2019海淀一模试题(数学 理科)

北京海淀区2019高三一模-数学（理）数 学〔理科〕2018.04【一】选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的. 〔1〕集合{}1A x x =>，{}B x x m =<，且A B =R ，那么m 的值可以是〔A 〕1- 〔B 〕0 〔C 〕1 〔D 〕2 〔2〕在等比数列{}n a 中，14358a a a a ==，，那么7a =〔A 〕116〔B 〕18 〔C 〕14 〔D 〕12〔3〕在极坐标系中，过点3(2,)2π且平行于极轴的直线的极坐标方程是 〔A 〕sin 2ρθ=- 〔B 〕cos 2ρθ=- 〔C 〕sin 2ρθ= 〔D 〕cos 2ρθ=〔4〕向量=(1)=(1)x x ，a b ，，-，假设2-a b 与b 垂直，那么=a〔A〔B〔C 〕2 〔D 〕4〔5〕执行如下图的程序框图，输出的k 值是〔A 〕4 〔B 〕5〔C 〕6 〔D 〕7〔6〕从甲、乙等5个人中选出3人排成一列，那么甲不在排头的排法种数是〔A 〕12 〔B 〕24 〔C 〕36 〔D 〕48 〔7〕函数2,1,()1,1,x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩ 假设1212,,x x x x ∃∈≠R ，使得12()()f x f x =成立，那么实数a 的取值范围是〔A 〕2a < 〔B 〕2a >〔C 〕22a -<< 〔D 〕2a >或2a <- 〔8〕在正方体''''ABCD A B C D -中，假设点P 〔异于点B 〕是棱上一点，那么满足BP 与'AC 所成的角为45°的点P 的个数为〔A 〕0 〔B 〕3 〔C 〕4 〔D 〕6【二】填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分，把答案填在题中横线上.〔9〕复数2i 1ia +-在复平面内所对应的点在虚轴上，那么实数a = .〔10〕过双曲线221916x y -=的右焦点，且平行于经过【一】三象限的渐近线的直线方程是 . 〔11〕假设1tan 2α=，那么cos(2)απ2+= .〔12〕设某商品的需求函数为1005Q P =-，其中,Q P 分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性EQ EP大于1〔其中'EQQ PEP Q=-，'Q 是Q 的导数〕，那么商品价格P 的取值范围是 .〔13〕如图，以ABC ∆的边AB 为直径的半圆交AC 于点D ，交BC 于点E ，EF AB ^于点F ，3AF BF =，22BE EC ==，那么CDE Ð= ，CD = .〔14〕函数1,,()0,,x f x x ìÎïï=íïÎïîR Q Q ð那么 〔ⅰ〕(())f f x = ； ①函数()f x 是偶函数；②存在(1,2,3)i x i?R ，使得以点(,())(1,2,3)i i x f x i =为顶点的三角形是等腰直角三角形；③存在(1,2,3,4)ix i?R ，使得以点(,())(1,2,3,4)i i x f x i =为顶点的四边形为菱形.其中，所有真命题的序号是 .【三】解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 〔15〕〔本小题总分值13分〕在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，且A ，B ， C 成等差数列.FEDC BAA'B'C'D'ABCD〔Ⅰ〕假设b =3a =，求c 的值；〔Ⅱ〕设sin sin t A C =，求t 的最大值. (16)〔本小题总分值14分〕在四棱锥P ABCD -中，AB //CD ，AB AD ^，4,2AB AD CD ===，PA ^平面ABCD ，4PA =.〔Ⅰ〕设平面PAB平面PCD m =，求证：CD //m ；〔Ⅱ〕求证：BD ⊥平面PAC ；〔Ⅲ〕设点Q 为线段PB 上一点，且直线QC 与平面PAC所成角的正弦值为3，求PQPB 的值、(17)〔本小题总分值13分〕某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间〔单位：分钟〕，并将所得数据绘制成频率分布直方图〔如图〕，其中，上学所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100].〔Ⅰ〕求直方图中x 的值； 〔Ⅱ〕如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿；〔Ⅲ〕从学校的新生中任选4名学生，这4名学生中上学所需时间少于20分钟的人数记为X ，求X 的分布列和数学期望.〔以直方图中新生上学所需时间少于20分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于20分钟的概率〕(18)〔本小题总分值13分〕函数21()e()(0)kxf x x x k k-=+-<. 〔Ⅰ〕求()f x 的单调区间；〔Ⅱ〕是否存在实数k ，使得函数()f x 的极大值等于23e -？假设存在，求出k 的值；假设不存在，请说明理由.(19)〔本小题总分值13分〕在平面直角坐标系xOy 中，椭圆G 的中心为坐标原点，左焦点为1(1,0)F -， P为椭圆G 的上顶点，且145PF O ∠=︒.〔Ⅰ〕求椭圆G 的标准方程；〔Ⅱ〕直线1l ：1y kx m =+与椭圆G 交于A ，B 两点，直线2l ：2y kx m =+〔12m m ≠〕与椭圆G 交于C ，D 两点，且||||AB CD =，如下图.〔ⅰ〕证明：120m m +=; 〔ⅱ〕求四边形ABCD 的面积S 的最大值. (20)〔本小题总分值14分〕对于集合M ，定义函数1,,()1,.M x M f x x M -∈⎧=⎨∉⎩对于两个集合M ，N ，定义集合{()()1}M N M N x f x f x ∆=⋅=-. {2,4,6,8,10}A =，{1,2,4,8,16}B =.〔Ⅰ〕写出(1)A f 和(1)Bf 的值，并用列举法写出集合A B ∆；〔Ⅱ〕用Card (M )表示有限集合M 所含元素的个数，求()()Card X A Card X B ∆+∆的最小值；〔Ⅲ〕有多少个集合对〔P ，Q 〕，满足,P Q AB ⊆，且()()P A Q B A B ∆∆∆=∆？海淀区高三年级第二学期期中练习数 学〔理科〕参考答案及评分标准 2018、04一. 选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分.题号 〔1〕 〔2〕 〔3〕 〔4〕 〔5〕 〔6〕 〔7〕 〔8〕 答案 D B A C B DAB二.填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分.〔9〕2 〔10〕43200x y --= 〔11〕45- 〔12〕(10,20) 〔13〕60°13〔14〕1 ①③ 三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.〔15〕〔本小题总分值13分〕 解：〔Ⅰ〕因为,,A B C 成等差数列， 所以2B A C =+. 因为A B C ++=π， 所以3B π=. (2)分因为b =3a =，2222cos b a c ac B =+-，所以2340c c --=. ………………………………………5分所以4c =或1c =-〔舍去〕. (6)分〔Ⅱ〕因为23A C +=π，所以2sin sin()3t A A π=-1sin sin )2A A A =+11cos22()22A A -=+11sin(2)426A π=+-. ………………………………………10分因为203A π<<， 所以当262A ππ-=，即3A π=时，t 有最大值34. ………………………………………13分(16)〔本小题总分值14分〕〔Ⅰ〕证明：因为AB //CD ，CD ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以CD //平面PAB .………………………………………2分 因为CD ⊂平面PCD ，平面PAB平面PCD m =，所以CD //m .………………………………………4分〔Ⅱ〕证明：因为AP ^平面ABCD ，AB AD ^，所以以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，那么(4,0,0)B ，(0,0,4)P，(0,D，(2,C .………………………………………5分所以(4,BD =-，(2,AC =，(0,0,4)AP =，所以(4)2000BD AC ⋅=-⨯+⨯=，(4)00040BD AP ⋅=-⨯++⨯=.所以BD AC ⊥，BD AP ⊥. 因为APAC A =，AC ⊂平面PAC ，PA ⊂平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC .………………………………………9分〔Ⅲ〕解：设PQPBλ=〔其中01λ＃〕，(,,)Q x y z ，直线QC 与平面PAC 所成角为θ. 所以PQ PB λ=.所以(,,4)(4,0,4)x y z λ-=-. 所以4,0,44,x y z λλì=ïïï=íïï=-+ïïî即(4,0,44)Q λλ-+.所以(42,44)CQ λλ=---+.………………………………………11分由〔Ⅱ〕知平面PAC的一个法向量为(4,BD =-.………………………………………12分因为sin cos ,CQ BD CQ BD CQ BDθ×=<>=×，=.解得7[0,1]12λ=∈. 所以712PQPB =.………………………………………14分 (17)〔本小题总分值13分〕 解：〔Ⅰ〕由直方图可得：200.025200.0065200.0032201x ⨯+⨯+⨯+⨯⨯=.所以0.0125x =.………………………………………2分 〔Ⅱ〕新生上学所需时间不少于1小时的频率为：0.0032200.12⨯⨯=，………………………………………4分因为6000.1272⨯=，所以600名新生中有72名学生可以申请住宿.………………………………………6分〔Ⅲ〕X 的可能取值为0，1，2，3，4.………………………………………7分由直方图可知，每位学生上学所需时间少于20分钟的概率为14，4381(0)4256P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,3141327(1)C 4464P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,22241327(2)C 44128P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,334133(3)C 4464P X ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,411(4)4256P X ⎛⎫===⎪⎝⎭.所以的分布列为：………………………………………12分812727310123412566412864256EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.〔或1414EX =⨯=〕 所以X 的数学期望为1.………………………………………13分 (18)〔本小题总分值13分〕 解：〔Ⅰ〕()f x 的定义域为R .221'()e()e (21)e [(2)2]kxkx kx f x k x x x kx k x k---=-+-++=-+-+， 即'()e (2)(1)(0)kx f x kx x k -=--+<.………………………………………2分 令'()0f x =，解得：1x =-或2x k=. 当2k =-时，22'()2e (1)0x f x x =+≥，故()f x 的单调递增区间是(,)-??. ………………………………………3分 当20k -<<时，()f x ，'()f x 随x 的变化情况如下：所以，函数()f x 的单调递增区间是2(,)k -∞和(1,)-+∞，单调递减区间是2(,1)k-. ………………………………………5分当2k <-时，()f x ，'()f x 随x 的变化情况如下：所以，函数()f x 的单调递增区间是(,1)-∞-和2(,)k+∞，单调递减区间是2(1,)k-. ………………………………………7分〔Ⅱ〕当1k =-时，()f x 的极大值等于23e -.理由如下：当2k =-时，()f x 无极大值. 当20k -<<时，()f x 的极大值为22241()e ()f k k k-=+， ………………………………………8分令22241e ()3e k k--+=，即2413,k k +=解得1k =-或43k =〔舍〕. ………………………………………9分当2k <-时，()f x 的极大值为e (1)kf k-=-. ………………………………………10分因为2e e k -<，1102k <-<， 所以2e 1e 2k k --<. 因为221e 3e2--<，所以()f x 的极大值不可能等于23e -.………………………………………12分 综上所述，当1k =-时，()f x 的极大值等于23e -.………………………………………13分(19)〔本小题总分值13分〕 〔Ⅰ〕解：设椭圆G 的标准方程为22221(0)x y a b a b +=>>. 因为1(1,0)F -，145PF O ∠=︒，所以1b c ==.所以2222a b c =+=.………………………………………2分 所以椭圆G 的标准方程为2212x y +=.………………………………………3分〔Ⅱ〕设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y .〔ⅰ〕证明：由122,1.2y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得：22211(12)4220k x km x m +++-=.那么2218(21)0k m ∆=-+>，1122211224,1222.12km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩………………………………………5分所以||AB ====同理||CD =.………………………………………7分 因为||||AB CD =,所以=. 因为12m m ≠，所以120m m +=.………………………………………9分〔ⅱ〕解：由题意得四边形ABCD 是平行四边形，设两平行线,AB CD 间的距离为d ,那么d =因为120m m +=，所以d =………………………………………10分所以||S AB d =⋅=2221121k m m -++=≤=.〔或S ==〕 所以当221212k m +=时，四边形ABCD 的面积S取得最大值为.………………………………………13分(20)〔本小题总分值14分〕解：〔Ⅰ〕(1)=1A f ，(1)=1Bf -，{1,6,10,16}A B ∆=. ………………………………………3分〔Ⅱ〕根据题意可知：对于集合,C X ，①假设a C Î且a X Ï，那么(({})()C a r d C X a C a r d C X ∆=∆-；②假设a C Ï且a XÏ，那么(({})(C a r d C X aC a r d C X ∆=∆+. 所以要使()()Card X A Card X B ∆+∆的值最小，2，4，8一定属于集合X ；1，6，10，16是否属于X 不影响()()Card X A Card X B ∆+∆的值；集合X 不能含有A B 之外的元素. 所以当X 为集合{1,6,10,16}的子集与集合{2,4,8}的并集时，()()Card X A Card X B ∆+∆取到最小值4.………………………………………8分 〔Ⅲ〕因为{()()1}A B A B x f x f x ∆=⋅=-，所以A B B A ∆=∆.由定义可知：()()()A B A Bf x f x f x ∆=⋅.所以对任意元素x ，()()()()()()()A B C A B C A B C f x f x f x f x f x f x ∆∆∆=⋅=⋅⋅，()()()()()()()A B C A B C A B C f x f x f x f x f x f x ∆∆∆=⋅=⋅⋅. 所以()()()()A B C A B C f x f x ∆∆∆∆=.所以()()A B C A B C ∆∆=∆∆.由()()P A Q B A B ∆∆∆=∆知：()()P Q A B A B ∆∆∆=∆. 所以()()()()()P Q A B A B A B A B ∆∆∆∆∆=∆∆∆. 所以P Q ∆∆∅=∅.所以P Q ∆=∅，即P Q =.因为,P Q A B ⊆，所以满足题意的集合对〔P ，Q 〕的个数为72128=.………………………………………14分。

2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合{1,0,1,2}A =-，2{|1}B x x =，则(A B = )A ．{1,0,1}-B ．{0,1}C ．{1,1}-D ．{0,1,2}2．（5分）若(1)2z i i +=，则(z = ) A ．1i --B ．1i -+C ．1i -D ．1i +3．（5分）《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为( ) A ．0.5B ．0.6C ．0.7D ．0.84．（5分）24(12)(1)x x ++的展开式中3x 的系数为( ) A ．12B ．16C ．20D ．245．（5分）已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3(a = ) A ．16B ．8C ．4D ．26．（5分）已知曲线x y ae xlnx =+在点(1,)ae 处的切线方程为2y x b =+，则( ) A ．a e =，1b =-B ．a e =，1b =C ．1a e -=，1b =D ．1a e -=，1b =-7．（5分）函数3222x xx y -=+在[6,6]-的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．8．（5分）如图，点N 为正方形ABCD 的中心，ECD ∆为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED的中点，则( )A ．BM EN =，且直线BM ，EN 是相交直线B ．BM EN ≠，且直线BM ，EN 是相交直线C ．BM EN =，且直线BM ，EN 是异面直线D ．BM EN ≠，且直线BM ，EN 是异面直线9．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的ε为0.01，则输出s 的值等于( )A ．4122-B ．5122-C ．6122-D ．7122-10．（5分）双曲线22:142x y C -=的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点．若||||PO PF =，则PFO ∆的面积为( )A 32B 32C ．22D ．3211．（5分）设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在(0,)+∞单调递减，则( )A ．233231(log )(2)(2)4f f f -->> B ．233231(log )(2)(2)4f f f -->>C ．233231(2)(2)(log )4f f f -->> D ．233231(2)(2)(log )4f f f -->>12．（5分）设函数()sin()(0)5f x x πωω=+>，已知()f x 在[0,2]π有且仅有5个零点．下述四个结论：①()f x 在(0,2)π有且仅有3个极大值点 ②()f x 在(0,2)π有且仅有2个极小值点 ③()f x 在(0,)10π单调递增④ω的取值范围是1229[,)510其中所有正确结论的编号是( ) A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

