2012北京高考文科数学试题(详细答案)

2012年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）一 、选择题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知集合A={x ∈R|3x+2＞0} B={x ∈R|（x+1）(x-3)＞0} 则A ∩B= A ．（-∞，-1） B ．（-1，-23） C ．（-23,3） D ． (3,+∞)【解析】和往年一样，依然的集合(交集)运算，本次考查的是一次和二次不等式的解法。

因为32}023|{->⇒>+∈=x x R x A ，利用二次不等式可得1|{-<=x x B 或}3>x 画出数轴易得：}3|{>=x x B A ．故选D ． 【答案】D2．在复平面内，复数103i i+对应的点的坐标为A ． (1 ,3)B ．(3,1)C ．(-1,3)D ．(3 ,-1)【解析】本题考查的是复数除法的化简运算以及复平面，实部虚部的概念。

i i ii i i i i i ii 3110301091030)3)(3()3(1031022+=+=--=-+-=+，实部为1，虚部为3，对应复平面上的点为(1,3)，故选A ． 【答案】A3．设不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤20,20y x ，表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 （A ）4π （B ）22π- （C ）6π（D ）44π-【解析】题目中⎩⎨⎧≤≤≤≤2020y x 表示的区域如图正方形所示，而动点D可以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分，因此4422241222ππ-=⨯⋅-⨯=P ，故选D 。

【答案】D4．执行如图所示的程序框图，输出S值为（A ）2 （B ）4 （C ）8 （D ）16【解析】0=k ，11=⇒=k s ，21=⇒=k s ，22=⇒=k s ，8=s ，循环结束，输出的s 为8，故选C 。

【答案】C5．函数x x x f )21()(21-=的零点个数为（A ）0 （B ）1（C ）2 （D ）3【解析】x x x f )21()(21-=的零点，即令0)(=x f ，根据此题可得xx )21(21=，在平面直角坐标系中分别画出幂函数21x 和指数函数x)21(的图象，可得交点只有一个，所以零点只有一个，故选B 。

2012年全国各地高考数学试题汇编汇总数学(文)(北京卷)本试卷共5页,150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。

考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(选择题 共40分)一 、选择题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。

(1)已知集合{|320}A x R x =∈+>,{|(1)(3)0}B x R x x =∈+->,则A B = (A)(,1)-∞- (B)2(1,)3-- (C)2(,3)3- (D)(3,)+∞ (2)在复平面内,复数103ii+对应的点的坐标为 (A)(1,3) (B)(3,1) (C)(1,3)- (D)(3,1)- (3)设不等式组02,02x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域为D ,在区域D 内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于2的概率是(A)4π (B)22π-(C)6π (D)44π-(4)执行如图所示的程序框图,输出的S 值为 (A)2 (B)4 (C)8 (D)16(5)函数121()()2xf x x =-的零点个数为(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 (6)已知{}n a 为等比数列,下面结论中正确的是(A)1322a a a +≥ (B)2221322a a a +≥ (C)若13a a =,则12a a = (D)若31a a >,则42a a > (7)某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是(A)28+ (B)30+(C)56+ (D)60+(8)某棵果树前n 年的总产量n S 与n 之间的关系如图所示,从目前记录的结果看,前m 年的年平均产量最高,m 的值为 (A)5 (B)7 (C)9 (D)11第二部分(非选择题 共110分)二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。

