甘肃省天水市第一中学2019届高三一轮复习第六次质量检测数学（理）试题

2019届甘肃省天水市一中高三上学期一轮复习第三次质量检测数学（理）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 请将答案填在答题卡上.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合}1|{},0)1(|{>=<-=x e x B x x x A ，则=⋂B A C R )( A ．),1[+∞ B ．),0(+∞ C ．(0,1) D ．[0,1] 2．复数2)1(=+z i ，求=z A ．1B ．2C ．2D ．43. 在等差数列{}n a 中，已知34a =，前7项和756S =，则公差d =A ．3-B ．4-C ．3D ．44．设)23,sin 2(x a =，)cos 41,61(x b = ，且b a //，则的值为A ．B ．C ．D ．5. 已知曲线)(x f y =在())5(5f ，处的切线方程是5+-=x y ，则)5(f 与)5(f '分别为A ．1,5-B ．5,1-C ．0,1-D ．1,0-6. 在数列{}n a 中，nn a n 211214131211--+⋅⋅⋅+-+-=，则1+k a 等于 A. 121++k a k B. 221121+-++k k a kC.221++k a kD.421221+-++k k a k7．在ABC △中，满足22(cos cos )()cos a b B c C b c A -=-，则ABC △是A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰或直角三角形x tan 4121128．以原点为圆心的圆全部都在平面区域36020x y x y -+≥⎧⎨-+≥⎩内，则圆的面积最大值为A ．18π5B ．9π5C ．2πD ．π9．在锐角中，，，则的取值范围为 A ．B ．C ．D ． 10. 平面内直角三角形两直角边长分别为a ，b ，则斜边长为22b a +，直角顶点到斜边的距离为22ba ab +，空间中三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面积分别为1S ，2S ，3S ，类比推理可得底面积为232221S S S ++，则三棱锥顶点到底面的距离为A.3232221321S S S S S S ++ B. 332221321S S S S S S ++ C.3322213212S S S S S S ++ D. 3322213213S S S S S S ++ 11．在正项等比数列{}n a 中，存在两项n m a a ,，使得n m a a ＝41a ，且5672a a a +=, 则的最小值是.A 47.B 351+.C625.D 352 12．已知函数)ln 2()(2x x k xe xf x +-=，若x =2是函数f (x )的唯一的一个极值点，则实数k 的取值范围为A ．(-∞,e]B ．[0,e]C ．(-∞,e)D ．[0,e)第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若曲线y ＝e -x 上点P 处的切线平行于直线3x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________． 14．若函数f (x )在R 上可导，f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)，则＝________.15. 已知函数f (x )=x cos x ，现给出如下命题：① 当x ∈(-4,-3)时，f (x ) > 0；② f (x )在区间(5,6)上单调递增； ③ f (x )在区间上有极大值； ④ 存在M >0，使得对任意x ∈R ，都有| f (x )|≤M ．其中真命题的序号是 .16．若△ABC 的内角满足sin A sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是 ．ABC △60B =︒2AB AC -=AB AC ⋅()0,121,124⎡⎫-⎪⎢⎣⎭(]0,4(]0,220()f x dx ⎰(1,3)DCBAP三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

天水一中2016级一轮复习第六次质量检测理科综合试题（满分：150分时间：150分钟）可能用到的相对原子质量：H 1 O 16 Na 23 S 32 Cl 35.5 Ag 108 Cu 64一、选择题（每道题6分，共126分。

第1-18题只有一项符合题目要求；第19-21题有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分。

）1．下列有关细胞结构及其功能的叙述，正确的是A．没有核仁的细胞无法形成核糖体B．经溶酶体分解后的产物都将被排出到细胞外C．真核细胞中有蛋白质纤维构成的细胞骨架，细胞骨架与细胞分裂有关D．蓝藻无叶绿体，但有和高等植物相同的几种光合色素，因而也可进行光合作用2．下列关于细胞生命历程的叙述，正确的是A．细胞增殖主要发生在幼年个体中，成年后不再发生B．某细胞合成了血红蛋白说明该细胞已发生了分化C．细胞坏死是有害基因决定的细胞编程性死亡D．衰老的细胞水分减少，细胞和细胞核的体积都减小3．下图为细胞中遗传信息的传递和表达过程，下列叙述正确的是A．口腔上皮细胞中可以发生图①②③所示过程B．图④为染色体上的基因表达过程，需要多种酶参与C．在分化过程，不同细胞通过②③过程形成的产物完全不同D．图②③所示过程中均会发生碱基配对，但配对方式不完全相同4．如图为某家族遗传病的系谱图，己知Ⅱ﹣3的妻子，和Ⅱ﹣5的丈夫不携带该病的致病基因，且该病在群体中的发病率为1/10000。

下列说法错误的是A．这种遗传病是常染色体隐性遗传病B．若Ⅲ﹣5和Ⅲ﹣6近亲婚配，子代患病概率为1/24C．Ⅲ﹣1与正常女性婚配子代患病概率为1/202D．Ⅰ﹣1、Ⅰ﹣2、Ⅲ﹣1、Ⅲ﹣2﹣定是杂合子5．下列有关免疫的叙述不正确的是A．T细胞和B细胞都属于保留分裂能力的细胞B．效应T细胞可以使靶细胞裂解暴露出病原体C．注射的疫苗可直接刺激浆细胞产生抗体D ．抗体有可能与自身物质结合，引起免疫失调6．群居动物中有一种警报系统，只要有一个动物发现捕猎者，它一发出警报，就可引起全群反应。

甘肃天水市一中2019届高三第七次模拟考试理科数学试题数学试题（理）命题： 审核：（满分：150分时间：120分钟）本试卷共23题，共150分，共4页，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．4．作图可先使用铅笔画出，确定后必或用黑色字迹的签字笔描黑．5．保持卡面清洁，不要折叠、不要界弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{|10}A x x =+>，{1,0,1}B =-，则A B =I （ ）A. {1}B. {}1-C. {0,1}D. {1,0}- 2.若复数21iz =+，其中i 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A. z 的虚部为i - B. 2z = C. z 的共轭复数为1i -- D. 2z 为纯虚数3.若向量(0,2)m =-u r ，n =r ，则与2m n +u r r 共线的向量可以是（ ）A. 1)-B. (-C. (1)-D. (1,- 4.//,//,//a b αβαβ，则a 与b 位置关系 ( )A. 平行B. 异面C. 相交D. 平行或异面或相交5.空气质量指数AQI 是反映空气状况的指数，AQI 指数值趋小，表明空气质量越好，下图是某市10月1日-20日AQI 指数变化趋势，下列叙述错误的是（ ）A. 这20天中AQI 指数值的中位数略高于100B. 这20天中的中度污染及以上（AQI 指数>150）的天数占14C. 该市10月的前半个月的空气质量越来越好D. 总体来说，该市10月上旬空气质量比中旬的空气质量好6.某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A. 23B. 13C. 43D. 567.设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23S =，3412a a +=，则公比q =（ ）A. 4±B. 4C. 2±D. 28.相传黄帝时代，在制定乐律时，用“三分损益”的方法得到不同的竹管，吹出不同的音调．如图的程序是与“三分损益”结合的计算过程，若输入的x 的值为1，输出的x 的值为（ ）的的A. 6481B. 3227C. 89D. 16279.若直线2y kx =-与曲线13ln y x =+相切，则k =（ ）A. 3B. 13C. 2D. 1210.双曲线22163x y -=的渐近线与圆(x －3)2－y 2－r 2(r －0)相切，则r 等于( )B. 2C. 3D. 6 11.已知数列{}n a 对任意的*n N ∈有111(1)n n a a n n +=-++成立，若11a =，则10a 等于（ ） A. 10110 B. 9110 C. 11111 D. 1221112.函数()y f x =()x R ∈在(]1∞-，上单调递减，且(1)f x +是偶函数，若(22)(2)f x f -> ，则x 的取值范围是（ ）A. （2，+∞）B. （﹣∞，1）∪（2，+∞）C. （1，2）D. （﹣∞，1）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知sin cos 0αα-=，则cos(2)2πα+=__________.14.若实数x ，y 满足66y x x y y ≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =-+的最小值为__________．15.若(2)n x -展开式的二项式系数之和为64，则展开式各项系数和为__________．16.已知点F 是抛物线22y x =的焦点，M ，N 是该抛物线上的两点，若17||||4MF NF +=，则线段MN 中点的纵坐标为__________．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.已知ABC V 中，2BC =，45B =︒，D 是AB 上一点．（1）若1BCD S =△，求CD 的长；（2）若30A =︒，3BD AD =，求sin sin ACD DCB∠∠的值． 18.为了保障全国第四次经济普查顺利进行，国家统计局从东部选择江苏，从中部选择河北、湖北，从西部选择宁夏，从直辖市中选择重庆作为国家综合试点地区，然后再逐级确定普查区域，直到基层的普查小区，在普查过程中首先要进行宣传培训，然后确定对象，最后入户登记，由于种种情况可能会导致入户登记不够顺利，这为正式普查提供了宝贵的试点经验，在某普查小区，共有50家企事业单位，150家个体经营户，普查情况如下表所示：（1）写出选择5个国家综合试点地区采用的抽样方法；（2）根据列联表判断是否有90%的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”； （3）以该小区的个体经营户为样本，频率作为概率，从全国个体经营户中随机选择3家作为普查对象，入户登记顺利的对象数记为X ，写出X 的分布列，并求X 的期望值．附：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++19.已知椭圆C 的焦点在x（1）求椭圆C 的方程；（2）设(3,0)M -，过椭圆C 右焦点F 的直线l 交于A 、B 两点，若对满足条件的任意直线l ，不等式()MA MB R λλ⋅≤∈u u u r u u u r 恒成立，求λ的最小值.20.如图在棱锥P ABCD -中，ABCD 为矩形，PD ⊥面ABCD ，2,45,30.PB BPC PBD =∠=∠=o o（1）在PB 上是否存在一点E ，使PC ⊥面ADE ，若存在确定E 点位置，若不存在，请说明理由；（2）当E 为PB 中点时，求二面角P AE D --的余弦值.21.设函数2()e 3x f x m x =-+，其中m R ∈．（Ⅰ）当()f x 为偶函数时，求函数()()h x xf x =的极值；（Ⅱ）若函数()f x 在区间[2,4]-上有两个零点，求m 的取值范围．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23总中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答的第一题评分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是12cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. (Ⅰ)求曲线C 的普通方程与直线l 的直角坐标方程； (Ⅱ)已知直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，与x 轴交于点P ，求PA PB ⋅.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()()6f x x m x m R =+--∈.（Ⅰ）当3m =时，求不等式()5f x ≥解集；（Ⅱ）若不等式()7f x ≤对任意实数x 恒成立，求实数m 的取值范围.的。

