数的分类与有理数的概念

有理数复习教案(1) （有理数的有关概念）姓名

【学习目标】

1、掌握有理数的基本概念，学会由数到形的转化，会求一个数的相反数与绝对值、倒数，会比较有理数的大小。

2、掌握科学记数法的概念及相互表示，掌握单位互化。

3、掌握幂的概念及表示

【基础巩固】

例1．收入200元记作+200,那么－100表示_____________________

例2：)2(, 3.5 , 54, －35, 5.2 , 22,0 这些数中

正数有________________ 负数有_______________________分数有__________________

整数有___________________非正整数____________________,非负整数有_________________

注: 非负数指___________非正数指____________，非负整数指_________非正整数指______

例3．画出数轴,在数轴上表示下列各数,并用“>”连接.

+5, －2.5, 21, 211, －|－4|, 0, 3.5

例4．相反数的表示方法,一般的数a的相反数表示为______.2的相反数是____

例5．若x=5,那么x=_____ －5的倒数是_____

例6. 在数轴上,原点右边的点表示______,左边的点表示______.

正数的绝对值是________,负数的绝对值是______,零的绝对值是_____

绝对值最小的数是_______绝对值等于本身的是______绝对值是其相反数的是_______

用“﹤”“﹥”或“=”填空：-6 6，-1 -10 ，-︱-0.4︱ （-4）

例7．2)3(= 23= 2)3(= 2)32(= 322= 2)32(=

4:45:18 PM

1 第一讲 有理数1_有理数、数轴

教师： 学生： 时间：

知识点 对应训练

知识点1：正数、负数的概念

像3、2、0.5、1.8％这样比0大的数叫 ，根据需要，有时在正数前面加上“+”，如+5， ， ， ，…。正数前面的“+”，一般省略不写：而像-3、-2、-3.5％这样在正数前面加上“—”号的数叫 。如-6， ，…。“-6”读作 。

【例1】 下列各数中，哪些是正数？哪些是负数？

-10，1，-0.5，0，36，52，15％，-60，531，22.8

解： 1、下列各数 -11 ，0.2，81，74，1， -1，

-a， -30％中，

（ ）一定是正数，（ ）一定是负数。

知识点2：对“0”的理解。

0既不是 数，也不是 数，它是正数与负数的分水岭。它的意义很特殊，它既可以表示“没有”，也可以表示特定的意义。

【例2】对于“0”的说法正确的有 （ ）

①0是正数与负数的分界； ②0℃是一个确定的温度；

③0是正数；④0是自然数；⑤不存在既不是正数也不是负数的数。

解：

2下列说法正确的有（ ）。

①0是最小的自然数；

②0是整数也是偶数；

③0既非正数也非负数；

④一个数不是正数就是负数；

⑤负数也叫非正数。

⑥一个数，如果不是正数，必定就是负数．

知识点3;用正数和负数表示具有相反意义的量。

相反意义的量必须具有两个要素：一是它们的意义 ；二是它们都具有数量，而且一定是 量。

【例3】下面问题中：

（1） 将水位上升3m时水位变化记作+3m；则水位下降3m时水位变化记作-3m。

有理数的概念（数轴、相反数）

要点一、正数与负数

大于0的数，叫做正数； 像－3、－1.5、12、－584等在正数前面加“－”号的数，叫做负数．

要点二、有理数的分类

1．有理数：整数与分数统称为有理数．

2．有理数的分类：

（1）有理数按性质分类： （2）有理数按符号分类

正整数自然数整数零有理数负整数正分数分数负分数正整数正有理数正分数有理数零（既不是正数，也不是负数）负整数负有理数负分数

【注】注意以下几个概念的区分：

非负数：正数和零；非正数：负数和零；

非负整数：正整数和零；非正整数：负整数和零；

非负有理数：正有理数和零；非正有理数：负有理数和零．

要点三、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.

要点四、相反数：只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0.

类型一、正数和负数

（1）仔细思考以下各对量：

①胜二局与负三局； ②气温为3C与气温升高30C；

③盈利5万元与亏损5万元； ④增加10%与减少20%．

其中具有相反意义的量有（ ）

A．1对 B．2对 C．3对 D．4对

（2）①我国现采用国际通用的公历纪年法，如果我们把公元2017年记作+2017年，那么，处于公元前500年的春秋战国时期可表示为___________．

②如果80m表示向东走80m，那么60m表示________________．

③A，B两地海拔高度分别是120米，10米，则B地比A地低________米．

（3）某饮料公司生产的一种瓶装饮料外包装上印有“60030(ml)”字样，请问“60030(ml)”是什么含义？质检局对该产品抽查5瓶，容量分别为603ml，611ml，589ml，573ml，627ml，问抽查产品的容量是否合格？

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第 1 页 有理数的定义

有理数可分为整数和分数。英文：rational number读音：yǒu lǐ sh整数和分数统称为有理数，任何一个有理数都可以写成分数m/n(m，n都是整数，且n0)的形式。任何一个有理数都可以在数轴上表示。其中包括整数和通常所说的分数，此分数亦可表示为有限小数或无限循环小数。这一定义在数的十进制和其他进位制(如二进制)下都适用。数学上，有理数是一个整数 a 和一个非零整数 b 的比(ratio)，通常写作 a/b，故又称作分数。希腊文称为 ，原意为成比例的数(rational number)，但中文翻译不恰当，逐渐变成有道理的数。 无限不循环小数称之为无理数(例如：圆周率)有理数和无理数统称为实数。所有有理数的集合表示为Q。以下都是有理数：

(1) 整数包含了：正整数、0、负整数统称为整数。

(2)分数包含了：正分数、负分数统称为分数。

(3)小数包含了:有限小数、无限循环小数。而且分数也统称小数，因为分小互化。

如3，-98.11，5.72727272，7/22都是有理数。全体有理数构成一个集合，即有理数集合，用粗体字母Q表示，较现代的一些数学书那么用空心字母Q表示。有理数集是实数集的子集，即Q?R。相关的内容见数系的扩张。有理数集是一个域，即在其中可进展四那么运算(0作除数除外)，而且对于第 2 页 这些运算，以下的运算律成立(a、b、c等都表示任意的有理数)：①加法的交换律 a+b=b+a;②加法的结合律a+(b+c)=(a+b)+c;③存在数0，使 0+a=a+0=a;④乘法的交换律 ab=ba;⑤乘法的结合律 a(bc)=(ab)c;⑥乘法的分配律

a(b+c)=ab+ac。0a=0 文字解释：一个数乘0还等于0。此外，有理数是一个序域，即在其上存在一个次序关系。0的绝对值还是0.有理数还是一个阿基米德域，即对有理数a和b，a0，b0，必可找到一个自然数n，使nba。由此不难推知，不存在最大的有理数。值得一提的是有理数的名称。有理数这一名称不免叫人费解，有理数并不比别的数更有道理。事实上，这似乎是一个翻译上的失误。有理数一词是从西方传来，在英语中是(rational number)，而(rational)通常的意义是理性的。中国在近代翻译西方科学著作，根据日语中的翻译方法，以讹传讹，把它译成了有理数。但是，这个词来源于古希腊，其英文词根为(ratio)，就是比率的意思(这里的词根是英语中的，希腊语意义与之一样)。所以这个词的意义也很显豁，就是整数的比。与之相对，而无理数就是不能准确表示为两个整数之比的数，而并非没有道理(无理数就是无限不循环小数，也是其中一个无理数)。