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第五章图像变换

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第5章 图像变换技术 MATLAB 数字图像处理课件

第5章 图像变换技术 MATLAB 数字图像处理课件

5.6.2 Hough变换的MATLAB实现
hough函数用于实现Hough变换。其调用格式为： （1）[H, theta, rho]=hough(BW) （2）[H, theta, rho]=hough(BW, param1,
val1, param2, val2)
【例5-15】用hough函数检测图像中的直线。
（2）B = idct2(A,m,n)或B = idct2(A,[m n])：在对图 像A进行二维离散余弦逆变换前，先将图像A补零到m×n。 如果m和n比图像A的尺寸小，则在进行变换前，将图像A进 行剪切。
【例5-9】对图像进行二维离散余弦逆变换。
（a）原始图像
（b）逆DCT变换
3．dctmtx函数 在MATLAB图像处理工具箱中提供了dctmtx函数用
于计算二维离散DCT矩阵。 其调用格式为：D = dctmtx(n)。
返回n×n的DCT变换矩阵，如果矩阵A的大小为 n×n，D*A为A矩阵每一列的DCT变换值，A*D'为A 每一列的DCT变换值的转置（当A为n×n的方阵） 。
【例5-10】计算二维离散DCT矩阵。
（a）原始图像
（b）离散DCT矩阵
5.4 离散余弦变换
5.4.1 一维离散余弦变换 5.4.2 二维离散余弦变换 5.4.3 快速离散余弦变换
5.4.4 离散余弦变换的MATLAB实现
1．dct2函数 在MATLAB图像处理工具箱中提供了dct2函数用于实现二维
离散余弦变换。该函数常用于图像压缩，最常见的便是用 于JPEG图像压缩。其调用格式为： （1）B = dct2(A)：返回图像A的二维离散余弦变换值，其 大小与A相同，且各元素为离散余弦变换的系数B(k1,k2)。 （2）B = dct2(A,m,n)或B = dct2(A,[m n])：在对图像A 进行二维离散余弦变换前，先将图像A补零到m×n。如果m 和n比图像A的尺寸小，则在进行变换前，将图像A进行剪切 。

数字图像处理第五章

数字图像处理第五章

系统失真是有规律的、能预测的；非系统失真则是随 机的。
当对图像作定量分析时，就要对失真的图像先进行精 确的几何校正（即将存在几何失真的图像校正成无几何失 真的图像），以免影响定量分析的精度。
几何校正方法
图像几何校正的基本方法是先建立几何校正的数学模型； 其次利用已知条件确定模型参数；最后根据模型对图像进行 几何校正。通常分两步： ①图像空间坐标变换；首先建立图像像点坐标（行、列 号）和物方（或参考图）对应点坐标间的映射关系， 解求映射关系中的未知参数，然后根据映射关系对图 像各个像素坐标进行校正； ②确定各像素的灰度值（灰度内插）。
因此还有
f ( x , y ) f ( x, y) ( x , y )
二维线性位移不变系统 如果对二维函数施加运算T[· ] ，满足 ⑴ T f1 x, y f 2 x, y T f1 x, y T f 2 x, y ⑵ T af x, y aT f x, y
但实际获取的影像都有噪声，因而只能求F(u,v)的估 ˆ (u, v) 。 计值 F
N (u, v) ˆ F (u, v) F (u, v) H (u, v)
再作傅立叶逆变换得
1 j 2 ( ux vy) ˆ ( x, y) f ( x, y) f N ( u , v ) H ( u , v ) e dudv
采用线性位移不变系统模型的原由： 1）由于许多种退化都可以用线性位移不变模型来近似， 这样线性系统中的许多数学工具如线性代数，能用于 求解图像复原问题，从而使运算方法简捷和快速。 2）当退化不太严重时，一般用线性位移不变系统模型来 复原图像，在很多应用中有较好的复原结果，且计算 大为简化。 3）尽管实际非线性和位移可变的情况能更加准确而普遍 地反映图像复原问题的本质，但在数学上求解困难。 只有在要求很精确的情况下才用位移可变的模型去求 解，其求解也常以位移不变的解法为基础加以修改而 成。