2019年甘肃省天水一中高考数学三模试卷（理科）一、单选题（每小题5分，共60分）1．（5分）若集合M＝{x|（x+1）（x﹣3）＜0}，集合N＝{x|x＜1}，则M∩N等于（）A．（1，3）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣1，1）D．（﹣3，1）2．（5分）i为虚数单位，若复数（1+mi）（1+i）是纯虚数，则实数m＝（）A．﹣1B．0C．1D．0或13．（5分）若x，y满足约束条件，则的最小值为（）A．﹣1B．﹣2C．1D．24．（5分）数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长四尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图，是源于其思想的一个程序框图．若输入的a，b分别为8、2，则输出的n＝（）A．2B．3C．5D．42﹣2x+m≥0在R上恒成立”的一个充分不必要条件是（）5．（5分）“不等式xA．m≥1B．m≤1C．m≥0D．m≥26．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2c?cosB＝2a+b，则∠C＝（）A．30°B．60°C．120°D．150°7．（5分）中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有（）A．30种B．50种C．60种D．90种8．（5分）一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A．29πB．30πC．D．216π9．（5分）△ABC外接圆的半径为1，圆心为O，且2++＝，||＝||，则?等于（）A．B．C．3D．2＝2x的焦点为F，点P在抛物线上，以PF为边作一个等边三角10．（5分）已知抛物线y形PFQ，若点Q在抛物线的准线上，则|PF|＝（）A．1B．2C．2D．211．（5分）一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．若将该正方体任意旋转，则容器里水面的最大高度为（）A．1B．C．D．12．（5分）定义在R上的函数y＝f（x），满足f（3﹣x）＝f（x），f′（x）为f（x）的导函数，且（x﹣）f′（x）＜0，若x1＜x2，且x1+x2＞3，则有（）A．f（x1）＜f（x2）B．f（x1）＞f（x2）C．f（x1）＝f（x2）D．不确定二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）已知直线y＝ax﹣2和y＝（a+2）x+1互相垂直，则实数a等于．314．（5分）已知曲线f（x）＝x在点（1，f（1））处的切线的倾斜角为α，则的值为．6 15．（5分）设a＝（sin x+cos x）dx，则二项式（a）2展开式中含x项的系数是16．（5分）在实数集R中定义一种运算“●”，具有性质：（1）对任意a，b∈R，a●b＝b●a；（2）对任意a∈R，a●0＝a；（3）对任意a，b∈R，（a●b）●c＝c●（ab）+（a●c）+（b●c）﹣5c．则函数f（x）＝x●（x＞0）的最小值为．三、解答题（每小题12分，共60分）17．（12分）已知等比数列{a n}是递增数列，且a1+a5＝，a2a4＝4．（1）求数列{a n}的通项公式（2）若b n＝na n（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．18．（12分）某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况，对该公司2018年连续6个月的利润进行了统计，并根据得到的数据绘制了相应的折线图，如图所示（1）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月利润y（单位：百万元）与月代码x 之间的关系，求y关于x的线性回归方程，并预测该公司2019年3月份的利润；（2）甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有A，B两种型号的新型材料可供选择，按规定每种新型材料最多可使用4个月，但新材料的不稳定性会导致材料损坏的年限不相同，现对A，B两种新型材料对应的产品各100件进行科学模拟测试，得到两种新型材料使用寿命的聘书统计如下表：寿命类型1个月2个月3个月4个月总计A20353510100B10304020100经甲公司测算平均每包新型材料每月可以带来5万元收入，不考虑除采购成本之外的其他成本，A材料每包的成本为10万元，B材料每包的成本为12万元．假设每包新型材料的使用寿命都是整数月，且以频率作为每包新型材料使用寿命的概率，如果你是甲公司的负责人，以每包新型材料产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款新型材料？参考数据：．参考公式：回归直线方程为．19．（12分）在五面体ABCDEF中，四边形EDCF是正方形，AD＝DE＝1，∠ADE＝90°，∠ADC＝∠DCB＝120°．（Ⅰ）求证：AE⊥BD；（Ⅱ）求直线AF与平面BDF所成角的正弦值．20．（12分）已知O为坐标原点，椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），过焦点且垂直于x轴的直线与椭圆C相交所得的弦长为3，直线y＝﹣与椭圆C相切．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）是否存在直线l：y＝k（x+c）与椭圆C相交于E，D两点，使得（）＜1？若存在，求k的取值范围；若不存在，请说明理由！21．（12分）已知函数f（x）＝ax﹣1﹣l nx（a∈R）；（1）讨论函数f（x）的单调性2对?x∈（0，+∞）恒成立，（2）若函数f（x）在x＝1处取得极值，不等式f（x）≥bx﹣求实数b的取值范围；x y1时，证明不等式 e（3）当x＞y＞e﹣ln（1+y）＞e ln（1+x）10分，请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计选做题（共分．）22．（10分）在平面直角坐标系x Oy中，直线l的参数方程为（其中t为参数，0＜α＜π）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程2为ρsinθ＝4cosθ．（1）求l和C的直角坐标方程；（2）若l与C相交于A，B两点，且|AB|＝8，求α．23．设函数f（x）＝|2x+a|﹣|x﹣2|（x∈R，a∈R）．1时，求不等式f（x）＞0的解集；（Ⅰ）当a＝﹣．（Ⅱ）若f（x）≥﹣1在x∈R上恒成立，求实数a的取值范围2019年甘肃省天水一中高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、单选题（每小题5分，共60分）1．（5分）若集合M＝{x|（x+1）（x﹣3）＜0}，集合N＝{x|x＜1}，则M∩N等于（）A．（1，3）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣1，1）D．（﹣3，1）【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；5J：集合．【分析】由二次不等式的解法得：M＝（﹣1，3），由集合交集及其运算得：M∩N＝（﹣1，1），得解．【解答】解：解二次不等式（x+1）（x﹣3）＜0得：﹣1＜x＜3，即M＝（﹣1，3），又集合N＝{x|x＜1}＝（﹣∞，1），所以M∩N＝（﹣1，1），故选：C．【点评】本题考查了二次不等式的解法及集合交集及其运算，属简单题．2．（5分）i为虚数单位，若复数（1+mi）（1+i）是纯虚数，则实数m＝（）A．﹣1B．0C．1D．0或1【考点】A5：复数的运算．【专题】38：对应思想；4A：数学模型法；5N：数系的扩充和复数．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵（1+mi）（1+i）＝（1﹣m）+（1+m）i是纯虚数，∴，即m＝1．故选：C．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．（5分）若x，y满足约束条件，则的最小值为（）A．﹣1B．﹣2C．1D．2【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5T：不等式．【分析】先根据约束条件画出平面区域，然后平移直线y＝﹣2x，当过点（0，﹣1）时，直线在y轴上的截距最大，从而求出所求．【解答】解：x，y满足约束条件的平面区域如下图所示：平移直线y＝﹣2x，由图易得，当x＝0，y＝﹣1时，即经过A时，目标函数z＝2x+y的最小值为：﹣1．故选：A．【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．4．（5分）数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长四尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图，是源于其思想的一个程序框图．若输入的a，b分别为8、2，则输出的n＝（）A．2B．3C．5D．4【考点】EF：程序框图．【专题】38：对应思想；4B：试验法；5K：算法和程序框图．【分析】根据条件进行模拟运算即可．【解答】解：n＝1，a＝8+4＝12，b＝4，a＜b否，n＝2，n＝2，a＝12+6＝18，b＝8，a＜b否，n＝3，n＝3，a＝18+9＝27，b＝16，a＜b否，n＝4，n＝4，a＝27+＝40.5，b＝32，a＜b否，n＝5，n＝5，a＝40.5+20.25＝60.75，b＝64，a＜b是，输出n＝5，故选：C．本题的关算是解决【点评】本题主要考查程序框图的识别和识别，结合条件进行模拟运键．2﹣2x+m≥0在R上恒成立”的一个充分不必要条件是（）5．（5分）“不等式xA．m≥1B．m≤1C．m≥0D．m≥2【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．．辑【专题】11：计算题；5L：简易逻22x+m≥0在R上恒成立”的充要条【分析】由二次不等式恒成立问题得：：“不等式x﹣24m≤0“即”m≥1“，2）﹣件为：“（﹣22x+m≥0由充分必要条件得：“m≥2“是”m≥1“的充分不必要条件，即“不等式x﹣在R上恒成立”的一个充分不必要条件是：”m≥2“，得解．224m≤0“即”2x+m≥0在R上恒成立”的充要条件为：“（﹣2）﹣【解答】解：“不等式x﹣m≥1“，又“m≥2“是”m≥1“的充分不必要条件，22x+m≥0在R上恒成立”的一个充分不必要条件是：”m≥2“，即“不等式x﹣故选：D．【点评】本题考查了二次不等式恒成立问题及充分必要条件，属简单题．6．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2c?cosB＝2a+b，则∠C＝（）A．30°B．60°C．120°D．150°【考点】HP：正弦定理．49：综合法；58：解三角形．