第三章分层随机抽样

第三章分层随机抽样概述简单估计及其性质各层样本量的分配样本总量的确定分层随机抽样效果分析第一节概述一、特点¾分层抽样不仅可估计总体参数，还可估计层的参数¾实施方便，便于组织¾分层样本比简单随机样本在总体中分布更均匀¾分层抽样能较大地提高调查地精度二、符号¾总体分为L 层，h 表示层的编号¾第h 层单位总数：N h ¾样本单位数：n h¾层权：抽样比：¾第h 层子总体第i 个单位标志值：Y hi¾第h 层样本中第i 个单位标志值：y hiNN W h h =hhh N n f =¾总体均值：¾样本均值：¾总体方差：¾样本方差：∑==hNihihhYNY11∑==hnihihyny11()∑=−−=hNihhihhYYNS12 211()∑=−−=hnihhihhyyns12 211第二节简单估计量及其性质一、对总体均值或总量的估计hLh h h L h h st Lh h st sth Lh h Lh h h st y N y W N Y N Y Y y y W Y W Y ∑∑∑∑∑============11111ˆˆˆˆˆstststst Y YE Y y E ==)ˆ()(∑∑∑===−==Lh hh Lh h hh h L h hst N SW n S W y V W y V 1212212)()(样本方差s 2∑∑==−=Lh hh Lh h hh st N sW n s W y v 12122)(hhh h h st st st n S n N N y V N Y V N Y V 222)()()ˆ()ˆ(−===∑hhh h h st n s n N N Y v 2)()ˆ(−=∑())(,)(st st st sty v u y y v u yαα+−例：某市进行家庭收入调查，分城镇居民及农村居民两部分抽样，在全部城镇23560户中抽取300户，在全部农村148420户中抽取250户（均按简单随机抽样进行），调查结果城镇年平均户收入为15180元，标准差为2972元；农村年平均户收入为9856元，标准差为2546元。

分层随机抽样的原理和应用1. 简介分层随机抽样是一种常用的抽样方法，它通过将总体划分为不同的层级，然后在每个层级中进行随机抽样，从而得到具有代表性的样本集合。

这种抽样方法可以有效减小抽样误差，提高样本的代表性，广泛应用于统计调查、市场调研、社会调查等领域。

2. 原理分层随机抽样的原理是将总体划分为若干个层级，使得同一层级内的个体相对相似，而不同层级之间的个体有一定差异。

在抽样时，首先从每个层级中随机选择一部分个体作为样本，然后合并这些样本得到最终的抽样结果。

分层随机抽样的具体步骤如下： 1. 将总体划分为若干个层级，可以按照地域、年龄、性别、收入等因素进行划分。

2. 确定每个层级的样本大小，样本大小可以根据层级的重要性和总体特征进行确定。

3. 在每个层级中进行随机抽样，可以使用随机数表、计算机程序或抽奖方式进行抽样。

4. 将每个层级的样本合并，得到最终的样本集合。

3. 应用分层随机抽样在各个领域都有广泛的应用。

以下是一些应用示例：3.1 统计调查在进行统计调查时，人们通常希望从总体中抽取一部分样本，然后通过分析样本数据来推断总体的特征。

分层随机抽样可以保证样本的代表性，使得样本数据能够准确反映总体特征。

例如，政府机关在进行人口普查时，通常会将人口按照地域、年龄等因素进行划分，然后在每个层级中进行抽样调查。

3.2 市场调研在市场调研中，分层随机抽样可以帮助企业了解目标消费群体的特征和需求，从而制定相应的市场营销策略。

例如，一家公司想要了解某个地区不同年龄段消费者对某种产品的喜好程度，可以将该地区的消费者按照年龄划分为不同层级，然后在每个层级中进行抽样调研。

3.3 社会调查在社会调查中，分层随机抽样可以用来收集广泛的意见和观点，了解不同群体的态度和看法。

例如，一项社会调查想调查不同职业人群对某个社会问题的看法，可以将人群按照职业划分为不同层级，然后在每个层级中进行抽样调查。

4. 优缺点分层随机抽样的优点在于： - 提高样本的代表性，可以准确反映总体特征； -减小抽样误差，提高样本数据的可靠性； - 适用性广泛，可以应用于各种不同的调查和研究。

