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4.最小二乘法线性拟合我们知道，用作图法求出直线的斜率a 和截据b ，可以确定这条直线所对应的经验公式，但用作图法拟合直线时，由于作图连线有较大的随意性，尤其在测量数据比较分散时，对同一组测量数据，不同的人去处理，所得结果有差异，因此是一种粗略的数据处理方法，求出的a 和b 误差较大。
用最小二乘法拟合直线处理数据时,任何人去处理同一组数据，只要处理过程没有错误，得到的斜率a 和截据b 是唯一的。
最小二乘法就是将一组符合Y=a+bX 关系的测量数据，用计算的方法求出最佳的a 和b 。
显然，关键是如何求出最佳的a 和b 。
(1) 求回归直线设直线方程的表达式为：bx a y += (2-6-1)要根据测量数据求出最佳的a 和b 。
对满足线性关系的一组等精度测量数据（x i ，y i ），假定自变量x i 的误差可以忽略，则在同一x i 下，测量点y i 和直线上的点a+bx i 的偏差d i 如下：111bx a y d --=222bx a y d --=n n n bx a y d --=显然最好测量点都在直线上（即d 1=d 2=……=d n =0），求出的a 和b 是最理想的，但测量点不可能都在直线上，这样只有考虑d 1、d 2、……、d n 为最小，也就是考虑d 1+d 2+……+d n 为最小，但因d 1、d 2、……、d n 有正有负，加起来可能相互抵消，因此不可取；而|d 1|+|d 2|+……+ |d n |又不好解方程，因而不可行。
现在采取一种等效方法：当d 12+d 22+……+d n2对a 和b 为最小时，d 1、d 2、……、d n 也为最小。
取（d 12+d 22+……+d n 2）为最小值，求a 和b 的方法叫最小二乘法。
令 ∑==ni idD 12＝2112][i i ni ni ib a y dD --==∑∑== (2-6-2)D 对a 和b 分别求一阶偏导数为：][211∑∑==---=∂∂ni i n i i x b na y a D][21211∑∑∑===---=∂∂ni i n i i n i i i x b x a y x b D 再求二阶偏导数为：n a D 222=∂∂； ∑==∂∂n i i x b D 12222 显然： 0222≥=∂∂n a D ； 021222≥=∂∂∑=n i i x b D 满足最小值条件，令一阶偏导数为零：011=--∑∑==ni i ni ix b na y(2-6-3)01211=--∑∑∑===ni i ni i ni ii x b x a yx (2-6-4)引入平均值： ∑==ni i x n x 11； ∑==n i i y n y 11；∑==n i i x n x 1221； ∑==ni i i y x n xy 11则： 0=--x b a y02=--x b x a xy （2-6-5） 解得： x b y a -= （2-6-6）22xx y x xy b --=（2-6-7）将a 、b 值带入线性方程bx a y +=，即得到回归直线方程。
最小二乘法拟合直线回归方程最小二乘法是一种常用的数学方法，用于确定一组数据的最佳拟合直线回归方程。
在进行最小二乘法拟合直线回归方程时，我们首先要了解最小二乘法的原理和步骤，然后通过实际案例来详细说明如何进行最小二乘法拟合直线回归方程的计算。
最小二乘法的原理是通过最小化观测数据点与拟合直线的误差平方和来确定直线的参数。
具体而言，最小二乘法假设数据点之间的关系可以用直线来表示，而误差平方和则表示了数据点与拟合直线之间的差异。
通过最小化误差平方和，我们可以找到最佳拟合直线回归方程。
1.确定自变量和因变量：首先需要明确哪一个变量是自变量，哪一个是因变量。
自变量是独立变量，通常表示为x；而因变量是依赖于自变量的变量，通常表示为y。
2.收集观测数据点：收集包含自变量和因变量数据的样本。
3.根据数据点绘制散点图：将观测数据点绘制在坐标系中，可以直观地看到数据点的分布。
4. 确定拟合直线的方程形式：根据散点图的分布情况，选择一条直线拟合数据点。
直线的方程形式一般为y = mx + b，其中m为直线的斜率，b为直线在y轴上的截距。
5.计算拟合直线的参数：使用最小二乘法的公式计算拟合直线的斜率m和截距b。
公式为：m = (nΣxy - ΣxΣy) / (nΣx^2 - (Σx)^2)b=(Σy-mΣx)/n其中，Σ表示求和，n表示样本数据点的数量，Σxy表示所有数据点x和y的乘积之和，Σx表示x的和，Σy表示y的和，Σx^2表示x 的平方和。