【专题】11：计算题；35：转化思想；222c 【分析】结合题意，由余弦定理可得2c×＝2a+b，变形可得a﹣＝﹣ +b25页）第8页（共则有：2c×＝2a+b，222整理得：a﹣c＝﹣ab，+b可得：cosC＝＝＝﹣，又在△ABC中，0°＜C＜180°，∴C＝120°．故选：C．【点评】本题考查三角形中的几何计算，考查了余弦定理的应用，属于基础题．7．（5分）中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有（）A．30种B．50种C．60种D．90种【考点】D3：计数原理的应用．【专题】32：分类讨论；5I：概率与统计．【分析】讨论甲同学选择的两种不同的情况，确定乙，丙的个数．【解答】解：①甲同学选择牛，乙有2种，丙有10种，选法有1×2×10＝20种，②甲同学选择马，乙有3种，丙有10种，选法有1×3×10＝30种，所以总共有20+30＝50种．故选：B．【点评】本题考查分步计数原理，属于简单题．8．（5分）一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A．29πB．30πC．D．216π【考点】LG：球的体积和表面积；LR：球内接多面体．【专题】11：计算题．【分析】几何体复原为底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥，扩展为长方体，长方体的对角线的长，就是外接球的直径，然后求其的表面积．【解答】解：由三视图复原几何体，几何体是底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥；把它扩展为长方体，两者有相同的外接球，它的对角线的长为球的直径：，球的半径为：．该三棱锥的外接球的表面积为：，故选：A．【点评】本题考查三视图，几何体的外接球的表面积，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．9．（5分）△ABC外接圆的半径为1，圆心为O，且2++＝，||＝||，则?等于（）A．B．C．3D．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】利用向量的运算法则将已知等式化简得到，得到BC为直径，故△ABC 为直角三角形，求出三边长可得∠ACB的值，利用两个向量的数量积的定义求出的值．【解答】解：∵，∴，∴．∴O，B，C共线，BC为圆的直径，如图∴AB⊥AC．第10页（共25页）∵，∴＝1，|BC|＝2，|AC|＝，故∠ACB＝．则，故选：C．【点评】本题主要考查向量在几何中的应用、向量的数量积，向量垂直的充要条件等基本知识．求出△ABC为直角三角形及三边长，是解题的关键．2＝2x的焦点为F，点P在抛物线上，以PF为边作一个等边三角10．（5分）已知抛物线y形PFQ，若点Q在抛物线的准线上，则|PF|＝（）A．1B．2C．2D．2【考点】K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出抛物线的焦点坐标（，0），利用抛物线的简单性质求出直线方程，然后求出结果．【解答】解：抛物线的焦点坐标（，0），可得直线PF：y＝（x﹣），可得：，可得：x＝，则y＝，|PF|＝＝2．故选：B．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．11．（5分）一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为第11页（共25页）棱长的一半．若将该正方体任意旋转，则容器里水面的最大高度为（）A．1B．C．D．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】31：数形结合；44：数形结合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】根据水的体积为容器体积的一半可知液面高度为物体新位置高度的一半．【解答】解：正方体的对角线长为2，故当正方体旋转的新位置的最大高度为2，又水的体积是正方体体积的一半，∴容器里水面的最大高度为对角线的一半，即最大液面高度为．故选：C．础题．【点评】本题考查了几何体的体积计算，属于基12．（5分）定义在R上的函数y＝f（x），满足f（3﹣x）＝f（x），f′（x）为f（x）的导函）f′（x）＜0，若x1＜x2，且x1+x2＞3，则有（）数，且（x﹣A．f（x1）＜f（x2）B．f（x1）＞f（x2）C．f（x1）＝f（x2）D．不确定【考点】3E：函数单调性的性质与判断；62：导数及其几何意义．题．16：压轴【专题】11：计算题；x）＝f（x）”，知函数图象关于直线x＝对称，再由“f′（x）【分析】由“f（3﹣＜0”可知：当x＞时，函数是减函数当x＜时，函数是增函数，最后由“x1＜x2，且x1+x2＞3”，得知x1，x2∈（，+∞），．应用单调性定义得到结论x）＝f（x），【解答】解：∵f（3﹣∴函数图象关于直线x＝对称，又∵f′（x）＜0第12页（共25页）∴当x＞时，函数是减函数当x＜时，函数是增函数∵x1＜x2，且x1+x2＞3∴x1，x2∈（，+∞）∴f（x1）＞f（x2）故选：B．于零时，【点评】本题主要考查函数的对称性和单调性，这里还考查了导数，当导数大函数是增函数，当导数小于零时，函数是减函数．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）已知直线y＝ax﹣2和y＝（a+2）x+1互相垂直，则实数a等于﹣1．【考点】IA：两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系；I J：直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】11：计算题．【分析】利用斜率都存在的两直线垂直，斜率之积等于﹣1，解方程求出实数a的值．1，【解答】解：∵直线y＝ax﹣2和y＝（a+2）x+1互相垂直，∴他们的斜率之积等于﹣即a×（a+2）＝﹣1，∴a＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查斜率都存在的两直线垂直，斜率之积等于﹣1．314．（5分）已知曲线f（x）＝x在点（1，f（1））处的切线的倾斜角为α，则的值为．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．用．49：综合法；53：导数的综合应35：转化思想；【专题】11：计算题；【分析】求出函数的导数，求得f（x）在点（1，f（1））处切线斜率，利用同角三角函数关系式即可化简得解．3【解答】解：因为：曲线f（x）＝x．2所以：函数f（x）的导函数f′（x）＝2x，可得：f′（1）＝2，第13页（共25页）3因为：曲线f（x）＝x在点（1，f（1））处的切线的倾斜角为α，所以：tanα＝f′（1）＝2，所以：＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处切线的斜率，同时考查三角函数化简求值，属于基础题．6 15．（5分）设a＝（sin x+cos x）dx，则二项式（a）2展开式中含x项的系数是﹣192【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题；34：方程思想；52：导数的概念及应用；5P：二项式定理．【分析】根据题意，由定积分计算公式可得a＝（sinx+cosx）dx＝sin xdx+ cosxdx＝（﹣c osx）+sinx＝2，即可得a的值，由二项式定理分析可得该二项式展开式的通项，据此分析可得答案．【解答】解：根据题意，a＝（sin x+cosx）dx＝sinxdx+cosxdx＝（﹣c osx）+sinx＝2，6二项式（a）66﹣r即（2），其展开式的通项为T r+1＝（2）（﹣）r r6﹣r3﹣r＝（﹣1）××2， x52当r＝1时，有T2＝（﹣1）××2＝﹣192；x故答案为：﹣192．【点评】本题考查二项式定理的应用，涉及定积分的计算，属于基础题．16．（5分）在实数集R中定义一种运算“●”，具有性质：（1）对任意a，b∈R，a●b＝b●a；（2）对任意a∈R，a●0＝a；（3）对任意a，b∈R，（a●b）●c＝c●（ab）+（a●c）+（b●c）﹣5c．则函数f（x）＝x●（x＞0）的最小值为3．【考点】7F：基本不等式及其应用．25页）第14页（共【专题】23：新定义；35：转化思想；59：不等式的解法及应用．?ab）+（a?0）+（b?0）＝ab+a+b．求出f（x）【分析】令c＝0，代入得（a?b）?0＝0（解析式，进而得到f（x）最小值．【解答】因为在（3）中，对任意对任意a∈R，（a●b）●c＝c●（ab）+（a●c）+（b●c）﹣5c．?ab）+（a?0）+（b?0）．令c＝0，代入得（a?b）?0＝0（?ab）+（a?0）+（b?0）．由（1）中a●b＝b●a可得（a?b）?0＝0（由（2）中a●0＝a，化简可得（a?b）?0＝ab+a+b．所以f（x）＝f（x）?0＝（x●）?0＝1+x+，因为x＞0，由基本不等式可得f（x）＝1+x+≥1+2＝3，故填：3．考查还．键【点评】本题为新定义题，理解好定义并合理使用定义中的条件，是解题关了基本不等式的应用，属于中档题．三、解答题（每小题12分，共60分）17．（12分）已知等比数列{a n}是递增数列，且a1+a5＝，a2a4＝4．（1）求数列{a n}的通项公式（2）若b n＝na n（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．【考点】8H：数列递推式．【专题】35：转化思想；4O：定义法；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）根据{a n}是递增等比数列，a1+a5＝，a2a4＝4．即可求解数列{a n}的通项公式（2）由b n＝na n（n∈N*），可得数列{b n}的通项公式，利用错位相减法即可求解前n项和S n．2【解答】解：（1）由{a n}是递增等比数列，a1+a5＝，a2a4＝4＝a3＝44∴a1+a1q＝，；解得：a1＝，q＝2；n﹣2∴数列{a n}的通项公式：a n＝2；第15页（共25页）（2）由b n＝na n（n∈N*），n﹣2∴b n＝n?2；∴S1＝；101n﹣2﹣那么S n＝1×2+2×2+3×2+⋯⋯+n?2，①012n﹣2n﹣1则2S n＝1×2+2×2+3×2+⋯⋯+（n﹣1）2+n?2，②n﹣1将②﹣①得：S n＝+n?2；102n﹣2n﹣1n﹣1﹣即：S n＝﹣（2）+n?2＝+n?2+2+2+2．+2【点评】本题主要考查数列通项公式以及前n项和的求解，利用错位相减法是解决本题的关键．18．（12分）某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况，对该公司2018示年连续6个月的利润进行了统计，并根据得到的数据绘制了相应的折线图，如图所合月利润y（单位：百万元）与月代码x （1）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟之间的关系，求y关于x的线性回归方程，并预测该公司2019年3月份的利润；（2）甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有A，B两种型号的新型材料可供选择，按规定每种新型材料最多可使用4个月，但新材料的不稳定性会导致材料测试，得100件进行科学模拟损坏的年限不相同，现对A，B两种新型材料对应的产品各：到两种新型材料使用寿命的聘书统计如下表计寿命类型1个月2个月3个月4个月总A20353510100B10304020100经甲公司测算平均每包新型材料每月可以带来5万元收入，不考虑除采购成本之外的其他成本，A材料每包的成本为10万元，B材料每包的成本为12万元．假设每包新型材料的使用寿命都是整数月，且以频率作为每包新型材料使用寿命的概率，如果你是甲公司的负责人，以每包新型材料产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款新型材料？参考数据：．25页）第16页（共参考公式：回归直线方程为．【考点】BK：线性回归方程．【专题】38：对应思想；4R：转化法；5I：概率与统计．【分析】（1）求出回归系数，可得回归方程，即可得出结论；（2）分别计算相应的数学期望，即可得出结论．