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数学归纳法

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全国名校高考数学复习优质学案专题汇编（附详解）

数学归纳法

[考纲解读] 1.了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的命题．(重点)

2.数学归纳法的主要作用是证明与自然数有关的不等式及数列问题．(难点)

[考向预测] 从近三年高考情况来看，对本讲并没有直接涉及，当遇到与正整数n有关的不等式的证明，且其他方法不易证时，可以考虑用数学归纳法进行证明求解.

数学归纳法的定义

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：

1．(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；

2．(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝□01k＋1时命题也成立．

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，上述证明方法叫做数学归纳法．

1．概念辨析

(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立．( )

(2)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项．( )

(3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用．( )

(4)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.( )

答案 (1)× (2)× (3)×

(4)√

2．小题热身

(1)下列结论能用数学归纳法证明的是(

)

A．x>sinx，x∈(0，π)

B．ex≥x＋1(x∈R)

C．1＋12＋122＋…＋12n－1＝2－12n－1(n∈N*) 全国名校高考数学复习优质学案专题汇编（附详解）

D．sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ(α，β∈R)

答案 C

解析 数学归纳法是用来证明与自然数有关的命题的一种方法，由此可知C符合题意．

(2)用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝1－an＋21－a(a≠1，n∈N*)，在验证n＝1时，等式左边的项是( )

A．1 B．1＋a

C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3

答案 C

解析 验证n＝1时，等式左边的项是1＋a＋a2.

(3)用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，当第二步假设n＝2k－1(k∈N*)命题为真时，进而需证n＝________时，命题亦真．

答案 2k＋1

解析 由于步长为2，所以2k－1后一个奇数应为2k＋1.

题型 一 用数学归纳法证明恒等式

设i为虚数单位，n为正整数，θ∈[0,2π)．用数学归纳法证明：(cosθ＋isinθ)n＝cosnθ＋isinnθ.

证明 ①当n＝1时，左边＝右边＝cosθ＋isinθ，所以命题成立；

②假设当n＝k时，命题成立，即

(cosθ＋isinθ)k＝coskθ＋isinkθ，

则当n＝k＋1时，

(cosθ＋isinθ)k＋1＝(cosθ＋isinθ)k·(cosθ＋isinθ)

＝(coskθ＋isinkθ)(cosθ＋isinθ)

＝(coskθcosθ－sinkθsinθ)＋i(sinkθcosθ＋coskθsinθ)

＝cos(k＋1)θ＋isin(k＋1)θ， 全国名校高考数学复习优质学案专题汇编（附详解）

所以当n＝k＋1时，命题成立．

综上，由①和②可得，(cosθ＋isinθ)n＝cosnθ＋isinnθ.

数学归纳法证明等式的思路和注意点

(1)思路：用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少．

(2)注意点：由n＝k时等式成立，推出n＝k＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程．

提醒：归纳假设就是证明n＝k＋1时命题成立的条件，必须用上，否则就不是数学归纳法.

用数学归纳法证明：

121×3＋223×5＋…＋n22n－12n＋1＝nn＋122n＋1(n∈N*)．

证明 ①当n＝1时，左边＝121×3＝13，

右边＝1×1＋12×2×1＋1＝13，

左边＝右边，等式成立．

②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，等式成立．

即121×3＋223×5＋…＋k22k－12k＋1＝kk＋122k＋1，

当n＝k＋1时，

左边＝121×3＋223×5＋…＋k22k－12k＋1＋k＋122k＋12k＋3 全国名校高考数学复习优质学案专题汇编（附详解）

＝kk＋122k＋1＋k＋122k＋12k＋3

＝kk＋12k＋3＋2k＋1222k＋12k＋3

＝k＋12k2＋5k＋222k＋12k＋3＝k＋1k＋222k＋3，

右边＝k＋1k＋1＋12[2k＋1＋1]

＝k＋1k＋222k＋3，

左边＝右边，等式成立．

由①②知，对n∈N*，原等式成立．

题型 二 用数学归纳法证明不等式

用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式1＋131＋15·…·1＋12n－1>2n＋12均成立．

证明 ①当n＝2时，

左边＝1＋13＝43，右边＝52.

∵左边>右边，∴不等式成立．

②假设当n＝k(k≥2，且k∈N*)时不等式成立．

即1＋131＋15·…·1＋12k－1>2k＋12.

则当n＝k＋1时，

1＋131＋15·…·1＋12k－1·1＋12k＋1－1 全国名校高考数学复习优质学案专题汇编（附详解）

>2k＋12·2k＋22k＋1＝2k＋222k＋1

＝4k2＋8k＋422k＋1>4k2＋8k＋322k＋1

＝2k＋32k＋122k＋1＝2k＋1＋12.

