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《等差数列前n项和》教学设计一、教学目标1、知识与技能（1）掌握等差数列前n项和公式的推导过程和公式的简单应用（2）通过对公式从不同角度的剖析，培养学生思维的灵活性，提高学生分析问题和解决问题的能力2、过程与方法经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思进一步培养学生灵活运用公式的能力。
3、情感态度价值观（1）公式的发现反映了普遍性寓于特殊性之中，从而使学生受到辩证唯物主义思想的熏陶。
（2）通过生动具体的现实问题，令人着迷的历史素材和数学史，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感二、教学重难点教学重点：等差数列前n项和公式教学难点：等差数列前n项和公式的推导方法及公式的灵活应用三、教学过程结课后作业2 在50和350之间，所有末位数字是1的整数之和是（）A．5880 B．5684 C．4877 D．45663．已知等差数列{}n a，150a=，2d=-，0nS=，则n等于（）A．48 B．49 C．50 D．514等差数列{}n a中，4612a a+=，nS是数列{}n a的前n项和，则9S等于（）A．48 B．54 C．60 D．665已知数列{}n a的通项公式为23na n=-，则{}n a的前n项和n S等于（）A,2322nn-+ B．2322nn-- C．2322nn+D．2322nn-6、求集合M={m| m=2n - 1 n∈*N，且m < 60} 的元素个数，并求这些元素的和。
课堂小结（1）回顾从特殊到一般，一般到特殊的研究方法（2）体会等差数列的基本元表示方法，倒序相加的算法，及数形结合的数学思想（3）掌握等差数列的两个求和公式及简单应用。
2、课后作业：1 数列｛na｝是等差数列，公差为3，na＝11，前n和nS＝14，求n和3a2 在小于100的正整数中共有多少个数被3除余2 这些数的和是多少？3：求4：已知函数，求)10099(10098)1002()1001(ffff++⋯⋯⋯++）（的值学生代表进行分析。
等差数列的前n 项和教学目标：1．知识目标： (1)掌握等差数列前n 项和公式及其推导过程; (2)会简单运用等差数列的前n 项和公式。
2．能力目标：经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，培养观察、分析、归纳问题的能力。
3．情感目标：通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，增强学生学好数学，热爱数学的情感。
教学重、难点：1.教学重点：等差数列前n 项和公式的理解、推导与应用；2.教学难点：公式推导过程中的转化思想。
、课型课时：新授课、一课时教学方法：探究法、讲授法教学手段：多媒体教学过程一：知识回顾1、等差数列的通项公式：()d n a a n 11-+=2、在等差数列a n 中，若有m +n =p +q , m,n,p,q ∈N +,则a m +a n =a p +a q 二：创设情景，导入新知1、创设情境数学家高斯在上小学时就显示出极高的天赋。
据传说，老师在数学课上出了这样一道题：“1+2+3+……+100=？”，对于十岁左右的孩子来说这个题目是比较困难的，但高斯很快就得到了正确答案。
提问：高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢？思考：1+2+3+.......+101=?2、导入新知①等差数列前n 项和——公式推导（倒序相加）n n a a a a S ......321+++= ①121......a a a a S n n n n +++=-- ②则①+②可得()n n a a n S +=12 即 ()21n n a a n S += 有因为()d n a a n 11-+= 所以()d n n na S n 211-+= 强调：在n n S a d n a ,,,,1五个量中，能知三求二。
（分析公式的特点，熟练记忆所学公式.三：应用举例，巩固新知例：在等差数列{n a }中，已知d=2，n=15，n a =-10，求1a 及n S 四：跟踪练习，巩固所学练：已知等差数列{n a }中，1a =1，n a =19，n S =100，求d 与n 五：小结归纳，扩展深化1、掌握等差数列的两个求和公式及简单应用。
