函数的单调性第一课时

函数单调性第一课时教学设计课题：函数的单调性（第一课时）1．教学目标（1）知识与技能：使学生理解函数单调性的概念，掌握判别函数的单调性的方法．（2）过程与方法：从生活实际和已有旧知出发，引导学生探索函数的单调性的概念，应用图象和单调性的定义解决函数单调性问题，使学生领会数形结合的数学方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．（3）情感态度价值观：使学生体验数学的严谨性，培养学生细心观察、归纳、分析的良好习惯和不断探求新知识的精神．2．教学重点（1）函数单调性的概念；（2）运用函数单调性的定义判断和证明一些函数的单调性．教学难点利用函数单调性的定义判断和证明函数的单调性．3．教学方法和教学手段探索发现法和运用多媒体教学．4．教学过程（一）问题情境（播放中央电视台天气预报的音乐）如图为兰州市2019年中秋这一天24小时内的气温变化图，观察这张气温变化图：问题1 怎样描述气温随时间增大的变化情况？问题2 怎样用数学语言来刻画上述时段内“随着时间的增大气温逐渐升高”这一特征？问题3 在区间［4，16］上，气温是否随时间增大而增大？（二）定义形成1、单调增函数、单调减函数设函数)(x f y =的定义域为A ，区间I ?A ．如果对于区间I 内的任意两个值21,x x ，若当1x <2x 时，都有)(1x f <)(2x f ,那么就说)(x f y =在区间I 上是单调增函数，I 称为)(x f y =的单调增区间．如果对于区间I 内的任意两个值21,x x ，若当1x <2x 时，都有)(1x f >)(2x f ,那么就说)(x f y =在区间I 上是单调减函数，I 称为)(x f y =的单调减区间．2、单调性、单调区间若函数y = f (x )在区间I 上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数)(x f y =在区间I 上具有单调性，单调增区间和单调减区间统称为单调区间．（三）定义运用1、回到问题情境，提出问题：你能找出气温图中的单调区间吗？2、回顾初中学过的函数，说出所列举具体函数的单调区间，并判断函数在各区间上的单调性．运用函数单调性的定义，证明你判断的结论．（1）22+-=x y ；（2）322-+=x x y ；（3）xy 1=．运用实物投影，投影个别学生的证明，纠正出现的问题，规范证明的格式．请学生归纳运用定义法探求并证明函数单调性的步骤，投影演示：①取值；②作差变形；③定号；④判断．（四）问题讨论问题讨论函数1)(+=x x x f 的单调性．实际问题在一碗水中，加入一定量的糖，糖加得越多糖水就越甜．你能运用所学过的数学知识来解说这一现象吗？（五）课堂小结1、函数单调性的定义．2、判断、证明函数单调性的方法：图象、定义．（六）作业布置（1）阅读课本P34－35 例2（2）书面作业：课本P43 1、4、7课后尝试1、若定义在R 上的单调减函数)(x f 满足)3()1(a f a f -<+，你知道a 的取值范围吗？ 2、二次函数c bx x y ++=2在［0，＋∞）是增函数，你能确定字母b 的值吗？教学设计说明本节课是一节概念课．函数单调性的本质是利用解析的方法来研究函数图象的性质，如何将图形特征用严谨的数学语言来刻画是本节课的难点之一．另一难点是学生在高中阶段第一次接触代数证明，如何进行严格的推理论证并完成规范的书面表达．围绕以上两个难点，在本节课的处理上，我着重注意了以下几个问题：1、重视学生的亲身体验．具体体现在两个方面：①将新知识与学生的已有知识建立了联系．如：学生对一次函数、二次函数和反比例函数的认识，学生对“y 随x 的增大而增大”的理解；②运用新知识尝试解决新问题．如：对函数1)(+=x x x f 在定义域上的单调性的讨论．2、重视学生发现的过程．如：充分暴露学生将函数图象（形）的特征转化为函数值（数）的特征的思维过程；充分暴露在正、反两个方面探讨活动中，学生认知结构升华、发现的过程．3、重视学生的动手实践过程．通过对定义的解读、巩固，让学生动手去实践运用定义．4、重视课堂问题的设计．通过对问题的设计，引导学生解决问题．。

