云南省2012届高三下学期第二次高中毕业生复习统一检测理科数学质量分析报告

云南省昆明市届高三下学期第二次统测数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设复数z 满足()21i 1i z+=-，则z =（ ）A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --2. 已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的离心率为53，则其渐近线方程为（ ）A ．20x y ±=B ． 20x y ±=C ．340x y ±=D ．430x y ±= 3. 执行如图所示的程序框图，正确的是（ ）A ．若输入,,a b c 的值依次为1,2,3，则输出的值为5B ．若输入,,a b c 的值依次为1,2,3，则输出的值为7C ．若输入,,a b c 的值依次为2,3,4，则输出的值为8D ．若输入,,a b c 的值依次为2,3,4，则输出的值为104. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．24πB ．30π C.42π D ．60π 5. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2,,n n S a 成等差数列，则17S =（ ） A ．0 B ．2 C.2- D ．34 6. ()()34122x x +-的展开式中x 的系数是（ ）A ．96B ．64 C.32 D ．16 7. 在ABC ∆中，AH BC ⊥于H ，点D 满足2BD DC =， 若2AH =，则AH AD =（ ）A B ．2 C.．4 8. 已知函数()()sin 026f x x πωω⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭满足条件：102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，为了得到()y f x =的图象，可将函数()cos g x x ω=的图象向右平移m 个单位(0)m >，则m 的最小值为（ ）A ．1B ．12 C.6π D ．2π9. 圆的任何一对平行切线间的距离总是相等的，即圆在任意方向都有相同的宽度，具有这种性质的曲线可称为“等宽曲线”. 事实上存在着大量的非圆等宽曲线，以工艺学家鲁列斯()Re uleaux 命名的鲁列斯曲边三角形，就是著名的非圆等宽曲线.它的画法（如图1）: 画一个等边三角形ABC ，分别以,,A B C 为圆心，边长为半径，作圆弧,,BC CA AB ，这三段圆弧围成的图形就是鲁列斯曲边三角形. 它的宽度等于原来等边三角形的边长.等宽曲线都可以放在边长等于曲线宽度的正方形内（如图2）.图1 图2在图2中的正方形内随机取一点，则这一点落在鲁列斯曲边三角形内的概率为（ ） A ．8πB．24π-C.2π- D．2π10. 已知抛物线()220y px p =>上的点到焦点的距离的最小值为2，过点()0,1的直线l 与抛物线只有一个公共点，则焦点到直线l 的距离为（ ）A ．1或 2 B ．1或2或2D ． 211. 已知定义在实数集R 上的偶函数()f x ，当0x ≥时，()xf x e =，若存在R t ∈，对任意[]()1,1,N x m m m ∈>∈，都有()f x t ex +≤ , 则m 的最大值为 （ ） A ． 2 B ．3 C.4 D ．5 12. 定义“函数()y f x =是D 上的a 级类周期函数” 如下: 函数(),D y f x x =∈，对于给定的非零常数 a ，总存在非零常数T ，使得定义域D 内的任意实数x 都有()()af x f x T =+恒成立，此时T 为()f x 的周期. 若()y f x =是[)1,+∞上的a 级类周期函数，且1T =，当[)1,2x ∈时，()()221xf x x =+,且()y f x =是[)1,+∞上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为（ ）A ．5,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．[)2,+∞ C.10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．[)10,+∞ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若,x y 满足约束条件1010330x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =+的最大值为 ．14. 若函数()4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在0x =处的切线方程为31y x =-+，则ω= ．15. 表面积为16π的球面上有四个点,,,P A B C ，且ABC ∆是边长为若平面PAB ⊥平面ABC ，则棱锥P ABC -体积的最大值为 ．16. 某小区一号楼共有7层，每层只有1家住户，已知任意相邻两层楼的住户在同一天至多一家有快递，且任意相邻三层楼的住户在同一天至少一家有快递，则在同一天这7家住户有无快递的可能情况共有 种．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在平面四边形ABCD中，,2,2,AB BC AB BD BCD ABD ABD ⊥==∠=∠∆的面积为2.（1）求AD 的长； （2）求CBD ∆的面积.18. 根据“2015年国民经济和社会发展统计公报” 中公布的数据，从2011 年到2015 年，我国的第三产业在GDP 中的比重如下:（1）在所给坐标系中作出数据对应的散点图；（2）建立第三产业在GDP 中的比重y 关于年份代码x 的回归方程； （3）按照当前的变化趋势，预测2017 年我国第三产业在GDP 中的比重. 附注: 回归直线方程y a bx =+中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:1122211()()()()n ni iiii i nniii i x y nx y x x yy b xn x x x ====---==--∑∑∑∑, a y bx =-.19. 如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，已知AC ⊥平面111,1,2BCC B AC BC BB ===， 160B BC ∠=.（1）证明:1B C AB ⊥；（2）已知点E 在棱1BB 上，二面角1A EC C --为45，求1BEBB 的值. 20. 在直角坐标系xOy 中， 动圆M 与圆221:20O x x y ++=外切，同时与圆222:2240O x y x +--=内切.（1）求动圆圆心M 的轨迹方程；（2）设动圆圆心M 的轨迹为曲线C ，设,A P 是曲线C 上两点，点A 关于x 轴的对称点为B (异于点P )，若直线,AP BP 分别交x 轴于点,S T ，证明:OS OT 为定值.21. 已知函数()()1ln 11x x f x e-++=. （1）求()f x 的单调区间；（2）设()()()232'g x x x f x =++(其中()'f x 为()f x 的导函数) ，证明:1x >-时，()21g x e <+.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为122(2x t t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数) ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线1C的极坐标方程为ρ=.（1）写出直线l 的普通方程和曲线1C 的参数方程； （2）若将曲线1C2倍，得到曲线2C ，设点P 是曲线2C 上任意一点，求点P 到直线l 距离的最小值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()2f x x =+.（1）解不等式()241f x x <--；（2）已知()10,0m n m n +=>>，若不等式()11x a f x m n--≤+恒成立，求实数a 的取值范围.云南省昆明市2017届高三下学期第二次统测数学（理）试题参考答案一、选择题1-5:CDCAB 6-10:BBADB 11-12：CC二、填空题13. 8 14. 3 15.3 16.12三、解答题17. 解：(1)由已知11sin 25sin 222ABD S AB BD ABD ABD ∆=∠=⨯⨯∠=，所以sin ABD ∠=，又0,2ABD π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以cos ABD ∠=ABD ∆中，由余弦定理得：2222cos 5AD AB BD AB BD ABD =+-∠=，所以AD =(2)由AB BC ⊥，得2ABD CBD π∠+∠=，所以sin cos 5CBD ABD ∠=∠=，又 42,sin 2sin cos 5BCD ABD BCD ABD ABD ∠=∠∠=∠∠=，222BDC CBD BCD ABD ABD ABD CBD ππππ⎛⎫∠=-∠-∠=--∠-∠=-∠=∠ ⎪⎝⎭，所以CBD ∆为等腰三角形，即CB CD =，在CBD ∆中，由正弦定理得：sin sin BD CDBCD CBD=∠∠， 所以sin 51155455,sin4sin42244585CBDBD CBDCD S CB CD BCDBCD∆∠====∠=⨯⨯⨯=∠.18. 解：(1)数据对应的散点图如图所示：(2)3,47.06x y==，1122211()()151.510()()n ni i i ii in ni ii ix y nx y x x y ybx n x x x====---====--∑∑∑∑,42.56a y bx=-=，所以回归直线方程为1.542.56y x=+.(3)代入2017 年的年份代码7x=，得 1.5742.5653.06y=⨯+=，所以按照当前的变化趋势，预计到2017年，我国第三产业在GDP 中的比重将达到0053.06.19. 解：(1)证明：在1BCB∆中，111,2,60BC BB B BC==∠=，则13B C==22211BC B C BB+=，故1B C BC⊥.所以AC⊥平面11BCC B，于是1AC B C⊥，又BC AC C=，故1B C⊥平面ABC，所以1B C AB⊥.(2)如图，以C 为原点，建立空间直角坐标系C xyz -，则())()()10,0,0,,0,1,0,0,0,1C B B A ，由11BB CC =，得)11,0C -，设()1BE BB λλ=0≤≤1，则),1,0Eλ-，于是()()13,1,1,3,1,1AE ACλλ=--=--，求得平面1AEC 的一个法向量为(n λ=-，取平面1EC C 的一个法向量为()0,0,1m =，又二面角1A EC C --为45，则(cos 45m n m nλ===-，解得12λ=或2λ=（舍）， 所以1BE BB 的值为12. 20. 解：(1)由圆221:20O x x y ++=，得()2211x y ++=，所以()11,0O -，半径为1；由圆222:2240O x y x +--=，得()22125x y -+=，所以()21,0O ，半径为5，设动圆圆心(),M x y ，半径为R ，因为M 与1O 外切，所以1R 1MO =+，又因为M 与2O 外切，所以25R MO =-，将两式相加得12126MO MO OO +=>，由椭圆定义知，圆心M 的轨迹为椭圆，且26,1a c ==，则229,8a b ==，所以动圆圆心M 的轨迹方程为22198x y +=. (2)设()()()()0011,,,,,0,,0S T P x y A x y S x T x ，则()11,B x y -，由题意知01x x ≠±.则1010AP y y k x x -=-，直线AP 方程为()11AP y y k x x -=-，令0y =，得011010S x y x y x y y -=-，同理()()011001101010T x y x y x y x y x y y y y --+==--+，于是222201100110011022101010S T x y x y x y x y x y x y OS OT x x y y y y y y -+-===-+-，又()00,P x y 和()11,A x y 在椭圆22198x y +=上，故2222010181,8199x x y y ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则 ()()22222222222222011001011001018,81818999x x y y x x x y x y x x x x ⎛⎫⎛⎫-=--=---=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以()()222222010110222210018989x x x y x y OS OT y y x x --===--. 21. 解：(1)函数()f x 的定义域为()()()111ln 111,,'x x x f x e---++-+∞=，由于()()1'00,1ln 11f y x x ==--++在()1,-+∞上是减函数，所以当10x -<<时，()'0f x >；当0x >时，()'0f x <.所以()f x 的单调递增区间为()1,0-，单调递减区间为()0,+∞.(2)由()()()()21'g x x x f x =++，①当0x ≥时，由(1) 知()'0f x ≤，所以()201g x e ≤<+.② 当10x -<<时，()()()()()()()1111ln 121ln 1121x x x x x x x x g x x x e e ----++--++⎡⎤⎣⎦+=++=()()()2121ln 1x x e x x x e++=--++⎡⎤⎣⎦，构造函数()()12x h x e x +=-+，则()1'10x h x e +=->，则当10x -<<时，()()()112210,01x x x h x e x h e +++=-+>-=∴<<，易知当10x -<<时，()()1ln 10x x x --++>，()()()()()()22121ln 11ln 1x x g x ex x x e x x x e++∴=--++<--++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ .要证()21g x e <+，只需证()()21ln 11x x x e --++≤+，设()()()1ln 1p x x x x =--++，得()()'2ln 1p x x =--+，由()()'2ln 10p x x =--+=，得21x e -=-，当()21,1x e -∈--时，()'0p x >，则()p x 单调递增；当()21,0x e -∈-时，()'0p x <，则()p x 单调递减，当10x -<<时，()()()()221ln 111p x x x x p e e --=--++≤-=+，所以当10x -<<时，()21g x e <+成立.综合 ① ②可知：当1x >-时，()21g x e <+. 22. 解：(1)直线l0y -+=，曲线1C的参数方程为(x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）. (2)由题意知，曲线2C的参数方程为cos (x y θθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数），可设点()cos P θθ，故点P 到直线l的距离为d ==，所以min d =P 到直线l23. 解：（1）不等式()241f x x <--等价于2214x x ++-<，即()22214x x x ≤-⎧⎪⎨-+-+<⎪⎩或 ()212214x x x -<<⎧⎪⎨+-+<⎪⎩或()12214x x x ≥⎧⎪⎨++-<⎪⎩. 解得7|23x x ⎧⎫-<≤-⎨⎬⎩⎭或{}|21x x -<-或∅， 所以不等式的解集为7|13x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭. （2）因为()222x a f x x a x x a x a --=--+≤---=+，所以()x a f x --的最大值是2a +，又()10,0m n m n +=>>，于是()112224n m m n m n m n ⎛⎫++=++≥+= ⎪⎝⎭，11m n ∴+的最小值为4. 要使()11x a f x m n--≤+的恒成立，则24a +≤，解此不等式得62a -≤≤.所以实数a 的取值范围是[]6,2-.。

