相似三角形的基本定义和性质

相似三角形的基本概念与性质相似三角形作为几何学中的重要概念之一，广泛应用于实际生活和工程领域。

相似三角形具有一些特定的属性和性质，对于理解和解决几何问题有着重要的指导作用。

本文将介绍相似三角形的基本概念与性质，并探讨其在实际问题中的应用。

一、相似三角形的定义相似三角形是指具有相等角度的三角形，其对应的边长之比也相等。

具体而言，对于两个三角形ABC和DEF，如果它们的对应角度相等，则可以记作∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。

若三角形的边长比例恒定，则可以记作AB/DE=BC/EF=AC/DF。

这种边长比例的恒定性是相似三角形的核心特点。

二、相似三角形的性质1. 对应角的相等性：已知两个三角形相似，可得到它们对应的角度相等。

2. 边长比例的恒定性：已知两个三角形相似，可得到它们对应边长的比例是恒定的。

3. 周长比例的恒定性：若两个三角形相似，则它们的周长之比等于任意两条对应边之比。

4. 面积比例的恒定性：若两个三角形相似，则它们的面积之比等于任意两条对应边平方的比。

5. 高度比例的恒定性：若两个三角形相似，则它们的任意两个对应高度之比等于任意两条对应边之比。

三、相似三角形的应用相似三角形的性质在实际问题中具有广泛的应用，以下列举几个常见的应用场景。

1. 测量高距离：通过相似三角形的性质，可以利用影子定理等方法来测量高距离。

例如，可以利用自己身高和影子长度的比例，求得高楼的高度。

2. 图像的放缩：在图像处理或者绘画中，通过相似三角形的性质，可以实现图像的放大和缩小。

只需保持相似三角形的边长比例不变，即可达到图像的放缩效果。

3. 飞机的迎角：在飞行学中，飞机的迎角对于起降和飞行安全至关重要。

通过相似三角形的性质，可以利用飞机的视角和飞行速度的比例，来判断飞机的迎角。

4. 三角测量和导航：在测量和导航领域，利用相似三角形的性质可以进行三角测量和方位导航。

例如，通过估算两个位置的视角差和距离，可以确定自己的位置或者目标位置。

相似三角形的概念相似三角形，顾名思义，是指两个三角形的形状相似或者相等。

在数学中，相似三角形是一个重要的概念，它具有广泛的应用，包括测量、图形推理和几何证明等领域。

了解相似三角形的概念和性质，有助于我们更好地理解和解决与三角形相关的问题。

一、相似三角形的定义和性质在数学中，相似三角形的定义如下：如果两个三角形的对应角度相等，那么它们是相似三角形。

即使它们的边长不相等，相似三角形的形状仍然相似。

相似三角形具有一些重要的性质，包括比例关系和角度关系。

1.比例关系：相似三角形的对应边长之比是相等的。

具体来说，如果两个三角形ABC和DEF相似，对应边长之间的比例关系为：AB/DE = AC/DF = BC/EF。

这个性质可以用来求解未知边长和测量角度。

2.角度关系：相似三角形的对应角度相等。

具体来说，如果两个三角形ABC和DEF相似，对应角度之间是相等的：∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。

这个性质可以用来推导其他角度，或者证明两个三角形相似。

二、相似三角形的判定方法如何判断两个三角形是否相似？有几种方法可以确定两个三角形是否相似。

1.角度判定法：如果两个三角形的对应角度相等，则它们是相似的。

这个方法是最常用且最简单的判定方法。

通过比较三角形的角度，可以快速判断它们是否相似。

2.边长比较法：如果两个三角形的对应边长比例相等，则它们是相似的。

这种方法通常用于测量未知边长或者验证已知长度的相似三角形。

3.边角对应法：如果两个三角形的一个角和一边对应相等，而其他两个角和两边对应相等，则它们是相似的。

这个方法可以用于复杂的三角形，通过边角对应关系来判断它们的相似性。

三、相似三角形的应用相似三角形的概念和性质在数学中有广泛的应用，特别是在几何学和三角学中。

1.测量与比例：通过相似三角形的比例关系，可以快速计算未知长度。

例如，在实际测量中，如果我们知道一个三角形的边长和角度，可以利用相似三角形的性质，求解其他未知边长。

相似三角形的基本定义与性质相似三角形是中学数学中一个非常重要的概念。

在几何学中，相似三角形是指具有相同形状但不一定相等的三角形。

本文将介绍相似三角形的基本定义与性质，以帮助读者更好地理解和运用相似三角形的知识。

1. 基本定义：相似三角形的定义是：两个三角形的对应角度相等，对应边线之比相等。

换句话说，如果两个三角形的三个角度分别相等，且三边之比相等，那么它们就是相似三角形。

例如，若三角形ABC和三角形DEF的对应角度分别是∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，且边线之比为AB/DE=BC/EF=AC/DF，那么三角形ABC与三角形DEF就是相似三角形。

