高中数学选择填空破题(椭圆的进阶性质)：椭圆焦点三角形的一个面积公式-Word版含答案

椭圆焦点三角形的面积公式
椭圆焦点三角形也叫椭圆酉三角形，三角形一般由椭圆上两个焦
点O1和O2以及椭圆周上一点P构成。

椭圆焦点三角形的面积公式为：S = |OO1 × OO2 × a| / 6，其中OO1和OO2分别表示椭圆上两个焦
点之间的距离，a表示椭圆的长轴半径。

椭圆焦点三角形的形成有很多种情况：
一、当椭圆上的三点共线时，椭圆焦点三角形的面积为零，因为
在此情况下三点重合，没有三角形的形成。

二、当三点不共线时，根据椭圆焦点三角形的面积公式，可以计
算出这三角形的面积。

三、如果椭圆的两个焦点落在三点的延长线上时，椭圆焦点三角
形的面积也为零，因为此时三角形边长小于椭圆两个焦点間的距离，
因此不存在三角形，即三角形面积为零。

四、如果椭圆的两个焦点分别落在三角形的三条边上，则椭圆焦
点三角形的面积等于三角形的面积。

椭圆焦点三角形的面积公式是求解椭圆焦点三角形面积的有效工具，可用于几何分析和图形计算。

该公式既适用于共线的情况，也适
用于不共线的情况，可以让我们准确求得椭圆焦点三角形的面积，这
在几何图形分析中非常有用。

理解椭圆焦点三角形的特性并应用面积
公式可以让我们更好地分析几何图形。

今天我们介绍椭圆的通径。

椭圆通径是过椭圆的一个焦点垂直于长轴的弦。

过椭圆焦点的所有弦中，通径最短。

先看例题：例：已知椭圆C: 22221(0)yx a b a b 的右顶点为A (1,0),过C 的焦点且垂直长轴的弦长为1.求椭圆C 的方程.所以M 、N 坐标可表示为22(,),(,)b b M c N c a a由已知弦长为1得：21,2 1.b b ag △从而2,1.a b △因此,所求的椭圆方程为2214yx .焦点在x 轴的椭圆22221(0)xy a b a b 的通径：再看一个例题，加深印象例：已知椭圆221123x y 的左、右焦点分别是1F 、2F ，点P 在椭圆上. 如果线段1PF 的中点在y 轴上,那么1||PF 是2||PF 的（）A. 7倍B. 5倍C. 4倍D. 3倍再由椭圆的性质可知：122373||2-||437||22PF a PF PF 即本题选 A.总结：1.椭圆通径是过椭圆的一个焦点垂直于长轴的弦。

2.过椭圆焦点的所有弦中，通径最短。

练习：1. 设椭圆22221(0)xy a b a b 的左焦点为F ,离心率为33,过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设A, B 分别为椭圆的左、右顶点,过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ,D 两点.若8AC DB AD CB u u u r u u u r u u u r u u u r ,求k 的值.2. 已知F 1(－1,0),F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点,过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A ,B 两点,且|AB |=3,则C 的方程为( )A.2212x y B. 22132x y C. 22143x yD. 22154x y3.已知椭圆191622y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，点P 在椭圆上. 若P 、1F 、2F 是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（）A. 59B. 779C. 49D. 49或7793.97h，.779h 故答案选 D.。

椭圆的焦点三角形面积公式
1、椭圆的焦点三角形面积公式:
椭圆的焦点三角形面积公式，指的是针对椭圆的一种特殊形状的三角形，是其面积计算公式。

具体计算公式为：S=1/2ab*sqrt(1-e2)，其中a、b、e分别表示椭圆长轴、短轴以及离心率，即椭圆椭圆小周长与大周
长之比，由此可以得出动态椭圆的焦点三角形面积。

2、离心率的计算方法：
离心率是指椭圆小周长与大周长之比，计算方法也很简单，通过将椭
圆的两个焦点到长轴上的距离除以长轴的长度，即可得到离心率的值。

这里要注意的是，离心率的值不能大于1，否则椭圆的小周长就大于大周长，椭圆就变成了另一种不同的形状了。

3、椭圆的焦点三角形面积计算实例：
具体计算实例，假设我们有一个椭圆，长轴长度为a=30，短轴长度为
b=20，离心率为e=0.6，则该椭圆的焦点三角形的面积计算公式为：
S=1/2ab*sqrt(1-e2)，其中的a、b、e分别表示椭圆的长轴、短轴以及离
心率，则本例中的面积计算结果为S=216，即椭圆的焦点三角形的面
积为216。

