【人教A版】高中数学必修1同步教学案必修1第三章《函数模型的应用实例》练习题(含答案)

《函数模型的应用实例》一、教学内容分析：本节课选自人民教育出版社A版的普通高中课程标准实验教科书·数学必修1中3．2．2函数模型的应用实例（第二课时）．函数基本模型的应用是本章的重点内容之一，函数模型本身就来源于现实，并用于解决实际问题．本节课的内容是在《几类不同增长的函数模型》和《函数模型的应用实例（一）》内容之后，对于纯数学知识的几类函数及其性质和给定的函数模型应用有了一定的学习，本节课是对以上两节内容的延续与拓展，研究没有给定函数模型或没有确定性函数模型的实际问题进行建模和应用．这节课的内容继续通过一些实例来感受函数模型的建立和应用，逐步体会实际问题中构建函数模型的过程，本节课的函数模型的应用实例主要包括建立确定性函数模型解决问题及选择或建立拟合函数模型解决问题．例5所给的问题的特点是表中数学的变化是有特定规律的，运用表中的数据规律建立数学模型，注意变化范围和检验结果的合理性，同时使用这种有规律的简单数据实例提供了建立数学模型的方法．例6与例5有所区别，表中数据的变化规律特点不是和明显，需要自己根据对数据的理解选择模型，这反映一个较为完整的建立函数模型解决问题的过程，让学生逐步感受和明确这一点．整节课要求学生分析数据，比较各个函数模型的优劣，选择接近实际的函数模型，并应用函数模型解决实际问题．强化读图、读表能力；优化学生思维，提高学生探究和解决问题的能力；强化学生数学应用意识，感受数学的实用性；锻炼学生的吃苦精神，提高学生的团队合作能力．二、教学目标：知识与技能：1．会分析所给出数据，画出散点图．2．会利用选择或建立的函数模型．3．会运用函数模型解决实际问题．过程与方法：1．通过对给出的数据的分析，抽象出相应的确定性函数模型，并验证函数模型的合理性．2．通过收集到的数据作出散点图，并通过观察图像判断问题所适用的函数模型，在合理选择部分数据或计算机的拟合功能得出具体的满意的函数解析式，并应用模型解决实际问题．情感、态度和价值观：1．经历建立函数模型解决实际问题的过程，领悟数学源自生活，服务生活，体会数学的应用价值．2．培养学生的应用意识、创新意识和探索精神，优化学生的理性思维和求真务实的科学态度．3．提高学生探究学习新知识的兴趣,培养学生,勇于探索的科学态度．三、学生学情分析：1．已掌握了一些基本初等函数的相关知识，有相应的数学基础知识储备．2．在前面的学习中，初步体会了利用给定函数模型解决实际问题的经历，为本节课积累解决问题的经验．3．学生从文字语言向图像语言和符号语言转化较弱；应用意识和应用能力不强；抽象概括和局部处理能力薄弱．四、教学重点、难点重点：根据收集的数据作出散点图，并通过观察图像选择问题所适用的函数模型，利用演算或计算机数据建立具体的函数解析式．难点：怎样合理分析数据选择函数模型和建立具体的函数解析式．五、教学策略分析：基于新课程标准倡导以学生为主体进行探究性学习，教师应成为学生学习的引导者、组织者和合作者的教学理念和最近发展区理论，结合本节课的教学目标，采用如下教学方法：1．问题教学法．在例1的教学中，提出如何能更为直观的发现函数模型，引导学生思考，发现选择函数模型的重要方法，即散点图图像，从而让学生有收获，有成就感．在例2的解决过程中，提出一系列的问题串，学会对问题的剖析，直达问题的核心．使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程，并使学生从中体会学习的兴趣．这样可以充分调动学生学习的主动性、积极性，使课堂气氛更加活跃，同时培养了学生自主学习，动手探究的能力．2．分组讨论法．在例2的教学中，遇到难以选择模型时，通过小组讨论，拓展思维，加强合作，解决问题；在获得函数模型后和课堂总结中，组织小组讨论，相互交流成果，扩大成果影响力．这样不仅能够培养学生对数学知识的探索精神和团队协作精神，更能让学生体验成功的乐趣，培养其学习的主动性．3．多媒体辅助教学法：在教学过程中，采用多媒体教学工具，通过动态演示有利于引起学生的学习兴趣，激发学生的学习热情，增大信息的容量，使内容充实、形象、直观，提高教学效率和教学质量。

3.2.3 函数模型的应用实例（一）（一）教学目标1．知识与技能：初步掌握一次和二次函数模型的应用，会解决较简单的实际应用问题.2．过程与方法：经历运用一次和二次函数模型解决实际问题，提高学生的数学建模能力.3．情感、态度与价值观：了解数学知识来源于生活，又服务于实际，从而培养学生的应用意识，提高学习数学的兴趣.（二）教学重点、难点一次和二次函数模型的应用是本节的重点，数学建模是本节的难点.（三）教学方法本节内容主要是例题教学，因此采用学生探究解题方法，总结解题规律，教师启发诱导的方法进行教学.（四）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入回顾一次函数和二次函数的有关知识.教师提出问题，学生回答.师：一次函数、二次函数的解析式及图象与性质.生：回答上述问题.以旧引新，激发兴趣.应用举例1．一次函数模型的应用例1 某列火车从北京西站开往石家庄，全程277km.火车出发10min开出13km后，以120km/h的速度匀速行驶.试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶的时间t之间的关系，并求火车离开北京2h内行驶的路程.教师提出问题，让学生读题，找关键字句，联想学过的函数模型，求出函数关系式.学生根据要求，完成例1的解答.例1 解：因为火车匀速运动的时间为(200 – 13)÷120 =115(h)，所以115t≤≤.因为火车匀速行驶时间t h所行驶路程为120t，所以，火车运行总路程S与匀速行驶时间t之间的关系是11130120(0).5S t t=+≤≤2h内火车行驶的路程11131206S=+⨯=233(km).通过此问题背景，让学生恰当选择相应一次函数模型解决问题，加深对函数概念本质的认识和理解.让学生体验解决实际问题的过程和方法.解题方法：1．读题，找关键点；2．抽象成数学模型；3．求出数学模型的解；4．做答.学生总结，教师完善.培养学生分析归纳、概括能力.从而初步体验解应用题的规律和方法.2．二次函数模型的应让学生自己读题，并回答下列问题：解应用题用例2 某农家旅游公司有客房300间，每间日房租20元，每天都客满.公司欲提高档次，并提高租金.如果每间客房每日增加2元，客房出租数就会减少10间.若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？①题目求什么，应怎样设未知量；②每天客房的租金收入与每间客房的租金、客房的出租数有怎样的关系；③学生完成题目.法一：用列表法求解.此法可作为学生探求思路的方法，但由于运算比较繁琐，一般不用，应以法二求解为重点.对法二让学生读题，回答问题.教师指导，学生自己动手解题.师生合作由实际问题建模，让学生尝试解答.例2 解答：方法一依题意可列表如下：x y0 300×20 = 60001 (300 – 10×1)(20 + 2×1) = 63802 (300 – 10×2)(20 + 2×2) = 67203 (300 – 10×3)(20 + 2×3) = 70204 (300 – 10×4)(20 + 2×4) = 72805 (300 – 10×5)(20 + 2×5) = 75006 (300 – 10×6)(20 + 2×6) = 76807 (300 – 10×7)(20 + 2×7) = 78208 (300 – 10×8)(20 + 2×8) =79209 (300 – 10×9)(20 + 2×9) = 798010 (300 – 10×10)(20 + 2×10) = 800011 (300 – 10×11)(20 + 2×11) = 798012 (300 – 10×12)(20 + 2×12) = 792013 (300 – 10×13)(20 + 2×13) = 7820……由上表容易得到，当x = 10，即每天租金为40元时，能出租客房200间，此时每天总租金最高，为8000元.再提高租金，总收入就要小于8000元了.方法二设客房租金每间提高x个2元，则将有10x间客房空出，客房租金的总收入为y = (20 + 2x) (300 – 10x )= –20x2 + 600x– 200x + 6000= –20(x2– 20x + 100 – 100) + 6000= –20(x– 10)2 + 8000.首先要读懂题意，设计出问题指导学生审题，建立正确的数学模型.同时，培养学生独立解决问题的能力.由此得到，当x = 10时，y max = 8000.即每间租金为20 + 10×2 = 40(元)时，客房租金的总收入最高，每天为8000元.3．分将函数模型的应用例 3 一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示.（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km,试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s km与时间t h的函数解析式，并作出相应的图象.生：解答：（1）阴影部分的面积为50×1+80×1+90×1+75×1+65×1=360.阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360km.（2）根据图，有502004,01,80(1)2054,12,90(2)2134,23,75(3)2224,34,65(4)2299,4 5.t tt ts t tt tt t+≤<⎧⎪-+≤<⎪⎪=-+≤<⎨⎪-+≤<⎪-+≤≤⎪⎩这个函数的图象如图所示.实际应用用问题解决的一般步骤：理解问题⇒简化假设⇒数学建模⇒解答模型⇒检验模型⇒评价与应用的进一步深体.巩固练习课堂练习习题1．如果一辆汽车匀速行驶，1.5h行驶路程为90km，求这辆汽车行驶路程与时间之间的函数关系，以及汽车3h所行驶的路程.习题2．已知某食品5kg价格为40元，求该食品价格与重量之间的函数关系，并求8kg食品的价格是多少元.习题3．有300m长的篱笆材料，如果利用已有的一面墙(设长度够用)作为一边，围成一块矩形菜地，问矩形的长、宽各为多少时，这块菜地的面学生练习，师生点评.1．设汽车行驶的时间为t h，则汽车行驶的路程S km与时间t h之间的函数关系为S = vt.当t = 1.5时，S = 90，则v = 60.因此所求的函数关系为S=60t，当t = 3时，S = 180，所以汽车3h所行驶的路程为180km.2．设食品的重量为x kg，则食品的价格y元与重量x kg之间的函数关系式为y=8x，当x = 8时，y = 64，所以当8kg食品的价格为64元.3．设矩形菜地与墙相对的一边长为x cm，则另一组对边的长为3002x-m，从而矩形菜地的面积为：学生动手实践、体验所学方法，从而提升解应用题的技能.积最大？习题4．某市一种出租车标价为1.20元/km ，但事实上的收费标准如下：最开始4km 内不管车行驶路程多少，均收费10元(即起步费)，4km 后到15km 之间，每公里收费1.20元，15km 后每公里再加收50%，即每公里1.80元.试写出付费总数f 与打车路程x 之间的函数关系.21(300)21(150)11250(0300).2S x x x x =-=--+<<当x = 150时，S max = 11250. 