2012年云南省第二次高中毕业生复习统一检测理科综合能力测试生物学科质量分析报告2012年云南省第二次高中毕业生复习统一检测理科综合能力测试生物学科的试题，参照2012年高考《考试大纲》中的试卷结构命制，第Ⅰ卷选择题6题，共36分，第Ⅱ卷非选择题，必考题4题，共39分，选考题1题，15分。

单科总分90分。

总体上看，本次复习统测试题试题符合《考试大纲》的要求，突出对学科基础知识和主干知识的考查，加强了对实验与探究能力的测试，试题的易、中、难比例设计合理，符合我省考生第二轮的复习实际。

一、考试的基本情况（一）全样统计数据从统计结果看，第二次统测实考平均分为48.06分，比第一次统测提高了4.24分，及格率提高了4.18%，超过1/3的考生得分在40～53分之间。

总体成绩好于第一次统测，说明经过二轮复习，考生的学习水平情况有所提升。

1（二）抽样统计数据（样本量1062）2二、考生答题情况及错误原因分析（一）第Ⅰ卷（选择题）答题情况及错误原因分析1．下列关于ATP的叙述，正确的是A．为满足对能量的需求，心肌细胞中贮存大量的ATPB．细胞内的吸能反应一般与ATP的水解相联系C．细胞呼吸作用所释放的热能可转移至ATP中D．一分子ATP由一分子腺苷、一分子核糖、三分子磷酸基团组成【答案】B【分析】答题情况及统计直方图如下（样本量1062）：3本题考查ATP的有关知识，一半以上的考生能够选出正确答案，满分率达到55.56%，说明大多数考生对ATP这一知识点的掌握不错。

ATP的化学性质不稳定，在细胞内的含量是很少的，即便是需要大量消耗能量的心肌细胞，ATP也不可能大量贮存。

细胞内的吸能反应一般与ATP的水解相联系，放能反应一般与ATP的合成相联系。

细胞呼吸作用所释放的能量，一部分储存在ATP中，一部分以热能的形式散失。

一分子ATP是由一分子腺嘌呤、一分子核糖、三分子磷酸基团组成的。

所以A、C、D选项错误，B选项正确。

云南省2012届高三第二次高中毕业生复习统一检测数学理试题word版.pdf云南省2012年第二次高中毕业生复习统一检测数学试题（理科）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

满分150分，考试用时120分钟。

第I卷（选择题，共60分）注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上的答案无效。

本卷共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一、选择题1．已知i是虚数单位，则复数等于A．B．C．D．2．已知直线与圆相交于M、N两点，则|MN|等于A．B．C．D．3．已知随机变量X服从正态分布N（0，1），在某项测量中，若X在（-1.96，1.96）内取值的概率等于0.95，则X在内取值的概率等于A．0.025B．0.05C．0.95D．0.9754．已知等于A．B．C．D．5．设由直线围成的封闭图形的面积等于S，则S等于A．B．1C．2D．π6．已知的定义域是集合P，如果，那么的最小值等于A．B．C．D．π7．在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E、F分别是棱AB、BC的中点，则点C1到平面B1EF的距离等于A．B．C．D．8．设R是实数集，平面向量，等于A．4B．C．D．9．已知的渐近线，则m等于A．B．C．D．10．已知平面向量的夹角的正切值等于的值为A．B．2C．—2D．—2，11．已知椭圆E上存在点P，在P与椭圆E的两个焦点F1、F2构成的△F1PF2中，则椭圆E的离心率等于A．B．C．D．12．已知公差不等于0的等差数列的等比中项，那么在数列中，数值最小的项是A．第4项B．第3项C．第2项D．第1项第II卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。

