d4_3单调区间与极值

( (1).若在a, b) 内 f ( x ) 0 , 则 f x 在 [a, b] 上 单调增加. ( (2).若在a, b) 内 f ( x) 0
, 则 f x 在 [a, b] 上 单调减少.
说明 若 f (x )在某区间内有限个点处为零, 在其余点处恒为正(或负), 则函数
x 1 不是极值点
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小 结
1）求函数的单调区间与极值
2）利用函数的单调性证明不等式
两条经验
1).列表，求函数的单调区间与极值很方便 2).利用单调性证明不等式，关键是设函数
29
作业 P 122 3 ( 4) 4 (3) P 1 (3) 129
30
2）极值点只可能在驻点或导数不存在的点取到。
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y
定理3(极值存在充分条件之一)
a x1 x2
x3
y f ( x)
x4 x5 x6
x7
x8 b
x
设函数 f (x )在
x0 点连续，在 x0 的某一邻域内可导（x0 可除外）
当 x x0 时, f ( x ) 0; 1)若 则 f (x ) 在 x0 处取得极大值. 当 x x0 时, f ( x ) 0; 当 x x0 时, f ( x ) 0; 则 f (x ) 在 x 处取得极小值. 2)若 0 当 x x0 时, f ( x ) 0;
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练习一下 例7.求函数 解
f ( x) 2 x 2 ln x
的单调区间与极值.
(1)定义域为
0,
令 f ( x )
(2)
f (x )
4x2 1 1 4x x x
0
,得 x1 1 , 2
(3).列表:
x f (x )
f (x )
(0, 1 ) 2

减
1 2
4
1、函数单调性的判断
y
y f x
y
f ( x ) 0
y f x
f ( x ) 0
增


x2
0 a
x1
b
x

0
a
b
x
y
减
y f x
y
f ( x ) 0
0
y f x
f ( x ) 0

a
b
x 0

a
b
x
5
定理1
(函数单调性的判定法)
设函数y=f(x)在[a,b]上连续,在 (a,b) 内可导.
0
,得 x1 1, x2 2
(3).以 1 1, x2 2 为分界点,将定义域分割,列表: x
x
f ( x ) f(x)
( ,1 )

增
( 1 ,2 )
减
( 2 , )

增
函数 f (x ) 的单增区间为: 单减区间为:
(,1] , (2,).
(1,2]
9
观察图形可知：
使f ( x )
13
(0, x ) ,
即 所以 即
练习一下
例5 证明：当
x 0时， 恒有 ln1 x x x
1 2
2
14
二、函数的极值
15
1、函数的极值的定义 定义1 设f(x)在区间(a,b)内有定义,
0
x0 ( a , b ),
, ), x ( x0 , x0 ), 都有 1). ( x ) f ( x0 ) , 则称f ( x0 ) 为函数 f (x ) 的极大值.x0 极大值点 f
f ( x0 ) 0
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注意
条件必要而不充分. 即导数为零的点未必是极值点. 例 y= x3 在x= 0点导数为零，但不是极值点。
20
若
说明
f ( x0 ) 0 ，称点 x 0 为函数 f ( x )的驻点.
1）导数不存在的点也可能是函数的极值点.
例：y x 在x 0点导数不存在，但有极 小值。
减
0
非极值

减
0
极小值

增
0
非极值

增
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方法2
( x) 6( x 2 1)(5x 2 1) f
f (0) 6 0,
所以有极小值:
f (0) 0;
f 1 0， 定理4失效,用定理3判断. 当x 1时, f ( x ) 0; 1 x 0 时, f ( x ) 0; x 1 不是极值点 当 0 x 1 时, f ( x ) 0; x 1 时, f ( x ) 0;
( 1 ,) 2
0
极小值