∴当n＝k＋1时，不等式也成立．

由①②知对于一切大于1的自然数n，不等式成立．

应用数学归纳法证明不等式应注意的问题

(1)适用范围：当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．

(2)关键：用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k成立，推证n＝k＋1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法等证明.

求证：当n≥1(n∈N*)时，

(1＋2＋…＋n)1＋12＋13＋…＋1n≥n2.

证明 (1)当n＝1时，左边＝右边，命题成立．

当n＝2时，左边＝(1＋2)1＋12＝92>22，

命题成立．

(2)假设当n＝k(k≥2)时命题成立，即

(1＋2＋…＋k)1＋12＋…＋1k≥k2.

则当n＝k＋1时，有

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归纳法与数学归纳法

归纳法与数学归纳法

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归纳法与数学归纳法

作者：郑 萍

来源：《神州》2011年第25期

由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法,叫归纳法。推理过程中考察的对象是涉及事件的一部分还是全部,分为不完全归纳法和完全归纳法。

不完全归纳法是根据事物的部分特例得出一般结论的推理方法。我们知道,不完全归纳法是研究数学的一把钥匙，是发现数学规律的一种重要手段，对提高我们数学能力十分重要。

完全归纳法是一种研究事件的所有特殊情况后得出的推理方法，又叫枚举法。它得出的结论是可靠的，通常在事件包括的特殊情况较小时采用。

在高中数学中，我们学习了数学归纳法这种证明与正整数有关的命题方法。与完全归纳法一样，它推出的结论是可靠的。

纵观近年全国各地高考情况可看出，对数学归纳法的考查体现在“观察——归纳——猜想——证明”这种由特殊到一般的思维方法上，解决探索性问题时应具有比较强的观察、分析、归纳、猜想的能力。

如果把要证明的命题记作P（n),则证明步骤为：

（1）证明当n取一个自然数n0时，P(n0)正确。

（2）假设n＝k (k∈n,且k≥n0)时，命题正确。即P(k)正确，证明当n＝k＋1时，P(k＋1)正确。

（3）根据（1）（2）当n≥n0且n∈n0时P(n)正确。

三个步骤缺一不可，步骤（1）是奠定基础，称为归纳基础。步骤（2）反映了无限递推关系。若只有（1）而无（2）只证明了特殊情况下的正确性是不完全归纳法，若是有（2）而无（1），则无法进行递推，步骤（3）是将（1）和（2）相结合。

例：已知数列An 满足A1=1,且4An+1-AnAn+1+2An=9

猜想An的通向公式并用数学归纳法证明。

4An+1-AnAn+1+2An=9

数学归纳法

数学归纳法

数学归纳法4/27

数学归纳法是证明与数的无限集合（特别是正整数集合）有关的命题的一

种方法．其常见的形式有：第一数学归纳法、第二数学归纳法、反向数学归纳法、二重数学归纳法等．

数学归纳法的应用．

例1设数列{}na满足关系式：（1）112a，（2）nnanaaa221)1(n，试证数列通项公式为1(1)nann．

说明：本例可以使用第一和第二数学归纳法证明．

第二数学归纳法的证明可以概括为：“1对”；假设“k对”，那么“1k也对”．

详细地说，它分为以下三步：

(1)奠基：证明1n时命题成立；

(2)归纳假设：设nk时命题成立；

(3)归纳递推：由归纳假设推出1nk时命题也成立．

例2 求证：第n个质数（将质数由小到大编上序号，2算作第一个质数）np小于22n．

分析：首先注意到121kppp没有质因数kppp,,,21，因此它的质因数都不小于1kp，这就是说1121kkpppp．于是我们设想通过证明

121212kkppp （1）

来达到证明1212kkp的目的，但（1）式的证明必然要用到),,2,1(22kipii．所以，我们不得不改用第二数学归纳法．

因为kppp,,,21都不能整除121kppp，所以121kppp的质因数q不可能是kppp,,,21，而只能大于或等于1kp．

121122222211212+122kkkkkpppp

例3 已知nm,是任意非负整数，证明：若规定1!0，则)!(!!)!2()!2(nmnmnm是正整数．

分析：命题与两个参数nm,有关．我们把m看作常数，对n进行归纳．就得到以下证法． 提示： 0n时，原式=mmCmmm2!!)!2(是正整数，其中m是非负整数．

设当kn时命题成立，即)!(!!)!2()!2(kmkmkm是正整数，其中m是任意非负整数．

数学中的数学归纳法

数学中的数学归纳法

数学中的数学归纳法

数学归纳法是一种证明数学命题的重要方法，常用于证明自然数命题的正确性。它基于两个重要的假设：第一个是基准情形，即当n等于一个特定的值时，命题成立；第二个是归纳假设，即假设当n=k时命题成立，然后证明当n=k+1时命题也成立。通过这种递推的思想，我们可以推导出对所有自然数n都成立的结论。