【解答】解：（1）由折现图可知统计数据（，）共6组，即（1，11），（2，13），（3，16），（4，15），（5，20），（6，21），计算可得＝（1+2+3+4+5+6）＝3.5，＝y i＝?96＝16，故＝＝2，故＝﹣＝16﹣2?3.5＝9，∴x关于y的线性回归方程为＝2x+9，故x＝11时，则＝2×11+9＝31，即预测公司2018年1月份（即x＝7时）的利润为31百万元；（2）由频率估计概率，A型材料可使用1个月，2个月，3个月、4个月的概率分别为0.2，0.35，0.35，0.1，∴A型材料利润的数学期望为（5﹣10）×0.2+（10﹣10）×0.35+（15﹣10）×0.35+（20第17页（共25页）﹣10）×0.1＝1.75万元；B型材料可使用1个月，2个月，3个月、4个月的概率分别为0.1，0.3，0.4，0.2，∴B型材料利润的数学期望为（5﹣12）×0.1+（10﹣12）×0.3+（15﹣12）×0.4+（20﹣12）×0.2＝1.50万元；∵1.75＞1.50，∴应该采购A型材料．【点评】本题考查数学知识在实际生活中的应用，考查学生的阅读能力，对数据的处理能力，属于中档题．19．（12分）在五面体ABCDEF中，四边形EDCF是正方形，AD＝DE＝1，∠ADE＝90°，∠ADC＝∠DCB＝120°．（Ⅰ）求证：AE⊥BD；（Ⅱ）求直线AF与平面BDF所成角的正弦值．【考点】LW：直线与平面垂直；MI：直线与平面所成的角．【专题】14：证明题；31：数形结合；41：向量法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（Ⅰ）推导出AD⊥BD，AD⊥DE，DC⊥DE，从而DE⊥平面ABCD，进而BD ⊥DE，由此能证明BD⊥平面ADE，从而AE⊥BD．（Ⅱ）以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AF与平面BDF所成角的正弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵AD＝DE＝1，四边形EDCF是正方形，∠ADC＝∠DCB＝120°．∴AD＝DC＝BC＝1，∴∠BDC＝∠DBC＝30°，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BD，∵在五面体ABCDEF中，四边形EDCF是正方形，∠ADE＝90°，∴AD⊥DE，DC⊥DE，又AD∩DC＝D，∴DE⊥平面ABCD，∵BD?平面ABCD，∴BD⊥DE，∵AD∩DE＝D，∴BD⊥平面ADE，∵AE?平面ADE，∴AE⊥BD．解：（Ⅱ）以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，A（1，0，0），F（0，1，1），B（0，，0），D（0，0，0），E（0，0，1），＝（1，﹣1，﹣1），＝（0，，0），＝（0，0，1），平面BDE的法向量＝（1，0，0），设直线AF与平面BDF所成角为θ，则cosθ＝＝＝．∴直线AF与平面BDF所成角的正弦值为．【点评】本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20．（12分）已知O为坐标原点，椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），过焦点且垂直于x轴的直线与椭圆C相交所得的弦长为3，直线y＝﹣与椭圆C相切．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）是否存在直线l：y＝k（x+c）与椭圆C相交于E，D两点，使得（）＜1？若存在，求k的取值范围；若不存在，请说明理由！【考点】KL：直线与椭圆的综合．【专题】15：综合题；38：对应思想；4R：转化法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（Ⅰ）由题意可得＝3，以及直线y＝﹣与椭圆C相切，可得b＝，解之即得a，b，从而写出椭圆C的方程；（Ⅱ）联立方程组，根据韦达定理和向量的运算，即可求出k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵在＝1（a＞b＞0）中，令x＝c，可得y＝±，∵过焦点且垂直于x轴的直线与椭圆C相交所得的弦长为3，∴＝3，∵直线y＝﹣与椭圆C相切，∴b＝，∴a＝222∴a＝4，b＝3．故椭圆C的方程为+＝1；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知c＝1，则直线l的方程为y＝k（x+1），2222联立，可得（4k﹣12＝0，+3）x+8k x+4k4222则△＝64k﹣4（4k﹣12）＝144（k+3）（4k+1）＞0，∴x1+x2＝﹣，x1x2＝，2∴y1y2＝k（x1+1）（x2+1）＝﹣，∵（）＜1，∴?＜1，∴（x2﹣1，y2）（x1﹣1，y1）＝x1x2﹣（x1+x2）+1+y1y2＜1，第20页（共25页）即++1﹣＜1，2整理可得k＜4，解得﹣2＜k＜2，∴直线l存在，且k的取值范围为（﹣2，2）．本技与基能方【点评】本题考查了直线方程，椭圆的简单性质、向量的运算等基础知识法，考查了运算求解能力，转化与化归能力，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）＝ax﹣1﹣l nx（a∈R）（1）讨论函数f（x）的单调性；?x∈（0，+∞）恒成立，（2）若函数f（x）在x＝1处取得极值，不等式f（x）≥bx﹣2对求实数b的取值范围；x y1时，证明不等式 e（3）当x＞y＞e﹣ln（1+y）＞e ln（1+x）6E：利用6C：函数在某点取得极值的条件；【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；导数研究函数的最值．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用．15：综合题；l nx，求得f′（x）＝．然后分a≤0与a＞0两种【分析】（1）由f（x）＝ax﹣1﹣情况讨论，从而得到f′（x）的符号，可得f（x）在其定义域（0，+∞）内的单调性，最后综合可得答案；（2）函数f（x）在x＝1处取得极值，由（1）的讨论可得a＝1．将不等式f（x）≥bx ≥b，再构造函数g（x）＝1+﹣，利用导数研究g2化简整理得到1+﹣﹣]．由此即可得到实数b的取值范围；（x）的单调性，得到[g（x）]min＝1﹣（3）设函数F（t）＝，其中t＞e﹣1．利用导数研究F（x）的单调性，得到1时，F（x）＞F（y）即得F（t）是（e﹣1，+∞）上的增函数．从而得到当x＞y＞e﹣x y＞，变形整理即可得到不等式 eln（1+y）＞e ln（1+x）成立．＝，l nx，∴f′（x）＝a﹣【解答】解：（1）∵f（x）＝ax﹣1﹣当a＞0时，f'（x）＜0得0＜x≤，f'（x）＞0得x＞，∴f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，综上所述，当a≤0时函数f（x）在（0，+∞）上是减函数；当a＞0时，f（x）在（0，）上是减函数，在（，+∞）上是增函数．（1）的结论，可得a＝1，（2）∵函数f（x）在x＝1处取得极值，∴根据∴f（x）≥bx﹣2，即x+1﹣l nx≥bx，两边都除以正数x，得1+﹣≥b，l nx），g′（x）＝﹣﹣＝﹣（2﹣，则令g（x）＝1+﹣22由g′（x）＞0得，x＞e，∴g（x）在（0，e）上递减，22由g′（x）＜0得，0＜x＜e，∴g（x）在（e，+∞）上递增，2∴g（x）min＝g（e）＝1﹣，∞，1﹣]．，实数b的取值范围为（﹣可得b≤1﹣1（3）令F（t）＝，其中t＞e﹣可得F'（t）＝＝1，+∞）上再设G（t）＝ln（1+t）﹣，可得G'（t）＝+＞0在（e﹣恒成立∴G（t）是（e﹣1，+∞）上的增函数，可得G（t）＞G（e﹣1）＝lne﹣＝1﹣＞01，+∞）上恒成立，可得F（t）＝因此，F（'t）＝＞0在（e﹣是（e﹣1，+∞）上的增函数．∵x＞y＞e﹣1，∴F（x）＞F（y），可得＞x∵ln（1+x）＞0且ln（1+y）＞0，∴不等式两边都乘以ln（1+x）ln（1+y），可得eln（1+y）y＞eln（1+x）．想【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，考查恒成立问题，着重考查分论思类讨25页）第22页（共与构造函数思想的应用，体现综合分析问题与解决问题能力，属于难题．选做题（共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分．）22．（10 分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为（其中t 为参数，0＜α＜π）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程2为ρsin θ＝4cosθ．（1）求l 和C 的直角坐标方程；（2）若l 与C 相交于A，B 两点，且|AB|＝8，求α．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【专题】35：转化思想；56：三角函数的求值；5S：坐标系和参数方程．【分析】（1）直接利用参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换求出结果．（2）利用直线和曲线的位置关系的应用建立一元二次方程根和系数关系的应用求出三角函数的值，进一步求出结果．【解答】解：（1）直线l 的参数方程为（其中t 为参数，0＜α＜π）．①当时，直线的方程为x＝1．②当α≠时，直线的方程为：y＝tan α（x﹣1）．2曲线 C 的极坐标方程为ρsinθ＝4cosθ，2转换为直角坐标方程为：y ＝4x．2 2（2）将直线l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程得：sin ＝4（1+tcosα），αt2 2整理得：sin ﹣4cosαt﹣4＝0，（t1 和t2 为A、B 对应的参数）αt所以：，．由于|AB |＝＝ 8解得：因为0＜α＜π，所以：．第23页（共25页）23．设函数f（x）＝|2x+a|﹣|x﹣2|（x∈R，a∈R）．（Ⅰ）当a＝﹣1时，求不等式f（x）＞0的解集；．（Ⅱ）若f（x）≥﹣1在x∈R上恒成立，求实数a的取值范围【考点】6P：不等式恒成立的问题；R5：绝对值不等式的解法．；4R：转化法；5T：不等式．【专题】32：分类讨论【分析】（Ⅰ）a＝﹣1时不等式f（x）＞0化为|2x﹣1|＞|x﹣2|，两边平方求解即可得出不等式f（x）＞0的解集；论a＜﹣4、a＝﹣4和a＞﹣4时，求出f（x）的最小值f（x）min，列（Ⅱ）由题意，讨出不等式求出a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）a＝﹣1时，函数f（x）＝|2x﹣1|﹣|x﹣2|，不等式f（x）＞0化为|2x﹣1|＞|x﹣2|，两边平方得（2x﹣1）2＞（x﹣2）2，化简得（3x﹣3）（x+1）＞0，解得x＜﹣1或x＞1，所以不等式f（x）＞0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）；（Ⅱ）由题意，当a＜﹣4时，f（x）＝，由函数单调性可得，f（x）min＝f（﹣）＝+2≥﹣1，解得﹣6≤a＜﹣4；当a＝﹣4时，f（x）＝|x﹣2|，f（x）min＝0≥﹣1，所以a＝﹣4符合题意；当a＞﹣4时，f（x）＝，由函数单调性可得，f（x）min＝f（﹣）＝﹣﹣2≥﹣1，解得﹣4≤a＜﹣2；是[﹣6，﹣2]．综上所述，实数a的取值范围问题，也考查了不等式恒成立问题，【点评】本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用是中档题．WORD格式第25页（共25页）专业分享。