高三二模数学科试卷质量分析高三二模数学科试卷质量分析选择题与填空题具有题小量大、适度、全面考查的特点。

呈现基础、全面、核心、人文、和谐的特征。

试题简约、凝练、直击核心，留有恰当的思维、探究、应用、操作空间，有一定的综合度、开放度和创新度。

呈现方式多样化，价值取向明确。

选择题是针对学生薄弱点设置干扰点，又适当设置提示项为学生灵活解题提供条件。

选择题中的大多数题具有多种解法。

为基础扎实、思维活跃的学生提供了充分发挥聪明才智、快速灵活解题的平台。

选择题这一题型在培养和发展学生的思维能力上有其独特和不可替代的教育功能和评价功能。

填空题作为基本题型,与选择题共同肩负起基础、全面、核心、简约、和谐评价功能的同时，从解题过程看，已兼具解答题的特征。

从某种意义上说，具有更大的思维空间和开放度。

关注填空题的命题特点及设计走向、分析解题思路、总结归纳常用的解法和技能很有必要。

其功能是比较全面地、高效地对学生基本核心的学段学习目标进行考查，同时，由试题的立意、定位、取材、背景、问题设置、呈现方式共同蕴含的题感，渲染着一种氛围，学生的心理情绪和思维状态都会渐入佳境，为顺利完成解答题做好了准备。