第五章 图像退化模型

第五章 图像退化模型

第五章图像退化模型同学们好，今天我们要给大家讲解的内容是图像退化与复原。

在开始之前我们先来看几张图片可以看到，第一幅图像是由于镜头聚焦不好引起的模糊，第二幅是由于小车运动产生的模糊，第三幅是大气湍流影响的结果，a中，大气湍流可以忽略不计，b为剧烈湍流影响的结果，c和d分别为中等湍流和轻微湍流影响的结果。

从以上几张图片可以看出，成像过程中不同因素的影响导致影响质量下降，这就是所谓的图像退化。

图像退化由此，我们给出图像退化的描述（图像退化及其过程描述）如下：图像的退化是指图像在形成、传输和记录过程中，由于成像系统、传输介质和设备的不完善，使图像的质量下降（变坏）。

其典型表现为:模糊、失真、有噪声。

产生原因：成像系统像差、传感器拍摄姿态和扫描非线性、成像设备与物体运动的相对运动、大气湍流、成像和处理过程中引入的噪声等。

图像复原针对这些问题，我们需要对退化后的图像进行复原。

这是我们本节内容的第二个关键词图像复原，图像复原就是尽可能恢复退化图像的本来面目，它是沿图像退化的逆过程进行处理，也就是如果我们知道图像是经历了什么样的过程导致退化，就可以按其逆过程来复原图像。

因此，图像复原过程流程如下：找退化原因→建立退化模型→反向推演→恢复图像典型的图像复原是根据图像退化的先验知识，建立退化现象的数学模型，再根据模型进行反向的推演运算，以恢复原来的景物图像。

因此，图像复原的关键是知道图像退化的过程，即图像退化模型。

并据此采用相反的过程求得原始图像。

针对不同的退化问题，图像复原的方法主要有：代数方法恢复、运动模糊恢复、逆滤波恢复、维纳滤波恢复、功率谱均衡恢复、约束最小平方恢复、最大后验恢复、最大熵恢复、几何失真恢复等。

这里也许同学们会有一个疑问，那就是图像复原和前面讲过的图像增强有什么区别呢？区别如下：图像增强不考虑图像是如何退化的，而是主观上试图采用各种技术来增强图像的视觉效果。

因此，图像增强可以不顾增强后的图像是否失真，只要达到想要的目视效果就可以。

中考数学一轮复习 第五章 图形的变换与尺规作图 第1节 视图与投影试题(2021年整理)

中考数学一轮复习 第五章 图形的变换与尺规作图 第1节 视图与投影试题(2021年整理)

重庆市2017届中考数学一轮复习第五章图形的变换与尺规作图第1节视图与投影试题编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（重庆市2017届中考数学一轮复习第五章图形的变换与尺规作图第1节视图与投影试题）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为重庆市2017届中考数学一轮复习第五章图形的变换与尺规作图第1节视图与投影试题的全部内容。

第五章图形的变换与尺规作图第一节视图与投影1。

通过丰富的实例,了解中心投影和平行投影的概念．2.会面直棱柱、圆柱、圆锥、球的主视图、左视图、俯视图,能判断简单物体的视图,并会根据视图描述简单的几何体．3.了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图想象和制作实物模型．4。