2019年高考模拟试卷高考数学考前练试卷（理科）一、选择题1．已知集合M＝{y|y＝2x，x＞0}，N＝{x|y＝lg（2x﹣x2）}，则M∩N为（）A．（1，2）B．（1，+∞）C．[2，+∞）D．[1，+∞）2．i是虚数单位，若＝a+bi（a，b∈R），则乘积ab的值是（）A．﹣15B．﹣3C．3D．153．已知向量，，且，则m等于（）A．﹣8B．﹣6C．6D．84．我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中，等级较高的二等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金（）A．多1斤B．少1斤C．多斤D．少斤5．设，为非零向量，则“存在负数λ，使得＝λ”是“•＜0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．一个四棱锥的三视图如图所示（其中主视图也叫正视图，左视图也叫侧视图），则这个四棱锥中最长棱的长度是（）A．B．4C．D．7．当输入的实数x∈[2，30]时，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于103的概率是（）A．B．C．D．8．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2e）＝﹣f（x）（其中e＝2.7182…），且在区间[e，2e]上是减函数，令a＝，b＝，c＝，则f（a），f（b），f（c）的大小关系（用不等号连接）为（）A．f（b）＞f（a）＞f（c）B．f（b）＞f（c）＞f（a）C．f（a）＞f（b）＞f（c）D．f（a）＞f（c）＞f（b）9．数列{a n}满足：，则数列{a n a n+1}前10项的和为（）A．B．C．D．10．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象关于点M（）成中心对称，且与点M相邻的一个最低点为N（），则对于下列判断：①直线x＝是函数f（x）图象的一条对称轴；②点（，0）是函数f（x）的一个对称中心；③函数y＝1与y＝f（x）（）的图象的所有交点的横坐标之和为7π．其中正确的判断是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③11．设F1，F2是双曲线的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（O为坐标原点），且，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）＝lnx﹣+a在x∈[1，e]上有两个零点，则a的取值范围是（）A．[，﹣1）B．[，1）C．[，﹣1]D．[﹣1，e）二、填空题（共4小题）13．已知二项式（ax﹣）6的展开式中的常数项为﹣160，则a＝．14．若实数x，y满足不等式组则目标函数z＝3x﹣y的最大值为．15．在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，若四棱锥P﹣ABCD为阳马，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝3，BC＝AB＝4，设该阳马的外接球半径为R，内切球半径为r，则＝．16．在棱长为6的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是BC的中点，点P是面DCC1D1所在的平面内的动点，且满足∠APD＝∠MPC，则＝，三棱锥P﹣BCD的体积最大值是．三、解答题17．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且+＝．（1）求b的值；（2）若cos B+sin B＝2，求a+c的取值范围．18．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠ACB＝．已知E，F分别是BC，AC的中点．将△CEF沿EF折起，使C到C′的位置且二面角C′﹣EF﹣B的大小是60°．连接C′B，C′A，如图：（Ⅰ）求证：平面C′FA⊥平面ABC′；（Ⅱ）求平面AFC′与平面BEC′所成二面角的大小．19．某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图（如图所示），规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败．晋级成功晋级失败合计男16女50合计（Ⅰ）求图中a的值；（Ⅱ）根据已知条件完成下面2×2列联表，并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关？（Ⅲ）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为X，求X的分布列与数学期望E（X）．（参考公式：，其中n＝a+b+c+d）P（K2≥k0）0.400.250.150.100.050.025 k00.780 1.323 2.072 2.706 3.841 5.02420．已知椭圆的离心率为，直线过椭圆C的右焦点F，过F的直线m交椭圆C于M、N两点（均异于左、右顶点）．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l：x＝4，A为椭圆C的右顶点．若直线AM交l于点P，直线AN交l 于点Q，试判断是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由．21．已知函数f（x）＝e2x﹣ae x﹣2a2x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答.[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．在平面直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C 的极坐标方程为ρ＝4sin（θ+）．（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C交于M，N两点，求△MON的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|+2|x﹣a|．（1）设a＝1，求不等式f（x）≤7的解集；（2）已知a＞﹣1，且f（x）的最小值等于3，求实数a的值．参考答案一、选择题：共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M＝{y|y＝2x，x＞0}，N＝{x|y＝lg（2x﹣x2）}，则M∩N为（）A．（1，2）B．（1，+∞）C．[2，+∞）D．[1，+∞）【分析】通过指数函数的值域求出M，对数函数的定义域求出集合N，然后再求M∩N．解：M＝{y|y＞1}，N中2x﹣x2＞0∴N＝{x|0＜x＜2}，∴M∩N＝{x|1＜x＜2}，故选：A．2．i是虚数单位，若＝a+bi（a，b∈R），则乘积ab的值是（）A．﹣15B．﹣3C．3D．15【分析】先根据两个复数相除的除法法则化简，再依据两个复数相等的充要条件求出a和b的值，即得乘积ab的值．解：∵＝＝＝﹣1+3i＝a+bi，∴a＝﹣1，b＝3，∴ab＝﹣1×3＝﹣3．故选：B．3．已知向量，，且，则m等于（）A．﹣8B．﹣6C．6D．8【分析】由已知向量的坐标求出的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案．解：∵，，∴，又，∴3×4+（﹣2）×（m﹣2）＝0，解得m＝8．故选：D．4．我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中，等级较高的二等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金（）A．多1斤B．少1斤C．多斤D．少斤【分析】由题意可知各等人所得金数组成等差数列，根据等差数列的性质即可计算出问题答案．解：设十等人得金从高到低依次a1，a2，……，a10，则{a n}为等差数列，设等差为d，则由题意可知，∴a2＝，a9＝1，∴a2﹣a9＝．故选：C．5．设，为非零向量，则“存在负数λ，使得＝λ”是“•＜0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】，为非零向量，存在负数λ，使得＝λ，则向量，共线且方向相反，可得•＜0．反之不成立，非零向量，的夹角为钝角，满足•＜0，而＝λ不成立．即可判断出结论．解：，为非零向量，存在负数λ，使得＝λ，则向量，共线且方向相反，可得•＜0．反之不成立，非零向量，的夹角为钝角，满足•＜0，而＝λ不成立．∴，为非零向量，则“存在负数λ，使得＝λ”是•＜0”的充分不必要条件．故选：A．6．一个四棱锥的三视图如图所示（其中主视图也叫正视图，左视图也叫侧视图），则这个四棱锥中最长棱的长度是（）A．B．4C．D．【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出最长棱长．解：根据几何体的三视图转换为几何体为：如图所示：所以最长的棱长为l＝，故选：D．7．当输入的实数x∈[2，30]时，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于103的概率是（）A．B．C．D．【分析】由程序框图的流程，写出前三项循环得到的结果，得到输出的值与输入的值的关系，令输出值大于等于103得到输入值的范围，利用几何概型的概率公式求出输出的x不小于103的概率．解：设实数x∈[2，30]，经过第一次循环得到x＝2x+1，n＝2经过第二循环得到x＝2（2x+1）+1，n＝3经过第三次循环得到x＝2[2（2x+1）+1]+1，n＝4此时输出x输出的值为8x+7，∴当输入x∈[2，30]时，输出x∈[23，247]，数集的长度为224；输出x不小于103，则x∈[103，247]，数集的长度为144．∴输出的x不小于103的概率为．故选：A．8．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2e）＝﹣f（x）（其中e＝2.7182…），且在区间[e，2e]上是减函数，令a＝，b＝，c＝，则f（a），f（b），f（c）的大小关系（用不等号连接）为（）A．f（b）＞f（a）＞f（c）B．f（b）＞f（c）＞f（a）C．f（a）＞f（b）＞f（c）D．f（a）＞f（c）＞f（b）【分析】由f（x）是R上的奇函数及f（x+2e）＝﹣f（x），可得f（x+2e）＝f（﹣x），从而可知f（x）关于x＝e对称，由f（x）在[e，2e]上的单调性可得f（x）在[0，e]上的单调性，由a，b，c的大小关系，进而得到f（a）、f（b）、f（c）的大小关系．解：∵f（x）是R上的奇函数，满足f（x+2e）＝﹣f（x），∴f（x+2e）＝f（﹣x），∴函数f（x）关于直线x＝e对称，∵f（x）在区间[e，2e]上为减函数，∴f（x）在区间[0，e]上为增函数，∵a＝，b＝，c＝，通过单调性判断，易知0＜c＜a＜b＜e∴f（c）＜f（a）＜f（b），故选：A．9．数列{a n}满足：，则数列{a n a n+1}前10项的和为（）A．B．C．D．【分析】通过对a n﹣a n+1＝2a n a n+1变形可知﹣＝2，进而可知a n＝，并项相加即得结论．解：∵a n﹣a n+1＝2a n a n+1，∴﹣＝2，又∵＝5，∴＝+2（n﹣3）＝2n﹣1，即a n＝，∴a n a n+1＝（a n﹣a n+1）＝（﹣），∴所求值为（1﹣+﹣+…+﹣）＝（1﹣）＝，故选：A．10．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象关于点M（）成中心对称，且与点M相邻的一个最低点为N（），则对于下列判断：①直线x＝是函数f（x）图象的一条对称轴；②点（，0）是函数f（x）的一个对称中心；③函数y＝1与y＝f（x）（）的图象的所有交点的横坐标之和为7π．其中正确的判断是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③【分析】首先根据已知条件确定函数的解析式，进一步利用整体思想确定函数的对称轴方程，对称中心及各个交点的特点，进一步确定答案．解：函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象关于点M（）成中心对称，且与点M相邻的一个最低点为N（），则：，∴T＝π，进一步解得：ω＝，A＝3．由于函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象关于点M（）成中心对称，∴2•+φ＝kπ（k∈Z），解得：φ＝kπ﹣，由于0＜φ＜π，∴当k＝1时，φ＝．∴f（x）＝3sin（2x+）．①当x＝时，f（）＝﹣3sin＝﹣，故①不正确；②由2x+＝kπ，解得：x＝，当k＝0时，对称中心为：（，0），故②正确；③由于：﹣≤x≤，则：0≤2x+≤6π，∴函数f（x）的图象与y＝1有6个交点．