北京各区2019-2021年高三年级数学一模二模试题汇编两角和与差的三角函数一．选择题（共11小题） 1．（2019•西城区模拟）已知12cos 13α=，(,0)2πα∈−，则cos()(4πα−= )A B C D 2．（2019•北京模拟）如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，终边分别是射线OA 和射线OB ．射线OA ，OC 与单位圆的交点分别为34(,)55A ，(1,0)C −．若6BOC π∠=，则cos()βα−的值是( )A B C D3．（2019•丰台区二模）已知3(,)22ππα∈，且tan αsin (α= )A ．B ．C D4．（2019•延庆区一模）函数()sin 22f x x x =在区间[,]22ππ−上的零点之和是( )A ．3π−B ．6π−C ．6πD ．3π5．（2019•西城区模拟）sincos1212ππ+的值为( )A B C D ．126．（2019•北京模拟）已知tan()16πα+=，则tan()(6πα−= )A ．2B ．2C ．2−D ．2−+7．（2020•海淀区校级模拟）若()sin cos f x x x =−在[a −，]a 上是增函数，则a 的最大值是( )A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π8．（2020•北京模拟）函数()sin 2cos 2f x x x =+的最小正周期是( ) A ．2πB ．πC ．2πD ．4π9．（2021•丰台区模拟）sin 69cos9sin 21sin 9(︒︒−︒︒= )A ．B ．12−C D ．1210．（2021•门头沟区一模）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于x 轴对称．若cos α=cos()(αβ−= ) A ．35−B ．35C ．1D ．3411．（2021•北京模拟）cos24cos36sin 24cos54︒︒−︒︒的值等于( )A ．0B ．12C D ．12−二．填空题（共8小题）12．（2019•海淀区校级模拟）若角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线3y x =上，则tan()4πθ−=13．（2019•北京模拟）已知3cos 5α=，(0,)2πα∈，则cos()3πα+=14．（2021•北京模拟）设θ为第二象限角，若1tan()42πθ+=，则sin cos θθ+= ．15．（2020•北京模拟）已知函数()sin f x a x x =−的一条对称轴为12,()()06x f x f x π=−+=，且函数()f x 在1(x ，2)x 上具有单调性，则12||x x +的最小值为 ．16．（2020•北京模拟）已知(2πα∈，)π，4sin 5α=，则tan()4πα+= ． 17．（2021•丰台区二模）函数()sin cos f x x x =+的值域为 ．18．（2021•顺义区二模）已知α是任意角，且满足cos()sin 6k παα+⋅=，则常数k 的一个取值为 ．19．（2021•海淀区校级三模）已知()sin())f x x x θθ=−++是偶函数，且[0θ∈，]π，则θ= ． 三．解答题（共1小题）20．（2021•丰台区一模）已知函数()sin (0)f x x x ωωω=>．（Ⅰ）当1ω=时，求()6f π的值；（Ⅱ）当函数()f x 图象的两条相邻对称轴之间的距离是2π时，______．从①②③中任选一个，补充到上面空格处并作答．①求()f x 在区间[0,]2π上的最小值；②求()f x 的单调递增区间； ③若()0f x ，求x 的取值范围．参考答案与试题解析一．选择题（共11小题）1．【分析】由已知结合同角平方关系可求sin α，然后结合两角差的余弦公式可求． 【解答】解：12cos 13α=，(,0)2πα∈−， 5sin 13α∴=−，则7cos()sin )413πααα−+=故选：D ．【点评】本题主要考查了同角平方关系及两角和的余弦公式在求解三角函数值中的简单应用，属于基础试题． 2．【分析】由三角函数的定义可知，3cos 5α=，4sin 5α=，56πβ=，然后结合两角差的余弦公式即可求解【解答】解：由三角函数的定义可知，3cos 5α=，4sin 5α=，56πβ=，55314cos()cos cos sin sin 66525ππβααα∴−=+=+⨯=故选：C ．【点评】本题主要考查了三角函数的定义及两角差的余弦公式的简单应用，属于基础试题 3．【分析】直接利用三角函数的定义的应用求出结果．【解答】解：已知3(,)22ππα∈，且tan α则：sin3α==−． 故选：B ．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题题型．4．【分析】利用两角和差的三角公式化简函数的解析式，再根据函数零点的定义、正弦函数的零点，求出在区间[,]22ππ−上的零点，可得结论．【解答】解：令函数()sin 222sin(2)03f x x x x π=−=−=，可得23x k ππ−=，求得26k x ππ=+，k Z ∈．根据x ∈区间[,]22ππ−，可得3x π=−，6π， 故函数在区间[,]22ππ− 上的零点之和为366πππ−+=−， 故选：B ．【点评】本题主要考查函数零点的定义，两角和差的三角公式，正弦函数的零点，属于基础题． 5．【分析】可利用辅助角公式将sincos1212ππ+sin()1243πππ+=，从而可得答案． 【解答】解：sin cos2())121221221212432πππππππ++=+==， sincos1212ππ∴+． 故选：A ．【点评】本题考查两角和与差的正弦函数，关键是辅助角公式的熟练应用及逆用两角和的正弦，属于中档题． 6．【分析】由题意利用两角和差的正切公式求得tan α的值，再利用两角和差的正切公式求得要求式子的值． 【解答】解：已知tan tantan 6tan()1631tan tan 163πααπαπαα++===−−，tan 2α∴==则tan tantan()2633παπαα−−==， 故选：D ．【点评】本题主要考查两角和差的正切公式的应用，属于基础题．7．【分析】由辅助角公式可得())4f x x π−，再根据正弦函数的单调性，即可得解．【解答】解：()sin cos )4f x x x x π=−=−，令[242x k πππ−∈−+,2]2k ππ+,k Z ∈，则[24x k ππ∈−+,32]4k ππ+,k Z ∈， ∴函数()f x 的单调递增区间为[24k ππ−+,32]4k ππ+,k Z ∈， 又()f x 在[a −，]a 上是增函数,∴取0k =，()f x 的单调递增区间为[4π−,3]4π,此时对应的a 的最大值为4π．故选：B ．【点评】本题考查三角恒等变换与三角函数的综合，熟练掌握辅助角公式、正弦函数的单调性是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．8．【分析】函数y 变形，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值代入周期公式即可求出最小正周期．【解答】解：函数sin 2cos22y x x x =++， 2ω=，T π∴=．故选：B ．【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及三角函数的周期性及其求法，将函数解析式化为一个角的正弦函数是解本题的关键．9．【分析】直接利用三角函数的关系式的变换求出结果．【解答】解：sin 69cos9sin 21sin9cos21cos9sin 21sin9cos30︒︒−︒︒=︒︒−︒︒=︒ 故选：C ．【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．10．【分析】由任意角的三角函数知cos cos αβ=，sin sin αβ=−，再根据两角差的余弦公式，即可得解． 【解答】解：由题意得，cos cos αβ=，sin sin αβ=−， 2223cos()cos cos sin sin cos sin 2cos 15αβαβαβααα∴−=+=−=−=． 故选：B ．【点评】本题考查两角和差的余弦公式，同角三角函数的平方关系，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．11．【分析】由题意利用诱导公式、两角和的余弦公式，计算求得结果． 【解答】解：cos24cos36sin24cos54cos24cos36sin24sin36︒︒−︒︒=︒︒−︒︒ 1cos(2436)cos602=︒+︒=︒=，故选：B ．【点评】本题主要考查诱导公式、两角和的余弦公式，属于基础题． 二．填空题（共8小题）12．【分析】利用任意角的三角函数的定义求得tan θ的值，再利用两角和差的正切公式求得要求式子的值． 【解答】解：角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线3y x =上，tan 3θ∴=，则tan 11tan()41tan 2πθθθ−−==+，故答案为：12． 【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和差的正切公式的应用，属于基础题．13．【分析】利用同角三角函数的基本关系求得sin α的值，再利用两角和的余弦公式求得cos()3πα+的值．【解答】解：3cos 5α=，(0,)2πα∈，4sin 5α∴=，则1334343cos()cos cos sin sin 333252510πππααα−+=−=−=，故答案为：310−． 【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的余弦公式的应用，属于基础题．14．【分析】已知等式利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简，求出tan θ的值，再根据θ为第二象限角，利用同角三角函数间的基本关系求出sin θ与cos θ的值，即可求出sin cos θθ+的值．【解答】解：tan 11tan()41tan 2πθθθ++==−，1tan 3θ∴=−，而222221cos 1cos sin cos tan θθθθθ==++，θ为第二象限角，cos θ∴==，sin θ则sin cos θθ+==．故答案为：【点评】此题考查了两角和与差的正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．15．【分析】利用辅助角公式化简，对称为6x π=−，12()()0f x f x +=，且函数()f x 在1(x ，2)x 上具有单调性，可得对称中心，即可求出最小值．【解答】解：函数()(),f x asinx x tan θθ=−+=其中， 函数()f x 的一条对称轴为6x π=−，可得1()62f a π−=−−=2a =． ∴3πθ=−；对称中心横坐标由()(),33x k k z x k k z ππππ−=∈=+∈可得；又12()()0f x f x +=，且函数()f x 在1(x ，2)x 上具有单调性，∴12||2||3x x k π+=+，当0k =时，可得122||3x x π+=． 故答案为：23π． 【点评】本题考查了正弦函数的最值和单调性的综合应用，属于中档题． 16．【分析】直接利用三角函数关系式的定义和和角公式的应用求出结果．【解答】解：4(,),sin 25παπα∈=，则：3cos 5α=−，所以：4tan 3α=−，则：41tan tan134tan()4471tan tan 143παπαπα−+++===−−+， 故答案为：17−．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，和角公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．17．【分析】利用辅助角公式，化简函数的解析式，然后求解即可．【解答】解：函数()sin cos )[4f x x x x π=+=+∈．故答案为：[．【点评】本题考查了辅助角公式和三角函数的值域的求法，是基础题．18．【分析】由已知结合诱导公式进行化简即可求解．【解答】解：因为cos()sin 6k παα+⋅=，令62k ππ⋅=−，则3k =−．故答案为：3−（答案不唯一）．【点评】本题主要考查了诱导公式，属于基础题．19．【分析】正弦函数的图象关于y 轴对称，从而当0x =时，函数取得最值，代入函数后，结合正弦函数对称轴处取得函数最值可求．【解答】解()sin())f x x x θθ=−+是偶函数，故函数的图象关于y 轴对称，根据正弦函数的对称性可知，当0x =时，()f x 取得最值，故sin 2θθ−=±，所以sin 2θθ=±，即12(sin )22θθ=±，所以sin()13πθ−=±，因为[0θ∈，]π， 则56πθ=， 故答案为：56π． 【点评】本题主要考查了正弦函数对称性的应用，解题的关键是正弦函数在对称轴处取得最值条件的应用． 三．解答题（共1小题）20．【分析】()I 把1ω=代入可求()f x ，即可求解()6f π，()II 由已知先求出()2sin(2)3f x x π=+，选①：由02x π得42333x πππ+，然后结合正弦函数的性质可求； ②令222232k x k πππππ−++，解不等式可求函数的单调递增区间；③若()0f x ，结合正弦函数的图象及性质可求．【解答】解：()1I ω=时，()sin f x x x =+，故1()262f π=+=，()()2sin()3II f x x πω=+，由函数()f x 图象的两条相邻对称轴之间的距离是2π得T π=，2ω=，故()2sin(2)3f x x π=+，选①：由02x π得42333x πππ+，所以sin(2)13x π+，所以()f x 在区间[0,]2π上的最小值②求()f x 的单调递增区间， 令222232k x k πππππ−++，得51212k x k ππππ−+，k Z ∈，故函数()f x 的单调递增区间5[12k ππ−，]12k ππ+，k Z ∈， ③若()0f x ，则2223k x k ππππ++，k Z ∈，解得63k x k ππππ−+，k Z ∈， 故x 的取值范围[6k ππ−，]3k ππ+，k Z ∈．【点评】本题主要考查了正弦函数的周期性，单调性，最值求解，解题的关键是正弦函数性质的灵活应用．。

2019年北京市高考数学一模试卷(理科)(解析版)2019年北京市高考数学一模试卷（理科）一、选择题共8个小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数z=i（1+i），则|z|等于（）A。

2B。

√2C。

1D。

2√22.在方程r=2cosθ+3sinθ（θ为参数）所表示的曲线上的点是（）A。

(2.-7)B。

(3.1)C。

(1.5)D。

(2.1)3.设公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=2(a2+a3)，则Sn=（）A。

5anB。

6anC。

7anD。

14an4.将函数y=sin2x的图象向左平移π/4个单位后得到函数y=g(x)的图象。

则函数g(x)的一个增区间是（）A。

(π/4.3π/4)B。

(3π/4.5π/4)C。

(5π/4.7π/4)D。

(7π/4.9π/4)5.使“a>b”成立的一个充分不必要条件是（）A。

a>b+1B。

a>b-1C。

a^2>b^2D。

a^3>b^36.下列函数：①y=-|x|；②y=(x-1)^3；③y=log2(x-1)；④y=-6.在x中，在(1.+∞)上是增函数且不存在零点的函数的序号是（）A。

①④B。

②③C。

②④D。

①③④7.某三棱锥的正视图和侧视图如图所示，则该三棱锥的俯视图的面积为（）A。

6B。

8C。

10D。

128.远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（）A。

336B。

510C。

1326D。

3603二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9.在(1-x)^5的展开式中，x^2的系数为______（用数字作答）。