2. 性质一：相似三角形的对应边线比例相等如果两个三角形相似，那么它们的对应边线之比相等。

也就是说，如果三角形ABC与三角形DEF相似，则有AB/DE=BC/EF=AC/DF。

这一性质在实际应用中非常有用。

例如，当我们在地图上测量两个城市之间的距离时，可以利用相似三角形的边线比例来计算实际距离。

3. 性质二：相似三角形的对应角度相等如果两个三角形相似，那么它们的对应角度相等。

也就是说，如果三角形ABC与三角形DEF相似，则有∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。

这一性质使我们能够根据已知的相似三角形，推导出其他角度的大小关系。

例如，如果我们已知两个三角形相似，且其中一个角度的大小，就可以通过对应角度相等的性质，计算出其他角度的值。

4. 性质三：相似三角形的边线比例等于对应边线的平方如果两个三角形相似，那么它们的边线比例等于对应边线的平方。

也就是说，如果三角形ABC与三角形DEF相似，则有AB/DE=BC/EF=AC/DF=(AB/DE)^2=(BC/EF)^2=(AC/DF)^2。

这一性质可以应用于解决各种问题。

例如，当我们已知三角形的某一边线比例，可以利用相似三角形的边线比例等于对应边线的平方的性质，计算其他边线的比例。

综上所述，相似三角形的基本定义与性质已经介绍完毕。

相似三角形的基本概念和性质相似三角形是几何学中的重要概念之一，它在解决实际问题和计算中有着广泛的应用。

了解相似三角形的基本概念和性质对于理解几何学的相关知识以及解决问题都有着重要的意义。

本文将介绍相似三角形的概念以及与之相关的一些性质，并着重讨论应用相似三角形进行尺度计算和几何分析的方法。

一、相似三角形的基本概念相似三角形是指两个三角形的对应角度相等，并且对应边比例相等的三角形。

具体来说，对于两个三角形ABC和DEF，如果有∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，并且AB/DE = BC/EF = AC/DF，那么这两个三角形就是相似的。

相似三角形有着相似的形状，但尺寸大小可能不同。

二、相似三角形的性质1. 相似三角形的对应角度相等：对应角度相等是相似三角形的基本性质，它说明了两个相似三角形具有相似的形状。

如果两个三角形的对应角度相等，那么它们就是相似的。

2. 相似三角形的对应边比例相等：对应边比例相等是相似三角形的另一个重要性质。

如果两个三角形的对应边比例相等，那么它们就是相似的。

这一性质可以用来计算相似三角形的边长比例。

3. 相似三角形的周长比例相等：对于相似三角形ABC和DEF，它们的边长比例为AB/DE = AC/DF = BC/EF，所以这两个三角形的周长比例也为AB+BC+AC/DE+EF+DF = AB/DE = AC/DF = BC/EF。

这个性质说明了相似三角形的周长比例是相等的，也就是说，相似三角形的边长比例与其周长比例相等。

4. 相似三角形的面积比例为边长比例的平方：如果两个相似三角形ABC和DEF之间的边长比例为k，那么它们的面积比例为k²。

这一性质可以用来计算相似三角形的面积比例。

三、相似三角形的应用相似三角形的性质在实际问题中有着广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：1. 尺度计算：相似三角形的性质可以用来进行尺度计算。

例如，在地图上测量两个城市的距离时，可以利用相似三角形的性质来计算实际距离与地图比例尺之间的关系。

相似三角形及其性质相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。

在这篇文章中，我们将讨论相似三角形的性质以及与它们相关的一些重要定理和公式。

一、相似三角形的定义相似三角形是指两个三角形的对应角相等，且对应边成比例。

用数学语言描述就是：如果∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，并且AB/DE = AC/DF = BC/EF，则三角形ABC和DEF是相似的。

二、相似三角形的性质1. 相似三角形的边比例关系：假设三角形ABC和DEF相似，边长比例的关系可以表示为AB/DE = AC/DF = BC/EF。

这意味着相似三角形的任意两条边之比都相等。

2. 相似三角形的角度关系：相似三角形的对应角相等，即∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。

这是相似三角形的重要性质之一。

3. 相似三角形的周长比例关系：相似三角形的周长比例等于它们任意两条边比值的比例。

假设三角形ABC和DEF相似，则AB+BC+AC/DE+EF+DF = AB/DE = AC/DF = BC/EF。

4. 相似三角形的面积比例关系：相似三角形的面积比例等于它们任意两条边长度平方的比例。

假设三角形ABC和DEF相似，则三角形ABC的面积与三角形DEF的面积的比值等于AB²/DE² = AC²/DF² = BC²/EF²。

三、相似三角形的重要定理1. AA相似定理（角-角相似定理）：如果两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似。