根据函数的交点设横坐标为x1、x2、x3、x4、x5、x6，根据函数的图象的所有交点的横坐标之和为7π．故③正确．∴正确的判断是②③．故选：C．11．设F1，F2是双曲线的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（O为坐标原点），且，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【分析】利用向量的加减法可得，故有OP＝OF2＝c＝OF1，可得PF1⊥PF2，由条件可得∠PF1F2＝30°，由sin30°＝＝求出离心率．解：∵，∴，∴﹣＝0，OP＝OF2＝c＝OF1，∴PF1⊥PF2，Rt△PF1F2中，∵，∴∠PF1F2＝30°．由双曲线的定义得PF1﹣PF2＝2a，∴PF2＝，sin30°＝＝＝＝，∴2a＝c（﹣1），∴＝+1，故选：D．12．已知函数f（x）＝lnx﹣+a在x∈[1，e]上有两个零点，则a的取值范围是（）A．[，﹣1）B．[，1）C．[，﹣1]D．[﹣1，e）【分析】求出函数的导数f′（x）＝+＝，x∈[1，e]．通过当a≥﹣1时，当a ≤﹣e时，当﹣e＜a＜﹣1时，判断导函数的符号，得到函数的单调性然后转化求解a的范围即可．解：∵f′（x）＝+＝，x∈[1，e]．当a≥﹣1时，f′（x）≥0，f（x）在[1，e]上单调递增，不合题意．当a≤﹣e时，f′（x）≤0，f（x）在[1，e]上单调递减，也不合题意．当﹣e＜a＜﹣1时，则x∈[1，﹣a）时，f′（x）＜0，f（x）在[1，﹣a）上单调递减，x∈（﹣a，e]时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣a，e]上单调递增，又f（1）＝0，所以f（x）在x∈[1，e]上有两个零点，只需f（e）＝1﹣+a≥0即可，解得≤a＜﹣1．综上，a的取值范围是：[，﹣1）．故选：A．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．已知二项式（ax﹣）6的展开式中的常数项为﹣160，则a＝2．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项，再根据常数项等于﹣160求得实数a的值．解：∵二项式（ax﹣）6的展开式中的通项公式为T r+1＝•（﹣1）r•a6﹣r•x6﹣2r，令6﹣2r＝0，求得r＝3，可得常数项为﹣•a3＝﹣160，∴a＝2，故答案为：2．14．若实数x，y满足不等式组则目标函数z＝3x﹣y的最大值为12．【分析】画出约束条件的可行域，求出最优解，即可求解目标函数的最大值．解：作出实数x，y满足不等式组可行域如图，由，解得A（4，0）目标函数y＝3x﹣z，当y＝3x﹣z过点（4，0）时，z有最大值，且最大值为12．故答案为：12．15．在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，若四棱锥P﹣ABCD为阳马，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝3，BC＝AB＝4，设该阳马的外接球半径为R，内切球半径为r，则＝．【分析】该阳马补形所得到的长方体的对角线为外接球的直径，由此能求出R＝，内切球O1在侧面PAD内的正视图是△PAD的内切圆，从而内切球半径为r＝1，由此能求出．解：∵四棱锥P﹣ABCD为阳马，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝3，BC＝AB＝4，设该阳马的外接球半径为R，∴该阳马补形所得到的长方体的对角线为外接球的直径，∴（2R）2＝AB2+AD2+AP2＝16+16+9＝41，∴R＝，∵侧棱PA⊥底面ABCD，且底面为正方形，∴内切球O1在侧面PAD内的正视图是△PAD的内切圆，∴内切球半径为r＝1，故＝．故答案为：．16．在棱长为6的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是BC的中点，点P是面DCC1D1所在的平面内的动点，且满足∠APD＝∠MPC，则＝2，三棱锥P﹣BCD的体积最大值是．【分析】根据Rt△ADP∽△Rt△PMC，PD＝2PC，利用体积公式求解得出PO⊥CD，求解OP最值，根据勾股定理得出：3h2＝﹣3x2+48x﹣144，0≤x≤6，利用函数求解即解：∵在棱长为6的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是BC的中点，点P是面DCC1D1所在的平面内的动点，且满足∠APD＝∠MPC，∴Rt△ADP∽△Rt△PMC，∴，即PD＝2PC，设DO＝x，PO＝h，作PO⊥CD，∴，化简得：3h2＝﹣3x2+48x﹣144，0≤x≤6，根据函数单调性判断：x＝6时，3h2最大值为36，∴h最大值＝2，在正方体中，∵PO⊥面BCD，∴三棱锥P﹣BCD的体积最大值为V＝××6×6×2＝12．故答案为：2；12．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且+＝．（1）求b的值；（2）若cos B+sin B＝2，求a+c的取值范围．【分析】（1）应用正弦、余弦定理化简+＝，即可求出b的值；（2）根据cos B+sin B＝2与平方关系sin2B+cos2B＝1，求得sin B、cos B，从而求得B 的值，再由正弦定理求得a＝sin A，c＝sin C；利用A+B+C＝π求得C＝﹣A，且0＜A＜；再利用三角恒等变换求a+c＝sin A+sin C的取值范围．解：（1）△ABC中，+＝，∴+＝，∴＝，解得b＝；（2）∵cos B+sin B＝2，∴cos B＝2﹣sin B，∴sin2B+cos2B＝sin2B+＝4sin2B﹣4sin B+4＝1，∴4sin2B﹣4sin B+3＝0，解得sin B＝；从而求得cos B＝，∴B＝；由正弦定理得＝＝＝＝1，∴a＝sin A，c＝sin C；由A+B+C＝π得A+C＝，∴C＝﹣A，且0＜A＜；∴a+c＝sin A+sin C＝sin A+sin（﹣A）＝sin A+sin cos A﹣cos sin A＝sin A+cos A＝sin（A+），∵0＜A＜，∴＜A+＜，∴＜sin（A+）≤1，∴＜sin（A+）≤，∴a+c的取值范围是（，]．18．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠ACB＝．已知E，F分别是BC，AC的中点．将△CEF沿EF折起，使C到C′的位置且二面角C′﹣EF﹣B的大小是60°．连接C′B，C′A，如图：（Ⅰ）求证：平面C′FA⊥平面ABC′；（Ⅱ）求平面AFC′与平面BEC′所成二面角的大小．【分析】（Ⅰ）法一：由AF＝C′F．设AC′的中点为G，连接FG．设BC′的中点为H，连接GH，EH．从而∠BEC′即为二面角C′﹣EF﹣B的平面角．∠BEC′＝60°，推导出EH⊥BC′．EF⊥C′E，EF⊥BE，从而EF⊥平面BEC′．由EF∥AB，得AB ⊥平面BEC′，从而AB⊥EH，即EH⊥AB．进而EH⊥平面ABC′．推导出四边形EHGF为平行四边形．从而FG∥EH，FG⊥平面ABC′，由此能证明平面AFC′⊥平面ABC′．法二：以B为原点，在平面BEC′中过B作BE的垂线为x轴，BE为y轴，BA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面AFC′⊥平面ABC′．（Ⅱ）以B为原点，在平面BEC′中过B作BE的垂线为x轴，BE为y轴，BA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面AFC′与平面BEC′所成二面角大小．【解答】证明：（Ⅰ）证法一：∵F是AC的中点，∴AF＝C′F．设AC′的中点为G，连接FG．设BC′的中点为H，连接GH，EH．由题意得C′E⊥EF，BE⊥EF，∴∠BEC′即为二面角C′﹣EF﹣B的平面角．∴∠BEC′＝60°，∵E为BC的中点．∴BE＝EC′，∴△BEC′为等边三角形，∴EH⊥BC′．∵EF⊥C′E，EF⊥BE，C′E∩BE＝E，∴EF⊥平面BEC′．∵EF∥AB，∴AB⊥平面BEC′，∴AB⊥EH，即EH⊥AB．∵BC′∩AB＝B，∴EH⊥平面ABC′．∵G，H分别为AC′，BC′的中点．∴GH FE，∴四边形EHGF为平行四边形．∴FG∥EH，FG⊥平面ABC′，又FG⊂平面AFC′．∴平面AFC′⊥平面ABC′．法二：如图，以B为原点，在平面BEC′中过B作BE的垂线为x轴，BE为y轴，BA 为z轴，建立空间直角坐标系，设AB＝2．则A（0，0，2），B（0，0，0），F（0，2，1），E（0，2，0），C′（，1，0）．设平面ABC′的法向量为＝（x，y，z），＝（0，0，2），＝（），∴，令x＝1，则＝（1，﹣，0），设平面AFC′的法向量为＝（x，y，z），＝（0，2，﹣1），＝（，1，﹣2），∴，取y＝1，得＝（，1，2）．∵•＝0，∴平面AFC′⊥平面ABC′．解：（Ⅱ）如图，以B为原点，在平面BEC′中过B作BE的垂线为x轴，BE为y轴，BA为z轴，建立空间直角坐标系，设AB＝2，则A（0，0，2），B（0，0，0），F（0，2，1），E（0，2，0），C′（，1，0）．平面BEC′的法向量＝（0，0，1），设平面AFC′的法向量为＝（x，y，z），＝（），＝（0，2，﹣1），∴，取y＝1，得＝（）．∴cos＜＞＝＝，由图形观察可知，平面AFC′与平面BEC′所成的二面角的平面角为锐角．∴平面AFC′与平面BEC′所成二面角大小为45°．19．某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图（如图所示），规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败．晋级成功晋级失败合计男16女50合计（Ⅰ）求图中a的值；（Ⅱ）根据已知条件完成下面2×2列联表，并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关？（Ⅲ）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为X，求X的分布列与数学期望E（X）．（参考公式：，其中n＝a+b+c+d）P（K2≥k0）0.400.250.150.100.050.025 k00.780 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024【分析】（Ⅰ）由频率和为1，列出方程求a的值；（Ⅱ）由频率分布直方图求出晋级成功的频率，计算晋级成功的人数，填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（Ⅲ）由频率分布直方图知晋级失败的频率，将频率视为概率，知随机变量X服从二项分布，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望；解：（Ⅰ）由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知（2a+0.020+0.030+0.040）×10＝1，解得a＝0.005；（Ⅱ）由频率分布直方图知，晋级成功的频率为0.20+0.05＝0.25，所以晋级成功的人数为100×0.25＝25（人），填表如下：晋级成功晋级失败合计男163450女94150合计2575100假设“晋级成功”与性别无关，根据上表数据代入公式可得，所以有超过85%的把握认为“晋级成功”与性别有关；（Ⅲ）由频率分布直方图知晋级失败的频率为1﹣0.25＝0.75，将频率视为概率，则从本次考试的所有人员中，随机抽取1人进行约谈，这人晋级失败的概率为0.75，所以X可视为服从二项分布，即，，故，，，，，所以X的分布列为X01234P（X＝k）数学期望为，或（）．20．已知椭圆的离心率为，直线过椭圆C的右焦点F，过F的直线m交椭圆C于M、N两点（均异于左、右顶点）．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l：x＝4，A为椭圆C的右顶点．若直线AM交l于点P，直线AN交l 于点Q，试判断是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由．【分析】（1）由题意求得F（1，0），可得c＝1，由离心率公式可得a＝2，结合a，b，c的关系可得b，进而得到椭圆方程；（2）求得A的坐标，设出直线m：x＝ty+1，M（x1，y1），N（x2，y2），求得P，Q 的坐标，运用向量的加减和数量积的坐标运算，化简整理，再由直线m和椭圆方程联立，消去x，可得y的二次方程，运用韦达定理，计算可得所求定值．