北师大版高中数学必修一第四单元《函数应用》测试题(含答案解析)
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一、选择题
1．已知汽车从踩刹车到停车所滑行的距离ms与速度km/hv之间有如下关系式：2skMv，其中k是比例系数，且0,kM是汽车及其载重质量之和.若某辆卡车不装货物（司机体重忽略不计）以36km/h的速度行驶时，从刹车到停车需要走20m.当这辆卡车装载等于车重的货物行驶时，为保证安全，要在发现前面20m处有障碍物时能在离障碍物5m及以外处停车，则最高速度是（设司机发现障碍物到踩刹车经过1s）（ ）
A．36km/h B．30km/h C．24km/h D．18km/h
2．已知函数2,0()()21,0xeaxfxaRxx，若函数()fx在R上有两个零点，则a的取值范围是（ ）
A．(,1) B．[2,0) C．(1,0) D．[1,0)
3．已知函数24,?0()7,?0xfxxxxx，()()gxfxxa，若()gx存在两个零点，则a的取值范围是（ ）
A．(﹣4，0] B．(，﹣9)
C．(，﹣9)(﹣4，0] D．(﹣9，0]
4．已知函数21,1()1,1xxxfxxx，若函数()yfxa有三个零点，则实数a的取值范围为（ ）
A．3[4，1] B．3(4，1) C．(0,1) D．3(4，)
5．函数32xyxx的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
6．对任意实数a，b定义运算“”：,1,1bababaab，设214fxxxk，若函数fx的图象与x轴恰有三个交点，则k的取值范围是（ ）
A．2,1 B．0,1 C．0,1 D．2,1
7．设函数11,(,2)(){1(2),[2,)2xxfxfxx，则函数()()1Fxxfx的零点的个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．若对任意0,1m，总存在唯一1,1x使得2e0xmxa成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．1,e B．11,ee C．0,e D．11,ee
9．有一组数据，如表所示：
x 1 2 3 4 5
y 3 5 6.99 9.01 11
下列函数模型中，最接近地表示这组数据满足的规律的一个是（ ）．
A．指数函数 B．反比例函数 C．一次函数 D．二次函数
10．若直角坐标平面内的两点P、Q满足条件：①P、Q都在函数()yfx的图象上；②P、Q关于原点对称，则称点对[]PQ、是函数()yfx的一对“友好点对”（点对PQ、与QP、看作同一对“友好点对”）．已知函数22(0)()2(0)xxfxxxx，则此函数的“友好点对”有（ ）
A．4对 B．3对 C．2对 D．1对
11．双“十一”要到了，某商品原价为a元，商家在节前先连续5次对该商品进行提价且每次提价10%.然后在双“十一”期间连续5次对该商品进行降价且每次降价10%.则最后该商品的价格与原来的价格相比
A．相等 B．略有提高 C．略有降低 D．无法确定
12．若关于x的方程12xaa (a>0，a≠1)有两个不等实根，则a的取值范围是（ ）
A．(0，1)∪(1，+∞) B．(0，1)
C．(1，+∞) D．1(0,)2
二、填空题
13．已知函数2()log(2)fxx与2()()1gxxa，若对任意的1[2,6)x，都存在2[0,2]x，使得12fxgx，则实数a的取值范围是______．
14．已知函数223,ln1,xxxfxxx恰有两个零点，则的取值范围为______.
15．2018年8月31日，十三届全国人大常委会第五次会议表决通过了关于修改个人所得税法的决定，这是我国个人所得税法自1980年出台以来第七次大修.为了让纳税人尽早享受减税红利，在过渡期对纳税个人按照下表计算个人所得税，值得注意的是起征点变为5000元，即如表中“全月应纳税所得额”是纳税者的月薪金收入减去5000元后的余额．
级数 全月应纳税所得额 税率
1 不超过3000元的部分 3%
2 超过3000元至12000元的部分 10%
3 超过12000元至25000元的部分 20%
某企业员工今年10月份的月工资为15000元，则应缴纳的个人所得税为______元.
16．已知fx是以2e为周期的R上的奇函数，当0,xe，()lnfxx，若在区间,2ee，关于x的方程1fxkx恰好有4个不同的解，则k的取值集合是__________.
17．方程2332loglog30xx的解是______.