通过实例，了解上述视图与展开图在现实生活中的应用，考点梳理，夯实基础1．三视图：我们从某一角度观察一个物体时，所看到的图象叫做物体的一个视图，它也可以看作物体在某一角度的光线下的投影．(1)主视图：在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图．（2)左视图：在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图．（3)俯视图:在水平面内得到的由上向下观察物体的视图,叫做俯视图．2．画三视图的原则：(1)主视图与俯视图长对正;主视图与左视图高平齐；左视图与俯视图宽相等．（如图）(2）在面三视图时，看得见部分的轮廓线画成实线,看不见部分的轮廓线画成虚线．3．投影：一般地，用光线照射物体,在某个平面（地面、培壁等）上得到的影子叫做物体的投影．照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面．投影分平行投影和中心投影．（1）平行投影:由平行光线形成的投影称为平行投影，如太阳光线下形成的投影．当投影面与投射线垂直时的投影叫正投影,物体的三视图实际上就是正投影．（2)中心投影：由点光源发出的光线形成的投影称为中心投影，如手电筒、路灯和台灯的光线下形成的投影．注意：①在太阳光下，不同时刻，同一物体的影子长度可能不一样：在同一时刻，不同物体的影子长度与物体高度成比例．但在同一点光源下,物体的影子长度与物体的高度不一定成比例．②利用光线是否平行或是否交于一点来判断投影是平行投影还是中心投影．4．图形的展开与折叠:(1)直棱柱的侧面展开图是矩形．（2)圆柱的侧面展开图是矩形．（3)圆锥的侧面展开图是扇形．注意：将正方体表面沿着某些棱剪开成平面图形，由于剪开的方法不同，会得到11种不同形状的展开图，可概括为“一四一型”6种；“一三二型”3种；“二二二型”1种；“三三型”1种.考点精析专项突破考点一几何体的三视图【例1】(1)（2016长春）如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形,这个立体图形的俯视图是 ( ）【答案】C(2)（2015温州）将一个长方体内部挖去一个圆柱（如图所示)，它的主视图是（）【答案】A解题点拨：本题考查了组合体的三视图，俯视图是从物体的上面向下看得到的视图，主视图是从物体的正面看得到的视图，看得见部分的轮廓线画成实线，看不见部分的轮廓线画成虚线.【例2】(2016大庆）由若干边长相等的小正方体构成的几何体的主视图、左视图、俯视图如图所示,则构成这个几何体的小正方体有（）个．【答案】B解题点拨：本题意在考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力,同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基,正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．考点二图形的展开与折叠【例3】(1）（2016达州）如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“你”字所在面相对的面上标的字是（ )A．遇 B．见 C．未 D．来【答案】D(2）（2015聊城）图(1)是一个小正方体的表面展开图，小正方体从图（2）所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格，这时小正方体朝上一面的字是(）A．梦 B．水 C．城 D．美【答案】A解题点拨：本题考查了正方体相对两个面上的文字，展开图中两个面相隔一个面是对面，根据翻转的顺序确定每次翻转时下面的文字是解决本题关键,考点三投影【例4】（2015兰州）如图,在一面与地面垂直的围墙的同侧有一根高10米的旗杆AB和一根高度未知的电线杆CD，它们都与地面垂直，为了测得电线杆的高度,一个小组的同学进行了知下测量：某一时刻，在太阳光照射下，旗杆落在围墙上的影子EF的长度为2米，落在地面上的影子BF的长为10米，而电线杆落在围墙上的影子GH的长度为3米，落在地面上的影子DH的长为5米，依据这些数据，该小组的同学计算出了电线杆的高度．（1)该小组的同学在这里利用的是投影的有关知识进行计算的:【答案】平行(2）试计算出电线杆的高度,并写出计算的过程．解题点拨：过点E作EM⊥AB于M，过点G作GN⊥CD于N，利用矩形的性质和平行投影的知识可以得到AM：ME＝CN：NG，由此求得CD即电线杆的高度即可．解:（1）平行；（2)如图，过点E作EM⊥AB于M，过点G作GN⊥CD于N，MB＝EF＝2，ND＝GH＝3，ME＝BF ＝10，NG＝DH＝5，∴AM＝10－2＝8，由平行投影可知，AM:ME＝CN:NG,解得CD＝7．答：电线杆的高度为7米．课堂训练当堂检测1．（2016自贡）如图是几何体的俯视图，所表示数字为该位置小正方体的个数，则该几何体的正视图是( )【答案】B2．(2015齐齐哈尔)如图,由一些完全相同的小正方体搭成的几何体的俯视图和左视图,组成这个几何体的小正方体的个数是（ )A。