第三章分层随机抽样书P1293.1.某高校欲了解教职员工对某项津贴与职务职称挂钩的分配制度改革的态度，准备在全校教职员工中进行抽样调查，为了提高抽样技术，准备进行分层抽样，请判断下面的几种分层方法是否合适？（1）按性别分层（2）按教师、行政管理人员、职工分层；（3）按职称）（正高、副高、中级、初级、其他）分层（4）按部门（如系、所、处）分层3.2. 某学院4个专业的新生元旦晚会，组织者为了活跃气氛，欲在800名学生中抽出8名作为“幸运星”，为了以示公平，要求每位学生被抽中的概率相同。

组织者知道利用简单随机抽样的方法可以满足要求，你能不能帮助组织者再设计几种方案？3.3.某居委会辖有三个居民新村，居委会欲对居民购买彩票情况进行调查，调查者考虑以新村分层，在每个新村中随机抽取了10个居民户最近一个月购买彩票所花费的金额（元），下表是每个新村及调查情况：（1）试估计该小区居民户购买彩票的平均支出，并给出估计标准差。

（2）当置信度为95%，要求极限误差不超过10%时，按比例和奈曼分配时样本量及各层的样本量分别为多少？3.4.随着经济发展，某市居民年生活习惯在改变，为研究该现象，某机构以市中心163万居民户作为研究对象，将居民户按6个行政分层，在每个行政区随机抽出30户居民进行调查，（各层抽样比可忽略），调查结果如下：(1)试估计该市居民在家吃年夜饭的比例，并给出估计的标准差。

(2)置信度为95%，要求极限绝对误差不超过1%时，按比例和奈曼分配时样本量及各层的样本量分别为多少？3.5.某开发区利用电话调查对区内冷冻食品情况进行调查（各层抽样比忽略）调查后各层样本户购买冷冻食品支出的中间结果如下表：试估计该开发区居民购买冷冻食品的平均支出,以及估计的95%的置信区间。

3.6．某单位欲估计职工的离职意愿，聘请了专业公司来进行调研，公司人员按高级职称、中级职称和初级职称分为3层，已知层权分别为0.2，0.3，0.5,预先猜测各层的总体比例为:0.1，0.2，,0.4，如果采用按比例的分层抽样，要求估计的方差与样本量为100的简单随机抽样相当，则样本量为多少？（不考虑有限总体校正系数）3.7．如果一个大的简单随机样本按类别分为6组，然后按照层的实际大小重新进行加权，这一过程称为事后分层，才用这种方法是由于（判断以下说法的对错）（1）它能比简单随机抽样产生更精确的结果；（2）它能比按比例分配产生更精确的结果；（3）它能比最优分配产生更精确的结果；（4）在抽样时不能得到分层变量；（5）它的估计量方差与真正按比例分层随机抽样的方差差不多。