第11题，常规题，难度小，学生得分率高。

第12小题，难度较小，只是部分学生粗心大意，把把- 写成了，，导致失分。

第13小题也是一道常规题，学生得分率较高。

第14题是一个归纳推理题，部分学生的归纳总结能力较差，把1+ + +…+�弄成了1+ + +…+�，反映出他们没有明确对应关系。

第15小题，常规题，以考查学生的基础知识和基本技能为主。

学生失分率较小。

文科的填空题都是一些基础题，以考查学生的基础知识为主。

第16题，第一问得分较高，考查等差数列通项公式的简单运用，个别学生计算错误，大部分为全分6分。

第二小问考查分组组合法求数列和，部分学生与错位相减法和相混淆，且运算能力不太过关。

结论错误本题平均可达9分左右。

第17题，考查平面向量数量积、三角形面积公式、余弦定理，正确率较高。

2012年云南省昆明市高三复习教学质量检测数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合A={y|y−2>0}，集合B={x|x2−2x≤0}，则A∪B等于()A.[0, +∞)B.(−∞, 2]C.[0, 2)∪(2, +∞)D.R2. 若复数a+i1−2i是纯虚数，其中i是虚数单位，则实数a的值为（）A.2B.15C.−12D.−253. 若tanα=2，则1sin2α的值等于（）A.−54B.54C.−45D.454. 由直线x=π3，x=2π3，y=0与y=sin x所围成的封闭图形的面积为（）A.1 2B.1C.√32D.√35. 下列命题中，真命题的个数有（）①∀x∈R,x2−x+14≥0；②∃x>0,ln x+1ln x≤2；③”a>b”是“ac2>bc2”的充要条件；④y=2x−2−x是奇函数．A.1个B.2个C.3个D.4个6. 一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：m2）．（）A.4+2√6 B.4+√6 C.4+2√2 D.4+√27. 设双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，A是双曲线渐近线上的一点，AF2⊥F1F2，原点O到直线AF1的距离为13|OF1|，则渐近线的斜率为（）A.√5或−√5B.√2或−√2C.1或−1D.√22或−√228. 如图是“二分法”解方程x2−2=0的程序框图（在区间[a, b]上满足f(a)f(b)<0），那么在①、②处应填写的内容分别是（）A.f(b)f(m)<0；a=mB.f(a)f(m)<0；m=aC.f(a)f(m)<0；a=mD.f(b)f(m)<0；b=m9. 已知函数f(x)={√x−1，x>02−|x|+1，x≤0.若关于x的方程f(x)+2x−k=0有且只有两个不同的实根，则实数k 的取值范围为（）A.(−1, 2]B.(−∞, 1]∪(2, +∞)C.(0, 1]D.[1, +∞)10. 若函数f(t)=500+100sin(t2+2φ)(0<φ<π)图象的一条对称轴为t=3π，则函数y=f(t)在下列区间上递减的是（）A.[15, 20]B.[10, 15]C.[5, 10]D.[0, 5]11. 已知函数f(x)是(−∞, +∞)上的偶函数，且f(5+x)=f(5−x)，在[0, 5]上只有f(1)=0，则f(x)在[−2012, 2012]上的零点个数为（）A.804B.805C.806D.80812. 已知球O 的表面积为20π，SC 是球O 的直径，A 、B 两点在球面上，且AB =BC =2，AC =2√3，则三棱锥S −AOB 的高为（ ） A.12B.√22C.√32D.1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．从某学习小组10名同学中选出3人参加一项活动，其中甲、乙两人都被选中的概率是________．在△ABC 中，已知AC 2+AB 2=3，BC =1，则△ABC 面积的最大值为________．已知抛物线x 2=4y 的焦点为F ，准线与y 轴的交点为M ，N 为抛物线上的一点，且满足|NF|=λ|MN|，则λ的取值范围是________．如图所示，在等腰梯形ABCD 中，AB // DC ，AB =3，DC =1，tan B =2，点M 是梯形ABCD 内（含边界）的一个动点，则AD →⋅AM →的最大值是________．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2=3，S 10=100． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n =(13)n a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．如图所示，长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P 是线段AC 上任意一点．（1）判断直线B 1P 与平面A 1C 1D 的位置关系并证明；（2）若AB =BC ，E 是AB 中点，二面角A 1−DC 1−D 1的余弦值是√105，求直线B 1E 与平面A 1C 1D 所成角的正弦值．某地区因干旱缺水，政府向市民宣传节约用水，并进行广泛动员，三个月后，统计部门在一个小区随机抽取了100户家庭，分别调查了他们在政府动员前后三个月的平均用水量（单位：吨），将所得数据分组，画出频率分布直方图（如图所示）（1）已知该小区共有居民10000户，在政府进行节水动员前平均每月用水量是8.96×104吨，请估计该小区在政府动员后比动员前平均每月节约用水多少吨；（2）为了解动员前后市民的节水情况．媒体计划在上述家庭中，从政府动员前月均用水量在[12, 16)范围内的家庭中选出5户作为采访对象，其中在[14, 16)内的抽到X 户，求X 的分布列和期望．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)经过点(−1,−√22)，两焦点为F 1、F 2，短轴的一个端点为D ，且DF 1→⋅DF 2→=0．（1）求椭圆的方程；（2）直线l 交椭圆C 于A 、B 两点（A 、B 不是上下顶点），当以AB 为直径的圆恒过定点P(0, 1)时，试问：直线l 是否过定点，若过定点．求出该点的坐标；若不过定点，请说明理由．已知函数f(x)=1−e λx (λ∈R 且λ≠0)． （1）讨论f(x)的单调性；（2）当x >−1时，f(x)≥x x+1恒成立，求出λ的值．四、选考题（本小题满分10分）请考生在第（22）、（23）、（24）三道题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡第I 卷选择题区域内把所选的题号涂黑．注意：所做题目必须与所涂题号一致，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4−1：几何证明选讲：如图，已知⊙为△ABC的外接圆，AF切⊙O于点A，交△ABC的高CE的延长线于点F，BD⊥AC．证明：（1）∠F=∠DBC；（2）ADDC =FEEC．已知直角坐标系xOy，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P点的极坐标为(2,π3)，直线l经过点P，倾斜角为α．(1)写出点P的直角坐标及直线l的参数方程；(2)设l与圆ρ=3相交于A，B两点，求弦AB长度的最小值．选修4−5：不等式选讲：设函数f(x)=√|ax−2|+|ax−a|−2(a∈R)．（1）当a=1时，求函数f(x)的定义域；（2）若函数f(x)的定义域为R，试求a的取值范围．参考答案与试题解析2012年云南省昆明市高三复习教学质量检测数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【答案】A【考点】一元二次不等式的解法并集及其运算【解析】首先整理两个集合，这是两个数集，要求两个集合的并集，只要在数轴上表示出两个集合包含的所有的数集．【解答】解：∵集合A={y|y−2>0}={y|y>2}，集合B={x|x2−2x≤0}={x|0≤x≤2}，∴A∪B=[0，+∞).故选A．2.【答案】A【考点】复数代数形式的乘除运算复数的基本概念【解析】利用复数的长数形式的乘除运算，得到a+i1−2i =a−25+1+2a5i，再由纯虚数的定义，能够求出实数a的值．【解答】解：∵a+i1−2i =(a+i)(1+2i) (1−2i)(1+2i)=a+i+2ai+2i25=a−25+1+2a5i是纯虚数，∴{a−25=01+2a 5≠0，∴a=2．故选A．3.【答案】B【考点】同角三角函数间的基本关系求二倍角的正弦【解析】将所求式子的分子“1”利用同角三角函数间的基本关系化为sin2α+cos2α，分母利用二倍角的正弦函数公式化简，然后分子分母同时除以cos2α，利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，将tanα的值代入计算，即可求出值．【解答】解：∵tanα=2，∴1sin2α=sin2α+cos2α2sinαcosα=tan2α+12tanα=22+12×2=54．故选B4.【答案】B【考点】定积分在求面积中的应用【解析】先根据题意画出直线x=π3，x=2π3，y=0与y=sin x所围成的封闭图形，然后利用定积分表示区域面积，最后转化成等价形式．【解答】解：先画出直线x=π3，x=2π3，y=0与y=sin x所围成的封闭图形，图形的面积为S=∫ 2ππ3 sin xdx=−cos x| 2π3π3=−cos2π3+cosπ3=1故选B．5.【答案】C【考点】全称命题与特称命题必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】①由配方可判断出其真假；②取x∈(0, 1)，即可知命题的真假；③取c=0即可否定③；④利用奇函数的定义可判断出是否是奇函数．【解答】解：①∵∀x∈R，x2−x+14=(x−12)2≥0，∴ ①是真命题．②当0<x<1时，ln x<0，∴∃x>0，ln x+1ln x<0≤2，∴ ②是真命题．③当c=0时，由a>b⇒ac2=bc2=0；而由ac2>bc2⇒a>b，故“a>b”是“ac2>bc2”的必要而不充分条件，因此③是假命题．④∵∀x∈R，f(−x)=2−x−2x=−(2x−2−x)=−f(x)，∴函数f(x)=2x−2−x是奇函数，故④是真命题．综上可知①②④是真命题．故选C．6.【答案】A【考点】由三视图求体积【解析】由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，垂直于底面的侧面是一个高为2，底连长也为2的等腰直角三角形，底面与垂直于底面的侧面全等，此两面的面积易求，另两个与底面不垂直的侧面是全等的，可由顶点在底面上的射影作出此两侧面底边的高，将垂足与顶点连接，此线即为侧面三角形的高线，求出侧高与底面的连长，用三角形面积公式求出此两侧面的面积，将四个面的面积加起来即可【解答】解：由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直且底面与垂直于底面的侧面全等的三棱锥由图中数据知此两面皆为等腰直角三角形，高为2，底面连长为2，故它们的面积皆为12×2×2=2，由顶点在底面的投影向另两侧面的底边作高，由等面积法可以算出，此二高线的长度长度相等，为√5，将垂足与顶点连接起来即得此两侧面的斜高，由勾股定理可以算出，此斜高为2√65，同理可求出侧面底边长为√5，可求得此两侧面的面积皆为12×2√65×√5=√6，故此三棱锥的全面积为2+2+√6+√6=4+2√6，故选A．7.【答案】D【考点】双曲线的特性【解析】设出点A的坐标，确定直线AF1的方程，利用点到直线的距离公式，及原点O到直线AF1的距离为13|OF1|，建立方程，即可求得渐近线的斜率．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±bax不妨设A在第一象限，则A(c, bca)，∴直线AF1的方程为y−bca=bca2c(x−c)即b2ax−y+bc2a=0∴原点O到直线AF1的距离为bc2a√b24a2+1∵原点O到直线AF1的距离为13|OF1|，∴bc2a√b24a2+1=13c∴a=√2b∴ba=√22故选D．8.【答案】C【考点】程序框图【解析】用二分法求方程x2−2=0的近似解，首先给出精确度d和两个区间端点初始值a、b，然后求区间端点的中点值m，再判断f(a)f(m)<0（或f(b)f(m)<0 ），从而确定下一区间的范围，该框图中的条件结构是在满足判断框中的条件下执行的“b=m”，所以断定判断框中的条件应为f(a)f(m)<0，那么不满足条件时应执行的是“a=m”．