第5章 图像的增强与变换

第5章 图像的增强与变换

第五章图像的增强与变换§5.1 图像增强与变换§5.2 光谱增强§5.3 空间增强§5.4 多源信息的复合§5.1 图像增强与变换图像增强和变换为了突出相关的专题信息，提高图像的视觉效果，使分析者能更容易地识别图像内容，从图像中提取更有用的定量化信息。

按其作用的空间可分两种：光谱增强空间增强§5.2 光谱增强光谱增强对应于每个像元，与像元的空间排列和结构无关。

因此又叫点操作。

1. 彩色合成2. 对比度增强（直方图增强）3. 图像间运算为了充分利用色彩在遥感图像判读和信息提取中的优势，常常利用彩色合成的方法对多光谱图像进行处理，以得到彩色图像。

单波段彩色变换（密度分割）多波段彩色变换（真彩色，假彩色）HLS变换：色调(hue)、明度(lightness)和饱和度(saturation)的色彩模式。

即RGB模式ÆHLS模式。

1. 彩色合成单波段彩色变换(密度分割)（1）求图像的极大值dmax 和极小值d min ；（2）求图像的密度区间ΔD=dmax -d min +1；（3）求分割层的密度差Δd=ΔD／n，其中n为需分割的层数；（4）求各层的密度区间；（5）定出各密度层灰度值或颜色。

1.彩色合成1.彩色合成多波段彩色变换真彩色合成真彩色图像上影像的颜色与地物颜色基本一致。

把红色波段的影像作为合成图像中的红色分量、把绿色波段的影像作为合成图像中的绿色分量、把蓝色波段的影像作为合成图像中的蓝色分量进行合成的结果。

如TM321分别用RGB合成的图像。

假彩色合成假彩色图像是指图像上影像的色调与实际地物色调不一致的图像。

遥感中最常见的假彩色图像是彩色红外合成的标准假彩色图像。

它是在彩色合成时，把近红外波段的影像作为合成图像中的红色分量、把红色波段的影像作为合成图像中的绿色分量、把绿色波段的影像作为合成图像中的蓝色分量进行合成的结果。

如TM432用RGB合成的图像为标准假彩色图像。

第5章 图像变换-傅里叶变换

第5章 图像变换-傅里叶变换
3周期性和共轭对程称性周期性可表示为如果fuv是fxy的傅立叶变换则fuv是fxy的傅立叶变换的共轭函数共轭对称性可表示为4旋转不变性如果引入极坐标sincossincos角度后相应的傅立叶变换fuv在频域中也旋转同一5分配性线性和比例性缩放傅立叶变换的分配性表明傅立叶变换和反变换对于加法可以分配而对乘法则不行即傅立叶变换的比例性表明对于二个标量a和b有在空间比例尺度的展宽相应于频域中比例尺度的压缩其幅值也减少为原来的6平均值性质定义二维离散函数的平均值为若求二维离散信号fxy的平均值只需算出相应的傅立叶变换fuv在原点的值f007卷积定理卷积定理和相关定理都是研究两个函数的傅立叶变换之间的关系这构成了空间域和频域之间的基本关系对于两个二维连续函数fxy和gxy的卷积定义为8相关定理对于二维连续函数fxy和gxy的相关定义为5454直接进行一个nn的2d傅里叶变换需要n4次复数乘法运算和n2n2快速傅里叶变换fft
a 图
a 图的相位谱重构图
再将相位谱设为常数（这里设 为1），然后和图像原来的幅值谱 结合，进行傅里叶反变换
a 图
b 图的幅值谱重构图
由此更加说明相 位谱较幅值谱更能 影响图像的轮廓。
傅立叶变换的性质
（1）可分性
1 F u, v 2 N 1 2 N 1 N
N 1 N 1 x 0 y 0
f ( x, y )
φ
g ( x, y)
g ( x, y) [ f ( x, y)]
变换后的图象，大部分能量都分布
于低频谱段，这对以后图象的压缩、 传输都比较有利。使得运算次数减少， 节省时间。
卷积
考虑一维的情况，假设f(x)(x=0,1…,A-1)以及 g(x)(x=0,1,…,C-1)是两个有限离散函数，其线性 卷积为