解：（1）因为直线过椭圆C的右焦点F，所以F（1，0）．即c＝1，因为离心率为，即e＝＝，∴a＝2，b＝，则椭圆的方程为+＝1；（2）A（2，0），设直线m：x＝ty+1，M（x1，y1），N（x2，y2），则AM：y＝（x﹣2），∴P（4，），AN：y＝（x﹣2），∴Q（4，），因此＝（3+3，+）•（x2﹣x1，y2﹣y1）＝6（x2﹣x1）+（y2﹣y1）（+）＝（y2﹣y1）[6t+（+）]＝（y2﹣y1）[6t+]，由x＝ty+1，+＝1得（3t2+4）y2+6ty﹣9＝0，所以y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣，因此＝＝＝﹣6t，即＝0，故为定值0．21．已知函数f（x）＝e2x﹣ae x﹣2a2x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）求出f（x）的导函数，得f′（x）＝e2x﹣ae x﹣2a2＝（e x+a）（e x﹣2a），得到导函数的零点，对a分类可得原函数的单调性；（2）由（1）可知，当a＝0时，f（x）＝e2x＞0，a＝0成立；当a≠0时，求得f（x）的最小值，由最小值大于等于0求解实数a的取值范围．解：（1）由f（x）＝e2x﹣ae x﹣2a2x，得f′（x）＝e2x﹣ae x﹣2a2＝（e x+a）（e x﹣2a）．当a＝0时，f′（x）＝e2x＞0，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；当a＞0时，由f′（x）＜0，得x＜ln（2a），由f′（x）＞0，得x＞ln（2a）．∴f（x）在（﹣∞，ln（2a））上单调递减，在（ln（2a），+∞）上单调递增；当a＜0时，由f′（x）＜0，得x＜ln（﹣a），由f′（x）＞0，得x＞ln（﹣a）．∴f（x）在（﹣∞，ln（﹣a））上单调递减，在（ln（﹣a），+∞）上单调递增．综上，当a＝0时，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；当a＞0时，f（x）在（﹣∞，ln（2a））上单调递减，在（ln（2a），+∞）上单调递增；当a＜0时，f（x）在（﹣∞，ln（﹣a））上单调递减，在（ln（﹣a），+∞）上单调递增．（2）由（1）可知，当a＝0时，f（x）＝e2x＞0，∴a＝0成立；当a＞0时，f（x）min＝f（ln（2a））＝≥0．即ln（2a）≤0，∴0；当a＜0时，＝．即ln（﹣a），∴≤a＜0．综上，a∈[，]．选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答.[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．在平面直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C 的极坐标方程为ρ＝4sin（θ+）．（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C交于M，N两点，求△MON的面积．【分析】（1）消去参数t可得直线l的普通方程，两边同乘ρ后利用两角和的正弦公式以及互化公式可得曲线C的直角坐标方程；（2）由点到直线l的距离求得三角形的高，再根据面积公式可得．【解答】解（1）由消去参数t得x+y＝4，直线l的普通方程为x+y﹣4＝0．由ρ＝4sin（θ+）＝2sinθ+2cosθ得，ρ2＝2ρsin θ+2ρcos θ，即x2+y2＝2y+2x，∴曲线C的直角坐标方程是圆：（x﹣）2+（y﹣1）2＝4．（2）∵原点O到直线l的距离d＝＝2．直线l过圆C的圆心（，1），∴|MN|＝2r＝4，所以△MON的面积S＝|MN|×d＝4．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|+2|x﹣a|．（1）设a＝1，求不等式f（x）≤7的解集；（2）已知a＞﹣1，且f（x）的最小值等于3，求实数a的值．【分析】（1）利用分段讨论的方法求解不等式；（2）先确定函数的解析式，然后根据函数的单调性求出最小值，建立方程求解．解：（1）a＝1时，f（x）＝|x+1|+2|x﹣1|．（1分）当x＜﹣1时，f（x）≤7即为﹣3x+1≤7，解得﹣2≤x＜﹣1．当﹣1≤x≤1时，﹣x+3≤7，解得﹣1≤x≤1．当x＞1时，3x﹣1≤7，解得1＜x≤．综上，f（x）≤7的解集为（2）∵a＞﹣1，∴f（x）＝由y＝f（x）的图象知f（x）min＝f（a）＝a+1＝3，∴a＝2．故实数a的值为2．。

天水市一中2019届高考一轮复习第六次质量检测数学试题（理科）（满分：150分 时间：120分钟）一、单选题（每小题5分，共12小题，共60分）1.已知集合{}ln(1)M x y x ==-, 集合{|,}x N y y e x R ==∈(e 为自然对数的底数), 则MN =( )A.{|1}x x <B.{|1}x x >C.{|01}x x <<D.∅ 2.已知复数11iz i+=-，则复数z 的模为（ ）A. 2B.C. 1D. 03.若命题p 为：为（ ）A ．B ．C ．D ．4.一个简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．3696+π B ．4872+π C ．9648+πD ．4824+π5.为了弘扬我国优秀传统文化,某中学广播站在中国传统节日:春节,元宵节,清明节,端午节,中秋节五个节日中随机选取两个节日来讲解其文化内涵,那么春节和端午节至少有一个被选中的概率是( ) A .0.3 B .0.4C .0.6D .0.76.如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14，18，则输出的a 为( )A.4B.2C.0D.14 7.在等差数列{}n a 中，810112a a =+，则数列{}n a 的前11项和11S =( )A. 8B. 16C. 22D. 44 8.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎪⎭⎫⎝⎛<>2,0πϕω，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2，将函数y ＝f (x )的图象向左平移π3个单位长度后，得到的图象关于y 轴对称，那么函数y ＝f (x )的图象( ) A.关于点⎪⎭⎫⎝⎛012，π对称 B.关于点⎪⎭⎫⎝⎛012-，π对称 C.关于直线x ＝π12对称 D.关于直线x ＝－π12对称9.在△ABC 中，BC 边上的中线AD 的长为2，点P 是△ABC 所在平面上的任意一点，则P A →·PB →＋P A →·PC →的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．－2 D ．－110.已知四棱锥P －ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，其中ABCD 为正方形，△P AD 为等腰直角三角形，P A ＝PD ＝2，则四棱锥P －ABCD 外接球的表面积为( ) A.10π B.4π C.16π D.8π11.抛物线C 1：y ＝12p x 2(p ＞0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( )A.316B.38C.233D.43312.已知函数f (x )＝e －x －2x －a ，若曲线y ＝x 3＋x ＋1(x ∈[－1,1])上存在点(x 0，y 0)使得f (y 0)＝y 0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，e －3－9)∪[e ＋3，＋∞) B ．[e －3－9，e ＋3]C ．(e －3－9，e 2＋6) D ．(－∞，e －3－9)∪(e ＋3，＋∞)二、填空题（每小题5分，共4小题，共20分）13.的展开式的常数项为__________．14.已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥4，x ＋2y ≤4，y ≤0，则z ＝3x －2y 的最小值是______.15.设、是双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点，满足（为坐标原点），且，则双曲线的离心率为 ．16.设函数()()e 2122x f x x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得()00f x <，则a 的取值范围是_______.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必答题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分 17.（12分）已知a ,b ,c 分别为ABC ∆三个内角A , B , C 的对边,c a sin C +c cos A ．(1)求角A ;(2)若a =ABC ∆求ABC ∆的周长．18.（12分）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．①用X 表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X 的分布列与数学期望； ②设A 为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A 发生的概率．19.（12分）如图所示,在四棱锥P-ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，AB=BC=P A=1,AD=2,∠P AD=∠DAB=∠ABC=90°,点E 在棱PC 上,且CE=λCP (0<λ<1). (1)求证:CD ⊥AE.?若存在,求出(2)是否存在实数λ,使得二面角C-AE-D 的余弦值为实数λ的值；若不存在，请说明理由.20.（12分）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，点M ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛233，在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的方程；(2)若不过原点O 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，与直线OM 相交于点N ，且N 是线段AB 的中点，求△OAB 面积的最大值.21.（12分）已知函数f (x )＝ln x ＋ax .(1)求f (x )的单调区间和极值；(2)若对任意x >0，均有x (2ln a －ln x )≤a 恒成立，求正数a 的取值范围.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C ：⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)，在以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为22ρcos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πθ＝－1. (1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)过点M (－1，0)且与直线l 平行的直线l 1交C 于A ，B 两点，求点M 到A ，B 两点的距离之积.23.[选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数f (x )＝|2x －1|＋ax －5(a ∈R ). (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集；(2)若函数f (x )恰有两个不同的零点，求实数a 的取值范围.理科答案选择题：1.C 2.C 3.C 4.D 5.D 6.B 7.C 8.A 9.C 10.D 11.D 12.B填空题：13.