6. 绘制拟合直线：将计算得到的斜率m和截距b代入直线方程y = mx + b，绘制出最小二乘法拟合的直线。
最小二乘法拟合直线回归方程的计算也可以通过计算机软件进行。
常用的统计软件如MATLAB、R、Python中的NumPy和SciPy库，都提供了方便的函数和方法用于进行最小二乘法拟合直线回归方程的计算。
例如，使用Python中的NumPy和SciPy库来进行最小二乘法拟合直线回归方程的计算：```pythonimport numpy as npfrom scipy import stats#自变量和因变量数据x = np.array([1, 2, 3, 4, 5])y = np.array([2, 3, 5, 6, 8])#计算斜率和截距slope, intercept, r_value, p_value, std_err =stats.linregress(x, y)#计算拟合直线line = slope * x + intercept#打印斜率和截距print("斜率:", slope)print("截距:", intercept)```以上代码中，通过导入NumPy和SciPy库，使用`stats.linregress(`函数计算斜率和截距，然后将斜率和截距代入直线方程，得到拟合直线。
最小二乘法最小二乘法是一种在误差估计、不确定度、系统辨识及预测、预报等数据处理诸多学科领域得到广泛应用的数学工具。
最小二乘法还可用于曲线拟合，其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。
最小二乘法公式：设拟合直线的公式为,其中：拟合直线的斜率为：；计算出斜率后，根据和已经确定的斜率k，利用待定系数法求出截距b。
在我们研究两个变量(x, y)之间的相互关系时，通常可以得到一系列成对的数据(x1, y1),(x2, y2).. (xm , ym)；将这些数据描绘在x -y 直角坐标系中(如图1), 若发现这些点在一条直线附近，可以令这条直线方程如(式1-1)。
Y计= a0 + a1 X (式1-1)其中：a0、a1 是任意实数为建立这直线方程就要确定a0和a1，应用《最小二乘法原理》，将实测值Yi与利用(式1-1)计算值(Y计=a0+a1X)的离差(Yi-Y计)的平方和〔∑(Yi - Y计)²〕最小为“优化判据”。
令: φ= ∑(Yi - Y计)² (式1-2)把(式1-1)代入(式1-2)中得:φ= ∑(Yi - a0 - a1 Xi)2 (式1-3)当∑(Yi-Y计)²最小时，可用函数φ对a0、a1求偏导数，令这两个偏导数等于零。
(式1-4)(式1-5)亦即m a0 + (∑Xi ) a1 = ∑Yi (式1-6)(∑Xi ) a0 + (∑Xi2 ) a1 = ∑(Xi, Yi) (式1-7)得到的两个关于a0、a1为未知数的两个方程组，解这两个方程组得出：a0 = (∑Yi) / m - a1(∑Xi) / m (式1-8)a1 = [∑Xi Yi - (∑Xi ∑Yi)/ m] / [∑Xi2 - (∑Xi)2 / m)] (式1-9) 这时把a0、a1代入(式1-1)中, 此时的(式1-1)就是我们回归的元线性方程即：数学模型。
标准曲线的最小二乘法拟合和相关系数（合肥工业大学控释药物研究室尹情胜）1 目的用最小二乘法拟合一组变量（，，i＝1-n）之间的线性方程（y＝ax+b），表示两变量间的函数关系；（开创者：德国数学家高斯）一组数据（，，i＝1-n）中，两变量之间的相关性用相关系数（R）来表示。
（开创者：英国统计学家卡尔·皮尔逊）2 最小二乘法原理用最小二乘法拟合线性方程时，其目标是使拟合值（）与实测值（）差值的平方和（Q）最小。
式（1）3 拟合方程的计算公式与推导当Q最小时，；得到式（2）、式（3）：式（2）式（3）由式（3）和式（4），得出式（4）和式（5）：式（4）式（5）式（4）乘以n，式（5）乘以，两式相减并整理得斜率a：斜率（k＝xy／xx，n*积和-和积）式（6）截距b的计算公式为公式（5），也即：截距b＝（y-x）／n，差平均差）式（7）4 相关系数的意义与计算公式相关系数（相关系数的平方称为判定系数）是用以反映变量之间相关关系密切程度的统计指标。
相关系数（也称积差相关系数）是按积差方法计算，同样以两变量与各自平均值的离差为基础，通过两个离差相乘来反映两变量之间相关程度；着重研究线性的单相关系数。
相关系数r xy取值在-1到1之间。