第五章傅里叶(Fourier)变换

sincx可将以竖线标在频率图上以ft为基础构造一周期为8的周期函数f则在t8时以竖线标在频率图上再将如果再将周期增加一倍令t16可计算出以竖线标在频率图上再将一般地对于周期ttiti当周期t越来越大时各个频率的正弦波的频率间隔越来越小而它们的强度在各个频率的轮廓则总是sinc函数的形状因此如果将方波函数ft看作是周期无穷大的周期函数则它也可以看作是由无穷多个无穷小的正弦波构成将那个频率上的轮廓即sinc函数的形状看作是ft的各个频率成份上的分布52傅立叶积分与傅立叶变换一实数形式的傅立叶积分对任何一个非周期函数fx都可以看成是由某个周期函数gx当t2l时转化而来的
l
利用上述正交性，可以求得级数展开的各系数：
kpx kpx f ( x) a0 (ak cos bk sin ) l l k 1

1 l a0 f ( ) d l 2l 1 l kp ak f ( ) cos d (k 1,2, ) l l l 1 l kp bk f ( ) sin d (k 1,2,) l l l
f ( x) a0 (ak cos
k 1
kpx kpx bk sin ) (5.1.3) l l
三角函数族是两两正交的
kpx (k 0), l cos l d x 0 l kpx l sin l d x 0 l kpx npx (k n), l cos l cos l d x 0 l kpx npx (k n), l sin l sin l d x 0 l kpx npx l sin l cos l d x 0
c0 ck e
k 1

i
kp x l
ck e

i
kp x l

5遥感数字图像处理-第五章


☞ 邻域处理
针对一个像元点周围一个小邻域的所有像元而进行，输出 值大小除与像元点在原图像中的灰度值大小有关，还决定于它 邻近像元点灰度值大小。如卷积运算、中值滤波、滑动平均等。
②
图像增强的分类
点处理
点处理
邻域处理
邻域处理
2. 遥感图像的对比度增强
对比度增强的基本原理
人眼对图像的识别主要是基于图像中不同像元的亮度(灰度、
差别为有选择的滑动平均是一种带门限值的滑 动平均处理。
④
有选择的局部平均法
有选择的局部平均法实现步骤：
1. 2. 3. 4. 给定一个判定阈值T 计算模板窗口内像元DN值的均值X 计算窗口中心目标像元的DN值与X的绝对差值D 比较D与T的大小
如D＞T，则窗口中心像元输出DN值等于X
如D＜T，则窗口中心像元DN值保持不变 优点：边缘信息损失减少，减轻输出图像的模糊效应。
中值滤波是一种非线性变换。其优势在于可在平滑的基 础上较大程度地防止边缘模糊。
③
中值滤波
中值滤波窗口可选用模板的不同形式：
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ 方形窗口：对线性噪声抑制效果好
○ ○ ○ ○ ○ 十字形窗口：对点性噪声抑制效果好
④
有选择的局部平均法
有选择的局部平均法—其实质为一种滑动平均平滑法。与滑动平均法的
其中，x—原始图像的亮度值
X—线性扩展增强后的亮度值
②
非线性扩展
Ⅱ 对数变换法
X d
c a b x
②
非线性扩展
Ⅲ 三角函数扩展
假定原始图像的灰度范围是（a，b），将原始图像灰度范围扩展为 （c，d），其中c ＜ a，d ＞ b，其正切函数计算公式为：