-15 14.6 15.5 16.31,4e2⎡⎫⎪⎢⎣⎭17.(1)由及正弦定理，得,又,,.(2)因为三角形的面积公式所以，由余弦定理，得：，三角形的周长为.解:(1)证明:过点C作CF∥AB交AD于点F,∵AB=BC=1,AD=2,∠DAB=∠ABC=90°,∴四边形ABCF为正方形,且AF=FD=1,AC=.在Rt△CFD中,CD=,在△ACD中,CD2+AC2=4=AD2,∴CD⊥AC.∵∠PAD=90°,∴PA⊥AD,又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PA⊂平面PAD,∴PA⊥平面ABCD,∴PA⊥CD.∵PA,AC⊂平面PAC,且PA∩AC=A,∴CD⊥平面PAC,又AE⊂平面PAC,∴CD⊥AE.(2)由题知,PA ,AB ,AD 两两垂直,以点A 为坐标原点,AB ,AD ,AP 所在直线分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,如图所示, 则A (0,0,0),P (0,0,1),C (1,1,0),D (0,2,0),∴=(-1,1,0),=(0,2,0).假设存在实数λ(0<λ<1),使得二面角C-AE-D 的余弦值为,设E (x ,y ,z ),∵=λ,∴(x-1,y-1,z )=λ(-1,-1,1), ∴E (1-λ,1-λ,λ),则=(1-λ,1-λ,λ).∵CD ⊥平面PAC ,∴平面AEC 的一个法向量为n ==(-1,1,0).设平面AED 的法向量为m =(a ,b ,c ),则即令c=1,则a=,b=0,∴m ==(-λ,0,1-λ),∵≠0,∴可取m =(-λ,0,1-λ),∴|cos <m ,n >|===,化简得3λ2-8λ+4=0,∵λ∈(0,1),∴λ=,∴存在实数λ=,使得二面角C-AE-D 的余弦值为.20.解 (1) 由椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，点M ⎝⎛⎭⎫3，32在椭圆C 上，得⎩⎨⎧c a ＝12，(3)2a 2＋(3)24b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝3.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)易得直线OM 的方程为y ＝12x .当直线l 的斜率不存在时，AB 的中点不在直线y ＝12x 上，故直线l 的斜率存在.设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，与x 24＋y 23＝1联立消y ，得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，所以Δ＝64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－12) ＝48(3＋4k 2－m 2)>0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－123＋4k 2.由y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝6m3＋4k 2，所以AB 的中点N ⎝⎛⎭⎫－4km 3＋4k 2，3m 3＋4k 2， 因为N 在直线y ＝12x 上，所以－4km 3＋4k 2＝2×3m 3＋4k 2，解得k ＝－32， 所以Δ＝48(12－m 2)>0，得－23<m <23，且m ≠0， |AB |＝1＋⎝⎛⎭⎫322|x 2－x 1|＝132·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝132·m 2－4×m 2－33＝39612－m 2， 又原点O 到直线l 的距离d ＝2|m |13， 所以S △OAB ＝12×39612－m 2×2|m |13＝36(12－m 2)m 2≤36(12－m 2＋m 2)24＝3，当且仅当12－m 2＝m 2，即m ＝±6时等号成立， 符合－23<m <23，且m ≠0， 所以△OAB 面积的最大值为 3.21.解 (1)f ′(x )＝1x －a x 2＝x －ax2，x ∈(0，＋∞).①当a ≤0时，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上为增函数，无极值； ②当a >0，x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，f (x )在(0，a )上为减函数； x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )在(a ，＋∞)上为增函数， 所以f (x )在(0，＋∞)上有极小值，无极大值， f (x )的极小值为f (a )＝ln a ＋1.(2)若对任意x >0，均有x (2ln a －ln x )≤a 恒成立， 即对任意x >0，均有2ln a ≤ax＋ln x 恒成立，由(1)可知f (x )的最小值为ln a ＋1，问题转化为2ln a ≤ln a ＋1， 即ln a ≤1，故0<a ≤e ， 故正数a 的取值范围是(0，e].22.解 (1)曲线C 化为普通方程为x 23＋y 2＝1，由22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－1，得ρcos θ－ρsin θ＝－2， 所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0.(2)直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋22t ，y ＝22t(t 为参数)，代入x 23＋y 2＝1化简得，2t 2－2t －2＝0，设A ，B 两点所对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1t 2＝－1，所以|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝1.23.解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|2x －1|＋x －5＝⎩⎨⎧－x －4，x <12，3x －6，x ≥12，由f (x )≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x <12，－x －4≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，3x －6≥0，解得x ≤－4或x ≥2，故不等式f (x )≥0的解集为{x |x ≤－4或x ≥2}. (2)令f (x )＝0，得|2x －1|＝5－ax ，则函数f (x )恰有两个不同的零点转化为y ＝|2x －1|与y ＝－ax ＋5的图象有两个不同的交点，在同一平面直角坐标系中作出两函数的图象如图所示，结合图象知当－2<a <2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，所以当－2<a <2时，函数f (x )恰有两个不同的零点，故实数a 的取值范围为(－2，2).。

天水市一中2016级一轮复习第三次质量检测数学试题（理科）（满分：150分时间：120分钟）一、单选题（每小题5分，共60分）1．已知集合,则（）A．B．C．D．2．已知，则（）A．B．C．D．3．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤,中间三尺重几何．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部尺，重斤，尾部尺，重斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤．”（）A．6斤B．7斤C．斤D．斤4. 已知向量且，则（）A．B．C．D．5．已知，则（）A．7 B．C．D．6．已知定义在上的函数，设两曲线与在公共点处的切线相同，则值等于（）A．-3 B．1 C．3 D．57．已知各项均不相等的等比数列成等差数列，设为数列的前n项和，则等于（）A．B．C．3 D．18．设函数，则使得成立的的取值范围是（）A．B．C．D．9．已知△是边长为的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（）A．B．C．D．－110.已知实数、，满足，则的取值范围是（）A．B．C．D．11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线条画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为( )A．B．C．D．12．若均为任意实数，且，则的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题（每小题5分，共20分）13．若实数满足则的最小值为__________．14．三棱柱中，，、、，则该三棱柱的外接球的表面积为15.下列四个命题中真命题的序号是__________．①“”是“”的充分不必要条件；②命题，命题，则为真命题；③命题“”的否定是“”；④“若，则”的逆命题是真命题.16．已知，关于的方程恰有三个不等实根，且函数的最小值是，则_______．三、解答题（第17题10分，其余各题每题12分，共70分）17已知函数．（1）求函数的单调增区间；（2）若，求函数的值域．18已知数列为等差数列，数列为等比数列，满足（1）求数列通项公式；（2）令，求数列的前项和．19．如图，在△ABC中，点P在BC边上，∠PAC＝60°，PC＝2，AP＋AC＝4.(1)求∠ACP；(2)若△APB的面积是，求AB20．数列中，，当时，其前项和满足．（1）求的表达式；(2)设＝,求数列的前项和．21．如图，四棱锥中，底面为菱形，，为等边三角形．（1）求证：．（2）若，，求二面角的余弦值22.已知函数.(1)若函数在上为增函数，求的取值范围；(2)若函数有两个不同的极值点，记,且证明参考答案1 C2 D3 D 4B 5C 6D 7A 8 D 9 B 10 D 11 B 12 D11【解析】由三视图可得，该几何体为如图所示的三棱锥，故其体积为．选B．12．D【解析】分析：该题可以看做是圆上的动点到曲线上的动点的距离的平方的最小值问题，可以转化为圆心到曲线上的动点的距离减去半径的平方的最值问题，结合图形，可以断定那个点应该满足与圆心的连线与曲线在该点的切线垂直的问题来解决，从而求得切点坐标，即满足条件的点，代入求得结果.详解：由题意可得，其结果应为曲线上的点与以为圆心，以为半径的圆上的点的距离的平方的最小值，可以求曲线上的点与圆心的距离的最小值，在曲线上取一点，曲线有在点M处的切线的斜率为，从而有，即，整理得，解得，所以点满足条件，其到圆心的距离为，故其结果为，故选D.点睛：解决该题的关键是分析清式子代表的意义，再者就是什么时候满足距离最小，之后应用导数的几何意义求得切线的斜率，应用两点斜率坐标公式求得直线的斜率，两条直线垂直，斜率乘积等于-1.从而求得结果.13．14．815．①③16．516【解析】【分析】由条件可得直线与相切，设出切点，求得二次函数的导数，可得的方程，再由函数的单调性，可得的最小值，化简变形即可得到的关系式，可得所求值．【详解】关于的方程恰有三个不等实根，可得直线与相切相切，设切点为，，则，消去，可得设与轴的两个交点的横坐标为：，即有函数，当时，取得最小值是，即有可得即为，化为，可得或，由，可得，即17⑴⑵（1）由,所以函数的单调增区间是（2）由得从而，所以函数的值域为.18．数列的前n项和，，．．19（1）；（2）AB＝(1)在△APC中，因为∠PAC＝60°，PC＝2，AP＋AC＝4，由余弦定理得PC2＝AP2＋AC2－2·AP·AC·cos ∠PAC，所以22＝AP2＋(4－AP)2－2·AP·(4－AP)·cos 60°，整理得AP2－4AP＋4＝0，解得AP＝2.所以AC＝2，所以△APC是等边三角形．所以∠ACP＝60°.(2)由于∠APB是△APC的外角，所以∠APB＝120°.因为△APB的面积是，所以，AP·PB·sin ∠APB＝.所以PB＝3.在△APB中，AB2＝AP2＋PB2－2·AP·PB·cos ∠APB＝22＋32－2×2×3×cos 120°＝19，所以.20．（1）；（2）。