r xy = 0时，称x,y不相关；| r xy | = 1时，称x,y完全相关，此时，x,y之间具有线性函数关系；| r xy | < 1时，X的变动引起Y的部分变动，r xy的绝对值越大，x的变动引起y的变动就越大，|r xy | > 0.8时称为高度相关，当0.5< | r xy|<0.8时称为显著相关，当0.3<| r xy |<0.5时，成为低度相关，当| r xy | < 0.3时，称为无相关。
(式（7）5 临界相关系数的意义5.1 临界相关系数中显著性水平（α）与置信度（P）的关系显著性水平取0.05，表示置信度为95%；取0.01，置信度就是99%。
最小二乘法拟合的MATLAB和Excel实现摘要：生活生产中我们会遇到各种各样的数据处理，然而这些数据并不像理想实验中得到的数据，有的是一元或多元函数的分布，有的是一次或多次函数的分布，这就需要我们首先观察数据的散点图，进而选择合理的选择函数进行拟合，同时分析计算该拟合得到的误差，找出最优的拟合方式。
本文从数学上对最小二乘法原理进行了阐述，并通过MATLAB和Excel 完成数据的拟合，在进行数据拟合中使用的一次函数拟合和多项式拟合，并对不同的拟合方式进行了比较，到了不同拟合方式下的拟合函数和拟合误差。
同时对MATLAB和Excel数据拟合方式进行了对比。
关键字：最小二乘法 MATLAB Excel 数据拟合Abstract:we will encounter a variety of data processing in production life .However these data is not the data as we expect in ideal experiment;some distribution is a univariate or multivariate functions, some is one or more times function.So we should observe the scatter data chart,and then choose the reasonable selection function fitting, make an error analysis and find out the best way of fitting. This paper expound the principle of least square mathematically,complete data fitting by MATLAB and Excel,and use a function fitting and polynomial fitting.we also compare the different fitting methods,the fitting function and fitting error by the way of MATLAB and Excel.Keywords: Least squares MATLAB Excel Data fitting引言工程试验中我们常常遇到这样的问题，试验中我们会得到各种各样的数据，不同的数据之间存在着这样那样的关系，如何把得到的试验数据用函数关系式来得到不同组数据之间的关系，并且在经过数据处理后得到的函数能够客观准确的描述数据与数据数据之间的关系。
标准曲线的最小二乘法拟合和相关系数（合肥工业大学控释药物研究室尹情胜）1 目的用最小二乘法拟合一组变量（，，i＝1-n）之间的线性方程（y＝ax+b），表示两变量间的函数关系；（开创者：德国数学家高斯）一组数据（，，i＝1-n）中，两变量之间的相关性用相关系数（R）来表示。
（开创者：英国统计学家卡尔·皮尔逊）2 最小二乘法原理用最小二乘法拟合线性方程时，其目标是使拟合值（）与实测值（）差值的平方和（Q）最小。
式（1）3 拟合方程的计算公式与推导当Q最小时，；得到式（2）、式（3）：式（2）式（3）由式（3）和式（4），得出式（4）和式（5）：式（4）式（5）式（4）乘以n，式（5）乘以，两式相减并整理得斜率a：斜率（k＝xy／xx，n*积和-和积）式（6）截距b的计算公式为公式（5），也即：截距b＝（y-x）／n，差平均差）式（7）4 相关系数的意义与计算公式相关系数（相关系数的平方称为判定系数）是用以反映变量之间相关关系密切程度的统计指标。
相关系数（也称积差相关系数）是按积差方法计算，同样以两变量与各自平均值的离差为基础，通过两个离差相乘来反映两变量之间相关程度；着重研究线性的单相关系数。
相关系数r xy取值在-1到1之间。
