数学归纳法

1 数学归纳法1

一、填选题

1、用数学归纳法证明：1+12+13+…+n12-11）在验证n=2成立时，左式是（ ）

（A）1 （B）1+12 （C）1+12+13 （D）1+12+13+14

2、某个与自然数n有关的命题，若n=k时，该命题成立，那么可推得当n=k+1时该命题也成立。现已知当n=5时该命题不成立，那么可推得（ ）

（A）当n=6时该命题不成立 （B）当n=6时该命题成立

（C）当n=4时该命题不成立 （D）当n=4时该命题成立

3、用数学归纳法证明：111123412n-112n=1n+1+1n+2+…+12n，第一步应验证当n=________时，左式是 ，右式是 ，等式成立。

二、解答题

4、用数学归纳法证明：1+a+a2+…+an+1=n+21-a1-a（a≠1）*(nN)

5、用数学归纳法证明：2243131414141n

6、用数学归纳法证明：1+3+6+…+n(n+1)2=n(n+1)(n+2)6*(nN)

2

7、用数学归纳法证明：1111n++++=(nN*)2446682n(2n+2)4(n+1)

8、已知数列{a}n满足*11a1,21()nnaanN，用数学归纳法证明： 21nna

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归纳法与数学归纳法

作者：郑 萍

来源：《神州》2011年第25期

由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法,叫归纳法。推理过程中考察的对象是涉及事件的一部分还是全部,分为不完全归纳法和完全归纳法。

不完全归纳法是根据事物的部分特例得出一般结论的推理方法。我们知道,不完全归纳法是研究数学的一把钥匙，是发现数学规律的一种重要手段，对提高我们数学能力十分重要。

完全归纳法是一种研究事件的所有特殊情况后得出的推理方法，又叫枚举法。它得出的结论是可靠的，通常在事件包括的特殊情况较小时采用。

在高中数学中，我们学习了数学归纳法这种证明与正整数有关的命题方法。与完全归纳法一样，它推出的结论是可靠的。

纵观近年全国各地高考情况可看出，对数学归纳法的考查体现在“观察——归纳——猜想——证明”这种由特殊到一般的思维方法上，解决探索性问题时应具有比较强的观察、分析、归纳、猜想的能力。

如果把要证明的命题记作P（n),则证明步骤为：

（1）证明当n取一个自然数n0时，P(n0)正确。

（2）假设n＝k (k∈n,且k≥n0)时，命题正确。即P(k)正确，证明当n＝k＋1时，P(k＋1)正确。

（3）根据（1）（2）当n≥n0且n∈n0时P(n)正确。

三个步骤缺一不可，步骤（1）是奠定基础，称为归纳基础。步骤（2）反映了无限递推关系。若只有（1）而无（2）只证明了特殊情况下的正确性是不完全归纳法，若是有（2）而无（1），则无法进行递推，步骤（3）是将（1）和（2）相结合。

例：已知数列An 满足A1=1,且4An+1-AnAn+1+2An=9

猜想An的通向公式并用数学归纳法证明。

4An+1-AnAn+1+2An=9

数学归纳法知识点

数学归纳法是数学证明的一种强有力的方法，广泛应用于数论、组合数学、算法分析等多个领域。它的基本思想是通过验证某个性质在初始情况下成立，以及证明当该性质对某个自然数n成立时，它对n+1也成立，从而可以推导出该性质对于所有自然数均成立。数学归纳法不仅增强了数学论证的严谨性，还能帮助发现数学中的规律。

一、数学归纳法的基本步骤

1.基础步：验证命题在n=1或其他小的自然数情况下成立。通常此步被称为“基础案例”或“基础情况”。它是数学归纳法的起始点，确保我们的论证是有基可依的。

2.归纳假设：假设当n=k时，命题成立。这个假设是归纳法的核心，它允许我们利用这种假设来进行进一步的推导。

3.归纳步骤：在归纳假设的基础上，证明当n=k时，命题成立，则在n=k+1时也成立。这一步表明了命题从一个自然数延续到下一个自然数。 二、数学归纳法的应用

1.自然数求和公式：通过数学归纳法可以简单地证明自然数求和的公式，即1+2+...+n=n(n+1)/2。通过验证基础情况n=1和归纳步骤，可以得出这一结论。

2.组合计数：在组合数学中，许多计数问题都可以利用归纳法进行证明，例如证明C(n, k) + C(n, k-1) = C(n+1, k)。

3.算法复杂度：在算法分析中，归纳法用于证明递归算法的时间复杂度。例如，可以对归纳法求解的递推公式进行严格的时间复杂度分析。

三、数学归纳法的性质

1.简洁性：归纳法通过简单的基础案例和归纳步骤，减少了需要直接证明的情况，使得证明过程简单化。

2.广泛性：适用于多种数学命题，不仅限于数论，还适用于几何、组合等各个数学领域。

3.严谨性：归纳法提供了一种结构化的证明方式，使得结果更加严谨，易于理解与复现。 四、数学归纳法的限制

1.适用范围：并非所有命题都适用于数学归纳法，特别是涉及到非自然数的情况。

2.复杂命题：有些复杂命题的归纳步骤可能过于繁琐，难以为归纳假设提供强有力的支撑。

数学归纳法4/27

数学归纳法是证明与数的无限集合（特别是正整数集合）有关的命题的一

种方法．其常见的形式有：第一数学归纳法、第二数学归纳法、反向数学归纳法、二重数学归纳法等．

数学归纳法的应用．

例1设数列{}na满足关系式：（1）112a，（2）nnanaaa221)1(n，试证数列通项公式为1(1)nann．

说明：本例可以使用第一和第二数学归纳法证明．

第二数学归纳法的证明可以概括为：“1对”；假设“k对”，那么“1k也对”．

详细地说，它分为以下三步：

(1)奠基：证明1n时命题成立；

(2)归纳假设：设nk时命题成立；

(3)归纳递推：由归纳假设推出1nk时命题也成立．

例2 求证：第n个质数（将质数由小到大编上序号，2算作第一个质数）np小于22n．

分析：首先注意到121kppp没有质因数kppp,,,21，因此它的质因数都不小于1kp，这就是说1121kkpppp．于是我们设想通过证明

121212kkppp （1）

来达到证明1212kkp的目的，但（1）式的证明必然要用到),,2,1(22kipii．所以，我们不得不改用第二数学归纳法．

因为kppp,,,21都不能整除121kppp，所以121kppp的质因数q不可能是kppp,,,21，而只能大于或等于1kp．

121122222211212+122kkkkkpppp

例3 已知nm,是任意非负整数，证明：若规定1!0，则)!(!!)!2()!2(nmnmnm是正整数．

分析：命题与两个参数nm,有关．我们把m看作常数，对n进行归纳．就得到以下证法． 提示： 0n时，原式=mmCmmm2!!)!2(是正整数，其中m是非负整数．

设当kn时命题成立，即)!(!!)!2()!2(kmkmkm是正整数，其中m是任意非负整数．