答案：1010.已知向量a=(1.b)。

b=(-2.-1)，且向量a+b的模长为√10.则实数x=______。

2019高考理科数学模拟试题（二）考试时间：120分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意)1．已知集合A={x|x2﹣4x+3≤0 }，B=（1，3]，则A∩B=（）A．[1，3]B．（1，3]C．[1，3） D．（1，3）2．若2﹣i是关于x的方程x2+px+q=0的一个根（其中i为虚数单位，p，q∈R），则q的值为（）A．﹣5 B．5 C．﹣3 D．3,1],ax−1≤0，则p是3．已知p：函数f(x)=(a−1)x为增函数，q：∀x∈[12￢q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．2017年高考考前第二次适应性训练考试结束后，对全市的英语成绩进行统计，发现英语成绩的频率分布直方图形状与正态分布N（95，82）的密度曲线非常拟合．据此估计：在全市随机柚取的4名高三同学中，恰有2名同学的英语成绩超过95分的概率是（）A．B．C．D．5．设函数f（x）=2cos（ωx+φ）对任意的x∈R，都有，若函数g（x）=3sin（ωx+φ）﹣2，则的值是（）A．1 B．﹣5或3 C．﹣2 D．6．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（参考数据：sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305）（）A．16 B．20 C．24 D．487．已知如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（）A．8πB．16πC．32πD．64π8．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且在[﹣1，0]上单调递减，设a=f（﹣2.8），b=f（﹣1.6），c=f（0.5），则a，b，c大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞c＞a D．a＞c＞b9．在二项式（2x+a）5的展开式中，含x2项的系数等于320，则=（）A．e2﹣e+3 B．e2+4 C．e+1 D．e+210．过平面区域内一点P作圆O：x2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，记∠APB=α，则当α最小时cosα的值为（）A．B．C．D．11．双曲线（a≥1，b≥1）的离心率为2，则的最小值为（）A．B．C．2 D．12．定义在R上的可导函数f（x），其导函数记为f'（x），满足f（x）+f（2﹣x）−3m，则=（x﹣1）2，且当x≤1时，恒有f'（x）+2＜x．若f(m)−f(1−m)≥32实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．C．[1，+∞）D．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．花园小区内有一块三边长分别是5m，5m，6m的三角形绿化地，有一只小狗在其内部玩耍，若不考虑小狗的大小，则在任意指定的某时刻，小狗与三角形三个顶点的距离均超过2m的概率是．14．已知O为原点，点P为直线2x+y﹣2=0上的任意一点．非零向量=（m，n）．若•恒为定值，则=．15．对于数列{a n}，定义H n=为{a n}的“优值”，现在已知某数列{a n}的“优值”H n=2n+1，记数列{a n﹣kn}的前n项和为S n，若S n≤S6对任意的n 恒成立，则实数k的取值范围是．16．已知函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），当x=﹣时函数f（x）能取得最小值，当x=时函数y=f（x）能取得最大值，且f（x）在区间（，）上单调．则当ω取最大值时φ的值为．三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（12分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，a5+a6=24，S11=143，数列{b n}的前n项和为T n，满足．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及数列的前n项和；（Ⅱ）判断数列{b n}是否为等比数列？并说明理由．18．（12分）某公司计划明年用不超过6千万元的资金投资于本地养鱼场和远洋捕捞队．经过本地养鱼场年利润率的调研，得到如图所示年利润率的频率分布直方图．对远洋捕捞队的调研结果是：年利润率为60%的可能性为0.6，不赔不赚的可能性为0.2，亏损30%的可能性为0.2．假设该公司投资本地养鱼场的资金为x（x≥0）千万元，投资远洋捕捞队的资金为y（y≥0）千万元．（1）利用调研数据估计明年远洋捕捞队的利润ξ的分布列和数学期望Eξ．（2）为确保本地的鲜鱼供应，市政府要求该公司对本地养鱼场的投资不得低于远洋捕捞队的一半．适用调研数据，给出公司分配投资金额的建议，使得明年两个项目的利润之和最大．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD∥BC，CD=13，AB=12，BC=10，AD=5，PD=8，点E，F分别是PB，DC的中点．（1）求证：EF∥平面PAD；（2）求EF与平面PDB所成角的正弦值．20．（12分）如图，已知椭圆C：，其左右焦点为F1（﹣1，0）及F2（1，0），过点F1的直线交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D，E两点，且|AF1|、|F1F2|、|AF2|构成等差数列．（1）求椭圆C的方程；（2）记△GF1D的面积为S1，△OED（O为原点）的面积为S2．试问：是否存在直线AB，使得S1=S2？说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=e﹣x﹣ax（x∈R）．（1）当a=﹣1时，求函数f（x）的最小值；（2）若x≥0时，f（﹣x）+ln（x+1）≥1，求实数a的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（1）求C的普通方程和l的倾斜角；（2）设点P（0，2），l和C交于A，B两点，求|PA|+|PB|．23．（10分）设函数f（x）=|2x﹣7|+1．（1）求不等式f（x）≤x的解集；（2）若存在x使不等式f（x）﹣2|x﹣1|≤a成立，求实数a的取值范围．2018高考理科数学模拟试题（二）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．已知集合A={x|x2﹣4x+3≤0 }，B=（1，3]，则A∩B=（）A．[1，3]B．（1，3]C．[1，3） D．（1，3）【分析】先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣4x+3≤0 }={x|1≤x≤3}，B=（1，3]，∴A∩B=（1，3]．故选：B．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2．若2﹣i是关于x的方程x2+px+q=0的一个根（其中i为虚数单位，p，q∈R），则q的值为（）A．﹣5 B．5 C．﹣3 D．3【分析】直接利用实系数一元二次方程的虚根成对原理及根与系数的关系求解．【解答】解：∵2﹣i是关于x的实系数方程x2+px+q=0的一个根，∴2+i是关于x的实系数方程x2+px+q=0的另一个根，则q=（2﹣i）（2+i）=|2﹣i|2=5．故选：B．【点评】本题考查实系数一元二次方程的虚根成对原理，考查复数模的求法，是基础题．,1],ax−1≤0，则p是3．已知p：函数f(x)=(a−1)x为增函数，q：∀x∈[12￢q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】p：函数f（x）=（a﹣1）x为增函数，则a﹣1＞1，解得a范围.,1],ax−1≤0，a．即可判断出关系．q：∀x∈[12【解答】解：p：函数f（x）=（a﹣1）x为增函数，则a﹣1＞1，解得a＞2．,1],ax−1≤0，a=1．￢q：a＞1．q：∀x∈[12则p是￢q的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的性质与解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．2017年高考考前第二次适应性训练考试结束后，对全市的英语成绩进行统计，发现英语成绩的频率分布直方图形状与正态分布N（95，82）的密度曲线非常拟合．据此估计：在全市随机柚取的4名高三同学中，恰有2名同学的英语成绩超过95分的概率是（）A．B．C．D．【分析】由题意，英语成绩超过95分的概率是，利用相互独立事件的概率公式，即可得出结论．【解答】解：由题意，英语成绩超过95分的概率是，∴在全市随机柚取的4名高三同学中，恰有2名冋学的英语成绩超过95分的概率是=，故选：D．【点评】本题考查正态分布，考查相互独立事件的概率公式，比较基础．5．设函数f（x）=2cos（ωx+φ）对任意的x∈R，都有，若函数g（x）=3sin（ωx+φ）﹣2，则的值是（）A．1 B．﹣5或3 C．﹣2 D．【分析】根据f（+x）=f（﹣x）确定x=是函数f（x）的对称轴，再由正余弦函数在其对称轴上取最值，求得g（）的值．【解答】解：函数f（x）=2cos（ωx+φ）对任意的x∈R，都有，∴函数f（x）的一条对称轴方程为x=，且x=时函数f（x）过最高点或最低点；∴cos（ω+φ）=±1，解得ω+φ=kπ，k∈Z；∴g（）=3sin（ω+φ）﹣2=3sinkπ﹣2=﹣2．故选：C．【点评】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用问题，注意正余弦函数在其对称轴上取最值．6．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（参考数据：sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305）（）A．16 B．20 C．24 D．48【分析】列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故选：C．【点评】本题考查循环框图的应用，考查了计算能力，注意判断框的条件的应用，属于基础题．7．已知如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（）A．8πB．16πC．32πD．64π【分析】由三视图判断出几何体是直三棱锥，且底面是等腰直角三角形，求出对应的高和底面的边长，根据它的外接球是对应直三棱锥的外接球，由外接球的结构特征，求出它的半径，代入表面积公式进行求解．【解答】解：由三视图知该几何体是直三棱锥，且底面是等腰直角三角形，直三棱锥的高是2，底面的直角边长为，斜边为2，则直三棱锥的外接球是对应直三棱柱的外接球，设几何体外接球的半径为R，因底面是等腰直角三角形，则底面外接圆的半径为1，∴R2=1+1=2，故外接球的表面积是4πR2=8π，故选A．【点评】本题考查球的表面积的求法，几何体的三视图与直观图的应用，考查空间想象能力，计算能力．8．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且在[﹣1，0]上单调递减，设a=f（﹣2.8），b=f（﹣1.6），c=f（0.5），则a，b，c大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞c＞a D．a＞c＞b【分析】由条件可得函数的周期为2，再根据a=f（﹣2.8）=f（﹣0.8），b=f（﹣1.6）=f（0.4）=f（﹣0.4），c=f（0.5）=f（﹣0.5），﹣0.8＜﹣0.5＜﹣0.4，且函数f（x）在[﹣1，0]上单调递减，可得a，b，c大小关系【解答】解：∵偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），∴函数的周期为2．由于a=f（﹣2.8）=f（﹣0.8），b=f（﹣1.6）=f（0.4）=f（﹣0.4），c=f（0.5）=f（﹣0.5），﹣0.8＜﹣0.5＜﹣0.4，且函数f（x）在[﹣1，0]上单调递减，∴a＞c＞b，故选：D【点评】本题主要考查函数的单调性、奇偶性、周期性的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．9．在二项式（2x+a）5的展开式中，含x2项的系数等于320，则=（）A．e2﹣e+3 B．e2+4 C．e+1 D．e+2【分析】二项式（2x+a）5的展开式中，含x2项，利用通项公式求出含有x2的项，可得系数，从而求出a，利用定积分公式求解即可．【解答】解：二项式（2x+a）5的展开式中，含x2项，由通项公式，∵含x2项，∴r=3．∴含有x2的项的系数为=320，可得：a=2．则==e2﹣e+22﹣1=e2﹣e+3．故选：A．【点评】本题主要考查二项式定理的通项公式的应用，以及定积分公式的计算．属于基础题10．过平面区域内一点P作圆O：x2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，记∠APB=α，则当α最小时cosα的值为（）A．B．C．D．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，要使α最小，则P到圆心的距离最大即可，由图象可知当P位于点D时，∠APB=α最小，由，解得，即D（﹣4，﹣2），此时|OD|=，|OA|=1，则，即sin=，此时cosα=1﹣2sin2=1﹣2（）2=1﹣=，故选：C11．双曲线（a≥1，b≥1）的离心率为2，则的最小值为（）A．B．C．2 D．【分析】根据双曲线（a≥1，b≥1）的离心率为2，可得a，b的关系，代入化简，利用单调性，即可求得的最小值．【解答】解：∵双曲线（a≥1，b≥1）的离心率为2，∴∴∴b2=3a2∴==∵a≥1∴在[1，+∞）上单调增∴≥故选A．【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查函数的单调性，正确运用双曲线的几何性质是关键．12．定义在R上的可导函数f（x），其导函数记为f'（x），满足f（x）+f（2﹣x）−3m，则=（x﹣1）2，且当x≤1时，恒有f'（x）+2＜x．若f(m)−f(1−m)≥32实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．C．[1，+∞）D．【分析】令g（x）=f（x）+2x﹣，求得g（x）+g（2﹣x）=3，则g（x）关于（1，3）中心对称，则g（x）在R上为减函数，再由导数可知g（x）在R上为−3m为g（m）≥g（1﹣m），利用单调性求解．减函数，化f(m)−f(1−m)≥32【解答】解：令g（x）=f（x）+2x﹣，g′（x）=f′（x）+2﹣x，当x≤1时，恒有f'（x）+2＜x．∴当x≤1时，g（x）为减函数，而g（2﹣x）=f（2﹣x）+2（2﹣x）﹣，∴f（x）+f（2﹣x）=g（x）﹣2x++g（2﹣x）﹣2（2﹣x）+=g（x）+g（2﹣x）+x2﹣2x﹣2=x2﹣2x+1．∴g（x）+g（2﹣x）=3．则g（x）关于（1，）中心对称，则g（x）在R上为减函数，−3m，得f（m）+2m≥f（1﹣m）+2（1﹣m）﹣，由f(m)−f(1−m)≥32即g（m）≥g（1﹣m），∴m≤1﹣m，即m．∴实数m的取值范围是（﹣∞，]．故选：D．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，构造函数是解答该题的关键，是压轴题．二．填空题（共4小题）13．花园小区内有一块三边长分别是5m，5m，6m的三角形绿化地，有一只小狗在其内部玩耍，若不考虑小狗的大小，则在任意指定的某时刻，小狗与三角形三个顶点的距离均超过2m的概率是1﹣．【分析】根据题意，记“小狗距三角形三个顶点的距离均超过2”为事件A，则其对立事件为“小狗与三角形的三个顶点的距离不超过2”，先求得边长为4的等边三角形的面积，再计算事件构成的区域面积，由几何概型可得P（），进而由对立事件的概率性质，可得答案【解答】解：记“小狗距三角形三个顶点的距离均超过2”为事件A，则其对立事件为“小狗与三角形的三个顶点的距离不超过2”，三边长分别为5m、5m、6m的三角形的面积为S=×6×4=12，则事件构成的区域可组合成一个半圆，其面积为S（）=π×22=2π，由几何概型的概率公式得P（）=；P（A）=1﹣P（）=1﹣；故答案为：1﹣【点评】本题考查几何概型，涉及对立事件的概率性质；解题时关键是求出小狗与三角形三个顶点的距离均不超过2m区域面积．14．已知O为原点，点P为直线2x+y﹣2=0上的任意一点．非零向量=（m，n）．若•恒为定值，则=2．【分析】设点P（x，y），由P为直线2x+y﹣2=0上的任意一点，用x表示，写出•的解析式；根据•恒为定值，x的系数为0，求出m、n的关系，可得的值．【解答】解：设点P（x，y），∵点P为直线2x+y﹣2=0上的任意一点，∴y=2﹣2x，∴=（x，2﹣2x）；又非零向量=（m，n），∴•=mx+n（2﹣2x）=（m﹣2n）x+2n恒为定值，∴m﹣2n=0，∴=2．故答案为：2．【点评】本题考查了平面向量数量积的定义与应用问题，是基础题．15．对于数列{a n}，定义H n=为{a n}的“优值”，现在已知某数列{a n}的“优值”H n=2n+1，记数列{a n﹣kn}的前n项和为S n，若S n≤S6对任意的n 恒成立，则实数k的取值范围是．【分析】由题意，H n==2n+1，则a1+2a2+…+2n﹣1a n=n•2n+1，n≥2时，a1+2a2+…+2n﹣2a n﹣1=（n﹣1）2n，相减可得a n=2（n+1），对a1也成立，可得a n﹣kn=（2﹣k）n+2．由于数列{a n﹣kn}为等差数列，S n≤S6对任意的n（n ∈N*）恒成立可化为a6﹣6k≥0，a7﹣7k≤0，即可得出．【解答】解：由题意，H n==2n+1，则a1+2a2+…+2n﹣1a n=n•2n+1，n≥2时，a1+2a2+…+2n﹣2a n﹣1=（n﹣1）2n，则2n﹣1a n=n2n+1﹣（n﹣1）2n=（n+1）2n，则a n=2（n+1），对a1也成立，故a n=2（n+1），则a n﹣kn=（2﹣k）n+2，则数列{a n﹣kn}为等差数列，故S n≤S6对任意的n（n∈N*）恒成立可化为a6﹣6k≥0，a7﹣7k≤0；即解得，，故答案为：．【点评】本题考查了新定义、等差数列的通项公式与单调性、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．已知函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），当x=﹣时函数f（x）能取得最小值，当x=时函数y=f（x）能取得最大值，且f（x）在区间（，）上单调．则当ω取最大值时φ的值为﹣．【分析】根据x=﹣时f（x）取得最小值，x=时f（x）取得最大值，得出（n+）•T=，求出T以及ω的值；再由f（x）在（，）上单调，得出T以及ω的取值；讨论ω的取值，求出满足条件的ω的最大值以及对应φ的值．【解答】解：当x=﹣时f（x）能取得最小值，x=时f（x）能取得最大值，∴（n+）•T=﹣（﹣），即T=，（n∈N）解得ω=4n+2，（n∈N）即ω为正偶数；∵f（x）在（，）上单调，∴﹣=≤，即T=≥，解得ω≤12；当ω=12时，f（x）=cos（12x+φ），且x=﹣，12×（﹣）+φ=﹣π+2kπ，k∈Z，由|φ|≤，得φ=0，此时f（x）=cos12x在（，）不单调，不满足题意；当ω=10时，f（x）=cos（10x+φ），且x=﹣，10×（﹣）+φ=﹣π+2kπ，k∈Z，由|φ|≤，得φ=﹣，此时f（x）=cos（10x﹣）在（，）单调，满足题意；故ω的最大值为10，此时φ的值为﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了余弦型函数的图象和性质的应用问题，也考查了转化思想与分类讨论思想的应用问题，难度较大．三．解答题（共7小题，满分70分）17．（12分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，a5+a6=24，S11=143，数列{b n}的前n项和为T n，满足．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及数列的前n项和；（Ⅱ）判断数列{b n}是否为等比数列？并说明理由．【分析】（Ⅰ）由S11=11a6=143，得a6=13，由a5+a6=24，得a5=11，从而d=2，进崦{a n}的通项公式是a n=2n+1（n∈N*），再由，能求出前n项的和．（Ⅱ）由a1=3，，，得b1=7；当n≥2时，，从而b n=4b n（n≥2．若{b n}是等比数列，则+1有b2=4b1，与b2=4b1矛盾，从而得到数列{b n}不是等比数列．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，由S11=11a6=143，∴a6=13．又a5+a6=24，解得a5=11，d=2，因此{a n}的通项公式是a n=2n+1（n∈N*），所以，从而前n项的和为：===．…（6分）（Ⅱ）因为a1=3，，．当n=1时，b1=7；当n≥2时，；=4b n（n≥2．若{b n}是等比数列，则有b2=4b1，所以b n+1而b1=7，b2=12，所以与b2=4b1矛盾，故数列{b n}不是等比数列．…（12分）【点评】本题考查数列的通项公式、前n项和的求法，考查数列是否是等比数列的判断与求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用．18．（12分）某公司计划明年用不超过6千万元的资金投资于本地养鱼场和远洋捕捞队．经过本地养鱼场年利润率的调研，得到如图所示年利润率的频率分布直方图．对远洋捕捞队的调研结果是：年利润率为60%的可能性为0.6，不赔不赚的可能性为0.2，亏损30%的可能性为0.2．假设该公司投资本地养鱼场的资金为x（x≥0）千万元，投资远洋捕捞队的资金为y（y≥0）千万元．（1）利用调研数据估计明年远洋捕捞队的利润ξ的分布列和数学期望Eξ．（2）为确保本地的鲜鱼供应，市政府要求该公司对本地养鱼场的投资不得低于远洋捕捞队的一半．适用调研数据，给出公司分配投资金额的建议，使得明年两个项目的利润之和最大．【解答】解：（1）随机变量ξ的可能取值为0.6y，0，﹣0.3y，随机变量ξ的分布列为，ξ0.6y0﹣0.3yP0.60.20.2∴Eξ=0.36y﹣0.06y=0.3y；（2）根据题意得，x，y满足的条件为①，由频率分布直方图得本地养鱼场的年平均利润率为：﹣0.3×0.2×0.5+（﹣0.1）×0.2×0.5+0.1×0.2×1.0+0.3×0.2×2.0+0.5×0.2×1.0=0.20，∴本地养鱼场的年利润为0.20x千万元，∴明年连个个项目的利润之和为z=0.2x+0.3y，作出不等式组①所表示的平面区域若下图所示，即可行域．当直线z=0.2x+0.3y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大．解方程组，得∴z的最大值为：0.20×2+0.30×4=1.6千万元．即公司投资本地养鱼场和远洋捕捞队的资金应分别为2千万元、4千万元时，明年两个项目的利润之和的最大值为1.6千万元．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD∥BC，CD=13，AB=12，BC=10，AD=5，PD=8，点E，F分别是PB，DC的中点．（1）求证：EF∥平面PAD；（2）求EF与平面PDB所成角的正弦值．【分析】取CB的中点G，连结DG，建立空间直角坐标系：（1）=（12，0，0）为平面PAD的一个法向量，根据，进而可证EF ∥面PAD（2）平面PAD的法向量=（5，﹣12，0），代和线面夹角公式，可得答案．【解答】证明：取CB的中点G，连结DG，因为AD∥BG且AD=BD，所以四边形ABGD为平行四边形，所以DG=AB=12，又因为AB⊥AD，所以DG⊥AD，又PD⊥平面ABCD，故以点D原点建立如图所示的空间直角坐标系．…（2分）因为BC=10，AD=5，PD=8，所以有D（0，0，0），P（0，0，8），B（12，5，0），C（12，﹣5，0），因为E，F分别是PB，DC的中点，所以E（6，﹣2.5，0），F（6，2.5，4），（1）因为PD⊥平面ABCD，DG⊂平面ABCD，所以PD⊥DG，又因为DG⊥AD，AD∩PD=D，AD，PD⊂平面PAD，所以DG⊥平面PAD，所以=（12，0，0）为平面PAD的一个法向量，…（4分）又=（0，5，4），=0，所以，又EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD；…（6分）（2）设平面PAD的法向量为=（x，y，z），所以，即，即，令x=5，则=（5，﹣12，0）…（9分）所以EF与平面PDB所成角θ满足：sinθ===，…（11分）所以EF与平面PDB所成角的正弦值为…（12分）【点评】本题考查的知识点是直线与平面平行的证明，直线与平面的夹角，难度中档．20．（12分）如图，已知椭圆C：，其左右焦点为F1（﹣1，0）及F2（1，0），过点F1的直线交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D，E两点，且|AF1|、|F1F2|、|AF2|构成等差数列．（1）求椭圆C的方程；（2）记△GF1D的面积为S1，△OED（O为原点）的面积为S2．试问：是否存在直线AB，使得S1=S2？说明理由．【分析】（1）依题意，|AF1|、|F1F2|、|AF2|构成等差数列，求出a，再利用c=1，求出b，即可求椭圆C的方程；（2）假设存在直线AB，使得S1=S2，确定G，D的坐标，利用△GFD∽△OED，即可得到结论．【解答】解：（1）因为|AF1|、|F1F2|、|AF2|构成等差数列，所以2a=|AF1|+|AF2|=2|F1F2|=4，所以a=2．…（2分）又因为c=1，所以b2=3，…（3分）所以椭圆C的方程为．…（4分）（2）假设存在直线AB，使得S1=S2，显然直线AB不能与x，y轴垂直．设AB方程为y=k（x+1）将其代入，整理得（4k2+3）x2+8k2x+4k2﹣12=0…（5分）设A（x1，y1），B（x2，y2），所以．故点G的横坐标为．所以G（，）．…（6分）因为DG⊥AB，所以×k=﹣1，解得x D=，即D（，0）…（8分）∵Rt△GDF1和∵Rt△ODE相似，∴若S1=S2，则|GD|=|OD|所以，…（10分）整理得8k2+9=0．因为此方程无解，所以不存在直线AB，使得S1=S2．…（12分）【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）=e﹣x﹣ax（x∈R）．（1）当a=﹣1时，求函数f（x）的最小值；（2）若x≥0时，f（﹣x）+ln（x+1）≥1，求实数a的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值；（2）得到e x+ax+ln（x+1）﹣1≥0．（*）令g（x）=e x+ax+ln（x+1）﹣1，通过讨论a的范围，确定函数的单调性，从而求出满足条件的a的具体范围即可；【解答】解：（1）当a=﹣1时，f（x）=e﹣x+x，则f′（x）=﹣+1．令f'（x）=0，得x=0．当x＜0时，f'（x）＜0；当x＞0时，f'（x）＞0．∴函数f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，在区间（0，+∞）上单调递增．∴当x=0时，函数f（x）取得最小值，其值为f（0）=1f（x）的最小值为1．（2）若x≥0时，f（﹣x）+ln（x+1）≥1，即e x+ax+ln（x+1）﹣1≥0（*）令g（x）=e x+ax+ln（x+1）﹣1，则①若a≥﹣2，由（1）知e﹣x+x≥1，即e﹣x≥1﹣x，故e x≥1+x∴函数g（x）在区间[0，+∞）上单调递增，∴g（x）≥g（0）=0．∴（*）式成立．②若a＜﹣2，令，则∴函数ϕ（x）在区间[0，+∞）上单调递增，由于ϕ（0）=2+a＜0，．故∃x0∈（0，﹣a），使得ϕ（x0）=0，则当0＜x＜x0时，ϕ（x）＜ϕ（x0）=0，即g'（x）＜0．∴函数g（x）在区间（0，x0）上单调递减，∴g（x0）＜g（0）=0，即（*）式不恒成立．综上所述，实数a的取值范围是[﹣2，+∞）．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查分类讨论思想、转化思想，是一道综合题．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（1）求C的普通方程和l的倾斜角；（2）设点P（0，2），l和C交于A，B两点，求|PA|+|PB|．【分析】（1）直接把曲线的参数方程转化为直角坐标方程，进一步把极坐标方程转化为直角坐标方程，在求出直线的倾斜角．（2）利用定点把直线的直角坐标式转化为参数式，进一步建立一元二次方程根与系数的关系，最后求出结果．【解答】解：（1）由消去参数α，得即C的普通方程为由，得ρsinθ﹣ρcosθ①将代入①得y=x+2所以直线l的斜率角为．（2）由（1）知，点P（0，2）在直线l上，可设直线l的参数方程为（t为参数）即（t为参数），代入并化简得设A，B两点对应的参数分别为t1，t2．则，所以t1＜0，t2＜0所以．【点评】本题考查的知识要点：直角坐标方程与参数方程的互化，直线和曲线的位置关系的应用，一元二次方程根与系数的关系的应用．23．（10分）设函数f（x）=|2x﹣7|+1．（1）求不等式f（x）≤x的解集；（2）若存在x使不等式f（x）﹣2|x﹣1|≤a成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）问题转化为解不等式组问题，解出取并集即可；（2）先求出g（x）的分段函数，求出g（x）的最小值，从而求出a的范围．【解答】解：（1）由f（x）≤x得|2x﹣7|+1≤x，∴，∴不等式f（x）≤x的解集为；（2）令g（x）=f（x）﹣2|x﹣1|=|2x﹣7|﹣2|x﹣1|+1，则，∴g（x）min=﹣4，∵存在x使不等式f（x）﹣2|x﹣1|≤a成立，∴g（x）min≤a，∴a≥﹣4．【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，考查函数的最值问题，是一道基础题．。