即当矩形的长为150m ，宽为75m 时，菜地的面积最大. 4．解：所求函数的关系式为 100410 1.2(4)41523.2 1.8(15)15x y x x x x <≤⎧⎪=+-<≤⎨⎪+->⎩归纳小结课堂小结解决应用用问题的步骤：读题—列式—解答. 学生总结，师生完善使学生养成归纳总结的好习惯.让学生初步掌握数学建模的基本过程. 布置作业 习题2—3B 第1、3题： 教材第71页“思考与讨论”.学生练习使学生巩固本节所学知识与方法.例1 某游艺场每天的盈利额y 元与售出的门票数x 张之间的关系如图所示，试问盈利额为750元时，当天售出的门票数为多少？【解析】根据题意，每天的盈利额y 元与售出的门票数x 张之间的函数关系是：3.75(0400)1.251000(400600)x x y x x ≤≤⎧=⎨+≤≤⎩（1）当0≤x ≤400时，由3.75x =750，得x =200.（2）当400≤x ≤600时，由1.25x + 1000 = 750，得x = – 200 (舍去). 综合（1）和（2），盈利额为750元时，当天售出的门票数为200张. 答：当天售出的门票数为200张时盈利额为750元. 例2投资A 种商品金额(万元) 1 2 3 4 5 6 获纯利润 (万元) 0.65 1.39 1.85 2 1.84 1.40 投资B 种商品金额(万元) 1 2 3 4 5 6 获纯利润 (万元)0.250.490.7611.261.51该经营者准备下月投入12万元经营这两种产品，但不知投入A B 两种商品各多少才最合算. 请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者获得最大的利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字).【解析】以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图：据此，可考虑用下列函数分别描述上述两组数据之间的对应关系.y = –a (x – 4)2 + 2 (a＞0) ①y = bx②把x = 1，y = 0.65代入①式，得0.65 = –a (1 – 4)2 + 2，解得a = 0.15.故前六个月所获纯利润关于月投资A商品的金额的函数关系式可近似地用y = – 0.15(x– 4)2 + 2表示，再把x = 4，y = 1代入②式，得b = 0.25，故前六个月所获利润关于月投资B种商品的金额的函数关系可近似地用y = 0.25x表示.设下月投资A种商品x万元，则投资B种商品为(12 –x)万元，可获纯利润y = – 0.15 (x– 4)2 + 2 + 0.25 (12 –x)= – 0.15x2 + 0.95x + 2.6，当0.952(0.15)x-=⨯-≈3.2时，2max 4(0.15) 2.60.954(0.15)y⨯-⨯-=⨯-≈4.1.故下月分别投资A、B两种商品3.2万元和8.8万元，可获最大纯利润4.1万元.【评析】幂函数模型的应用题经常以二次函数的形式出现，要注意y = x2变换到y = a (x –m)2 + b后发生的变化.。

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．某天0时，小鹏同学生病了，体温上升，吃过药后感觉好多了，中午时他的体温基本正常(正常体温约为37 ℃)，但是下午他的体温又开始上升，直到半夜才感觉身上不那么发烫了．下面能大致反映出小鹏这一天(0时至24时)体温变化情况的图象是( )解析： 观察选项A 中的图象，体温逐渐降低，不符合题意；选项B 中的图象不能反映“下午他的体温又开始上升”这一过程；选项D 中的图象不能体现“下午他的体温又开始上升”与“直到半夜才感觉身上不那么发烫了”这一过程．答案： C2．已知A ，B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/时的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A 地，则汽车离开A 地的距离x 关于时间t (小时)的函数解析式是( )A ．x ＝60tB ．x ＝60t ＋50tC ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t ，t 150－50t tD ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t ，t 150，t150－t －t解析： 显然出发、停留、返回三个过程中行车速度是不同的，故应分三段表示函数，选D.答案： D3．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y (只)与引入时间x (年)的关系为y ＝a log 2(x ＋1)，若该动物在引入一年后的数量为100只，则第7年它们发展到( )A ．300只B ．400只C ．600只D ．700只解析： 将x ＝1，y ＝100代入y ＝a log 2(x ＋1)得，100＝a log 2(1＋1)，解得a ＝100，所以x ＝7时，y ＝100log 2(7＋1)＝300.答案： A4．用长度为24 m 的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为( )A ．3 mB ．4 mC ．5 mD ．6 m解析： 设隔墙的长为x m ，矩形面积为S ，则S ＝x ·24－4x 2＝x (12－2x )＝－2x 2＋12x ＝－2(x －3)2＋18，所以当x ＝3时，S 有最大值为18. 答案： A二、填空题(每小题5分，共15分)5．生产某机器的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝x 2－75x ，若每台机器售价为25万元，则该厂获利润最大时生产的机器台数为________台．解析： 设该厂获利润为g (x )，则g (x )＝25x －y ＝25x －(x 2－75x )＝－x 2＋100x ＝－(x －50)2＋2 500， 当x ＝50时，g (x )有最大值2 500万元． 答案： 506．甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.下图表示甲从家出发到乙同学家经过的路程y (km)与时间x (min)的关系，其中甲在公园休息的时间是10 min ，那么y ＝f (x )的解析式为________．解析： 由题图知所求函数是一个分段函数，且各段均是直线，可用待定系数法求得y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧115x x ，x，110x －x答案： y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧115x x 30<x110x －x7．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形的两边长x 、y 应分别为________．解析： 由图知x 、y 满足关系式x 20＝24－y 16，即y ＝24－45x ，矩形的面积S ＝xy ＝x ⎝⎛⎭⎫24－45x ＝－45(x －15)2＋180，故x ＝15，y ＝12时S 取最大值．答案： x ＝15，y ＝12三、解答题(每小题10分，共20分)8．某游乐场每天的盈利额y 元与售出的门票张数x 之间的函数关系如图所示，试由图象解决下列问题：(1)求y 与x 的函数解析式；(2)要使该游乐场每天的盈利额超过1 000元，每天至少卖出多少张门票？解析： (1)由图象知，可设y ＝kx ＋b ，x ∈[0,200]时，过点(0，－1 000)和(200,1 000)，解得k ＝10，b ＝－1 000，从而y ＝10x －1 000；x ∈(200,300]时，过点(200,500)和(300,2 000)，解得k ＝15，b ＝－2 500，从而y ＝15x －2 500，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10x －1 000，x ∈[0，200]，15x －2 500，x ∈，300].(2)每天的盈利额超过1 000元，则x ∈(200,300]，由15x －2 500>1 000得，x >7003，故每天至少需要卖出234张门票．9．为了保护学生的视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的．研究表明：假设课桌的高度为y cm ，椅子的高度为x cm ，则y 应是x 的一次函数，下表列出了两套符合条件的课桌椅的高度：(1)请你确定y 与(2)现有一把高42.0 cm 的椅子和一张高78.2 cm 的课桌，它们是否配套？为什么？ 解析： (1)根据题意，课桌高度y 是椅子高度x 的一次函数，故可设函数解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)．将符合条件的两套课桌椅的高度代入上述函数解析式．得⎩⎪⎨⎪⎧ 40k ＋b ＝75，37k ＋b ＝70.2，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1.6，b ＝11，所以y 与x 的函数解析式是y ＝1.6x ＋11. (2)把x ＝42代入(1)中所求的函数解析式中，有y ＝1.6×42＋11＝78.2. 所以给出的这套桌椅是配套的．。

3.2.2 函数模型的应用实例自主学习1．掌握几种初等函数的应用．2．理解用拟合函数的方法解决实际问题的方法． 3．了解应用实例的三个方面和数学建模的步骤．1．函数模型的应用实例主要包括三个方面：(1)________________________________________________； (2)________________________________________________； (3)________________________________________________． 2．面临实际问题，自己建立函数模型的步骤：(1)________________；(2)________；(3)______________； (4)______________； (5)________；(6)______________．对点讲练已知函数模型的应用问题【例1】 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2 (0≤x ≤400)80 000 (x >400).其中x 是仪器的月产量．(1)将利润表示为月产量的函数f (x )；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)变式迁移1 为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比；药物释放完毕后，y 与t的函数关系式为y ＝(116)t －a (a 为常数)如图所示．根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系式为__________________；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．