考点13 解斜三角形及应用举例

解斜三角形的应用
一、知识点回顾
1.有关名词
⑴仰角、府角
⑵方向角、方位角
2.解三角形的一般思路：
二、例题选讲
例1 在地面上一点A测得一电视塔尖的仰角为045，再向塔底方向前进行100米，测得塔尖的仰角为060，则此电视塔的高度为米
练习：
为测得一棵大树的高度，在一幢与大树相距20米的大楼的顶部测树顶的仰角为030，测得树底的俯角为045，那么大树的高度为例2 (2006) A、B两个小岛相距7海里，B岛在A的正南方。

现在甲船从A岛出发，以3海里/小时的速度向B岛行驶,同时乙船以2海里/小时的速度离开B岛向南偏东060方向行驶,问行驶多少小时后,两船相距最近?并求出两船的最近距离.
练习:
在一次军事演习中,敌方的大本营设在海中A岛上,岛的周围40海里为雷区,我方侦察艇正在向正南方向航行,在B处测得A 岛在侦察艇的南偏东030处,航行30海里后,在C处测得A岛在侦察艇的南偏东045处,如果侦察艇不改变航向,继续向正南方向航行,有无触雷的危险.
例3 某渔船在航行中不遇险,发出求救信号,我海军舰艇在A处获悉后,立即测出该渔在方位角为045，距离A为10海里的C处，并测得渔船正沿方位角0
105的方向以9海里小时的速度向某小岛B前进，我海军舰艇即以21海里小时的速度前去营救，试问舰艇应按照怎样的航向前进，并求出靠近渔船所用的时间。

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考点13 解斜三角形及应用举例1.（2010·湖北高考理科·Ｔ3）在△ABC 中，a =15，b=10, ∠A=60，则cos B =( ) （A）3-（B）3 （C（D）-【命题立意】本题主要考查解三角形时正、余弦定理的应用，以及三角形边角的性质.【思路点拨】先由正弦定理求出sinB ，再结合三角形“大边对大角”的性质判断角B 的范围，最后利用平方关系求出cosB.【规范解答】选C.由正弦定理知sin sin a b A B = 知sin sin b AB a=10215==32<，又a b >，故A B >，从而()0,60B ∈(0,)3π,6cos 3B =. 【方法技巧】利用“大边对大角”判断出∠B 是锐角是本题解题关键.2.（2010·上海高考理科·Ｔ１8）某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为111,,13115， 则此人能（ ）（A ）不能作出这样的三角形 （B ）作出一个锐角三角形 （C ）作出一个直角三角形 （D ）作出一个钝角三角形【命题立意】本题主要考查三角形的有关性质及用余弦定理判定三角形形状的应用． 【思路点拨】先由高转化到边长，再由余弦定理判定最大边所对的角的余弦值的正负． 【规范解答】选D.设三角形的面积为S ，则S a =⨯13121，所以S a 26=，同理可得另两边长S b 22=，S c 10=，由余弦定理，所以A 为钝角．所以能作出一个钝角三角形.【方法技巧】由三边长判定三角形是锐角、直角、还是钝角三角形时，一般只要由余弦定理求出最大边所对角的余弦值即可．若余弦值为负，则三角形为钝角三角形；若余弦值为0，则三角形为直角三角形；若余弦值为正，则三角形为锐角三角形．3.（2010·上海高考文科·Ｔ１8）若△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =， 则△ABC （ ）（A ）一定是锐角三角形 （B ）一定是直角三角形（C ）一定是钝角三角形 (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形【命题立意】本题主要考查三角形的有关性质、正弦定理及余弦定理判定三角形形状等有关知识． 【思路点拨】由余弦定理判定最大边所对的角的余弦值的正负．【规范解答】选 C .由正弦定理可得13:11:5::=c b a ，设t a 5=，则t b 11=，t c 13=，由余弦定理得110231152)13()11()5(2cos 222222-=⨯⨯-+=-+=t t t t t ab c b a C ，所以C 为钝角． 【方法技巧】由三边长判定三角形是锐角、直角、还是钝角三角形时，一般只要由余弦定理求出最大边所对角的余弦值即可．若余弦值为负，则三角形为钝角三角形；若余弦值为0，则三角形为直角三角形；若余弦值为正，则三角形为锐角三角形．4.（2010·全国高考卷Ⅱ文科·Ｔ17）ABC ∆中，D 为边BC 上的一点，33BD =，5sin 13B =，3cos 5ADC ∠=，求AD . 【命题立意】本题考查了正弦定理、两角和的正弦公式及解三角形知识.【思路点拨】由已知可得cosB ，利用两角和的正弦公式可得sin ∠BAD 。