例如，如果∠A = ∠D，∠B = ∠E，则三角形ABC与DEF相似。

2. SSS相似定理（边-边-边相似定理）：如果两个三角形的对应边成比例，且对应边的比例相等，则这两个三角形相似。

例如，如果AB/DE = AC/DF = BC/EF，则三角形ABC与DEF相似。

3. SAS相似定理（边-角-边相似定理）：如果两个三角形的一个内角相等，且两边分别成比例，则这两个三角形相似。

相似三角形的性质相似三角形是初中数学重要的概念之一，它们有着特定的性质和应用。

在本文中，我们将探讨相似三角形的定义、性质以及应用。

一、相似三角形的定义相似三角形指的是具有相同形状但大小不同的三角形。

两个三角形相似的条件是：它们对应角度相等，或者它们的对应边比例相等。

基于这个定义，我们可以得出以下相似三角形的性质和定理。

二、相似三角形的性质1. AA相似定理：如果两个三角形的对应角度相等，那么它们是相似的。

2. SSS相似定理：如果两个三角形的对应边比例相等，那么它们是相似的。

3. SAS相似定理：如果两个三角形的一个内角相等，且对应边比例相等，那么它们是相似的。

4. 相似三角形中，对应边的比例关系是恒定的，我们可以表示为a/b = c/d = e/f。

其中，a、b、c、d、e、f分别表示两个相似三角形的对应边。

5. 相似三角形的高、中线和角平分线也成比例。

三、相似三角形的应用1. 测量无法直接获得的长度：我们可以利用相似三角形的性质，通过已知长度和已知角度的三角形推导出其他长度的值。

例如，可以利用相似三角形的边比例关系来测量高楼的高度。

2. 解决间接测量问题：相似三角形的性质也可以应用于间接测量问题。

例如，当我们无法直接测量河流宽度时，可以通过测量自己位置与河对岸某一点之间的距离及角度，运用相似三角形的理论来计算出河流的宽度。

3. 几何证明：相似三角形的性质在几何证明中也起到重要的作用。

通过利用相似三角形的角等性质和边比例关系，可以简化、解决一些几何问题。

4. 模型建立：相似三角形的性质也可以应用于模型建立。

例如，制作比例模型时，可以根据相似三角形的比例关系来设计模型的尺寸。

四、相似三角形的推论基于相似三角形的性质和定理，我们还可以得出一些推论。

1. 正弦定理的推论：当两个角相等时，一般使用正弦定理来求解三角形的边长。

但是，当角等于30°、60°或90°时，我们可以运用相似三角形的性质，通过已知边长求解其他边长。

相似三角形的性质相似三角形是指两个三角形的对应角度相等，并且对应边的比例相等的三角形。

在几何学中，相似三角形具有一些重要的性质和特点，本文将对相似三角形的性质进行详细解析。

在讨论相似三角形的性质之前，首先需要明确相似三角形的定义和判定条件。

一、相似三角形的定义相似三角形的定义是指两个三角形的对应角度相等，并且对应边的比例相等。

对于两个三角形ABC和DEF来说，若满足以下条件，则称两个三角形相似：1. ∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F；2. |\frac{AB}{DE}| = |\frac{BC}{EF}| = |\frac{AC}{DF}|。

二、相似三角形的判定条件判定两个三角形是否相似有以下几种方法：1. AA相似判定法：如果两个三角形的两个角分别相等，则两个三角形相似。

即若∠A = ∠D，∠B = ∠E 或∠A = ∠E，∠B = ∠D，或者∠B = ∠D，∠C = ∠E 或∠B = ∠E，∠C = ∠D，则两个三角形相似。

2. AAA相似判定法：如果两个三角形的三个角分别相等，则两个三角形相似。

即若∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，则两个三角形相似。

3. 相似比例判定法：如果两个三角形的对应边的比例相等，则两个三角形相似。

即|\frac{AB}{DE}| = |\frac{BC}{EF}| = |\frac{AC}{DF}|。

三、相似三角形性质1. 对应角度相等：相似三角形的对应角度相等，即∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。

这是相似三角形的基本性质，也是相似三角形的判定条件之一。

2. 对应边比例相等：相似三角形的对应边的比例相等，即|\frac{AB}{DE}| = |\frac{BC}{EF}| = |\frac{AC}{DF}|。

这是相似三角形的另一个基本性质，也是相似三角形的判定条件之一。

3. 边对边既比例又平行：相似三角形的对应边不仅比例相等，还平行。

三角形的相似性及其性质三角形是几何学中重要的图形，它们由三条边和三个角组成。

在研究三角形时，了解三角形的相似性及其性质对于解决各种几何问题非常有帮助。

本文将详细探讨三角形的相似性及其性质。

一、相似三角形的定义及判定相似三角形是指具有相同形状但可能不同大小的三角形。

当两个三角形的对应角度相等时，它们是相似的。

判定两个三角形是否相似有以下几种方法：1. AAA相似判定法：当两个三角形的对应角度分别相等时，它们是相似的。

例如，如果一个三角形的三个内角分别等于另一个三角形的三个内角，那么这两个三角形就是相似的。

2. AA相似判定法：当两个三角形的一个角相等，且两个角所对的边成比例时，这两个三角形是相似的。

例如，如果一个三角形的一个内角等于另一个三角形的一个内角，并且这两个角所对的边的比值相等，那么这两个三角形就是相似的。

3. SSS相似判定法：当两个三角形的对应边成比例时，它们是相似的。

例如，如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边成比例，那么这两个三角形就是相似的。

二、相似三角形的性质在相似三角形中，存在一些重要的性质，这些性质对于解决各种几何问题有很大的帮助。

下面介绍几个常见的相似三角形性质：1. 相似三角形的对应边成比例：如果两个三角形是相似的，那么它们的对应边的长度成比例。

即对应边的比值相等。

例如，如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边成比例，那么第三条边也与第三条边成比例。

2. 相似三角形的对应角相等：如果两个三角形是相似的，那么它们的对应角度相等。

即对应角相等。

例如，如果一个三角形的一个内角与另一个三角形的一个内角相等，那么这两个角所对的边的比值也相等。

3. 相似三角形的周长和面积之比：如果两个三角形是相似的，那么它们的周长和面积之比等于对应边长度的比值的平方。

例如，如果一个三角形的周长和面积分别是另一个三角形的周长和面积的2倍，那么这两个三角形就是相似的。

三、应用实例三角形的相似性及其性质在实际问题中有广泛的应用。

几何中的相似三角形及其性质相似三角形是几何学中重要的概念，它们具有特殊的性质和应用。

在本文中，我们将详细介绍相似三角形的定义以及相关的性质和定理。

一、相似三角形的定义相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。

当两个三角形的对应角度相等时，它们就是相似三角形。

换句话说，两个三角形的对应角度对应相等，并且对应边的比例相等。

二、相似三角形的性质1. 对应边的比例性质在相似三角形中，对应边的比值相等。

即对于三角形ABC和DEF来说，如果∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，则可以推出AB/DE=BC/EF=AC/DF。

这个性质的应用非常广泛。

例如，在地图上测量距离时，我们经常使用相似三角形的对应边的比例关系来计算实际距离。

2. 相似三角形的角度性质相似三角形的对应角度相等。

这意味着如果两个三角形的角度相等，则它们是相似三角形。

在三角形的几何证明中，我们经常使用这个性质来推导其他结论。

3. 相似三角形的边长比例性质如果两个三角形是相似的，则它们对应边的比例相等。

例如，如果∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，并且AB/DE=BC/EF=AC/DF，则可以推导出三角形ABC和DEF是相似的。

4. 相似三角形的高度比例性质在相似三角形中，对应边的比值等于任意两条高度的比值。

例如，在三角形ABC和DEF中，如果∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，并且AD/BF=BE/CF=AC/DF，则可以得出三角形ABC和DEF是相似的。

5. 相似三角形的面积比例性质在相似三角形中，任意两个相似三角形的面积之比等于对应边长的平方之比。

例如，在三角形ABC和DEF中，如果∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，并且AB/DE=BC/EF=AC/DF，则可以得出三角形ABC和DEF的面积之比为(AB/DE)²=(BC/EF)²=(AC/DF)²。

