三角形的内角和(例6)

三角形内角和的应用郭一鸣“三角形三个内角的和等于180°”，这是大家熟悉的一个定理。

本文举七则中考题说明它的应用。

例1. △ABC中，∠A＝∠B＋∠C，则∠A＝_________度。

解：因为∠A＋∠B＋∠C＝180°又∠A＝∠B＋∠C所以∠A＋∠A＝180°，即∠A＝90°例2. 如图1，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝__________度。

解：因为∠1＋∠2＝∠3＋∠4＝180°－40°＝140°所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝140°＋140°＝280°例3. 图2中，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝__________度。

解：连结BD，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°＋180°＝360°例4. 如图3，在△ABC中，∠B＝66°，∠C＝54°，AD是∠A的平分线，DE平分∠ADC交AC于E，则∠BDE＝__________。

解：因为∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－66°－54°＝60°又AD是∠A的平分线所以∠BAD＝∠DAC＝30°在△ABD中，∠ADB＝180°－66°－30°＝84°在△ADC中，∠ADC＝180°－54°－30°＝96°又DE平分∠ADC所以∠ADE＝48°故∠BDE＝∠ADB＋∠ADE＝84°＋48°＝132°例5. 直角三角形两锐角的角平分线交成的角的度数是（）A. 45°B. 135°C. 45°或135°解：如图4，∠1＝180°－45°＝135°∠2＝180°－135°＝45°故选C。

三角形的内角和练习例题分析】例1. 在△ABC 中，已知∠ A＝1∠B＝1∠C，请你判断三角形的形状。

23 分析：三角形的形状按边分和按角分两类，本题由于不可能按边分，因此只有计算各角的度数，按角来确定形状，由于在该题中∠ C 是最大的角，因此只需求出∠ C 的度数即可判断三角形的形状。

例2. 如图，已知DF⊥AB 于点F，且∠ A＝45°，∠ D＝30°，求∠ ACB 的度数。

例3. 如图，在△ ABC 中，∠ 1＝∠ 2，∠ 3＝∠ 4，∠ BAC ＝54°，求∠ DAC 的度数例4. 已知在△ ABC 中，∠A＝62°，BO、CO 分别是∠ ABC 、∠ ACB 的平分线，且BO、CO 相交于O，求∠ BOC 的度数。

〖拓展与延伸〗（1）已知△ AB 中C，BO、CO分别是∠ ABC 、∠ ACB 的平分线，且BO、CO相交于点O，试探索∠ BOC 与∠A 之间是否有固定不变的数量关系。

（2）已知BO、CO分别是△ ABC 的∠ ABC 、∠ ACB 的外角角平分线，BO、CO相交于O，试探索∠ BOC 与∠A 之间是否有固定不变的数量关系。

（3）已知：BD为△ABC 的角平分线，CO为△ABC 的外角平分线，它与BO的延长线交于点O，试探索∠ BOC 与∠A 的数量关系由前面的探索同学们可以发现三角形三个角（或外角）的平分线所夹的角与第三个内角之间存在着一定的数量关系。

例5. 已知多边形的每一个内角都等于135°，求这个多边形的边数。

例6. 一个零件的形状如图，按规定∠ A＝90°，∠B 和∠C 应分别是32°和21°，检验工人量得∠ BDC＝149°，就判断这个零件不合格，运用三角形的有关知识说明零件不合格的理由。

分析：验证的关键是求出∠ A 的度数，即把∠ A 用已知的角∠ B、∠ C、∠BDC 联系起来，利用三角形关于角的性质就可以发现它们之间的关系CE随堂检测】A组1、在△ ABC 中，∠A＝40°，∠ B＝∠C，则∠ C＝。