解斜三角形解斜三角形●知识梳理1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题.（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.（从而进一步求出其他的边和角）2.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即 a2=b2+c2－2bccosA；①b2=c2+a2－2cacosB；②c2=a2+b2－2abcosC.③在余弦定理中，令C=90°，这时cosC=0，所以c2=a2+b2.由此可知余弦定理是勾股定理的推广.由①②③可得A= ；B= ；利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.特别提示两定理的形式、内容、证法及变形应用必须引起足够的重视，通过向量的数量积把三角形和三角函数联系起来，用向量方法证明两定理，突出了向量的工具性，是向量知识应用的实例.另外，解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”.●点击双基1.在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，则△ABC的形状一定是A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形解析：由2cosBsinA=sinC得×a=c，∴a=b.答案：C2.下列条件中，△ABC是锐角三角形的是A.sinA+cosA=B. ＞0anA+tanB+tanC＞0D.b=3，c=3 ，B=30°解析：由sinA+cosA=得2sinAcosA=－＜0，∴A为钝角.由＞0，得＜0，∴cos〈，〉＜0.∴B为钝角.由tanA+tanB+tanC＞0，得tan（A+B）（1－tanAtanB）+tanC＞0.∴tanAtanBtanC＞0，A、B、C都为锐角.由 = ，得sinC= ，∴C= 或 .答案：△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，如果a、b、c成等差数列，∠B=30°，△ABC的面积为，那么b等于A. B.1+D.2+解析：∵a、b、c成等差数列，∴2b=a+c.平方得a2+c2=4b2－2ac.又△ABC的面积为，且∠B=30°，故由S△ABC= acsinB= acsin30°= ac= ，得ac=6.∴a2+c2=4b2－12.由余弦定理，得cosB，解得b2=4+2 .又b为边长，∴b=1+ .答案：B4.已知（a+b+c）（b+c－a）=3bc，则∠A=_______.解析：由已知得（b+c）2－a2=3bc，∴b2+c2－a2=bc.∴ = .∴∠A答案：在锐角△ABC中，边长a=1，b=2，则边长c的取值范围是_______.解析：若c是最大边，则cosC＞0.∴ ＞0，∴c＜ .又c＞b－a=1，∴1＜c＜ .答案：（1，）●典例剖析【例1】△ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c，如果a2=b（b+c），求证：A=2B.剖析：研究三角形问题一般有两种思路.一是边化角，二是角化边.证明：用正弦定理，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入a2=b（b+c）中，得sin2A=sinB（sinB+sinC） sin2A－sin2B=sinB－ =sinBsin（A+B）（cos2B－cos2A）=sinBsin（A+B）（A+B）sin（A －B）=sinBsin（A+B），因为A、B、C为三角形的三内角，所以sin（A+B）≠0.所以sin（A－B）=sinB.所以只能有A－B=B，即A=2B.