函数的单调性（第一课时）【学习目标】1．了解函数单调性的概念，掌握判断一些简单函数单调性的方法．2．能用文字语言和数学符号正确表达增函数、减函数、单调性等概念，能准确理解这些定义的本质特点．【学习障碍】1．由于对单调性定义的理解不透，误认为它是一个整体性质，实质上是区间内的性质． 2．利用定义论证单调性时，推理过程不严密不规范． 3．函数单调性的应用意识不强．【学习策略】 Ⅰ．学习导引1．预习课本第P 58~59页2．本课时重点是单调性的概念，难点是判断函数的单调性．3．对于函数的单调性，要求①会用作差（商）法证明一些简单函数的单调性．②给出函数解析式时，会确定函数在其定义域内的单调区间．③会利用单调性作图．Ⅱ．知识拓宽应用函数的单调性可以求解不等式，求函数的最值等． Ⅲ．障碍分析1．若函数f （x ）在区间D 1、D 2上分别为增函数，f （x ）一定是D 1∪D 2上的增函数吗？ 单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性．若 f （x ）在区间D 1、D 2上分别为增函数，但f （x ）不一定在区间D 1∪D 2上是增函数．例如y ＝－x 1在（－∞，0）上是增函数，在（0，＋∞）上也是增函数，但在（－∞，0）∪（0，＋∞）上不是增函数，f （1）＜f （－1）便是一例． 2．函数的单调性定义中的x 1，x 2能否用特殊值来代替？单调性是函数在某一区间上的“整体性质”，因此，定义中的x 1，x 2具有任意性，不能用特殊值替代．3．函数的单调性可解决什么样的问题？已知函数在某区间内的单调性，可以比较两个函数值的大小，也可用来求函数在某区 间内的值域或最大（小）值，这时常结合函数的图象，运用数形结合的思想方法．［例1］判断函数f （x ）＝x ＋x 1在区间（0，＋∞）上的单调性，并求出函数的值域．解：任取x 1，x 2∈（0，＋∞），且x 1＜x 2，f （x 1）－f （x 2）＝（x 1＋11x ）－（x 2＋21x ）＝212121)1)((x x x x x x ⋅--∵0＜x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0，x 1x 2＞0． 且当1≤x 1＜x 2时，x 1x 2－1＞0， 当0＜x 1＜x 2≤1时 x 1x 2＜1，x 1x 2－1＜0∴当x 1，x 2∈［1，＋∞］时，f （x 1）－f （x 2）＜0，即f （x 1）＜f （x 2）∴函数y ＝x ＋x 1在区间（0，1）上是减函数，在区间［1，＋∞］上是增函数．易知y ＝x ＋x 1（x ＞0）时恒有y ＞0且当x ＝1时，y min ＝2． 从而值域为［2，＋∞）点评：函数y ＝x ＋x a（a ≠0）是一类经常用到的函数，当a ≠0时，它有两个减区间［－a ，0］，（0， a ）．同时有两个增区间［a ，＋∞），（－∞，－a ］． ［例2］判断下列函数的单调性（1）f （x ）＝－x 2＋3x －2；（2）f （x ）＝3|x |．解：（1）f （x ）＝－（x －23）2＋41∵f （x ）＝－（x －23）2＋41的图象是开口向下的抛物线，对称轴为x ＝23∴f （x ）在（－∞，23）上是增函数，在［23，＋∞］上是减函数．（2）f （x ）＝⎩⎨⎧<-≥)0(3)0(3x x x x ∴由f （x ）的图象可知，f （x ）在（－∞，0］上是减函数，在［0，＋∞）上是增函数． Ⅲ．