高中数学 2.3等差数列的前n 项和(2)学案新人教A 版必修5学习目标1. 进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式；2. 了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；3. 会利用等差数列通项公式与前 n 项和的公式研究n S 的最大（小）值.学习重难点1.重点：数列前n 项和公式的研究应用2.难点：前 n 项和的公式n S 的最值.一、课前预习习1：等差数列{n a }中， 4a ＝－15， 公差d ＝3，求5S .习2：等差数列{n a }中，已知31a =，511a =，求和8S .二、新课探究 ※ 学习探究问题：如果一个数列{}n a 的前n 项和为2n S pn qn r =++，其中p 、q 、r 为常数，且0p ≠，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？※ 试一试例1已知数列{}n a 的前n 项为212n S n n =+，求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？变式：已知数列{}n a 的前n 项为212343n S n n =++，求这个数列的通项公式.小结：数列通项n a 和前n 项和n S 关系为: n a =11(1)(2)nn S n S S n -=⎧⎨-≥⎩，由此可由n S 求n a .例2 已知等差数列2454377，，，....的前n 项和为n S ，求使得n S 最大的序号n 的值.变式：等差数列{n a }中， 4a ＝－15， 公差d ＝3， 求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值.小结：等差数列前项和的最大（小）值的求法.（1）利用n a : 当n a >0，d <0，前n 项和有最大值，可由n a ≥0，且1n a +≤0，求得n 的值； 当n a <0，d >0，前n 项和有最小值，可由n a ≤0，且1n a +≥0，求得n 的值（2）利用n S ：由21()22n d dS n a n =+-，利用二次函数配方法求得最大（小）值时n 的值.※ 模仿练习练1. 已知232n S n n =+，求数列的通项n a .练2. 有两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，求这个新数列的各项之和.三、总结提升 ※ 学习小结1. 数列通项n a 和前n 项和n S 关系；2. 等差数列前项和最大（小）值的两种求法. ※ 知识拓展等差数列奇数项与偶数项的性质如下：1°若项数为偶数2n ，则: S S nd 偶奇－＝；1(2)n n S an S a +≥奇偶＝；2°若项数为奇数2n ＋1，则: 1n S S a +奇偶－＝；1n S na +=偶；1(1)n S n a ++奇＝；1S n S n +偶奇＝. 当堂检测1. 下列数列是等差数列的是（ ）.A. 2n a n =B. 21n S n =+C. 221n S n =+D. 22n S n n =-2. 等差数列{n a }中，已知1590S =，那么8a =（ ）. A. 3 B. 4 C. 6 D. 123. 等差数列{n a }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为（ ）. A. 70 B. 130 C. 170 D. 2104. 在小于100的正整数中共有 个数被7除余2，这些数的和为 .5. 在等差数列中，公差d ＝12，100145S =，则13599...a a a a ++++= .课后作业1. 在项数为2n +1的等差数列中，所有奇数项和为165，所有偶数项和为150，求n 的值.2. 等差数列{n a }，10a <，912S S =，该数列前多少项的和最小？课后反思。
2.3 等差数列的前项和（二）教学要求：进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式；了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；会利用等差数列通项公式与前项和的公式研究 的最值. 如果A n ，B n 分别是等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，则1212--=n n n n B A b a ． 教学重点：熟练掌握等差数列的求和公式.教学难点：灵活应用求和公式解决问题.教学过程：一、 复习准备：1、等差数列求和公式：2)(1n n a a n S +=，d n n na S n 2)1(1-+= 2、在等差数列{a n }中(1) 若a 5=a , a 10=b , 求a 15; (2) 若a 3+a 8=m , 求a 5+a 6;(3) 若a 5=6, a 8=15, 求a 14; (4) 若a 1+a 2+…+a 5=30, a 6+a 7+…+a 10=80,求a 11+a 12+…+a 15.