２００８年第１０期 ２７ 梯形的三个性质及其应用 俞小敏 （江苏省泰州实验学校，２２５３０ｏ） 题目 如图１ 。 篓ＡＤ Ｂ Ｃ ＡＣ ／１．１ 中，∥，、 ｕ＼＼ ＢＤ交于点０．求 一一一。。－ｃ
（２）因为 ＝ ＡＯ， ＝ （两个等 ：Ｓ ｍ＋２√ｓ． ｔ∞ ｓ ＋ｓ． ｌｃ ＝（ ＋ ） ． 上述梯形的三个性质在几何计算和证明 中，有着极其广泛的应用，现分类举例介绍 如下． １性质１的应用 例１如图２所示， 四边形ＡＢＣＤ是平行四 边形，Ｅ是ＢＣ上一点， 已知△ＤＥＣ的面积是 ２ ００８ ｃｍ２．求△ＢＥＦ的 面积． Ｄ Ｃ Ｆ 图２ （２００５，贵州省安顺市中考题） 分析：要求．ｓ ，，如果想求出底边及底 边上的高是很困难的，但根据已知条件可知 图中有两个梯形：梯形ＡＥＣＤ和梯形ＡＣＦＢ． 只要联结ＡＣ，结合性质１可得．ｓ ＝ ｓ ，ｓ ＝ｓ ，从而由等量关系的传递 性可求得ｓ／＼ ＝２ ００８ ｃ ． ２性质２的应用 例２ 如图１，在梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ ＢＣ，△ＡＯＢ的面积为１８ ｃｍ２，ＯＢ＝３ＤＯ．求 △ＢＯＣ的面积． 知：当０＜‰＜ ｌ时，Ｙ＝ ＋ ＋ｃ的图像 在直线Ｙ＝ 的上方，因此，对于‰的函数值 Ｙ０与 Ｉ的函数值Ｙｌ，有ｙｏ＞Ｙｌ，而ＹＩ＝ ｌ， 所以，当０＜ ｏ＜ ｌ时，Ｙｏ＞ １． 如果说上述解释还不能令人满意的话， 可以考虑从对称轴位置结合做差法人手比较 大小，无论函数 ＝ ＋如＋Ｃ与 轴有无交 Ｌ 点，它的对称轴 ：一 都应该满足 ｂ Ｉ＜一— ＜ ２’ 故２ｘｌ＜一ｂ＜２ｘ２，即一２ｘ２＜ｂ＜一２ｘ１．贝０ ０＋ Ｉ＋ｂ＜ ｏ＋ Ｉ一２ｘｌ＝ 。一 １＜０， 斤 以。 Ｙｏ— １＝（ 。一 １）（ ｏ＋ ｌ＋６）＞０，． 即Ｙ０＞ ｉ．
中学教与学 （２００６，湖南省益阳市中考题） 分析：根据条件Ｓ ∞＝１８ ｃｍ２，Ｏ曰＝ ３ＤＯ，可求得．ｓ ∞，再由性质２，即可求得 △ＢＯＣ的面积． 解：易知 ＝ －３＿ 又Ｓ ｎ日＝１８ ｃｍ２，所以， ．ｓ ｎＤ ６ ｅｍ２． 而由性质２可知， ５ 栅 ｓ ∞’Ｊｓ△腓， 即１８２＝６Ｓ ． 故Ｓ ＝５４ ｃｒｎ２． ． ３性质３的应用 例３如图３，在梯 形ＡＢＣＤ中，ＡＤ／／ＢＣ．已 知ＡＣ和ＢＤ交于点０， ＡＤ：ＢＣ＝２：３，５ ＝ ４ ｃｒｎ２．求．ｓ梯形Ａ蚴． （２００７，湖北省宜昌 图３ Ｃ 市中考题） 分析：欲求ｓ梯形＾肋，现已知．ｓ ∞： ４ ｃＩＩｌ２，只要求出｜ｓ ，再根据性质３就可以 求得梯形ＡＢＣＤ的面积． 解：因为ＡＤ∥Ｂｃ，所以， △ＡＯＤ∽△ＣＯＢ． 故 ＝ ＝（ ） ＝导测 Ｓ△腓＝９ ｃｎ￣． 故ｓ梯形舳四＝（ ＋ ） ＝２５（ｃｒｎ２）． ４性质２和性质３的合用 例４如图４，已知 梯形ＡＢＣＤ（ＡＤ／／ＢＣ） 的对角线交于Ｄ点．设 梯形ＡＢＣＤ的面积为Ｓ， △ＡＯＤ的面积为Ｓ。， △ＢＯＣ的面积为．ｓ２， Ｂ Ｃ 图４ △ＡＤ８的面积为Ｓ，．求证：、／ｒ 、、／ｒ 是方程 一￣／Ｓｘ＋．ｓ ＝０的两个根． （２００６，山东省德州市中考题） 证明：由性质２知， ． Ｓ；＝Ｓ。・Ｓ ， 即、／／５ｌ・、／／Ｓ２＝Ｓ３． ① 又由性质３知，Ｓ＝（￣／Ｓｌ＋、／／ｓ２） ． 所以，、／／５。