【解答】解：算法步骤中的前三步是用顺序结构来表示的，第四步用的是条件结构，在这个条件结构中，“是”分支用的是“b=m”，说明第二个区间取的是[a, m]，也就是说判断框中的条件是“f(a)f(m)<0”，则：“否”分支执行的应该是“a=m”，所以该程序框图在①、②处应填写的内容分别是f(a)f(m)<0；a=m．故选C．9.【答案】A【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】作出函数f(x)的图象，根据方程构造函数，将关于x的方程f(x)+2x−k=0有且只有两个不同的实根，转化为图象的交点个数问题，即可求得结论．【解答】解：作出函数f(x)的图象如图，与y轴的交点分别为(0．−1)，(0, 2)由f(x)+2x−k=0可得f(x)=−2x+k构造函数g(x)=−2x+k由图象可知，关于x的方程f(x)+2x−k=0有且只有两个不同的实根时，实数k的取值范围为(−1, 2]故选A．10.【答案】B【考点】正弦函数的单调性正弦函数的对称性【解析】根据函数f(t)=500+100sin(t2+2φ)(0<φ<π)图象的一条对称轴为t=3π，求得2φ=π，再求出函数的单调区间，即可得到结论．【解答】解：∵函数f(t)=500+100sin(t2+2φ)(0<φ<π)图象的一条对称轴为t=3π，∴sin(3π2+2φ)=±1∴cos2φ=±1∴2φ=kπ(k∈Z)∵0<φ<π∴2φ=π∴f(t)=500+100sin(t2+π)=500−100sin t2令−π2+2kπ≤t2≤π2+2kπ(k∈Z)，则−π+4kπ≤t≤π+4kπ(k∈Z)，此时函数递减当k=1时，3kπ≤t≤5kπ，故B符合题意故选B．11.【答案】C【考点】函数的零点与方程根的关系函数奇偶性的性质【解析】确定函数关于直线x=5对称且以10为周期，利用函数在[0, 5]上只有f(1)=0，可得在[0, 10]上有两个零点，由此可得结论．【解答】解：∵f(5+x)=f(5−x)，∴函数关于直线x=5对称，f(10+x)=f(−x)，∵函数f(x)是(−∞, +∞)上的偶函数，∴f(10+x)=f(x)，即函数以10为周期∵在[0, 5]上只有f(1)=0，∴在[0, 10]上有两个零点∵2012=201×10+2∴f(x)在[0, 2012]上的零点的个数为403∵函数f(x)是(−∞, +∞)上的偶函数，∴f(x)在[−2012, 2012]上的零点的个数为806故选C．12.【答案】C【考点】球内接多面体柱体、锥体、台体的体积计算【解析】将三棱锥S−AOB的高，转化为C到平面AOB的距离，利用等体积法，即可求得结论．【解答】解：∵球O的表面积为20π，∴球O的半径为√5，∵SC是球O的直径，∴三棱锥S−AOB的高等于C到平面AOB的距离，设为ℎ∵AB=BC=2，AC=2√3，∴cos A=2×2×2√3=√32∴sin A=12∴△ABC外接圆半径为BC2sin A=2∴O到平面ABC的距离为1∵S△OAB=12×2×√5−1=2，S△ABC=12×2×2√3×sin A=√3∴13×2×ℎ=13×√3×1∴ℎ=√32故选C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．【答案】115【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】求出所有的选法共有C103=120种，其中甲、乙两人都被选中的选法有C81=8种，由此求得甲、乙两人都被选中的概率．【解答】解：所有的选法共有C103=120种，其中甲、乙两人都被选中的选法有C81=8种，故甲、乙两人都被选中的概率是8120=115，故答案为115．【答案】√54【考点】余弦定理的应用【解析】先利用余弦定理，计算cos A，再用三角形的面积公式，结合基本不等式，即可求△ABC面积的最大值．【解答】解：设三角形的三边分别为a，b，c，则b2+c2=3，a=1∴cos A=b2+c2−a22bc =1bc∴S2=14b2c2(1−cos2A)=14b2c2−14∵b2+c2=3≥2bc∴bc≤32∴S2≤516∴S≤√54即△ABC面积的最大值为√54故答案为：√54【答案】[√22, 1]【考点】抛物线的求解【解析】由题意可得F(0, 1)，M(0, −1)，过点N作NH垂直于准线y=−1，垂足为H，由条件可得λ=|NF||MN|=|NH||MN|，当点N与原点O重合时，|NH|=|MN|，λ有最大值为1；当直线MN和抛物线相切时，λ=|NH||MN|=sinθ有最小值．求出切线的斜率，可得sinθ的值，即为λ的最小值．【解答】解：由题意可得F(0, 1)，M(0, −1)，过点N作NH垂直于准线y=−1，垂足为H，由抛物线的定义可得|NF|=|NH|．由条件可得λ=|NF||MN|=|NH||MN|，如图所示：故当点N与原点O重合时，|NH|=|MN|，λ有最大值为1．当直线MN和抛物线相切时，λ=|NH||MN|=sinθ有最小值，这里θ=∠NMF．设当直线MN和抛物线相切时，MN的方程为y+1=kx，代入抛物线方程化简可得x2−4kx+4=0．由题意可得，此方程的判别式△=0，即16k2−16=0，∴k=±1，即tanθ=1，故sinθ=√22，故λ的最小值为√22．综上可得λ∈[√22, 1]，故答案为[√22, 1]．【答案】6【考点】平面向量数量积【解析】以A点为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立坐标系，然后表示出AD→⋅AM→，求出最值即可．【解答】解：以A 点为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立如图坐标系，可得 A(0, 0)，B(3, 0)，C(2, 2)，D(1, 2)， 则直线BC 方程为y =−2x +6 设M(λ, −2λ+6)，(2≤λ≤3)可得则AM →=(λ, −2λ+6)，AD →=(1, 2)， ∴ AD →⋅AM →=λ+2(−2λ+6)=12−3λ ∵ 2≤λ≤3，∴ 当λ=2时，AD →⋅AM →=6取得最大值．故答案为：6三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【答案】解：(1)设数列的公差为d ， 则{a 1+d =3，10a 1+10×9d2=100， ∴ a 1=1，d =2，∴ a n =1+2(n −1)=2n −1. (2)∵ b n =(13)n a n =(2n −1)⋅(13)n ，∴ T n =13+3×(13)2+⋯+(2n −3)×(13)n−1+(2n −1)×(13)n ①，13T n =(13)2+3×(13)3+⋯+(2n −3)×(13)n +(2n −1)×(13)n+1②，令①−②得，23T n =13+2[(13)2+(13)3+⋯+(13)n ]−(2n −1)×(13)n+1 =2−(2n+2)×(13)n3. ∴ T n =1−n+13n.【考点】 数列的求和等差数列的通项公式【解析】设数列的公差为d ，则根据等差数列的通项公式及求和公式可建立公差d 与首 项a 1的方程，解方程可求d ，a 1，根据等差数列的通项公式即可求解（2）由（1）可求b n =(13)n a n ，结合数列的特点，考虑利用错位相减求解数列的和 【解答】解：(1)设数列的公差为d ， 则{a 1+d =3，10a 1+10×9d2=100， ∴ a 1=1，d =2，∴ a n =1+2(n −1)=2n −1. (2)∵ b n =(13)n a n =(2n −1)⋅(13)n ，∴ T n =13+3×(13)2+⋯+(2n −3)×(13)n−1+(2n −1)×(13)n ①，13T n =(13)2+3×(13)3+⋯+(2n −3)×(13)n +(2n −1)×(13)n+1②，令①−②得，23T n =13+2[(13)2+(13)3+⋯+(13)n ]−(2n −1)×(13)n+1 =2−(2n+2)×(13)n3. ∴ T n =1−n+13n.【答案】 解：（1）直线B 1P // 平面A 1C 1D ，证明如下：连接AB 1与B 1C ，则A 1C 1 // AC ，A 1D // B 1C ∵ AC ∩B 1C =C∴ 平面AB 1C // 平面A 1C 1D ∵ B 1P ⊂平面AB 1C ∴ B 1P // 平面A 1C 1D ；（2）建立如图所示的直角坐标系，设A(1, 0, 0)，D 1(0, 0, a)，则C 1(0, 1, a)，C(0, 1, 0)，A(1, 0, a)，B(1, 12, 0)，B 1(1, 1, a) ∴DA 1→=(1,0,a)，DC 1→=(0,1,a)设平面A 1C 1D 的法向量为n →=(x, y, z)，则{x +az =0y +az =0，∴ 可取n →=(a,a,−1)∵ 平面D 1C 1D 的法向量为DA →=(1,0,0) ∴ cos <n →，DA →>=a √2a 2+1=√105∴ a =√2 ∴ EB 1→=(0,12,√2) ∴ cos <n →，EB 1→>=√22−√2√5×32=−√1015∴直线B 1E 与平面A 1C 1D 所成角的正弦值√1015．【考点】用空间向量求直线与平面的夹角 空间中直线与直线之间的位置关系 直线与平面所成的角【解析】（1）直线B 1P // 平面A 1C 1D ，证明平面AB 1C // 平面A 1C 1D ，利用面面平行的性质，即可求得B 1P // 平面A 1C 1D ；（2）建立直角坐标系，求出平面A 1C 1D 、平面D 1C 1D 的法向量，利用二面角A 1−DC 1−D 1的余弦值是√105，确定EB 1→=(0,12,√2)，再利用向量的夹角公式，可求直线B 1E 与平面A 1C 1D 所成角的正弦值． 【解答】 解：（1）直线B 1P // 平面A 1C 1D ，证明如下：连接AB 1与B 1C ，则A 1C 1 // AC ，A 1D // B 1C ∵ AC ∩B 1C =C∴ 平面AB 1C // 平面A 1C 1D ∵ B 1P ⊂平面AB 1C ∴ B 1P // 平面A 1C 1D ；（2）建立如图所示的直角坐标系，设A(1, 0, 0)，D 1(0, 0, a)，则C 1(0, 1, a)，C(0, 1, 0)，A(1, 0, a)，B(1, 12, 0)，B 1(1, 1, a)∴ DA 1→=(1,0,a)，DC 1→=(0,1,a)设平面A 1C 1D 的法向量为n →=(x, y, z)，则{x +az =0y +az =0，∴ 可取n →=(a,a,−1)∵ 平面D 1C 1D 的法向量为DA →=(1,0,0) ∴ cos <n →，DA →>=√2a 2+1=√105∴ a =√2 ∴ EB 1→=(0,12,√2)∴ cos <n →，EB 1→>=√22−√2√5×32=−√1015∴ 直线B 1E 与平面A 1C 1D 所成角的正弦值√1015．【答案】解：（1）根据直方图估计该小区在政府动员后平均每户居民的月均用水量为1×0.015+3×0.03+5×0.105+7×0.2+9×0.12+11×0.03)×2=6.88（吨）于是可估计该小区在政府动员后比动员前平均每月可节约用水8.98×104−6.88×104=2.08×104（2）由动员前的直方图计算得月平均用水量在[12, 14)范围内的家庭有6户，在[14, 16)内的有3户，因此X 可能取值有0，1，2，3，P(X=0)=C65C95=6126=121；P(X=1)=C31C64C95=45126=514；P(X=2)=C32C63C95=60126=1021；P(X=3)=C33C62C95=15126=542∴X的分布列为∴EX=1×514+2×1021+3×542=53【考点】频率分布直方图离散型随机变量的期望与方差【解析】（1）将直方图中的每个组中值乘以每个矩形的面积相加即可求出所求；（2）由动员前的直方图计算得月平均用水量在[12, 14)范围内的家庭有6户，在[14, 16)内的有3户，因此X可能取值有0，1，2，3，分别求出相应的概率，最后根据数学期望的公式解之即可．