二、讲授新课：1、探究：等差数列的前n 项和公式是一个常数项为零的二次式.例1、已知数列{}n a 的前n 项和为212n S n n =+，求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？【结论】数列{}n a 的前n 项和n S 与n a 的关系：由n S 的定义可知，当n=1时，1S =1a ；当n ≥2时，n a =n S -1-n S ，即n a =⎩⎨⎧≥-=-)2()1(11n S S n S n n . 练习：已知数列{}n a 的前n 项和212343n S n n =++，求该数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？ 探究：一般地，如果一个数列{},n a 的前n 项和为2n S pn qn r =++，其中p 、q 、r 为常数，且0p ≠，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？（是，1a p q r =++，2d p =）.由此，等差数列的前n 项和公式2)1(1d n n na S n -+=可化成式子：n )2d a (n 2d S 12n -+=，当d ≠0，是一个常数项为零的二次式.2. 教学等差数列前n 项和的最值问题：① 例题讲解：例2、数列{}n a 是等差数列，150,0.6a d ==-. （1）从第几项开始有0n a <；（2）求此数列的前n项和的最大值.结论：等差数列前项和的最值问题有两种方法：（1） 当n a >0，d<0，前n 项和有最大值可由n a ≥0，且1+n a ≤0，求得n 的值；当n a <0，d>0，前n 项和有最小值可由n a ≤0，且1+n a ≥0，求得n 的值.（2）由n )2d a (n 2d S 12n -+=利用二次函数配方法求得最值时n 的值. 练习：在等差数列{n a }中, 4a ＝－15, 公差d ＝3, 求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值.例3、已知等差数列....,743,724,5的前n 项的和为n S ，求使得n S 最大的序号n 的值。
课题： 2.5 等比数列的前 n 项和（2）第课时总序第个教课设计课型：新讲课编写不时间：年月日履行时间：年月日教课目的：批知识与技术：会用等比数列的通项公式和前n 项和公式解决相关等比数列的注S n , a n , a1, n, q 中知道三个数求此外两个数的一些简单问题；提升剖析、解决问题能力过程与方法：经过公式的灵巧运用，进一步浸透方程的思想、分类议论的思想、等价转变的思想 .感情态度与价值观：经过公式推导的教课，对学生进行思想的谨慎性的训练，培育他们脚踏实地的科学态度 .教课要点：进一步娴熟掌握等比数列的通项公式和前n 项和公式教课难点：灵巧使用公式解决问题教课器具：投影仪教课方法：经过公式的灵巧运用，进一步浸透方程的思想、分类议论的思想、等价转变的思想 .教课过程：Ⅰ. 课题导入第一回想一下前一节课所学主要内容：等比数列的前 n 项和公式：当 q 1时，S n a1 (1 q n ) ①或S n a1a n q②1 q1q当 q=1 时，S n na1当已知 a1, q, n时用公式①；当已知 a1, q,a n时，用公式②Ⅱ . 讲解新课例 1、等比数列前n 项，前2n 项，前 3n 项的和分别是Sn， S2n， S3n，求证： S2S2S (S S)n 2 n n2 n 3 n例 2、设 a 为常数，求数列a， 2a2，3a3，， na n，的前n 项和；（1）a=0 时， S n=0（ 2）a≠ 0 时，若 a=1，则 Sn=1+2+3+ +n= 1n(n1)2n-1n），Sn= (1 a[1 (n 1)an na n 1]（ 3）若 a ≠ 1，S n -aS n =a （ 1+a+ +a -na a) 2例 3：某商场第一年销售计算机 5000 台，假如均匀每年的销售量比上一年增添10%，那么从第一年起，约几年可使总销售量达到30000 台？（保存到个位）练习 1： 已知 { a n }中， a n 1 2a n , a 2 3, 求 S 6.练习2：(1).(a 1) (a 2 2)( a n n); (2).1 2x 3x 2nx n 1.练习3：已知S n 是等比数列a n 的前n 项和,且S 10 5,S 2015.(1).求 S 30 ;(2).问S 10,S20S10, S30S20能否成等比数列？教课后记：。