三角形的内角-重难点题型【北师大版】【题型1 三角形的内角和定理】【例1】（2021春•玄武区校级月考）在△ABC中，（1）若∠A：∠B：∠C＝4：5：6，则∠C＝度．（2）若∠A=12∠B=13∠C，则∠B＝度．【变式1-1】（2020秋•下城区期末）在△ABC中，∠A是钝角，∠B＝30°，设∠C的度数是α，则α的取值范围是．【变式1-2】（2021春•靖江市月考）如图，线段AD和BC相交于点O，若∠A＝70°，∠C＝85°，则∠B﹣∠D＝．【变式1-3】（2020秋•洪山区期中）如图所示的折线图形中，α+β＝．【题型2 三角形的内角和定理的应用（含三角板）】【例2】（2020春•江都区期末）将一副三角板如图放置，则图中的∠1＝°．【变式2-1】（2020秋•光明区期末）将两块分别含有30°和45°角的直角三角板按如图所示叠放，若∠1＝∠2，则∠3＝°．【变式2-2】（2020秋•涪城区校级期末）一副三角板如图方式摆放，BM平分∠ABD，DM 平分∠BDC，则∠BMD的度数为（）A．102°B．107.5°C．112.5°D．115°【变式2-3】（2020春•盐都区期中）如图，将一块直角三角板DEF放置在锐角三角形ABC 上，使得该三角板的两条直角边DE、DF恰好分别经过点B、C，若∠A＝45°，则∠ABD+∠ACD的值为（）A．40°B．45°C．50°D．55°【题型3 三角形的内角和定理的应用（含高线、角平分线）】【例3】（2020秋•呼和浩特期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC，∠B＝45°，∠C＝73°，则∠DAE的度数是（）A．14°B．24°C．19°D．9°【变式3-1】（2021春•碑林区校级期中）如图，AD，AE为△ABC的高线，角平分线，DF ⊥AE于点F．当∠DAC＝21°，∠B＝25°时，∠DAF的度数为（）A．21°B．22°C．25°D．30°【变式3-2】（2020秋•蚌埠期末）如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，若∠B＝40°，∠C＝60°，则∠ADE的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°【变式3-3】（2020秋•夏津县期末）如图，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C＝70°，∠ABC＝48°，那么∠3是（）A．59°B．60°C．56°D．22°【题型4 三角形的内角和定理的应用（含平行线）】【例4】（2020秋•兴化市期末）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，EF∥BC交BD于点G，若∠BEG＝130°，则∠DGF＝°．【变式4-1】（2021春•姑苏区期中）如图，△EFG的三个顶点E，G和F分别在平行线AB，CD上，FH平分∠EFG，交线段EG于点H，若∠AEF＝36°，∠BEG＝57°，则∠EHF 的大小为．【变式4-2】（2021春•周村区月考）如图，在△CEF中，∠E＝80°，∠F＝55°，AB∥CF，AD∥CE，连接BC，CD，则∠A的度数是（）A．45°B．50°C．55°D．80°【变式4-3】（2021春•东城区校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC的角平分线交AC于点E，过点E作DF∥BC，交AB于点D，且EC平分∠BEF．（1）若∠ADE＝50°，求∠BEC的度数；（2）若∠ADE＝α，则∠AED＝（含α的代数式表示）．【题型5 三角形的内角和定理的应用（含折叠）】【例5】（2021春•江都区校级期末）如图△ABC中，将边BC沿虚线翻折，若∠1+∠2＝110°，则∠A的度数是度．【变式5-1】（2020春•杨浦区期中）如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，点D在BC上，将△ACD沿直线AD翻折后，点C落在点E处，联结DE，如果DE∥AB，那么∠CAD的度数是度．