【解答】解：（1）根据直方图估计该小区在政府动员后平均每户居民的月均用水量为1×0.015+3×0.03+5×0.105+7×0.2+9×0.12+11×0.03)×2=6.88（吨）于是可估计该小区在政府动员后比动员前平均每月可节约用水8.98×104−6.88×104=2.08×104（2）由动员前的直方图计算得月平均用水量在[12, 14)范围内的家庭有6户，在[14, 16)内的有3户，因此X可能取值有0，1，2，3，P(X=0)=C65C95=6126=121；P(X=1)=C31C64C95=45126=514；P(X=2)=C32C63C95=60126=1021；P(X=3)=C33C62C95=15126=542∴X的分布列为∴EX=1×514+2×1021+3×542=53【答案】解：（1）∵焦点为F1、F2，短轴的一个端点为D，且DF1→⋅DF2→=0∴△DF1F2为等腰直角三角形，且b=c∴a=√2b∴x22b2+y2b2=1∵椭圆C：x2a+y2b=1(a>b>0)经过点(−1,−√22)，∴12b2+12b2=1∴b=1∴a=√2∴椭圆的方程为x22+y2=1；（2）①当直线l的斜率不存在时，设l:x=m，代入椭圆方程，可得y=±√1−m22∴A(m, √1−m22)，B(m, −√1−m22)，∵以AB为直径的圆恒过定点P(0, 1)∴PA→⋅PB→=0∴(m, √1−m22−1)•(m, −√1−m22−1)=0，∴m=0∴l:x=0；②当直线l的斜率存在时，设l:y=kx+b，代入椭圆方程，消去y可得(1+2k2)x2+4kbx+2b2−2=0△=16k2−8b2+8>0，∴2k2>b2−1设A(x1, y1)，B(x2, y2)，则x1+x2=−4kb1+2k2，x1x2=2b2−21+2k2∵以AB为直径的圆恒过定点P(0, 1)∴PA→⋅PB→=0∴PA→⋅PB→=x1x2+y1y2−(y1+y2)+1=0∴3b2−2b−1=0∴b=−13或b=1当b=1时，不符合题意；当b=−13时，直线l恒过定点(0, −13)．【考点】直线与椭圆结合的最值问题椭圆的标准方程【解析】（1）根据焦点为F 1、F 2，短轴的一个端点为D ，且DF 1→⋅DF 2→=0，可得△DF 1F 2为等腰直角三角形，且b =c ，再利用椭圆C ：x 2a +y 2b =1(a >b >0)经过点(−1,−√22)，即可求得椭圆的方程；（2）①当直线l 的斜率不存在时，设l:x =m ，代入椭圆方程，求得A ，B 的坐标，利用以AB 为直径的圆恒过定点P(0, 1)，可求l 的方程；②当直线l 的斜率存在时，设l:y =kx +b ，代入椭圆方程，利用以AB 为直径的圆恒过定点P(0, 1)，结合韦达定理，可得结论． 【解答】解：（1）∵ 焦点为F 1、F 2，短轴的一个端点为D ，且DF 1→⋅DF 2→=0 ∴ △DF 1F 2为等腰直角三角形，且b =c ∴ a =√2b ∴x 22b2+y 2b 2=1∵ 椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)经过点(−1,−√22)， ∴ 12b 2+12b 2=1∴ b =1 ∴ a =√2∴ 椭圆的方程为x 22+y 2=1；（2）①当直线l 的斜率不存在时，设l:x =m ，代入椭圆方程，可得y =±√1−m 22∴ A(m, √1−m 22)，B(m, −√1−m 22)，∵ 以AB 为直径的圆恒过定点P(0, 1) ∴ PA →⋅PB →=0 ∴ (m, √1−m 22−1)•(m, −√1−m 22−1)=0，∴ m =0∴ l:x =0；②当直线l 的斜率存在时，设l:y =kx +b ，代入椭圆方程，消去y 可得(1+2k 2)x 2+4kbx +2b 2−2=0 △=16k 2−8b 2+8>0，∴ 2k 2>b 2−1设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则x 1+x 2=−4kb1+2k 2，x 1x 2=2b 2−21+2k 2 ∵ 以AB 为直径的圆恒过定点P(0, 1) ∴ PA →⋅PB →=0∴ PA →⋅PB →=x 1x 2+y 1y 2−(y 1+y 2)+1=0 ∴ 3b 2−2b −1=0 ∴ b =−13或b =1当b =1时，不符合题意；当b =−13时，直线l 恒过定点(0, −13)．【答案】解：（1）∵ f(x)=1−e λx (λ∈R 且λ≠0)， ∴ f′(x)=−λe λx ，当λ<0时，f′(x)>0，f(x)在(−∞, +∞)是单调递增； 当λ>0时，f′(x)<0，f(x)在(−∞, +∞)是单调递减．（2）当x >−1时，f(x)≥xx+1恒成立等价于(x +1)e λx −1≤0， 设g(x)=(x +1)e λx −1(x >−1)， 则g(x)≤0恒成立，g(0)=0， g′(x)=(λx +λ+1)e λx ，若λ>0，当x >0时，有g(x)>1×1−1=0， 故g(x)≤0不恒成立，所以λ<0，由g′(x)=0，得x 0=−1−1λ，当λ=−1时，x 0 有g(x)≤g(0)=0，故g(x)≤0恒成立；当−1<λ<0时，x 0>0，g(x)在[0, x 0]单调增． 有g(x 0)>g(0)=0，故g(x)≤0不恒成立；当λ<−1时，−1<x 0<0，g(x)在[x 0, 0]单调减， 有g(x 0)>g(0)=0，故g(x)≤0不恒成立． 所以当f(x)≥x x+1在(−1, +∞)上恒成立时，λ=−1．【考点】利用导数研究函数的单调性导数在最大值、最小值问题中的应用【解析】（1）由f(x)=1−e λx (λ∈R 且λ≠0)，得f′(x)=−λe λx ，由此能讨论f(x)的单调性．（2）当x >−1时，f(x)≥xx+1恒成立等价于(x +1)e λx −1≤0，设g(x)=(x +1)e λx −1(x >−1)，则g(x)≤0恒成立，g(0)=0，g′(x)=(λx +λ+1)e λx ，若λ>0，当x >0时，有g(x)>1×1−1=0，故g(x)≤0不恒成立，所以λ<0，由g′(x)=0，得x 0=−1−1λ，由此列表讨论得到当f(x)≥xx+1在(−1, +∞)上恒成立时，λ=−1．【解答】 解：（1）∵ f(x)=1−e λx (λ∈R 且λ≠0)， ∴ f′(x)=−λe λx ，当λ<0时，f′(x)>0，f(x)在(−∞, +∞)是单调递增； 当λ>0时，f′(x)<0，f(x)在(−∞, +∞)是单调递减．（2）当x >−1时，f(x)≥xx+1恒成立等价于(x +1)e λx −1≤0， 设g(x)=(x +1)e λx −1(x >−1)， 则g(x)≤0恒成立，g(0)=0， g′(x)=(λx +λ+1)e λx ，若λ>0，当x >0时，有g(x)>1×1−1=0， 故g(x)≤0不恒成立，所以λ<0，由g′(x)=0，得x 0=−1−1λ，当λ=−1时，x 0 有g(x)≤g(0)=0，故g(x)≤0恒成立；当−1<λ<0时，x 0>0，g(x)在[0, x 0]单调增． 有g(x 0)>g(0)=0，故g(x)≤0不恒成立；当λ<−1时，−1<x 0<0，g(x)在[x 0, 0]单调减， 有g(x 0)>g(0)=0，故g(x)≤0不恒成立． 所以当f(x)≥xx+1在(−1, +∞)上恒成立时，λ=−1．四、选考题（本小题满分10分）请考生在第（22）、（23）、（24）三道题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡第I 卷选择题区域内把所选的题号涂黑．注意：所做题目必须与所涂题号一致，如果多做，则按所做的第一题计分． 【答案】 证明：（1）连接ED ，则∵ AF 切⊙O 于点A ，∴ ∠FAE =∠DCB ∵ BD ⊥AC ，FE ⊥AB ∴ ∠AEF =∠BDC =90″ ∴ ∠F =∠DBC ；（2）∵ BD ⊥AC ，CE ⊥AB ∴ D ，E ，B ，C 四点共圆 ∴ ∠DEC =∠DBC ∵ ∠F =∠DBC∴ ∠DEC =∠F ∴ DE // AF ∴ ADDC =FEEC【考点】与圆有关的比例线段 【解析】（1）连接ED ，利用AF 切⊙O 于点A ，可得∠FAE =∠DCN ，再证明∠AEF =∠BDC =90″，即可证得∠F =∠DBC ；（2）由BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，可得D ，E ，B ，C 四点共圆，从而有∠DEC =∠DBC ，利用∠F =∠DBC ，可得∠DEC =∠F ，从而DE // AF ，故可证得结论． 【解答】 证明：（1）连接ED ，则∵ AF 切⊙O 于点A ，∴ ∠FAE =∠DCB∵ BD ⊥AC ，FE ⊥AB ∴ ∠AEF =∠BDC =90″ ∴ ∠F =∠DBC ；（2）∵ BD ⊥AC ，CE ⊥AB ∴ D ，E ，B ，C 四点共圆 ∴ ∠DEC =∠DBC ∵ ∠F =∠DBC ∴ ∠DEC =∠F ∴ DE // AF ∴ ADDC =FEEC 【答案】解：(1)点P(2, π3)的直角坐标为P(1, √3)，由l 的倾斜角为α，则l 的参数方程为： {x=1+t cos α，y =√3+t sin α，（t 为参数）．(2)圆ρ=3的直角坐标方程为x 2+y 2=9，∵ A ，B 在直线l 上，A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2， 将l 的参数方程代入x 2+y 2=9， 得(1+t cos α)2+(√3+t sin α)2=9，化简，得t2+(2cosα+2√3sinα)t−5=0，t1+t2=−(2cosα+2√3sinα)，t1⋅t2=−5，|AB|=√(t1+t2)2−4t1t2=√(2cosα+2√3sinα)2−4×(−5)=√24+8sin2α+8√3sinαcosα=√28+4√3sin2α−4cos2α=√28+8sin(2α−π6)，当sin(2α−π6)=−1，即α=5π6时，|AB|的最小值是2√5．【考点】参数方程与普通方程的互化圆的极坐标方程两点间的距离公式【解析】（1）点P(2, π3)的直角坐标为P(1, √3)，由l的倾斜角为α，能求出l的参数方程．（2）圆ρ=3的直角坐标方程为x2+y2=9，由A、B在直线l上，A，B对应的参数分别为t1，t2，将l的参数方程代入x2+y2=9，得t2+(2cosα+2√3sinα)t−5=0，由此能求出|AB|的最小值．【解答】解：(1)点P(2, π3)的直角坐标为P(1, √3)，由l的倾斜角为α，则l的参数方程为：{x=1+t cosα，y=√3+t sinα，（t为参数）．(2)圆ρ=3的直角坐标方程为x2+y2=9，∵A，B在直线l上，A，B对应的参数分别为t1，t2，将l的参数方程代入x2+y2=9，得(1+t cosα)2+(√3+t sinα)2=9，化简，得t2+(2cosα+2√3sinα)t−5=0，t1+t2=−(2cosα+2√3sinα)，t1⋅t2=−5，|AB|=√(t1+t2)2−4t1t2=√(2cosα+2√3sinα)2−4×(−5)=√24+8sin2α+8√3sinαcosα=√28+4√3sin2α−4cos2α=√28+8sin(2α−π6)，当sin(2α−π6)=−1，即α=5π6时，|AB|的最小值是2√5．【答案】解：（1）由题设知：|x−2|+|x−1|−2≥0等价于：{x≤1−x+2−x+1−2≥0⇒x≤12，或{1<x<2−x+2+x−1−2≥0⇒x∈⌀，或{x≥2x−2+x−1−2≥0⇒x≥52，综上所述，当a=1时，函数f(x)的定义域为(−∞, 12]∪[52, +∞)．（2）由题设知，当x∈R时，恒有|ax−2|+|ax−a|−2≥0，即|ax−2|+|ax−a|≥2恒成立，∵|ax−2|+|ax−a|≥|(ax−2)−(ax−a)|=|a−2|，∴只需|a−2|≥2，解得a≤0，或a≥4．【考点】函数的定义域及其求法绝对值不等式【解析】（1）由题设知：|x−2|+|x−1|−2≥0，由此能求出a=1时，函数f(x)的定义域．（2）由题设知，当x∈R时，恒有|ax−2|+|ax−a|−2≥0，即|ax−2|+|ax−a|≥2恒成立，由此能求出a的取值范围．【解答】解：（1）由题设知：|x−2|+|x−1|−2≥0等价于：{x≤1−x+2−x+1−2≥0⇒x≤12，或{1<x<2−x+2+x−1−2≥0⇒x∈⌀，或{x≥2x−2+x−1−2≥0⇒x≥52，综上所述，当a=1时，函数f(x)的定义域为(−∞, 12]∪[52, +∞)．（2）由题设知，当x∈R时，恒有|ax−2|+|ax−a|−2≥0，即|ax−2|+|ax−a|≥2恒成立，∵|ax−2|+|ax−a|≥|(ax−2)−(ax−a)|=|a−2|，∴只需|a−2|≥2，解得a≤0，或a≥4．。