思维拓展［例3］判定并证明下列函数在指定区间内的单调性 （1）y ＝－x 3＋1（x ∈R ）．（2）y ＝12+x －ax （a ∈［1，＋∞），x ∈［0，＋∞））．（1）解法一：在（－∞，＋∞）上任取x 1、x 2，使x 1＜x 2，则f （x 1）－f （x 2）＝（－x 13＋1）－（－x 23＋1）＝x 23－x 13＝（x 2－x 1）（x 22＋x 1x 2＋x 12） ∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0若x 1·x 2＞0，则x 22＋x 1x 2＋x 12＞0， 若x 1·x 2＝0，由x 1≠x 2，则x 12＋x 22＞0 也有x 22＋x 1x 2＋x 12＞0若x 1·x 2＜0，x 22＋x 1x 2＋x 12＝（x 1＋x 2）2－x 1x 2＞0 ∴对于任意的x 1＜x 2都有x 22＋x 1x 2＋x 12＞0∴f （x 1）－f （x 2）＝（x 2－x 1）（x 22＋x 1x 2＋x 12）＞0即f （x 1）＞f （x 2） ∴y ＝f （x ）＝－x 3＋1在R 上是减函数．解法二：在（－∞，＋∞）上任取x 1、x 2，使x 1＜x 2则f （x 1）－f （x 2）＝x 23－x 13＝（x 2－x 1）（x 22＋x 1x 2＋x 12）＝（x 2－x 1）［（x 2＋21x ）2＋43x 12］∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0，且x 1，x 2不同时为零，∴（x 2＋21x ）2与43x 12不同时为零，即（x 2＋21x ）2＋43x 12＞0∴f （x 1）－f （x 2）＞0，即f （x 1）＞f （x 2） ∴y ＝f （x ）＝－x 3＋1在R 上是减函数． （2）解：任取x 1，x 2∈［0，＋∞），且x 1＜x 2，f （x 1）－f （x 2）＝（121+x －ax 1）－（122+x －ax 2） ＝（112221+-+x x ）－a （x 1－x 2）＝11))((22212121++++-x x x x x x －a （x 1－x 2）＝（x 1－x 2）（11222121++++x x x x －a ）∵x 1，x 2∈［0，＋∞］，且x 1＜1,122221+<+x x x ∴x 1＋x 2＜112221+++x x从而11222121++++x x x x ＜1，又a ∈［1，＋∞］∴11222121++++x x x x －a ＜0∴f （x 1）－f （x 2）＝（x 1－x 2）（ 11222121++++x x x x －a ）＞0即f （x 1）＞f （x 2）∴y ＝f （x ）＝12+x －ax （a ∈［1，＋∞））在区间［0，＋∞）上是单调减函数． 点评：证明函数单调性的一般步骤为：①取点 ②作差 ③变形 ④定号．Ⅴ．探究学习已知函数f （x ）在（－∞，＋∞）上是减函数，且满足f （x ＋y ）＝f （x ）·f （y ），f （2）＝91，试求不等式f （x ）f （3x 2－1）＜271的解集．参考答案：解：函数f （x ）在（－∞，＋∞）上是减函数且满足f （x ＋y ）＝f （x ）f （y ）∴f （2）＝f （1＋1）＝f （1）·（1）＝91＜f （1） ∴f （1）＝31由f （x ）·f （3x 2－1）＜271得f （x ＋3x 2－1）＜271而271＝31×91＝f （1）f （2）＝f （3）∴f （x ＋3x 2－1）＜f （3），x ＋3x 2－1＞3解得x ＜－34或x ＞1故所求不等式的解为{x |x ＜－34或x ＞1＝【同步达纲练习】一、选择题1．