三、相似三角形的应用相似三角形的性质在实际问题中有着广泛的应用。

相似三角形的判定和性质1.相似三角形定义：就是它们的形状相同,但大小不一样,然而只要其形状相同,不论大小怎样改变他们都相似,所以就叫做相似三角形。

2.判定：（1）平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似（2）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似（4）如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似直角三角形相似判定定理（1）斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。

直角三角形相似判定定理（2）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。

3.性质：(1)相似三角形的对应角相等.(2)相似三角形的对应边成比例.(3)相似三角形的对应高线的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.(4)相似三角形的周长比等于相似比.(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方.（6）相似三角形的传递性。

典型例题例1、如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A，B重合），对角线AC，BD相交于点O，过点P分别作AC，BD的垂线，分别交AC，BD于点E，F，交AD，BC于点M，N．下列结论：①△APE≌△AME；②PM+PN=AC；③PE2+PF2=PO2；④△POF∽△BNF；⑤当△PMN∽△AMP时，点P是AB的中点．其中正确的结论有例2、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜6），连接DE，当△BDE 是直角三角形时，t的值为例3、如图，△ABC中，DE∥BC，DE=1，AD=2，DB=3，则BC的长是例4、如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，则DE：EC=例5、如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，BG ⊥AE于G，BG=，则△EFC的周长为例6、如图，在▱ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE：BE=4：3，且BF=2，则DF=例7、如图，DE是△ABC的中位线，延长DE至F使EF=DE，连接CF，则S△CEF：S四边形BCED的值为例8、如图，D是△ABC的边BC上一点，已知AB=4，AD=2．∠DAC=∠B，若△ABD的面积为a，则△ACD 的面积为例9、如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为例10、如图，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b（a＞b）．在△ABC内依次作∠CBD=∠A，∠DCE=∠CBD，∠EDF=∠DCE．则EF等于练习1．如图1，△OED∽△OCB，且OE=6，EC=21，则△OCB与△OED的相似比是（）A．37B．52C．85D．352．如图2，点E，F分别在矩形ABCD的边DC，BC上，∠AEF=90°，∠AFB=2∠DAE=72°，则图中甲、乙、丙三个三角形中相似的是（）A．只有甲与乙B．只有乙与丙C．只有甲与丙D．甲与乙与丙3．如图3，D是AB的中点，E是AC的中点，则△ADE与四边形BCED的面积比是（）A．1 B．12C．13D．144．在相同水压下，口径为4cm的水管的出水量是口径为1cm的水管出水量的（）A．4倍B．8倍C．12倍D．16倍5．对于下列说法：（1）相似且有一边为公共边的两个三角形全等；（2）相似且面积相等的两个三角形全等；（3）相似且周长相等的两个三角形全等．其中说法正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个6．我国国土面积约为960万平方千米，画在比例尺为1∶1 000万的地图上的面积约是（）A．960平方千米 B．960平方米 C．960平方分米 D．960平方厘米7、如果△ABC∽△A′B′C′，相似比为k (k≠1)，则k的值是（）A．∠A：∠A′B．A′B′：AB C．∠B：∠B′D．BC：B′C′8、若△ABC∽△A′B′C′，∠A=40°，∠C=110°，则∠B′等于（）A．30°B．50° C．40°D．70°9、三角形三边之比3：5：7，与它相似的三角形最长边是21cm，另两边之和是（）A．15cm B．18cm C．21cm D．24cm10如图AB∥CD∥EF，则图中相似三角形的对数为（）A．1对B．2对 C．3对D．4对11△ABC∽△A1B1C1，相似比为2：3，△A1B1C1∽△A2B2C2，相似比为5：4，则△ABC与△A2B2C2的相似比为（）A．B． C．D．12、在比例尺1：10000的地图上，相距2cm的两地的实际距离是（）A．200cm B．200dm C．200m D．200km13、已知线段a=10，线段b是线段a上黄金分割的较长部分，则线段b的长是（）A．B． C．D．14、若则下列各式中不正确的是（）A．B． C．D．15、已知△ABC 中，D 、E 分别在AB 、AC 上，且AE=1.2，EC=0.8，AD=1.5，DB=1，则下列式子正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．16、如图：在△ABC 中，DE ∥AC ，则DE ：AC=（ ）A ．8：3B ．3：8C ．8：5D ．5：817．已知ABC A B C '''△∽△，且4AB =，6A B ''=，8B C ''=则BC= ．18．两个相似三角形，其中一个三角形的两个内角分别是40°和30°，则另一个三角形的最大内角的度数是 ．19．如图4，∠ABC=∠CDB=90°，AC=a ，BC=b ，当BD 与a 、b 满足关系 时，△ABC ∽△CDB ．20．如图5，P 是等腰梯形ABCD 上底AD 上一点，若∠A=∠BPC ，则和△ABP 相似的三角形有 个．21．相似三角形对应 、 、 的比都等于相似比．22．相似多边形的周长比等于 ，面积比等于 ．23．把一个三角形三边同时扩大4倍，则周长扩大了 倍，面积扩大了 倍．24．两个相似三角形对应中线的比为23，则面积比是 ． 25．如图6，已知△ABC ∽△DEF ，AB=6，BF=2，CE=8，CA=10，DE=15．求线段DF ，FC 的长．26．要做两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别是4，5，6，另一个三角形框架的一边长为2，怎样选料可使这两个三角形相似？想想看，你有几种解决方案？27．如图7，已知△ABC ∽△DEF ，AM 、DN 是中线，试判断△ABM 与△DEN 是否相似？为什么？28．如图8，AD 是△ABC 角平分线，试判断BD AB DC AC=是否成立？3.3相似三角形的性质和判定试题练习答案例1∴∠BAC=∠DAC=45°．∵在△APE和△AME中，，∴△APE≌△AME，故①正确；∴PE=EM=PM，同理，FP=FN=NP．∵正方形ABCD中AC⊥BD，又∵PE⊥AC，PF⊥BD，∴∠PEO=∠EOF=∠PFO=90°，且△APE中AE=PE∴四边形PEOF是矩形．∴PF=OE，∴PE+PF=OA，又∵PE=EM=PM，FP=FN=NP，OA=AC，∴PM+PN=AC，故②正确；∵四边形PEOF是矩形，∴PE=OF，在直角△OPF中，OF2+PF2=PO2，∴PE2+PF2=PO2，故③正确．∵△BNF是等腰直角三角形，而△POF不一定是，故④错误；∵△AMP是等腰直角三角形，当△PMN∽△AMP时，△PMN是等腰直角三角形．∴PM=PN，又∵△AMP和△BPN都是等腰直角三角形，∴AP=BP，即P时AB的中点．故⑤正确．例2∴AB=2BC=4（cm），∵BC=2cm，D为BC的中点，动点E以1cm/s的速度从A点出发，∴BD=BC=1（cm），BE=AB﹣AE=4﹣t（cm），若∠DBE=90°，当A→B时，∵∠ABC=60°，∴∠BDE=30°，∴BE=BD=（cm），∴t=3.5，当B→A时，t=4+0.5=4.5．若∠EDB=90°时，当A→B时，∵∠ABC=60°，∴∠BED=30°，∴BE=2BD=2（cm），∴t=4﹣2=2，当B→A时，t=4+2=6（舍去）．综上可得：t的值为2或3.5或4.5．例3∴△ADE∽△ABC，则=，∵DE=1，AD=2，DB=3，∴AB=AD+DB=5，∴BC==52．例4∴AB∥CD，∴∠EAB=∠DEF，∠AFB=∠DFE，∴△DEF∽△BAF，∵S△DEF：S△ABF=4：25，∴DE：AB=2：5，∵AB=CD，∴DE：EC=2：3．例5解：∵在▱ABCD中，AB=CD=6，AD=BC=9，∠BAD的平分线交BC于点E，∴∠BAF=∠DAF，∵AB∥DF，AD∥BC，∴∠BAF=∠F=∠DAF，∠BAE=∠AEB，∴AB=BE=6，AD=DF=9，∴△ADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形，∵AD∥BC，∴△EFC是等腰三角形，且FC=CE，∴EC=FC=9﹣6=3，在△ABG中，BG⊥AE，AB=6，BG=4，∴AG==2，∴AE=2AG=4，∴△ABE的周长等于16，又∵△CEF∽△BEA，相似比为1：2，∴△CEF的周长为8．例6解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∵AE：BE=4：3，∴BE：AB=3：7，∴BE：CD=3：7．∵AB∥CD，∴△BEF∽△DCF，∴BF：DF=BE：CD=3：7，即2：DF=3：7，∴DF=．故答案为：．例7∵DE为△ABC的中位线，∴AE=CE．在△ADE与△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（SAS），∴S△ADE=S△CFE．∵DE为△ABC的中位线，∴△ADE∽△ABC，且相似比为1：2，∴S△ADE：S△ABC=1：4，∵S△ADE+S四边形BCED=S△ABC，∴S△ADE：S四边形BCED=1：3，∴S△CEF：S四边形BCED=1：3．例8解答：解：∵∠DAC=∠B ，∠C=∠C ，∴△ACD ∽△BCA ，∵AB=4，AD=2，∴△ACD 的面积：△ABC 的面积为1：4，∴△ACD 的面积：△ABD 的面积=1：3，∵△ABD 的面积为a ，∴△ACD 的面积为a ，例9解：如图，设正方形S 2的边长为x ，根据等腰直角三角形的性质知，AC=x ，x=CD ， ∴AC=2CD ，CD==2，∴EC 2=22+22，即EC=；∴S 2的面积为EC 2==8；∵S 1的边长为3，S 1的面积为3×3=9，∴S 1+S 2=8+9=17． 例10解：∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB ，又∵∠CBD=∠A ，∴△ABC ∽△BDC ，同理可得：△ABC ∽△BDC ∽△CDE ∽△DFE ，∴=，=，=，解得：CD=，DE=，EF=．一、1~6．BDCDC D二、7．163 8．110 9．2b BD a= 10．2 11．高、中线、角平分线 12．相似比，相似比的平方 13．4，16 14．49 三、15．25DF =，2FC =．16．可选料有三种方案，三角形框架边长分别是①2，2.5，3；②1.6，2，2.4；③43，53，2． 17．相似；可用三边对应成比例或两边对应成比例且夹角相等说明．18．过点B 作BE AC ∥交AD 延长线于点E ，则可得BDE CDA △∽△， 从而BD BE DC AC =，然后再由E DAC BAD ==∠∠∠，得BE AB =，故BD AB DC AC=成立．。