评述：利用正弦定理，将命题中边的关系转化为角间关系，从而全部利用三角公式变换求解.思考讨论（1）该题若用余弦定理如何解决?解：利用余弦定理，由a2=b（b+c），得cosA= = = ，cos2B=2cos2B－1=2（）2－1= －所以cosA=cos2B.因为A、B是△ABC的内角，所以A=2B.（2）该题根据命题特征，能否构造一个符合条件的三角形，利用几何知识解决?解：由题设a2=b（b+c），得= ①，作出△ABC，延长CA到D，使AD=AB=c，连结BD.①式表示的即是 = ，所以△BCD∽△ABC.所以∠1=∠D. 又AB=AD，可知∠2=∠D，所以∠1=∠2.因为∠BAC=∠2+∠D=2∠2=2∠1，所以A=2B.评述：近几年的高考题中，涉及到三角形的题目，重点考查正弦、余弦定理，考查的侧重点还在于三角转换.这是命题者的初衷.【例2】已知锐角△ABC中，sin（A+B）= ，sin（A －B）（1）求证：tanA=2tanB；（2）设AB=3，求AB边上的高.剖析：有两角的和与差联想到两角和与差的正弦公式，结合图形，以（1）为铺垫，解决（2）.（1）证明：∵sin（A+B）= ，sin（A－B）= ，∴=2.∴tanA=2tanB.（2）解：＜A+B＜π，∴sin（A+B）∴tan（A+B）=－，即 =－ .将tanA=2tanB代入上式整理得2tan2B－4tanB－1=0，解得tanB= （负值舍去）.得tanB= ，∴tanA=2tanB=2+ .设AB边上的高为CD，则AB=AD+DB= + = .由AB=3得CD=2+ ，所以AB边上的高为2+ .评述：本题主要考查三角函数概念，两角和与差的公式以及应用，分析和计算能力.【例3】在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C 的对边长，已知a、b、c成等比数列，且a2－c2=ac－bc，求∠A的大小及的值.剖析：因给出的是a、b、c之间的等量关系，要求∠A，需找∠A与三边的关系，故可用余弦定理.由b2=ac 可变形为 =a，再用正弦定理可求的值.解法一：∵a、b、c成等比数列，∴b2=ac.又a2－c2=ac－bc，∴b2+c2－a2=bc.在△ABC中，由余弦定理得A= = = ，∴∠A=60°.在△ABC中，由正弦定理得sinB= ，∵b2=ac，∠A=60°，∴ =sin60°解法二：在△AB C中，由面积公式得 bcsinA= acsinB.∵b2=ac，∠A=60°，∴bcsinA=b2sinB.∴ =sinA评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理.●闯关训练夯实基础1.在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：在△ABC中，A＞30° 0＜sinA＜1sinA＞；sinA＞30°＜A＜150° A＞30°.答案：B2.如图，△ABC是简易遮阳棚，A、B是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40°角，为了使遮阴影面ABD面积最大，遮阳棚ABC与地面所成的角为A.75°B.60°C.50°D.45°解析：作CE⊥平面ABD于E，则∠CDE是太阳光线与地面所成的角，即∠CDE=40°，延长DE交直线AB于F，连结CF，则∠CFD是遮阳棚与地面所成的角，设为α.要使S△ABD最大，只需DF最大.在△CFD中，∴DF∵CF为定值，∴当α=50°时，DF最大.答案：在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若三角形的面积S= （a2+b2－c2），则∠C的度数是_______.解析：由S= （a2+b2－c2）得 absinC=2abcosC.∴tanC=1.∴答案：45°4.在△ABC中，若∠C=60°，则 =_______.解析：（*）∵∠C=60°，∴a2+b2－c2=2abcosC=ab.∴a2+b2=ab+c2.代入（*）式得答案：在△ABC中，由已知条件解三角形，其中有两解的是A.b=20，A=45°，C=80°B.a=30，c=28，B=60°C.a=14，b=16，A=45°D.a=12，c=15，A=120°解析：由a=14，b=16，A=45°及正弦定理，得 = ，所以sinB= .