(9)直线y x =被圆22(2)4x y +-=截得的弦长为__________。

2012年普通高等学校招生全国统一考试北京文科1.已知集合A ＝{x ∈R|3x ＋2>0}，B ＝{x ∈R|(x ＋1)(x ﹣3)>0}，则A ∩B ＝( ). A.(﹣∞，﹣1)B.21,-3⎛⎫- ⎪⎝⎭C.2,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D.(3，＋∞)D 由题意得，A ＝2|3x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭，B ＝{x |x <﹣1或x >3}，所以A ∩B ＝(3，＋∞).2.在复平面内，复数10i 3i+对应的点的坐标为( ).A.(1，3)B.(3，1)C.(﹣1，3)D.(3，﹣1)A ∵10i 3i +＝10i(3i)(3i)(3i)-+-＝1030i 10+＝1＋3i ，∴10i 3i+对应的点的坐标为(1，3).3.设不等式组02,02x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域为D .在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( ).A.π4B.π22-C.π6D.4π4-D 由题意知此概型为几何概型，设所求事件为A ，如图所示，边长为2的正方形区域为总度量μΩ，满足事件A 的是阴影部分区域μA ，故由几何概型的概率公式得P (A )＝22212π242-⨯⨯＝4π4-. 4.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为( ).A.2B.4C.8D.16C 初始：k ＝0，S ＝1，第一次循环：由0<3，得S ＝1×20＝1，k ＝1;第二次循环：由1<3得，S ＝1×21＝2，k ＝2; 第三次循环：由2<3得，S ＝2×22＝8，k ＝3. 经判断此时要跳出循环.因此输出的S 值为8. 5.函数f (x )＝12x ﹣12x⎛⎫ ⎪⎝⎭的零点个数为( ).A.0B.1C.2D.3B 函数f (x )＝12x ﹣12x⎛⎫ ⎪⎝⎭的零点个数即为方程12x ＝12x⎛⎫ ⎪⎝⎭的根的个数，因此可以利用数形结合，在同一坐标系内画出函数y ＝12x 和函数y ＝12x⎛⎫ ⎪⎝⎭的图象，两图象的交点个数即为f (x )＝12x ﹣12x⎛⎫ ⎪⎝⎭的零点个数，如图所示，其零点个数为1.6.已知{a n }为等比数列.下面结论中正确的是( ). A.a 1＋a 3≥2a 2B.21a ＋23a ≥222aC.若a 1＝a 3，则a 1＝a 2D.若a 3>a 1，则a 4>a 2B A 中当a 1，a 3为负数，a 2为正数时，a 1＋a 3≥2a 2不成立;B 中根据等比数列的性质及均值不等式得，21a＋23a ≥222a ;C 中取a 1＝a 3＝1，a 2＝﹣1，显然a 1≠a 2;D 中取a 1＝1，a 2＝﹣2，a 3＝4，a 4＝﹣8，可知a 4>a 2不一定成立.综上可知仅有B 正确.7.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( ).A.28＋B.30＋C.56＋D.60＋B 根据三棱锥的三视图可还原此几何体的直观图为：此几何体为一个底面为直角三角形，高为4的三棱锥，因此表面积为S ＝12×(2＋3)×4＋12×4×5＋12×4×(2＋3)＋1230＋8.某棵果树前n 年的总产量S n 与n 之间的关系如图所示.从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为( ).A.5B.7C.9D.11C 结合S n 与n 的关系图象可知，前2年产量均为0，显然22S ＝0为最小，在第3年~第9年期间，S n 的增长呈现持续稳定性.但在第9年之后，S n 的增长骤然降低，因为当n ＝9时，99S 的值为最大，故m 的值为9.9.直线y ＝x 被圆x 2＋(y ﹣2)2＝4截得的弦长为__________.由题意得，圆x 2＋(y ﹣2)2＝4的圆心为(0，2)，半径为2，圆心到直线x ﹣y ＝0的距离d.设截得的弦长为l ，则由22l ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋2＝22，得l ＝10.已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，若a 1＝12，S 2＝a 3，则a 2＝__________，S n ＝__________.1 14(n 2＋n ) 由a 1＝12，S 2＝a 3得，a 1＋a 2＝a 3，即a 3﹣a 2＝12，∴{a n }是一个以a 1＝12为首项，以12为公差的等差数列.∴a n ＝12＋(n ﹣1)×12＝12n ，∴a 2＝1，S n ＝11n 222n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝14n 2＋14n ＝14(n 2＋n ).11.在△ABC 中，若a ＝3，bA ＝π3，则∠C 的大小为__________.π2 由正弦定理得，sin a A ∠＝sin b B ∠sin ∠B ＝12， ∴∠B ＝30°或∠B ＝150°.由a >b 可知∠B ＝150°不合题意，∴∠B ＝30°. ∴∠C ＝180°﹣60°﹣30°＝90°.12.已知函数f (x )＝lg x ，若f (ab )＝1，则f (a 2)＋f (b 2)＝__________.2 由已知可得，lg(ab )＝1，∴f (a 2)＋f (b 2)＝lg a 2＋lg b 2＝lg(a 2b 2)＝2lg(ab )＝2×1＝2.13.已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE ·CB 的值为__________;DE ·DC 的最大值为__________.1 1 DE ·CB ＝(DA ＋AE )·CB＝(CB ＋AE )·CB ＝|CB |2＋AE ·CB ， ∵AE CB ⊥， ∴AE ·CB ＝0.∴DE ·CB ＝12＋0＝1.DE ·DC ＝(DA ＋AE )·DC＝DA ·DC ＋AE ·DC ＝λ|DC |2(0≤λ≤1)， ∴DE ·DC 的最大值为1.14.已知f (x )＝m (x ﹣2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x ﹣2.若∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0，则m 的取值范围是__________. (﹣4，0) 由题意可知，m ≥0时不能保证对∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0成立.(1)当m ＝﹣1时，f (x )＝﹣(x ＋2)2，g (x )＝2x ﹣2，画出图象①，显然满足条件;(2)当﹣1<m <0时，2m >﹣(m ＋3)，要使其满足条件，则需10,21,m m -<<⎧⎨<⎩解得﹣1<m <0，如图②; (3)当m <﹣1时，﹣(m ＋3)>2m ，要使其满足条件，则需1,-(3)1,m m <-⎧⎨+<⎩解得﹣4<m <﹣1，如图②.图① 图②综上可知，m 的取值范围为(﹣4，0). 15.已知函数f (x )＝(sin cos )sin2sin x x x x-.(1)求f (x )的定义域及最小正周期; (2)求f (x )的单调递减区间.解：(1)由sin x ≠0得x ≠k π(k ∈Z)，故f (x )的定义域为{x ∈R|x ≠k π，k ∈Z}.因为f (x )＝(sin cos )sin2sin x x x x-＝2cos x (sin x ﹣cos x ) ＝sin2x ﹣cos2x ﹣1π24x⎛⎫-⎪⎝⎭﹣1，所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.(2)函数y＝sin x的单调递减区间为π3π2π,2kπ22k⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k∈Z).由2kπ＋π2≤2x﹣π4≤2kπ＋3π2，x≠kπ(k∈Z)，得kπ＋3π8≤x≤kπ＋7π8(k∈Z).所以f(x)的单调递减区间为3π7ππ,kπ88k⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k∈Z).16.如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点.将△ADE 沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2.(1)求证：DE∥平面A1CB;(2)求证：A1F⊥BE;(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ?说明理由.图1图2解：(1)因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE∥BC.又因为DE⊄平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.(2)由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D，DE⊥CD.所以DE⊥平面A1DC.而A1F⊂平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，所以A1F⊥平面BCDE.所以A1F⊥BE.(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.又因为DE∥BC，所以DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP.所以A1C⊥平面DEP.从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.17.近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱.为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000(1)(2)试估计生活垃圾投放错误的概率;(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c，其中a>0，a＋b＋c＝600.当数据a，b，c的方差s2最大时，写出a，b，c的值(结论不要求证明)，并求此时s2的值.(注：s2＝1n[(x1﹣x)2＋(x2﹣x)2＋…＋(x n﹣x)2]，其中x为数据x1，x2，…，x n的平均数)解：(1)厨余垃圾投放正确的概率约为“”厨余垃圾箱里厨余垃圾量厨余垃圾总量＝400400100100++＝23.(2)设生活垃圾投放错误为事件A，则事件A表示生活垃圾投放正确.事件A的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P(A)约为400240601?000++＝0.7，所以P(A)约为1﹣0.7＝0.3.(3)当a＝600，b＝c＝0时，s2取得最大值.因为x＝13(a＋b＋c)＝200，所以s2＝13×[(600﹣200)2＋(0﹣200)2＋(0﹣200)2]＝80000.18.已知函数f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋bx.(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值;(2)当a＝3，b＝﹣9时，若函数f(x)＋g(x)在区间[k，2]上的最大值为28，求k的取值范围.解：(1)f'(x)＝2ax，g'(x)＝3x2＋b.因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，所以f(1)＝g(1)，且f'(1)＝g'(1).即a＋1＝1＋b，且2a＝3＋b.解得a＝3，b＝3.(2)记h(x)＝f(x)＋g(x)，当a＝3，b＝﹣9时，h(x)＝x3＋3x2﹣9x＋1，h'(x)＝3x2＋6x﹣9.令h'(x)＝0，得x1＝﹣3，x2＝1.h(x)与h'(x)在(﹣∞，2]由此可知：当k≤﹣3时，函数h(x)在区间[k，2]上的最大值为h(﹣3)＝28;当﹣3<k <2时，函数h (x )在区间[k ，2]上的最大值小于28. 因此，k 的取值范围是(﹣∞，﹣3].19.已知椭圆C ：22x a＋22y b ＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2，0)直线y ＝k (x ﹣1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N . (1)求椭圆C 的方程;(2)当△AMN时，求k 的值.解：(1)由题意得2222,,a c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得b所以椭圆C 的方程为24x ＋22y ＝1. (2)由22(1),1,42y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得(1＋2k 2)x 2﹣4k 2x ＋2k 2﹣4＝0.设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＝k (x 1﹣1)，y 2＝k (x 2﹣1)，x 1＋x 2＝22412k k+，x 1x 2＝222412k k -+. 所以|MN |又因为点A (2，0)到直线y ＝k (x ﹣1)的距离d所以△AMN 的面积为S ＝12|MN |·d，解得k ＝±1. 20.设A 是如下形式的2行3列的数表，满足性质P ：a ，b ，c ，d ，e ，f ∈[﹣1，1]，且a ＋b ＋c ＋d ＋e ＋f ＝0.记r i (A )为A 的第i 行各数之和(i ＝1，2)，c j (A )为A 的第j 列各数之和(j ＝1，2，3);记k (A )为|r 1(A )|，|r 2(A )|，|c 1(A )|，|c 2(A )|，|c 3(A )|中的最小值. (1)对如下数表A ，求k (A)的值;(2)设数表A 形如其中﹣1≤d≤0.求k(A)的最大值;(3)对所有满足性质P的2行3列的数表A，求k(A)的最大值.解：(1)因为r1(A)＝1.2，r2(A)＝﹣1.2，c1(A)＝1.1，c2(A)＝0.7，c3(A)＝﹣1.8，所以k(A)＝0.7.(2)r1(A)＝1﹣2d，r2(A)＝﹣1＋2d，c1(A)＝c2(A)＝1＋d，c3(A)＝﹣2﹣2d.因为﹣1≤d≤0，所以|r1(A)|＝|r2(A)|≥1＋d≥0，|c3(A)|≥1＋d≥0.所以k(A)＝1＋d≤1.当d＝0时，k(A)取得最大值1.(3)任给满足性质P的数表A(如下所示).任意改变A的行次序或列次序，或把A中的每个数换成它的相反数，所得数表A*仍满足性质P，并且k(A)＝k(A*).因此，不妨设r1(A)≥0，c1(A)≥0，c2(A)≥0.由k(A)的定义知，k(A)≤r1(A)，k(A)≤c1(A)，k(A)≤c2(A).从而3k(A)≤r1(A)＋c1(A)＋c2(A)＝(a＋b＋c)＋(a＋d)＋(b＋e)＝(a＋b＋c＋d＋e＋f)＋(a＋b﹣f)＝a＋b ﹣f≤3.所以k(A)≤1.由(2)知，存在满足性质P的数表A使k(A)＝1.故k(A)的最大值为1.。