相似三角形的性质相似三角形是我们在初中数学中经常遇到的一个概念，它具有一些重要的性质。

本文将详细介绍相似三角形的定义及其性质。

一、相似三角形的定义两个三角形如果对应的角相等，且对应的边成比例，那么这两个三角形就是相似三角形。

相似三角形的定义可以表示为以下形式：对于△ABC和△DEF，如果∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，并且AB/DE=BC/EF=AC/DF，那么△ABC和△DEF是相似三角形。

二、相似三角形的性质1. 对应角相等性质：如果两个三角形相似，那么它们对应的角必定相等。

例如，如果∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，则△ABC和△DEF 是相似三角形。

2. 对应边成比例性质：如果两个三角形相似，那么它们对应的边长必定成比例。

设AB/DE=BC/EF=AC/DF=k，其中k为正实数，则△ABC和△DEF是相似三角形。

这个性质常常被用于求解相似三角形的边长。

3. 相似三角形的比例关系性质：在相似三角形中，对应边的比例关系成立。

即AB/DE=BC/EF=AC/DF=k，其中k为正实数。

根据这个性质，我们可以通过已知的边长，求解未知的边长。

4. 相似三角形高度和底边的比例关系性质：在相似三角形中，两个三角形的高度和底边的比例相等。

例如，设h1为△ABC的高度，h2为△DEF的高度，b1为△ABC的底边，b2为△DEF的底边，那么h1/h2=b1/b2=k，其中k为正实数。

这个性质在解决实际问题中经常被利用。

5. 相似三角形面积比性质：如果两个三角形相似，那么它们的面积比等于边长比的平方。

设S1为△ABC的面积，S2为△DEF的面积，AB/DE=BC/EF=AC/DF=k，那么S1/S2=(AB/DE)^2=(BC/EF)^2=(AC/DF)^2=k^2。

