解绝对值方程式

谈谈如何解含绝对值的方程

施静忠

绝对值概念在初中代数，乃至初等数学中，均占有相当重要的地位。解含绝对值的方程在初中数学竞赛中经常出现，同学们往往感到困惑，难于解答。下面举例说明解这类方程的几种常用方法。

一. 运用基本公式：若，则解方程

例1. 解方程

解：去掉第一重绝对值符号，得

移项，得或 所以

所以原方程的解为：

例2. 解方程 解：因为 所以 即 或

解方程（1），得

解方程（2），得 又因为，所以 所以原方程的解为 二. 运用绝对值的代数意义解方程

例3. 方程的解的个数是（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4或4以上 解：方程可化为 所以

所以方程的解有无数个，故选（D）。

三. 运用绝对值的非负性解方程

例4. 方程的图像是（ ）

A. 三条直线：

B. 两条直线：

C. 一点和一条直线：（0，0），

D. 两个点：（0，1），（-1，0） 解：因为 而 所以

所以原方程的图象为两个点（0，1），（-1，0）

故选（D）。 四. 运用绝对值的几何意义解方程

例5. 解方程 解：设，由绝对值的几何意义知

所以 又因为 所以 从数轴上看，点落在点与点的内部（包括点与点在内），即原方程的解为。

五. 运用方程的图象研究方程的解

例6. 若关于x的方程有三个整数解，则a的值是（ ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 解：作的图象，如图1所示，由于方程解的个数就是直线与的图象的交点个数，把直线平行于x轴上、下移动，通过观察得仅当时方程有三个整数解。故选（B）。

图1

同时，我们还可以得到以下几个结论：

（1）当时，方程没有解；

（2）当或时，方程有两个解；

（3）当时，方程有4个解。

１ 含绝对值的不等式解法

一. 预习知识

1、知识链接：

实数x的绝对值的定义是：

绝对值的意义是：x

归纳：.若a>0,则xa xa

若c>0,则baxc cbax

二. 典型例题

例1.解不等式：75x22

练习. 解不等式：92x2

２ 例2.解不等式：xx21

练习. 解不等式：1x1x2

例3.解不等式：123x2x

练习. 解不等式：64x1x

３ 三. 基础训练

1.不等式3x21的解集是

2.不等式63x1的解集是

3.已知不等式82ax的解集为5x3x则a

4.已知集合21xxA，11xxB则BA

5.解下列不等式

（1）138x3

（2）12x43

４ 归纳总结：

1．绝对值的几何意义：||x是指数轴上点x到原点的距离；12||xx是指数轴上12,xx两点间的距离

2．当0c时，||axbcaxbc或axbc，

||axbccaxbc；

当0c时，||axbcxR，||axbcx．

3．解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，去掉绝对值的主要方法有：

（1）公式法（2）类比转化法（3）零点分段法（4）数形结合法

（5）两边平方法

解下列不等式：

（1）4|23|7x；

（2）|2||1|xx；

（3）|21||2|4xx．

带绝对值符号的运算

在初中数学教学中，如何去掉绝对值符号？因为这一问题看似简单，所以往往容易被人们忽视。其实它既是初中数学教学的一个重点，也是初中数学教学的一个难点，还是学生容易搞错的问题。那么，如何去掉绝对值符号呢？我认为应从以下几个方面着手：

一、要理解数a的绝对值的定义。在中学数学教科书中，数a的绝对值是这样定义的，“在数轴上，表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值。”学习这个定义应让学生理解，数a的绝对值所表示的是一段距离，那么，不论数a本身是正数还是负数，它的绝对值都应该是一个非负数。

二、要弄清楚怎样去求数a的绝对值。从数a的绝对值的定义可知，一个正数的绝对值肯定是它的本身，一个负数的绝对值必定是它的相反数，零的绝对值就是零。在这里要让学生重点理解的是，当a是一个负数时，怎样去表示a的相反数（可表示为“-a”），以及绝对值符号的双重作用（一是非负的作用，二是括号的作用）。

三、掌握初中数学常见去掉绝对值符号的几种题型。

1、对于形如︱a︱的一类问题

只要根据绝对值的3个性质，判断出a的3种情况，便能快速去掉绝对值符号。

当a>0时，︱a︱=a (性质1：正数的绝对值是它本身) ；

当a=0 时︱a︱=0 (性质 2：0的绝对值是0) ；

当 a<0 时；︱a︱=–a (性质3：负数的绝对值是它的相反数) 。

2、对于形如︱a+b︱的一类问题

首先要把a+b看作是一个整体，再判断a+b的3种情况，根据绝对值的3个性质，便能快速去掉绝对值符号进行化简。

当a+b>0时，︱a+b︱=(a+b) =a +b (性质1：正数的绝对值是它本身) ；

当a+b=0 时，︱a+b︱=(a+b) =0 (性质 2：0的绝对值是0)；

当 a+b<0 时，︱a+b︱=–(a+b)=–a-b (性质3：负数的绝对值是它的相反数)。

怎么解绝对值方程

1. 什么是绝对值方程

绝对值方程是一个包含绝对值符号的方程，形如：|x| = a，其中a为一个实数。绝对值符号表示取绝对值，即将其内部的数去掉符号变成正数。因此，绝对值方程|x| = a 的解就是使得|x|等于a的x的取值。

2. 解一元一次绝对值方程

2.1 绝对值的定义

首先我们需要了解绝对值的定义。一个数x的绝对值（记作|x|）定义如下：

• 如果x大于等于0，则|x| = x

• 如果x小于0，则|x| = -x

所以，当我们遇到一个带有绝对值符号的表达式时，我们需要根据其内部的数是正数还是负数来分情况讨论。

2.2 解法步骤

下面介绍解一元一次绝对值方程的步骤：

1. 将方程拆分为两个不同情况下的等式，并去掉绝对值符号。

– 如果 x 大于等于 0，则 |x| = x

– 如果 x 小于 0，则 |x| = -x

2. 对每个情况下得到的等式进行求解。

3. 得到的解即为原方程的解。

2.3 示例

假设我们需要解方程 |x - 2| = 3。按照上述步骤，我们可以进行如下计算：

情况1：x - 2 大于等于 0

根据绝对值的定义，得到 |x - 2| = x - 2。将其代入原方程，得到：

x - 2 = 3

解这个一元一次方程，可以通过移项和合并同类项的方法得到结果：

x = 5 情况2：x - 2 小于 0

根据绝对值的定义，得到 |x - 2| = -(x - 2)。将其代入原方程，得到：

-(x - 2) = 3

同样地，解这个一元一次方程，可以通过移项和合并同类项的方法得到结果：

• x + 2 = 3

• x = 1

所以，绝对值方程 |x - 2| = 3 的解为 x = 5 和 x =1。

解多元一次绝对值方程

当绝对值符号出现在多元一次方程中时，我们也可以通过分情况讨论来求解。

解法步骤

下面介绍解多元一次绝对值方程的步骤：

1. 将每个含有绝对值符号的表达式拆分为两个不同情况下的等式，并去掉绝对值符号。