高中数学解题技巧之绝对值方程

【知识要点】

一、去绝对值常用的有两种方法.

方法一：公式法 0||000xxxxxxì>ïï==íï-

方法二：平方法 如：||xa 所以22xa=.（平方时必须保证两边都是非负数）

二、||xa||xaxaxaaxa?<-

三、重要绝对值不等式：||||||||||||ababab

使用这个不等式可以求绝对值函数的最值，先要确定是使用左边还是右边，如果两

个绝对值中间是“-”号，就用左边，如果两个绝对值中间是“+”号，就使用右边.再确定中间的“±”号，不管是“+”还是“-”，总之要使中间是常数.

四、解绝对值不等式常用的方法是零点讨论法和数形结合法.

五、求绝对值()|||xb|fxxa的最值，常用重要绝对值不等式求解，或者利用数形结合求解.

【方法讲评】

题型一 解含一个绝对值的不等式

解题步骤 直接利用公式||xa||xaxaxaaxa?<-

【例1】已知关于错误！未找到引用源。的不等式：错误！未找到引用源。的整数解有且仅有一个值为2．

（1）求整数错误！未找到引用源。的值；（2）在（1）的条件下，解不等式：错误！未找到引用源。．

(2)即解不等式错误！未找到引用源。

【点评】解含一个绝对值的不等式，一般利用公式法解答，解答含两个绝对值的不等式，一般利用零点讨论法.

【反馈检测1】已知函数2()|1|fxx.

（Ⅰ）解不等式()22fxx；

（Ⅱ）设0a，若关于x的不等式()5fxax解集非空，求a的取值范围.

题型二 解含两个绝对值的不等式

解题步骤 一般使用零点讨论法和数形结合法求解.

【例2】已知函数12fxxx。

（Ⅰ）求不等式6fx的解集；

（Ⅱ）若存在实数x满足2logfxa，求实数a的取值范围.

【解析】（Ⅰ）1,1,1231,10,1,0.xxfxxxxxxx

则不等式6fx等价于1,16xx或10,316xx或0,16.xx

绝对值与不等式的解法

绝对值和不等式是高中数学中重要的概念和解题方法。绝对值常常出现在不等式中，对于解决这类问题，我们需要掌握一些基本的解法和技巧。本文将介绍绝对值与不等式的解法，包括绝对值不等式和绝对值方程两个方面。

一、绝对值不等式的解法

绝对值不等式是指形如 |f(x)| ≤ g(x)，或 |f(x)| ≥ g(x) 这样的数学不等式。解决这类问题的关键在于将绝对值不等式转化为不等式组或分段函数。

下面以一个具体的例子来说明解答绝对值不等式的步骤。

例题：解不等式 |2x - 3| ≤ 5

首先，我们需要根据绝对值的定义进行分情况讨论。当 2x - 3 ≥ 0

时，|2x - 3| = 2x - 3；当 2x - 3 < 0 时，|2x - 3| = -(2x - 3)。

针对每一种情况，我们可以得到以下两个不等式：

当 2x - 3 ≥ 0 时，2x - 3 ≤ 5，解得 x ≤ 4；

当 2x - 3 < 0 时，-(2x - 3) ≤ 5，解得 x ≥ -1。

因此，综合两种情况的解集，得到最终的解为 -1 ≤ x ≤ 4。

二、绝对值方程的解法 绝对值方程是指形如 |f(x)| = g(x) 的方程。解决这类问题的关键在于将绝对值方程转化为分段函数，并通过分析不同情况求解。

下面以一个具体的例子来说明解答绝对值方程的步骤。

例题：解方程 |4x - 7| = 3

同样地，我们根据绝对值的定义进行分情况讨论。当 4x - 7 ≥ 0 时，|4x - 7| = 4x - 7；当 4x - 7 < 0 时，|4x - 7| = -(4x - 7)。