自建函数模型的应用问题【例2】某公司每年需购买某种元件8 000个用于组装生产，每年分n次等量进货，每进一次货(不分进货量大小)费用500元，为了持续生产，需有每次进货的一半库存备用，每件每年库存费2元，问分几次进货可使得每年购买和贮存总费用最低？变式迁移2 某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 m2的三级污水处理池(平面图如图所示)，由于地形限制，长、宽都不能超过16 m，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁的厚度忽略不计，且池无盖)．(1)写出总造价y(元)与污水处理池长x(m)的函数关系式，并指出其定义域．(2)求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价．函数模型的选择【例3】某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别是1万件、1.2万件、1.3万件，为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份x的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数y＝ab x＋c(其中a，b，c为常数，a≠0)，已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由．变式迁移3 某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位：元/102kg)(1)Q 与上市时间t 的变化关系；Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t ；(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．1．解答应用题的基本步骤： (1)设：合理、恰当地设出变量；(2)写：根据题意，抽象概括数量关系，并能用数学语言表示，得到数学问题； (3)算：对所得数学问题进行分析、运算、求解；(4)答：将数学问题的解还原到实际生活问题中，给出最终的答案． 2．在中学阶段，用函数拟合解决实际问题的基本过程是：课时作业一、选择题1现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数满足的规律，其中最接近的一个是( )A ．V ＝log 2tB ．V ＝log 12t C ．V ＝t 2－12D ．V ＝2t －22．计算机成本不断降低，若每隔3年计算机价格降低13，则现在价格为8 100元的计算机，9年后的价格可降为( )A ．2 400元B ．900元C ．300元D ．3 600元3. 一个高为H ，盛水量为V 0的水瓶的轴截面如图所示，现以均匀速度往水瓶中灌水，直到灌满为止，如果水深h 时水的体积为V ，则函数V ＝f (h )的图象大致是( )4．某种电热水器的水箱盛满水是200升，加热到一定温度可浴用．浴用时，已知每分钟放水34升，在放水的同时注水，t分钟注水2t2升，当水箱内水量达到最小值时，放水自动停止．现假定每人洗浴用水65升，则该热水器一次至多可供几人洗澡() A．3人B．4人C．5人D．6人二、填空题5．60年国庆，举国欢腾，某旅游胜地的客流量急速增加．某家客运公司为招揽游客，推出了客运定票的优惠政策：如果行程不超过100 km，票价是0.4元/km；如果超过100 km，则超过100 km的部分按0.3元/km定价．则客运票价y元与行程公里x km之间的函数关系是______________________________．6. 右图表示一位骑自行车和一位骑摩托车者在相距为80 km的两城镇间旅行的函数图象，由图可知：骑自行车者用6 h(含途中休息的1 h)，骑摩托车者用了2 h．有人根据这个函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：①骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h，晚到1 h；②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；③骑摩托车者在出发1.5 h后追上骑自行车者．其中正确的序号是__________________________________________________．三、解答题7．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0<x<240，x∈N*)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不赔本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是多少．8．某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，凡多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．(1)当一次订购量为多少时，零件的实际出厂单价恰降为51元？(2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P＝f(x)的表达式；(3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1 000个，利润又是多少元？3.2.2函数模型的应用实例答案自学导引1．(1)利用给定的函数模型解决实际问题 (2)建立确定性的函数模型解决问题 (3)建立拟合函数模型解决实际问题2．(1)收集数据 (2)描点 (3)选择函数模型 (4)求函数模型 (5)检验 (6)用函数模型解决实际问题对点讲练【例1】 解 (1)设每月产量为x 台，则总成本为20 000＋100x ，从而f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x 2＋300x －20 000 (0≤x ≤400)60 000－100x (x >400).(2)当0≤x ≤400时，f (x )＝－12(x －300)2＋25 000，∴当x ＝300时，有最大值25 000；当x >400时，f (x )＝60 000－100x 是减函数， f (x )<60 000－100×400<25 000. ∴当x ＝300时，f (x )取最大值．∴每月生产300台仪器时，利润最大， 最大利润为25 000元．变式迁移1 (1) y ＝⎩⎨⎧10t ， 0≤t ≤110，⎝⎛⎭⎫116t －110， t >110(2)0.6解析 (1)设y ＝kt (k ≠0)，由图象知y ＝kt 过点(0.1,1)，则1＝k ×0.1，k ＝10， ∴y ＝10t (0≤t ≤0.1)；由y ＝⎝⎛⎭⎫116t －a过点(0.1,1)得1＝⎝⎛⎭⎫1160.1－a ， a ＝0.1，∴y ＝⎝⎛⎭⎫116t －0.1(t >0.1)．∴y ＝⎩⎨⎧10t ， 0≤t ≤110，⎝⎛⎭⎫116t －110，t >110.(2)由⎝⎛⎭⎫116t －0.1≤0.25＝14，得t ≥0.6， 故至少需经过0.6小时．【例2】 解 设每年购买和贮存元件总费用为y 元，其中购买成本费为固定投入， 设为c 元，则y ＝500n ＋2×8 000n ×12＋c＝500n ＋8 000n ＋c ＝500(n ＋16n )＋c＝500(n －4n )2＋4 000＋c ，当且仅当n ＝4n，即n ＝4时，y 取得最小值且y min ＝4 000＋c .所以分4次进货可使得每年购买和贮存元件总费用最低．变式迁移2 解 (1)设污水处理池的长为x m ，则宽为200xm ，总造价为y .∴y ＝400(2x ＋2×200x )＋248×200x ×2＋80×200＝800(x ＋324x )＋16 000.∵⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤160<200x≤16，∴12.5≤x ≤16.故其定义域为[12.5,16]．(2)先讨论y ＝800(x ＋324x)＋16 000在[12.5,16]上的单调性．设x 1，x 2∈[12.5,16]且x 1<x 2，则y 1－y 2＝800[(x 1－x 2)＋324(1x 1－1x 2)]＝800(x 1－x 2)(1－324x 1x 2)．∵x 1，x 2∈[12.5,16]，x 1<x 2， ∴x 1·x 2<162<324.∴1－324x 1x 2<0，x 1－x 2<0.∴y 1－y 2>0.∴此函数在[12.5,16]上单调递减． ∴当x ＝16时，y min ＝45 000(元)，此时，宽为20016m ＝12.5 m.∴当池长为16 m ，宽为12.5 m 时， 总造价最低为45 000元．【例3】 解 设f (x )＝px 2＋qx ＋r (p ≠0)，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝p ＋q ＋r ＝1，f (2)＝4p ＋2q ＋r ＝1.2，f (3)＝9p ＋3q ＋r ＝1.3.解得p ＝－0.05，q ＝0.35，r ＝0.7. ∴f (x )＝－0.05x 2＋0.35x ＋0.7，∴f (4)＝－0.05×42＋0.35×4＋0.7＝1.3. 设g (x )＝ab x ＋c (a ≠0)，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧g (1)＝ab ＋c ＝1，g (2)＝ab 2＋c ＝1.2，g (3)＝ab 3＋c ＝1.3.解得a ＝－0.8，b ＝0.5，c ＝1.4. ∴g (x )＝－0.8×0.5x ＋1.4，∴g (4)＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35.经比较可知，用g (x )＝－0.8×0.5x ＋1.4作为模拟函数较好． 变式迁移3 解 (1)由表中数据知，当时间t 变化时，种植成本并不是单调的， 故只能选取Q ＝at 2＋bt ＋c .即⎩⎪⎨⎪⎧150＝a ×502＋b ×50＋c 108＝a ×1102＋b ×110＋c 150＝a ×2502＋b ×250＋c， 解得Q ＝1200t 2－32t ＋4252. (2)Q ＝1200(t －150)2＋4252－2252＝1200(t －150)2＋100， ∴当t ＝150天时，西红柿的种植成本最低，为100元/102 kg. 课时作业 1．C 2.A3．D [考察相同的Δh 内ΔV 的大小比较．] 4．B [设最多用t 分钟，则水箱内水量y ＝200＋2t 2－34t ，当t ＝172时，y 有最小值，此时共放水34×172＝289(升)，可供4人洗澡．]5．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.4x ，0<x ≤100，40＋0.3(x －100)，x >1006．①②解析 ③错，骑摩托车者出发1.5 h 时走了60 km ，而从图中可看出骑自行车者走的距离大于60 km.7．解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3 000＋20x －0.1x 2≤25x 0<x <240解得150≤x <240，x ∈N *∴生产者不赔本时的最低产量是150台．8．解 (1)设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x 0个，则x 0＝100＋60－510.02＝550(个)．∴当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元． (2)当0<x ≤100时，P ＝60； 当100<x <550时，P ＝60－0.02(x －100)＝62－0.02x ； 当x ≥550时，P ＝51.∴P ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60， 0<x ≤100，62－0.02x ， 100<x <550，51， x ≥550(x ∈N ＋)．(3)设销售商一次订购量为x 个时，工厂获得的利润为S 元，则 S ＝(P －40)x ＝⎩⎪⎨⎪⎧20x ， 0<x ≤100，22x －0.02x 2， 100<x <550，11x ， x ≥550(x ∈N ＋)当x ＝500时，S ＝22×500－0.02×5002＝6 000(元)；当x ＝1 000时，S ＝11×1 000＝11 000(元)．∴当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6 000元；如果一次订购1 000个零件时，利润是11 000元．。