2012年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）解析版数学（文科）第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1.已知集合{}320A x R x =∈+>，{}(1)(3)0B x R x x =∈+->，则A B = ( ) A ．(,1)-∞- B ．2(1,)3-- C ．2(,3)3- D ．(3,)+∞【答案】D【解析】2|3A x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭，利用二次不等式的解法可得{}|31B x x x =><-或，画出数轴易得{}|3A x x ⋂=>。

【考点定位】本小题考查的是集合（交集）运算和一次和二次不等式的解法。

2.在复平面内，复数103ii+对应的点坐标为（ ） A ． （1,3） B ． （3,1） C ．(1,3-） D ．31-（，）【答案】A 【解析】1010(3)133(3)(3)i i i i i i i -==+++-，实部是1，虚部是3，对应复平面上的点为(1,3)，故选A 【考点定位】本小题主要考查复数除法的化简运算以及复平面、实部虚部的概念。

3.设不等式组0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域为D.在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ） A ．4π B ． 22π- C ． 6π D ．44π- 【答案】D【解析】题目中0202x y ≤≤⎧⎪⎨≤≤⎪⎩表示的区域表示正方形区域，而动点D 可以存在的位置为正方形面积减去四分之一的圆的面积部分，因此2122244224p ππ⨯-⨯-==⨯，故选D 【考点定位】 本小题是一道综合题，它涉及到的知识包括：线性规划，圆的概念和面积公式、概率。

4. 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 【答案】C【解析】0,11,12,23,8k s k s k s k s ==⇒==⇒==⇒==， 循环结束，输出的S 为8，故选C【考点定位】 本小题主要考查程序框图，涉及到判断循环结束的 时刻，以及简单整数指数幂的计算。