2023年高考数学椭圆焦点三角形的面积问题【考点梳理】焦点三角形：椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形.r 1＝|PF 1|，r 2＝|PF 2|，∠F 1PF 2＝θ，△PF 1F 2的面积为S ，则在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)中：①焦点三角形的周长为2(a ＋c )；②4c 2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos θ；③当r 1＝r 2时，即点P 的位置为短轴端点时，θ最大；④S ＝12r 1r 2sin θ＝b 2tan θ2＝c |y 0|，当|y 0|＝b 时，即点P 的位置为短轴端点时，S 取最大值，最大值为bc .【题型归纳】一、求椭圆焦点三角的面积1．已知点P 是椭圆22:1259x y C +=上一点，12,F F 是其左右焦点，且1260F PF ∠=，则三角形12F PF △的面积为_________2．已知点P 是椭圆221259x y +=上的点，点12,F F 是椭圆的两个焦点，若12F PF △中有一个角的大小为3π，则12F PF △的面积为______．3．设12,F F 是椭圆2241496x y +=的两个焦点，P 是椭圆上的点，且12||:||4:3PF PF =，则12PF F △的面积为（）A ．22B ．42C ．4D ．64．设12,F F 是椭圆2211224x y +=的两个焦点，P 是椭圆上一点，且1213cos F PF ∠=.则12PF F △的面积为（）A ．6B ．62C ．8D ．825．已知点F 1，F 2分别是椭圆22:14x C y +=的左右焦点，点M 在椭圆C 上，且满足1223MF MF += ，则12MF F △的面积为___________.6．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦点为1F ，2F ，若椭圆C 上存在一点P ，使得120PF PF ⋅= ，且△12F PF 的面积等于4.则实数b 的值为___________.二、椭圆焦点三角形面积的最值问题7．已知1F 、2F 为椭圆22:14xy Γ+=的左、右焦点，M 为Γ上的点，则12MF F △面积的最大值为（）A ．3B ．2C ．23D ．4三、已知椭圆焦点三角形面积求边8．设1F 、2F 是椭圆22:110x C y +=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上，且12PF F △的面积为7，则OP =（）A ．3B ．73C ．83D ．39．已知12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点，点M 是椭圆C 上的一点，且1212,2F MF F MF π∠= 的面积为1，则椭圆C 的短轴长为（）A ．1B ．2C ．22D ．4四、与内切圆相结合10．已知椭圆2212516x y +=两焦点1F 、2F ，P 为椭圆上一点，若123F PF π∠=，则12F PF △的内切圆半径为______五、与平面向量相结合11．已知P 是椭圆221259x y +=上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，若1212PF PF PF PF ⋅=⋅12，则12F PF △的面积为（）A ．33B ．93C ．3D ．912．已知1F 、2F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且12PF PF ⊥ ．若12PF F △的面积为9，求实数b 的值．【巩固训练】一、单选题13．已知点P 在椭圆221164x y +=上，1F 与2F 分别为左、右焦点，若1223F PF π∠=，则12F PF △的面积为（）A ．43B ．63C ．83D ．13314．已知椭圆C ：221259x y +=，1F ，2F 分别为它的左右焦点，A ，B 分别为它的左右顶点，点P 是椭圆上的一个动点，下列结论中错误的是（）A ．离心率45e =B ．12F PF △的周长为18C ．直线PA 与直线PB 斜率乘积为定值925-D ．若1290F PF ︒∠=，则12F PF △的面积为815．已知椭圆2221(10)y x b b +=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，点M 是椭圆上一点，点A 是线段12F F 上一点，且121223F MF F MA π∠=∠=，3||2MA =，则该椭圆的离心率为（）A ．32B ．12C ．223D ．33二、多选题16．椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆C 上，若方程340mx y m ++-=所表示的直线恒过定点M ，点Q 在以点M 为圆心，C 的长轴长为直径的圆上，则下列说法正确的是（）A ．椭圆C 的离心率为12B ．12PF PF ⋅的最大值为4C ．12PF F △的面积可能为2D ．2PQ PF -的最小值为256-17．已知椭圆22:14x M y +=，若P 在椭圆M 上，1F 、2F 是椭圆M 的左、右焦点，则下列说法正确的有（）A ．若12PF PF =，则1230PF F ∠=B ．12F PF △面积的最大值为3C ．12PF PF -的最大值为23D ．满足12F PF △是直角三角形的点P 有4个18．已知椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别是1F ，2F ，04,3M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆C 上一点，则下列结论正确的是（）A ．12MF F △的周长为6B ．12MF F △的面积为153C ．12MF F △的内切圆的半径为159D ．12MF F △的外接圆的直径为321119．双曲线22:1124x y C -=的左，右焦点分别为1F ，2F ，点P 在C 上.若12PF F △是直角三角形，则12PF F △的面积为（）A ．833B ．433C ．4D ．220．已知P 是椭圆C ：2216x y +=上的动点，过11,4Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭直线与椭圆交于,M N 两点，则（）A ．