根据这个性质，我们可以计算相似三角形的面积。

6. 相似三角形的周长比性质：如果两个三角形相似，那么它们的周长比等于边长比。

设L1为△ABC的周长，L2为△DEF的周长，AB/DE=BC/EF=AC/DF=k，那么L1/L2=AB+BC+AC/DE+EF+DF=k。

相似三角形的概念与性质相似三角形是几何学中重要的概念，它在求解各种问题中有着广泛的应用。

相似三角形具有一些特殊的性质，这些性质为我们解决问题提供了便利。

本文将介绍相似三角形的概念以及其相关的性质。

一、相似三角形的概念相似三角形指的是有相同形状但是不同大小的三角形。

在相似三角形中，对应角度相等，对应边长之比相等。

如果两个三角形的对应角度相等并且对应边长之比相等，那么它们就是相似三角形。

具体而言，设有两个三角形，分别为△ABC和△DEF。

如果∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，并且AC/DF=AB/DE=BC/EF，那么△ABC与△DEF是相似三角形。

二、相似三角形的性质1. 对应角等价性相似三角形的对应角是相等的。

如果两个三角形相似，则它们的对应角相等。

2. 对应边比例性相似三角形的对应边长之比相等。

如果两个三角形相似，则它们的对应边的比值相等。

3. 边比例条件如果两个三角形的三条边之比相等，则它们是相似的。

4. 高度比例性质相似三角形的高度之比等于对应边长之比。

5. 面积比例性质相似三角形的面积之比等于对应边长之比的平方。

三、相似三角形的应用相似三角形的概念与性质在实际问题中常常被应用。

1. 三角形比例问题在许多问题中，需要求解三角形中的未知边长或者角度。

利用相似三角形的性质，可以通过已知条件得到所需未知量的值。

2. 长度测量问题利用相似三角形的边比例条件，可以通过已知长度计算出无法直接测量的长度。

3. 图像变换问题在几何图形的变换中，相似性是常见的一个概念。

通过将原图形进行缩放、旋转或者平移等变换，可以得到相似的图形。

4. 导航与测量相似三角形的概念也在导航与测量领域得到广泛应用。

通过利用已知的三角形比例，可以测量出无法直接测量的距离或者高度。

综上所述，相似三角形的概念和性质在几何学中具有重要的地位。

通过相似三角形的性质，我们可以在解决各类问题时简化计算过程，提高解题效率。

因此，熟练掌握相似三角形的概念与性质对于几何学的学习和实际应用都具有重要的意义。

相似三角形的性质和计算相似三角形是指具有相同形状但大小不同的两个或多个三角形。

在数学中，相似三角形具有一些独特的性质和计算方法，从而在几何学和三角学中发挥着重要的作用。

一、相似三角形的定义和性质1. 定义：如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形是相似三角形（记作∆ABC ∼ ∆DEF）。

- 对应角相等：两个三角形的对应角度相等，即∠A = ∠D，∠B= ∠E，∠C = ∠F。

- 对应边成比例：两个相似三角形的对应边的长度之比相等，即AB/DE = BC/EF = AC/DF。

2. 相似三角形的性质：- 对应角是相等的；- 对应边的比值是相等的；- 相似三角形的比例因子与所有的边长和周长的比值是相等的；- 相似三角形的比例因子与所有的面积和体积的比值是相等的。

二、相似三角形的计算方法1. 判断相似三角形：判断两个三角形是否相似，只需验证两个条件：对应角相等，以及对应边成比例。

- 对应角相等：计算两个三角形的角度并进行比较。

- 对应边成比例：计算两个三角形的边长之比并进行比较。

2. 相似三角形的计算：- 已知相似三角形的一组对应边，可以利用比例关系求解其他边的长度。

例如，已知∆ABC ∼ ∆DEF，已知AB = 5 cm，BC = 8 cm，DE =10 cm，求EF的长度。

根据相似三角形的性质，有 AB/DE = BC/EF，代入已知值得到5/10 = 8/EF，交叉相乘消元得到 5EF = 8 * 10，解得 EF = 16 cm。

3. 利用相似三角形计算面积和体积：- 相似三角形的面积比：已知相似三角形∆ABC ∼ ∆DEF，设AB/DE = BC/EF = AC/DF = k，那么两个三角形的面积之比为k²。

- 相似三角形的体积比：已知相似三角形的表示体积的量（例如球、锥体等），则它们的体积之比也为k²。

例如，已知∆ABC ∼ ∆DEF，已知∆ABC的面积为36 cm²，求∆DEF 的面积。

相似三角形的定义和性质相似三角形是几何中的一个重要概念，它在解决实际问题和推导几何性质时起到关键作用。

本文将探讨相似三角形的定义和性质，以帮助读者更好理解和运用相关概念。

一、相似三角形的定义相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。

两个三角形相似的条件是它们对应的角度相等，并且对应边的长度成比例。

设两个三角形分别为ABC和DEF，若满足∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，并且AB/DE = BC/EF = AC/DF，则可称两个三角形相似。

二、相似三角形的性质1. 对应角相等性质：相似三角形中的对应角相等，即∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。

