有理数的分类

有 理 数

有理数的分类 有理数分数：正分数、负分数整数整数：正整数、零、负

有理数负数：负整数、负分数正数：正整数、正分数0

相

反

数

定义 只有符号不同的两个数，称为互为相反数。

性

质

1、 正数的相反数是负数。

2、 负数的相反数是正数。

3、 0的相反数是0。

绝

对

值 定义 一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离。 数a的绝对值记作a

性

质 1、一个正数的绝对值是它的本身， 即：如果,0a，那么a=a

2、一个负数的绝对值是它的相反数，即：如果0a,那么a=-a

3、0的绝对值是0， 即：如果a = 0, 那么a=0

有理数的比较 1、负数正数0

2、两个负数比较，绝对值大的反而小。

倒 数 乘积是1的两个数互为倒数。

数 轴 规定了原点，正方向和单位长度的直线叫做数轴。

实

数

的

分

类 1、 实数无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负有理数零正有理数有理数

2、 2、实数负实数零正实数

有理数中的运算率和运算性质对实数都实用。 有理数的运算

有

理

数

的

运

法

则

加法 1、同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

2、绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，

并用较大的的绝对值减去较小的绝对值。

3、互为相反数的两个数相加得0。

4、一个数同0相加，仍得这个数。

减法 减去一个数，等于加上这个数的相反数

乘法 （1） 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

（2） 任何数同0相乘，都得0。

（3） 几个不等于0的数相乘，积的符号，由负因数的个数决定。

当负因数有奇数个时，积为负，当负因数有偶数个时，积为正

（4）几个因数相乘，有一个因数为0，积就为0。

除法 （1） 除以一个数等于乘上这个数倒数（0不能作除数）。

（2） 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

（3） 0除以任何一个不等于0的数，都得0。

乘方 （1）正数的任何次幂都是正数。

（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。

（3）0到任何正整数次幂都是0.

运

算

率

及

运

算

顺

序

加法 （1） 加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变。

abba

（2） 加法结合律；三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，和不变。cbacba

乘法 （3） 乘法交换律；两个数相乘，交换因数的位置，积不变。baab

（4） 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，积不变。bcacab

（5） 分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。acabcba

运算顺 序 先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。

同类项 定义 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。

合并法则 同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变

去括号法则 （1） 括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不变符号。

（2） 括号前是“—”号，把括号和它前面的“—”号去掉，括号里各项都改变符号。

添括号法则 （1） 添括号后，括号前是“+”号，括到括号里的各项都不变符号。

（2） 添括号后，括号前是“—”号，括到括号里的各项都改变符号。

整式的乘法

同底数幂的乘法

同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 aaanmnm（m、n都是正整数）

幂的乘方

幂的乘方，底数不变，指数相乘。 aamnnm（m、n都是正整数）

积的乘方 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

baabnnn （n是正整数）

单项式相乘 单项式与单项式相乘：把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。2abbxax

单项式与多项式相乘 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 m（a＋b）=ma＋mb

多项式与多项式相乘

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 （m＋n）（a＋b）=ma＋mb＋na＋nb

平方差公式 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。

（a＋b）（a－b）=a2－b2

完全平方公式 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍。

babaab2222

整 式 的 除 法

同底数幂相除 同底数幂相除，底数不变，指数相减。

aaanmnm（a0,m、n都是正整数， 并且mn）.

单项式相除 单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母， 则连同它的指数作为商的一个因式。

多项式除以单项式 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加

一元二次方程

定义 只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

一般形式 形如002acbxax这种形式叫做一元二次方程的一般形式。

其中xa2是二次项，a是二次项系数，bx是一次项，b是一次项系数，c是常数项。

一元二次方程的解法 （1）直接开方法：

形如p2或pnmx2的形式， 可得px或pnmx）

（2）配方法：1）移项（常数项移到等号右边） 2）二次项系数化成1

3）配方（等号左右两边同加一次项系数一半的平方） 4）开方

（3）公式法：aacbxb242

（4）因式分解法（使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0

根的判别式

把acb42叫做一元二次方程的02cbxax的根的判别式，通常用“”表示。

当

。，；，；，没有实数根时有两个相等的实数根时有两个不相等的实数根时000

应 用 （1）按一定速度传播问题： xxx11„=总数（X表示每次传播的数量）

（2）平均变化率问题： xaxaa121„=总数（a为原产值，x为增长率）

（3）边的宽度问题：

（4）匀变速运动问题： 200vvv

匀变速时间=行驶路程÷平均速度

匀变速度=（初速度-末速度）÷匀变速时间

速度×时间=路程

二次根式

数的开方

定

义 如果一个数的平方等于a，这个数叫做a的平方根（或二次方根）。 正数a的正的平方根，叫做正数a的算术平方根，0的算术平方根是0。 如果一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根（或者三次方根）。

性

质 1、一个正数有两个平方根，它们互为相反数。

2、0的平方根是0。

3、负数没有平方根。 非负数的算术根仍是非负数。 1 正数有一个正的立方根。

2 负数有一个负的立方根。

3 0的立方根是0。

记

法

读

法 正数a的平方根记作2a，通常记作a，其中a是被开方数，2是根指数。 正数a的算术平方根记作a。 数a的立方根记作3a，a是被开方数，3是根指数。

平方根 算术平方根 立方根

定义 形如0aa的式子叫做二次根式。“”称为二次根号。

性 质 1、02aaa 2、002aaaaaa 3、aa3

最简二次根式 1）被开方数不含分母。2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式

加 减 先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。

同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次艰式。

乘 除 1、0,0baabba 2、0,0bababa

有理化因式 两个含有二次艰式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，称这两个代数式互为有理化因式。

分母

有 理 化 把分母中的根号化去，叫做分母有理化。

aaaaaa1

babababababa1