2012年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）（2012?北京）已知集合A={x∈R|3x+2＞0}，B={x∈R|（x+1）（x﹣3）＞0}，则A∩B=（）C．﹙，3﹚D．（．（﹣1，）3，+∞）（﹣∞，﹣A．1）B【分析】求出集合B，然后直接求解A∩B．【解答】解：因为B={x∈R|（x+1）（x﹣3）＞0﹜={x|x＜﹣1或x＞3}，＞}，{x|x3x+2＞0﹜=∈又集合A={xR|＞}∩{x|x＜﹣1或x＞3x|x}={x|x＞3}，∩所以AB={故选：D．对应的点的坐标为（北京）在复平面内，复数）．（5分）（2012?2 D．（3，﹣1）B．（3，1，A．（13））C．（﹣1，3）==1+3i，能求出在复平面内，【分析】由复数对应的点的坐标．【解答】解：∵===1+3i，∴在复平面内，复数对应的点的坐标为（1，3），故选：A．3．（5分）（2012?北京）设不等式组，表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（）B．A．C．D．【分析】本题属于几何概型，利用“测度”求概率，本例的测度即为区域的面积，故只要求出题中两个区域：由不等式组表示的区域和到原点的距离大于2的点构成的区域的面积后再求它们的比值即可．【解答】解：其构成的区域D如图所示的边长为2的正方形，面积为S=4，1．满足到原点的距离大于2所表示的平面区域是以原点为圆心，以2为半径的圆外部，，π面积为=4﹣P=2的概率∴在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于故选：D．）2012?北京）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（4．（5分）（16D．．2B．4C8．A的数值，不满足判断框的条件即可结束循环．K列出循环过程中【分析】S与，S=1，k=11【解答】解：第次判断后，k=22第次判断后S=2，，S=83第次判断后，k=3第4次判断后3＜3，不满足判断框的条件，结束循环，输出结果：8．故选：C．x的零点个数为（﹣（北京）函数f（x）=x））5．（5分）（2012?C．A．0B．12D．3【分析】先判断函数的单调性，由于在定义域上两个增函数的和仍为增函数，故函数f（x）为单调增函数，而f（0）＜0，f（）＞0由零点存在性定理可判断此函数仅有一个零点【解答】解：函数f（x）的定义域为[0，+∞）在定义域上为增函数﹣在定义域上为增函数，y=∵y=在定义域上为增函数=f（x∴函数）而f（0）=﹣1＜0，f（1）=＞0的零点个数为1个f（故函数x）=故选：B．6．（5分）（2012?北京）已知{a}为等比数列，下面结论中正确的是（）n2222aaB．a ≥+≥A．a+a2a231213C．若a=a，则a=aD．若a＞a，则a＞a24131231，当且仅当a，q同为正时，a+a=+a≥2a成立；【分析】a2132132；若a=a，则a=aq，从，所以131122﹣1），其q﹣a=a（，则；若a＞aaqq＞a，而aa=a而可知a或a=﹣12311421121正负由q的符确定，故可得结论．，当且仅当a，qa【解答】解：设等比数列的公比为q，则+a=同为213不正确；成立，故A+正时，aa≥2a213正确；，∴，故B22=1，∴q=±1，∴a=a或a=﹣a，故=a=a若a，则aq，∴qC不正确；2112131122﹣1），其正负由q（q=a﹣a，∴qa，则＞a若a＞aaq的符确定，故D不1411312正确故选：B．7．（5分）（2012?北京）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）+1212D．60．30+6C．56+A．28+6B利用三视图的数据求出几何体的表面【分析】通过三视图复原的几何体的形状，积即可．的三角形，和5【解答】解：三视图复原的几何体是底面为直角边长为4，如图，，底边长为5一个侧面垂直底面的等腰三角形，高为4，=10=S所以底，=S后，=10=S右．=S=6左．6S++S=SSS+=30+几何体的表面积为：左后右底．B故选：8．（5分）（2012?北京）某棵果树前n年的总产量S与n之间的关系如图所示．从n目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，则m的值为（）11D．7C．9A．5B．可分析n之间的关系，年的总产量S与【分析】由已知中图象表示某棵果树前n出平均产量的几何意义为原点与该点边线的斜率，结合图象可得答案．）点，nP（Sn年的总产量S与n在图中对应【解答】解：若果树前的斜率OP则前n年的年平均产量即为直线的斜率最大OP由图易得当n=9时，直线年的年平均产量最高，9即前．C故选：分．30小题，每小题5分，共二、填空题共622．=4截得的弦长为y=x被圆x）+（y﹣2．9（5分）（2012?北京）直线的距离，利用垂径定理y=x【分析】确定圆的圆心坐标与半径，求得圆心到直线构造直角三角形，即可求得弦长．222），半径为0，2（y﹣2）的圆心坐标为（=4【解答】解：圆x+的距离为∵圆心到直线y=x22截得的弦长为2=∴直线y=x被圆x+（y﹣2）=4故答案为：，=a，S若S为其前n项和，a=}北京）510．（分）（2012?已知{a为等差数列，3n1n2．=S，1=则a n2以及等差数列的从而可求出第二项，根据等差数列的性质可求出公差，【分析】．前n项和．【解答】解：根据{a}为等差数列，S=a+a=a=+a；2322n1∴d=a﹣a=23∴a=+=12=S=n，1故答案为：，，则∠C的大小为，（2012?北京）在△ABC中，若a=3b=11．（5分）．，可求得∠B，从而可得∠利用正弦定理=C的大小．【分析】【解答】解：∵△ABC中，a=3，b=，，，=得：=∴由正弦定理∴sin∠B=．又b＜a，∴∠B＜∠A=．∴∠B=．∴∠C=π﹣﹣=．故答案为：．22）（b）+）ab=1，则f（af（．12（5分）（2012?北京）已知函数fx）=lgx，若f （=2．2222=2lg+b）=lga（=1，知falgb）+f（）），（【分析】由函数fx）=lgxf（ab=lg（ab（ab）．由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）=lgx，f（ab）=lg（ab）=1，2222lgb）=lgabf（a）+f（+2=2lg（ab）=2）（=lgab．故答案为：2．13．（5分）（2012?北京）已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点．则．1的值为直接利用向量转化，求出数量积即可．【分析】＜＞．===1【解答】解：因为=1故答案为：x．若=22﹣，3）g（x）x）=m（x﹣2m）（x+m+（．14（5分）（2012?北京）已知f，m的取值范围（4（fx）＜0或g（x）＜0，则?x∈R，x）+3（x+m﹣（x）=m（x2m）根据题意有由于【分析】g（x）=22﹣≥0时，x ≥1，f时成立，根据二次函数的性质可求＞1＜0在xx，0（x）≥时，2，当x≥1=2【解答】解：∵g（x）g﹣0）＜（xx（）＜0或g又∵?x∈R，f时恒成立≥10在xm2m）（x++3）＜（（∴此时fx）=mx﹣）的0轴交点都在（1，则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x左面＜＜则＜0m＜＜∴﹣4），40（﹣故答案为：三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．．）=f（x（13分）（2012?北京）已知函数15．）的定义域及最小正周期；（1）求f（x）的单调递减区间．（2）求f（x即可2x﹣）﹣1x）化为（fx）=sin（∈【分析】（1）由sinx≠0可得x≠kπ（kZ），将（f求其最小正周期；x﹣≤2kπ+，2x﹣）﹣1，再由2kπ+≤2x（2）由（1）得f（x）=（sin）的单调递减区间．kπ（k∈Z）即可求f（x≠，x≠kπ（k∈Z）【解答】解：（1）由sinx≠0得．Z}∈≠kπ，k故求f（x）的定义域为{x|x=）∵f（x=2cosx（sinx﹣cosx）=sin2x﹣cos2x﹣1=sin（2x﹣）﹣1=π．x）的最小正周期T=∴f（（2）∵函数y=sinx的单调递减区间为[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）∴由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，x≠kπ（k∈Z）得kπ+≤x≤kπ+，（k∈Z）∴f（x）的单调递减区间为：[kπ+，kπ+]（k∈Z）16．