4.5.3 函数模型的应用几类常见的函数模型1．某种动物繁殖数量y(单位：只)与时间x(单位：年)的关系式为y＝a log2(x＋1)．若这种动物第1年有100只，则到第7年它们发展到()A．300只B．400只C．500只D．600只2．某种产品今年的产量是a，如果保持5%的年增长率，那么经过x年(x∈N*)，该产品的产量y满足()A．y＝a(1＋5%x) B．y＝a＋5%C．y＝a(1＋5%)x－1D．y＝a(1＋5%)x3．已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y＝a·0.5x＋b，现已知该厂今年1月份、2月份生产该产品分别为1万件、1.5万件，则此厂3月份该产品产量为________．讲练互动探究点1 指数型函数模型的应用例1 一片森林原来的面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22. (1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ (3)今后最多还能砍伐多少年？ 求解策略指数函数模型问题的求解策略(1)对于增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型y ＝N (1＋p )x (其中N 是基础数，p 为增长率，x 为时间)和幂函数模型y ＝a (1＋x )n (其中a 为基础数，x 为增长率，n 为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算，要注意与已知条件中给定的值对应求解．(2)函数y ＝c ·a kx (a ，c ，k 为常数)是一个应用广泛的函数模型，它在电学、生物学、人口学、气象学等方面都有广泛的应用，解决这类给出指数函数模型的应用题的基本方法是待定系数法，即根据题意确定相关的系数．跟踪训练 某工厂生产过程中产生的废气必须经过过滤后才能排放，已知在过滤过程中，废气中的污染物含量p (单位：毫克/升)与过滤时间t (单位：小时)之间的关系为p (t )＝p 0e －kt (式中的e 为自然对数的底数，p 0为污染物的初始含量)．过滤1小时后，检测发现污染物的含量减少了15.(1)求函数关系式p (t )；(2)要使污染物的含量不超过初始值的11 000，至少还需过滤几个小时？(参考数据：lg 2≈0.3)探究点2对数型函数模型的应用例2 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数v ＝12log 3θ100，单位是m/s ，θ是表示鱼的耗氧量的单位数．(1)当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是多少？(2)某条鲑鱼想把游速提高1 m/s ，那么它的耗氧量的单位数是原来的多少倍． 互动探究(变问法)若本例条件不变：(1)当一条鲑鱼的耗氧量是8 100 个单位时，它的游速是多少？ (2)求一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数． 求解策略对数函数应用题的基本类型和求解策略(1)基本类型：有关对数函数的应用题一般都会给出函数的『解 析』式，然后根据实际问题求解；(2)求解策略：首先根据实际情况求出函数『解 析』式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入『解 析』式求值，然后根据数值回答其实际意义．跟踪训练 在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v (米/秒)和燃料的质量M (千克)、火箭(除燃料外)的质量m (千克)的函数关系式是v ＝2 000·ln ⎝⎛⎭⎫1＋Mm .当燃料质量是火箭质量的____________倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒． 探究点3以图表信息为背景的函数应用题例3 某医院研究开发了一种新药，据检测，如果成人按规定的剂量服用，服药后每毫升血液中的含药量y (单位：μg)与服药后的时间t (单位：h)之间近似满足图中的曲线，其中OA 是线段，曲线ABC 是函数y ＝ka t (t ≥1，a >0，且k 与a 是常数)的图象．(1)写出服药后y 关于t 的函数关系式；(2)据测定，每毫升血液中含药量不少于2 μg 时治疗疾病有效，假如某病人第一次服药为早上6：00，为了保持疗效，第二次服药最迟应在当天几时？ 规律方法解决这类问题的一般步骤：(1)观察图表，捕捉有效信息．(2)对已获信息进行加工，选择适当的函数模型．(3)求函数『解 析』式．(4)进行检验，去伪存真，『答 案』要符合实际情形．跟踪训练 某药材种植基地准备种植某种药材，从历年市场行情可知，从2月1日起的300天内，该药材的市场售价P (元/千克)与上市时间t (天)的关系可以用如图①所示的一条折线表示，该药材的种植成本Q (元/千克)与上市时间t (天)的关系可以用如图②所示的抛物线表示．(1)写出图①中表示的市场售价与上市时间的函数关系式P ＝f (t )，写出图②中表示的种植成本与上市时间的函数关系式Q ＝g (t )；(2)若市场售价减去种植成本为纯收益，则何时上市该药材的纯收益最大？达标反馈1．某市的房价(均价)经过6年时间从1 200元/m2增加到了4 800元/m2，则这6年间平均每年的增长率是()A．600元B．50%C．32－1 D．32＋12．在固定电压差(电压为常数)的前提下，当电流通过圆柱形的电线时，其电流强度I与电线半径r的三次方成正比，若已知电流通过半径为4毫米的电线时，电流强度为320安，则电流通过半径为3毫米的电线时，电流强度为()A．60安B．240安3．某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过8万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过8万元时，若超过A万元，则超过部分按log5(2A＋1)进行奖励．记奖金为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元)．(1)写出奖金y关于销售利润x的关系式；(2)如果业务员小江获得3.2万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？巩固提升A基础达标1．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是()A．310元B．300元C．290元D．280元2．向一杯子中匀速注水时，杯中水面高度h随时间t变化的函数h＝f(t)的大致图象如图所示，则杯子的形状可能是()3．某位股民购进某只股票，在接下来的交易时间内，他的这只股票先经历了3次涨停(每次上涨10%)，又经历了3次跌停(每次下降10%)，则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为()A．略有亏损B．略有盈利C．没有盈利也没有亏损D．无法判断盈亏情况4．把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是T1(℃)，空气的温度是T0(℃)，经过t 分钟后物体的温度T(℃)可由公式T＝T0＋(T1－T0)e－0.25t求得．把温度是90 ℃的物体，放在10 ℃的空气中冷却t分钟后，物体的温度是50 ℃，那么t的值约等于(参考数据：ln 3≈1.099，ln 2≈0.693)()A．1.78 B．2.77C．2.89 D．4.405．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用．当截取的矩形面积最大时，矩形的两边长x，y分别为________．6．放射性物质衰变过程中其剩余质量随时间按指数函数关系变化．常把它的剩余质量变为.现测得某种放射性元素的剩余质量A随原来的一半所经历的时间称为它的半衰期，记为T12时间t变化的6次数据如下：式为A (t )＝________．7．某种细菌经30分钟数量变为原来的2倍，且该种细菌的繁殖规律为y ＝e kt ，其中k 为常数，t 表示时间(单位：小时)，y 表示繁殖后细菌总个数，则k ＝________，经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为________．8．燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度v (单位：m/s)可以表示为v ＝5log 2Q10，其中Q 表示燕子的耗氧量．(1)求燕子静止时的耗氧量是多少个单位；(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？9．某科研单位在研发新产品的过程中发现了一种新材料，由大数据测得该产品的性能指标值y 与这种新材料的含量x (单位：克)的关系为：当0≤x <6时，y 是x 的二次函数；当x ≥6时，y ＝⎝⎛⎭⎫13x －t.测得数据如表(部分)(1)(2)求函数f (x )的最大值．B 能力提升10．衣柜里的樟脑丸随着时间挥发而体积缩小，刚放进的新丸的体积为a ，经过t 天后体积V 与天数t 的关系式为V ＝a ·e －kt .已知新丸经过50天后，体积变为49a .若一个新丸体积变为827a ，则需经过的天数为( ) A ．125 B ．100 C ．75D ．5011．