因而B有两值.答案：C培养能力6.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，依次成等比数列，求y= 的取值范围.解：∵b2=ac，∴cosB= = = （ + ）－≥ .∴0＜B≤ ，B+cosB= sin（B+ ）.∵ ＜B+ ≤ ，∴ ＜sin（B+ ）≤1.故1＜y≤已知△ABC中，2 （sin2A－sin2C）=（a－b）sinB，外接圆半径为 .（1）求∠C；（2）求△ABC面积的最大值.解：（1）由2 （sin2A－sin2C）=（a－b）sinB得2 （－）=（a－b） .又∵R= ，∴a2－c2=ab－b2.∴a2+b2－c2=ab.∴又∵0°＜C＜180°，∴C=60°.（2）S= absinC= × ab=2 sinAsinB=2 sinAsin（120°－A）=2 sinA（sin120°cosA－cos120°sinA）AcosA+sin2A2A－ sin2Acos2A+（2A－30°）+ .∴当2A=120°，即A=60°时，Smax在△ABC中，BC=a，顶点A在平行于BC且与BC相距为a的直线上滑动，求的取值范围.解：令AB=kx，AC=x（k＞0，x＞0），则总有sinB= ，sinC= （图略），且由正弦定理得sinB= sinA，所以a2=kx2sinBsinC=kx2sinA，由余弦定理，可得cosA= = （k+ －sinA），所以k+ =sinA+2cosA≤ = .所以k2－k+1≤0，所以≤k≤ .所以的取值范围为［，］.探究创新9.某城市有一条公路，自西向东经过A点到市中心O 点后转向东北方向OB，现要修建一条铁路L，L在OA上设一站A，在OB上设一站B，铁路在AB部分为直线段，现要求市中心O与AB的距离为10 km，问把A、B分别设在公路上离中心O多远处才能使|AB|最短?并求其最短距离.（不要求作近似计算）解：在△AOB中，设OA=a，OB=b.因为AO为正西方向，OB为东北方向，所以∠AOB=135°.则|AB|2=a2+b2－2abcos135°=a2+b2+ ab≥2ab+ ab=（2+ ）ab，当且仅当a=b时，“=”成立.又O到AB的距离为10，设∠OAB=α，则∠OBA=45°－α.所以a= ，b= ，ab= ≥ ，当且仅当α=22°30′时，“=”成立.所以|AB|2≥ =400（ +1）2，当且仅当a=b，α=22°30′时，“=”成立.所以当a=b= =10 时，|AB|最短，其最短距离为20（ +1），即当AB分别在OA、OB上离O点10 km处，能使|AB|最短，最短距离为20（－1）.●思悟小结1.在△ABC中，∵A+B+C=π，∴，，ta2.∠A、∠B、∠C成等差数列的充分必要条件是∠B=60°在非直角三角形中，tanA+tanB+tanC=tanAtanBta根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：①化边为角；②化角为边.并常用正弦（余弦）定理实施边角转化用正（余）弦定理解三角形问题可适当应用向量的数量积求三角形内角与应用向量的模求三角形的边长用向量的数量积求三角形内角时，需明确向量的夹角与三角形内角是相等还是互补.●教师下载中心教学点睛1.一方面要让学生体会向量方法在解三角形方面的应用，另一方面要让学生体会解三角形是重要的测量手段，通过数值计算进一步提高使用计算器的技能技巧和解决实际问题的能力.2.要加大以三角形为背景，以三角恒等变换公式、向量等为工具的小型综合题的训练.拓展题例【例1】已知A、B、C是△ABC的三个内角，y=cotA+ .（1）若任意交换两个角的位置，y的值是否变化?试证明你的结论.（2）求y的最小值.解：（1）∵y=cotA+A+A+A+cotB+cotC，∴任意交换两个角的位置，y的值不变化.（2）∵cos（B－C）≤1，∴y≥cotA+ = +2tan = （cot +3tan ）≥故当A=B=C= 时，评述：本题的第（1）问是一道结论开放型题，y的表达式的表面不对称性显示了问题的有趣之处.第（2）问实际上是一道常见题：在△ABC中，求证：cotA+cotB+cotC≥ .【例2】在△ABC中，sinA= ，判断这个三角形的形状.分析：判断一个三角形的形状，可由三个内角的关系确定，亦可由三边的关系确定.采用后一种方法解答本题，就必须“化角为边”.解：应用正弦定理、余弦定理，可得a= ，所以b（a2－b2）+c（a2－c2）=bc（b+c）.所以（b+c）a2=（b3+c3）+bc（b+c）.所以a2=b2－bc+c2+bc.所以a2=b2+c2.所以△ABC是直角三角形.评述：恒等变形是学好数学的基本功，变形的方向是关键.若考虑三内角的关系，本题可以从已知条件推出cosA=0。