集体备课电子教案高一年级数学备课组（总第课时）主备人：时间：年月日等差数列前n 项和公式的基本运算在等差数列{a n }中， (1)已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8； (2)已知a 2＋a 4＝485，求S 5.【思路探究】 (1)能否把已知条件写成关于a 1，d 的方程组并求出a 1，d 进而解出a 8的值？(2)能否使用等差数列的下标和性质求出a 1＋a 5？可以求S 5的值吗？等差数列中(1)已知首项、末项与项数求前n 项和时一般用公式S n ＝n a 1＋a n2，由于a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝…，故解决本类问题常用到等差数列的“下标和”性质．(2)通项公式与前n 项和公式中涉及到a 1，d ，n ，a n ，S n 五个量，已知其中的三个可求其余两个量，即“知三求二”，体现了方程思想的应用．(1)在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 15＝40，求S 17；(2)在等差数列{a n }中，已知a 3＝16，S 20＝20，若S n ＝110，求n .一支车队有15辆车，某天依次出发执行任务．第1辆车于下午2时出发，第2辆车于下午2时10分出发，第3辆车于下午2时20分出发，依此类推．假设所有的司机都连续开车，并且都在下午6时停下休息． (1)到下午6时，最后一辆车行驶了多长时间？(2)如果每辆车的行驶速度都是60 km/h ，这支车队当天一共行驶了多少路程？ 【思路探究】 (1)各车辆行驶的时间是否构成等差数列？(2)最后一辆车行驶的时间是这个数列的第几项？(3)所有车行驶的总时间该如何计算？【自主解答】 由题意，知第1辆车休息时行驶了240 min ，各辆车行驶的时间构成一个等差数列{a n }，其中a 1＝240，公差d ＝－10，则a n ＝240－10(n －1)＝－10n ＋250. (1)因为a 15＝－10×15＋250＝100，所以到下午6时，最后一辆车行驶了100 min. (2)这支车队所有车辆行驶的总时间为240＋1002×15＝2 550 min ＝852h ，所以这支车队当天一共行驶的路程为852×60＝2 550 (km)．当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，不符合上式．∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝，2n ，n∴数列{a n }不是等差数列． 小结1．求等差数列前n 项和公式的方法称为倒序相加法．2．等差数列的两个求和公式中，一共涉及a 1，a n ，S n ，n ，d 五个量，通常已知其中三个量，可求另外两个量．在求等差数列的和时，一般地，若已知首项a 1及末项a n ，用公式S n ＝n a 1＋a 22较好，若已知首项a 1及公差d ，用公式S n ＝na 1＋n n －2d 较好．3．已知数列的前n 项和S n ，可以求通项公式a n 为：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝，S n －S n －1，n精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
2019-2020年人教A版高中数学必修五第二章第3节《等差数列前n项数和》（第2课时）教案一、教学目标：1、进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；会利用等差数列通项公式与前项和的公式研究。
2、通过等差数列前n项和的公式应用，体会数学的逻辑性3、通过有关内容在实际生活中的应用，引导学生要善于观察生活二、教学重点难点：教学重点：等差数列前n项和公式的性质.教学难点：等差数列前n项和公式的性质及函数与方程的思路.三. 教法、学法本课采用“探究——发现”教学模式．教师的教法突出活动的组织设计与方法的引导.学生的学法突出探究、发现与交流.五.教学过程教学过程设计为六个教学环节：（如下图）前，那么这个数列一探究点1. 已知数列{a n }的前n 项 和S n 求a n例1 已知数列{a n }的前n 项和为 S n ＝n 2＋12n ，求这个数列的通项公式．这个数列是等差数列吗？如果是，它 的首项与公差分别是什么？