某公司对营销人员有如下规定：①年销售额x (万元)在8万元以下，没有奖金；②年销售额x (万元)，x ∈『8，64』时，奖金为y 万元，且y ＝log a x ，y ∈『3，6』，且年销售额越大，奖金越多；③年销售额x (万元)超过64万元，按年销售额的10%发奖金． (1)求奖金y 关于x 的函数『解 析』式；(2)某营销人员争取年奖金y ∈『4，10』(万元)，求年销售额x 在什么范围内．C 拓展探究12．近年来，我国大部分地区遭遇雾霾天气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响，经研究发现工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓．为此，某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染．已知过滤过程中废气的污染物数量P (单位：mg/L)与过滤时间t (单位：h)间的关系为P (t )＝P 0e －kt (P 0，k 均为非零常数，e 为自然对数的底数)，其中P 0为t ＝0时的污染物数量．若经过5 h 过滤后还剩余90%的污染物． (1)求常数k 的值；(2)试计算污染物减少到40%至少需要多长时间．(精确到1 h ，参考数据：ln 0.2≈－1.61，ln 0.3≈－1.20，ln 0.4≈－0.92，ln 0.5≈－0.69，ln 0.9≈－0.11)——★ 参*考*答*案 ★——自我检测1．『『答 案』』A『『解 析』』由题意可得a ＝100.当x ＝7时，y ＝100log 2(7＋1)＝300. 2．『『答 案』』D『『解 析』』经过1年，y ＝a (1＋5%)，经过2年，y ＝a (1＋5%)2，…，经过x 年，y ＝a (1＋5%)x .3．『『答 案』』1.75万件『『解 析』』由⎩⎪⎨⎪⎧1＝a ·0.51＋b ，1.5＝a ·0.52＋b ， 得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝2， 所以y ＝－2×0.5x ＋2，所以3月份产量为y ＝－2×0.53＋2＝1.75(万件)．讲练互动探究点1 指数型函数模型的应用例1 解：(1)设每年砍伐面积的百分比为x (0<x <1)，则a (1－x )10＝12a ，即(1－x )10＝12，解得x ＝1－⎝⎛⎭⎫12110.(2)设经过m 年后森林剩余面积为原来的22，则a (1－x )m ＝22a ， 即⎝⎛⎭⎫12m 10＝⎝⎛⎭⎫1212，则m 10＝12，解得m ＝5. 故到今年为止，该森林已砍伐了5年．(3)设从今年开始，最多还能砍伐n 年，则n 年后剩余面积为22a (1－x )n . 令22a (1－x )n ≥14a ，即(1－x )n≥24，则⎝⎛⎭⎫12n 10≥⎝⎛⎭⎫1232，则n 10≤32，解得n ≤15. 故今后最多还能砍伐15年．跟踪训练 解：(1)根据题意，得45p 0＝p 0e －k ，所以e －k＝45，所以p (t )＝p 0⎝⎛⎭⎫45t .(2)由p (t )＝p 0⎝⎛⎭⎫45t ≤11 000p 0，得⎝⎛⎭⎫45t≤10－3，两边取对数并整理得t (1－3lg 2)≥3，所以t ≥30.因此，至少还需过滤30个小时． 探究点2对数型函数模型的应用 例2 解：(1)由v ＝12log 3θ100可知，当θ＝900时，v ＝12log 3900100＝12log 39＝1(m/s)．所以当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是1 m/s. (2)由v 2－v 1＝1，即12log 3θ2100－12log 3θ1100＝1， 得θ2θ1＝9. 所以耗氧量的单位数为原来的9倍． 互动探究解：(1)将θ＝8 100代入函数『解 析』式，得v ＝12log 381＝12×4＝2 (m/s)，所以一条鲑鱼的耗氧量是8 100个单位时，它的游速是2 m/s.(2)令v ＝0，得12log 3θ100＝0，即θ100＝1，则θ＝100，所以一条鲑鱼静止时的耗氧量为100个单位．跟踪训练 『『答 案』』e 6－1 『『解 析』』当v ＝12 000米/秒时， 2 000·ln ⎝⎛⎭⎫1＋Mm ＝12 000， 所以ln ⎝⎛⎭⎫1＋M m ＝6，所以Mm ＝e 6－1. 探究点3以图表信息为背景的函数应用题 例3 解：(1)当0≤t <1时，y ＝8t ；当t ≥1时，将A (1，8)，B (2，42)代入y ＝ka t ， 得a ＝22，k ＝8 2.所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧8t ，0≤t <1，82×⎝⎛⎭⎫22t ，t ≥1. (2)设第一次服药后最迟经过t h 第二次服药，依题意有t ≥1.所以82×⎝⎛⎭⎫22t ＝2，解得t ＝5. 因此第二次服药最迟应在第一次服药后5 h ，即当天上午11：00服药．跟踪训练 解：(1)由题图①可得市场售价与上市时间的函数关系式为P ＝f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧300－t ，0≤t ≤200，2t －300，200<t ≤300. 由题图②可得种植成本与上市时间的函数关系式为Q ＝g (t )＝1200(t －150)2＋100，0≤t ≤300. (2)设从2月1日起的第t 天的纯收益为h (t )(元/千克)，则由题意，得h (t )＝f (t )－g (t )，即h (t )＝⎩⎨⎧－1200t 2＋12t ＋1752，0≤t ≤200，－1200t 2＋72t －1 0252，200<t ≤300. 当0≤t ≤200时，h (t )＝－1200(t －50)2＋100， 所以当t ＝50时，h (t )在区间『0，200』上取得最大值100.当200<t ≤300时，h (t )＝－1200(t －350)2＋100， 所以当t ＝300时，h (t )在区间(200，300』上取得最大值87.5.综上可知，当t ＝50时，h (t )取得最大值，最大值为100，即从2月1日开始的第50天上市，该药材的纯收益最大，最大纯收益为100元/千克．达标反馈1．『『答 案』』C『『解 析』』设6年间平均年增长率为x ，则有1 200(1＋x )6＝4 800，解得x ＝32－1.2．『『答 案』』D『『解 析』』由已知，设比例常数为k ，则I ＝k ·r 3.由题意，当r ＝4时，I ＝320，故有320＝k ×43，解得k ＝32064＝5，所以I ＝5r 3. 故当r ＝3时，I ＝5×33＝135(安)．故选D.3．解：(1)由题意知，当0≤x ≤8时，y ＝0.15x ；当x >8时，y ＝8×0.15＋log 5(2x －15)＝1.2＋log 5(2x －15)，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.15x ，0≤x ≤8，1.2＋log 5（2x －15），x >8. (2)由题意知1.2＋log 5(2x －15)＝3.2，解得x ＝20.所以，小江的销售利润是20万元．巩固提升A 基础达标1．『『答 案』』B『『解 析』』设函数『解 析』式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，函数图象过点(1，800)，(2，1 300)，则⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝800，2k ＋b ＝1 300， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝500，b ＝300， 所以y ＝500x ＋300，当x ＝0时，y ＝300.所以营销人员没有销售量时的收入是300元．2．『『答 案』』A『『解 析』』从题图看出，在时间段『0，t 1』，『t 1，t 2』内水面高度是匀速上升的，因此几何体应为两柱体组合，在『0，t 1』时间段内上升慢，在『t 1，t 2』时间段内上升快，于是下面大，上面小，故选A.3．『『答 案』』A『『解 析』』由题意可得(1＋10%)3(1－10%)3＝0.970 299≈0.97<1.因此该股民这只股票的盈亏情况为略有亏损．4．『『答 案』』B『『解 析』』由题意可知50＝10＋(90－10)·e－0.25t ，整理得e －0.25t ＝12，即－0.25t ＝ln 12＝－ln 2＝－0.693，解得t ≈2.77.5．『『答 案』』15，12『『解 析』』由三角形相似，得24－y 24－8＝x 20，得x ＝54×(24－y )， 所以S ＝xy ＝－54(y －12)2＋180， 故当y ＝12时，S 有最大值，此时x ＝15.6．『『答 案』』4 320·2－t 4 (t ≥0)『『解 析』』从题表中数据易知半衰期为4个单位时间，由初始质量为A 0＝320，则经过时间t 的剩余质量为A (t )＝A 0·⎝⎛⎭⎫12t T 12＝320·2－t 4 (t ≥0)．7．『『答 案』』2ln 2 1 024『『解 析』』由题意知，当t ＝12时，y ＝2，即2＝e 12k ， 所以k ＝2ln 2，所以y ＝e 2t ln 2.当t ＝5时，y ＝e 2×5×ln 2＝210＝1 024.即经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为1 024.8．解：(1)当燕子静止时，它的速度v ＝0 m/s ，代入题中给出的函数关系式，可得0＝5log 2Q 10，解得Q ＝10，即燕子静止时的耗氧量是10个单位．(2)将Q ＝80代入题中给出的函数关系式，得v ＝5log 28010＝5log 28＝15， 即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15 m/s.9．解：(1)当0≤x <6时，由题意，设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由表格数据可得⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝c ＝0，f （1）＝a ＋b ＋c ＝74，f （2）＝4a ＋2b ＋c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－14，b ＝2，c ＝0，所以，当0≤x <6时，f (x )＝－14x 2＋2x ， 当x ≥6时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x －t .由表格数据可得f (9)＝⎝⎛⎭⎫139－t ＝19， 解得t ＝7.所以当x ≥6时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x －7， 综上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－14x 2＋2x ，0≤x <6，⎝⎛⎭⎫13x －7，x ≥6.(2)当0≤x <6时，f (x )＝－14x 2＋2x ＝－14(x －4)2＋4， 所以当x ＝4时，函数f (x )的最大值为4；当x ≥6时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x －7单调递减，所以f (x )的最大值为f (6)＝⎝⎛⎭⎫136－7＝3. 