向划分：初等数学和古代数学；变量数学；近代数学；现代数学。
（2）从横向划分：基础数学（理论、纯粹数学）（代数、几何、分析，三大分支）应用数学；计算数学；概率统计；运筹与控制论。
二、数学的独特思考方式分类化归类比抽象化符号化公理化最优化模型化三、1近代数学的特征：分析的严密化;代数的抽象化;几何的非欧化。
2现代数学的六大特征从单变量到多变量，从低维到高维；从线性到非线性；从局部到整体，从简单到复杂；从连续到间断，从稳定到分岔；从精确到模糊；计算机的应用。
四、现代对数学的认识数学即包括数学思维，数学文化，数学素质。
（1）数学思维：一种能够通过分析、类比等方法从众多的事物现象中归纳出其共性和本质性的抽象性思维，一种能够从已知事理中推知未知事理的逻辑性思维，一种敢于突破常规、勇于创新的创造性思维，一种用数学方法模拟与验证现实世界的模式化思维。
（2）数学文化：现代科技文化的核心，是现代科技的形式语言，是理性主义观念。
（3）数学素质：是具有“数学思维”能力和运用数学思想方法解决实际问题的能力的一种特殊素质。
五、现代数学的三大趋势：分支多、交叉多交错发展、高度综合、逐步走向统一的趋势；边缘、综合、交叉学科与日俱增的趋势；数学表现形式、对象和方法日益抽象化的趋势。
六、数学形成与发展的因素与轨迹1. 数学的形成与发展的因素实用的、科学的、哲学的和美学的因素，共同促进了数学的形成与发展，第一动力：解决因社会需要而直接提出的问题。
第二动力：提供自然现象的合理结构。
第三动力：智力方面的好奇心和对纯思维的强烈兴趣。
第2章 度量空间与赋范线性空间度量空间在泛函分析中是最基本的概念。
事实上，它是n 维欧几里得空间n R 的推广，它为统一处理分析学各分支的重要问题提供了一个共同的基础。
它研究的范围非常广泛，包括了在工程技术、物理学、数学中遇到的许多很有用的函数空间。
因而，度量空间理论已成为从事科学研究所不可缺少的知识。
2.1 度量空间的基本概念 2.1.1 距离（度量）空间的概念在微积分中，我们研究了定义在实数空间R 上的函数，在研究函数的分析性质，如连续性，可微性及可积性中，我们利用了R 上现有的距离函数d ，即对y x y x d R y x -=∈),(,,。
度量是上述距离的一般化：用抽象集合X 代替实数集，并在X 上引入距离函数，满足距离函数所具备的几条基本性质。
【定义2.1】 设X 是一个非空集合，),(∙∙ρ：[)∞→⨯,0X X 是一个定义在直积X X ⨯上的二元函数，如果满足如下性质：（1） 非负性 y x y x y x X y x =⇔=≥∈0,(,0),(,,ρρ； （2） 对称性 ),(),(,,x y y x X y x ρρ=∈（3） 三角不等式 ),(),(),(,,,y z z x y x X z y x ρρρ+≤∈；则称),(y x ρ是X 中两个元素x 与y 的距离（或度量）。
此时，称X 按),(∙∙ρ成为一个度量空间（或距离空间），记为),(ρX 。
注：X 中的非空子集A ，按照X 中的距离),(∙∙ρ显然也构成一个度量空间，称为X 的子空间。
当不致引起混淆时，),(ρX 可简记为X ,并且常称X 中的元素为点。
例2.1 离散的距离空间设X 是任意非空集合，对X 中任意两点,,x y X ∈令1 (,)0 x yx y x y ρ≠⎧=⎨=⎩显然，这样定义的),(∙∙ρ满足距离的全部条件，我们称(,)X ρ是离散的距离空间。
这种距离是最粗的。
它只能区分X 中任意两个元素是否相同，不能区分元素间的远近程度。