【变式5-2】（2020秋•灵山县期中）如图，△ABC中，∠A＝40°，将△ABC沿DE折叠，点A落在F处，则∠FDB+∠FEC的度数为（）A．140°B．120°C．70°D．80°【变式5-3】（2020秋•芜湖期中）如图，△ABC中，∠A＝20°，沿BE将此三角形对折，又沿BA′再一次对折，点C落在BE上的C′处，此时∠C′DB＝74°，则原三角形的∠C的度数为（）A．27°B．59°C．69°D．79°【题型6 三角形的内角和定理的应用（新定义）】【例6】（2020秋•海淀区校级月考）定义：当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的一个内角为30°，那么这个“特征角”α的度数为．【变式6-1】（2020春•成都期末）三角形中，如果有一个内角是另外一个内角的3倍，我们把这个三角形叫做“三倍角三角形”．在一个“三倍角三角形”中有一个内角为60°，则另外两个角分别为．【变式6-2】（2021春•邗江区月考）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．例如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“灵动三角形”．如图，∠MON＝60°，在射线OM上找一点A，过点A作AB ⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（规定0°＜∠OAC＜90°）．当△ABC为“灵动三角形”时，则∠OAC的度数为．【变式6-3】（2020秋•南海区校级期末）阅读理解：如果三角形满足一个角α是另一个角β的3倍时，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．其中α称为“智慧角”．解答问题：（1）一个角为60°的直角三角形（填“是”或“不是”）“智慧三角形”，若是，“智慧角”是．（2）已知一个“智慧三角形”的“智慧角”为108°，求这个“智慧三角形”各个角的度数．【题型7 直角三角形的性质】【例7】（2021春•九龙坡区校级期中）如图，在△ABC中，AB⊥AC，过点A作AD⊥BC 交BC于点D，若∠B＝36°，则∠DAC的度数为（）A．36°B．46°C．54°D．64°【变式7-1】（2021春•青羊区校级期中）如图，将一副学生用三角板（一个锐角为30°的直角三角形，一个锐角为45°的直角三角形）的直角顶点重合并如图叠放，当∠DEB＝m°，则∠AOC＝（）A．30°B．（m﹣15）°C．（m+15）°D．m°【变式7-2】（2020秋•德城区校级月考）如图，△ABC中，∠B＝∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，∠AFD＝152°，求∠EDF．【变式7-3】（2020春•沭阳县期末）已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，AE是△ABC内部的一条线段，AE交CD于点F，交CB于点E，且∠CFE＝∠CEF．求证：AE平分∠CAB．【题型8 直角三角形的判定】【例8】（2020春•历下区期中）在下列条件：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝∠B＝2∠C；④∠A=12∠B=13∠C；⑤∠A＝∠B=12∠C中，能确定△ABC为直角三角形的条件有（）A．5个B．4个C．3个D．2个【变式8-1】（2020秋•盐湖区期中）如图，在由25个边长为1的小正方形拼成的网格中以AB为边画Rt△ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C共（）个．A．5B．6C．7D．8【变式8-2】（2020秋•九龙坡区校级月考）如图所示，在△ABC中，AD是BC边上的高，点E是AB上一点，CE交AD于点M，且∠DCM＝∠MAE，求证：△ACE是直角三角形．【变式8-3】（2020秋•潮安区期末）如图，AB、ED分别垂直于BD，点B、D是垂足，且∠ACB＝∠CED．求证△ACE是直角三角形．。