第五章量子力学的表象与表示§51幺正变换和反幺正变换

第五章 量子力学的表象与表示§5.1 幺正变换和反幺正变换1, 幺正算符定义对任意两个波函数)(r ϕ、)(rψ，定义内积r d r r)()(),(ψϕψϕ*⎰=(5.1)按第一章中所说，(5.1)式的含义是：当微观粒子处在状态()rψ时，找到粒子处在状态()rϕ的概率幅。

依据内积概念，可以定义幺正算符如下：“对任意两个波函数ϕ、ψ，如果算符 U恒使下式成立 ),()ˆ,ˆ(ψϕψϕ=U U (5.2)而且有逆算符1ˆ-U存在，使得I U U U U ==--11ˆˆˆˆ1，称这个算符U ˆ为幺正算符。

”任一算符Aˆ的厄米算符+A ˆ定义为：+A ˆ在任意ϕ、ψ中的矩阵元恒由下式右方决定ˆˆ(,)(,)A A ϕψϕψ+= (5.3)由此，幺正算符Uˆ有另一个等价的定义： “算符Uˆ为幺正算符的充要条件是 I U U U U==++ˆˆˆˆ (5.4a) 或者说1ˆˆ-+=U U 。

” (5.4b)证明：若),()ˆ,ˆ(ψϕψϕ=U U成立，则按+U ˆ定义， ),ˆˆ()ˆ,ˆ(),(ψϕψϕψϕU U U U+== 由于ϕ、ψ任意，所以I U U=+ˆˆ 又因为Uˆ有唯一的逆算符1ˆ-U 存在，对上式右乘以1ˆU -，即得 1ˆˆUU +-= 这就从第一种定义导出了第二种定义。

类似，也能从第二种定义导出第一种定义。

从而，幺正算符的这两种定义是等价的。

2, 幺正算符的性质幺正算符有如下几条性质：i, 幺正算符的逆算符是幺正算符证明：设 1-+=U U ， 则()()(),111--+++-===U U U U 所以1-U 也是幺正1这里强调了 U-1既是对 U右乘的逆又是对 U 左乘的逆。

和有限维空间情况不同，无限维空间情况下，任一算符 U有逆算符的三种情况：1）有一个左逆算符和无穷多个右逆算符；2）有一个右逆算符和无穷多个左逆算符；3）有一个左逆算符和一个右逆算符，并且它俩相等，唯有此时可简单地写为 U-1。