2019年北京市海淀区高考数学一模试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合P＝{x|0＜x＜4}，且M⊆P，则M可以是（）A．{1，2}B．{2，4}C．{﹣1，2}D．{0，5}2．（5分）若角α的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是（）A．B．C．sin（π+α）D．cos（π+α）3．（5分）已知等差数列{a n}满足4a3＝3a2，则{a n}中一定为零的项是（）A．a6B．a8C．a10D．a124．（5分）已知x＞y，则下列各式中一定成立的是（）A．B．C．D．2x+2﹣y＞25．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的m值为（）A．B．C．D．6．（5分）已知复数z＝a+i（a∈R），则下面结论正确的是（）A．B．|z|≥1C．z一定不是纯虚数D．在复平面上，z对应的点可能在第三象限7．（5分）椭圆与双曲线的离心率之积为1，则双曲线C2的两条渐近线的倾斜角分别为（）A．，B．，C．，D．，8．（5分）某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理在A层班级，生物在B层班级，该校周一上午课程安排如表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有（）第一节第二节第三节第四节地理B层2班化学A层3班地理A层1班化学A层4班生物A层1班化学B层2班生物B层2班历史B层1班物理A层1班生物A层3班物理A层2班生物A层4班物理B层2班生物B层1班物理B层1班物理A层4班政治1班物理A层3班政治2班政治3班A．8种B．10种C．12种D．14种二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）已知a，4，c成等比数列，且a＞0，则log2a+log2c＝．10．（5分）在△ABC中，，则c＝，S△ABC＝．11．（5分）已知向量＝（1，﹣2），同时满足条件①∥，②的一个向量的坐标为．12．（5分）在极坐标系中，若圆ρ＝2a cosθ关于直线对称，则a＝13．（5分）设关于x，y 的不等式组表示的平面区域为Ω．记区域Ω上的点与点A（0，﹣1）距离的最小值为d（k），则（Ⅰ）当k＝1时，d（1）＝；（Ⅱ）若，则k的取值范围是．14．（5分）已知函数f（x）＝x，g（x）＝ax2﹣x，其中a＞0．若∀x1∈[1，2]，∃x2∈[1，2]，使得f（x1）f（x2）＝g（x1）g（x2）成立，则a＝．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明～演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数的最大值为．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．16．（13分）据《人民网》报道，“美国国家航空航天局（NASA）发文称，相比20年前世界变得更绿色了．卫星资料显示中国和印度的行动主导了地球变绿．”据统计，中国新增绿化面积的42%来自于植树造林，下表是中国十个地区在2017年植树造林的相关数据．（造林总面积为人工造林、飞播造林、新封山育林、退化林修复、人工更新的面积之和）单位：公顷造林方式地区造林总面积人工造林飞播造林新封山育林退化林修复人工更新内蒙61848431105274094136006903826950河北58336134562533333135107656533643河南14900297647134292241715376133重庆2263331006006240063333陕西297642184108336026386516067甘肃325580260144574387998新疆2639031181056264126647107962091青海178414160511597342629宁夏91531589602293882981335北京1906410012400039991053（Ⅰ）请根据上述数据分别写出在这十个地区中人工造林面积与造林总面积的比值最大和最小的地区；（Ⅱ）在这十个地区中，任选一个地区，求该地区人工造林面积占造林总面积的比值超过50%的概率是多少？（Ⅲ）在这十个地区中，从新封山育林面积超过五万公顷的地区中，任选两个地区，记X 为这两个地区中退化林修复面积超过六万公顷的地区的个数，求X的分布列及数学期望．17．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1＝2，点D，E，F分别为棱A1C1，B1C1，BB1的中点．（Ⅰ）求证：AC1∥平面DEF（Ⅱ）求证：平面ACB1⊥平面DEF；（Ⅲ）在线段AA1上是否存在一点P，使得直线DP与平面ACB1所成的角为300？如果存在，求出线段AP的长；如果不存在，说明理由．18．（14分）已知函数f（x）＝xln（x+1）﹣ax2．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）当a＜0时，求证：函数f（x）存在极小值；（Ⅲ）请直接写出函数f（x）的零点个数．19．（13分）已知抛物线G：y2＝2px，其中p＞0．点M（2，0）在G的焦点F的右侧，且M到G的准线的距离是M与F距离的3倍．经过点M的直线与抛物线G交于不同的A，B两点，直线OA与直线x＝﹣2交于点P，经过点B且与直线OA垂直的直线l交x轴于点Q．（Ⅰ）求抛物线的方程和F的坐标；（Ⅱ）判断直线PQ与直线AB的位置关系，并说明理由．20．（13分）首项为0的无穷数列{a n}同时满足下面两个条件：①|a n+1﹣a n|＝n；②．（Ⅰ）请直接写出a4的所有可能值；（Ⅱ）记b n＝a2n，若b n＜b n+1对任意n∈N*成立，求{b n}的通项公式；（Ⅲ）对于给定的正整数k，求a1+a2+…+a k的最大值．2019年北京市海淀区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合P＝{x|0＜x＜4}，且M⊆P，则M可以是（）A．{1，2}B．{2，4}C．{﹣1，2}D．{0，5}【分析】利用集合的关系，判断选项即可．【解答】解：集合P＝{x|0＜x＜4}，且M⊆P，可知M是P的子集，所以M可以是{1，2}．故选：A．【点评】本题考查集合的子集关系的应用，是基本知识的考查．2．（5分）若角α的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是（）A．B．C．sin（π+α）D．cos（π+α）【分析】由角α的终边在第二象限，则sinα＞0，cosα＜0，利用诱导公式化简各个选项即可得解．【解答】解：角α的终边在第二象限，则sinα＞0，cosα＜0，对于A，＝cosα＜0，错误；对于B，cos（）＝﹣sinα＜0，错误；对于C，sin（π+α）＝﹣﹣sinα＜0，错误；对于D，cos（π+α）＝﹣cosα＞0，正确；故选：D．【点评】本题主要考查了诱导公式的简单应用，属于基础题．3．（5分）已知等差数列{a n}满足4a3＝3a2，则{a n}中一定为零的项是（）A．a6B．a8C．a10D．a12【分析】利用通项公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵4a3＝3a2，∴4（a1+2d）＝3（a1+d），可得：a1+5d＝0，∴a6＝0，则{a n}中一定为零的项是a6．故选：A．【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．（5分）已知x＞y，则下列各式中一定成立的是（）A．B．C．D．2x+2﹣y＞2【分析】A．取x＝2，y＝﹣1，即可判断出正误；B．取x＝y＝﹣1即可判断出正误；C．由指数函数f（x）＝在R上单调递减，即可判断出正误；D.2x+2﹣y＞2x+2﹣x≥2，即可判断出正误．【解答】解：A．取x＝2，y＝﹣1，不成立；B．取x＝y＝﹣1不成立；C．由指数函数f（x）＝在R上单调递减，可得不成立；D.2x+2﹣y＞2x+2﹣x≥2，因此成立．故选：D．【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的m值为（）A．B．C．D．【分析】根据程序框图进行模拟运算即可．【解答】解：S＝1×2＝2，x＝2+2＝4，m＝＝2，m否，S＝4×2＝8，x＝4+2＝6，m＝＝，m否，S＝6×8＝48，x＝6+2＝8，m＝＝，m是，输出m＝，故选：B．【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键．6．（5分）已知复数z＝a+i（a∈R），则下面结论正确的是（）A．B．|z|≥1C．z一定不是纯虚数D．在复平面上，z对应的点可能在第三象限【分析】利用复数基本概念逐一核对四个选项得答案．【解答】解：∵z＝a+i（a∈R），∴，故A错误；|z|＝，故B正确；当a＝0时，z为纯虚数，故C错误；∵虚部为1大于0，∴在复平面上，z对应的点不可能在第三象限，故D错误．故选：B．【点评】本题考查复数的基本概念，是基础题．7．（5分）椭圆与双曲线的离心率之积为1，则双曲线C2的两条渐近线的倾斜角分别为（）A．，B．，C．，D．，【分析】求出椭圆的离心率，然后求解双曲线的离心率，转化求出渐近线的倾斜角即可．【解答】解：椭圆的离心率为：＝，椭圆与双曲线的离心率之积为1，可得双曲线的离心率为：＝，可得，可得，则双曲线C2的两条渐近线的斜率为：，所以双曲线C2的两条渐近线的倾斜角分别为：；．故选：C．【点评】本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．8．（5分）某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理在A层班级，生物在B层班级，该校周一上午课程安排如表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有（）第一节第二节第三节第四节地理B层2班化学A层3班地理A层1班化学A层4班生物A层1班化学B层2班生物B层2班历史B层1班物理A层1班生物A层3班物理A层2班生物A层4班物理B层2班生物B层1班物理B层1班物理A层4班政治1班物理A层3班政治2班政治3班A．8种B．10种C．12种D．14种【分析】根据分类计数原理即可求出【解答】解：由于生物在B层，只有第2，3节有，故分2两类，若生物安排第2节，其他任意排即可，故有A33＝6种，若生物安排第3节，则政治有2种方法，其他任意排，故有C21A22＝4根据分类计数原理可得6+4＝10种，故选：B．【点评】本题考查了分类计数原理，关键是分类，属于基础题二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）已知a，4，c成等比数列，且a＞0，则log2a+log2c＝4．【分析】推导出ac＝16，c＞0，由此能求出log2a+log2c．【解答】解：∵a，4，c成等比数列，且a＞0，∴ac＝16，c＞0，∴log2a+log2c＝log2ac＝log216＝4．故答案为：4．【点评】本题考查对数值的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10．（5分）在△ABC中，，则c＝6，S△ABC＝．【分析】由已知利用余弦定理可求c的值，根据同角三角函数基本关系式可求sin C的值，利用三角形的面积公式即可计算得解．【解答】解：∵，∴由余弦定理可得：c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝42+52﹣2×4×5×＝36，解得：c＝6，∴sin C＝＝，∴S△ABC＝ab sin C＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．11．（5分）已知向量＝（1，﹣2），同时满足条件①∥，②的一个向量的坐标为（﹣1，2）（答案不唯一）．【分析】利用向量共线列出方程，利用向量的模转化求解x的值，推出结果．【解答】解：设＝（x，y），由可得：y＝﹣2x，＝（1+x，﹣2+y），由，可得＜，把y＝﹣2x代入，可得（x+1）2+（﹣2x﹣2）2＜5，化简可得x2+2x＜5，解得：﹣2＜x＜0，取得x＝﹣1，可得y＝2，所以＝（﹣1，2）．故答案为：（﹣1，2）．【点评】本题考查向量共线以及向量的坐标运算，是基本知识的考查．12．（5分）在极坐标系中，若圆ρ＝2a cosθ关于直线对称，则a＝﹣1【分析】化简圆的极坐标方程为普通方程，直线的极坐标方程化为普通方程，然后利用圆的圆心在直线上，求解a即可．【解答】解：圆ρ＝2a cosθ的普通方程为：x2+y2﹣2ax＝0，直线，化为x+y+1＝0，圆关于直线对称，则直线经过圆的圆心（a，0），所以a++1＝0，解得，a＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查极坐标与普通方程的互化，直线与圆的位置关系的应用，是基本知识的考查．13．（5分）设关于x，y的不等式组表示的平面区域为Ω．记区域Ω上的点与点A（0，﹣1）距离的最小值为d（k），则（Ⅰ）当k＝1时，d（1）＝2；（Ⅱ）若，则k的取值范围是[﹣1，+∞）．【分析】（Ⅰ）当k＝1时，画出约束条件的可行域，然后利用新定义，求解d（1）即可．（Ⅱ）利用直线系经过的定点，结合，判断直线的斜率的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）x，y的不等式组表示的平面区域为Ω．是如图的灰色的角形区域，区域Ω上的点与点A（0，﹣1）距离的最小值为d（k），d（1）＝2．（Ⅱ）若，可知区域Ω上的点与点A（0，﹣1）距离的最小值为d（k），直线y＝kx+1恒过（0，1），由图形，可知直线经过B（1，0）时，区域Ω上的点与点A （0，﹣1）距离的最小值为，此时直线的斜率为：﹣1，所以k≥﹣1．故答案为：（Ⅰ）：2；（Ⅱ）：[﹣1，+∞）．【点评】本题考查线性规划的简单应用，画出可行域，判断目标函数的几何意义的解题的关键．14．（5分）已知函数f（x）＝x，g（x）＝ax2﹣x，其中a＞0．若∀x1∈[1，2]，∃x2∈[1，2]，使得f（x1）f（x2）＝g（x1）g（x2）成立，则a＝．【分析】由f（x1）f（x2）＝g（x1）g（x2）成立，可得成立；设h（x）＝，u（x）＝，求解h（x）的值域是u（x）值域的子集求解a的值即可．【解答】解：由题意．由f（x1）f（x2）＝g（x1）g（x2）成立，可得成立；设h（x）＝，u（x）＝，那么h（x）＝，∵x1∈[1，2]，当a＞0时，可得h（x）的值域为[，]u（x）＝ax﹣1∵x2[1，2]，∴当a＞0时，可得u（x）的值域为[a﹣1，2a﹣1]；∵∀x1∈[1，2]，∃x2∈[1，2]，∴h（x）的值域是u（x）值域的子集；可得：，解得：0＜a；，解得：a＜0或a．综上可得：a＝同理，当a＜0时，可得：a无解故答案为：．【点评】本题主要考查了函数恒成立问题的求解，分类讨论以及转化思想的应用，二次函数闭区间是的最值以及单调性的应用．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明～演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数的最大值为．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．【分析】（Ⅰ）利用三角函数的恒等变换，化简函数的解析式，再利用正弦函数的最值求得a的值．（Ⅱ）由题意利用正弦函数的单调性，求出函数f（x）的单调递增区间．【解答】解：（Ⅰ）因为＝（2sin x+2cos x）cos x+a＝2sin x cos x+2cos2x+a＝sin2x+cos2x+1+a ＝所以函数f（x ）的最大值为．∵最大值为，所以1+a＝0，所以a＝﹣1（Ⅱ）因为y＝sin x 的单调递增区间为，k∈Z，令，所以，函数f（x ）的单调递增区间为，k∈Z．【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的最值、单调性，属于中档题．16．（13分）据《人民网》报道，“美国国家航空航天局（NASA）发文称，相比20年前世界变得更绿色了．卫星资料显示中国和印度的行动主导了地球变绿．”据统计，中国新增绿化面积的42%来自于植树造林，下表是中国十个地区在2017年植树造林的相关数据．（造林总面积为人工造林、飞播造林、新封山育林、退化林修复、人工更新的面积之和）单位：公顷造林方式地区造林总面积人工造林飞播造林新封山育林退化林修复人工更新内蒙61848431105274094136006903826950河北58336134562533333135107656533643河南14900297647134292241715376133重庆2263331006006240063333陕西297642184108336026386516067甘肃325580260144574387998新疆2639031181056264126647107962091青海178414160511597342629宁夏91531589602293882981335北京1906410012400039991053（Ⅰ）请根据上述数据分别写出在这十个地区中人工造林面积与造林总面积的比值最大和最小的地区；（Ⅱ）在这十个地区中，任选一个地区，求该地区人工造林面积占造林总面积的比值超过50%的概率是多少？（Ⅲ）在这十个地区中，从新封山育林面积超过五万公顷的地区中，任选两个地区，记X 为这两个地区中退化林修复面积超过六万公顷的地区的个数，求X的分布列及数学期望．【分析】（Ⅰ）根据表格计算即可得出．（Ⅱ）设在这十个地区中，任选一个地区，该地区人工造林面积占总面积的比值超过为事件A．在十个地区中，有7个地区（内蒙、河北、河南、陕西、甘肃、宁夏、北京）人工造林面积占总面积比超过50%，即可得出P（A）．（Ⅲ）新封山育林面积超过五万公顷有7个地区：内蒙、河北、河南、重庆、陕西、甘肃、新疆、青海，其中退化林修复面积超过六万公顷有3个地区：内蒙、河北、重庆，可得X的取值为0，1，2．利用超几何分布列即可得出．【解答】解：（Ⅰ）人工造林面积与总面积比最大的地区为甘肃省人工造林面积与总面积比最小的地区为青海省（Ⅱ）设在这十个地区中，任选一个地区，该地区人工造林面积占总面积的比值超过为事件A．在十个地区中，有7个地区（内蒙、河北、河南、陕西、甘肃、宁夏、北京）人工造林面积占总面积比超过50%，则（Ⅲ）新封山育林面积超过五万公顷有7个地区：内蒙、河北、河南、重庆、陕西、甘肃、新疆、青海，其中退化林修复面积超过六万公顷有3个地区：内蒙、河北、重庆，所以X的取值为0，1，2所以，随机变量X的分布列为X012P【点评】本题考查了超几何分布列及其数学期望、古典概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1＝2，点D，E，F分别为棱A1C1，B1C1，BB1的中点．（Ⅰ）求证：AC1∥平面DEF（Ⅱ）求证：平面ACB1⊥平面DEF；（Ⅲ）在线段AA1上是否存在一点P，使得直线DP与平面ACB1所成的角为300？如果存在，求出线段AP的长；如果不存在，说明理由．【分析】（I）构造平面ABC1，证明平面ABC1∥平面DEF即可得出AC1∥平面DEF；（II）证明EF⊥平面AB1C，进而得出平面ACB1⊥平面DEF；（III）建立空间坐标系，根据向量夹角列方程得出P点坐标．【解答】解：（Ⅰ）连结BC1∵D，E分别为A1C1，B1C1中点，∴DE∥A1B1，又AB∥A1B1，∴DE∥AB，∵E，F分别为B1C1，B1B中点，∴EF∥BC1，又DE∩EF＝E，DE⊂平面DEF，EF⊂平面DEF，AB⊂平面ABC1，BC1⊂平面ABC1，∴平面ABC1∥平面DEF，又AC1⊂平面ABC1，∴AC1∥平面DEF．（Ⅱ）∵CC1⊥平面ABC，AC⊂ABC，∴CC1⊥AC，又AC⊥BC，且CC1∩BC＝C，∴AC⊥平面BB1C1C，又EF⊂平面BB1C1C，∴AC⊥EF，又BC＝CC1，四边形BB1C1C为正方形，∴BC1⊥B1C，又BC1∥EF，∴B1C⊥EF又AC⊥EF，AC∩B1C＝C，∴EF⊥平面ACB1，又EF⊂平面DEF，∴平面ACB1⊥平面DEF．（Ⅲ）以C为原点，以CA，CB，CC1为坐标轴建立空间坐标系如图所示，则A（2，0，0），B（0，2，0），C（0，0，0），D（1，0，2），B1（0，2，2），∴＝（2，0，0），＝（0，2，2），设平面AB1C的法向量为＝（x，y，z），则，∴，令y＝1可得＝（0，1，﹣1），设P（2，0，h）（0≤h≤2），则＝（1，0，h﹣2），∴cos＜＞＝＝，∵直线DP与平面ACB1所成的角为30°，∴＝，解得h＝1．即P为AA1的中点．所以点P存在，AP＝1．【点评】本题考查了线面平行的判定，面面垂直的判定，平面向量与线面角的计算，属于中档题．18．（14分）已知函数f（x）＝xln（x+1）﹣ax2．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）当a＜0时，求证：函数f（x）存在极小值；（Ⅲ）请直接写出函数f（x）的零点个数．【分析】（Ⅰ）先求出函数的定义域，再求出f（0），再求导，求出切线的斜率，即可求出切线方程．（Ⅱ）方法一：构造函数，根据导数和函数的单调性的关系即可求出，方法二，求导，分类讨论，根据导数和函数的单调性的关系即可求出；（Ⅲ）当a≤0或a＝1时，函数f（x）有一个零点，当a＞0且a≠1时，函数f（x）有两个零点．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝xln（x+1）﹣ax2的定义域为{x|x＞﹣1}，因为f（0）＝0ln（0+1）﹣a•02＝0，所以切点的坐标为（0，0），因为，所以切线的斜率k＝0，所以切线的方程为y＝0．证明（Ⅱ）方法一：令，所以，因为x＞﹣1且a＜0，所以，，﹣2a＞0，从而得到g'（x）＞0在（﹣1，+∞）上恒成立，所以f'（x）＞0在（﹣1，+∞）上单调递增且f'（0）＝0，所以x，f'（x），f（x）在区间（﹣1，+∞）的变化情况如下表：x（﹣1，0）0（0，+∞）f'（x）﹣0+f（x）↘极小值↗所以x＝0时，f（x）取得极小值，问题得证．方法二：因为，当a＜0时，当x＜0时，，所以f'（x）＜0，当x＞0时，，所以f'（x）＞0，所以x，f'（x），f（x）在区间（﹣1，+∞）的变化情况如下表：x（﹣1，0）0（0，+∞）f'（x）﹣0+f（x）↘极小值↗所以x＝0时，函数f（x）取得极小值，问题得证．（Ⅲ）当a≤0或a＝1时，函数f（x）有一个零点，当a＞0且a≠1时，函数f（x）有两个零点．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、函数的零点，考查了推理能力与计算能力，属于难题．19．（13分）已知抛物线G：y2＝2px，其中p＞0．点M（2，0）在G的焦点F的右侧，且M到G的准线的距离是M与F距离的3倍．经过点M的直线与抛物线G交于不同的A，B两点，直线OA与直线x＝﹣2交于点P，经过点B且与直线OA垂直的直线l交x轴于点Q．（Ⅰ）求抛物线的方程和F的坐标；（Ⅱ）判断直线PQ与直线AB的位置关系，并说明理由．【分析】（Ⅰ）抛物线y2＝2px的准线方程为，焦点坐标为，从而，解得p＝1，由此能求出抛物线方程为和焦点坐标．（Ⅱ）法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为x＝my+2联立方程得，y2﹣4my﹣8＝0，由此利用韦达定理、直线方程，结合已知条件能推导出PQ∥AB．方法二：直线AB的斜率不存在，根据对称性，设，，推导出PQ∥AB；设A（x1，y1），B（x2，y2），当直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝k（x﹣2），k≠0联立方程，，得，k2x2﹣4k2x+4k2﹣4x＝0，k2x2﹣（4k2+4）x+4k2＝0由韦达定理，可得，x1x2＝4，，从而y1y2＝﹣8．直线OA的方程为，令x＝﹣2，则，则，从而，由此能推导出PQ∥AB．【解答】（共13分）解：（Ⅰ）抛物线y2＝2px的准线方程为，焦点坐标为，所以有，解得p＝1，所以抛物线方程为y2＝4x，焦点坐标为F（1，0），（Ⅱ）直线PQ∥AB，方法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线AB的方程为x＝my+2，联立方程消元得，y2﹣4my﹣8＝0，所以y1+y2＝4m，y1y2＝﹣8，由题意得x1x2y1y2≠0，直线OA的方程为令x＝﹣2，则，则，因为OA⊥BQ，所以，直线BQ的方程为，令y＝0，则，则，①当m＝0时，直线AB的斜率不存在，x1＝2，可知，直线PQ的斜率不存在，则PQ∥AB，②当m≠0时，，，则PQ∥AB，综上所述，PQ∥AB．方法二：直线PQ∥AB．（1）若直线AB的斜率不存在，根据对称性，不妨设，，直线AO的方程为，则，直线BQ的方程为，即，令y＝0，则Q（﹣2，0），则直线PQ的斜率不存在，因此PQ∥AB，（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），当直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝k（x﹣2），k≠0，联立方程，，消元得，k2x2﹣4k2x+4k2﹣4x＝0，整理得，k2x2﹣（4k2+4）x+4k2＝0，由韦达定理，可得，x1x2＝4，因为y1y2＜0，可得y1y2＝﹣8．显然x1x2y1y2≠0，直线OA的方程为令x＝﹣2，则，则，因为OA⊥BQ，所以，直线BQ的方程为，令y＝0，则，则，则PQ∥AB，综上所述，PQ∥AB．【点评】本题考查抛物线方程、焦点坐标的求法，考查直线与直线平行的判断与证明，考查直椭圆、直线方程、韦达定理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20．（13分）首项为0的无穷数列{a n}同时满足下面两个条件：①|a n+1﹣a n|＝n；②．（Ⅰ）请直接写出a4的所有可能值；（Ⅱ）记b n＝a2n，若b n＜b n+1对任意n∈N*成立，求{b n}的通项公式；（Ⅲ）对于给定的正整数k，求a1+a2+…+a k的最大值．【分析】（Ⅰ）直接利用赋值法求出结果．（Ⅱ）利用假设法和分析法求出数列的通项公式．（Ⅲ）利用上步的结论和分类讨论思想求出结果．【解答】解：（Ⅰ）a4的值可以取﹣2，0，﹣6（Ⅱ）因为b n＝a2n，因为b n＜b n+1对任意n∈N*成立，所以{b n}为单调递增数列，即数列{a n}的偶数项a2，a4，a6，…，a2n…是单调递增数列根据条件a2＝﹣1，a4＝0所以当a2n≥0对n≥2成立下面我们证明“数列{a n}中相邻两项不可能同时为非负数”假设数列{a n}中存在a i，a i+1同时为非负数因为|a i+1﹣a i|＝i，若a i+1﹣a i＝i，则有，与条件矛盾若a i+1﹣a i＝﹣i，则有，与条件矛盾所以假设错误，即数列{a n}中相邻两项不可能同时为非负数此时a2n≥0对n≥2成立，所以当n≥2时，a2n﹣1≤0，a2n+1≤0，即a2n﹣1＜a2n，a2n+1＜a2n所以a2n﹣a2n﹣1＝2n﹣1，a2n﹣1﹣a2n﹣2＝﹣（2n﹣2）所以（a2n﹣a2n﹣1）+（a2n﹣1﹣a2n﹣2）＝1即a2n﹣a2n﹣2＝1，其中n≥2即b n﹣b n﹣1＝1，其中n≥2又b1＝a2＝﹣1，b2＝a4＝0所以{b n}是以b1＝﹣1，公差为1的等差数列，所以b n＝﹣1+（n﹣1）＝n﹣2（Ⅲ）记S k＝a1+a2+a3+…+a k﹣1+a k由（Ⅱ）的证明知，a n，a n+1不能都为非负数当a n≥0，则a n+1＜0，根据|a n+1﹣a n|＝n，得到a n+1＝a n﹣n，所以当a n+1≥0，则a n＜0根据|a n+1﹣a n|＝n，得到a n＝a n+1﹣n，所以所以，总有a n+a n+1≤0成立当n为奇数时，|a n﹣a n+1|＝n，故a n﹣1，a n的奇偶性不同，则a n+a n+1≤﹣1当n为偶数时，a n+1+a n≤0当k为奇数时，S k＝a1+（a2+a3）+…+（a k﹣1+a k）≤0考虑数列：0，﹣1，1，﹣2，2，…，，可以验证，所给的数列满足条件，且S k＝0所以S k的最大值为0当k为偶数时，考虑数列：0，﹣1，1，﹣2，2，…，﹣，，可以验证，所给的数列满足条件，且所以S k的最大值为．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分类讨论思想在求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．。