（14分）（2012?北京）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△ADE的位置，1使AF⊥CD，如图2．1（1）求证：DE∥平面ACB；1（2）求证：AF⊥BE；1（3）线段AB上是否存在点Q，使AC⊥平面DEQ？说明理由．11．；ACBAB的中点，易证DE∥平面，（1）DE分别为AC，【分析】1⊥平AFF⊥CD，可证，从而有DE⊥AF，又A）由题意可证（2DE⊥平面ADC1111，问题解决；面BCDE⊥DEDEPDEQ即为平面，由Q，则PQ∥BC，平面C（3）取A，AB的中点P，11CA ⊥平面DEP，从而底边AC的中点，可证AC平面，P是等腰三角形DAC1111．DEQ ⊥平面的中点，ABAC，）∵1D，E分别为【解答】解：（，CB平面A∥BC，又DE?∴DE1．CB∥平面A∴DE1，∥BC⊥BC且DE（2）由已知得AC，⊥AC∴DE，⊥CDD，又DE∴DE⊥A1，DC?平面A⊥平面DEADC，而AF∴111，CDF⊥⊥AF，又ADE∴11，⊥平面BCDEF∴A1．⊥BE∴AF1，C．理由如下：如图，分别取ACQ，使A⊥平面DEQ上存在点）线段（3AB111．BC，则QPQ∥的中点ABP，1，∥DEBC∵．PQ∴DE∥．即为平面∴平面DEQDEP由（Ⅱ）知DE⊥平面ADC，1∴DE⊥AC，1又∵P是等腰三角形DAC底边AC的中点，11∴AC⊥DP，1∴AC⊥平面DEP，从而AC⊥平面DEQ，11故线段AB上存在点Q，使AC⊥平面DEQ．11北京）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃2012?13分）（17．（圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，1000为调查居民生活垃圾分类投放情况，先随机抽取了该市三类垃圾箱总计；吨生活）试估计厨余垃圾投放正确的概率；1（）试估计生活垃圾投放错误的概率；（2箱的投放量分别其他垃圾”可回收物”箱、“3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“（2最大时，写出s，c的方差+c=600．当数据a，ba为ab，，c，其中a＞0，+b2的值．s的值（结论不要求证明），并求此时，ab，c2的平x，x…，=（求：S[，+…++]，其中为数据xn21均数）吨，故可求厨余垃圾投”600（1）厨余垃圾吨，投放到“厨余垃圾箱400【分析】放正确的概率；故可求生活垃圾投放错误的概率；60200）（2生活垃圾投放错误有++20=30020+，=（3）计算方差可得2sc=0时，有，b=0，，因此有当a=600=80000．【解答】解：（1）由题意可知：厨余垃圾600吨，投放到“厨余垃圾”箱400吨，；故厨余垃圾投放正确的概率为（2）由题意可知：生活垃圾投放错误有200+60+20+20=300，故生活垃圾投放错；误的概率为（3）由题意可知：∵a+b+c=600，∴a，b，c的平均数为200，=∴2222222，因此有当a=600，b=0+c，2bc+2ac≥ac=0∵（a+b+c）+=ab+b时，+c+2ab+2=80000．有s23+bx．（x）=x）+1（a＞0，分）18．（13（2012?北京）已知函数f（x）=axg （1）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处有公共切线，求a，b的值；（2）当a=3，b=﹣9时，函数f（x）+g（x）在区间[k，2]上的最大值为28，求k的取值范围．【分析】（1）根据曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，可知切点处的函数值相等，切点处的斜率相等，故可求a、b的值；32﹣9x+=x1+3x，求导函数，确=fx）（x）+g（x）b=（2）当a=3，﹣9时，设h（定函数的极值点，进而可得k≤﹣3时，函数h（x）在区间[k，2]上的最大值为h （﹣3）=28；﹣3＜k＜2时，函数h（x）在区间[k，2]上的最大值小于28，由此可得结论．2+1（a＞0），则f′（x）1f（x）=ax）=2ax，k=2a，【解答】解：（132+b，k=3+bbx，则g′（x）=3x，xg（）=x+2由（1，c）为公共切点，可得：2a=3+b ①又f（1）=a+1，g（1）=1+b，∴a+1=1+b，即a=b，代入①式，可得：a=3，b=3．32﹣9x3x+（x）=x1+=f﹣9时，设h（x）（x）+g（2）当a=3，b=2+6x﹣9，则h′（x）=3x令h'（x）=0，解得：x=﹣3，x=1；21∴k≤﹣3时，函数h（x）在（﹣∞，﹣3）上单调增，在（﹣3，1]上单调减，（1，2）上单调增，所以在区间[k，2]上的最大值为h（﹣3）=28﹣3＜k＜2时，函数h（x）在区间[k，2]上的最大值小于28所以k的取值范围是（﹣∞，﹣3]19．（14分）（2012?北京）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的一个长轴顶点为A（2，0），离心率为，直线y=k（x﹣1）与椭圆C交于不同的两点M，N，（Ⅰ）求椭圆C的方程；时，求的面积为k的值．（Ⅱ）当△AMN，可建立方程组，【分析】（Ⅰ）根据椭圆一个顶点为A （2，0），离心率为从而可求椭圆C的方程；22222k+）xx﹣消元可得﹣1）与椭圆C联立（1+2k4ky=k，（Ⅱ）直线（x ﹣4=0，从而可求|MN|，A（2，0）到直线y=k（x﹣1）的距离，利用△AMN的面积为，可求k的值．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆一个顶点为A （2，0），离心率为，∴∴b=；的方程为C∴椭圆22222k+﹣4kxx+（消元可得12k）C）﹣（直线，（Ⅱ）y=kx1与椭圆联立﹣4=0，则x+x=，）M（x，y，N（x，y）设212211=MN|=∴|∵A（2，0）到直线y=k（x﹣1）的距离为S=的面积∴△AMN∵△AMN的面积为，∴∴k=±1．20．（13分）（2012?北京）设A是如下形式的2行3列的数表，满足性质P：a，b，c，d，e，f∈[﹣1，1]，且a+b+c+d+e+f=0．记r（A）为A的第i行各数之和（i=1，2），C（A）为A的第j列各数之和（j=1，ji2，3）；记k（A）为|r（A）|，|r（A）|，|c（A）|，|c（A）|，|c（A）32211|中的最小值．）的最大值；A．求≤≤其中﹣1d0k（）的最大值．（kA，求列的数表行的（Ⅲ）对所有满足性质P23Aj【分析】（），i=1行各数之和（的第A）为（Ar1）根据i2的第AC，）为A（ji列各数之和（j=1，2，3）；记k（A）为|r（A）|，|r（A）|，|c（A）|，121|c（A）|，|c（A）|中的最小值可求出所求；32（2）k（A）的定义可求出k（A）=1+d，然后根据d的取值范围可求出所求；（III）任意改变A三维行次序或列次序，或把A中的每个数换成它的相反数，所**）（A（A）得数表A=k仍满足性质P，并且k因此，不防设r（A）≥0，c（A）≥0，c（A）≥0，然后利用不等式的性质可211知3k（A）≤r（A）+c（A）+c（A），从而求出k（A）的最大值．211【解答】解：（1）因为r（A）=1.2，r（A）=﹣1.2，c（A）=1.1，c（A）=0.7，2211c（A）=﹣1.8，3所以k（A）=0.7（2）r（A）=1﹣2d，r（A）=﹣1+2d，c（A）=c（A）=1+d，c（A）=﹣2﹣322112d 因为﹣1≤d≤0，所以|r（A）|=|r（A）|≥1+d≥0，|c（A）|≥1+d≥0321所以k（A）=1+d≤1当d=0时，k（A）取得最大值1（III）任给满足性质P的数表A（如下所示）abcdef任意改变A三维行次序或列次序，或把A中的每个数换成它的相反数，所得数**）A）=k（P，并且k（表AA仍满足性质因此，不防设r（A）≥0，c（A）≥0，c（A）≥0，211由k（A）的定义知，k （A）≤r（A），k（A）≤c（A），k（A）≤c（A），211从而3k（A）≤r（A）+c （A）+c（A）=（a+b+c）+（a+d）+（b+e）=（a+b+c+d+e+f）211+（a+b﹣f）=a+b ﹣f≤3所以k（A）≤1由（2）可知，存在满足性质P的数表A使k（A）=1，故k（A）的最大值为1．。