2008高考数学复习 解斜三角形及应用举例高考要求：掌握正弦定理、余弦定理，能利用这两个定理解斜三角形，进行有关计算.知识要点：1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等其比值为外接圆的直径 即 R Cc B b A a 2sin sin sin ===（其中R 表示三角形的外接圆半径） 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）2.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍第一形式，2b =B ac c a cos 222-+，第二形式，cosB=ac b c a 2222-+ 利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角3.三角形的面积：△ABC 的面积用S 表示，外接圆半径用R 表示，内切圆半径用r 表示，半周长用p 表示则 ① =⋅=a h a S 21；② ==A bc S sin 21； ③C B A R S sin sin sin 22=；④R abc S 4=； 解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解” 题型讲解例1 在ΔABC 中，已知a=3,b=2,B=45°，求A,C 及边c ．解：由正弦定理得：sinA=23245sin 3sin =⋅= b B a , 因为B=45°<90°且b<a,所以有两解A=60°或A=120°(1)当A=60°时,C=180°-(A+B)=75°，c=22645sin 75sin 2sin sin +=⋅= B C b , (2)当A=120°时,C=180°-(A+B)=15 °， c=22645sin 15sin 2sin sin -=⋅= B C b 思维点拨：已知两边和其中一边的对角解三角形问题，用正弦定理解，但需注意解的情况的讨论．例2. 钝角△ABC 的三内角A 、B 、C 所对的边分别为 a 、b 、c ，sin C = ，(c – b ) sin2A + b sin2B = c sin2C ,求A 、B 、C 的度数.解：由(c -b )sin 2A+b sin 2B=c sin 2C, 得 (c -b )a 2+b 3=c 3,∴(c -b )a 2+(b-c)(b 2+bc -a 2)=0即(b -c )(b 2+bc+c 2-a 2)=0，∴c -b =0 或 b 2+bc +c 2-a 2=0当 b = c 时，有B=C,∴C 为锐角.又 知 B=C=45o ，A=90o , 这与△ABC 为钝角三角形矛盾。

2013-08方法交流ABCD 45°60°解有关三角形问题时，常常把斜三角形化为直角三角形来解决，现举例如下.一、化斜为直求线段长度例1.如图1，一艘巡逻艇航行至海面B 处时，得知正北方向上距B 处20海里的C 处有一渔船发生故障，就立即指挥港口A 处的救援艇前往C 处营救.已知C 处位于A 处的北偏东45°的方向上，港口A 位于B 的北偏西30°的方向上.求A 、C 之间的距离.（结果精确到0.1海里，参考数据2√≈1.41，3√≈1.73）解：作AD ⊥BC ，垂足为D ，由题意得，∠ACD =45°，∠ABD =30°，设CD=x ，在Rt△ACD 中，可得AD=x ，在Rt△ABD 中，可得BD =3√x ，又∵BC =20，即x +3√x =20，解得：x =10（3√-1）∴AC =2√x ≈10.3.答：A 、C 之间的距离为10.3海里.例2.如图2是某货站传送货物的平面示意图.为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°.已知原传送带AB 长为4米.