北京市海淀区2019年中考数学模拟试卷一．选择题（满分30分，每小题3分）1．点C在线段AB上，下列条件中不能确定点C是线段AB中点的是（）A．AC＝BC B．AC+BC＝AB C．AB＝2AC D．BC＝AB2．如图是一个正方体被截去一角后得到的几何体，从上面看得到的平面图形是（）A．B．C．D．3．下列计算正确的是（）A．2a+3b＝5ab B．＝±6C．a6÷a2＝a4D．（2ab2）3＝6a3b54．在平行四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的可能情况是（）A．2：7：2：7 B．2：2：7：7 C．2：7：7：2 D．2：3：4：5 5．如图所示是一个围棋棋盘（局部），把这个围棋棋盘放置在一个平面直角坐标系中，白棋①的坐标是（﹣2，﹣1），白棋③的坐标是（﹣1，﹣3），则黑棋②的坐标是（）A．（0，﹣2）B．（1，﹣2）C．（2，﹣1）D．（1，2）6．一个公园有A，B，C三个入口和D，E二个出口小明进入公园游玩，从“A口进D口出”的概率为（）A．B．C．D．7．如图，已知圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16，则OP的长为（）A．6 B．C．8 D．8．下列y关于x的函数中，当x＞0时，函数值y随x的值增大而减小的是（）A．y＝x2B．y＝C．y＝D．y＝9．若关于x、y的二元一次方程组的解满足x+y＝9，则k的值是（（）A．1 B．2 C．3 D．410．（3分）某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺：在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺CA的0刻度固定在半圆的圆心O处，刻度尺可以绕点O旋转．从图中所示的图尺可读出sin∠AOB的值是（）A．B．C．D．二．填空题（满分18分，每小题3分）11．若使代数式有意义，则x的取值范围是．12．点A（0，3），点B（4，0），则点O（0，0）在以AB为直径的圆（填内、上或外）13．若m+n＝1，mn＝2，则的值为．14．潜水艇上浮记为正，下潜记为负，若潜水艇原来在距水面50米深处，后来两次活动记录的情况分别是﹣20米，+10米，那么现在潜水艇在距水面米深处．15．为测量学校旗杆的高度，小明的测量方法如下：如图，将直角三角形硬纸板DEF的斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上．测得DE＝0.5米，EF ＝0.25米，目测点D到地面的距离DG＝1.5米，到旗杆的水平距离DC＝20米．按此方法，请计算旗杆的高度为米．16．样本数据2，4，3，5，6的极差是．三．解答题（共13小题，满分72分）17．（5分）计算：﹣|1﹣|﹣sin30°+2﹣1．18．（5分）解不等式组19．（5分）已知：如图，BC∥EF，点C，点F在AD上，AF＝DC，BC＝EF．求证：△ABC ≌△DEF．20．（5分）关于x的分式方程﹣＝总无解，求a的值．21．（5分）如图，已知反比例函数y＝的图象与一次函数y＝x+b的图象交于点A（1，4），点B（﹣4，n）．（1）求n和b的值；（2）求△OAB的面积；（3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围．22．（5分）某市“每天锻炼一小时，幸福生活一辈子”活动已开展了一年，为了解该市此项活动的开展情况，某调查统计公司准备采用以下调查方式中的一种进行调查：A、从一个社区随机选取200名居民；B、从一个城镇的不同住宅楼中随机选取200名居民；C、从该市公安局户籍管理处随机抽取200名城乡居民作为调查对象，然后进行调查．（1）在上述调查方式中，你认为比较合理的一个是（填番号）．（2）由一种比较合理的调查方式所得到的数据制成了如图所示的频数分布直方图，在这个调查中，这200名居民每天锻炼2小时的人数是多少？（3）若该市有100万人，请你利用（2）中的调查结果，估计该市每天锻炼2小时及以上的人数是多少？（4）你认为这个调查活动的设计有没有不合理的地方？谈谈你的理由．23．（5分）如图，BD是△ABC的角平分线，它的垂直平分线分别交AB、BC于点E、F、G，连接ED、DG．（1）请判断四边形EBGD的形状，并说明理由；（2）若∠ABC＝30°，∠C＝45°，ED＝2，求GC的长．24．（5分）老王的鱼塘里年初养了某种鱼2000条，到年底捕捞出售，为了估计鱼的总产量，从鱼塘里捕捞了三次，得到如下表的数据：若老王放养这种鱼的成活率是95%，则：（1）鱼塘里这种鱼平均每条重约多少千克；（2）鱼塘里这种鱼的总产量多少千克？25．（5分）如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于A，OP交⊙O于C，连BC．若∠P＝30°，求∠B的度数．26．（5分）已知y是x的函数，自变量x的取值范围是x≠0的全体实数，如表是y与x的几组对应值．小华根据学习函数的经验，利用上述表格所反映出的y与x之间的变化规律，对该函数的图象与性质进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整：（1）从表格中读出，当自变量是﹣2时，函数值是；（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；（3）在画出的函数图象上标出x＝2时所对应的点，并写出m＝．（4）结合函数的图象，写出该函数的一条性质：．27．（7分）二次函数y＝（m+2）x2﹣2（m+2）x﹣m+5，其中m+2＞0．（1）求该二次函数的对称轴方程；（2）过动点C（0，n）作直线l⊥y轴．①当直线l与抛物线只有一个公共点时，求n与m的函数关系；②若抛物线与x轴有两个交点，将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．当n＝7时，直线l与新的图象恰好有三个公共点，求此时m的值；（3）若对于每一个给定的x的值，它所对应的函数值都不小于1，求m的取值范围．28．（7分）【发现】如图①，已知等边△ABC，将直角三角板的60°角顶点D任意放在BC 边上（点D不与点B、C重合），使两边分别交线段AB、AC于点E、F．（1）若AB＝6，AE＝4，BD＝2，则CF＝；（2）求证：△EBD∽△DCF．【思考】若将图①中的三角板的顶点D在BC边上移动，保持三角板与边AB、AC的两个交点E、F都存在，连接EF，如图②所示，问：点D是否存在某一位置，使ED平分∠BEF且FD平分∠CFE？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【探索】如图③，在等腰△ABC中，AB＝AC，点O为BC边的中点，将三角形透明纸板的一个顶点放在点O处（其中∠MON＝∠B），使两条边分别交边AB、AC于点E、F （点E、F均不与△ABC的顶点重合），连接EF．设∠B＝α，则△AEF与△ABC的周长之比为（用含α的表达式表示）．29．（8分）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣2x+8的图象与x轴，y轴分别交于点A，点C，过点A作AB⊥x轴，垂足为点A，过点C作CB⊥y轴，垂足为点C，两条垂线相交于点B．（1）线段AB，BC，AC的长分别为AB＝，BC＝，AC＝；（2）折叠图1中的△ABC，使点A与点C重合，再将折叠后的图形展开，折痕DE交AB于点D，交AC于点E，连接CD，如图2．请从下列A、B两题中任选一题作答，我选择题．A：①求线段AD的长；②在y轴上，是否存在点P，使得△APD为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．B：①求线段DE的长；②在坐标平面内，是否存在点P（除点B外），使得以点A，P，C为顶点的三角形与△ABC全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一．选择题1．解：A、AC＝BC，则点C是线段AB中点；B、AC+BC＝AB，则C可以是线段AB上任意一点；C、AB＝2AC，则点C是线段AB中点；D、BC＝AB，则点C是线段AB中点．故选：B．2．解：从上面看，是正方形右边有一条斜线，如图：故选：B．3．解：A、2a+3b，无法计算，故此选项错误；B、＝6，故此选项错误；C、a6÷a2＝a4，正确；D、（2ab2）3＝8a3b6，故此选项错误；故选：C．4．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，∴∠A：∠B：∠C：∠D的可能情况是2：7：2：7．故选：A．5．解：如图，黑棋②的坐标为（0，﹣2）．故选：A．6．解：根据题意画树形图：共有6种等情况数，其中“A口进D口出”有一种情况，从“A口进D口出”的概率为；故选：D．7．解：作OE⊥AB交AB与点E，作OF⊥CD交CD于点F，如右图所示，则AE＝BE，CF＝DF，∠OFP＝∠OEP＝90°，又∵圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16，∴∠FPE＝90°，OB＝10，BE＝8，∴四边形OEPF是矩形，OE＝6，同理可得，OF＝6，∴EP＝6，∴OP＝，故选：B．8．解：A、二次函数y＝x2的图象，开口向上，并向上无限延伸，在y轴右侧（x＞0时），y 随x的增大而增大；故本选项错误；B、一次函数y＝x+1的图象，y随x的增大而增大；故本选项错误；C、正比例函数y＝x的图象在一、三象限内，y随x的增大而增大；故本选项错误；D、反比例函数y＝中k＝1＞0，所以当x＞0时，y随x的增大而减小；故本选项正确；故选：D．9．解：①﹣②，得3y＝k+7，∴y＝；①+2×②，得3x＝13k﹣8，∴x＝∵x+y＝9，∴＝9即14k＝28，∴k＝2故选：B．10．解：如图，连接AD．∵OD是直径，∴∠OAD＝90°，∵∠AOB+∠AOD＝90°，∠AOD+∠ADO＝90°，∴∠AOB＝∠ADO，∴sin∠AOB＝sin∠ADO＝＝，故选：D．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．解：∵分式有意义，∴x的取值范围是：x+2≠0，解得：x≠﹣2．故答案是：x≠﹣2．12．解：如图，∵点A（0，3），点B（4，0），∴AB＝，点C（2，1.5），∴OC＝＝CA，∴点O（0，0）在以AB为直径的圆上，故答案为：上13．解：∵m+n＝1，mn＝2，∴原式＝＝．故答案为：14．解：﹣20+10＝﹣10，所以，现在潜水艇在原来的位置下面10米，∵潜水艇原来在距水面50米深处，∴现在潜水艇在距水面60米深处．故答案为：60．15．解：由题意得：∠DEF＝∠DCA＝90°，∠EDF＝∠CDA，∴△DEF∽△DCA，则＝，即＝，解得：AC＝10，故AB＝AC+BC＝10+1.5＝11.5（米），即旗杆的高度为11.5米；故答案为：11.5．16．解：样本数据2，4，3，5，6的极差是＝6﹣2＝4，故答案为：4．三．解答题（共13小题，满分72分）17．解：原式＝3﹣+1﹣+＝2+1．18．解：解不等式2x+1≥﹣1，得：x≥﹣1，解不等式x+1＞4（x﹣2），得：x＜3，则不等式组的解集为﹣1≤x＜3．19．证明：∵AF＝DC，∴AF+FC＝DC+FC，即AC＝DF，∵BC∥EF，∴∠ACB＝∠DFE，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）．20．解：去分母得：3﹣x﹣a（x﹣2）＝﹣2，即（a+1）x＝2a+5，当a＝﹣1时，显然方程无解；当a≠﹣1时，x＝，当x＝2时，a不存在；当x＝3时，a＝2，综上，a的值为﹣1，2．21．解：（1）把A点（1，4）分别代入反比例函数y＝，一次函数y＝x+b，得k＝1×4，1+b＝4，解得k＝4，b＝3，∵点B（﹣4，n）也在反比例函数y＝的图象上，∴n＝＝﹣1；（2）如图，设直线y＝x+3与y轴的交点为C，∵当x＝0时，y＝3，∴C（0，3），∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×3×1+×3×4＝7.5；（3）∵B（﹣4，﹣1），A（1，4），∴根据图象可知：当x＞1或﹣4＜x＜0时，一次函数值大于反比例函数值．22．解：（1）A、B两种调查方式具有片面性，故C比较合理；（2）由条形图可得，每天锻炼2小时的人数是52人；（3）设100万人中有x万人锻炼时间在2小时及以上，则有＝，解之，得x＝53（万）；（4）这个调查有不合理的地方．比如：在100万人的总体中，随机抽取的200人作为样本，样本容量偏小，会导致调查的结果不够准确，建议增大样本容量．（只要说法正确即可）23．解：（1）四边形EBGD是菱形．理由：∵EG垂直平分BD，∴EB＝ED，GB＝GD，∴∠EBD＝∠EDB，∵∠EBD＝∠DBC，∴∠EDF＝∠GBF，在△EFD和△GFB中，，∴△EFD≌△GFB，∴ED＝BG，∴BE＝ED＝DG＝GB，∴四边形EBGD是菱形．（2）作DH⊥BC于H，∵四边形EBGD为菱形ED＝DG＝2，∴∠ABC＝30°，∠DGH＝30°，∴DH＝1，GH＝，∵∠C＝45°，∴DH＝CH＝1，∴CG＝GH+CH＝1+．24．解：（1）鱼的平均重量为：＝1.84千克．答：鱼塘里这种鱼平均每条的质量约1.84千克；（2）鱼的总重量为2000×95%×1.84＝3496千克．答：鱼塘里这种鱼的总质量估计是3496千克．25．解：∵PA切⊙O于A，AB是⊙O的直径，∴∠PAO＝90°，∵∠P＝30°，∴∠AOP＝60°，∴∠B＝∠AOP＝30°．26．解：（1）当自变量是﹣2时，函数值是；故答案为：（2）该函数的图象如图所示；（3）当x＝2时所对应的点如图所示，且m＝；故答案为：；（4）函数的性质：当0＜x＜1时，y随x的增大而减小．故答案为：当0＜x＜1时，y随x的增大而减小．27．解：（1）∵y＝（m+2）x2﹣2（m+2）x﹣m+5＝（m+2）（x﹣1）2﹣2m+3，∴对称轴方程为x＝1．（2）①如图，由题意知直线l的解析式为y＝n，∵直线l与抛物线只有一个公共点，∴n＝﹣2m+3．②依题可知：当﹣2m+3＝﹣7时，直线l与新的图象恰好有三个公共点．∴m＝5．（3）抛物线y＝（m+2）x2﹣2（m+2）x﹣m+5的顶点坐标是（1，﹣2m+3）．依题可得解得∴m的取值范围是﹣2＜m≤1．28．（1）解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝6，∠B＝∠C＝60°．∵AE＝4，∴BE＝2，则BE＝BD，∴△BDE是等边三角形，∴∠BED＝60°，又∵∠EDF＝60°，∴∠CDF＝180°﹣∠EDF﹣∠B＝60°，则∠CDF＝∠C＝60°，∴△CDF是等边三角形，∴CF＝CD＝BC＝BD＝6﹣2＝4．故答案是：4；（2）证明：如图①，∵∠EDF＝60°，∠B＝60°，∴∠CDF+BDE＝120°，∠BED+∠BDE＝120°，∴∠BED＝∠CDF．又∠B＝∠C＝60°，∴△EBD∽△DCF；【思考】存在，如图②，过D作DM⊥BE，DG⊥EF，DN⊥CF，垂足分别是M、G、N，∵ED平分∠BEF且FD平分∠CFE．∴DM＝DG＝DN．又∠B＝∠C＝60°，∠BMD＝∠CND＝90°，∴△BDM≌△CDN，∴BD＝CD，即点D是BC的中点，∴＝；【探索】如图③，连接AO，作OG⊥BE，OD⊥EF，OH⊥CF，垂足分别是G、D、H．则∠BGO＝∠CHO＝90°，∵AB＝AC，O是BC的中点，∴∠B＝∠C，OB＝OC，∴△OBG≌△OCH，∴OG＝OH，GB＝CH，∠BOG＝∠COH＝90°﹣α，则∠GOH＝180°﹣（∠BOG+∠COH）＝2α，∴∠EOF＝∠B＝α由（2）题可猜想应用EF＝ED+DF＝GE+FH（可通过半角旋转证明），则C△AEF＝AE+EF+AF＝AE+EG+FH+AF＝AG+AH＝2AG，设AB＝m，则OB＝m cosα，GB＝m cos2α．＝＝＝＝1﹣cosα．故答案是：1﹣cosα．29．解：（1）∵一次函数y＝﹣2x+8的图象与x轴，y轴分别交于点A，点C，∴A（4，0），C（0，8），∴OA＝4，OC＝8，∵AB⊥x轴，CB⊥y轴，∠AOC＝90°，∴四边形OABC是矩形，∴AB＝OC＝8，BC＝OA＝4，在Rt△ABC中，根据勾股定理得，AC＝＝4，故答案为：8，4，4；（2）A、①由（1）知，BC＝4，AB＝8，由折叠知，CD＝AD，在Rt△BCD中，BD＝AB﹣AD＝8﹣AD，根据勾股定理得，CD2＝BC2+BD2，即：AD2＝16+（8﹣AD）2，∴AD＝5，②由①知，D（4，5），设P（0，y），∵A（4，0），∴AP2＝16+y2，DP2＝16+（y﹣5）2，∵△APD为等腰三角形，∴Ⅰ、AP＝AD，∴16+y2＝25，∴y＝±3，∴P（0，3）或（0，﹣3）Ⅱ、AP＝DP，∴16+y2＝16+（y﹣5）2，∴y＝，∴P（0，），Ⅲ、AD＝DP，25＝16+（y﹣5）2，∴y＝2或8，∴P（0，2）或（0，8）．B、①、由A①知，AD＝5，由折叠知，AE＝AC＝2，DE⊥AC于E，在Rt△ADE中，DE＝＝，②、∵以点A，P，C为顶点的三角形与△ABC全等，∴△APC≌△ABC，或△CPA≌△ABC，∴∠APC＝∠ABC＝90°，∵四边形OABC是矩形，∴△ACO≌△CAB，此时，符合条件，点P和点O重合，即：P（0，0），如图3，过点O作ON⊥AC于N，易证，△AON∽△ACO，∴，∴，∴AN＝，过点N作NH⊥OA，∴NH∥OA，∴△ANH∽△ACO，∴，∴，∴NH＝，AH＝，∴OH＝，∴N（，），而点P2与点O关于AC对称，∴P2（，），同理：点B关于AC的对称点P1，同上的方法得，P1（﹣，），即：满足条件的点P的坐标为：（0，0），（，），（﹣，）．。