2. 对应边成比例性质：相似三角形中的对应边长度成比例，即AB/DE = BC/EF = AC/DF。

3. 三角形内角比性质：相似三角形的内角比相等，即∠A/∠D =∠B/∠E = ∠C/∠F。

4. 直角三角形的比值性质：两个直角三角形相似时，斜边的长度比相等，即AB/DE = BC/EF = AC/DF。

5. 便于比较性质：相似三角形中，若已知一个角相等，则其他对应角必相等，可以快速比较其它角的相等情况。

6. 对应线段比值性质：相似三角形中，两个对应边的长度比等于第三个边的长度和两个对应边分别对应线段的比值的乘积，即AB/DE = BC/EF = AC/DF = AB/EF * AC/DE。

三、相似三角形的常见应用1. 求解长度比：通过相似三角形的对应边成比例性质，可以求解未知长度比。

例如，已知一个三角形的边长和一个角度以及相似三角形的一些边长，可以利用比例关系求解未知边长的比值。

2. 测量高度：利用相似三角形的性质，测量高度成为可能。

例如，在不能直接测量高度的情况下，可以通过相似三角形的边长比值来计算高度。

3. 图形的放缩：通过相似三角形的对应边成比例性质，可以计算图形的放缩比例。

这在地图制作、模型设计和艺术创作等方面非常有用。

相似三角形的定义与性质相似三角形是初中数学中重要的概念，对于这一概念的理解和运用，有助于提高学生的空间想象能力和解题能力。

本文将从相似三角形的定义、相似三角形的性质以及相关应用等方面进行论述。

一、相似三角形的定义相似三角形是指两个三角形之间，对应角相等且对应边成比例的三角形。

具体来说，若两个三角形ABC与DEF满足以下条件：1. ∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，即它们的内角相等；2. AB/DE = BC/EF = AC/DF，即它们的对应边成比例。

二、相似三角形的性质1. 判定相似的依据根据相似三角形的定义，一般有以下几种判定相似的方式：（1）AAA判定法：若两个三角形的对应角相等，则它们相似。

（2）AA判定法：若两个三角形有某两个对应角相等，则它们相似。

（3）SAS判定法：若两个三角形一个角相等，且包含等边，那么它们相似。

（4）S-S-S判定法：若两个三角形的三条边分别成比例，则它们相似。

2. 相似三角形的比例关系对于相似三角形ABC与DEF，它们所有对应边的比例都相等：AB/DE = BC/EF = AC/DF3. 相似三角形的线性关系相似三角形中，对应角的弧度数等于对应边的比例：m∠A/m∠D = m∠B/m∠E = m∠C/m∠F = AB/DE = BC/EF =AC/DF4. 相似三角形的高线关系如果两个相似三角形的高分别为h和k，它们对应边的比例为p，那么它们的面积的比例也为p²，即S1/S2 = (h₁*k₁)/(h₂*k₂) = p²5.相似三角形的周线关系如果两个相似三角形的周长分别为L₁与L₂，它们对应边的比例为p，那么它们的周长的比例也为p，即L₁/L₂ = AB/DE = BC/EF = AC/DF = p三、相似三角形的应用相似三角形的性质在实际应用中有很广泛的运用，以下是一些常见的应用场景：1. 测量不便的物体的高度：通过测量自己的影子长度和身高，可以利用相似三角形的原理计算出物体的高度。

相似三角形的基本概念及性质相似三角形是平面几何中重要的概念之一。

在几何学中，当两个三角形的对应角度相等，并且对应边的长度成比例，我们就可以说这两个三角形是相似的。

相似三角形具有许多有趣的性质和应用。

本文将介绍相似三角形的基本概念及其性质。

一、相似三角形的定义相似三角形是指两个或多个三角形具有相同的形状，但是大小不同的情况。

当两个三角形的对应角度相等，并且对应边长度成比例时，我们可以称这两个三角形为相似三角形。

二、相似三角形的性质1. 相似三角形的对应边比例关系在相似三角形中，对应边的长度是成比例的。

假设两个三角形ABC 和DEF是相似的，他们的对应边分别为AB与DE、AC与DF、BC与EF。

那么我们可以得到以下比例关系：AB/DE = AC/DF = BC/EF2. 相似三角形的对应角相等在相似三角形中，对应角是相等的。

也就是说，如果两个三角形ABC和DEF是相似的，那么他们的对应角度分别为∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。

3. 相似三角形的周长比和面积比在相似三角形中，对应边的长度比例关系可以推导出周长比和面积比的关系。

假设两个相似三角形ABC和DEF，对应边的长度比为k，那么周长比k和面积比k²。

4. 相似三角形的高比和中线比在相似三角形中，对应边的长度比例关系还可以推导出高比和中线比的关系。

假设两个相似三角形ABC和DEF，对应边的长度比为k，那么高比k，中线比k。

5. 相似三角形的角平分线比在相似三角形中，对应边的长度比例关系还可以推导出角平分线比的关系。

假设两个相似三角形ABC和DEF，对应边的长度比为k，那么角平分线比为k。

三、相似三角形的应用相似三角形在几何学中有着广泛的应用。

以下列举了几个常见的应用：1. 比例测量相似三角形的比例关系可以用于测量无法直接测量的长度。

通过已知长度的比例和相似三角形的性质，我们可以计算出未知长度。

2. 利用相似三角形进行图形的放大和缩小相似三角形的形状相同但尺寸不同，因此可以利用相似三角形进行图形的放大和缩小。

相似三角形基本知识点+经典例题(完美打印版)相似三角形基本知识点+经典例题一、相似三角形的定义和性质相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。

它们的对应角度相等，对应边长成比例。

以下是相似三角形的基本知识点和性质：1. 相似三角形的定义：如果两个三角形对应角相等，且对应边成比例，则它们是相似三角形。

2. 相似三角形的性质：a. 对应角相等：两个相似三角形的对应角是相等的。

b. 对应边成比例：两个相似三角形的对应边的比值相等。

3. 相似三角形的判定条件：a. AA判定：如果两个三角形的两对对应角相等，则它们是相似三角形。

b. AAA判定：如果两个三角形的对应角相等，则它们是相似三角形。

二、相似三角形的比例关系相似三角形的对应边长之间存在一定的比例关系。

如果两个三角形是相似的，则对应边的比值相等。

以∆ABC∼∆DEF为例，A与D为对应顶角，AB与DE、BC与EF、AC与DF分别为对应边长。

则有以下比例关系：AB/DE = BC/EF = AC/DF三、相似三角形的应用相似三角形在几何学中有广泛的应用，下面通过一些经典例题来进一步了解相似三角形的应用。