＋￣／ｓ２＝￣／｜ｓ． ② 故根据一元二次方程根与系数的关系， 及式①、式②知，、／ 、 厂 是方程 一√ ＋ Ｓ ０的两个根． 综上所述：注意研究梯形的上述三个性 质及其应用，对于延伸、拓展教材的内涵，对 于开阔视野、启迪思维、提高综合解题水平， 均颇有益处． 练习题 １．如图５，在矩 形ＡＢＣＤ中，Ｓ Ｉ＝ ２０，Ｓ ＝３５．求四 边形ＰＥＱＦ的面积． （第八届“希望 杯”竞赛题） 图５ 提示：联结ＥＦ，应用性质１求得 ．ｓ四边形聊Ｆ＝５５． ２．如图６，已知梯 形ＡＢＣＤ的面积为 ， ＡＢ ｆ ＣＤ。ＡＢ＝ｂ，ＣＤ： ｆｔ（口＜ｂ），对角线．ＡＣ 与ＢＤ交于点０， △ＢＯＣ的面积为 Ｓ． 求詈． Ｄ Ｃ 图６ 提示：应用性质２可求得詈＝ １． Ｕ 厶 ３．如图６，在梯形ＡＢＣＤ中，ＣＤ／／ＡＢ， ＢＤ交Ａｃ于点０．若Ｓ△＾∞＝１ ０１６ ０６４ ｃｒｎ２， Ｓ蜘＝１ ｃｒｎ２，求Ｓ梯 ＢｃＤ． 提示：应用性质３可求得．ｓ梯形 ＝ ２ ００８２ ｃｍ２：４ ０３２ ０６４ ｃｍ２
《等腰梯形的性质定理和判定定理及其证明》教案
教学目标：
知识目标：理解和掌握等腰梯形的性质定理的内容及简单的应用；
能力目标：通过动手操作，探索等腰梯形的性质及其证明方法，初步培养学生探索问题和研究问题的能力；
情感目标：营造一个相互协作的课堂气氛，引领学生自主探究、集体讨论，激发学生的学习热情；
教学重点与难点：
1、 等腰梯形性质的探究及证明；
2、 等腰梯形性质定理的简单应用。
教学过程：
1、复习旧知，引入新课
填空（1） 的四边形是平行四边形；
（2）
的四边形是平行四边形；
（3） 的四边形是平行四边形；
（4） 的四边形是平行四边形；
（5） 的四边形是平行四边形；
（6）一组对边平行，一组对边相等
的四边形是平行四边形；
用举反例的方法举出有一组对边平行，一组对边相等但并不是平行四边形的图形即等腰梯形，从而由这个错误的判定引出梯形、等腰梯形、直角梯形的定义；我们这节课就来研究等腰梯形的性质。
2、 自主探索、提出猜想
把学生分成以四个人一组的若干小组，提供给每个小组一个等腰梯形的模型，让同学们用各种数学工具通过各种数学方法，如翻折、旋转等来探索等腰梯形有哪些性质？
同学们可能会得出下面一些结论：
（1） 两腰相等；
（2） 两个底角相等；
（3） 等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形；
（4） 两条对角线相等；
………… 3、 交流反馈、共同论证
结论（1）由等腰梯形的定义可以得到而不用证明；
结论（2）的证明探索：（学生讨论交流，提出各自的证明思路）
二氧化氯的性质及其相关反应
候宏卫，贺启环
（南京理工大学环境科学与工程系，南京２１００９４）
摘要：二氧化氯作为一种强氧化剂，由于其在消毒杀菌、除臭除味、脱色、保鲜及水处理等方面
的功能，受到国内外专家广泛关注。本文综述了二氧化氯的物理、化学性质，强氧化性质和
制备，生产二氧化氯的工艺反应以及二氧化氧在水中的无机反应，有机反应，广谱消毒反应。
关键词：二氧化氯；性质；反应
１、引言
二氧化氯（ＣｌＯ。）在水处理中应用始自１９４４年在纽约的尼亚加拉瀑布水处理厂。１９８８年秋。
由于加拿大西部海域被含氯有机物废液污染，政府颁布了法规，进一步限制西部纸浆厂含氯有机物
废液的排放量，要求排放量减少一半以上。这种情况波及美国和西欧国家。因此在许多领域内，用