解 根据S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n 与S n －1＝a 1＋a 2＋…＋a n －1(n >1)， 可知，当n >1时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋12n－[(n －1)2＋12(n －1)]＝2n －12①当n ＝1时，a 1＝S 1＝12＋12×1＝32，也满足①式．∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －12.由此可见：数列{a n }是以32为首项，公差为2的等差数列． 探究点二 等差数列前n 项和的最值 思考1 将等差数列前n 项和 S n ＝na 1＋n n －2d 变形为S n 关于n的函数后，该函数是怎样的函数？为什么？答 由于S n ＝na 1＋nn －2d ＝d 2n 2＋(a 1－d2)n ，所以当d ≠0时，S n 为关于n 的二次函数，且常数项为0. 思考2 类比二次函数的最值情况，等差数列的S n 何时有最大值？何时有最小值？答 由二次函数的性质可以得出：当d >0时，S n 有最小值；当d <0时，S n 有最大值；且n 取最接近对称轴的正整数时，S n 取到最值．另外，数列作为特殊的函数，则有(1)若a 1>0，d <0，则数列的前面若干项为正项(或0)，所以将这些项相加即得{S n }的最大值．(2)若a 1<0，d >0，则数列的前面若干项为负项(或0)，所以将这些项相加即得{S n }的最小值；特别地，若a 1>0，d >0，则S 1是{S n }的最小值；若a 1<0，d <0，则S 1是{S n }的最大值．例2 已知等差数列5,427，347，…的前n 项和为S n ，求使得S n 最大的序号n 的值．解 由题意知，等差数列5,427，347，…的公差为－57，所以S n ＝5n ＋n n －2(－57)＝－514(n －152)2＋1 12556. 于是，当n 取与152最接近的整数即7或8时，S n 取最大值．另解：a n ＝a 1＋(n －1)d ＝5＋(n －1)×⎝⎛⎭⎫－57＝－57n ＋407.a n ＝－57n ＋407≤0，解得n ≥8，即a 8＝0，a 9<0.所以和是从第9项开始减小，而第8项为0，所以前7项或前8项和最大．反思与感悟：在－1)2＋12(n －1)+1]＝2n －12.当n ＝1时代入a n ＝2n －12得a 1＝23≠25. ∴a n ＝{)2(212)1(25≥-=n n n .2 在等差数列{a n }中，a n ＝2n －14，试用两种方法求该数列前n 项和S n 的最小值．解 方法一 ∵a n ＝2n －14，∴a 1＝－12，d ＝2.∴a 1<a 2<…<a 6<a 7＝0<a 8<a 9<….∴当n ＝6或n ＝7时， S n 取到最小值．易求S 6＝S 7＝－42，∴(S n )min ＝－42.方法二 ∵a n ＝2n －14，∴a 1＝－12. ∴S n ＝na 1＋a n 2＝n 2－13n ＝⎝⎛⎭⎫n －1322－1694.∴当n ＝6或n ＝7时，S n 最小，且(S n )min ＝－42.列，该数列的。
第二节 等差数列及其前n 项和学习目标:1.理解等差数列的概念．2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式．（重点）3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题．4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系.基础知识梳理(一)等差数列的有关概念1．等差数列：如果一个数列从 起，每一项与它的前一项的 都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为 (n ∈N *，d 为常数)．2．等差中项：若数列a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a ，b 的 ．且思考：A ＝a ＋b 2是a ，A ，b 成等差数列的什么条件？(二)等差数列的有关公式1．通项公式：a n ＝ .2．前n 项和公式：S n ＝ ＝ .(三)等差数列的性质1.通项公式的推广：a n ＝ a m + ____________________ (n ，m ∈N*)．2．若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，{a n }为等差数列, 则 a m ＋a n ＝a p +a q . 特别地：若2,m n p +=则____________________3.若{a n }为等差数列，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍为等差数列.