(必考题)高中数学必修一第四单元《函数应用》测试卷(有答案解析)

一、选择题

1．已知()fx是定义在R上的奇函数，且当0x时，|2|()12xfx，若关于x的方程2()|1|fxaf2()0xa恰好有四个不同的根1x，2x，3x，4x，则12341111fxfxfxfx的取值范围是（ ）

A．160,81 B．10,16 C．116,1681 D．11,164

2．设函数243,023,0xxxfxxx，若互不相等的实数1x、2x、3x，满足123fxfxfx，则123xxx的取值范围是（ ）

A．5,62 B．5,42 C．2,4 D．2,6

3．已知函数 给出下列三个结论：① 当2a时，函数()fx的单调递减区间为(,1)；② 若函数()fx无最小值，则a的取值范围为(0,)；③ 若1a且0a，则bR，使得函数()yfxb恰有3个零点1x,2x,3x，且1231xxx.

其中，所有正确结论的个数是（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

4．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米，若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为（ ）

A．4.25米 B．4.5米 C．3.9米 D．4.05米

5．激光多普勒测速仪（LaserDopplerVelocimetry，LDV）的工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在被测物体表面汇聚后反射，探测器接收反射光，当被测物体横向速度为零时，反射光与探测光频率相同；当横向速度不为零时，反射光相对探测光发生频移，频移2sin1/hpvf，其中v为被测物体的横向速度，为两束探测光线夹角的一半，为激光波长.如图，用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速度，激光测速仪安装在距离高铁1m处，发出的激光波长为91560nm1nm10m，测得这时刻的频移为98.72101/h，则该时刻高铁的速度约为（ ）

A．320km/h B．330km/h C．340km/h D．350km/h

6．设函数fx是定义在R上的偶函数，对任意xR，都有4fxfx，且当2,0x时，112xfx，若在区间2,10内关于x的方程log201afxxa至少有4个不同的实数根，至多有5个不同的实数根，则a的取值范围是（ ）

A．32,12 B．2, C．1,2 D．31,12

7．若函数32232,01()5,1xxmxfxmxx，恰有2个零点，则m的取值范围是（ ）

A．5,0 B．0,5 C．1[,5)2 D．1(0,]2

8．已知关于x的方程|2|1xm有两个不等实根，则实数m的取值范围是( )

A．(，1] B．(,1) C．[1，) D．(1,)

9．已知函数,0()ln,0xexfxxx，若函数g（x）＝f（x）+2x+lna（a＞0）有2个零点，则数a的最小值是（ ）

A．1e B．12 C．1 D．e

10．用d（A）表示集合A中的元素个数，若集合A={0，1}，B={x|（x2-ax）（x2-ax+1）=0}，且|d（A）-d（B）|=1．设实数a的所有可能取值构成集合M，则d（M）=（ ）

A．3 B．2 C．1 D．4 11．已知fx是奇函数且是R上的单调函数，若函数221yfxfx只有一个零点，则实数的值是（ ）

A．14

B．18 C．78 D．38

12．为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足12212.5lglgmmEE，其中星等为km的星的亮度为(1,2)kEk.已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，则“心宿二”的亮度大约是“天津四”的（ ）倍.（当||x较小时，21012.32.7xxx）

A．1.27 B．1.26

C．1.23 D．1.22

二、填空题

13．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的总金额不超过600元，则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过600元，则超过600元部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算.

某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为30元，则他实际所付金额为____元．

14．对于函数fx，若在定义域存在实数x，满足fxfx，则称fx为“局部奇函数”．若函数423xxfxm是定义在R上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围为______．

15．M是所有同时满足下列条件的函数()yfx的集合：①()yfx的定义域为(0,)；②对任意00x，001()22fxx或0001()fxxx；若对一切()fxM，关于x的方程()fxa恒有解，则实数a的取值集合是___________

16．定义在R上的函数()fx，满足()()fxfx且()(2)fxfx，当01x时，2()logfxx，则方程()fxx在2,2上的实数根之和为___________．

17．某汽车厂商生产销售一款电动汽车，每辆车的成本为4万元，销售价格为6万元，平均每月销量为800辆，今年该厂商对这款汽车进行升级换代，成本维持不变，但为了提高利润，准备提高销售价格，经过市场分析后发现，如果每辆车价格上涨0.1万元，月销量就会减少20辆，为了获取最大利润，每辆车的销售价格应定为__________万元.

18．方程2332loglog30xx的解是______. 19．已知函数2()221fxaxaxax有两个零点，则实数a的取值范围是________.

20．已知函数24()ln(1)xfxe，()2gxxa.若存在,1annnZ，使得关于x的方程()()fxgx有四个不相等的实数解，则n的最大值为_______.

三、解答题

21．已知函数2()29fxxax.

(I)当0a时，设()(2)xgxf，证明：函数()gx在R上单调递增；

(II)若[1,2]x，(2)0xf成立，求实数a的取值范围；

(III)若函数()fx在(3,9)有两个零点，求实数a的取值范围.

22．中国“一带一路”倡议提出后，某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备，生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x台需要另投入成本()Cx（万元）．当年产量不足80台时，21()402Cxxx（万元），当年产量不小于80台时，8100()1012180Cxxx（万元），若每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完．

（1）求年利润y（万元）关于年产量x（台）的函数关系式．

（2）年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？并求出这个最大利润．

23．已知函数22()1,20fxaxxgxxbxx，5101xhxfxxx．

（1）1,3,0xfx恒成立，求实数a的取值范围；

（2）当1a时，若函数gx的图象上存在,AB两个不同的点与hx图象上的'',AB两点关于y轴对称，求实数b的取值范围．

24．某制造商为拓展业务，引进了一种生产体育器材的新型设备．通过市场分析发现，每月需投入固定成本3000元，生产x台需另投入成本C(x)元，且210400040()100001004980040100xxxCxxxx，，，，若每台售价1000元，且每月生产的体育器材月内能全部售完．

（1）求制造商所获月利润L(x)（元）关于月产量x（台）的函数关系式；

（2）当月产量为多少台时，制造商由该设备所获的月利润最大？并求出最大月利润．

25．已知函数5()log,(01)5axfxaax，．

（1）判断()fx的奇偶性，并加以证明；

（2）设()log(3)agxx，若方程()1()fxgx有实根，求a的取值范围； 26．已知函数yfx为二次函数，04f，且关于x的不等式20fx的解集为12xx

（1）求函数fx的解析式

（2）若关于x的方程0fxm有一实根大于1，一实根小于1，求实数m的取值范围

（3）已知1gxx，若存在x使yfx的图象在ygx图象的上方，求满足条件的实数x的取值范围

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一、选择题

1．A

解析：A

【分析】

由奇函数得出()fx的性质，作出函数图象，可知()fxt的解的个数，令()tfx，原方程变为2210tata，根据()fxt的解的情形，可得2210tata有两不等实根且实根12,tt都在(0,3)上，由二次方程根的分布可得a的范围，应用韦达定理得1212,tttt，这样12341111fxfxfxfx就可能用a表示，并根据a的求得结论．

【详解】

由题意(0)0f，0x时，2()()21xfxfx，作出函数()fx的图象，如图，

若0a，则方程2()|1|fxaf2()0xa为2()()0fxfx，()0fx或()1fx()0fx三个解，()1fx有两个解，原方程共有5个解，不合题意，设()tfx，

因此关于t方程2210tata必有两个不等实根，又12212100ttatta，所以120,0tt，从而103t，203t且12tt.

若其中一根为1，则由2110aa，1a时，2110aa无实数解，1a，2110aa，0a或1a，不合题意．因此121,1tt，