（1）求新传送带AC 的长度；（2）如果需要在货物着地点C 的左侧留出2米的通道，试判断距离B 点4米的货物MNQP 是否需要挪走，并说明理由.（说明：（1）（2）的计算结果精确到0.1米，参考数据：2√≈1.41，3√≈1.73，5√≈2.24，6√≈2.45）解：（1）如图，作AD ⊥BC 于点D ，在Rt△ABD 中，AD =ABsin45°=4×2√2=22√在Rt△ACD 中，∵∠ACD =30°∴AC =2AD =42√≈5.6即新传送带AC 的长度约为5.6米.（2）结论：货物MNQP 应挪走.解：在Rt△ABD 中，BD =AB cos45°=4×2√2=22√在Rt△ACD 中，CD=AC cos30°=42√×3√2=26√∴CB=CD-BD =26√-22√=2（6√-2√）≈2.1∵PC=PB-CB ≈4-2.1=1.9<2∴货物MNQP 应挪走.二、化斜为直求建筑物高度例3.如图3所示，小明在自家楼顶上的点A 处测量建在与小明家楼房同一水平线上邻居的电梯的高度，测得电梯楼顶部B 处的仰角为45°，底部C 处的俯角为26°，已知小明家楼房的高度AD =15米，求电梯楼的高度BC.（结果精确到0.1米，参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49）解：过点A 作AE ⊥BC 于E ，∵AD ⊥CD ，BC ⊥CD ，∴四边形ADCE 是矩形，∴CE=AD =15，在Rt△ACE 中，AE =CE tan26°=150.49≈30.6，在Rt△ABE 中，BE=AE ·tan45°=30.6，∴BC=CE+BE =15+30.6=45.6.答：电梯楼的高度BC 为45.6米.例4.如图4，小山岗的斜坡AC 的坡度是tanα=34，在与山脚C 距离200米的D 处，测得山顶A 的仰角为26.6°，求小山岗的高AB.（结果取整数：参考数据：sin26.6°=0.45，cos26.6°=0.89，tan26.6°=0.50）解：∵在Rt△ABC 中，AB BC =tanα=34，∴BC =4AB3∵在Rt△ADB 中，∴AB BD=tan26.6°=0.50即：BD =2AB ∵BD -BC=CD =200∴2AB -43AB =200解得：AB =300，答：小山岗的高度为300米.三、化斜为直巧判断例5.如图5，一艘货轮在A 处发现其北偏东45°方向有一海盗船，立即向位于正东方向B 处的海警舰发出求救信号，并向海警舰靠拢，海警舰立即沿正西方向对货轮实施救援，此时距货轮200海里，并测得海盗船位于海警舰北偏西60°方向的C 处.（1）求海盗船所在C 处距货轮航线AB 的距离.（2）若货轮以45海里/时的速度由A 处沿正东方向海警舰靠拢，海盗以50海里/时的速度由C 处沿正南方向对货轮进行拦截，问海警舰的速度应为多少时才能抢在海盗之前去救货轮？（结果保留根号）解：（1）作CD ⊥AB 于点D ，在Rt△ADC 中，∵∠CAD=45°，∴AD=CD .在Rt △CDB 中，∵∠CBD =30°，∴DC BD=tan30°，∴BD=3√DC .∵AB=AD+BD=CD +3√CD =200，化斜为直，解斜三角形文/范艳伟北北C DA BACDB Q N MP A DC B45°26°ABCD 26.6°200米α图1图2图3图4图. All Rights Reserved.2013-08方法交流∴CD =100（3√-1）；（2）∵海盗以50海里/时的速度由C 处沿正南方向对货轮进行拦截，∴海盗到达D 处用的时间为100（3√-1）÷50=2（3√-1），∴警舰的速度应为［200-100（3√-1）］÷2（3√-1）=503√千米/时.例6.如图，海中有一小岛B ，它的周围15海里内有暗礁.有一货轮以30海里/时的速度向正北航行半小时后到达C 处，发现B 岛在它的东北方向.问货轮继续向北航行有无触礁的危险？（参考数据：3√≈1.7，2√≈1.4）解：作BD ⊥AC 于点D 设BD=x 海里，则在Rt△ABD 中，tan30°=x AD ，∴AD =3√x .在Rt△CBD 中，tan45°=x CD，∴CD=x .∴AC=AD-CD =3√x-x ∵AC =30×12=15，∴3√x-x =15∴x ≈21.4>15.∴无危险.（作者单位山东省德州市第九中学）改革开放以来，我国的英语教育规模不断扩大，但在实际教学中却出现了各种各样的问题，值得我们教师去反思、去解决。