C 的焦距为5B ．当Q 为MN 中点时，直线MN 的斜率为3-C ．C 的离心率为306D ．若1290F PF ︒∠=，则12F PF △的面积为121．设椭圆22:12x C y +=的左右焦点为1F ，2F ，P 是C 上的动点，则下列结论正确的是（）A ．离心率62e =B ．12PF F △面积的最大值为2C ．以线段12F F 为直径的圆与直线20x y +-=相切D ．12PF PF ⋅的最小值为0三、填空题22．设12F F ，是椭圆22196x y +=的两个焦点，P 是椭圆上的点，且1221PF PF =：：，则12F PF △的面积等于_______.23．已知F 1，F 2是椭圆2214x y +=的两个焦点，点P 在椭圆上，2PF ⊥x 轴，则12PF F 的面积为_________．四、解答题24．设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P ，Q 为椭圆C 上任意两点，且()110PF QF λλ=< ，若2PQF 的周长为8，12PF F △面积的最大值为2．(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆C 内切于矩形ABCD （椭圆与矩形四条边均相切），求矩形ABCD 面积的最大值．25．已知椭圆C 的两焦点分别为()11,0F -、()21,0F ，P 为椭圆上一点，且12122F F PF PF =+．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若点P 在第二象限，12120F PF ∠=︒，求△12PF F 的面积．26．已知圆22:(3)64M x y ++=圆心为M ，定点(3,0)N ，动点A 在圆M 上，线段AN 的垂直平分线交线段MA 于点P(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)若点Q 是曲线C 上一点，且60QMN ∠=︒，求 QMN 的面积.参考答案1．33【分析】由椭圆方程可得,,a b c ，利用椭圆定义和余弦定理可构造方程求得12PF PF ⋅，由三角形面积公式可求得结果.【详解】由椭圆方程知：5a =，3b =，则22216c a b =-=；由椭圆定义知：12210PF PF a +==，由余弦定理得：222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅∠，()2212121243100364c PF PF PF PF PF PF ∴=+-⋅=-⋅=，解得：1212PF PF ⋅=，12121213sin 63322F PF S PF PF F PF ∴=⋅∠=⨯= .故答案为：33.2．33或63##63或33【分析】由椭圆方程可求得,,a b c ；当123F PF π∠=时，由焦点三角形面积公式可求得12F PF S ；当123PF F π∠=时，利用余弦定理可构造方程求得1PF ，由三角形面积公式可得结果.【详解】由椭圆方程知：5a =，3b =，则224c a b =-=；若123F PF π∠=，则12212tan9tan 3326F PF F PF S b π∠=== ；若123PF F π∠=，设1PF m =，则2210PF a m m =-=-，由余弦定理得：22222112112122cos 648PF PF F F PF F F PF F mm =+-⋅∠=+-=()210m -，解得：3m =，1211212113sin 3863222F PF S PF F F PF F ∴=⋅∠=⨯⨯⨯= ；同理可得：当21π3PF F Ð=时，1263F PF S = .综上所述：12F PF △的面积为33或63.故答案为：33或63.3．D【分析】根据椭圆的定义求出12||4,||3PF PF ==，从而判断出12PF F △为直角三角形，然后即可求出12PF F △的面积.【详解】易知2494a =，26b =，所以222254c a b =-=，72a =，即52c =，由椭圆的定义，知12||||27PF PF a +==，又因为12||:||4:3PF PF =，所以12||4,||3PF PF ==，又1225F F c ==，所以12PF F △为直角三角形，所以13462ABC S =⨯⨯=△.故选：D.4．B【分析】利用椭圆的几何性质，得到12246PF PF a +==，12243F F c ==，进而利用1213cos F PF ∠=得出1218PF PF ⋅=，进而可求出12S PF F 【详解】解：由椭圆2211224x y +=的方程可得2224,12a b ==，所以22212c a b =-=，得26,23a c ==且12246PF PF a +==，12243F F c ==，在12PF F △中，由余弦定理可得222221212121212121212||||||(||||)2||||||cos 2||||2||||PF PF F F PF PF PF PF F F F PF PF PF PF PF +-+--∠==22212121212442||||42||||2||||2||||a c PF PF b PF PF PF PF PF PF ---==12124122||||2||||PF PF PF PF ⨯-=，而121cos 3F PF ∠=，所以，1218PF PF ⋅=，又因为，121cos 3F PF ∠=，所以1222sin 3F PF ∠=，所以，1212121122sin 1862223S PF F PF PF F PF =⋅∠=⨯⨯= 故选：B 5．1【分析】设00(,)M x y ，则可得1200(2,2)MF MF x y +=-- ，再由1223MF MF += 可得22003x y +=，而点00(,)M x y 在椭圆上，则有220014x y +=，求出0y ，从而可求出12MF F △的面积【详解】由题意可得2,1,3a b c ===，则12(3,0),(3,0)F F -，设00(,)M x y ，则12000000(3,)(3,)(2,2)MF MF x y x y x y +=---+--=--，因为1223MF MF +=，所以22004412x y +=，所以22003x y +=，因为点00(,)M x y 在椭圆上，所以220014x y +=，解得033y =，所以12MF F △的面积为1323123⨯⨯=，故答案为：16．