三角函数y=Asin(ωx ψ)图像变换 课件-必修一


y
2
2
1
O 1
3
2 x
2
注意:五点是指使函数值为0及达到最大值和最小值 的点.
函数y sin（x + )在一个周期内的简图.
3
x
2
7
5
3
6
3
6
3
x+
3
0
2
3
2
2
sin(x + )
0
1
0
－1
0
3
描点作图:
y
1
7
5
o π
6
2
3
x
2
3
6
3
-1
探究一： 对函数图象的影响
试研究
y sin(x + ),
+
5
)的图象,只要
5
把C上所有的点 C
( A)横坐标伸长到原来的 4 倍,纵坐标不变 3
•2. 要得到函数 y=sin3x 的图象，只需将 y=sinx 图象（D ） A. 横坐标扩大原来的3倍 B.横坐标扩大到原来的3倍 C. 横坐标缩小原来的1/3倍 D.横坐标缩小到原来的1/3倍
•3. 要得到函数 y=sin（x + π/3）的图象，只需将 y=sinx 图象（ C） A. 向左平移π/6个单位 B. 向右平移π/6个单位 C. 向左平移π/3个单位 D. 向右平移π/3个单位
y
2
y sin 2x
1
o
2
y sin 1 x 2 4
3
2 2
-1
二、函数y=sinx(>0)图象: 周期变换
函数 y=sinx (>0且0) 的图象可以看作 是把 y=sinx 的图象上所有点的横坐标缩短 (当>1时)或伸长(当0< <1时)到原来的1/ 倍(纵坐标不变)而得到的.
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2 2 2 2
数字图像处理与分析基础
11. The Convolution and Correlation Theorem
空域和频率域之间的关系 （1） The Convolution
+∞
f ( x) * g ( x) = ∫ f (α ) g ( x − α )dα
−∞
f(x)*g(x)↔F(u)G(u), f(x)g(x)↔F(u)*G(u),
x =0 y =0
N −1 N −1
∑∑ F (u, v) exp[ j 2π (ux + vy) / N ], x, y = 0,1,2,.., N − 1
u =0 v =0
N −1 N −1
u,v-- Frequency variable,
|F(u,v)|-- Fourier Spectrum,
Xm(p)
X m+1(p)
Xm(q)
WNr
X m+1(q)
图5-7 只要求一次复数乘法的简化蝶形图
数字图像处理与分析基础
X(0) WN0 X(4) X(2) X(6) X(1) X(5) X(3) X(7) WN0 WN0 -1 WN0 WN2 -1 -1 WN0 -1 -1
y(0) y(1) WN0 WN2 -1 -1 WN0 WN1 WN2 WN3 -1 y(6) -1 y(7) -1 y(2) y(3) y(4) y(5)
数字图像处理与分析基础
9. The Average
1 f ( x, y ) = 2 N
∑∑
x =0 y =0
N −1 N −1
1 f ( x, y ) = F (0,0) N
10. Laplacian
∂2 f ∂2 f 2 ∇ f ( x, y ) = 2 + 2 ∂x ∂y
F{∇ f (x, y)}⇔ −(2π) (u + v )F(u, v)
数字图像处理与分析基础
图5-2 Fourier基函数
(a)正弦分量（前1/2） (b)余弦分量（前1/2）
0 1 2 3 4 5 6 7 8
0 4 8 12 16
0 1 2 3 4 5 6 7 8
0 4 8 12 16
数字图像处理与分析基础
例：DFT的计算 一维函数的四个采样值为f(0)=2, f(1)=3, f(2)=f(3)=4.
数字图像处理与分析基础
数字图像处理与分析基础
5.2.2 付立叶变换的性质 Properties of the Fourier Transform
1. 付立叶频谱的显示 Fourier Spectrum Display： D(u,v)=log[1+|F(u,v)|] 2. 可分离性 Separable Product F(u,v)=1/N∑x∑y f(x,y)exp[- j2π(ux+vy)/N] =1/N ∑x F(x,v) exp[- j2πux/N] (5-6) =1/N ∑xexp[- j2πux/N]× ∑y f(x,y) exp[- j2πvy/N] (5-5)
−∞ +∞
f e ( x) o g e ( x) = ∑ f e (m) g e ( x + m), x = 0,1,2,..., M − 1
m =0
M −1
Theorem：f(x,y)°g(x,y) ↔F(u,v)G*(u,v), f(x,y)g*(x,y) ↔F(u,v) ° G(u,v), “*”表示复共轭。
1 2Βιβλιοθήκη j = −1相位谱： 相位谱： 能量谱： 能量谱：
F (u , v) = [ R 2 (u , v) + I 2 (u , v)]
φ (u , v) = arctan[ I (u , v), R (u , v)].
E (u, v) = R 2 (u, v) + I 2 (u , v)
R(u,v)和I(u,v)分别是 和 分别是F(u,v)的实部与虚部。 的实部与虚部。 分别是 的实部与虚部
1 then F (u ) = {Fe (u ) + Fo (u )W2uM } 2 u u + WM + M = WM , W2uM M = −W2uM , 1 F (u + M ) = {Fe (u ) − Fo (u )W2uM }. 2
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运算量分析