三角形的内角和相关知识点一、三角形内角和定理。

1. 定理内容。

- 三角形的内角和等于180°。

无论是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形，其三个内角的和都是180°。

例如，一个锐角三角形的三个角分别为60°、70°、50°，60°+70° + 50°=180°；直角三角形的一个角是90°，另外两个锐角之和为90°（如30°和60°，30°+60°+90° = 180°）；钝角三角形如120°、30°、30°，120°+30°+30° = 180°。

2. 证明方法。

- 剪拼法。

- 把三角形的三个角剪下来，然后将它们的顶点拼在一起，可以发现这三个角刚好组成一个平角，从而直观地证明三角形内角和为180°。

例如，对于一个纸质的三角形，沿角的边剪下三个角，然后把它们的顶点重合在一起，角的边会形成一条直线，即180°。

- 测量法。

- 使用量角器分别测量三角形的三个内角，然后将测量得到的度数相加，多次测量不同的三角形会发现结果接近180°。

由于测量存在误差，所以这种方法只能作为一种初步的验证。

- 推理证明（以平行线的性质证明为例）- 已知三角形ABC，过点A作直线EF平行于BC。

- 因为EF∥BC，根据两直线平行，内错角相等，所以∠B = ∠FAB，∠C=∠EAC。

- 而∠FAB+∠BAC + ∠EAC = 180°（平角的定义），所以∠B+∠BAC+∠C = 180°，从而证明了三角形内角和为180°。

二、三角形内角和定理的应用。

1. 求三角形中未知角的度数。

- 已知三角形的两个内角的度数，根据三角形内角和为180°，用180°减去已知的两个角的度数，就可以求出第三个角的度数。

2023年《三角形内角和》四年级数学教案2023年《三角形内角和》四年级数学教案1【设计理念】新课标重视让学生经历数学知识的形成过程，要求教师创设有效的问题情境激发学生的参与欲望，提供足够的时间和空间让学生经历观察、猜测、验证、交流反思等过程，使学生在动手操作、合作交流等活动中亲身经历知识的形成过程。

这样，学生不仅可以掌握知识，而且可以积累探究数学问题的活动经验，发展空间观念和推理能力。

【教材内容】新人教版义务教育课程标准实验教科书四年级下册数学第67页例6、“做一做”及练习十六的第1、2、3题。

【教材分析】三角形的内角和是三角形的一个重要特征。

本课是安排在三角形的概念及分类之后教学的，它是学生以后学习多边形的内角和及解决其它实际问题的基础。

教材很重视知识的探索与发现，安排两次实验操作活动。

教材呈现教学内容时，不但重视体现知识的形成过程，而且注意留给学生充分进行自主探索和交流的空间和时间，为教师灵活组织教学提供了清晰的思路。

概念的形成没有直接给出结论，而是通过量、拼等活动，让学生探索、实验、交流、推理归纳出三角形的内角和是180°。

【学情分析】１、在学习本课时，学生已经有了探索三角形内角和的知识基础：知道直角和平角的度数，会用量角器度量角的度数；认识长方形、正方形，知道他们的四个角都是直角；认识了三角形，知道了三角形按角分有锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；已经知道了等腰三角形和正三角形。

２、已经有一部分学生知道了三角形内角和是180°，只是知其然而不知所以然。

【教学目标】1通过“量、剪、拼”等活动发现、验证三角形的内角和是180°，并能运用这个知识解决一些简单的问题。

2.在观察、猜想、操作、合作、分析交流等具体活动中，提高动手操作能力，积累基本的数学活动经验，发展空间观念和推理能力。

3.在参与数学学习活动的过程中，获得成功的体验，感受数学探究的严谨与乐趣。

【教学重点】探索发现、验证“三角形内角和是180°”，并运用这个知识解决实际问题。

《三角形的内角和》教学设计教学内容：人教版四年级下册67页例6。

教材分析：教材通过让学生度量不同类型的三角形的内角度数，并分别计算它们的和，使学生初步感知到它们的内角和是180°，产生初步的发现和猜想，再“拼一拼、折一折”，引导学生对已有猜想进行验证，并概括三角形的内角和是180°。

经历提出猜想——进行验证的的过程，渗透数学学习方法和思想。

学情分析：学生已经掌握三角形特性和分类，熟悉了钝角、锐角、平角这些角的知识，大多数学生已经在课前通过不同的途径知道“三角形的内角和是180度”的结论，但不一定清楚道理，所以本课的设计意图不在于了解，而在于验证，让学生在课堂上经历研究问题的过程是本节课的重点。

四年级的学生已经初步具备了动手操作的意识和能力，并形成了一定的空间观念，能够在探究问题的过程中，运用已有知识和经验，通过交流、比较、评价寻找解决问题的途径和策略。