2012年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分。

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第一部分（选择题 共40分）一 、选择题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1、已知集合A={x ∈R|3x+2＞0} B={x ∈R|（x+1）(x-3)＞0} 则A ∩B=A （-∞，-1）B （-1，-23） C （-23,3）D (3,+∞) 2 在复平面内，复数103i i +对应的点的坐标为 A (1 ,3) B (3,1) C(-1,3) D (3 ,-1)（3）设不等式组，表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（A ）4π （B ）22π- （C ）6π （D ）44π- （4）执行如图所示的程序框图，输出S 值为（A ）2（B ）4（C ）8（D ）16(5)函数f（x）＝x121x2⎛⎫- ⎪⎝⎭的零点个数为（A）0 （B）1（C）2 （D）3（6）已知为等比数列，下面结论种正确的是（A）a1+a3≥2a2（B）（C）若a1=a3，则a1=a2（D）若a3＞a1，则a4＞a2（7）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（A）28+B）30+C）56+D）60+（8）某棵果树前n年的总产量S n与n之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，m的值为。

r2012年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（文科）第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1.已知集合{}{}320,(1)(3)0A x x B x x x =∈+>=∈+->R R ，则A B I=（ ）A.(,1)-∞-B.2(1,)3--C.2(,3)3-D.(3,)+∞ 【测量目标】集合的含义与表示、集合的基本运算. 【考查方式】给出两个集合，求交集.【参考答案】C 【试题解析】23A x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎭⎩，利用二次不等式的解法可得{3B x x =>或}1x <，画出数轴易得}{3A B x x =>I . 2.在复平面内，复数10i3i+对应的点坐标为 （ ） A. (1,3) B.(3,1) C.(1,3)- D.(3,1-)【测量目标】复数的运算法则及复数的几何意义. 【考查方式】给出复数，求对应的点坐标. 【参考答案】A 【试题解析】10i 10i(3i)13i 3i (3i)(3i)-==++++，实部是1，虚部是3，对应复平面上的点为(1,3)，故选A. 3.设0202x x ⎧⎫⎨⎬⎭⎩剟剟不等式组表示的平面区域为D ,在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 （ ）A.π4 B. π22- C. π6 D.4π4-【测量目标】判断不等式组表示的平面区域、几何概型.【考查方式】给出不等式组，求不等式组所表示的区域中点到直线距离的概率. 【参考答案】D【试题解析】题目中0202x x ⎧⎫⎨⎬⎭⎩剟剟表示的区域表示正方形区域，而动点D 可以存在的位置为正方形面积减去四分之一的圆的面积部分，因此2122π24π4224p ⨯-⨯-==⨯，故选D4. 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 （ ）A.2B.4 C ．8 D.16 【测量目标】循环结构的程序图框.【考查方式】给出程序图，求最后的输出值. 【参考答案】C 【试题解析】0,11,12,23,8,k s k s k s k s ==⇒==⇒==⇒==循环结束，输出的S 为8，故选C.5.函数121()()2xf x x =-的零点个数为 （ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【测量目标】导函数的定义与应用.【考查方式】已知复合函数，求零点个数. 【参考答案】B【试题解析】函数121()()2x f x x =-的零点，即令()0f x =，根据此题可得121()2xx =，在平面直角坐标系中分别画出这两个函数的图像，可得交点只有一个，所以零点只有一个，故选答案B .6. 已知}{n a 为等比数列.下面结论中正确的是 （ ）A.1222a a a +…B.2221322a a a +…C.若则12a a = ,则132a a a +…D.若31a a >，则42a a >【测量目标】等比数列的公式与性质.【考查方式】给出等比数列，判断选项中那些符合等比数列的性质. 【参考答案】B【试题解析】当10,0a q <<时，可知1320,0,0,a a a <<>，所以A 选项错误；当1q =-时，C 选项错误；当0q <时，323142a a a q a q a a >⇒<⇒<，与D 选项矛盾。