2【分析】由三角形面积公式、向量数量积的坐标表示及P 在椭圆上列方程可得||4P c y =、2||P b y c=，即可求参数b .【详解】由题设，12||||42P P c y c y ⨯⨯==，且(,)(,)0P P P P c x y c x y ---⋅--=，可得222P P x c y =-，又222222222:1P P P Px y c y y C a b a b-+=+=，则2||P b y c =，综上，24b =，又0b >，则2b =.故答案为：27．A【分析】由于12F F 为定值，所以当点M 到12F F 的距离最大时，12MF F △面积取得最大值，即当M 与短轴的一个端点重合时，12MF F △面积的最大【详解】由2214x y +=，得224,1a b ==，所以222,1,3a b c a b ===-=，由椭圆的性质可知当M 与短轴的一个端点重合时，12MF F △面积的最大，所以12MF F △面积的最大值为1211231322F F b =⨯⨯=，故选：A 8．A【分析】根据三角形12PF F △的面积可求得点P 的坐标，由此可求得OP 的值.【详解】在椭圆C 中，10a =，1b =，则223c a b =-=，所以，1226F F c ==，12121372PF F P P S F F y y =⋅==△，所以73P y =，所以253P x =，则223P P OP x y =+=，故选：A.9．B【分析】首先分别设1MF x =，2MF y =，再根据椭圆的定义和性质列出等式，即可求解椭圆的短轴长.【详解】设1MF x =，2MF y =，所以22221124x y a xy x y c+=⎧⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩，即()222222244x y x y xy x y a +=++=++=，即22444c a +=，得2221b a c =-=，短轴长为22b =.故选：B 10．233##233【分析】根据椭圆的方程求得c ，得12||F F ，设出11||PF t =，22||PF t =，利用余弦定理可求得12t t 的值，得到△12F PF 的面积，再由等面积法求出△12F PF 内切圆的半径．【详解】由题意方程可得，5a =，4b =，223c a b ∴=-=，即12||6F F =,设11||PF t =，22||PF t =，则根据椭圆的定义可得：1210t t +=，①在12F PF △中，123F PF π∠=，∴根据余弦定理可得：22212122cos 63t t t t π+-⋅=，②联立①②得12643t t ⋅=，∴121211643163sin 232323F PF S t t π=⋅=⨯⨯= ,设△12F PF 内切圆半径为r ，△12F PF 的周长为10616L =+=，面积为1633S =，则1112F PF S Lr =，2233S r L ∴==，故答案为：23311．A【分析】由已知可得12F PF ∠，然后利用余弦定理和椭圆定义列方程组可解.【详解】因为121212121212cos 1cos 2PF PF F PF PF PF F PF PF PF PF PF ⋅∠⋅==∠=⋅⋅，120F PF π∠≤≤所以123F PF π∠=，又224c a b =-=记12,PF m PF n ==，则222464210m n mn c m n a ⎧+-==⋅⋅⋅⎨+==⋅⋅⋅⎩①②，②2-①整理得：12mn =，所以12113sin 12332322F PF S mn π==⨯⨯= 故选：A12．3b =【分析】由题意以及椭圆的几何性质列方程即可求解.【详解】因为12PF PF ⊥，所以1290F PF ∠=︒，所以12F PF △为直角三角形，22212(2)PF PF c +=，122PF PF a +=，()2221212122PF PF PF PF PF PF +=+-⋅，即()()221212242c a PF PF =-⨯⋅，1212192F PF S PF PF =⋅=△，所以2244490c a =-⨯=，所以2449b =⨯．所以3b =；综上，b =3.13．A【分析】由椭圆的定义结合余弦定理解得1216PF PF =，通过三角形面积公式即可求得答案.【详解】由12222121212128cos 2PF PF PF PF F F F PF PF PF ⎧+=⎪+-⎨∠=⎪⎩，，又1243F F =，解得1216PF PF =，1212121sin 313422162F PF S PF P PF F F =⨯⨯==∠△.故选：A.14．D【分析】根据离心率的定义可判断A ；利用椭圆的定义可判断B ；求出PA PB k k ⋅可判断C ；利用勾股定理以及椭圆的定义求出12PF PF 可判断D.【详解】由221259x y +=，可得5a =，3b =，224c a b =-=，A ，离心率45c e a ==，故A 正确；B ，12F PF △的周长为12122218PF PF F F a c ++=+=，故B 正确.C ，设()00,P x y ，2020002200009125955252525PA PBx y y y k k x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅=⋅===-+---，故C 正确；D ，1290F PF ︒∠= ，222121264PF PF F F ∴+==，又因为12210PF PF a +==，所以()212100PF PF +=，即2212122100PF PF PF PF ∴++=，解得1218PF PF =,所以1212192F PF S PF PF ==△，故D 错误.故选：D 15．B【分析】由椭圆定义得12MF MF +，由余弦定理可得12MF MF ，再由三角形面积公式得12MF MF +和12MF MF 的关系，从而求得c ，然后可得离心率．【详解】解：设11||MF r =，22||MF r =，则1222r r a +==，由余弦定理得2221212122||||||2||||cos3F F MF MF MF MF π=+-，即222212*********()4c r r r r r r r r r r =++=+-=-，所以21244r r c =-，因为1212F MF F MA AMF S S S =+ ，所以12121211sin ||sin ||sin 232323r r r MA r MA πππ=⋅⋅+⋅⋅，整理得1212()||r r r r MA =+⋅，即234422c -=⨯，整理得214c =，所以12c =，1a =，12c e a ==，故选：B.16．