说明：
1． 评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．
2． 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可
参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不得增加其他中间档次．
一、（本题满分40分）如图，在锐角ABCD中，M是BC边的中点．点P在
ABCD内，使得AP平分BAC．直线MP与,ABPACPDD的外接圆分别相交于
不同于点P的两点,DE．证明：若DEMP=，则2BCBP=．
证明：延长PM到点F，使得MFME=．连接,,BFBDCE．
由条件可知BDPBAPCAPCEPCEM=
===． ………………10分
因为BMCM=且EMFM=，所以BFCE=且//BFCE．
于是FCEMBDP==，进而BDBF=． ………………20分
又DEMP=，故DPEMFM==．
于是在等腰BDFD中，由对称性得BPBM=．从而22BCBMBP==．
………………40分
二、（本题满分40分）设整数
122019,,,aaa满足
122019199aaa=£££=．
记222
12201913243520172019()()faaaaaaaaaaa=+++-++++．
求f的最小值
0f．并确定使
0ff=成立的数组
122019(,,,)aaa的个数．
解：由条件知
201722222
12201820192
12()
ii
ifaaaaaa
+
==++++-å． ①
由于
12,aa及
2(1,2,,2016)
iiaai
+-=均为非负整数，故有22
1122,aaaa³³，
且2
22()(1,2,,2016)
iiiiaaaai
++-³-=．于是
20162016222
12212220172018
11()()
iiii
iiaaaaaaaaaa
++
==++-³++-=+åå． ②
………………10分 FED
MBCA
P参考答案及评分标准 2019年全国高中数学联合竞赛加试（A卷）由①、②得
历年全国高中数学联赛试题及答案
1．全卷满分120分，考试时间120分钟．试题卷共6页，有三大题，共24小题。
2．全卷答案必须做在答题纸卷Ⅰ、卷Ⅱ的相应位置上，做在试题卷上无效,考试时不
能使用计算器。
参考公式：二次函数 图象的顶点坐标是 。
温馨提示：请仔细审题，细心答题，答题前仔细阅读答题纸上的“注意事项”。
卷Ⅰ（选择题）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分）
1．2的相反数是（ ▲ ）
A． -2 B．2 C．- D．
2．下列计算正确的是 （ ▲ ）
A． Ｂ．9 =3 Ｃ．3-1= -3 Ｄ．2 +3= 5
3．据交通运输部统计，2013年春运期间，全国道路、水路、民航、铁路运送旅客总量超过了3400000000人次，该数用科学记数法可表示为（ ▲ ）
A． B． C． D．
4．如图是由 个相同的正方体搭成的几何体，则其俯视图是（ ▲ ）
5．使分式 无意义的 的值是（ ▲ ）
A. B. C. D.
6．如图，已知 ,若 , ，则 等于（ ▲ ）
A． B． C． D．
7．市委、市政府打算在2015年底前，完成国家森林城市创建．这是小明随机抽取我市10个小区所得到的绿化率情况，结果如下表：
小区绿化率（%） 20 25 30 32
小区个数 2 4 3 1
则关于这10个小区的绿化率情况，下列说法错误的是（ ▲ ）
A．中位数是25% B．众数是25% C．极差是13% D．平均数是26．2%
2014年全国初中数学联赛决赛试题
一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）
1. 已知xy，为整数，且满足
22441111211
()()()
3xyxyxy++=−−，则xy，可能的值有
( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2. 已知非负实数xyz，，满足1xyz++=，则22txyyzzx=++的最大值为( )
A．4
7 B．5
9 C．9
16 D．12
25
3. 在ABC△中，ABAC=，D为BC的中点，BEAC⊥于E，交AD于P，已知
3BP=，1PE=，则AE= ( )
A．6
2 B
．2 C
．3 D
．6
4. 6张不同的卡片上分别写有数字2，2，4，4，6，6，从中取出3张，则这3张卡
片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是( )
A．1
2 B．2
5 C．2
3 D．3
4
5. 设[]t表示不超过实数t的最大整数，令{}[]ttt=−.已知实数x满足3
31
18x
x+=，则1
{}{}x
x+=( )
A．1
2 B
．35− C
．1
(35)
2− D．1
6. 在ABC△中，90C=，60A=，1AC=，D在BC上，E在AB上，使得
ADE△为等腰直角三角形， 90ADE=，则BE的长为( )
A
．423− B
．23− C
．1
(31)
2− D
．31−
二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）
7. 已知实数abc，，满足1abc++=，111
1
abcbcacab++=
+−+−+−，则
abc=
．
8. 使得不等式98
1715n
nk
+对唯一的整数k成立的最大正整数n为
．
9. 已知P为等腰ABC△内一点，ABBC=，108BPC=，D为AC的中点，BD与
PC交于点E，如果点P为ABE△的内心，则PAC=
．
10. 已知正整数,,abc满足:1abc，111abc++=，2bac=，则b=
．
三、（本题满分20分）设实数,ab满足22(1)(2)40abbba+++=，(1)8abb++=，求
参考答案及评分标准 （第 1 页 共 4 页） 2014年全国高中数学联赛（四川）
参考答案及评分标准
说明：
1、评阅试卷时，请依据评分标准.选择题和填空题只设5分和0分两档；其它各题的
评阅，请严格按照评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次.
2、如果考生的解答题方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评阅时可参
考本评分标准适当划分档次评分，5分一个档次，不要再增加其它中间档次.
一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
1、D 2、B 3、A 4、B 5、C 6、C
二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
7、326 8、14 9、80 10、0 11、5 12、28
三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）
13、已知a为常数，函数1
()ln()
1x
fxax
x−
=−
+．
（1）求函数()fx
的单调递减区间；（2）若8
3a=−
，求()fx
的极值．
解：（1）函数()fx
的定义域为(1,1)−
．()ln(1)ln(1)fxxxax=−−+−
，
2112
()
111fxaa
xxx−−
′=−−=−
−+− (5分)
因为11x−<<，故
22
2
1x−
≤−
−；
① 当2a>−
时，()0fx′<
恒成立，故单调递减区间为(1,1)−
；
② 当2a=−
时，(1,0)x∈−
时()0fx′<
；0x=
时()0fx′=
；
(0,1)x∈
时()0fx′<
； 故单调递减区间为(1,1)−
；
③ 当2a<−
时，由()0fx′
22
1a
x−
<
−，即22a
x
a+
>
解得2
1a
x
a+
<<
或者2
1a
x
a+
−<<−
；
故单调递减区间为2
(,1)a
a+
，2
(1,)a
a+
−−
．
综上所述，当2a≥−
时，单调递减区间为(1,1)−
；
当2a<−
时，单调递减区间为2
(,1)a
a+
，2
(1,)a
a+
−−年全国高中数学联赛（四川）试题参考答案及评分标准 （第 2 页 共 4 页） （2）8
