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中考数学冲刺专题突破特殊四边形专题一特殊四边形有关的证明及计算【专题说明】与特殊四边形有关的证明及计算，考查两种形式：①纯几何综合题；②与函数结合的综合题．背景图形主要涉及正方形，常涉及到利用特殊四边形的性质来证明计算，也结合三角形全等、相似等考查，综合性较强．其中与函数结合的证明及计算常涉及求线段长度、图形面积的最值等．【类型】一、纯几何图形的证明及计算【精典例题】1、如图，四边形ABCD是正方形，点M在边BC上(不与端点B、C重合)，点N在对角线AC 上，且MN⊥AC，连接AM，点G是AM的中点，连接NG、DN.(1)若AB＝10，BM＝23，求NG的长；(2)求证：DN＝2NG.【精典例题】2、(2019潍坊)如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接DG，过点A 作AH∥DG，交BG于点H.连接HF，AF，其中AF交EC于点M.(1)求证：△AHF为等腰直角三角形；(2)若AB＝3，EC＝5，求EM的长．【精典例题】3、如图，将矩形ABCD沿AF所在直线折叠，使点D落在BC边上的点E处，过点E作EG ∥CD交AF于点G，连接DG.(1)求证：四边形EFDG是菱形；(2)探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；(3)若AG＝6，EG＝25，求BE的长．【精典例题】1、如图，正方形ABCD边长为4，点O在对角线DB上运动(不与点B，D重合)，连接OA，作OP⊥OA，交直线BC于点P.(1)判断线段OA，OP的数量关系，并说明理由；(2)当OD＝2时，求CP的长；(3)设线段DO，OP，PC，CD围成的图形面积为S1，△AOD的面积为S2，求S1－S2的最值．【精典例题】2、已知在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，垂足为点D ，以AD 为对角线作正方形AEDF ，DE 交AB 于点M ，DF 交AC 于点N ，连接EF ，分别交AB 、AD 、AC 于点G 、O 、H .(1)求证：EG ＝HF ；(2)当∠BAC ＝60°时，求AH NC的值；(3)设HFHE＝k，△AEH和四边形EDNH的面积分别为S1和S2，求S2S1的最大值．第2题图中考数学冲刺专题突破特殊四边形专题一特殊四边形有关的证明及计算【专题说明】与特殊四边形有关的证明及计算，考查两种形式：①纯几何综合题；①与函数结合的综合题．背景图形主要涉及正方形，常涉及到利用特殊四边形的性质来证明计算，也结合三角形全等、相似等考查，综合性较强．其中与函数结合的证明及计算常涉及求线段长度、图形面积的最值等．【类型】一、纯几何图形的证明及计算【精典例题】1、如图，四边形ABCD是正方形，点M在边BC上(不与端点B、C重合)，点N在对角线AC 上，且MN①AC，连接AM，点G是AM的中点，连接NG、DN.(1)若AB＝10，BM＝23，求NG的长；(2)求证：DN＝2NG.(1)解：①四边形ABCD 为正方形，①①B ＝90°，在Rt①ABM 中，①AB ＝10，BM ＝23，①AM ＝AB 2＋BM 2＝47.①MN ①AC ，点G 是AM 的中点，①GN ＝12AM ＝27； (2)证明：如解图，过点D 作DE ①AC 于点E ，①四边形ABCD 是正方形，①AD ＝DC ，DE ＝12AC . ①AC 为正方形对角线，①①ACB ＝45°.①MN ①AC ，①MN ＝NC .设MN ＝NC ＝a ，AN ＝b ，①在Rt①AMN 中，由勾股定理得，AM ＝MN 2＋AN 2＝a 2＋b 2，①MN ①AC ，点G 是AM 的中点，①GN ＝a 2＋b 22. ①AC ＝a ＋b ，①DE ＝EC ＝a ＋b 2. ①EN ＝EC －NC ＝b －a 2.DN ＝DE 2＋EN 2＝2（a 2＋b 2）2①DN ＝2NG .【精典例题】2、(2019潍坊)如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接DG，过点A 作AH①DG，交BG于点H.连接HF，AF，其中AF交EC于点M.