2012年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分。

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第一部分（选择题 共40分）一 、选择题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{|320}A x R x =∈+>，{|(1)(3)0}B x R x x =∈+->，则A B = （A ）(,1)-∞- （B ）2(1,)3-- （C ）2(,3)3- （D ）(3,)+∞ （2）在复平面内，复数103ii+对应的点的坐标为 （A ）(1,3) （B ）(3,1) （C ）(1,3)- （D ）(3,1)-（3）设不等式组02,02x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（A ）4π（B ）22π-（C ）6π（D ）44π-（4）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 （A ）2 （B ）4 （C ）8 （D ）16（5）函数121()()2xf x x =-的零点个数为（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 （6）已知{}n a 为等比数列，下面结论中正确的是（A ）1322a a a +≥ （B ）2221322a a a +≥ （C ）若13a a =，则12a a = （D ）若31a a >，则42a a > （7）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（A ）28+ （B ）30+（C ）56+ （D ）60+（8）某棵果树前n 年的总产量n S 与n 之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为 （A ）5 （B ）7 （C ）9 （D ）11第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2012年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（文科）第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1.已知集合{}320A x R x =∈+>，{}(1)(3)0B x R x x =∈+->，则A B = ( )A ．(,1)-∞-B ．2(1,)3--C ．2(,3)3-D ．(3,)+∞ 2.在复平面内，复数103ii+对应的点坐标为（ ） A ． （1,3） B ． （3,1） C ．(1,3-） D ．31-（，）3.设不等式组0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域为D.在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ） A ．4π B ． 22π- C ． 6πD ． 44π-4. 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．165.函数121()()2xf x x =-的零点个数为（ ）A ． 0B ． 1C ． 2D ． 3 6. 已知{}n a 为等比数列.下面结论中正确的是（ ）A ．1322a a a +≥B ．2221322a a a +≥C ．若13a a =，则12a a =D ．若31a a >，则42a a > 7. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ） A ．2865+ B ．3065+ C ．56125+ D ． 60125+8. 某棵果树前n 年得总产量n S 与n 之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为（ ）A ．5B ．C ． 9D ．11k=0,S=1k <3 开始 结束是否 k=k+1 输出SS=S ·2k（第4题图）第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9.直线y x =被圆22(2)4x y +-=截得的弦长为 . 10.已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和.若112a =，23S a =，则2a = ；n S = . 11. 在△ABC 中，若3a =，3b =，3A π∠=，则C ∠的大小为 .12.已知函数()lg f x x =，若()1f ab =，则22()()f a f b += .13.已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE CB ⋅的值为 .14.已知()(2)(3)f x m x m x m =-++，()22x g x =-.若,()0x R f x ∀∈<或()0g x <，则m 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题13分） 已知函数(sin cos )sin 2()sin x x xf x x-=.（1）求()f x 的定义域及最小正周期； （2）求()f x 的单调递减区间.16. （本小题14分）如图1，在Rt △ABC 中，∠C=90°，D,E 分别是AC ，AB 上的中点，点F 为线段CD 上的一点.将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1F ⊥CD ，如图2. （1）求证：DE ∥平面A 1CB; （2）求证：A 1F ⊥BE;（3）线段A 1B 上是否存在点Q,使A 1C ⊥平面DEQ ？说明理由.17.（本小题13分）近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）： “厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱 厨余垃圾 400 100 100 可回收物 30 240 30 其他垃圾202060（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率； （2）试估计生活垃圾投放错误的概率；（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为,,a b c ，其中0a >，600a b c ++=.当数据,,a b c 的方差2S 最大时，写出,,a b c 的值（结论不要求证明），并求此时2S 的值. （注：方差2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-，其中x 为12,,n x x x 的平均数）18.（本小题13分）已知函数2()1f x ax =+（0a >），3()g x x bx =+.（1）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点（1，c ）处具有公共切线，求,a b 的值； （2）当3,9a b ==-时，求函数()()f x g x +在区间[,2]k 上的最大值为28，求k 的取值范围.19.（本小题14分）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(2,0)A ，离心率为22.直线(1y k x =-）与椭圆C 交于不同的两点M,N . （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）当△AMN 得面积为103时，求k 的值.20.（本小题13分）设A 是如下形式的2行3列的数表，a bc def满足：性质P ：,,,,,[1,1]a b c d e f ∈-，且0++++=a b c d e f +.记()i r A 为A 的第i 行各数之和1,2=i （），()j c A 为A 的第j 列各数之和1,2,3=j （）；记()k A 为1|()|r A ，2|()|r A ，1|()|c A ，2|()|c A ，3|()|c A 中的最小值. （1）对如下数表A,求()k A 的值；1 1 -0.8 **-0.3-1（2）设数表A 形如11-1-2d d d-1其中0-1d ≤≤.求()k A 的最大值；（3）对所以满足性质P 的2行3列的数表A,求()k A 的最大值。

2012北京高考文科数学试题(详细答案)第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合，，则（A）（B）（C）（D）（2）在复平面内，复数对应的点的坐标为（A）（B）（C）（D）（3）设不等式组表示的平面区域为，在区域内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（A）（B）（C）（D）（4）执行如图所示的程序框图，输出的值为（A）2（B）4（C）8（D）16（5）函数的零点个数为（A）0 （B）1 （C）2 （D）3（6）已知为等比数列，下面结论中正确的是（A）（B）（C）若，则（D）若，则（7）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（A）（B）（C）（D）（8）某棵果树前年的总产量与之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前年的年平均产量最高，的值为（A）5（B）7（C）9（D）11第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）直线被圆截得的弦长为__________。

（10）已知为等差数列，为其前项和，若，，则____________，_________________。

（11）在中，若，，，则的大小为_________。

（12）已知函数，若，则_____________。

（13）已知正方形的边长为，点是边上的动点，则的值为_______；的最大值为_______。

（14）已知，。

若，或，则的取值范围是_________。

三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题共13分）已知函数。

（Ⅰ）求的定义域及最小正周期；（Ⅱ）求的单调递减区间。

（16）（本小题共14分）如图1，在中，，分别为的中点，点为线段上的一点，将沿折起到的位置，使，如图2。

（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）线段上是否存在点，使平面？说明理由。

（17）（本小题共13分）近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400 100 100可回收物30 240 30其他垃圾20 20 60（Ⅰ）试估计厨余垃圾投放正确的概率；（Ⅱ）试估计生活垃圾投放错误的概率；（Ⅲ）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为，其中，。

2012年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）一 、选择题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知集合A={x ∈R|3x+2＞0} B={x ∈R|（x+1）(x-3)＞0} 则A ∩B= A ．（-∞，-1） B ．（-1，-23） C ．（-23,3） D ． (3,+∞)【解析】和往年一样，依然的集合(交集)运算，本次考查的是一次和二次不等式的解法。

因为32}023|{->⇒>+∈=x x R x A ，利用二次不等式可得1|{-<=x x B 或}3>x 画出数轴易得：}3|{>=x x B A ．故选D ． 【答案】D2．在复平面内，复数103i i+对应的点的坐标为A ． (1 ,3)B ．(3,1)C ．(-1,3)D ．(3 ,-1)【解析】本题考查的是复数除法的化简运算以及复平面，实部虚部的概念。

i i ii i i i i i ii 3110301091030)3)(3()3(1031022+=+=--=-+-=+，实部为1，虚部为3，对应复平面上的点为(1,3)，故选A ． 【答案】A3．设不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤20,20y x ，表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 （A ）4π （B ）22π- （C ）6π（D ）44π-【解析】题目中⎩⎨⎧≤≤≤≤2020y x 表示的区域如图正方形所示，而动点D可以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分，因此4422241222ππ-=⨯⋅-⨯=P ，故选D 。

【答案】D4．执行如图所示的程序框图，输出S 值为（A ）2 （B ）4 （C ）8 （D ）16【解析】0=k ，11=⇒=k s ，21=⇒=k s ，22=⇒=k s ，8=s ，循环结束，输出的s 为8，故选C 。

【答案】C5．函数x x x f )21()(21-=的零点个数为（A ）0 （B ）1（C ）2 （D ）3【解析】x x x f )21()(21-=的零点，即令0)(=x f ，根据此题可得xx )21(21=，在平面直角坐标系中分别画出幂函数21x 和指数函数x)21(的图象，可得交点只有一个，所以零点只有一个，故选B 。

2012年全国各地高考数学试题普通高等学校招生全国统一考试数学(文)(北京卷)本试卷共5页,150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。

考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(选择题 共40分)一 、选择题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。