2012云南高考数学理科试题点评：难度提升平均分降低2012年，是云南省高中进入新课改以后第一次高考，从原来考全国二套卷改为考全国高考新课标卷，今年参加高考的考生成为云南省高考新课标卷第一批“试水”人。

考题难度如何？与往年有什么变化？理科数学难度提升预计平均分比去年低点评嘉宾：昆十中数学高级教师肖双兵从今年的试卷和考生考后反馈来看，今年新课标全国高考数学试卷（云南、宁夏卷）选择题比去年全国二卷难，填空题基本上与去年全国二卷持平，解答题中的三角函数，解析几何比去年难，选答题的3道题中的参数方程，和不等式的题略难，多数学生感觉到答得不顺利，所以预计今年的数学理科平均分要低于去年。

试卷特点如下：1。

立足教材，紧扣考纲。

试卷中所有考题无一超纲，选择题，填空题中半数“母题”源于课本，解答题中的18题也是源于课本。

2。

突出基础，强化综合。

试卷考查了集合，复数，函数图像，框图语言，三视图，数学期望，椭圆离心率，二面角等概念。

第3题，第5题，第8题，第12题均以知识交汇处出题。

3。

着力思维，立意能力。

试卷对能力的考查全面且重点突出，特别对空间想象能力，推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及创新意识的要求更高。