因为4>3，所以函数f (x )的最大值为4.B 能力提升10．『『答 案』』C『『解 析』』由已知得49a ＝a ·e －50k ， 即e －50k ＝49＝⎝⎛⎭⎫232. 所以827a ＝⎝⎛⎭⎫233·a ＝(e －50k )32·a ＝e －75k ·a ， 所以t ＝75.11．解：(1)依题意知y ＝log a x 在x ∈『8，64』上为增函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧log a 8＝3，log a 64＝6， 所以a ＝2，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0≤x ＜8，log 2x ，8≤x ≤64，110x ，x ＞64. (2)易知x ≥8.当8≤x ≤64时，要使y ∈『4，10』，则4≤log 2x ≤10，所以16≤x ≤1 024，所以16≤x ≤64.当x ＞64时，要使y ∈『4，10』，则110x ∈『4，10』，即40≤x ≤100， 所以64＜x ≤100.综上，当年销售额x 在『16，100』(万元)内时，年奖金y ∈『4，10』(万元)．C 拓展探究12．解：(1)由已知得，当t ＝0时，P ＝P 0；当t ＝5时，P ＝90%P 0.于是有90%P 0＝P 0e －5k ，解得k ＝－15ln 0.9(或k ≈0.022)． (2)由(1)，知P ＝P 0e ⎝⎛⎭⎫15ln 0.9t ，当P ＝40%P 0时，有0.4P 0＝P 0e ⎝⎛⎭⎫15ln 0.9t ， 解得t ＝ln 0.415ln 0.9≈－0.9215×（－0.11）＝4.600.11≈42. 故污染物减少到40%至少需要42小时．。

《函数模型的应用举例》教案1教学目标：1．通过实例理解一次函数、分段函数的应用，提高学生的读图能力．2．通过马尔萨斯的人口增长模型使学生学会指数型函数的应用，了解函数模型在社会生活中的广泛应用．3．在实际问题的解决中，发展学生提出、分析问题的能力，体会数学与物理、人类社会的关系．教学重点难点：1．重点：利用给定的函数模型解决实际问题，特别是分段函数和指数型函数的应用．2．难点：函数模型的检验，并对给定的函数模型进行简单的分析评价．教法与学法：1．教法选择：分析引导2．学法指导：学生自主阅读教材，采用尝试、讨论方式进行探究教学过程：【设置情境，激发探索】可以看出，所得模型与1950~1959年的实际人口【作法总结，变式演练】【思维拓展，课堂交流】【归纳小结，课堂延展】教学设计说明1．教材地位分析：（1）教材围绕具体实例展开研究，各例题涉及的实际问题既有社会性，又具有浓郁的生活气息，在情感上体现了一种亲和力，易于学生理解和接受．（2）在知识层面上本节教材没有新增内容，要求学生运用已有函数知识，体会建立函数模型的过程，感受函数在生产、生活、科学、社会等领域中的广泛应用，理解函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，培养数学建模能力．（3）本小节教材是上节“几类不同增长的函数模型”的延续和发展．上节主要学习如何根据给定的几个函数模型，通过比较其增长速度，选择合适的函数模型解决实际问题．本节要求根据背景材料中的函数模型解决实际问题，验证模型的正确性．2．学生现实分析：高一学生通过数学必修①前两章的学习，已经理解了函数的概念，掌握了一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数等基本初等函数的图象和性质，对函数知识有了初步的应用能力，这为本节课的学习奠定了知识基础．运用数学知识解决实际问题，需要有一定的阅读理解、抽象概括、数据处理、语言转换等数学能力，而高一学生的应用意识和应用能力比较弱，这些要求对学生的学习造成了一定的困难．在思维层面上，学生往往不能深刻理解题意，不善于将实际问题抽象为一个数学问题来解决．因此在本节应用实例课的教学过程中，我将重点放在“审题”两个环节上，着重引导学生怎样“审题”，以及如何提炼图表信息验证函数模型．。

§3.2.2 函数模型的应用实例（2）1. 通过一些实例，来感受一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及幂函数的广泛应用，体会解决实际问题中建立函数模型的过程，从而进一步加深对这些函数的理解与应用；2. 初步了解对统计数据表的分析与处理.，找出疑惑之处）104106阅读：2003年5月8日，西安交通大学医学院紧急启动“建立非典流行趋势预测与控制策略数学模型”研究项目，马知恩教授率领一批专家昼夜攻关，于5月19日初步完成了第一批成果，并制成了要供决策部门参考的应用软件.这一数学模型利用实际数据拟合参数，并对全国和北京、山西等地的疫情进行了计算仿真，结果指出，将患者及时隔离对于抗击非典至关重要、分析报告说，就全国而论，菲非典病人延迟隔离1天，就医人数将增加1000人左右，推迟两天约增加工能力100人左右；若外界输入1000人中包含一个病人和一个潜伏病人，将增加患病人数100人左右；若4月21日以后，政府示采取隔离措施，则高峰期病人人数将达60万人.这项研究在充分考虑传染病控制中心每日工资发布的数据，建立了非典流行趋势预测动力学模型和优化控制模型，并对非典未来的流行趋势做了分析预测.二、新课导学※典型例题例1某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元,每桶水的进价是5元.?变式：某农家旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满.公司欲提高档次，并提高租金，如果每间客房日增加2元，客房出租数就会减少10间.若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？小结：找出实际问题中涉及的函数变量→根据变量间的关系建立函数模型→利用模型解决实际问题→小结：二次函数模型。

；体重：kg）成年男性体重与身高ykg与身高xcm的函数模型的解析式.（2）若体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm ，体重78kg的在校男生的体重是否正常？小结：根据收集到的数据的特点，通过建立函数模型，解决实际问题的基本过程：收集数据→画散点图→选择函数模型→求函数模型→检验→符合实际，用函数模型解释实际问题；不符合实际，则重新选择函数模型，直到符合实际为止.※动手试试请问(5)T h的T是多少？求出()解析式，并画出图象；（2）如果该同学在早晨8：00时开始工作，什么时候他未工作？练2. 有一批影碟（VCD）原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售. 甲商场用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台单价都为760元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均再减少20元，但每台售价不能低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售. 某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费较低？三、总结提升※学习小结1. 有关统计图表的数据分析处理；2. 实际问题中建立函数模型的过程；※知识拓展根据散点图设想比较接近的可能的函数模型：①一次函数模型：()(0);f x kx b k=+≠②二次函数模型：2()(0);g x ax bx c a=++≠③幂函数模型：12()(0);h x ax b a=+≠④指数函数模型：()xl x ab c=+（0,a b≠＞0，1b≠）※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 向高为H的圆锥形漏斗内注入化学溶液（漏斗下口暂且关闭），注入溶液量V与溶液深度h的大概图象是（）.2.A ．21y x =-B ．21x y =-C ．21y x =-D ．21.5 2.52y x x =-+ 3. 某企业近几年的年产值如下图：则年增长率（增长率=增长值/原产值）最高的是（ ）. A. 97年 B. 98年 C. 99年 D. 00年4. 某杂志能以每本1.20的价格发行12万本，设定价每提高0.1元，发行量就减少4万本. 则杂志的总销售收入y 万元与其定价x 的函数关系是 .5. 某新型电子产品2002年投产，计划2004年使其成本降低36℅. 则平均每年应降低成本 %.某地新建一个服装厂，从今年7月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万件、1 .2万件、1.3万件、1.37万件. 由于产品质量好，服装款式新颖，因此前几个月的产品销售情况良好. 为了在推销产品时，接收定单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量，你能解决这一问题吗？0099989796(年）2004006008001000（万元）。

3.2.2 函数模型的应用实例学习目标 1.会利用已知函数模型解决实际问题(重点).2.能建立函数模型解决实际问题(重、难点)．预习教材P102－P106，完成下面问题： 知识点1 常见的函数模型一个矩形的周长是40，矩形的长y 关于宽x 的函数解析式为( ) A ．y ＝20－x (0<x <10) B ．y ＝20－2x (0<x <20) C ．y ＝40－x (0<x <10)D ．y ＝40－2x (0<x <20)解析 由题意可知2y ＋2x ＝40，即y ＝20－x ，又20－x >x ，所以0<x <10，故选A ． 答案 A知识点2 解决函数应用问题的步骤利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行： (一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原． 这些步骤用框图表示如图：【预习评价】某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K 是单位产品数Q 的函数，K (Q )＝40Q －120Q 2，则总利润L (Q )的最大值是________万元．解析L(Q)＝40Q－120Q2－10Q－2 000＝－120Q2＋30Q－2 000＝－120(Q－300)2＋2 500，当Q＝300时，L(Q)的最大值为2 500万元．答案 2 500题型一一次函数、二次函数模型【例1】商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数是羊毛衫标价的一次函数，标价越高，购买人数越少．把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为每件300元．现在这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的价格(标价)出售．问：(1)商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？(2)通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？