考点一 等差数列的判断与证明[例1] 在数列{a n }中，a 1＝－3，a n ＝2a n －1＋2n ＋3 (n ≥2，且n ∈N *)．(1)求a 2，a 3的值；(2)设b n ＝a n ＋32n(n ∈N *)，证明：{b n }是等差数列．练习：1.数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝3，点(S n ，S n ＋1)在直线 y ＝n ＋1n x ＋n ＋1(n ∈N *)上．(1)求证：数列{S n n }是等差数列；(2)求S n .2.数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝1，2a n＝1a n ＋1＋1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，则a n ＝________.考点二、 等差数列的基本运算[例2] (2012·重庆高考)已知{a n }为等差数列，且a 1＋a 3＝8，a 2＋a 4＝12.(1)求{a n }的通项公式；(2)记{a n }的前n 项和为S n ，若a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，求正整数k 的值．练习．(1)在等差数列中，已知a 6＝10，S 5＝5，则S 8＝______.(2)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 412－S 39＝1，则公差为________考点三、 等差数列的性质[例3]1.在等差数列{a n }中，a 3＋a 7＝37，则a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝________ {} _______n a a a S 481116112．在等差数列中，已知＋＝，则该数列前项和＝3.等差数列{a n }中，若a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则前9项和S 9等于 ________102030{}________.n n a n S S S S 10304．已知等差数列的前项和为，且＝，＝，则＝考点四、 等差数列前n 项和的最值 例4.设等差数列{a n }满足a 3＝5，a 10＝－9.(1)求{a n }的通项公式；(2)求{a n }的前n 项和S n 及使得S n 最大的序号n 的值．练习： 在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值．课堂小结1、等差数列的判定方法2、等差数列的性质3、等差数列的前n项和和最值得解法作业三维设计56页1,2题。
2.3 等差数列的前n 项和【知识要点】1. 等差数列前n 项和公式：1n 1(+)(-1)==+22n n a a n n S na d 2. 等差数列的性质：若数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，则有如下结论：a. 232,-,-n n n n n S S S S S ，….也成等差数列，公差为2n db. 若+=(),=0m p m p S S m p S ≠则c. 若+=,=,(),=-(+)m p m p S p S m m p S m p ≠则d. 若项数为2n ，则212+1+1S =(+)=(+)(,n n n n n n n a a n a a a a 为中间项），+1-=,=n n S a S S nd S a 奇偶奇偶。
e. 若项数为2n-1，则2-1=(2-1),-=,=-1n n n S n S n a S S a S n 奇奇偶偶 f. 若数列{}{}n n a b 与均为等差数列，且前n 项和分别是n S 和n T ，则2-12-1=m m m m a S b T 。
3. 等差数列的前n 项和的最值利用前n 项和公式与函数的关系来解决等差数列的前n 项和的最值问题。
4. 等差数列{}n a 各项取绝对值后组成的数列{}||n a 的前n 项和对于这类数列的求和问题，一是要弄清哪些为正，哪些为负；二是要尽量将不熟悉的问题转化为熟悉的问题，即等差数列的问题。
5. 用拆项相消与公式法求数列的前n 项和【知识应用】1. 1a ，d ，n 称为等差数列的三个基本量，n n a S 和都可以用这三个基本量来表示，五个量 1,,,,n n a d n a S 中可知三求二，即等差数列的通项公式及前n 项和公式中“知三求二”的问题，一般是通过通项公式及前n 项和公式联立方程（组）求解。