第17题这道题是解答题的第1题，命题者本意不想难为学生，但实际上此题的确难住了很多学生，个中原因值得我们深思。

4。

体现课改，平稳过渡。

对教材新增内容的考查较全面，且难易适度，既体现了基础知识的与时俱进又有利于新课标的平稳过渡。

三道选答题，参数方程的第二问，有一定的难度，学生选此题不易得满分，因此合理地选择也是对学生能力的较高的要求。

纵观2012年高考数学试题，它紧扣数学考试大纲，继承与创新并举，基本上实现了云南从旧课程高考数学卷向新课程高考数学卷的平稳过渡，为新课标的教学起到了积极的引领作用。

不足之处是：可能是命题者对新课程的教材及西南片的学生了解不够，导致相当一部分考生带着数学不及格的遗憾进入大学。

云南省第二次统测理科数学质量分析孔丽萍一、对试题的看法本次试题试卷长度、题型比例配置合理。

侧重于高中数学的基础知识和基本技能的考查；侧重于知识交汇点的考查。

在全面考查的前提下，高中数学的主干知识如函数、三角函数、不等式、数列、空间几何体、圆锥曲线、概率统计等仍然是支撑整份试卷的主体内容，尤其是解答题，涉及内容均是高中数学的重点知识。

（一）选择题第1――5题主要考查了集合、抛物线、数列、向量、三视图等方面的基本知识，学生完成情况比较好，得分率较高。

第6――12题主要考查数列、直线与圆、三角公式、概率、圆锥曲线、函数的性质、几何体，要求学生不仅要有扎实的数学知识，而且有一定的灵活性，才能运用相应的数学思维与技能完成问题。

（二）填空题主要考查框图、几何概型、抛物线、三角函数问题，不仅要求学生基本知识要牢固，思路清晰、准确，而且对计算能力要求比较高。

（三）解答题17题主要考查了的三角函数。

考查了最基本的三角恒等变换，同时本体加以考查定积分知识在里面，在知识交汇点出题，导向性的意图很明显。

18题主要考查了线面位置关系与角度的计算。

本题涉及到的几何法与向量法，是解决这一问题的两种主要方法。

能看出题人的良苦用心。

19题统计与概率相结合，注重了对知识交汇点的考查。

对分布列的考查比较基础，学生只要能读懂题目就可顺利完成。

20题侧重考查了用导数研究函数单调区间、最值问题的基础知识与基本技能，涉及到的分类讨论、变形转化、化归、数形结合等数学思想方法对学生的要求较高。

21题侧重了对圆锥曲线的方程、性质基本内容与解决直线与圆锥曲线问题通式通法的考查。

思路清晰、计算量大。

22、23、24、三选一，常规考法：23平面几何、24极坐标与参数方程、25不等式证明二、成绩分析参考人数：45，平均分：83.09.三、问题分析在这次考试中，学生暴露出的主要问题：1.基础知识掌握不扎实学生基础知识、基本概念不落实，公式定理的记忆错误，相关结论不熟悉，对概念和定理没有真正理解和掌握。

2012学年高一第二学期期中数学试卷分析报告数学组何建民一、试卷概况1、试卷结构情况：该数学试卷共三大题计22小题，其中填空题12题，选择题4题，解答题6题，试卷结构与往年保持一致。

2、试题的内容分布：整卷考点分布面较广，全面考查了本学期“指对函数”、“三角比”、“三角函数”三个板块的知识点。

重点对函数的定义域和值域、反函数、对数方程、三角公式、三角函数的性质等知识进行考查，对“三角函数”的知识的考查比例比往年有所增长，其中对三角函数的性质知识的考查在本卷中得到充分的体现。

(1)算法：重点考查学生对概念、法则及运算的理解和运用，同时对学生的计算能力也有较高的要求。

(2)统计：多较地考查学生对统计的思想与方法的理解和运用水平，杜绝了繁难偏怪的题目。

（3）概率：重点考查学生对概念、理解与运用水(4)三角函数：重点考察了三角函数的性质以及处理方法，淡化了对技巧的考查，同时对计算要求有所提高。

二、试卷特点：注重基础知识和基本技能的考查。

试题利用填空题、选择题和解答题三种题型，全面考查了基础知识和基本技能。

有不少题目紧扣课标，源于课本，又着重于对考生能力的考查。

从试题分布情况来看，直接运用有关知识进行解答的容易题和稍难题近50%，试题编排整体上从最基本的知识开始，由易到难，逐步提高难度，学生动手很容易。

但是，填空题中第1、2难度系数低于0.2，而第4、12的难度系数接近0.35，有些不合理。

选择题中出呼意料的是第3的难度系数为0.55，这是因为对立事件的概念没有讲过，多数有“猜”的嫌疑，故化解了难度。

不管怎样，大部分题目都立足于考查本学期核心的基础知识、基本技能和基本数学方法，它们中也有不少题目来源于课本或在课本中看到它们的影子。

但是，本张试卷对学生的计算、化简能力提出了较高的要求，陷阱重重。

如第17题，要求熟用诱导公式，活用基本恒等式，第20题，一方面没有理解题意，另一方面，平时懒得动手，写不出基本事件，满盘皆输。

xy O32π- 2 34π－4云南省部分名校高2012届第二次统一考试（玉溪一中、楚雄一中、昆明三中）理 科 数 学一、单项选择题（每小题5分，共60分）1．设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{1,2,4}A =，{4,5}B =，则图中的阴影部分表示的集合为A ．{}5B ．{}4C ．{}1,2D ．{}3,52．已知非零向量a 、b 满足b a =，那么向量b a +与向量b a -的夹角为A ．6π B ．3π C ．2π D ．23π3．61()2x x -的展开式中第三项的系数是 A ．154- B ．154 C ．15 D ．52-4．圆22420x y x +-+=与直线l 相切于点(3,1)A ，则直线l 的方程为A ．250x y --=B ．210x y --=C ．20x y --=D ．40x y +-=5．某单位员工按年龄分为A ，B ，C 三组，其人数之比为5：4：1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，已知C 组中甲、乙二人均被抽到的概率是,451则该单位员工总数为 A ．110 B ．100 C ．90 D ．806、右边程序框图的程序执行后输出的结果是（ ）. A ，24， B ，25， C ，34， D ，357.已知函数sin()y A x B ωφ=++ (0,0,||2A ωφπ>><) 的周期为T ，在一个周期内的图象如图所示， 则正确的结论是（ ）.A.3,2A T ==πB.2,1=-=ωB开始1n =0S =10?n >输出S2n n =+S S n=+结束是 否C.4,6T φπ=π=-D.3,6A φπ== 8.将函数sin()3y x =-π的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图像向左平移3π个单位，则所得函数图像对应的解析式为A.1sin()26y x =-πB.1sin()23y x =-πC.1sin 2y x = D.sin(2)6y x =-π9．长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，12,AB AD AA ===1D 到直线AC 的距离是 A ．3 B．．410. 设双曲线12222=-by a x （a ＞0,b ＞0)的一条渐近线与抛物线12+=x y 有且只有一个公共点，则双曲线的离心率为. A.45 B. 5 C. 25 D.5 11，设a ，b 是不同的直线，α、β是不同的平面，则下列命题： ①若,,//;ab a b αα⊥⊥则②若//,,;aa ααββ⊥⊥则③若βαβ⊥⊥,a ，则a ∥α④若,,,.a b a b αβαβ⊥⊥⊥⊥则其中正确命题的个数是A ．0B ．1C ．2D ．312.设函数[],0(),(1),0x x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩其中][x 表示不超过x 的最大整数，如]2.1[-=-2，]2.1[=1，]1[=1，若直线y=)0(>+k k kx 与函数y=)(x f 的图象恰有三个不同的交点，则k 的取值范围是A ．]31,41(B ．]41,0(C ．]31,41[D ．)31,41[二、填空题（每小题5分，共20分）13、已知满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x ，则2z x y =+的最小值是14．与椭圆1422=+y x 有相同的焦点且过点P )1,2(的双曲线方程是15．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是π332，那么这个三棱柱的体积是 .16．对于复数=z i -1，有下面4个命题：①它在复平面上对应的点在第二象限；②它的平方是一个纯虚数；③它的模是2；④0)(22=+z z 。