r xy = 0时，称x,y不相关；| r xy | = 1时，称x,y完全相关，此时，x,y之间具有线性函数关系；| r xy | < 1时，X的变动引起Y的部分变动，r xy的绝对值越大，x的变动引起y的变动就越大，|r xy | > 0.8时称为高度相关，当0.5< | r xy|<0.8时称为显著相关，当0.3<| r xy |<0.5时，成为低度相关，当| r xy | < 0.3时，称为无相关。
(式（7）5 临界相关系数的意义5.1 临界相关系数中显著性水平（α）与置信度（P）的关系显著性水平取0.05，表示置信度为95%；取0.01，置信度就是99%。
4.最小二乘法线性拟合我们知道，用作图法求出直线的斜率a 和截据b ，可以确定这条直线所对应的经验公式，但用作图法拟合直线时，由于作图连线有较大的随意性，尤其在测量数据比较分散时，对同一组测量数据，不同的人去处理，所得结果有差异，因此是一种粗略的数据处理方法，求出的a 和b 误差较大。
用最小二乘法拟合直线处理数据时,任何人去处理同一组数据，只要处理过程没有错误，得到的斜率a 和截据b 是唯一的。
最小二乘法就是将一组符合Y=a+bX 关系的测量数据，用计算的方法求出最佳的a 和b 。
显然，关键是如何求出最佳的a 和b 。
(1) 求回归直线设直线方程的表达式为：bx a y += (2-6-1)要根据测量数据求出最佳的a 和b 。
对满足线性关系的一组等精度测量数据（x i ，y i ），假定自变量x i 的误差可以忽略，则在同一x i 下，测量点y i 和直线上的点a+bx i 的偏差d i 如下：111bx a y d --=222bx a y d --=n n n bx a y d --=显然最好测量点都在直线上（即d 1=d 2=……=d n =0），求出的a 和b 是最理想的，但测量点不可能都在直线上，这样只有考虑d 1、d 2、……、d n 为最小，也就是考虑d 1+d 2+……+d n 为最小，但因d 1、d 2、……、d n 有正有负，加起来可能相互抵消，因此不可取；而|d 1|+|d 2|+……+ |d n |又不好解方程，因而不可行。
现在采取一种等效方法：当d 12+d 22+……+d n2对a 和b 为最小时，d 1、d 2、……、d n 也为最小。
取（d 12+d 22+……+d n 2）为最小值，求a 和b 的方法叫最小二乘法。
令 ∑==ni idD 12＝2112][i i ni ni ib a y dD --==∑∑== (2-6-2)D 对a 和b 分别求一阶偏导数为：][211∑∑==---=∂∂ni i n i i x b na y a D][21211∑∑∑===---=∂∂n i i n i i n i i i x b x a y x b D再求二阶偏导数为：n a D 222=∂∂； ∑==∂∂ni i x b D 12222 显然： 0222≥=∂∂n a D ； 021222≥=∂∂∑=n i i x b D 满足最小值条件，令一阶偏导数为零：011=--∑∑==ni i ni ix b na y(2-6-3)01211=--∑∑∑===ni i ni i ni ii x b x a yx (2-6-4)引入平均值： ∑==n i i x n x 11； ∑==ni i y n y 11；∑==n i i x n x 1221； ∑==ni i i y x n xy 11则： 0=--x b a y02=--x b x a xy （2-6-5） 解得： x b y a -= （2-6-6）22xx y x xy b --=（2-6-7）将a 、b 值带入线性方程bx a y +=，即得到回归直线方程。
补充材料1 实验数据的处理（上接教材第二章，p.19）注意：（1）用最小二乘法计算斜率k 和截距b 时，不宜用有效数字的运算法则计算中间过程，否则会有较大的计算误差引入。
提倡用计算器计算，将所显示的数值均记录下来为佳。
（2）如果y 和x 的相关性好，可以粗略考虑b 的有效位数的最后一位与y 的有效数字最后一位对齐，k 的有效数字与y n -y 1和x n -x 1中有效位数较少的相同。
（3）确定有效位数的可靠方法是计算k 和b 的不确定度。
直线拟合的不确定度估算：（以b kx y +=为例） 斜率k 和截距b 是间接测量物理量，分别令测量数据的A 类和B 类不确定度分量中的一个分量为零，而求得另一个分量比较简单，最后将两个分量按直接测量的合成方法求出合成不确定度，这种方法被称为等效法。