海淀区九年级第二学期期中练习数学 2019．05学校姓名准考证号一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．如图是圆规示意图，张开的两脚所形成的角大约是A．90°B．60°C．45°D．30°2x的取值范围是A．1x³ B．1x£ C．1x< D．1x¹3．实数a b c，，在数轴上的对应点的位置如图所示，若a b=，则下列结论中错误的是a b cA．0a b+> B．0a c+>C．0b c+>D．0ac<4．若正多边形的内角和是540°，则该正多边形的一个外角为 A ．45° B ．60° C ．72° D ．90°5．2019年2月，美国宇航局（NASA ）的卫星监测数据显示地球正在变绿，分析发现是中国和印度的行动主导了地球变绿．尽管中国和印度的土地面积加起来只占全球的9%，但过去20年间地球三分之一的新增植被是两国贡献的，面积相当于一个亚马逊雨林．已知亚马逊雨林的面积为6 560 000km2，则过去20年间地球新增植被的面积约为A ．66.5610´km2B ．76.5610´km2C ．7210´km2D ．8210´km26．如果210a ab --=，那么代数式222a b aba ab a 骣-琪?琪-桫的值是A ．1-B ．1C ．3-D ．37．下面的统计图反映了我国出租车（巡游出租车和网约出租车）客运量结构变化．2015-2018年巡游出租车与网约出租车客运量统计图网约出租车客运量（亿人次）巡游出租车客运量（亿人次）（以上数据摘自《中国共享经济发展年度报告（2019）》） 根据统计图提供的信息，下列推断合理的是A．2018年与2017年相比，我国网约出租车客运量增加了20%以上B．2018年，我国巡游出租车客运量占出租车客运总量的比例不足60%C．2015年至2018年，我国出租车客运的总量一直未发生变化D．2015年至2018年，我国巡游出租车客运量占出租车客运总量的比例逐年增加8．如图1，一辆汽车从点M处进入路况良好的立交桥，图2反映了它在进入桥区行驶过程中速度（千米/时）与行驶路程（米）之间的关系．根据图2，这辆车的行车路线最有可能是速度（千米/时）图1 图2A BC D二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．右图为某几何体的展开图，该几何体的名称是．10．下图是北京故宫博物院2018年国庆期间客流指数统计图（客流指数是指景区当日客流量与2018年10月1日客流量的比值）．根据图中信息，不考虑其他因素，如果小宇想在今年国庆期间游客较少时参观故宫，最好选择10月日参观．11．右图是玉渊潭公园部分景点的分布示意图，在图中，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，当表示西桥的点的坐标为()-，，表示中堤桥的点的坐标为()12，时，表示留春61园的点的坐标为．12．用一组a，b的值说明命题“若a b>，则22>”是错误的，这组a b值可以是a = ，b = ．13．如图，AB是⊙O的直径，C，D为⊙O上的点．若=20а，则CABDÐ= °．(第13题图) （第14题图）14．如图，在矩形ABCD中，E是边CD的延长线上一点，连接BE交边AD于点F．若AB=4，BC=6，DE=2，则AF的长为．15．2019年2月，全球首个5G火车站在上海虹桥火车站启动．虹桥火车站中5G网络峰值速率为4G网络峰值速率的10倍．在峰值速率下传输8千兆数据，5G网络比4G网络快720秒，求这两种网络的峰值速率．设4G网络的峰值速率为每秒传输x千兆数据，依题意，可列方程为．16．小宇计划在某外卖网站点如下表所示的菜品．已知每份订单的配送费为3元，商家为了促销，对每份订单的总价（不含配送费）提供满减优惠：满30元减12元，满60元减30元，满100元减45元．如果小宇在购买下表中的所有菜品时，采取适当的下订单方式，那么他点餐的总费用最低可为元．23-26题，每小题6分；第27-28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．计算：04sin60(π1)1?--．18．解不等式组：512(1)324x xxx，．ì->+ïí+>ïî19．下面是小明设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．已知：直线l及直线l外一点P．求作：直线PQ，使PQ∥l．作法：如图，①在直线l上取一点O，以点O为圆心，OP长为半径画半圆，交直线l于A，B两点；②连接PA，以B为圆心，AP长为半径画弧，交半圆于点Q；③作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线．根据小明设计的尺规作图过程，lPl（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明．证明：连接PB ，QB ，∵ PA=QB ，∴ »PA=_____， ∴ ∠PBA=∠QPB （____________________）（填推理的依据），∴ PQ ∥l （____________________）（填推理的依据）．20．关于x 的一元二次方程220ax ax c ++=．（1）若方程有两个相等的实数根，请比较a c ，的大小，并说明理由；（2）若方程有一个根是0，求此时方程的另一个根． 21．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=BC=2CD ，E 为对角线AC 的中点，F 为边BC 的中点，连接DE ，EF ．（1）求证：四边形CDEF 为菱形；（2）连接DF 交EC 于G ，若2DF =，53CD =，求AD 的长．22．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，在⊙O 的切线CM 上取一点P ，使得∠CPB=∠COA ． （1）求证：PB 是⊙O 的切线； （2）若AB =，CD=6，求PB 的长．23．在平面直角坐标系xOy 中，直线2y x b =+经过点A （1，m ），B （1-，1-）．A（1）求b 和m 的值；（2）将点B 向右平移到y 轴上，得到点C ，设点B 关于原点的对称点为D ，记线段BC 与AD 组成的图形为G ． ① 直接写出点C ，D 的坐标；② 若双曲线k y x与图形G 恰有一个公共点，结合函数图象，求k 的取值范围．24．如图，线段AB 及一定点C ，P 是线段AB 上一动点，作直线CP ，过点A 作AQ CP ^于点Q ．已知7AB =cm ，设A P ，两点间的距离为x cm ，A Q ，两点间的距离为1y cm ，P Q ，两点间的距离为2y cm ．小明根据学习函数的经验，分别对函数1y ，2y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了1y ，2y 与x 的几组对应值：（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点()1x y，，并画出函数1y，2y的图象；，，()2x y Array（3）结合函数图象，解决问题：当APQ△中有一个角为30°时，AP 的长度约为 cm．25．为迎接2022年冬奥会，鼓励更多的学生参与到志愿服务中来，甲、乙两所学校组织了志愿服务团队选拔活动．经过初选，两所学校各400名学生进入综合素质展示环节．为了了解两所学校学生的整体情况，从两校进入综合素质展示环节的学生中分别随机抽取了50名学生的综合素质展示成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．甲学校学生成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：x?，8090?，90100x＃）：x?，7080?，5060xx?，6070x4050161210 频数(学生人数)/分b ．甲学校学生成绩在8090x?这一组的是：80 80 81 81.5 82 83 83 84 858686.5878888.58989c ．乙学校学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（85分及以上为优秀）如下：根据以上信息，回答下列问题：（1）甲学校学生A ，乙学校学生B 的综合素质展示成绩同为83分，这两人在本校学生中的综合素质展示排名更靠前的是______（填“A ”或“B ”）；（2）根据上述信息，推断_____学校综合素质展示的水平更高，理由为_______________（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）；（3）若每所学校综合素质展示的前120名学生将被选入志愿服务团队，预估甲学校分数至少达到______分的学生才可以入选．26． 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++(0)a >经过点(03)A ，-和(30)B ，． （1）求c 的值及a b ，满足的关系式；（2）若抛物线在A ，B 两点间，从左到右上升，求a 的取值范围； （3）结合函数图象判断：抛物线能否同时经过点(1)(4M m n N m n ，，，-+-？若能，写出一个符合要求的抛物线的表达式和n 的值；若不能，请说明理由．27．如图，在等腰直角△ABC 中，90ABC?°，D 是线段AC上一点（2CA CD > ），连接BD ，过点C 作BD 的垂线，交BD 的延长线于点E ，交BA 的延长线于点F ． （1）依题意补全图形； （2）若ACE α?，求ABD Ð的大小（用含α的式子表示）；（3）若点G 在线段CF 上，CG BD =，连接DG ．①判断DG 与BC 的位置关系并证明；②用等式表示DG ，CG ，AB 之间的数量关系为 ．28．对于平面直角坐标系xOy 中的直线l 和图形M ，给出如下定义：12-1n n P P P P L ，，，，是图形M 上的(3)n n ³个不同的点，记这些点到直线l 的距离分别为12-1n n d d d d L ，，，，，若这n 个点满足12-1+++=n n d d d d L，则称这n 个点为图形M 关于直线l 的一个基准点列，其中n d 为该基准点列的基准距离．（1）当直线l 是x 轴，图形M 上有三点(11)A -，，(11)B ，-，(02)C ，时，判断A B C ，，是否为图形M 关于直线l 的一个基准点列？如果是，求出它的基准距离；如果不是，请说明理由； （2）已知直线l是函数3y =+的图象，图形M 是圆心在y 轴上，半径为1的⊙T ，12-1n n P P P P L L ，，，，是⊙T 关于直线l 的一个基准点列．①若T 为原点，求该基准点列的基准距离n d 的最大值； ②若n 的最大值等于6，直接写出圆心T 的纵坐标t 的取值范围．海淀区九年级第二学期期中练习参考答案数 学 2019．05一、选择题（本题共16分，每小题2分）二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．圆柱 10．7 11．（9，1-） 12．1-，2-（答案不唯一）13．110 14．4 15．8872010x x-= 16．54三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分；第23-26题，每小题6分；第27-28题，每小题7分） 17．（本小题满分5分）解：原式=411?-）18．（本小题满分5分）解：原不等式组为512(1)324x xxx，．ì->+ïí+>ïî①②解不等式①，得1x>．解不等式②，得2x<．∴原不等式组的解集为12x<<．19．（本小题满分5分）（1）补全的图形如图所示：l（作弧交半圆于Q点1分，直线PQ 1分）（2）»QB，等弧所对的圆周角相等，内错角相等，两直线平行．20．（本小题满分5分）解：（1）依题意可知，00a≠∆=，．∴4()0a a c-=．∴a c=．（2）∵方程有一个根是0，∴0c =． ∴220ax ax +=，即(2)0ax x +=．∴方程的一个根为2x =-． 21．（本小题满分5分）（1）证明：∵ E ，F 分别为AC ，BC 的中点，∴ EF ∥AB ，12EF AB =，12CF BC =．∵ AB ∥CD ， ∴ EF ∥CD ． ∵ AB=2CD ， ∴ EF=CD ．∴ 四边形CDEF 是平行四边形． ∵ AB=BC ， ∴ CF=EF ．∴ 四边形CDEF 是菱形．（2）解：∵ 四边形CDEF 是菱形，2DF =，∴ DF ⊥AC ，112DG DF ==．在Rt △DGC 中，53CD =，可得43CG ==． ∴ 43EG CG ==，823CE CG ==．∵ E 为AC 中点， ∴ 83AE CE ==．∴ 4AG AE EG =+=． 在Rt △DGA中，AD =22．（本小题满分5分）（1）证明：∵ PC 与⊙O 相切于点C ，∴ OC ⊥PC ．A∴ ∠OCP =90°．∵ ∠AOC=∠CPB ，∠AOC+∠BOC =180°， ∴ ∠BOC+∠CPB =180°． 在四边形PBOC中，∠PBO =360°-∠CPB-∠BOC-∠PCO =90°． ∴ 半径OB ⊥PB ． ∴ PB 是⊙O 的切线．（2）解法1： 连接OP ，如图．∵ AB 是⊙O的直径，AB =∴12OC OB AB ===∵弦CD ⊥AB 于点E ，CD=6， ∴132CE CD ==．在Rt △CEO 中，sin CE COE CO ∠==．∴∠COE =60°．∵ PB ，PC 都是⊙O 的切线， ∴∠CPO=∠BPO ，∠OCP=∠OBP ． ∴ ∠COP=∠BOP =60°． ∴PB= OB · tan60°= 6．解法2：连接BC ，如图．∵ AB 是⊙O的直径，AB =∴12OC AB ==∵弦CD ⊥AB 于点E ，CD=6， ∴132CE CD ==．在Rt △CEO 中，sin CE COE CO ∠==．∴∠COE =60°．∴∠CPB=∠COE =60°，1302ABC COE ∠=∠=︒．∴ BC=2CE= 6．∵ PB ，PC 都是⊙O 的切线， ∴ PB=PC ．∴△PBC 为等边三角形． ∴PB=BC= 6．23．（本小题满分6分）（1）∵直线2y x b =+经过点A （1，m ），B （1-，1-），∴1b =．又∵直线2y x b =+经过点A （1，m ）， ∴3m =．（2）①C （0，1-），D （1，1）． ②函数k y x=的图象经过点A 时，3k =．函数k y x=的图象经过点D 时，1k =，此时双曲线也经过点B ，结合图象可得k 值得范围是0113k k <<<≤或．24．（本小题满分6分） 解：本题答案不唯一，如： （1）（2）（3）5.49或2.50．25．（本小题满分6分） 解：（1）A ．（2）乙．理由：甲校优秀率40%，低于乙校，说明乙校综合展示水平优秀人数更多；通过图表，估计甲校平均数为79，低于乙校，说明乙校整体水平高于甲校;甲校中位数为81.25，乙校为84，说明乙校综合展示水平一半的同学高于84分，而甲校一半同学的综合展示水平仅高于81.25.综合以上三个（两个）理由，说明乙校的综合素质展示水平更高.（3）88.5．26．（本小题满分6分） 解：（1）由题意可得3093c a b c -=⎧⎨=++⎩，．∴3c =-，310a b +-=．（2）由（1）可得2(13)3y ax a x =+-- (0)a >．∵抛物线在A B ，两点间，从左到右上升， ∴3102a a-≤． ∵0a >，∴310a -≤，即103a <≤．（3）抛物线不能经过点(1)(4)M m n N m n -+-，，，．理由如下：若抛物线经过(1)(4)，，，，则抛物线的对称-+-M m n N m n轴为3x=．2由抛物线经过点A，可知抛物线经过点（3，3-），与抛物线经过点B（3，0）矛盾．所以抛物线不能经过点(1)(4)，，，．-+-M m n N m n27．（本小题满分7分）（1）补全图形，如图．（2）解：∵ AB=BC，∠ABC=90°，∴∠BAC=∠BCA=45°．∵∠ACE=α，∴45??．ECBα∵ CF⊥BD交BD的延长线于点E，∴∠BEF=90°．∴∠F+∠ABD=90°．∵∠F+∠ECB=90°，∴45???．ABD ECBα（3）① DG与BC的位置关系：DG⊥BC．证明：连接BG交AC于点M，延长GD交BC于点H，如图．∵ AB=BC，∠ABD=∠ECB，BD=CG，∴△ABD≌△BCG．∴∠CBG=∠BAD=45°．∴∠ABG=∠CBG=∠BAC=45°．∴ AM=BM ，∠AMB∵ AD=BG ， ∴ DM=GM ．∴ ∠MGD=∠GDM =45°． ∴ ∠BHG =90° ∴ DG ⊥BC ． ②2222CG DG AB =+．28．（本小题满分7分） 解：（1）是．∵(11)A -，，(02)B ，，(11)C ，-到x 轴的距离分别是1，1，2，且1+1=2，∴这三点为图形M 关于直线l 的一个基准点列，它的基准距离为2．（2）① ∵12-1n n P P P P ，，，，L L 是⊙T 关于直线l 的一个基准点列，∴12-1+++=n n d d d d L L．∴n d 的最大值为⊙T 上的点到直线l 的最大距离． 当T 为原点时，过O 作OH ⊥l 与点H ，延长HO 交⊙O于点F ，H.则FH 的长度为n d 的最大值． 设函数3y =+的图象与x 轴，y 轴分别交于点D ，E ， 则0)D ，(03)E ，．∴OD ，3OE =，∠DOE =90°． ∴∠OED =30°． 又∵∠OHE =90°， ∴1322OH OE ==． ∴52FH =． 例如，⊙O 上存在点1234P P P P ，，，满足123413552442d d d d ====，，，．∴n d 的最大值为52． ②圆心T 的纵坐标t 的取值范围为105t <?或2965t ?．。