ABD【分析】A ：根据椭圆方程可直接求得2a =，3b =，1c =，和离心率ce a=；B ：由椭圆的定义可得124PF PF +=，结合不等式22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭代入运算；C ：点P 位于椭圆的上、下顶点时，12PF F △的面积取得最大，计算判断；D ：利用椭圆定义和圆的性质转化处理．【详解】对于选项A ，由椭圆C 的方程知2a =，3b =，1c =，所以离心率12c e a ==，故选项A 正确；对于选项B ，由椭圆的定义可得124PF PF +=，所以2121242PF PF PF PF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭，即12PF PF ⋅的最大值为4，故选项B 正确；对于选项C ，当点P 位于椭圆的上、下顶点时，12PF F △的面积取得最大值123322⨯⨯=<，故选项C 错误；对于选项D ，易知()3,4M -，则圆()()22:344M x y ++-=，所以()21114424256PQ PF PQ PF QF MF -=--≥-≥--=-，故选项D 正确，故选：ABD ．17．ABC【分析】利用余弦定理可判断A 选项；利用三角形的面积公式可判断B 选项；利用椭圆的定义可判断C 选项；利用平面向量的数量积可判断D 选项.【详解】在椭圆M 中，2a =，1b =，3c =，且1223F F =，对于A 选项，当12PF PF =时，则122PF PF a ===，由余弦定理可得2221122121123cos 22PF F F PF PF F PF F F +-∠==⋅，因为120180PF F <∠<，所以，1230PF F ∠= ，A 对；对于B 选项，当点P 为椭圆M 的短轴顶点时，点P 到x 轴的距离最大，所以，12F PF △面积的最大值为1232c b bc ⨯⨯==，B 对；对于C 选项，因为2a c PF a c -≤≤+，即22323PF -≤≤+，所以，()1222222223PF PF a PF a a c c -=-≤--==，C 对；对于D 选项，当112PF F F ⊥或212PF F F ⊥时，12PF F 为直角三角形，此时满足条件的点P 有4个，当P 为直角顶点时，设点()00,P x y ，则220044x y =-，()1003,F P x y =+ ，()2003,F P x y =- ，222120003130F P F P x y y ⋅=-+=-= ，所以，033y =±，0263x =±，此时，满足条件的点P 有4个，综上所述，满足12F PF △是直角三角形的点P 有8个，D 错.故选：ABC.18．ABC【分析】求得0y ，进而求得12,MF MF ，由此对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别是()11,0F -，()21,0F ，04,3M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆C 上一点，220041531,433y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭+==，所以2212715884,433333MF MF ⎛⎫⎛⎫=+==-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以12MF F △的周长为22426a c +=+=，A 正确.12MF F △的面积为001151521233c y c y ⨯⨯=⨯=⨯=，B 正确.设12MF F △的内切圆的半径为r ，则115156,239r r ⨯⨯==，C 选项正确.1212641641199cos 0,8416233F MF F MF +-∠==>∠⨯⨯为锐角，12121135315sin 12561616F MF ∠=-==，所以12MF F △的外接圆的直径为12122323215sin 4531531516F F F MF ===∠，D 选项错误.故选：ABC 19．AC【分析】根据双曲线方程求出c ，再根据对称性只需考虑112PF F F ⊥或12PF PF ⊥.当12PF PF ⊥时，将4x =-代入双曲线方程，求出y ，即可求出三角形面积，当12PF PF ⊥时，由双曲线的定义可知1243PF PF -=，再由勾股定理求出12PF PF ，即可得解；【详解】解：由双曲线22:1124x y C -=可得221244c a b =+=+=.根据双曲线的对称性只需考虑112PF F F ⊥或12PF PF ⊥.当12PF PF ⊥时，将4x =-代入221124x y -=可得233y =±，所以12PF F △的面积为12118323F F PF =.当12PF PF ⊥时，由双曲线的定义可知，12243PF PF a -==，由勾股定理可得()22221212264PF PF F F c +===.因为()222121212264PF PF PF PF PF PF +=-+⋅=，所以128PF PF =，此时12PF F △的面积为12142PF PF ⋅=综上所述，12PF F △的面积为4或833.故选：AC .20．CD【分析】由题知226,1a b ==，25c =，进而根据离心率公式和焦距可判断A ，C ；对于B ，利用中点弦的直线的斜率公式直接计算即可判断；对于D 选项，结合椭圆定义得122PF PF =，进而计算面积即可判断.【详解】解：由题知226,1a b ==，所以2615c =-=，故焦距为225c =，故A 选项错误；对于B 选项，当Q 为MN 中点时，由中点弦公式得2020121364MNb x k a y =-=-=-⨯，故B 选项错误；对于C 选项，椭圆的离心率为53066c e a ===，故C 选项正确；对于D 选项，1290F PF ︒∠=，则12222121226PF PF PF PF F F ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，即()1222121212262PF PF PF PF PF PF F F ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩，代入数据得122PF PF =，所以12F PF △的面积为12112S PF PF ==，故D 选项正确；故选：CD 21．