教学目的：1、学生通过量、折、拼、摆等操作学具活动，探索和发现并掌握三角形内角和是180°，会运用所学知识解决问题。

2、让学生在动手获取知识的过程中，培养学生的创新意识、探索精神和实践能力。

在应用三角形内角和知识解决问题的过程中促进学生数学思维发展。

3、让学生在探究数学的过程中体验发现的乐趣,增强学好数学的信心。

教学重点：让学生探究猜想并验证三角形内角和等于180°。

教学难点：引导学生用多种方法探索，并理解所有三角形的内角之和都是180°。

教学准备：不同类型的三角形，量角器、多媒体课件。

教学过程：一、创设情境，引出问题。

1、图形国王有三个不同的三角形，我带来了给大家看看（把三个三角形贴在黑板上，并说出每种三角形的名称）。

可国王遇到了难题，怎么回事呢我们去看一看。

（课件展示三角形们的争吵）国王也不知道谁对谁错了，同学们愿不愿意帮助国王解决这个问题呢？这节课我们就一起来研究三角形的内角和。

（板书课题）2、看到课题，你能提出哪些数学问题？（1）什么是三角形的内角？（三角形里面的角叫做三角形的内角）（2）三角形有几个内角？（用手指出内角，标出∠1∠2∠3）（3）三角形的内角和是指什么？（三角形的三个内角的度数之和）（多让几个学生说一说）二、动手操作，探究验证。

三角形的内角和教学内容：人民教育出版社四年级下册P68 《三角形的内角和》例6教学目标：1、通过动手量、剪、拼等活动发现、证实三角形内角和是180°，并会应用这一知识解决生活中简单的实际问题；2、在获取知识的过程中，培养学生的创新意识、探索精神和实践能力。

通过把三角形内角和转化为平角的探究活动，渗透“转化”数学思想；3、激发学生主动学习数学的兴趣。

教学重点：让学生经历“三角形内角和是180°”这一知识的形成、发展和应用的全过程。

教学难点：验证三角形的内角和是180°。

教学具准备：多媒体课件、长方形、形状不同的三角形。

教学过程：一、引入1、认识：内角出示：一个长方形师：这是什么图形？它有几个角？我们把图形中相邻两边的夹角称为内角。

板书：内角师：你们知道长方形的内角有什么特点吗？（都是直角）这四个内角的和是多少度？你是怎么想的？生：因为长方形每个内角都是90°，所以四个内角的和就是360°。

板书：和师：那么，所有的、大大小小的长方形四个内角的和都是360°吗？为什么？再出示：一些形状不同、大小不同的长方形。

出示：长方形的四个角都是90°，所以内角和就是360°，和长方形的大小、形状无关。

2、揭示课题：师：长方形的内角和是360°，那三角形呢，它的内角和又是多少度呢？这就是我们今天要一起来研究的问题。

（完整课题：三角形的内角和）设计意图说明：根据长方形教师直观的向学生介绍“内角”的含义，同时让学生根据长方形这个特殊的平面图形来计算内角的和，由此引出课题。

这样将“三角形内角和”的概念放入平面图形内角和的大背景中,拓展了三角形内角和的数学知识背景,渗透数学知识之间的联系。

二、新授探究一：猜测三角形的内角和师：三角形也是一个大家族，有哪些三角形呢？出示：按边分：有等边三角形，等腰三角形按角分：有锐角三角形，直角三角形，钝角三角形师：那要得到三角形的内角和就必须和三角形的什么有关呢？（因为与角有关，所以我们就在黑板上贴上按角分类的三角形即：锐角三角形，直角三角形和钝角三角形。

《三角形的内角和》教案一、学习目标（一）学习内容《义务教育教科书数学》（人教版）四年级上册第67页例6及做一做。

例6教学三角形的内角和。

教材先让学生通过“量、算"不同类型的三角形的内角度数，初步感受到它们的内角和大约是180°，然后又构建了“剪、拼、看”的活动用实验的方法验证三角形的内角和是180°。