ＣｌＯ：取代氯气的趋势，在８０年代占主导地位。
作为一种优良水处理剂，ＣＩＯｚ的优点日渐明显：（１）不会与水中腐植酸类物质反应生成致癌的
卤代烃（ＴＨＭＳ）：（２）不与水中的氨反应形成消毒效力低的氯胺；（３）在ｐＨ值较高时消毒效力不会
降低；（４）不会引起微生物长期使用的抗药性。并且ＣｌＯ：是四种常用消毒剂（Ｏ。、ＣｌＯｚ、Ｃ１ｚ和氯胺）
中综合性能最好的，其安全性被世界卫生组织列为ＡＩ级，是一种公认的氯系消毒剂最理想的更换产
品．
２、Ｃ１０：的物理性质
ＣｌＯ：，６７．４６，是在自然界中完全以单体游离基形式存在的少数化合物之一．熔点一５９℃，沸点１１
℃，临界点１５３℃．在冷却并超过一４０℃下，液体ＣＩＯ：为深红色，ＣｌＯ：的蒸气在外观和味道上酷似氯气。ＣｌＯ。气体是一种黄绿色气体，具有与氯相似的刺激性气味。ＣＩＯ。蒸干后（℃）为４９卜５１２托（１托
１３３．３２２Ｐａ），Ｃ１０２的浓蒸气超过大气压强６（Ｐｓｉ）（４１Ｋｐａ）时爆炸，即在５．８Ｐｓｉ（４０Ｋｐａ）时爆炸，压
缩或贮存ＣｌＯ。一切尝试，无论是单独或其他气体结合，在商业上均未成功。水中溶解热（℃）
６．６Ｋｃａｌ／ｍｏｌ，ＣｌＯ：在水中溶解度％与１／ｔ成线性关系。
1．在直角梯形ABCD中AD∥CB，∠A=90°，BD⊥CD，∠DBC=30°，DC=2，则AD=
(1) (2)
2．如图，在直角梯形ABCD中，已知AB=3，AD=CD=5，则对角线AC的长为
3．如果直角梯形的一条底边长为7厘米，两腰长分别为8厘米和10厘米，那么这个梯形的面积是平方厘米．
4．在直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，若AB=4cm，∠C=45°，则CD= cm．
5．在直角梯形ABCD中，∠A为直角，AB∥CD，AB=7，CD=5，AD=2．一条动直线l交AB于P，交CD于Q，且将梯形ABCD分为面积相等的两部分，则点A到动直线l的距离的最大值为 。
6．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，且AD= 21BC，E为AD上一点，AC与BE交于点F，若AE：DE=2：1，则
的面积的面积CBFAEF=
7．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=60°，AD=4，BC=7，则梯形ABCD的周长是
（6） (7) (8)
8．如图1，△ABC是直角三角形，如果用四张与△ABC全等的三角形纸片恰好拼成一个等腰梯形，如图2，那么在Rt△ABC中，
ABAC的值是
9．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=60°，AD=AB．点E，F分别在AD，AB上，AE=BF，DF与CE相交于P，则∠DPE= 度．
(9) (10)
10．等腰梯形的上底、下底和腰长分别为4cm、10cm和6cm，则等腰梯形的下底角为 度．
11．如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，且AC⊥BD，AC=6，则该梯形的高DE等于 （结果不取近似值）．
12．如图是用12个全等的等腰梯形镶嵌成的图形，这个图形中等腰梯形的上底长与下底长的比是.