应用抽样技术第三版课后习题答案应用抽样技术第三版课后习题答案抽样技术是统计学中重要的一部分，它用于从总体中选择一部分样本，以便对总体进行推断。

在应用抽样技术的过程中，我们常常会遇到一些难题和疑惑。

为了帮助读者更好地理解和应用抽样技术，本文将为大家提供《应用抽样技术第三版》课后习题的详细解答。

第一章：抽样方法的基本概念1. 抽样方法的基本概念抽样方法是指从总体中选取一部分样本，以代表整个总体。

常用的抽样方法包括简单随机抽样、分层抽样、整群抽样等。

在选择抽样方法时，需要根据具体问题和研究目的来确定最适合的方法。

2. 简单随机抽样简单随机抽样是指从总体中随机选择样本，使每个样本都有相等的机会被选中。

这种抽样方法适用于总体规模较小且分布均匀的情况。

3. 分层抽样分层抽样是将总体划分为若干个层次，然后从每个层次中随机选择样本。

这种抽样方法适用于总体具有明显层次结构的情况，可以提高样本的代表性。

4. 整群抽样整群抽样是将总体划分为若干个群组，然后从每个群组中随机选择样本。

这种抽样方法适用于总体群组之间差异较大的情况，可以减少抽样误差。

第二章：简单随机抽样1. 简单随机抽样的步骤简单随机抽样的步骤包括确定总体、确定样本容量、编制总体名单、进行随机抽样和分析样本数据。

在确定样本容量时，需要考虑总体的大小、抽样误差和置信水平等因素。

2. 简单随机抽样的应用简单随机抽样广泛应用于各个领域的调查和研究中。

例如，在市场调查中，可以使用简单随机抽样来获取消费者的意见和反馈；在医学研究中，可以使用简单随机抽样来选择研究对象。

第三章：分层抽样1. 分层抽样的步骤分层抽样的步骤包括确定总体、划分层次、确定每层样本容量、进行随机抽样和分析样本数据。

在确定每层样本容量时，需要根据每个层次的重要性和变异程度来确定。

2. 分层抽样的应用分层抽样适用于总体具有明显层次结构的情况。

例如，在教育调查中，可以将学校划分为不同的层次，然后从每个层次中随机选择样本；在人口统计调查中，可以将人口按照年龄、性别等因素划分为不同的层次，然后进行抽样。

第三章分层随机抽样
§3.1 引言
§3.2 估计量
§3.3 样本量在各层的分配§3.4 样本量的确定
附录一
附录二
§3.1 引言⏹定义与特点➢定义
➢特点
※分层抽样的抽样效率高(即分层抽样的估计精度高)。

①层抽样估计量的方差只与层内方差有关，与层间方
差无关。

通过分层，尽可能降低层内差异，使层间差异增大，从而提高估计精度。

②从直观的角度来看，分层抽样可以使样本在总体中
分布比较均匀。

※分层抽样不仅可以对总体指标进行推算，也可以对各层指标进行推算。

▪使用场合
符号说明
§3.2 估计量
⏹总体均值的估计➢简单估计量的定义
➢简单估计量的性质
⏹总体总量的估计➢简单估计量的定义
➢简单估计量的性质
⏹总体比例的估计➢简单估计量的定义
➢估计量的性质
§3.3 样本量在各层的分配 比例分配
➢比例分配下总体均值估计
➢比例分配下总体总值估计
➢比例分配下总体比例估计
最优分配
➢Neyman(内曼)分配
▪考虑估计总体比例P的情形
§3.4 样本量的确定 影响样本量的因素
➢估计总体均值的情形
➢总体参数为P的情形。

分层随机抽样的定义
分层随机抽样是概率抽样中非常重要的抽样技术，它是将被试单位按照经定义
的层次划分为一些抽样单元，并从中按一定的规则以概率抽取样本的一种方法。

分层随机抽样的本质是准备性上进行被试的分类，以各层级单元作为抽样的基础单元，运用概率抽样，在整个被试群体层面上实现样本的平均分布等目的而进行的定量调查方法。

在抽样过程中，被试单位会被先划分到若干个具有明显层次关系的抽样单元，即层级中的被试单元，然后每个层级单元内又按一定的概率抽样。

使用分层随机抽样技术有非常多的好处：一是可以有效的避免抽样的偏差问题，从而获得的数据的准确性和可靠性较高；二是缩小样本量和可行性，不同的被试抽取比例可以做出不同的调整；三是层级参数可以添加或减少，使之更加灵活，灵活应用于各种不同的调查实际中。

然而，分层随机抽样也存在一些弊端，首先，在取样前，要对调查对象进行详
细的分析及具体的定义，比如变量的层级及样本量等；其次，当所要调查的人群是常态分布的时候，分层随机抽样的准确性和可行性相比有可能会降低；最后，分层随机抽样所确定的样本容量和抽样比例通常都不能满足实际的调查要求。

总的来说，分层随机抽样技术可以说是抽样技术中的一个重要技术，它在整体
调查中有着很大的社会价值，但在具体使用时要考虑各方面的因素，以满足调查结果准确和可行性的要求。