CD【分析】求出离心率可判断A ；计算12PF F △面积的最大值1212F F b ⋅可判断B ；求出圆的方程，再判断圆心到直线的距离与半径的关系可判断C ；设(),P x y 进行数量积的坐标运算结合2212x y +=可判断D ，进而可得正确选项.【详解】对于A ：由椭圆22:12x C y +=可知，2a =，1b =，1c =，所以左、右焦点分别为()11,0F -，()21,0F ，离心率22c e a ==，故选项A 错误；对于B ：122F F =，当P 点与椭圆的上下顶点重合时，12PF F △面积的最大，所以12PF F △面积的最大值为11221122b ⨯⨯=⨯⨯=，故选项B 错误；对于C ：以线段12F F 为直径的圆的圆心()0,0，半径为1，由圆心()0,0到直线20x y +-=的距离222111d c ===+，所以以线段12F F 为直径的圆与直线20x y +-=相切，故选项C 正确；对于D ：设(),P x y ，()()121,,1,PF x y PF x y =---=--，2222212111022x x PF PF x y x ⋅=+-=+--=≥ ，则12PF PF ⋅ 的最小值为0，故选项D 正确；故选：CD ．22．23【分析】先利用定义求出12F PF △的各边，再求出123sin 2F PF ∠=，即可求出12F PF △的面积.【详解】由126PF PF +=，且1221PF PF =：：，12124229623PF PF F F ∴===-=，，又在12PF F △中，cos ∠2221242(23)12422F PF +-==⨯⨯，123sin 2F PF ∴∠=12121S sin 232PF PF F PF ∴=∠=.故答案为：2323．32##132【分析】2PF ⊥x 轴可得P 点横坐标，再根据点P 在椭圆上，求出P 的纵坐标，代入三角形面积公式即可求解.【详解】由题意不妨设1(F ﹣3，0)，2(F 3，0)，∵P 2F ⊥x 轴，∴P (3，±12)，∵△P 12F F 的面积＝12|P 2F ||12F F |＝12⨯12⨯23＝32，故答案为：32．24．(1)22142x y +=(2)12【分析】（1）根据椭圆的定义可知24PQF C a = ，即可求出a ，再根据()12max122PF F S c b =⨯⨯ 及a 、b 、c 的关系计算可得；（2）当矩形ABCD 中有一条边与坐标轴平行时，直接求出矩形的面积，当矩形ABCD 的边都不与坐标轴平行时，设出直线方程，联立直线与椭圆方程，消元、根据0∆=求出2242m k =+，同理得2242n k =+，再由平行线之间的距离公式求出AD ，AB ，即可求出ABCD S ，最后利用基本不等式计算可得；(1)解：由()110PF QF λλ=<得P 、1F 、Q 三点共线，因为三角形2PQF 的周长为8，即22211224PQF C PQ PF QF PF QF PF QF a =++=+++=，所以48a =，则2a =．当P 点为椭圆上或下顶点时12PF F △的面积最大，即121222=⨯⨯== PF F S c b bc ，由222244=-=-b ac b，解得22b =，所以椭圆C 的方程为22142x y +=．(2)解：当矩形ABCD 中有一条边与坐标轴平行时，则另外三条边也与坐标轴平行，矩形ABCD 的两条边长分别为24a =，222b =，此时42282ABCD S =⨯=．当矩形ABCD 的边都不与坐标轴平行时，由对称性，不妨设直线AB 的方程为：y kx m =+，则CD 的方程为：y kx m =-，AD 的方程为：1y x n k =-+，BC 的方程为：1y x n k =--．由22142y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()()222124220k x kmx m +++-=，令0∆=得2242m k =+，同理得2242n k =+，矩形ABCD 的边长分别为221m AD k =+，2211n AB k =+，∴()22222222821122411111ABCD kk m n mnk k S k kk k⎛⎫++ ⎪⎝⎭=⨯==++++，2211828212142k k=+≤+=++，当且仅当1k =±时取等号，所以矩形ABCD 面积的最大值是12．综上所述，矩形ABCD 面积的最大值是12．25．(1)22143x y +=(2)33【分析】（1）根据椭圆的定义得1,2c a ==，进而得答案；（2）根据余弦定理，结合椭圆定义，解决焦点三角形的面积问题即可.(1)解:∵椭圆C 的两焦点分别为()11,0F -、()21,0F ，∴设椭圆C 的方程为()222210x y a b a b+=>>，1c =，12||||42PF PF a ∴+==，2a ∴=．222413b a c ∴=-=-=，∴椭圆的标准方程为22143x y +=．(2)解：在△12PF F 中，由余弦定理得222121212||||||2||||cos F F PF PF PF PF =+-120︒，即212124(||||)||||PF PF PF PF =+-，212124(2)||||16||||a PF PF PF PF ∴=-=-，12||||12PF PF ∴=，1212113||||sin1201233222PF F S PF PF ∴=︒=⨯⨯= ．26．(1)221167x y +=；(2)213.5【分析】（1）根据题意中的几何关系，判断动点P 的轨迹为椭圆，写出其方程即可；（2）利用椭圆定义结合余弦定理，即可求得MQ ，再求三角形面积即可.(1)由已知PN PA =，故8PM PN PM PA AM MN +=+==>，所以P 点轨迹是以M 、N 为焦点的椭圆，设P 点轨迹方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则228,3,7a c b ===，所以P 点轨迹方程为221167x y +=.(2)不妨设MQ m =，由椭圆定义可得28QN a m m =-=-，又26MN c ==，则在MNQ 中，由余弦定理可得：()222681cos 212m m QMN m+--∠==，解得145m =.故 QMN 的面积13314213sin 2322255S QMN m c c m =⨯∠⨯⨯=⨯=⨯⨯=.。

