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2019—2020学年高三百校联考
数 学
一、选择题：本大题共10小题，共40分
1.
已知集合{|A x y ==，{}|12B x x =-≤≤，则A B =（ ）
A ．{}|12x x -<≤
B ．{}|01x x ≤≤
C ．{}{}|121x x ≤≤-
D ．{}|02x x ≤≤
2. 已知i 是虚数单位，若复数z 满足()12i 34i z +=+，则||z =（ ）
A
B ．2 C
．D ．3
3. 若,x y 满足约束条件1020220x y x y +≥⎧⎪
-≤⎨⎪--≤⎩，则z x y =+的最大值是（ ）
A ．5-
B ．1
C ．2
D ．4
4. 已知平面α，β和直线1l ，2l ，且2αβ=l ，则“12∥l l ”是“1α∥l 且1β∥l ”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
5.
若二项式2n
x ⎫⎪⎭的展开式中各项的系数和为243，则该展开式中含x 项的系数为（ ）
A ．1
B ．5
C ．10
D ．20
6. 函数()cos e x
f x x =的大致图象为（ ）
7. 已知双曲线()2
2
22
:
10,0x y C a b a b -=>>，过其右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为B ，交y 轴于点C ，交另一条渐近线于点A ，并且满足点C 位于,A B 之间．已知O 为原点，且53
a
OA =，则FB FC =（ ） A ．
4
5
B ．
23
C ．
34 D ．13
8. 已知ABC △内接于半径为2的O ，内角,,A B C 的角平分线分别与O 相交于,,D E F 三点，若
()cos cos cos sin sin sin 222A B C
AD BE CF A B C λ⋅+⋅+⋅=++，则λ=（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
D
B A
9. 如图，在ABC △中，1AB =
，BC =4
B π=
，将ABC △绕边AB 翻转至ABP △，使面ABP ⊥面
ABC ，D 是BC 中点，设Q 是线段PA 上的动点，则当PC 与DQ 所成角取得最小值时，线段AQ 的长
度为AB （ ）
A
B
C
D
10. 设无穷数列{}n a 满足()10=>a p p ，()20=>a q q ，()*
21122n n n a a n a ++⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭
N ，
若{}n a 为周期数列， 则pq 的值为（ ）
A ．12
B. 1
C. 2
D. 4
二、填空题：本大题共7小题，共36分
11. 若函数()()()
2x
f x x x a =+-为奇函数，则实数a 的值为 ；且当4x ≥时，()f x 的最大值
为 ．
12. 已知随机变量ξ的分布列如下表，若()2
E ξ=
，则a = , ()D ξ= ． 13. 已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积为
3
cm ，表面积为 2cm ．
Q D
P
C
B
A
俯视图
侧视图正视图
14. 已知1F 、2F 分别为椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左、右焦点，点2F 关于直线y x =对称的点Q 在椭
圆上，则椭圆的离心率为 ；若过1F 且斜率为()0k k >的直线与椭圆相交于,A B 两点，且113AF FB =，则k = ．
15. 某学校要安排2名高二的同学，2名高一的同学和1名初三的同学去参加电视节目《变形记》，有五
个乡村小镇A ,B ,C ,D ,E （每名同学选择一个小镇），由于某种原因，高二的同学不去小镇A ，高一的同学不去小镇B ，初三的同学不去小镇D 和E ，则共有 种不同的安排方法（用数字作答）．
16. 已知向量a ，b 满足232-=+=a b a b ，则-a b 的取值范围是 ．
17. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()()()2
2
:34R M x a y a a -++-=∈．过原点的动直线l 与圆M 交于
A ，
B 两点．若以线段AB 为直径的圆，与以M 为圆心，MO 为半径的圆始终无公共点，则实数a 的
取值范围是 ． 三、解答题：本大题共5小题，共74分 18. （14分）
已知函数(
)2sin 2
x
f x x =-． （1）求()f π的值；
（2）求函数()y f x =单调递增区间．
19. （15分）
如图，在底面为菱形的四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD △为等腰直角三角形，
2APD π∠=，23BAD π
∠=
，点E ，F 分别是BC ，PD 的中点，直线PC 与平面AEF 交于点Q ． （1）若平面PAB 平面PCD l =，求证：AB l ∥； （2）求直线AQ 与平面PCD 所成角的正弦值．
Q
F
E
P
D
C
B
A