逐次加倍FFT来源：两点变换由两个一点变换算 出，四点变换由两个两点变换算出，对于N等于 2的整数幂都成立。
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The Theorem ：离散信号f(x),A；g(x),B 扩展成周期函数fe(x), ge(x), ，M≥A+B-1
f ( x),0 ≤ x ≤ A − 1, f e ( x) = 0, A ≤ x ≤ M − 1. g ( x),0 ≤ x ≤ A − 1, g e ( x) = 0, A ≤ x ≤ M − 1.
1 3 1 F (0) = ∑ f ( x ) exp[0] = [ f (0) + f (1) + f (2) + f (3)] 4 x =0 4 1 = [2 + 3 + 4 + 4] = 3.25 4 f(x)全部值对FT 3 1 都产生影响；反 F (1) = ∑ f ( x ) exp[ − j 2πx / 4] 4 x =0 之，全部变换系 1 1 数对反变换也产 = [2e0 + 3e − jπ / 2 + 4e − jπ + 4e − j 3π / 2 ] = [ −2 + j ] 4 4 生影响。 3 1 F ( 2) = ∑ f ( x ) exp[ − j 4πx / 4] 4 x =0 1 1 = [2e0 + 3e − jπ + 4e − j 2π + 4e − j 3π ] = − [1 + j 0] 4 4 1 3 F (3) = ∑ f ( x ) exp[ − j 6πx / 4] 4 x =0 1 1 = [2e0 + 3e − j 3π / 2 + 4e − j 3π + 4e − j 9π / 2 ] = − [2 + j ] 4 4
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3. The Shift Theorem
频移性 平移性
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频移性
f(x,y)exp[j2π(u0x+v0y)/N]⇔F(u-u0,v-v0)
当u0=v0=N/2时， exp[j2π(u0x+v0y)/N]=(-1)x+y ， 则 f(x,y) (-1)x+y ⇔F(u-N/2,v-N/2) 频谱原点移到中心 正向Fourier变换前需要进行数据处理
2 M −1
1 then F (u ) = 2M
even ,odd
∑
x =0
f ( x)W2ux M
M −1
=
1 1 { 2 M
M −1
∑
x =0
1 u (2 x) f (2 x)W2 M + M
∑
x =0
( f (2 x + 1)W2uM2 x +1) }
1 1 M −1 1 ux = { ∑ f (2 x)WM + 2 M x =0 M u = 0,1,2,..., M − 1
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平移性
f(x-x0,y-y0) ⇔F(u,v)exp[- j2π(u0x+v0y)/N]. |F(u,v)exp[j2π(ux0+vy0)/N]|=|F(u,v)| 图像平移不影响频谱
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4. 变换域的周期性 Periodicity: T=N, F(u,v)=F(u+N,v)=F(u,v+N)=F(u+mN,v+nN). 5. 对称共轭性 Conjugate Symmetry: F(u,v)=F*(-u,-v), |F(u,v)|=|F(-u,-v)|. 6. 旋转Rotation: x=rcosθ, y=rsinθ, u=ϖcosφ, v=ϖsinφ.
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5.2.1 2DFT (Two Dimensions Fourier Transform）
1 F (u , v ) = N
1 f ( x, y ) = N
∑∑ f ( x, y) exp[− j 2π (ux + vy) / N ], u, v = 0,1,2,.., N − 1
≠
f(r, θ + θ 0) ⇔ F(ϖ, φ+ θ 0)，对连续、离散均 成立。
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注意观察对应关系
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图5-6 Jean Buptiste Joseph Fourier和他的付立叶变换 (a)输入图像 (b)幅值谱 (c)相位谱 (d)由幅值谱重构的图象 (e)由相位谱重构的图象
∫ (-∞,+ ∞) f(x)g*(x)dx=∫ (-∞,+ ∞) F(s)G(s)ds
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8. The Addition Theorem and The Similarity Theorem
（1）相加性 F{f1(x,y)+f1 (x,y)}=F{f1(x,y)}+F{f2(x,y)}, F{f1 (x,y)f2 (x,y)}!= F{f1 (x,y)}F{f2 (x,y)}. （2）尺度变换 设a,b是两标量， af(x,y) ⇔ aF(u,v), f(ax,by) ⇔ 1/|ab|F(u/a,v/b).
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5.2.3快速算法 快速算法