高等数学II练习题 第一章 函数

《高等数学》习题参考资料

第一篇 一元函数微积分

第一章 极限与连续

§1 函 数

习 题

1.确定下列初等函数的定义域：(1)

21

)(

2−−+

=

xxx

xf； (2)4)(2−=xxf；(3)

21

arcsin)(−

=x

xf；(4)

2)5lg(

)(

xx

xf−

=；(5) 4lg)5lg()(2−−=xxxf； (6)xxxfcossin)(−=。

1． 【答案】

(1) )},2()2,1()1,(|{:+∞∪−∪−−∞∈=xxD

(2) )},2[]2,(|{:+∞∪−−∞∈=xxD

(3) ]}3,1[|{:;−∈=xxD

(4) )}5,0()0,(|{:∪−∞∈=xxD

(5) ]}4,1[|{:∈=xxD (6)



















+





+∈=+∞

−∞=U

kkkxxDππ

45

2,

41

2|:.

2. 作出下列函数的图象：

（1）|sin|sin)(xxxf−=；(2)|1|2)(−−=xxf；

（3

）







+−−

=

,1,1,21

)(

xxx

xf

.12,21,1||

−<<−<<≤

xxx

2 【答案】 (1)

2(2) 2 (3)

3.判断下列函数的奇偶性：

（1）xxxf++−=11)(；

（2）

xx

xf

xx

+−

+−

=

11

lg

110110

)(；

（3）xxaaxfxxsin)(++=−；

（4）)1lg()(2xxxf++=。

3. 【答案】 (1) 偶函数; (2) 偶函数; (3) 偶函数; (4) 奇函数 .

4.证明:两个奇函数的乘积是偶函数;一个奇函数与一个偶函数的乘积是奇函数。

4． 【答案】 设)(xf,)(xh是奇函数, )(xg是偶函数,)()()(xhxfxf=,

)()()(xgxfxG=, 于是)()()(xhxfxF−−=−))())(((xhxf−−=)()()(xFxhxf==, 因此

)(xF是偶函数.

)()()(xgxfxG−−=−)()(xgxf−=)(xG−=, 因此)(xG是奇函数.

高等数学（本）

第一章 函数与极限

1. 设











3||,03|||,sin|

)(





xxx

x, 求

).2(

446







、、、



























6sin)

6(



21



22

4sin)

4(





0222

)

4sin()

4(







2. 设

xf的定义域为

1,0，问：⑴

2

xf； ⑵

xfsin；

⑶

0aaxf； ⑷

axfaxf 

0a的定义域是什么？

（1）

；，－的定义域为所以知－11)(,111022

xfxx





)12(,2)(sin),()12(21sin0)2(



kkxfZkkxkx

的定义域为所以知由



aaaxfaxaax



1,)(110)3(

－的定义域为所以知－由





时，定义域为当时，定义域为当从而得－

知由

211,

21

011

1010

)4(









aaaaaxaaxa

axax

班级 姓名 学号

2 3. 设











111011

xxx

xf，

x

exg，求

xgf和

xfg，并做出这两个

函数的图形。































1,1,11,

)]([.)20,10,00,1

)]([

1)(,11)(,01)(,1

)]([.)1

1)(

xexxe

exfgxxx

xgf

xgxgxg

xgf

xf从而得

4. 设数列

nx有界, 又,0lim

n

ny 证明: .0lim

nn

nyx



结论成立。从而时，有，当自然数即又有对有界，





..0)(,0,0lim,,0





MMyxyxMyNnNyMxnMx

nnnnnn

nnn



5. 根据函数的定义证明:

⑴ 

813lim

3

x

x

8)13(lim81330

第1章 函数与极限

V.同步练习

第1章 函数、极限与连续

1.1 函数及其性质

一、填空题

1.已知

2

5fxaxbx

且

183fxfxx

, 则a ；b ；

2.

cos21yx

的周期为 ；

3.

函数1

sin,0;

()

0,0.x

fxx

x













 的定义域为 ； 值域为 .

解答:1.

a 4 ;b -1

2. 周期为

；

3. 定义域为

,

; 值域为

1,1

;

二、 设

1,01,

()

2,12.x

fx

x









求函数)3(xf的定义域.

解 1, 01

(),

2, 12x

fx

x









1, 031

(3)

2, 132x

fx

x







1, 32

2, 21x

x









故函数)3(xf的定义域:].1,3[

三、已知函数322

3x

yfxm

xm







, 求它的反函数, 若函数

fx

的图形与它

的反函数的图形重合, 求m

.

解 由32x

y

xm



, 解得2

3my

x

y



. 故反函数为

12

3mx

fx

x



, 因

fx

的图形

与

1

fx

的图形重合, 则322

3xmx

xmx



, 解得3m

.

四、以下函数中哪些是初等函数, 说明理由:

1.yx

; 2. 

0x

yxx

；

3. sin,0

sin,2xx

y

xx









； 4. 1,

0,x

y

x





为有理数

为无理数.

解. 1.是,

因2

yxx

可看作2

,yuux两个幂函数的复合函数;

2. 是, 因lnxxx

yxe可看作,,lnu

yeuxvvx的复合函数;

3. 是, 因sin,0

sin

sin,2xx

yx

xx











;

4. 不是, 因不能由基本初等函数经有限次四则运算或复合运算且能由一个数学式子表示

五、设

专升本高等数学二（函数、极限与连续）模拟试卷1 (题后含答案及解析)

题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题

选择题

1． 下列四组函数中f(x)与g(x)表示同一函数的是 ( )

A．f(x)=tanx，g(x)=

B．f(x)=lnx3，g(x)=3lnx

C．f(x)=，g(x)=

D．f(x)=ln(x2一1)，g(x)=ln(x一1)+ln(x+1)

正确答案：B

解析：A、D选项中，两函数的定义域不同，C选项中，当x＜0时，f(x)≠g(x)，B选项中，f(x)=lnx3=3lnx=g(x)，定义域均为x＞0，故选

B． 知识模块：函数、极限与连续

2． 函数f(x)=是 ( )

A．奇函数

B．偶函数

C．非奇非偶函数

D．不能确定奇偶性

正确答案：B

解析：由于一1＜x＜1，从而定义域关于原点对称，又f(一x)==f(x)，所以函数f(x)为偶函数． 知识模块：函数、极限与连续

3． = ( )

A．

B．1

C．

D．3

正确答案：C

解析：． 知识模块：函数、极限与连续

4． 极限等于 ( )

A．0

B．1

C．2

D．+∞

正确答案：D

解析：因该极限属“”型不定式，用洛必达法则求极限．原式=(ex＋e－x)=+∞． 知识模块：函数、极限与连续

5． 当x→0时，无穷小x+sinx是比x ( )

A．高阶无穷小

B．低阶无穷小

C．同阶但非等价无穷小

D．等价无穷小

正确答案：C

解析：=2，故选

C． 知识模块：函数、极限与连续