北京市海淀区2019-2020学年高二上学期期末考试理科数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知圆（x+1）2+y 2=2，则其圆心和半径分别为（ ）A ．（1，0），2B ．（﹣1，0），2C ．D ．2．抛物线x 2=4y 的焦点到准线的距离为（ ）A ．B ．1C ．2D ．43．双曲线4x 2﹣y 2=1的一条渐近线的方程为（ ）A ．2x+y=0B ．2x+y=1C ．x+2y=0D ．x+2y=14．在空间中，“直线a ，b 没有公共点”是“直线a ，b 互为异面直线”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知A ，B 为圆x 2+y 2=2ax 上的两点，若A ，B 关于直线y=2x+1对称，则实数a=（ ）A ．B ．0C ．D ．16．已知直线l 的方程为x ﹣my+2=0，则直线l （ ）A ．恒过点（﹣2，0）且不垂直x 轴B ．恒过点（﹣2，0）且不垂直y 轴C ．恒过点（2，0）且不垂直x 轴D ．恒过点（2，0）且不垂直y 轴7．已知直线x+ay ﹣1=0和直线ax+4y+2=0互相平行，则a 的取值是（ ）A ．2B ．±2C ．﹣2D ．08．已知两直线a ，b 和两平面α，β，下列命题中正确的为（ ）A ．若a ⊥b 且b ∥α，则a ⊥αB ．若a ⊥b 且b ⊥α，则a ∥αC ．若a ⊥α且b ∥α，则a ⊥bD ．若a ⊥α且α⊥β，则a ∥β9．已知点A （5，0），过抛物线y 2=4x 上一点P 的直线与直线x=﹣1垂直且交于点B ，若|PB|=|PA|，则cos ∠APB=（ ）A ．0B ．C ．D ．10．如图，在边长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在底面ABCD 上移动，且满足B 1P ⊥D 1E ，则线段B 1P 的长度的最大值为（ ）A ．B ．2C ．D ．3二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11．已知命题p ：“∀x ∈R ，x 2≥0”，则￢p ： ． 12．椭圆x 2+9y 2=9的长轴长为 ．13．若曲线C ：mx 2+（2﹣m ）y 2=1是焦点在x 轴上的双曲线，则m 的取值范围为 ．14．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面四边形ABCD 的两组对边均不平行．①在平面PAB 内不存在直线与DC 平行；②在平面PAB 内存在无数多条直线与平面PDC 平行；③平面PAB 与平面PDC 的交线与底面ABCD 不平行；上述命题中正确命题的序号为 ．15．已知向量，则与平面BCD 所成角的正弦值为 ．16．若某三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的体积为 ，表面积为 ．三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知△ABC 的三个顶点坐标为A （0，0），B （8，4），C （﹣2，4）．（1）求证：△ABC 是直角三角形；（2）若△ABC 的外接圆截直线4x+3y+m=0所得弦的弦长为6，求m 的值．18．如图所示的几何体中，2CC 1=3AA 1=6，CC 1⊥平面ABCD ，且AA 1⊥平面ABCD ，正方形ABCD 的边长为2，E 为棱A 1D 中点，平面ABE 分别与棱C 1D ，C 1C 交于点F ，G ．（Ⅰ）求证：AE ∥平面BCC 1；（Ⅱ）求证：A 1D ⊥平面ABE ；（Ⅲ）求二面角D ﹣EF ﹣B 的大小，并求CG 的长．19．已知椭圆G：的离心率为，经过左焦点F1（﹣1，0）的直线l与椭圆G相交于A，B两点，与y轴相交于C点，且点C在线段AB上．（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）若|AF1|=|CB|，求直线l的方程．北京市海淀区2019-2020学年高二上学期期末考试理科数学试卷参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知圆（x+1）2+y2=2，则其圆心和半径分别为（）A．（1，0），2 B．（﹣1，0），2 C．D．【考点】圆的标准方程．【分析】利用圆的标准方程的性质求解．【解答】解：圆（x+1）2+y2=2的圆心为（﹣1，0），半径为．故选：D．2．抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为（）A．B．1 C．2 D．4【考点】抛物线的简单性质．【分析】直接利用抛物线方程求解即可．【解答】解：抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为：P=2．故选：C．3．双曲线4x2﹣y2=1的一条渐近线的方程为（）A．2x+y=0 B．2x+y=1 C．x+2y=0 D．x+2y=1【考点】双曲线的简单性质．【分析】将双曲线的方程化为标准方程，求得a，b，由双曲线的渐近线方程y=±x，即可得到所求结论．【解答】解：双曲线4x2﹣y2=1即为﹣y2=1，可得a=，b=1，由双曲线的渐近线方程y=±x，可得所求渐近线方程为y=±2x．故选：A．4．在空间中，“直线a，b没有公共点”是“直线a，b互为异面直线”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】利用空间中两直线的位置关系直接求解．【解答】解：“直线a，b没有公共点”⇒“直线a，b互为异面直线或直线a，b为平行线”，“直线a，b互为异面直线”⇒“直线a，b没有公共点”，∴“直线a，b没有公共点”是“直线a，b互为异面直线”的必要不充分条件．故选：B．5．已知A，B为圆x2+y2=2ax上的两点，若A，B关于直线y=2x+1对称，则实数a=（）A．B．0 C．D．1【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据题意，圆心C（a，0）在直线y=2x+1上，C的坐标并代入直线2x+y+a=0，再解关于a的方程，即可得到实数a的值．【解答】解：∵A，B为圆x2+y2=2ax上的两点，A，B关于直线y=2x+1对称，∴圆心C（a，0）在直线y=2x+1上，∴2a+1=0，解之得a=﹣故选：A．6．已知直线l的方程为x﹣my+2=0，则直线l（）A．恒过点（﹣2，0）且不垂直x轴 B．恒过点（﹣2，0）且不垂直y轴C．恒过点（2，0）且不垂直x轴D．恒过点（2，0）且不垂直y轴【考点】直线的一般式方程．【分析】由直线l的方程为x﹣my+2=0，令y=0，解得x即可得出定点，再利用斜率即可判断出与y轴位置关系．【解答】解：由直线l的方程为x﹣my+2=0，令y=0，解得x=﹣2．于是化为：y=﹣x﹣1，∴恒过点（﹣2，0）且不垂直y轴，故选：B．7．已知直线x+ay﹣1=0和直线ax+4y+2=0互相平行，则a的取值是（）A．2 B．±2 C．﹣2 D．0【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】由直线的平行关系可得1×4﹣a•a=0，解得a值排除重合可得．【解答】解：∵直线x+ay﹣1=0和直线ax+4y+2=0互相平行，∴1×4﹣a•a=0，解得a=2或a=﹣2，经验证当a=﹣2时两直线重合，应舍去故选：A8．已知两直线a，b和两平面α，β，下列命题中正确的为（）A．若a⊥b且b∥α，则a⊥α B．若a⊥b且b⊥α，则a∥αC．若a⊥α且b∥α，则a⊥b D．若a⊥α且α⊥β，则a∥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】利用空间线面平行、线面垂直以及面面垂直的性质定理和判定定理对选项分别分析选择．【解答】解：对于A，若a⊥b且b∥α，则a与α位置关系不确定；故A错误；对于B，若a⊥b且b⊥α，则a与α位置关系不确定；可能平行、可能在平面内，也可能相交；故B 错误；对于C，若a⊥α且b∥α，根据线面垂直和线面平行的性质定理，可以得到a⊥b；故C正确；对于D ，若a ⊥α且α⊥β，则a ∥β或者a 在平面β内，故D 错误；故选：C ．9．已知点A （5，0），过抛物线y 2=4x 上一点P 的直线与直线x=﹣1垂直且交于点B ，若|PB|=|PA|，则cos ∠APB=（ ）A ．0B ．C ．D ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出P 的坐标，设P 在x 轴上的射影为C ，则tan ∠APC==，可得∠APB=120°，即可求出cos ∠APB ．【解答】解：由题意，|PB|=|PF|=PA|，∴P 的横坐标为3，不妨取点P （3，2），设P 在x 轴上的射影为C ，则tan ∠APC==， ∴∠APC=30°，∴∠APB=120°，∴cos ∠APB=﹣． 故选：C ．10．如图，在边长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在底面ABCD 上移动，且满足B 1P ⊥D 1E ，则线段B 1P 的长度的最大值为（ ）A ．B ．2C ．D ．3【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段B 1P 的长度的最大值．【解答】解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，设P （a ，b ，0），则D 1（0，0，2），E （1，2，0），B 1（2，2，2），=（a ﹣2，b ﹣2，﹣2），=（1，2，﹣2）， ∵B 1P ⊥D 1E ，∴=a ﹣2+2（b ﹣2）+4=0，∴a+2b ﹣2=0，∴点P 的轨迹是一条线段，当a=0时，b=1；当b=0时，a=2，设CD 中点F ，则点P 在线段AF 上，当A 与P 重合时，线段B 1P 的长度为：|AB 1|==2； 当P 与F 重合时，P （0，1，0），=（﹣2，﹣1，﹣2），线段B 1P 的长度||==3， 当P 在线段AF 的中点时，P （1，，0），=（﹣1，﹣，﹣2），线段B 1P 的长度||==． ∴线段B 1P 的长度的最大值为3．故选：D ．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11．已知命题p ：“∀x ∈R ，x 2≥0”，则￢p ： ∃x ∈R ，x 2＜0 ． 【考点】命题的否定．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p ：“∀x ∈R ，x 2≥0”，则￢p ：∃x ∈R ，x 2＜0． 故答案为：∃x ∈R ，x 2＜0．12．椭圆x 2+9y 2=9的长轴长为 6 ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】将椭圆化为标准方程，求得a=3，即可得到长轴长2a ．【解答】解：椭圆x 2+9y 2=9即为+y 2=1，即有a=3，b=1，则长轴长为2a=6．故答案为：6．13．若曲线C ：mx 2+（2﹣m ）y 2=1是焦点在x 轴上的双曲线，则m 的取值范围为 （2，+∞） ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】将双曲线的方程化为标准方程，由题意可得m ＞0且m ﹣2＞0，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：曲线C ：mx 2+（2﹣m ）y 2=1是焦点在x 轴上的双曲线，可得﹣=1，即有m＞0，且m﹣2＞0，解得m＞2．故答案为：（2，+∞）．14．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD的两组对边均不平行．①在平面PAB内不存在直线与DC平行；②在平面PAB内存在无数多条直线与平面PDC平行；③平面PAB与平面PDC的交线与底面ABCD不平行；上述命题中正确命题的序号为①②③．【考点】棱锥的结构特征．【分析】①用反证法利用线面平行的性质即可证明．②设平面PAB∩平面PDC=l，则l⊂平面PAB，且在平面PAB中有无数无数多条直线与l平行，即可判断；③用反证法利用线面平行的性质即可证明．【解答】解：①用反证法．设在平面PAB内存在直线与DC平行，则CD∥平面PAB，又平面ABCD∩平面PAB=AB，平面ABCD∩平面PCD=CD，故CD∥AB，与已知矛盾，故原命题正确；②设平面PAB∩平面PDC=l，则l⊂平面PAB，且在平面PAB中有无数无数多条直线与l平行，故在平面PAB内存在无数多条直线与平面PDC平行，命题正确；③用反证法．设平面PAB与平面PDC的交线l与底面ABCD平行，则l∥AB，l∥CD，可得：AB∥CD，与已知矛盾，故原命题正确．故答案为：①②③．15．已知向量，则与平面BCD所成角的正弦值为．【考点】直线与平面所成的角．【分析】求出平面BCD的法向量，利用向量法能求出与平面BCD所成角的正弦值．【解答】解：∵向量，∴==（﹣1，2，0），==（﹣1，0，3），设平面BCD的法向量为=（x，y，z），则，取x=6，得=（6，3，2），设与平面BCD所成角为θ，则sinθ===．∴与平面BCD所成角的正弦值为．故答案为：．16．若某三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的体积为，表面积为3．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为三棱锥，棱锥底面为等腰三角形，底边为2，底边的高为1，棱锥的高为．棱锥顶点在底面的射影为底面等腰三角形的顶点．【解答】解：由三视图可知几何体为三棱锥，棱锥顶点在底面的射影为底面等腰三角形的顶点，棱锥底面等腰三角形的底边为2，底边的高为1，∴底面三角形的腰为，棱锥的高为．∴V==，S=+××2+=3．故答案为，三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知△ABC的三个顶点坐标为A（0，0），B（8，4），C（﹣2，4）．（1）求证：△ABC 是直角三角形；（2）若△ABC 的外接圆截直线4x+3y+m=0所得弦的弦长为6，求m 的值．【考点】直线与圆的位置关系；直线的斜率；圆的一般方程．【分析】（1）证明•=﹣16+16=0，可得⊥，即可证明△ABC 是直角三角形；（2）求出△ABC 的外接圆的方程，利用△ABC 的外接圆截直线4x+3y+m=0所得弦的弦长为6，可得圆心到直线的距离d=4，即可求m 的值．【解答】（1）证明：∵A （0，0），B （8，4），C （﹣2，4），∴=（8，4），=（﹣2，4），∴•=﹣16+16=0，∴⊥，∴ABC 是直角三角形；（2）解：△ABC 的外接圆是以BC 为直径的圆，方程为（x ﹣3）2+（y ﹣4）2=25，∵△ABC 的外接圆截直线4x+3y+m=0所得弦的弦长为6，∴圆心到直线的距离d=4=，∴m=﹣4或﹣44．18．如图所示的几何体中，2CC 1=3AA 1=6，CC 1⊥平面ABCD ，且AA 1⊥平面ABCD ，正方形ABCD 的边长为2，E 为棱A 1D 中点，平面ABE 分别与棱C 1D ，C 1C 交于点F ，G ．（Ⅰ）求证：AE ∥平面BCC 1；（Ⅱ）求证：A 1D ⊥平面ABE ；（Ⅲ）求二面角D ﹣EF ﹣B 的大小，并求CG 的长．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推导出CC 1∥AA 1，AD ∥BC ，从而平面AA 1D ∥平面CC 1B ，由此能证明AE ∥平面CC 1B ． （Ⅱ）法1：推导出AA 1⊥AB ，AA 1⊥AD ，AB ⊥AD ，以AB ，AD ，AA 1分别x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明A 1D ⊥平面ABE ．法2：推导出AA 1⊥AB ，AB ⊥AD ，从而AB ⊥A 1D ，再由AE ⊥A 1D ，能证明A 1D ⊥平面ABE ．（Ⅲ）推导出平面EFD ⊥平面ABE ，从而二面角D ﹣EF ﹣B 为90°，设，且λ∈[0，1]，则G （2，2，3λ），再由A 1D ⊥BG ，能求出CG 的长．【解答】证明：（Ⅰ）因为CC 1⊥平面ABCD ，且AA 1⊥平面ABCD ，所以CC 1∥AA 1，因为ABCD 是正方形，所以AD∥BC，因为AA1∩AD=A，CC1∩BC=C，所以平面AA1D∥平面CC1B．因为AE⊂平面AA1D，所以AE∥平面CC1B．（Ⅱ）法1：因为AA1⊥平面ABCD，所以AA1⊥AB，AA1⊥AD，因为ABCD是正方形，所以AB⊥AD，以AB，AD，AA1分别x，y，z轴建立空间直角坐标系，则由已知可得B（2，0，0），D（0，2，0），A1（0，0，2），E（0，1，1），，，因为，所以，所以A1D⊥平面ABE．法2：因为AA1⊥平面ABCD，所以AA1⊥AB．因为ABCD是正方形，所以AB⊥AD，所以AB⊥平面AA1D，所以AB⊥A1D．因为E为棱A1D中点，且，所以AE⊥A1D，所以A1D⊥平面ABE．（Ⅲ）因为A1D⊥平面ABE，且A1D⊂平面EFD，所以平面EFD⊥平面ABE．因为平面ABE即平面BEF，所以二面角D﹣EF﹣B为90°．设，且λ∈[0，1]，则G（2，2，3λ），因为A1D⊥平面ABE，BG⊂平面ABE，所以A1D⊥BG，所以，即，所以．19．已知椭圆G ：的离心率为，经过左焦点F 1（﹣1，0）的直线l 与椭圆G 相交于A ，B 两点，与y 轴相交于C 点，且点C 在线段AB 上．（Ⅰ）求椭圆G 的方程；（Ⅱ）若|AF 1|=|CB|，求直线l 的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）设椭圆焦距为2c ，运用离心率公式和a ，b ，c 的关系，即可得到椭圆方程；（Ⅱ）由题意可知直线l 斜率存在，可设直线l ：y=k （x+1），代入椭圆方程，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，解方程即可得到所求方程．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆焦距为2c ，由已知可得，且c=1，所以a=2，即有b 2=a 2﹣c 2=3，则椭圆G 的方程为；（Ⅱ）由题意可知直线l 斜率存在，可设直线l ：y=k （x+1），由消y ，并化简整理得（4k 2+3）x 2+8k 2x+4k 2﹣12=0，由题意可知△＞0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则，因为点C ，F 1都在线段AB 上，且|AF 1|=|CB|，所以，即（﹣1﹣x 1，﹣y 1）=（x 2，y 2﹣y C ），所以﹣1﹣x 1=x 2，即x 1+x 2=﹣1，所以，解得，即．所以直线l的方程为或．。