18．密云某商场举办春节优惠酬宾赠券活动，购买百元以上单件商品可以使用优惠劵一张，并且每天购物只能用一张优惠券．一名顾客得到三张优惠券，三张优惠券的具体优惠方式如下：
优惠券1：若标价超过50元，则付款时减免标价的10%；
优惠券2：若标价超过100元，则付款时减免20元；
优惠券3：若标价超过100元，则超过100元的部分减免18%．
如果顾客需要先用掉优惠券1，并且使用优惠券1比使用优惠券2、优惠券3减免的都多，那么你建议他购买的商品的标价可以是__________元．
19．已知函数3cosfxxx，若不等式12fxkxbkxb对一切实数x恒成立，则21bb的最小值为__________.
20．若关于x的方程1xak（0a且1a）恰有两个解，则k的取值范围是______.
三、解答题
21．已知函数2()29fxxax.
(I)当0a时，设()(2)xgxf，证明：函数()gx在R上单调递增；
(II)若[1,2]x，(2)0xf成立，求实数a的取值范围；
(III)若函数()fx在(3,9)有两个零点，求实数a的取值范围.
22．已知函数1fxxxaxR.
（1）当2a时，求函数gxfxx的零点；
（2）对于给定的正数,a有一个最大的正数Ma，使0,xMa时，都有2fx，试求出这个正数Ma，并求它的取值范围.
23．设()ln,fxx,ab为实数，且0ab，
（1）求方程()1fx的解；
（2）若,ab满足()()fafb，求证：①1;ab②12ab；
（3）在（2）的条件下，求证：由关系式()2()2abfbf所得到的关于b的方程()0,hb存在0(3,4)b，使0()0,hb
24．2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响.为降低疫情影响，某厂家拟尽快加大力度促进生产.已知该厂家生产某种产品的年固定成本为200万元，每生产x千件，需另投入成本为()Cx，当年产量不足80千件时，21()202Cxxx(万元).当年产量不小于80千件时，10000()51600Cxxx(万元).每件商品售价为0.05万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.
（1）写出年利润()Lx(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；
（2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
25．已知函数5()log,(01)5axfxaax，．
（1）判断()fx的奇偶性，并加以证明；
（2）设()log(3)agxx，若方程()1()fxgx有实根，求a的取值范围；
26．如图所示，ABCD是一个矩形花坛，其中6AB米，4AD米．现将矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求：B在AM上，D在AN上，对角线MN过C点，且矩形AMPN的面积小于150平方米．
（1）设AN长为x米，矩形AMPN的面积为S平方米，试用解析式将S表示成x的函数，并确定函数的定义域；
（2）当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求最小面积．
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一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
根据v36km/h时，20ms，求出5324kM，求出司机发现障碍物到踩刹车经过1s，汽车行驶的距离，再由不等式25202518vkMv可解得结果.
【详解】
因为2skMv，且当v36km/h时，20ms，
所以22036kM，∴5324kM，
司机发现障碍物到踩刹车经过1s，汽车行驶的距离为10005(m)360018vv，
由25202518vkMv，得25520518162vv，
即294860vv，解得2718v.
∴则最高速度是18km/h.
故选：D.
【点睛】
关键点点睛：理解题意，找出题目中的不等关系是解题关键.
2．B
解析：B
【分析】 当0x时，()21fxx有一个零点12x，只需当0x时，20xea有一个根，利用“分离参数法”求解即可.
【详解】
因为函数2,021,0xeaxfxxx,
当0x时，()21fxx有一个零点12x，
所以只需当0x时，202xxaeae即有一个根即可，
因为2xye单调递增，当0x时，0,1xe，所以0,2a，即2,0a，
故选：B.
【点睛】
已知函数有零点（方程有根），求参数取值范围的三种常用的方法：
（1）直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
（3）数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后利用数形结合求解．
3．C
解析：C
【分析】
令()()0gxfxxa，将()gx存在两个零点，转化为两函数24,? 0,6,?0xxyayxxxx有两个交点，在同一坐标系中，作出两个函数的图象，利用数形结合法求解.
【详解】
令()()0gxfxxa，
得24,? 06,?0xxaxxxx，
令24,? 0,6,?0xxyayxxxx，
在同一坐标系中，作出两个函数的图象，如图所示：