可以证明，在假设只有y i 存在明显随机误差的条件下（且y 的仪器不确定度远小于其A 类不确定度），k 和b 的不确定度分别为：∑∑-=nx xS S i iyk 22)(∑∑∑∑-==2222)(iiiyikb x x n xS nxS S式中，S y 是测量值y i 的标准偏差，即2)(222---=-=∑∑n b kx yn S i iiy ν根据上述公式即可算出各个系数（斜率k 和截距b ）的不确定度值，初看上去计算似乎很麻烦，但是利用所列的数据表格，由表中求出的那些累加值∑即可很容易算得。
最小二乘法应用举例应用最小二乘法处理物理量的测量数据是相当繁琐的工作，容易出现差错。
因此，工作时要十分细心和谨惯。
为便于核对，常将各数据及计算结果首先表格化。
例：已知某铜棒的电阻与温度关系为：t R R t ⋅+=α0。
实验测得7组数据（见表1）如下：试用最小二乘法求出参量R 0、α 以及确定它们的误差。
表 1此例中只有两个待定的参量R 0和α，为得到它们的最佳系数，所需要的数据有n 、ix 、iy、∑2ix、∑2iy和∑iiyx 六个累加数，为此在没有常用的科学型计算器时，通过列表计算的方式来进行，这对提高计算速度将会有极大的帮助（参见表2），并使工作有条理与不易出错。
excel建立回归方程回归分析是一种统计方法，用于建立两个或更多变量之间的关系模型。
在Excel中，可以使用“数据分析”工具包来进行回归分析并得出回归方程。
回归方程是通过最小二乘法来估计自变量和因变量之间的关系。
在Excel中，可以使用以下步骤来建立回归方程：步骤1：准备数据将自变量和因变量的数据输入到Excel表格中。
确保数据按照正确的顺序排列，并且没有缺失值或异常值。
步骤2：打开“数据分析”工具在Excel中，选择“数据”选项卡，然后在“分析”组中选择“数据分析”。
步骤3：选择回归分析在“数据分析”对话框中，选择“回归”选项，然后单击“确定”。
步骤4：选择输入数据步骤5：选择输出选项选择“输出”选项，以决定输出回归方程的位置。
可以选择将输出放在新的工作表中或选择一个特定的单元格。
步骤6：点击“确定”单击“确定”按钮开始执行回归分析。
步骤7：解读回归分析结果分析完成后，Excel会在选择的输出位置显示回归结果。
回归结果包括回归系数、截距、相关系数、显著性水平等。
根据回归结果，可以建立回归方程。
回归方程的一般形式为：Y = b0 + b1X1 + b2X2 + ... + bnXn，其中Y表示因变量，b0表示截距，b1到bn表示回归系数，X1到Xn表示自变量。
步骤9：分析回归方程根据回归方程，可以进行预测和推断。
可以根据给定的自变量值计算因变量的预测值，也可以根据显著性水平对回归方程的统计显著性进行推断。
需要注意的是，在建立回归方程时要考虑数据的合理性和可解释性。
回归方程只能描述变量之间的关系，并不一定代表因果关系。
此外，需要对数据进行适当的转换和处理，以确保回归分析的可靠性和有效性。
回归分析是一种强大的工具，可以用于预测、分析、建模和优化。
在Excel中，通过简单的步骤，可以轻松地进行回归分析并得出回归方程。
通过理解回归方程和回归结果，我们可以更好地理解变量之间的关系，并进行更准确的预测和决策。
附录2 用计算器实施最小二乘法处理实验数据1. 基本公式直线拟合公式： 01y b b x =+令 11n i i x x n ==∑ , 11n i i y y n ==∑ ,11n i i i xy x y n ==∑ , 2211i n i x x n ==∑ ，2211i n i y y n ==∑(22()/xx i i S x x n =-∑∑, 22()/yy i i S y y n =-∑∑, ()()/xy i i i i S x y x y n =-∑∑∑ ) 则 斜率为 122()xy xxS xy x y b S x x -⋅==- ， 截距为 01b y b x =-相关系数为()()ˆniix x y y S x y r--===∑( 斜率的标准偏差为11b b rσ= ,截距的标准偏差为01b b σσ=)2. 具体操作1) 先用计算器的统计功能求出i x ∑，2i x ∑，i y ∑，2i y ∑ ,然后根据定义式计算x ，y ，xy ，2x ，2y 或xx S ，yy S ，xy S .2) 计算i i x y ∑,可按下例方法操作：即在键盘上依次敲入x i 的值、乘号“×” 、y i 的值、等号“＝”后，随即揿压一次“DATA ”键，直至将所有数据x i y i 输入计算器内（显示输入数据的个数），最后顺次揿压“2ndF ”和“x ∑”键后，则显示该组数据x i y i 的总和i i x y ∑.同时可根据定义式计算xy S .3）最后求相关系数r ，斜率1b ，截距0b 等. 3. 计算用表用计算器实施最小二乘法处理数据用表。