今天我们研究椭圆标准方程的整式形式。

根据椭圆的焦点坐标位置不同，标准方程有两种情形。

如果椭圆标准方程的形式不确定，我们可以设椭圆方程的整式形式：221(,0,0)mx ny m n m n +=≠>>，进行求解，避免讨论。

先看例题：例：已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点)2,3(),1,6(21--P P ，求该椭圆的方程．∴61,32 1.m n m n +=⎧⎨+=⎩解得1,91.3m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 故所求的椭圆标准方程为22193x y +=． 注意：已知两点，椭圆标准方程的形式不确定，可以设椭圆方程的一般形式。

归纳整理：椭圆标准方程的形式不确定，设椭圆方程为221(,0,0)mx ny m n m n +=≠>>；焦点在x 轴上，设椭圆方程为221(0)mx ny n m +=>>；焦点在 y 轴上，设椭圆方程为221(0)mx ny m n +=>>。

再看一个例题，加深印象例：已知中心在原点，长轴在x 轴上的椭圆的两准线间的距离为23，若椭圆被直线x +y +1=0截得的弦的中点的横坐标是32-，求椭圆的方程.整理为：m n n m n x x 234221=-=+-=+即又两准线间的距离为23，有22a c=，即1m = 34,32==∴n m ，椭圆方程为1343222=+y x 总结：1.求椭圆标准方程，若焦点位置不确定，可利用标准方程的整式形式221(,0,0)mx ny m n m n +=≠>>，避免讨论。

2.当焦点位置确定时，利用椭圆标准方程的整式形式，在处理直线和椭圆位置关系的问题时，简化解题过程．3.根据已知条件，列方程组求出两个参数m ,n 的值。

练习：1.求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过)2,3(-A 和)1,32(-B 两点的椭圆方程．2. 已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线y =x +1与椭圆交于P 和Q ，且OP ⊥OQ ，|PQ |=210，求椭圆方程 3.已知椭圆的焦距为2,且过点3(1,)2(1)求椭圆的标准方程;(2)若P 为椭圆上的点,F 为椭圆焦点,点A 的坐标为(1, 1),求|PF |+|PA |的范围.答案2.解：设椭圆方程为mx 2+ny 2=1(m ＞0,n ＞0)， P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)由⎩⎨⎧=++=1122ny mx x y 得(m +n )x 2+2nx +n －1=0,23x 2+21y 2=1 3.。

椭圆焦点三角形面积公式有哪些性质
椭圆中的焦点三角形面积公式是S=b²·tan(θ/2)。

无论椭圆方程是x²/a²+y²/b²=1还是y²/a²+x²/b²=1；焦点三角形面积公式都是：S=b²·tan(θ/2)；θ为焦点三角形的顶角。

如果是双曲线的话：S=b²/tan(θ/2)。

椭圆焦点三角形面积公式
椭圆中的焦点三角形面积公式是S=b²·tan(θ/2)。

分析过程如下：
无论椭圆方程是x²/a²+y²/b²=1还是y²/a²+x²/b²=1；
焦点三角形面积公式都是：S=b²·tan(θ/2)；
θ为焦点三角形的顶角。

如果是双曲线的话：S=b²/tan(θ/2)
椭圆中的焦点三角形性质
（1）|PF1|+|PF2|=2a
（2）4c²=|PF1|²+|PF2|²-2|PF1|·|PF2|·cosθ
（3）周长=2a+2c
（4）面积=b^2tanθ/2
（∠F1PF2=θ）
（5）非焦距一侧的旁心在长轴上的射影是同侧端点
焦点三角形周长公式
因为顶点P总在椭圆上，
所以它一定是满足椭圆定义的。

这样的焦点三角形，
其周长就一定是定值。

l=PF1+PF2+F1F2+2a+2c。

今天我们研究利用椭圆的定义求轨迹方程.平面内与两定点的距离之和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆。

建立适当的坐标系,求出动点的轨迹方程。

先看例题：例：已知ABC ∆的周长是18,)0,4(),0,4(B A -，求点C 的轨迹方程。

注意：当y =0时，ABC 不构成三角形，所以不符合题意，即y ≠0。

归纳整理：椭圆定义:平面内与两定点的距离之和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆．a MF MF 221=+,合理利用椭圆的定义，先定出轨迹名称，再利用椭圆性质求解，可以降低运算量. 两个定点在x 轴上,得轨迹方程22221(0)x y a b a b +=>> 两个定点在 y轴上,得轨迹方程22221(0)y x a b a b +=>>求轨迹方程时，要根据题意,特别注意变量的取值范围。

要留意是否有一些特殊点，或特殊区域不能取到. 再看一个例题，加深印象例：设j i R y x ,,,∈为直角坐标系内y x ,轴正方向的单位向量，,)2(j y i x a ++= j y i x b )2(-+=，且8||||=+b a ．求点),(y x M 的轨迹C的方程。

解:由已知可得()()2,2,a x y b x y →→=+=-，，又因为8||||=+→→b a故轨迹C 的方程为2211216x y += 总结：1。

根据已知条件， 得出平面内动点与两定点的距离之和等于常数（大于两定点的距离）,符合椭圆的定义.2. 建立适当的坐标系, 注意两个定点的位置，得到不同形式的椭圆的标准方程，同时注意变量的取值范围，求出动点的轨迹方程。