解(1)设购买人数为n人，羊毛衫的标价为每件x元，利润为y元，则x∈(100,300]，n＝kx＋b(k<0)，∵0＝300k＋b，即b＝－300k，∴n＝k(x－300)．∴利润y＝(x－100)k(x－300)＝k(x－200)2－10 000k(x∈(100,300])∵k<0，∴x＝200时，y max＝－10 000k，即商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件200元．(2)由题意得，k(x－100)(x－300)＝－10 000k·75%，x2－400x＋37 500＝0，解得x＝250或x＝150，所以，商场要获取最大利润的75%，每件标价为250元或150元．规律方法利用二次函数求最值的方法及注意点(1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法利用函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题．(2)注意：取得最值时的自变量与实际意义是否相符．【训练1】某水厂的蓄水池中有400吨水，每天零点开始由池中放水向居民供水，同时以每小时60吨的速度向池中注水，若t小时内向居民供水总量为1006t(0≤t≤24)，则每天何时蓄水池中的存水量最少．解设t小时后，蓄水池中的存水量为y吨，则y＝400＋60t－1006t(0≤t≤24)．设u ＝t ，则u ∈[0,26]，y ＝60u 2－1006u ＋400＝60⎝⎛⎭⎫u －5662＋150，∴当u ＝566即t ＝256时，蓄水池中的存水量最少． 题型二 指数型函数、对数型函数模型【例2】 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数v ＝12log 3θ100，单位是m/s ，θ是表示鱼的耗氧量的单位数．(1)当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是多少？(2)某条鲑鱼想把游速提高1 m/s ，那么它的耗氧量的单位数是原来的多少倍． 解 (1)由v ＝12log 3θ100可知，当θ＝900时，v ＝12log 3900100＝12log 39＝1(m/s)．所以当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是1 m/s.(2)由v 2－v 1＝1，即12log 3θ2100－12log 3θ1100＝1，得θ2θ1＝9.所以耗氧量的单位数为原来的9倍．规律方法 指数型、对数型函数问题的类型及解法(1)指数型函数模型：y ＝ma x (a >0且a ≠1，m ≠0)，在实际问题中，有关人口增长，银行利率，细胞分裂等增长率问题都可用指数型函数模型来表示．(2)对数型函数模型：y ＝m log a x ＋c (m ≠0，a >0且a ≠1)，对数型函数模型一般给出函数关系式，然后利用对数的运算求解．(3)指数型、对数型函数应用题的解题思路：①依题意，找出或建立数学模型，②依实际情况确立解析式中的参数，③依题设数据解决数学问题，④得出结论．【训练2】 一片森林原来面积为a ，计算每年砍伐一些树，且使森林面积每年比上一年减少p %,10年后森林面积变为a 2.为保护生态环境，所剩森林面积至少要为原面积的14.已知到今年为止，森林面积为22a . (1)求p %的值；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ (3)今后最多还能砍伐多少年？ 解 (1)由题意得a (1－p %)10＝a2，即(1－p %)10＝12，解得p %＝1－⎝⎛⎭⎫12110 .(2)设经过m 年森林面积为22a ， 则a (1－p %)m ＝22a ，即⎝⎛⎭⎫12m 10 ＝⎝⎛⎭⎫1212 ，得m 10＝12，解得m ＝5. 故到今年为止，已砍伐了5年． (3)设从今年开始，n 年后森林面积为22a ·(1－p %)n ， 令22a (1－p %)n ≥14a ，即(1－p %)n ≥24， ⎝⎛⎭⎫12n10 ≥⎝⎛⎭⎫1232 ，得n 10≤32，解得n ≤15， 故今后最多还能砍伐15年． 题型三 分段函数模型【例3】 经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为时间t (天)的函数，且销售量近似满足g (t )＝80－2t (件)，价格近似满足于f (t )＝⎩⎨⎧15＋12t ，(0≤t ≤10)25－12t ，(10<t ≤20)(元)．(1)试写出该种商品的日销售额y 与时间t (0≤t ≤20)的函数表达式； (2)求该种商品的日销售额y 的最大值与最小值． 解 (1)由已知，由价格乘以销售量可得：y ＝⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫15＋12t (80－2t )，(0≤t ≤10)⎝⎛⎭⎫25－12t (80－2t )，(10<t ≤20)＝⎩⎪⎨⎪⎧(t ＋30)(40－t )，(0≤t ≤10)(50－t )(40－t )，(10<t ≤20) ＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 2＋10t ＋1 200，(0≤t ≤10)，t 2－90t ＋2 000，(10<t ≤20). (2)由(1)知①当0≤t ≤10时y ＝－t 2＋10t ＋1 200＝ －(t －5)2＋1 225，函数图象开口向下，对称轴为t ＝5，该函数在t ∈[0,5]递增，在t ∈(5,10]递减，∴y max ＝1 225(当t ＝5时取得)，y min ＝1 200(当t ＝0或10时取得)； ②当10<t ≤20时y ＝t 2－90t ＋2 000＝(t －45)2－25，图象开口向上，对称轴为t ＝45，该函数在t ∈(10,20]递减，∴y max ＝1 200(当t ＝10时取得)，y min ＝600(当t ＝20时取得)．由①②知y max ＝1 225(当t ＝5时取得)，y min ＝600(当t ＝20时取得)． 规律方法 应用分段函数时的三个注意点(1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏． (2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集．(3)分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论．【训练3】 某车间生产一种仪器的固定成本为10 000元，每生产一台该仪器需要增加投入100元，已知总收入满足函数：H (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －x 2，0≤x ≤200，x ∈N ，40 000，x >200，x ∈N ，其中x 是仪器的月产量．(1)将利润表示为月产量的函数(用f (x )表示)；(2)当月产量为何值时，车间所获利润最大？最大利润为多少元？(总收入＝总成本＋利润) 解 (1)设每月产量为x 台，则总成本为t ＝10 000＋100x .又f (x )＝H (x )－t .∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋300x －10 000，0≤x ≤200，x ∈N ，30 000－100x ，x >200，x ∈N.(2)当0≤x ≤200时，f (x )＝－(x －150)2＋12 500， 所以当x ＝150时，有最大值12 500； 当x >200时，f (x )＝30 000－100x 是减函数， f (x )<30 000－100×200<12 500.所以当x ＝150时，f (x )取最大值，最大值为12 500.所以每月生产150台仪器时，利润最大，最大利润为12 500元． 题型四 建立拟合函数模型解决实际问题【例4】 为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x 与当年灌溉面积y .现有连续10年的实测资料，如表所示.(1)(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型，并画出图象；(3)根据所建立的函数模型，估计若变今年最大积雪深度为25 cm ，则可以灌溉土地多少公顷？解 (1)描点、作图，如图(甲)所示：(2)从图(甲)中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y 与最大积雪深度x 满足一次函数模型y ＝a ＋bx (a ，b 为常数且b ≠0)．取其中的两组数据(10.4,21.1)，(24.0,45.8)，代入y ＝a ＋bx ，得⎩⎪⎨⎪⎧21.1＝a ＋10.4b ，45.8＝a ＋24.0b ，用计算器可得a ≈2.2，b ≈1.8.这样，得到一个函数模型：y ＝2.2＋1.8x ，作出函数图象如图(乙)，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系．(3)由(2)得到的函数模型为y ＝2.2＋1.8x ，则由y ＝2.2＋1.8×25，求得y ＝47.2，即当最大积雪深度为25 cm 时，可以灌溉土地约为47.2公顷．规律方法 建立拟合函数与预测的基本步骤【训练4】我国1999年至2002年国内生产总值(单位：万亿元)如下表所示：(1)(2)利用得出的关系式求生产总值，与表中实际生产总值比较．解(1)画出函数图形，如图．从函数的图形可以看出，画出的点近似地落在一条直线上．设所求的函数为y＝kx＋b，把直线通过的两点(0,8.206 7)和(3,10.239 8)代入上式，解方程组，可得k＝0.677 7，b＝8.206 7.因此，所求的函数关系式为y＝f(x)＝0.677 7x＋8.206 7.(2)由得到的关系式计算出2000年和2001年的国内生产总值分别为f(1)＝0.677 7×1＋8.206 7＝8.884 4，f(2)＝0.677 7×2＋8.206 7＝9.562 1.与实际的生产总值相比，误差不超过0.1万亿元．课堂达标1．某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示.A ．y ＝log 2xB ．y ＝2xC ．y ＝x 2D ．y ＝2x解析 逐个检验可得答案为B ． 答案 B2．一辆匀速行驶的汽车90 min 行驶的路程为180 km ，则这辆汽车行驶的路程y (km)与时间t (h)之间的函数关系式是( )A ．y ＝2tB ．y ＝120tC ．y ＝2t (t ≥0)D ．y ＝120t (t ≥0)解析 90 min ＝1.5 h ，所以汽车的速度为180÷1.5＝120 km/h ，则路程y (km)与时间t (h )之间的函数关系式是y ＝120t (t ≥0)．答案 D3．某商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠”结果是每台彩电比原价多赚了270元，则每台彩电的原价为________元．解析 设彩电的原价为a ，∴a (1＋0.4)·80%－a ＝270，∴0.12a ＝270，解得a ＝2 250.