三角形的内角和是三角形的一个重要性质,它有助于学生理解三角形的三个内角之间的关系，也是进一步学习的基础。

（二）核心能力通过交流“量、算"的结果,培养实事求是、严谨的实验态度，感受误差的存在，在此基础上，通过“剪、拼”的操作活动，用实验的方法推理归纳出三角形的内角和,提高探究推理能力。

（三)学习目标1。

通过“量、算、剪、拼”等操作活动，推理得出三角形的内角和是180°。

2. 充分经历探究的过程，感受误差的存在，培养实事求是、严谨的实验态度。

3. 能灵活运用三角形的内角和解决生活中的简单问题。

（四）学习重点探究并掌握三角形的内角和是180度。

（五）学习难点用实验的方法验证（六）配套资源实施资源：《三角形的内角和》名师教学课件、不同种类的三角形纸片、课时作业。

二、教学设计（一）课前设计1。

预习任务：在练习纸上分别画出一个锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。

量一量每个三角形中三个角的度数,并标记出来。

（二)课堂设计1。

创设情景，引出问题（1)猜谜语：(课件）形状似座山，稳定性能坚。

三竿首尾连,学问不简单。

(打一图形名称)三角形（板书）（2)猜三角形(课件)老师这有3个三角形，每个三角形的一部分被长方形给遮住了，你知道这是什么三角形吗？提问第3个图形时问：被遮住的两个角是什么角?会是两个直角吗？为什么？（引导学生开始对“三角形的内角和是多少"进行思索.）（3）引出课题。

师：看来三角形的三个角之间一定藏着秘密，这节课我们就来研究有关三角形角的知识“三角形内角和".（板书课题）【设计意图】通过猜谜语、猜角引入本节课所探究问题：“三角形内角和是多少度”,让孩子们带着问题走入课堂,激发探究的欲望。

《三角形内角和》教案汉阳区铁桥小学何晶教学内容：人教版实验教材四年级下册P85例5及练习十四第9、10、12、15题教学目标：1、通过小组合作，运用直观操作的方法，探索并发现三角形内角和等于180。

运用三角形内角和的知识解决实际问题。

2、经历探索三角形内角和的过程，体会运用“量一量”、“算一算”、“拼一拼”、“折一折”进行验证的数学思想方法。

3、在学习活动中，渗透探究知识的方法，提高学习的能力，培养创新精神和实践能力，让学生在亲自动手实践和归纳中，感受理性的美。

教学重点：理解掌握三角形内角和是180度。

教学难点：运用三角形的内角和解决实际问题。

教学准备：各种形状的三角形、量角器教学过程：一、创设情境，激发兴趣（3）1、故事导入：一天，在三角形王国里有争执，请看：一个大的锐角三角形和一个小的钝角三角形，它们吵起来了。

◆锐角三角形说：“我的个头最大，所以我的三个内角的和一定比你们大。

”◆钝角三角形说：“不对，我有一个钝角，比你任意一个内角都大，所以我三个内角的和肯定比你的大。

”同学们，你们赞同谁的说法呢？2、揭示课题：那么到底谁说得对呢? 三角形三个内角之间存在着怎样的关系？这节课咱们一起来探究——三角形的内角和。

（板书：三角形的内角和）二、自主探索，合作交流（22）1、理解内角及内角和①认识内角，内角和。

三角形有几个内角?什么是三角形的内角?请拿出三角形指一指，刚才你们所指的角，就是这个三角形的内角。

三角形内的三个角。

每个三角形都有三个内角。

一个图形中所有内角的度数和叫做内角和。

（补充出示：和）什么是三角形的内角和呢？（把三角形的三个内角加起来）②猜测引导：在一个三角形中，三个内角加起来共有多少度?（三角形的内角和真的是180度吗？这只是我们的一个猜想，还需要我们来验证。

）三角形有无数个，要想验证所有三角形的内角和是不是180度，该怎么去验证？请在小组内交流。

③达成共识：分类验证，只要验证锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。