练习:1。

已知ABC ∆的三边长||,||,||CB AB CA 成等差数列，若点,A B 的坐标分别为(1,0),(1,0)-.求顶点C 的轨迹W的方程;2.已知圆221:(1)16F x y ++=，定点2(1,0)F ．动圆M 过点F 2，且与圆F 1相内切．求点M 的轨迹C 的方程。

今天我们研究构造齐次方程求椭圆的离心率范围.离心率是描述椭圆“扁平程度”的一个重要数据,它常与“定义”、“焦点三角形”等联系在一起.求椭圆的离心率范围首先从定义出发，利用椭圆上点坐标的范围和焦三角形的三边大小关系，结合参数方程中三角函数有界性和均值不等式，有时也常常转化为一元二次方程利用判别式或者完全平方数（式)，具体问题具体对待，贵在转化。

根据题设条件，借助a,b,c 之间的关系，找到a ，c 的不等式,得到关于e 的不等式，从而解得离心率e 的范围.先看例题：例：已知12F F 、是椭圆的两个焦点,P 为椭圆上一点,1260F PF ∠︒＝求椭圆离心率的范围.解：设椭圆的焦距为2c ，由椭圆的定义知aPF PF 221=+.在21PF F ∆中，由余弦定理得 =221F F 21212221cos 2PF F PF PF PF PF ∠-+ =212221-PF PF PF PF +=（212213)PF PF PF PF -+ 所以22212122323344a PF PF PF PF c a =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤=- 所以21,422≥≤a c c a 得.又10<<e ，故e 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,21归纳整理：离心率-—刻画椭圆的扁平程度.把椭圆的焦距与长轴长的比称为离心率.先借助a 、b 、c 之间的关系，找到a 、c 的不等式,再得到关于e 的不等式,解得离心率e 的范围。

再看一个例题，加深印象 例：已知椭圆22221x y a b +=（a 〉b >0）的左、右焦点分别为F 1（－c ，0)，F 2(c ，0）.若椭圆上存在点P 使1221sin sin a c PF F PF F =∠∠,则该椭圆的离心率的取值范围为________. 解:依题意及正弦定理得212121||sin ||sin PF PF F a PF PF F c ∠==∠（注意到P 不与F 1F 2共线),22||2||PF a a PF c =-,则有221||a c PF a -=,又因为2||a c PF a c -<<+，则2221||a c a PF a a c =+>+, 所以整理为：211e e +>+，（e +1)2>2，又因为椭圆离心率范围在0〈e 〈1，11e <<。

1 椭圆的焦点三角形
主标题：椭圆的焦点三角形 副标题：为学生详细的分析椭圆的焦点三角形的高考考点、命题方向以及规律总结。

关键词：椭圆，椭圆的焦点三角形
难度：3
重要程度：4
考点剖析：1.明白什么是椭圆的焦点三角形；
2．会解决有关椭圆的焦点三角形的问题； 命题方向：
1.从考查内容看，椭圆的焦点三角形是高考的重点，也是高考考查的热点．
2．从考查形式看，对椭圆的焦点三角形的考查常以选择题、填空题的形式出现，属中档题． 知识梳理
(1)椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，得到a 、c 的关系． 规律总结： （1）对△F 1PF 2的处理方法⎩⎪⎨⎪⎧ 定义式的平方余弦定理
面积公式⇔
⎩⎪⎨⎪⎧ PF 1|＋|PF 22＝a 24c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos θS △＝12|PF 1||PF 2|sin θ。

椭圆中焦点三角形的面积公式椭圆中的焦点三角形，是由椭圆的两个焦点和椭圆上的任意一点构成的三角形。

我们可以通过椭圆的长轴、短轴和焦距来推导出该三角形的面积公式。

首先，我们需要知道椭圆的两个焦点的坐标。

设椭圆的长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c，椭圆的中心点为O，则左右焦点的坐标分别为(-c,0)和(c,0)。

接下来，设椭圆上任意一点的坐标为(x,y)，则该点到两个焦点的距离分别为：d1 = √((x+c)² + y²) 和d2 = √((x-c)² + y²)。

由于椭圆上的点满足椭圆方程，即(x²/a²) + (y²/b²) = 1，我们可以将其转化为：y = b√(1 - x²/a²)。

将上述两个方程代入三角形面积公式S = (1/2)×b×h，其中h为三角形的高，我们有：S = (1/2)×b×(2y) = b²√(1 - (x²/a²)) (①)根据椭圆的性质，我们可以发现椭圆的长轴与短轴满足a² = b² + c²，因此，将上述公式中的b代入为√(a² - c²)后，我们有：S = a²√(1 - (x²/a²)) - c²√(1 - (x²/a²)) = a²√(1 -(x²/a²))(1 - (c²/a²)) (②)上述公式(②) 即为椭圆中焦点三角形的面积公式。

注意到其中的(1 - (c²/a²))是一个小于1的系数，因此面积公式中的主要因素是椭圆的长轴和短轴，也就是椭圆的大小。

当椭圆是一个圆形时，也就是长轴等于短轴，面积公式中的系数即为1。