∴每台彩电的原价为2 250元．答案 2 2504．2008年我国人口总数为14亿，如果人口的自然年增长率控制在1.25%，则________年我国人口将超过20亿．(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，lg 7≈0.845 1)．解析 设x 年我国人口将超过20亿，由已知条件：14(1＋1.25%)x －2 008>20，x －2 008>lg 107lg 8180＝1－lg 74lg 3－3lg 2－1＝28.7，则x >2 036.7，即x ＝2 037.答案 2 0375．某工厂生产某产品x 吨所需费用为P 元，而卖出x 吨的价格为每吨Q 元，已知P ＝1 000＋5x ＋110x 2，Q ＝a ＋x b ，若生产出的产品能全部卖掉，且当产量为150吨时利润最大，此时每吨价格为40元，求实数a ，b 的值．解 设利润为y 元，则y ＝Qx －P ＝ax ＋x 2b －1 000－5x －110x 2＝⎝⎛⎭⎫1b －110x 2＋(a －5)x －1 000，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－a －52⎝⎛⎭⎫1b －110＝150，40＝a ＋150b ，化简得⎩⎨⎧a ＋300b＝35，a ＋150b ＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝45，b ＝－30.课堂小结1．函数模型的应用实例主要包括三个方面： (1)利用给定的函数模型解决实际问题； (2)建立确定性的函数模型解决实际问题； (3)建立拟合函数模型解决实际问题．2．在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求．3．在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母，列表，画图等使实际问题数学符号化．4．根据收集到的数据的特点，通过建立函数模型，解决实际问题的基本过程，如下图所示．。

3.2.2函数模型的应用实例课时过关·能力提升基础巩固1.某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为()AC解析:设第一年年初生产总值为1,则这两年的生产总值为(p+1)(q+1).设这两年生产总值的年平均增长率为x,则(1+x)2=(p+1)(q+1),解得x故选D.答案:D2.在一次数学实验中,采集到如下一组数据:x-2.0-1.001.02.03.0则x,y的函数关系与下列哪类函数最接近?(其中a,b为待定系数)()A.y=a+bxB.y=b xC.y=ax2+bD.y解析:画出散点图如图所示:由散点图可知选项B正确.答案:B3.2017年年底某偏远地区农民人均年收入为3 000元,随着我国经济的不断发展,预计该地区今后农民的人均年收入的年平均增长率为6%,则2024年年底该地区的农民人均年收入为()A.3 000×1.06×7元B.3 000×1.067元C.3 000×1.06×8元D.3 000×1.068元解析:设经过x年,该地区农民人均年收入为y元,则依题意有y=3 000×(1+6%)x=3 000×1.06x,因为2017年年底到2024年年底经过了7年,故x=7,所以y=3 000×1.067.答案:B4.某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖,引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物.已知该动物的繁殖数量y(单位:只)与引入时间x(单位:年)的关系为y=a log2(x+1),若该动物在引入一年后的数量为100只,则第7年它们发展到()A.300只B.400只C.600只D.700只解析:∵当x=1时,y=100,∴a=100.∴y=100log2(x+1),∴当x=7时,y=100log28=300.答案:A5.商店某种货物的进价下降了8%,但销售价不变,于是货物的销售利润率销售价-进价进价由原来的增加到则的值等于A.12B.15C.25D.50解析:设原销售价为a,原进价为x,可以列出方程组----解这个方程组,消去a,x,可得r=15.答案:B6.在股票买卖过程中,经常用两种曲线来描述价格变化情况:一种是即时价格曲线y=f(x),另一种是平均价格曲线y=g(x),如f(2)=3表示股票开始买卖2小时后的即时价格为3元;g(2)=3表示2小时内的平均价格为3元,下面给出了四个图象,实线表示y=f(x),虚线表示y=g(x),其中可能正确的是()解析:根据即时价格与平均价格的相互依赖关系,可知,当即时价格升高时,对应平均价格也升高;反之,当即时价格降低时,对应平均价格也降低,故选项C中的图象可能正确.答案:C7.某物体一天中的温度T(单位:℃)是时间t(单位:h)的函数:T(t)=t3-3t+60.若t=0为中午12时,中午12时之前,t取值为负,中午12时之后,t取值为正,则上午8时的温度是.解析:上午8时,即t=-4,则T(-4)=(-4)3-3×(-4)+60=8(℃).答案:8 ℃8.某人从A地出发,开汽车以60 km/h的速度,经2 h到达B地,在B地停留1 h,则汽车离开A地的距离y(单位:km)是时间t(单位:h)的函数,该函数的解析式是.答案:y9.有A,B两个水桶,桶A中开始有a L水,桶A中的水不断流入桶B,若经过t min后,桶A中剩余的水符合指数衰减曲线y1=a e-nt,则桶B中的水就是y2=a-a e-nt(n为常数).假设5 min时,桶A和桶B中的水相等,则再过 min,桶A中的水只有解析:因为5 min时,桶A和桶B中的水相等,所以a·e-5n=a-a·e-5n,所以e-5n令a·e-nt则e-nt故有t=15.所以再过10 min,桶A中的水只有L.答案:1010.某工厂生产某种产品的固定成本为2 000万元,并且每生产1个单位产品,成本增加10万元.又知总收入k是单位产品数Q的函数k(Q)=40Q求总利润的最大值解:总利润L(Q)=40Q000)=500,故当Q=300时,总利润L(Q)有最大值,最大值为2 500万元.能力提升1.某厂日产手套总成本y(单位:元)与手套日产量x(单位:副)的解析式为y=5x+4 000,而手套出厂价格为每副10元,则该厂为了不亏本,日产手套量至少为()A.200副B.400副C.600副D.800副解析:由10x-y=10x-(5x+4 000)≥0,得x≥800.答案:D2.一天,亮亮发烧了,早晨6时他烧得很厉害,吃过药后感觉好多了,中午12时亮亮的体温基本正常,但是从12时到下午18时他的体温又不断上升,直到半夜24时亮亮才感觉身上不那么发烫了.下列各图能基本上反映出亮亮这一天(0~24时)体温的变化情况的是()解析:从0时到6时,体温上升,图象是上升的,排除选项A;从6时到12时,体温下降,图象是下降的,排除选项B;从12时到18时,体温上升,图象是上升的,排除选项D.答案:C3.★某城市出租汽车的收费标准是:起步价为6元,行程不超过2千米均按此价收费;行程超过2千米,超过部分按3元/千米收费(不足1千米按1千米计价);另外,遇到堵车或等候时,汽车虽没有行驶,但仍按6分钟折算1千米计算(不足1千米按1千米计价).已知陈先生坐了一趟这种出租车,车费24元,车上仪表显示等候时间为11分30秒,则陈先生此趟行程的取值范围是()A.[5,6)B.(5,6]C.[6,7)D.(6,7]解析:若按x(x∈Z)千米计价,则6+(x-2)×3+2×3=24,得x=6.故实际行程应属于区间(5,6].答案:B4.某家具的标价为132元,若降价以九折出售(即优惠10%),仍可获利10%(相对进货价),则该家具的进货价是元.解析:设进货价为x元,则132×0.9-x=10%x,解得x=108.答案:1085.一名驾驶员喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL,在停止喝酒后,血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少.为了保障交通安全,规定驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL,则这名驾驶员至少要经过小时才能开车.(精确到1小时,参考数据lg 2≈0.30,lg3≈0.48)解析:设经过n小时后才能开车,此时酒精含量为0.3(1-0.25)n.根据题意,有0.3(1-0.25)n≤0.09,即(1 -0.25)n≤0.3,在不等式两边取常用对数,则有n lg3-2lg 2)≤lg 0.3=lg 3-1,将已知数据代入,得n(0.48-0.6)≤0.48-1,解得n≥故至少经过5小时才能开车.答案:56.为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中室内每立方米空气中的含药量y(单位:mg)与时间t(单位:h)成正比.药物释放完毕后,y与t的函数解析式为y -为常数如图根据图中提供的信息回答下列问题(1)从药物释放开始,每立方米空气中的含药量y(单位:mg)与时间t(单位:h)之间的函数解析式为;(2)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到0.25 mg以下时,学生方可进教室,从药物释放开始,至少需要经过 h后,学生才能回到教室.解析:(1)由题图可设y=kt(0≤t≤0.1),把点(0.1,1)分别代入y=kt和y-解得k=10,a=0.1,故所求函数解析式为y-(2)由-解得t>0.6.答案:(1)y-7.某市原来民用电价为0.52元/(kW·h).换装分时电表后,峰时段(早上八点到晚上九点)的电价为0.55元/(kW·h),谷时段(晚上九点到次日早上八点)的电价为0.35元/(kW·h).对于一个平均每月用电量为200 kW·h的家庭,要使节省的电费不少于原来电费的10%,则这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为多少?解:原来每月电费为0.52×200=104(元).设峰时段用电量为x kW·h,电费为y元,谷时段用电量为(200-x)kW·h,则y=0.55x+0.35(200-x)≤(1-10%)×104,即0.55x+70-0.35x≤93.6,则0.2x≤23.6,故x≤118,即这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为118 kW·h.8.★沿海地区某村在2018年底共有人口1 480人,全年工农业生产总值为3 180万,从2019年起计划10年内该村的总产值每年增加60万元,人口每年净增a人,设从2019年起的第x年(2019年为第一年)该村人均产值为y万元.(1)写出y与x之间的函数解析式;(2)为使该村的人均产值10年内每年都有增长,则该村每年人口的净增不能超过多少人? 解:(1)依题意得第x年该村的工农业生产总值为(3 180+60x)万元,而该村第x年的人口总数为(1 480+ax)人,故y≤x≤10,x∈N*).(2)y -为使该村的人均产值10年内每年都有增长,则当1≤x≤10时,y=f(x)为增函数,则有53∴a≈27.9.又a∈N*,∴a的最大值是27,即该村每年人口的净增不能超过27人.。