(1)已知集合{|320}A x R x =∈+>,{|(1)(3)0}B x R x x =∈+->,则A B = (A)(,1)-∞- (B)2(1,)3-- (C)2(,3)3- (D)(3,)+∞ (2)在复平面内,复数103ii+对应的点的坐标为 (A)(1,3) (B)(3,1) (C)(1,3)- (D)(3,1)- (3)设不等式组02,02x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域为D ,在区域D 内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于2的概率是(A)4π(B)22π-(C)6π(D)44π-(4)执行如图所示的程序框图,输出的S 值为(A)2 (B)4 (C)8 (D)16(5)函数121()()2xf x x =-的零点个数为(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 (6)已知{}n a 为等比数列,下面结论中正确的是(A)1322a a a +≥ (B)2221322a a a +≥(C)若13a a =,则12a a = (D)若31a a >,则42a a > (7)某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是(A)28+ (B)30+(C)56+ (D)60+(8)某棵果树前n 年的总产量n S 与n 之间的关系如图所示,从目前记录的结果看,前m 年的年平均产量最高,m 的值为 (A)5 (B)7 (C)9 (D)11第二部分(非选择题 共110分)二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。

(9)直线y x =被圆22(2)4x y +-=截得的弦长为__________。

2012年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）解析本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一 、选择题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1、已知集合A={x ∈R|3x+2＞0} B={x ∈R|（x+1）(x-3)＞0} 则A ∩B= A （-∞，-1）B （-1，-23） C （-23,3）D (3,+∞) [答案]D[解析]和往年一样，依然是集合（交集）运算，本题考查的是一次和二次不等式的解法.因为A={x ∈R|3x+2＞0}32->⇒x ，利用二次不等式的解法可得{}31>-<=x x x B 或，画出数轴易得：A ∩B={x|x ＞3}.[点评]集合的运算往往与解不等式联系在一起考查，属低档题. 2 在复平面内，复数103ii+对应的点的坐标为 A (1 ,3) B (3,1) C(-1,3) D (3 ,-1) [答案]A [解析]i i ii i i i i i i i 3110301091030)3)(3()3(1031022+=+=--=-+-=+,实部为1，虚部为3，对应点为（1,3）.[点评]复数的除法原则是分子分母同时乘以分母的共轭复数，即分母实数化，这一过程要熟练掌握.（3）设不等式组，表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 （A ）4π （B ）22π- （C ）6π （D ）44π-[答案]D[解析]这是道微综合题，它涉及到的知识包括：线性规划，圆的概念和面积公式，概率.题目中表示区域如下图正方形所示，而动点D 可以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积，因此P=4422241222ππ-=⨯-⨯[点评]与面积、体积、长度有关的概率问题属于几何概型.（4）执行如图所示的程序框图，输出S值为（A）2 （B）4 （C）8 （D）16[答案]C[解析]本题考查程序框图，设计到判断循环结束的时刻，以及简单整数指数幂的计算，k=o,s=1⇒k=1,s=1⇒k=2,s=2⇒k=3,s=8,结束[点评]读懂程序，做好循环结束的判断.本题属低档题.(5)函数f（x）＝x121x2⎛⎫- ⎪⎝⎭的零点个数为（A）0 （B）1（C）2 （D）3[答案]B[解析]该题表面上看考查的是零点问题，实质上是函数图像问题（单调性）的变式，所涉及的函数为幂函数和指数函数. 函数f（x）＝x121x2⎛⎫- ⎪⎝⎭的零点，即令f(x)=0,可得xx)21(21=，在坐标系中分别画出这两个函数的图像，可得交点只有一个，所以零点只有一个. [点评]函数的基本性质在每年的高考中是重点，要予以重视.（6）已知{n a }为等比数列，下面结论中正确的是（A ）a 1+a 3≥2a 2（B ）2223212a a a ≥+（C ）若a 1=a 3，则a 1=a 2（D ）若a 3＞a 1，则a 4＞a 2 [答案]B[解析]该题考查的等比数列的基本概念，鉴于是选择题，可以选择排除法解决.当0,0,00,02311><<<<a a a q a 时，可知,故A 错；当q=-1时，C 选项错误；当q<0时，241313a a q a q a a a <⇒<⇒>，与D 选项矛盾.正确答案为B.[点评]等差、等比数列的基本性质，要多用特例去验证. （7）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（A ）28+B ）30+C ）56+D ）60+[答案]B[解析]本题考查的是三棱锥的三视图问题，问题变化为求表面积，因此对学生的计算基本功以及空间想象能力都存在着综合性的考查.从所给的三视图可以得到该几何体的直观图，如下图所示，结合图中的数据，利用勾股定理计算出各边的长度，进而求出面积.563056101010+=+++=+++=左右后底表S S S S S[点评]把三视图正确地转化为直观图是解决问题的关键.（8）某棵果树前n 年的总产量S n 与n 之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为（A ）5（B ）7（C ）9（D ）11 [答案]C[解析]该题考查知识点很灵活，要根据图像看出变化趋势，由于目的是看年平均产量最高，就需要随着n 的增大，总年产量变化超过平均值的加入，随着n 的增大，由图可知6,7,8,9这几年增长最快，超过平均值，所以应该加入，因此选C.[点评]考察阅读理解能力，这也对数学的学习平时要求不能过于僵化，要灵活. 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

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考试时长 120 分钟。

考生务势必答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共 40 分）一、选择题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分，在每题给出的四个选项中，选出吻合题目要求的一项。

1 、已知会集 A={x∈R|3x+2＞0} B={x∈R|（x+1） (x-3) ＞0} 则 A∩B= A（- ，-1 ）B （-1 ，- ） C （- ,3 ）D (3,+ ) 2 在复平面内，复数对应的点的坐标为 A (1 ,3) B (3,1) C(-1,3) D (3 ,-1)（3）设不等式组，表示平面地域为 D，在地域 D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是（A）（ B）（C）（D）（4）履行以下列图的程序框图，输出 S 值为（A）2 （B）4 （C）8（D）16 (5) 函数 f （x）＝的零点个数为（A）0 （B）1（C）2 （D）3 （6）已知为等比数列，下边结论种正确的选项是（A）a1+a3≥2a2（B）（C）若 a1=a3，则 a1=a2（D）若 a3＞ a1，则 a4＞a2 （7）某三棱锥的三视图以下列图，该三棱锥的表面积是（A） 28+ （B）30+ （C）56+ （D）60+ （8）某棵果树前 n 年的总产量 Sn 与 n 之间的关系以下列图，从目前记录的结果看，前m年的年均匀产量最高，m的值为（A）5（B）7（C）9（D）11 第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分。

（9）直线 y=x 被圆 x2+（y-2 ）2=4 截得弦长为 __________。

（10）已知 {an} 为等差数列，Sn 为其前 n 项和，若 a1= ，S2=a3，则 a2=____________，Sn=_________________。