2019年北京市海淀区一模理科数学试题分析2019年海淀区高三数学（理科）一模考试已经结束了，整体来看，本次考试的涉及范围全面，难易程度合理，符合北京高考的出题思路和方式。

既考查了学生对于基础知识、基础运算和基本技能的掌握，又考察了学生对于高中知识的整体把握和运用。

试卷延续北京高考大纲要求的8+6+6的试卷结构，8道选择，6道填空，6道大题的形式，分值分布为40、30、80。

试卷涵盖的重点章节包括：函数、三角函数、数列、立体几何、平面解析几何、不等式、向量、导数和程序框图、统计与概率。

针对于每一档题型分析如下：（1）基础题：1-6，9-12，15，16，17题都属于基础题型，分别考察了集合、三角函数、等差等比数列、不等式、程序框图、复数、解三角形、向量、极坐标等相关知识。

需要学生掌握郑姐独家总结的集合的“数轴解题法”，三角函数的“倍角公式-辅助角公式-回归原始函数的流程解题法”，解三角形的“正弦余弦选择口诀”，等差等比的六大万能公式以及向量解决立体几何的“5-4-3-1法”等，再结合平时的练习，技能保证基础分全部拿下。

（2）中档题：7，13，18，19题都属于中档题型，相对于基础题来说，中档题的计算会繁复一些，所考察的知识点也会更深入。

例如第七题考察的是圆锥曲线中椭圆和双曲线的相关知识，利用椭圆中的已知条件：和椭圆的离心率和双曲线的离心率之积为1，可以得到双曲线中的关系，再利用双曲线中的恒等关系和的关系，从而得到双曲线的渐近线的倾斜角，当然，这些都需要学生的烂熟的掌握椭圆和双曲线的相关知识；而13题考察的是线性规划的知识，这需要学生有数形结合的能力，画出图像辅助做题就会简单许多；18题考察的是导数的相关知识，第二问证明函数的最小值的存在问题。

需要学生烂熟的掌握导函数的相关性质和知识点以及做题技巧；19题属于圆锥曲线和直线相交的大题，第一问则需要学生烂熟的掌握抛物线的基本性质和相关知识，第二问则需要学生掌握“圆锥曲线和直线相交的万能得分法”就可以做到不会也能得十分。