(1)求证：①AHF为等腰直角三角形；(2)若AB＝3，EC＝5，求EM的长．【精典例题】3、如图，将矩形ABCD 沿AF 所在直线折叠，使点D 落在BC 边上的点E 处，过点E 作EG ①CD 交AF 于点G ，连接DG .(1)求证：四边形EFDG 是菱形；(2)探究线段EG 、GF 、AF 之间的数量关系，并说明理由；(3)若AG ＝6，EG ＝25，求BE 的长．(1)证明：①GE ①CD ，①①EGF ＝①DFG .①由翻折的性质可知GD ＝GE ，DF ＝EF ，①DGF ＝①EGF ，①①DGF ＝①DFG .①GD ＝DF .①DG ＝GE ＝DF ＝EF .①四边形EFDG 为菱形；(2)解：EG 2＝12GF ·AF . 理由：如解图①，连接DE ，交AF 于点O ，①四边形EFDG 为菱形，①GF ①DE ，OG ＝OF ＝12GF ，DF ＝EG . 又①四边形ABCD 为矩形，①①DOF ＝①ADF ＝90°，又①①OFD ＝①DF A ，①①DOF ①①ADF .①DF AF ＝FO FD ，即DF 2＝FO ·AF .①FO ＝12GF ，DF ＝EG ，①EG 2＝12GF ·AF ； 图①(3)解：如解图①，过点G 作GH ①DC ，垂足为点H ，①EG 2＝12GF ·AF ，AG ＝6，EG ＝25，①20＝12GF (FG ＋6)， 整理得FG 2＋6FG －40＝0，解得FG ＝4或－10(舍去)，①DF ＝GE ＝25，AF ＝10，①在Rt①ADF 中，AD ＝AF 2－DF 2＝4 5.①GH ①DC ，AD ①DC ，①GH ①AD .①①FGH ①①F AD .①GH AD ＝FG AF ，即GH 45＝410.①GH ＝855.易证四边形GECH 为矩形，①GH ＝EC ， ①BE ＝BC －EC ＝AD －GH ＝45－855＝1255. 图①【类型】二、与函数结合的证明及计算【精典例题】1、如图，正方形ABCD 边长为4，点O 在对角线DB 上运动(不与点B ，D 重合)，连接OA ，作OP ①OA ，交直线BC 于点P .(1)判断线段OA ，OP 的数量关系，并说明理由；(2)当OD ＝2时，求CP 的长；(3)设线段DO ，OP ，PC ，CD 围成的图形面积为S 1，①AOD 的面积为S 2，求S 1－S 2的最值．解：(1)OA ＝OP .理由如下：如解图①，过点O 分别作AB ，BC 的垂线，垂足分别为点M ，N .①OM ①AB ，ON ①BC ，OM ＝ON ，①四边形MBNO 为正方形.①①MON ＝90°.①①AOM ＋①MOP ＝90°，①MOP ＋①PON ＝90°，①①AOM ＝①PON .在①AOM 和①PON 中，⎩⎪⎨⎪⎧①AMO ＝①PNO MO ＝NO ①MOA ＝①NOP，①①AOM ①①PON (ASA).①OA ＝OP ；图①(2)如解图①，过点O 作OK ①CD ，垂足为K ，过点O 作ON ①BC ，垂足为N ，连接OC .①四边形ONCK 为矩形.①NC ＝OK .①OD ＝2，①NC ＝OK ＝1.①AD ＝CD ，①ADO ＝①CDO ＝45°，OD ＝OD ，①①AOD ①①COD (SAS).①OA ＝OC .①OA ＝OP ＝OC ，又①ON ①PC ，①CN ＝PN .①CP ＝2；图①(3)①①AOD ①①COD ，①S ①AOD ＝S ①COD .①S 1－S 2＝S ①OPC .设OK ＝x ，则PC ＝2x ，ON ＝CK ＝4－x .①S ①OPC ＝12×2x ×(4－x )＝－x 2＋4x . ①S 1－S 2＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4.①当x ＝2时，S 1－S 2的最大值为4，无最小值.【精典例题】2、已知在①ABC 中，AB ＝AC ，AD ①BC ，垂足为点D ，以AD 为对角线作正方形AEDF ，DE 交AB 于点M ，DF 交AC 于点N ，连接EF ，分别交AB 、AD 、AC 于点G 、O 、H .(1)求证：EG ＝HF ；(2)当①BAC ＝60°时，求AH NC的值； (3)设HF HE ＝k ，①AEH 和四边形EDNH 的面积分别为S 1和S 2，求S 2S 1的最大值．第2题图。