这种方法是解决数列运算问题的基本方法，对此类问题，注意利用等差数列的性质以简化计算过程，同时在具体求解过程中还应注意已知与未知的联系及整体思想的运用。
2.3.2 等差数列的前n项和(二)从容说课“等差数列的前n项和”第二节课的主要内容是让学生进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式，进一步去了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；学会利用等差数列通项公式与前n项和的公式研究S n的最值，学会其常用的数学方法和体现出的数学思想.从而提高学生分析问题、解决问题的能力.通过本节课的教学使学生对等差数列的前n项和公式的认识更为深刻通过本节例题的教学，使学生能活用求和公式解题，并进一步感受到数列与函数、数列与不等式等方面的联系，促进学生对本节内容认知结构的形成，通过探究一些特殊数学求和问题的思路和方法，体会数学思想方法的运用在本节教学中，应让学生融入问题情境中，经历知识的形成和发展，通过观察、操作、探索、交流、反思，来认识和理解等差数列的求和内容，学会学习并能积极地发展自己的能力教学重点熟练掌握等差数列的求和公式教学难点灵活应用求和公式解决问题教具准备多媒体课件、投影仪、投影胶片等三维目标一、知识与技能1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；2.了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；3.会利用等差数列通项公式与前n项和的公式研究S n的最值二、过程与方法1.经历公式应用的过程，形成认识问题、解决问题的一般思路和方法；2.学会其常用的数学方法和体现出的数学思想，促进学生的思维水平的发展三、情感态度与价值观通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并数学地解决问题教学过程导入新课师 首先回忆一下上一节课所学主要内容生 我们上一节课学习了等差数列的前n 项和的两个公式： (1)2)(1n n a a n S +=；(2)2)1(1dn n na S n -+=师 对，我们上一节课学习了等差数列的前n 项和的公式，了解等差数列的一些性质.学会了求和问题的一些方法，本节课我们继续围绕等差数列的前n 项和的公式的内容来进一步学习与探究推进新课［合作探究］师 本节课的第一个内容是来研究一下等差数列的前n 项和的公式的函数表示，请同学们将求和公式写成关于n 的函数形式生 我将等差数列{a n }的前n 项和的公式2)1(1d n n na S n -+=整理、变形得到：)2(212da n d S n -+=n师 很好!我们能否说(*)式是关于n 的二次函数呢生1 能，(*)式就是关于n 的二次函数生2 不能，(*)式不一定是关于n 的二次函数师 为什么生2 若等差数列的公差为0，即d =0时，(*)式实际是关于n 的一次函数!只有当d ≠0时，(*)式才是关于n 的二次函数师 说得很好!等差数列{a n }的前n 项和的公式可以是关于n 的一次函数或二次函数.我来问一下：这函数有什么特征生 它一定不含常数项，即常数项为生 它的二次项系数是公差的一半师 对的，等差数列{a n }的前n 项和为不含常数项的一次函数或二次函数.问：若一数列的前n 项和为n 的一次函数或二次函数，则这数列一定是等差数列吗 生 不一定，还要求不含常数项才能确保是等差数列师 说的在理.同学们能画出(*)式表示的函数图象或描述一下它的图象特征吗生 当d =0时，(*)式是关于n 的一次函数，所以它的图象是位于一条直线上的离散的点列，当d ≠0时，(*)式是n 的二次函数，它的图象是在二次函数x da x d y )2(212-+=的图象上的一群孤立的点.这些点的坐标为(n ,S n )(n =1，2，3，师 说得很精辟［例题剖析］ 【例】 (课本第51页例分析:等差数列{a n }的前n 项和公式可以写成n da n d S n )2(212-+=，所以S n 可以看成函数x da x d y )2(212-+=(x ∈N *)当x=n 时的函数值.另一方面，容易知道S n 关于n 的图象是一条抛物线上的点.因此我们可以利用二次函数来求n 的值.(解答见课本第52页师 我们能否换一个角度再来思考一下这个问题呢？请同学们说出这个数列的首项和公差. 生 它的首项为5，公差为75-师 对，它的首项为正数，公差小于零，因而这个数列是个单调递减数列，当这数列的项出现负数时，则它的前n 项的和一定会开始减小，在这样的情况下，同学们是否会产生新的解题思路呢？ 生 老师，我有一种解法：先求出它的通项，求得结果是a n =a 1+(n -1)d =74075+-n我令74075+=n a n ≤0，得到了n ≥8，这样我就可以知道a 8=0，而a 9＜0.