在区间（－∞，0）上为增函数的是A ．y ＝－（x ＋1）2B ．y ＝1＋x 2C ．y ＝x -1D ．y ＝x x-12．若函数f （x ）＝x 2＋2（a －1）x ＋2在区间（－∞，4）上是减函数，那么实数a 的取值范围是A ．a ≥3B ．a ≥－3C ．a ≤－3D ．a ≤5 3．函数y ＝245x x --的单调递增区间是A ．（－∞，－2）B ．［－5，－2］C ．（－2，＋∞）D ．［－2，1］ 4．已知函数y ＝f （x ）定义在［－2，1］上，且有f （－1）＞f （0），则下列判断正确的是A ．f （x ）必为［－2，－1］上的单调增函数B ．f （x ）不是［－2，－1］上的单调增函数C ．f （x ）必为［－2，－1］上的单调减函数D ．f （x ）不是［－2，－1］上的单调减函数二、填空题5．已知f （x ）在定义域内是减函数，且f （x ）＞0在其定义域内，y ＝a －f （x ）的单调性为______________函数．y ＝)(x f 的单调性为____________函数．6．函数y ＝x x+-11的减区间为______________．7．已知（－∞，a ）是函数f （x ）＝11-x （x ≠1）的反函数的一个单调递减区间，则实数a 的取值范围是______________．三、解答题8．函数f（x）当x＞0时有意义，且满足f（2）＝1，f（xy）＝f（x）＋f（y），f（x）在（0，＋∞）上是增函数．（1）求证：f（1）＝0．（2）求f（4）．（3）如果f（x）＋f（x－3）≤2，求x的取值范围．9．已知函数f（x）在区间（－∞，＋∞）上是增函数，a和b为实数．（1）求证：命题“如果a＋b≥0，那么f（a）＋f（b）≥f（－a）＋f（－b）”成立．（2）判断（1）的逆命题是否成立，并说明为什么．参考答案【同步达纲练习】一、1．D 提示：y ＝－（x ＋1）2在（－∞，0）上是先增后减的函数，y ＝1＋x 2，y ＝x-1在（－∞，0）上为减函数，故选D ．2．C 提示：由－2)1(2-a ≥4得a ≤－33．B 提示：由5－4x －x 2≥0得－5≤x ≤1且5－4x －x 2在［－5，－2］上是增函数，故y ＝245x x --的单调递增区间为［－5，－2］．4．B 提示：根据增函数的定义知选B二、5．增 减 提示：由定义知y ＝a －f （x ）为增函数y ＝)(x f 为减函数6．（－∞，－1）及（－1，＋∞） 提示：作出y ＝x x+-11的图象知减区间为（－∞，－1）及（－1，＋∞） 7．a ≤0 提示：由反函数图象可得a ≤0三、8．（1）由f （xy ）＝f （x ）＋f （y ），令x ＝2，y ＝1，得f （2）＝f （2）＋f （1），∴f （1）＝0．（2）令x ＝y ＝2，∴f （4）＝f （2）＋f （2）＝2． （3）f （x ）＋f （x －3）＝f （x （x －3）），且f （4）＝2，∴f （x ）＋f （x －3）≤2＝f （4）可化为f （x （x －3））≤f （4）．依题有⎪⎩⎪⎨⎧≤->->,4)3(,03,0x x x x 解得3＜x ≤4．9．（1）a ＋b ≥0，则a ≥－b 或b ≥－a ．∵f（x）在（－∞，＋∞）上是增函数，∴f（a）≥f（－b），f（b）≥f（－a），∴f（a）＋f（b）≥f（－a）＋f（－b）．（2）逆命题为“若f（a）＋f（b）≥f（－a）＋f（－b），则a＋b≥0”．反证法：假设a＋b＜0，则a＜－b或b＜－a，依题有f（a）＜f（－b），f（b）＜f（－a），∴f（a）＋f（b）＜f（－a）＋f（－b），与已知矛盾，∴假设不成立，a＋b≥0．友情提示：方案范本是经验性极强的领域，本范文无法思考和涵盖全面，供参考!最好找专业人士起草或审核后使用。