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固体物理练习题
其中带 * 的为附加题
第1讲 晶体结构
1.1 画出下列晶体结构的原胞，说明他们的Bravais格子，并标出原胞中原子的坐标。
（1）面心立方金属、氯化钠、金刚石；
（2）体心立方金属、氯化铯。
1.2 利用钢球密堆模型，求致密度：
（1）简单立方；（2）体心立方；（3）六方密堆；（4）金刚石结构。
1.3 证明对于六角密堆积结构，理想的c/a比为（8/3）1/2
≈ 1.633。又：金属Na在273 K
因马氏体相变从体心立方转变为六角密堆积结构，假定相变时金属的密度维持不变，已知立
方相的晶格常数a = 0.423 nm，设六角密堆积结构相的c/a维持理想值，试求其晶格常数。
1.4 画出正四面体的所有基本对称操作。
1.5 写出面心立方晶格的基矢，轴矢，配位数，致密度，体积
1.6 金刚石结构原子间的键间角与立方体的体对角线间的夹角相同，试用矢量分析方法证明
这一夹角为109º28'。
1.7 画出体心立方和面心立方晶格结构的金属在（100），（110）和（111）面上的原子排列。
1.8 指出立方晶格（111）面与（110）面，（111）面与（100）面的交线的晶向。
1.9 如将布拉维格子的格点位置在直角系中用一组数（n
1，n
2，n
3）表示，证明
（1）对于体心立方格子，n
i全部为偶数或奇数；
（2）对于面心立方格子，n
i的和为偶数。
1.10 证明体心立方和面心立方格子互为正、倒格子。
1.11 对于密堆六方结构，原胞基矢为
1
2
33
22
3
22a
a
a
a
c
aij
aij
ak
试求倒格子基矢，并画出第一Brillouin区。
1.12 考虑晶格中的一个晶面hkl
（1）证明倒格矢
123hklGbbb
垂直于这个晶面；
（2）证明晶格中另个相邻平行晶
面的间距为()2/dhkl
G
，对于简单立方晶格有
22222
()/()dhklahkl
。
1.13 证明第一Brillouin的体积为3
(2)/
cV
，其中V
c是晶体原胞的体积。
1.14 * 试求面心立方结构，体心立方结构的结构因子，并讨论衍射的相消条件。
1.15 * 双原子线，设有A-B键长为a/2，ABAB排列……AB，原子A、B的散射因子分别
为f
A，f
B，X射线束垂直作用于原子线。
（1）证明干涉条件为nλ = acosθ，其中θ为衍射束与原子线之间的交角。
（2）倒格矢G = hb，h为整数，证明h为奇数时衍射束的强度正比于│f
A − f
B│2
，h为偶数
时正比于│f
A + f
B│2
。
第2讲 固体结合
2.1 试计算正负离子相间排列的二维正方晶格的马德隆常数。（1.685）
2.2 假如离子晶体NaCl的离子电荷加倍，讨论对晶格常数、结合能以及体弹性模量的影响，
假定排斥势保持不变。
2.3 挤压KCl晶体，多大的压强可使它的晶格常数减小1 %？KCl晶体的晶格常数为R
0=0.314
nm，马德隆常数α = 1.75，n
=9。
2.4 固态分子氢。对于H
2，由气相测量获得的Lennard-Jones参数为ε = 5010-16
erg，σ = 0.296
nm，试计算H
2 晶体具有面心立方结构时的内聚能，要求结果以kJ/mol为单位给出。把每
个H
2 分子作为球体处理。内聚能的观测值为0.751 kJ/mol，比计算值小很多，因此量子修
正在这里一定是很重要的。
2.5 用Lennard-Jones势计算Ne在体心立方和面心立方结构中的结合能之比。
2.6 由实验测得NaCl晶体的密度为2.16 g/cm3
，它的弹性模量为2.41
1010
N/m。试求NaCl
晶体的每对离子内聚能U
c/N。（已知马德隆常数M=1.7476，Na和Cl的原子量分别为23及
35.45）
2.7 由气体分子的实验测得惰性气体Xe的伦纳德-琼斯势参数ε=0.02 eV, σ =0.398 nm。