数学归纳法在数学研究和证明中扮演着重要的角色，它具有以下优势：首先，数学归纳法是一种简洁而有效的证明方法。通过归纳的逻辑推理，可以快速证明数学命题的正确性，减少了繁琐的推导过程。其次，数学归纳法可以用于证明具有递增性质的命题。对于这类问题，我们只需要证明基准情形和归纳假设，就能推导出一般情况的正确性。最后，数学归纳法具有广泛的应用范围。无论是数学领域还是其他科学领域，都可以使用数学归纳法进行推导和证明。

下面通过一些具体的例子来说明数学归纳法的应用。

例一：证明1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1)/2，其中n为正整数。

首先，我们需要证明基准情形，即当n=1时等式成立。显然，1 =

1(1+1)/2，左右两边相等。

其次，我们假设当n=k时等式成立，即1 + 2 + 3 + … + k = k(k+1)/2。然后，我们来证明当n=k+1时等式也成立。

当n=k+1时，左边的表达式可以写成1 + 2 + 3 + … + k + (k+1)。 根据归纳假设，1 + 2 + 3 + … + k = k(k+1)/2，将其代入原式得：k(k+1)/2 + (k+1)。

进行化简得到：[k(k+1) + 2(k+1)]/2 = (k+1)(k+2)/2。

右边的表达式正好等于n(n+1)/2，因此得证。

例二：证明2^n > n，其中n为正整数且n≥4。

基准情形：当n=4时，2^4 = 16 > 4。

归纳假设：假设当n=k时不等式成立，即2^k > k。

然后我们证明当n=k+1时不等式也成立。

数学归纳法 2

数学归纳法 2

“数学归纳法”教学设计

一、教材与内容解析

（一）内容与内容解析

数学归纳法是人教B版普通高级中学教科书数学选修2-2第二章第三节的内容。本节课的主要内容是介绍数学归纳法的原理。

由于正整数具有无穷无尽的特点，有些关于正整数n的命题,难以对n进行一一的验证，从而需要寻求一种新的推理方法，以便能通过有限的推理来证明无限的结论，这是数学归纳法产生的根源。

数学归纳法是一种证明与正整数n有关命题的重要方法。它的独到之处便是运用有限个步骤就能证明无限多个对象，而实现这一目的的工具就是递推思想。

数学归纳法的两个步骤中，第一步是证明的奠基，第二步是递推。递推是实现从有限到无限飞跃的关键，没有它我们就只能停留在对有限情况的把握上。

数学归纳法是以归纳为基础、以演绎为手段证明结论的一种方法，是归纳法与演绎法的完善结合．这也许是数学归纳法不是归纳法但又叫“数学归纳法”的原因．

（二）地位与作用解析

从应用上看，数学归纳法是解决与正整数有关命题的一种推理方法，它将无限多个归纳过程转化为一个有限步骤的演绎过程，是证明与正整数有关问题的重要工具。数学归纳法本质是归纳递推，但它与归纳法有着一定程度的关联。在数学结论的发现过程中，不完全归纳法发现结论，最终利用数学归纳法证明解决问题。

从思想方法上看，数学归纳法蕴含了无限转化为有限的思想，体现了奠基、递推、总结一体的整体思想。

从美学上看，数学归纳法展现了无限与有限的统一美；揭示了有限推证无限，把无限“沦为”有限的思维美；数学归纳法的发展历程展现了数学文化美。

二、教学问题诊断

1．学生已有的经验和基础：(1)学生已有数学归纳法的萌芽和相关经验．虽然学生没有正式学过数学归纳法，但小学的数数、找一列数的规律、高中等差数列和等比数列通项公式的推导过程等等，都蕴含着数学归纳法的萌芽和基础．(2)学生已经有用具有代表性的元素来代替任意的、无穷多的元素的经验．如在线面垂直的定义和证明中，用“平面内任意一条直线”来代表“平面内所有直线”；在讨论函数奇偶性时，用定义域内任意数x来代表定义域内的所有数。(3)学生具有学习数学归纳法的心理需求，如学生希望证明通过归纳推理得到的与正整数有关的命题。（4）学生基本上都知道多米若骨牌效应，但并不清楚其原理以及与数学归纳法的联系。