例题一：已知∆ABC与∆DBC是相似三角形，AB = 3cm, BC = 4cm, AC = 5cm, DB = 2cm，求DC的长度。

解析：根据相似三角形的性质，可以得到以下比例关系：AB/DB = AC/DC3/2 = 5/DCDC = 10/5 = 2cm因此，DC的长度为2cm。

例题二：在平行四边形ABCD中，∠B的度数是∠D的度数的2倍。

若AB= 10cm，BC = 15cm，求AD的长度。

解析：由于ABCD是平行四边形，所以∠B = ∠D。

根据题目条件可得：∠B = 2∠D∠B + ∠D = 180°（平行四边形的内角和为180°）将∠B代入上式得：2∠D + ∠D = 180°3∠D = 180°∠D = 60°由相似三角形的性质可得AB/AD = BC/CD，代入已知值可得：10/AD = 15/CD将CD表示为AD的式子，并代入已知条件可得：10/AD = 15/(2AD)10AD = 30AD = 3cm因此，AD的长度为3cm。

相似三角形的性质和定义相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。

在几何学中，相似三角形是一种重要的概念，它们具有一些特定的性质和定义。

本文将介绍相似三角形的性质和定义，以及一些相关的应用。

一、相似三角形的定义相似三角形的定义是指两个三角形的对应角度相等，并且对应的边长成比例。

具体来说，如果两个三角形的角对应相等，而且对应边的比例相等，那么这两个三角形就是相似的。

二、相似三角形的性质1. 对应角相等性质：相似三角形的对应角度相等。

即如果两个三角形的某一角相等，那么它们的对应角也相等。

2. 对应边成比例性质：相似三角形的对应边成比例。

即如果两个三角形的一对对应边的比例相等，那么它们是相似的。

3. 对角比例性质：相似三角形的两个对应角的正弦值、余弦值或正切值的比例相等。

三、相似三角形的判定方法在实际应用中，为了判断两个三角形是否相似，我们可以使用以下的判定方法：1. AAA判定法：如果两个三角形的对应角度相等，那么它们是相似的。

2. SSS判定法：如果两个三角形的对应边成比例，那么它们是相似的。

3. SAS判定法：如果两个三角形的两对边成比例，并且夹角相等，那么它们是相似的。

四、相似三角形的应用1. 测量高大物体的高度：通过相似三角形的性质，可以利用地面上的影子和物体的影子长度来计算物体的高度。

其中一个三角形由物体本身的高度和物体的影子长度构成，另一个三角形由地面上的影子长度和地面距离构成。

2.导弹拦截系统：相似三角形的性质也可以应用于导弹拦截系统中。

通过拦截系统中摄像头的角度和距离的变化，可以计算导弹的运动轨迹和速度，从而进行拦截。

3. 针孔成像原理：在相机的针孔孔径足够小的情况下，光线会通过孔径进入相机，形成在胶片或传感器上的成像。

这个过程可以利用相似三角形的性质进行描述，通过长焦距与短焦距的比例来计算成像的大小和位置。

4. 美术设计：相似三角形的概念可以应用于美术设计中，通过描绘不同大小但相似形状的三角形来表达透视感和远近距离。

相似三角形的性质与定理相似三角形是几何学中重要的概念，它们在许多问题的解决中起着重要作用。

本文将讨论相似三角形的性质与定理，并探索它们的应用。

一、相似三角形的定义相似三角形是指具有相等角度的三角形。

设有两个三角形ABC和DEF，若它们的对应角度相等，则它们是相似三角形。

通常用符号∆ABC ∽ ∆DEF来表示。

二、相似三角形的性质1. 边比例性质在相似三角形中，对应边的长度比例相等。

即若∆ABC ∽ ∆DEF，则有AB/DE=BC/EF=AC/DF。

2. 角度对应性质在相似三角形中，对应角度相等。

即若∆ABC ∽ ∆DEF，则∠A =∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。

3. 周长比例性质在相似三角形中，对应边的长度比例等于对应角度的边长比例。

即若∆ABC ∽ ∆DEF，则AB+BC+AC/DE+EF+DF=AB/DE=BC/EF=AC/DF。

4. 高度比例性质在相似三角形中，对应边的高度比例等于对应边的长度比例。

即若∆ABC ∽ ∆DEF，则hA/hD=hB/hE=hC/hF，其中hA、hB、hC为三角形ABC的高度，hD、hE、hF为三角形DEF的高度。

三、相似三角形的定理1. AAA相似定理若两个三角形的对应角度相等，则它们是相似的。

即若∆ABC与∆DEF的∠A=∠D，∠B=∠E，∠C = ∠F，则∆ABC ∽ ∆DEF。

2. 底角定理若两个三角形的边长成比例，且包含某个共同顶点的两个角相等，则它们是相似的。

即若∆ABC与∆DEF的AB/DE=AC/DF，且∠B = ∠E，则∆ABC ∽ ∆DEF。

3. 直角边定理若一个直角三角形的两个直角边分别与另一个三角形的两条边成比例，则它们是相似的。

即若∆ABC为直角三角形，且AB/DE=AC/DF=BC/EF，则∆ABC ∽ ∆DEF。

四、相似三角形的应用相似三角形的性质与定理在实际问题的解决中有广泛的应用，以下举例说明：1. 测量高度利用相似三角形的高度比例性质，可以通过测量已知高度的物体的阴影长度和未知高度物体的阴影长度来计算未知物体的高度。