在低温下Xe元素形成面心立方的晶体。试求Xe晶体的晶格常数a，每个原子的内聚能U
c/N
及体积弹性模量B
m。若对晶体施加压力P=6
105
N/m2
。试在近似假定体积弹性模量不变的
情况下，计算这时晶体的晶格常数a将变成为多少?并求这时的内聚能U
c/N将改变成多少？
2.8 * 原子轨道波函数2s、2p
x、2p
y、2p
z相互正交、归一，请证明由3
sp
杂化后的未配对电子轨道12222
22222
32222
422221
()
2
1
()
2
1
()
2
1
()
2xyz
xyz
xyz
xyzsppp
sppp
sppp
sppp
也相互正交、归一：
*
(,1,2,3,4)
ijijdij
，如果已知在球面极坐标中，轨道波函数2s、2p
x、2p
y、2p
z可写成：22
22
22
221
()
2
13
()sincos
2
13
()sinsin
2
13
()cos
2x
y
zs
p
p
pRr
Rr
Rr
Rr
请求出杂化轨道ψ
1、ψ
2、ψ
3、ψ
4在球面坐标
中的表达式。并由此求出杂化轨道具有最大值的方向。
第3讲 晶格振动和晶体的热学性质
3.1 证明长波下单原子链运动方程2
11
2(2)
nnndu
muuu
dt
可以化为连续介质弹性波动方程：22
2
22uu
v
tx
。
3.2 考虑一双原子链的晶格振动，链上最近邻原子间的力常数交替的等于c和10c， 令原子
量相同，且最近邻距为a/2，试求在q=0和q=π/a处的ω(q)，并大略地画出色散关系。本题
模拟如H
2这样的双原子分子晶体。
3.3 考虑一个全同原子组成的平面方格子，用
,lmu
记第l列，第m行的原子垂直于格平面的
位移，每个原子质量为M，最近邻原子的力常数为
。
（1）证明运动方程为2
,
1,1,,,1,1,
2(2)(2)ml
lmlmlmlmlmlmdu
Muuuuuu
dt
。
（2）设解的形式为：
,(0)exp()
lmxyuuilqamqat
，这里a是最近邻原子的间距，
证明运动方程是可以满足的，如果222coscos
xyMqaqa
，这就是问题的色
散关系。
（3）证明独立解存在的q空间区域是一个边长为2π/a的正方形，这是平面方格子的第一布
里渊区。画出
xqq
，而0
yq
时，和
xyqq
时的ω(q)图。
（4）对于1qa
，证明：21/2221/21/2
()(/)
xyaMqqaMq
。
（5）在第一布里渊区中画出一些等ω线，其中包括通过点(/,0)
xyqaq
的。并请标
出ω的极大点、极小点和鞍点。
3.4 在一维双原子晶格振动的情况中，证明在布里渊区边界q=±π/2a处，声学支格波中所有
轻原子m静止，而光学支格波中所有重原子M静止，画出这时原子振动的图像。
3.5 从一维双原子晶格色散关系出发，当m逐渐接近M和m=M时，在第一布里渊区中，晶
格振动的色散关系如何变化？试与一维单原子链的色散关系比较，并对结果进行讨论。
3.6 设晶体中每个振子的零点振动能是(ħω)/2，试用德拜模型求晶体的零点振动能。
3.7 设三维晶格的光学振动在q = 0附近的长波极限有2
0()qAq
，证明：频率分布函
数1/2
00
23/2
01
()
()
4
0V
f
A
。
3.8 应用德拜模型，计算一维、二维情况下晶格振动的频谱密度，德拜温度，晶格比热。
3.9 证明简谐振动对热膨胀没有贡献。所以研究热膨胀需要考虑非谐效应。
3.10 具有简单立方布喇菲格子的晶体，原子间距为2Å，由于晶格有非线性相互作用，一个
沿[100]方向传播，波矢为q[100]=1.3×1010
m-1
的声子同另一个波矢大小相等但沿[110]的方向
传播的声子相互作用，合并成第三个声子。试求合成后的声子的波矢。
第4讲 能带理论
4.1 电子在周期场中的势能函数
2221
() when ;
()
2
0 when (1);mbxnanabxnab
Vx
nabxnab
，其中ba4
，
为
常数，
（1）画出此势能曲线，并求其平均值；