从而便可以发现S 7=S 8，从第9项和S n 开始减小，由于a 8=0对数列的和不产生影响，所以就可以说这个等差数列的前7项或8项的和最大师 说得非常好!这说明我们可以通过研究它的通项取值的正负情况来研究数列的和的变化情况［方法引导］师 受刚才这位同学的新解法的启发，我们大家一起来归纳一下这种解法的规律：①当等差数列{a n }的首项大于零，公差小于零时，它的前n 项的和有怎样的最值?可通过什么来求达到最值时的n 的值生S n 有最大值，可通过⎩⎨⎧≤≥+01n n a a 求得n 的值师 ②当等差数列{a n }的首项不大于零，公差大于零时，它的前n 项的和有怎样的最值?可通过什么来求达到最值时的n 的值生 S n 有最小值，可以通过⎩⎨⎧≥≤+01n n a a 求得n 的值［教师精讲］好!有了这种方法再结合前面的函数性质的方法，我们求等差数列的前n 项的和的最值问题就有法可依了.主要有两种：(1)利用a n 取值的正负情况来研究数列的和的变化情况； (2)利用S n ：由n da n d S n )2(212-+=利用二次函数求得S n 取最值时n 的值课堂练习请同学们做下面的一道练习：已知：a n =1 024+lg21-n (lg2=0.3 01 0)n ∈*.问多少项之和为最大？前多少项之和的绝对值最小？(让一位学生上黑板去板演解：1°⎩⎨⎧-=≥-+=+02lg 102402lg )1(10241＜n a n a n n2lg 10242lg 1024≤⇒n ＜+1⇒3 401＜n ＜3 403.所以n2°S n =1 024n +2)1(-n n (-lg2)，当S n =0或S n 趋近于0时其和绝对值最小，令S n =0，即1 024+2)1(-n n (-lg2)=0,得n =2lg 2048因为n ∈N *，所以有n(教师可根据学生的解答情况和解题过程中出现的问题进行点评［合作探究］师 我们大家再一起来看这样一个问题：全体正奇数排成下表：37 913 15 1721 23 25 27…… …此表的构成规律是：第n 行恰有n 个连续奇数;从第二行起，每一行第一个数与上一行最后一个数是相邻奇数，问2 005是第几行的第几个数师 此题是数表问题，近年来这类问题如一颗“明珠”频频出现在数学竞赛和高考中，成为出题专家们的“新宠”，值得我们探索.请同学们根据此表的构成规律，将自己的发现告诉我. 生1 我发现这数表n 行共有1+2+3+…+n 个数，即n 行共有2)1(+n n 个奇数 师 很好!要想知道2 005是第几行的第几个数，必须先研究第n 行的构成规律生2 根据生1的发现，就可得到第n 行的最后一个数是2×2)1(+n n -1=n 2+n -生3 我得到第n 行的第一个数是(n 2+n -1)-2(n -1)=n 2-n师 现在我们对第n 行已经非常了解了，那么这问题也就好解决了，谁来求求看生4 我设n 2-n +1≤2 005≤n 2+n -1，解这不等式组便可求出n =45，n 2-n +1=1 981.再设2 005是第45行中的第m 个数，则由2 005=1 981+(m-1)×2，解得m=13.因此，2 005是此表中的第45行中的第13个数师 很好!由这解法可以看出，只要我们研究出了第n 行的构成规律，则可由此展开我们的思路.从整体上把握等差数列的性质，是迅速解答本题的关键课堂小结本节课我们学习并探究了等差数列的前n 项和的哪些内容生1我们学会了利用等差数列通项公式与前n 项和的公式研究S n 的最值的方法：①利用a n ：当a n ＞0，d ＜0，前n 项和有最大值.可由a n ≥0，且a n +1≤0，求得n 的值；当a n ≤0，d ＞0，前n 项和有最小值.可由a n ≤0，且a n +1≥0，求得n 的值②利用S n ：由S n =2d n 2+(a 1-2d)n 利用二次函数求得S n 取最值时n 的值生2 我们还对等差数列中的数表问题的常规解法作了探究，学习了从整体上把握等差数列的性质来解决问题的数学思想方法师 本节课我们在熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式的基础上，进一步去了解了等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题.学会了一些常用的数学方法和数学思想，从而使我们从等差数列的前n 项和公式的结构特征上来更深刻地认识等差数列布置作业课本第52页习题2.3 A 组第5、6题预习提纲：①什么是等比数列？ ②等比数列的通项公式如何求？板书设计等差数列的前n 项和(二)S n 与函数的联系例4求S n最值的方法学生练习数表问题。