针对每一种情况，我们可以得到以下两个方程：

当 4x - 7 ≥ 0 时，4x - 7 = 3，解得 x = 2；

当 4x - 7 < 0 时，-(4x - 7) = 3，解得 x = 1/4。

因此，综合两种情况的解集，得到最终的解为 x = 2 或 x = 1/4。

高中数学解题技巧之绝对值方程

绝对值方程是高中数学中常见的一种题型，考察学生对绝对值的理解和运用能力。在解绝对值方程时，我们需要注意一些特殊情况和常用的解题方法。

一、绝对值方程的定义和性质

绝对值是一个数与0之间的距离，用符号表示为|a|，其中a为任意实数。绝对值的定义如下：

当a≥0时，|a|=a；

当a<0时，|a|=-a。

绝对值方程是一个含有绝对值符号的方程，通常形式为|f(x)|=g(x)，其中f(x)和g(x)都是关于x的函数。解绝对值方程的关键是找出使得等式成立的x的值。

二、绝对值方程的解题方法

1. 分类讨论法

当绝对值方程中只有一个绝对值符号时，我们可以通过分类讨论的方法来解题。例如，解方程|2x-1|=3，我们可以分两种情况进行讨论：

情况一：2x-1≥0，即x≥1/2。此时，方程可以简化为2x-1=3，解得x=2。

情况二：2x-1<0，即x<1/2。此时，方程可以简化为-(2x-1)=3，解得x=-1。

所以，绝对值方程|2x-1|=3的解为x=2和x=-1。

2. 去绝对值法

当绝对值方程中只有一个绝对值符号时，我们可以通过去绝对值的方法来解题。例如，解方程|2x-1|=3，我们可以将方程改写为以下两个方程： 2x-1=3，解得x=2；

2x-1=-3，解得x=-1。

所以，绝对值方程|2x-1|=3的解为x=2和x=-1。

3. 平方法

当绝对值方程中有两个绝对值符号时，我们可以通过平方的方法来解题。例如，解方程|2x-1|+|x-3|=5，我们可以进行以下步骤：

步骤一：设2x-1=a，x-3=b，将方程转化为|a|+|b|=5；

步骤二：根据绝对值的性质，可以得到以下四种情况：

情况一：a≥0，b≥0，此时方程化简为a+b=5；

情况二：a≥0，b<0，此时方程化简为a-b=5；

情况三：a<0，b≥0，此时方程化简为-b+a=5；

情况四：a<0，b<0，此时方程化简为-b-a=5；

高中数学绝对值函数的应用实例及解题方法

绝对值函数是高中数学中常见的一种函数形式，它在数学建模和实际问题中具有广泛的应用。本文将通过具体的实例，来介绍绝对值函数的应用和解题方法，帮助高中学生更好地理解和掌握这一知识点。

一、求解绝对值不等式

绝对值不等式是绝对值函数应用的重要形式之一。我们以一个简单的例子开始，假设有如下的不等式：

|2x - 1| < 3

要求解这个不等式，我们可以将其拆分为两个不等式，即：

2x - 1 < 3 和 2x - 1 > -3

解得：

x < 2 和 x > -1

所以，原始的不等式的解集为 -1 < x < 2。

这个例子展示了如何通过拆分不等式来求解绝对值不等式，这也是解决绝对值不等式常用的方法之一。

二、求解含有绝对值的方程

除了不等式，绝对值函数还常常出现在方程的解中。我们以一个实际问题为例，来说明如何求解含有绝对值的方程。

例题：某地的温度每天都在变化，已知温度的变化规律可以用函数T(t) = |t - 5|

- 3来表示，其中t表示时间（单位：小时），T(t)表示温度（单位：摄氏度）。现在要求解在什么时间温度为0度。 解答：根据题意，我们需要求解方程|t - 5| - 3 = 0。

将绝对值函数的定义展开，得到两个方程：

t - 5 - 3 = 0 或者 -(t - 5) - 3 = 0

解得：

t = 8 或者 t = 2

所以，温度为0度的时间有两个解，分别是t = 8和t = 2。

这个例子展示了如何通过将绝对值函数的定义展开，来求解含有绝对值的方程。这是解决这类问题常用的方法之一。

三、绝对值函数在距离和模型中的应用

绝对值函数在距离和模型中的应用也是高中数学中的重要内容。我们以一个典型的例子来说明。

例题：甲、乙两地相距200公里，甲地有一辆车以每小时50公里的速度往乙地行驶，乙地有一辆车以每小时40公里的速度往甲地行驶。问多少小时后，两车相遇？