增
（千万别忘记了定义域）
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定理4（极值存在充分条件之二）
设函数 f (x )在点 x0处具有二阶导数 ,且f ( x0 ) 0 , 则 当 f ( x ) 0 时, f ( x0 )为极大值; 当 f ( x0 ) 0 时, f ( x0 )为极小值. 当 f ( x0 ) 0 时, 待定
函数
f (x )的单增区间,单减区间统称为单调区间.
8
例2.确定函数 f ( x ) 2 x 3 9 x 2 解(1).定义域 , (2). f 令 f ( x )
12 x 3 的单调区间.
(x) 6 x 2 18 x 12 6( x 1)( x 2)
0
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例8.求函数f ( x ) ( x 2 1)3 1的极值.
解: 方法１
f ( x ) 6 x( x 2 1)2 0
得 x1 1, x2 0, x3 1
列表:
x
f (x ) f (x )
( ,1)
1 (1,0)
0
(0,1)
1 (1,)

y
y f (x )
f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x3 ) 0
f ( x4 ) 不存在, f ( x5 ) 0
o
a x1 x2 x3
x4
x5 b x
确定函数单调区间的方法和步骤: (1).求 f (x ), ( 求导） (2)找使 f ( x ) 0 的点(驻点),及使 f (x ) 不存在的点; ( 找点） (3).以(2)中所找点为分界点,将定义域分割成部分区间, 判断在每一区间上导数的符号，由定理得出结论。 ( 列表）
(3).列表:
练习一下
x f (x )
f (x )
(,0)

增
(0,1)
减
(1,)

增
函数 f (x ) 的单增区间为: (,0]
, (1,).
11
单减区间为: (0,1].
2、函数单调性的应用
x 例4. 证明 当 x 0 时, ln( 1 x) x 1 x 方法１：设 f x ln1 x 1 x 1 1 x x f 0 2 2 1 x 1 x 1 x
f (x ) 在该区间上仍是单增(或单减)的.
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证明
(1).设x1 , x2 (a, b), ( x1 x2 ) , 应用拉格朗日中值定理
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( )( x2 x1 )
( x1, x2 )
x2 x1 0
即
f ( ) 0 f ( x2 ) f ( x1 ) 0,
所以， 在 x 故有，f 即，
0 时， f x 是增函数
x f 0 0
12
x ln( 1 x) 1 x
方法２： 设
f ( x ) ln( 1 x ), x 0
对
f ( x ) ln( 1 x ) 在 [0, x ] 上应用拉氏中值定理, f (0) f ( )( x 0) x 因 0 x ln( 1 x ) ln( 1 0) 1 x x 1 1 x x ln( 1 x) . 1 x
f ( x1 ) f ( x2 ), 所以 f (x ) 在 a, b 上单增.
（2）证明类似
7
例1.判定函数 y
x sin x 在 [0,2 ]上的单调性.
解 在 (0, 2 ) 内
y Байду номын сангаас1 cos x 0
在 [0,2 ] 上单增.
y x sin x
一个函数并不一定在其整个定义域内都是单调增加或 单调减少,而往往是在定义域内的某一部分区间上单增, 在另一部分区间上单减,
函数的极值在单调区间的分界点处取得.
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2、极值的求法 定理2（必要条件） 设函数
f (x ) 在 x0 处可导并取得极值,则 f ( x0 ) 0
证 不妨设 f ( x0 )是极大值. 由定义知,在 x0 的某一邻域内,恒有
f ( x ) f ( x0 ) f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 ) lim 0 x x0 x x0 f ( x ) f ( x0 ) 0 f ( x0 ) f ( x0 ) lim x x0 x x0
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5 3 2 例3确定函数 f ( x ) ( x ) x 的单调区间. 2 解(1)定义域 , 5 2 1 5 x 1 2 3 (2).f (x ) x ( x ) 3 3 2 3 x 3 x 令 f ( x ) 0 , 得x1 1, 当 x2 0 时, f (x ) 不存在,
1, x2 3.
列表:
x
f (x ) f (x )