高中数学知识点易错点梳理函函数1函数图像及其变换

高考函数图像知识点总结函数图像是高考数学中的重要内容，掌握函数图像的知识点对于解题和分析函数的性质非常重要。

在高考中，对于函数的图像，常常需要求出函数的极值、最值、交点等信息，因此掌握函数图像的形态及特点是非常必要的。

本文将对高考函数图像的知识点进行总结，并且分析函数图像的性质。

函数的线性变化是函数图像的重要特点之一。

如果函数y=f(x)的图像经过点（a,f(a)），而a和f(a)是常数，那么如果将函数y=f(x)的每个y值都增加或减少一个常数k，那么图像将上下平移k个单位。

如果将函数y=f(x)的每个x值都增加或减少一个常数k，那么图像将左右平移k个单位。

同时，如果将函数y=f(x)的每个y值都增加或减少一个常数k，那么函数的图像将整体上下平移k个单位，图像的形态不会发生变化。

二次函数的图像形态主要受到二次项系数（a）的影响。

当a>0时，二次函数的图像开口向上，称为抛物线；当a<0时，二次函数的图像开口向下。

同时，二次函数的图像与抛物线的对称轴有关，对称轴的表达式为x=-b/2a，对称轴与图像的交点被称为抛物线的顶点。

指数函数是一类常见的函数，它的图像形态有着明显的特点。

指数函数的图像一般从左下方向上右上方逼近x轴，并且在x轴上有一个一个水平渐近线。

如果指数函数的底数大于1，那么指数函数的图像在x轴右侧呈现上升趋势；如果底数小于1，那么指数函数的图像在x轴右侧呈现下降趋势。

对数函数是指数函数的反函数，其图像形态与指数函数有一定的关联。

当对数函数的底数大于1时，对数函数的图像在x轴右侧呈现上升趋势；当底数小于1时，对数函数的图像在x轴右侧呈现下降趋势。

与指数函数相反，对数函数的图像一般从右上方逼近x轴。

三角函数是高考中经常涉及到的一类函数，在图像形态上有着独特的特点。

正弦函数的图像在[0，2π]的区间内呈现周期性变化，才时间折返并且在图像最高点和最低点与x轴相切。

余弦函数的图像与正弦函数的形态相似，但是相位不同。

高中数学函数图象的简单变换知识点总结高中阶段，函数图象的简单变换有：平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换。

一、函数图象的平移变换①左右平移变换：()y f x =与()y f x a =+()()00a a a a y f x y f x a ><=−−−−−−−−−−−→=+时，向左平移个单位时，向右平移个单位如：1y x =+的图象可由y x =的图象向右平移一个单位得到；1y x =-的图象可由y x =的图象向下平移一个单位得到。

②上下平移变换()()00a a a a y f x y f x a ><=−−−−−−−−−−−→=+时，向上平移个单位时，向下平移个单位如：1y x =+的图象可由y x =的图象向上平移一个单位得到。

1y x =-的图象可由y x =的图象向下平移一个单位得到。

【注】变换的口诀为：“上加下减，左加右减”。

二、函数图象的对称变换①()()y y f x y f x =−−−−−−−−−→=-作关于轴对称的图象②()()x y f x y f x =−−−−−−−−−→=-作关于轴对称的图象③()()y f x y f x =−−−−−−−−−→=--作关于原点对称的图象如：（i）()sin sin y x y x ϕ=→=+①0ϕ>时，把sin y x =的图象向左平移ϕ个单位得到；②0ϕ<时，把sin y x =的图象向右平移ϕ个单位得到；（ii）已知()2f x x x =-，则()()2g x f x x x =-=+的图象可由()2f x x x =-的图象做关于y 轴对称的图象得到；函数()h x ()2f x x x =-=-+的图象可由()2f x x x =-的图象作关于x 轴对称后的图象得到；函数()()u x f x =--=2x x --的图象可由()2f x x x =-的图象做关于坐标系原点对称的图象得到。

经典高中数学最全必修一函数性质详解及知识点总结及题型详解分析一、函数的概念与表示1、映射：1对映射定义的理解;2判断一个对应是映射的方法;一对多不是映射,多对一是映射集合A,B 是平面直角坐标系上的两个点集,给定从A →B 的映射f:x,y →x 2+y 2,xy,求象5,2的原象.3.已知集合A 到集合B ＝｛0,1,2,3｝的映射f:x →11-x ,则集合A 中的元素最多有几个写出元素最多时的集合A.2、函数;构成函数概念的三要素 ①定义域②对应法则③值域函 数 解 析 式 的 七 种 求 法 待定系数法：在已知函数解析式的构造时,可用待定系数法; 例1 设)(x f 是一次函数,且34)]([+=x x f f ,求)(x f配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式,求()f x 的解析式,[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时,常用配凑法;但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域,而是()g x 的值域;例2 已知221)1(xx x x f +=+ )0(>x ,求 ()f x 的解析式三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时,还可以用换元法求()f x 的解析式;与配凑法一样,要注意所换元的定义域的变化; 例3 已知x x x f 2)1(+=+,求)1(+x f四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时,一般用代入法; 例4已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称,求)(x g 的解析式五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约,则可以对变量进行置换,设法构造方程组,通过解方程组求得函数解析式;例5 设,)1(2)()(x xf x f x f =-满足求)(x f例6 设)(x f 为偶函数,)(x g 为奇函数,又,11)()(-=+x x g x f 试求)()(x g x f 和的解析式六、赋值法：当题中所给变量较多,且含有“任意”等条件时,往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值,使问题具体化、简单化,从而求得解析式;例7 已知：1)0(=f ,对于任意实数x 、y,等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立,求)(x f七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系,则可以递推得出系列关系式,然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式;例8 设)(x f 是+N 上的函数,满足1)1(=f ,对任意的自然数b a , 都有ab b a f b f a f -+=+)()()(,求)(x f1、求函数定义域的主要依据：1分式的分母不为零；2偶次方根的被开方数不小于零,零取零次方没有意义；32 2 (21)x x 已知f －的定义域是[-1,3],求f()的定义域1求函数值域的方法①直接法：从自变量x 的范围出发,推出y=fx 的取值范围,适合于简单的复合函数； ②换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域,适合根式内外皆为一次式； ③判别式法：运用方程思想,依据二次方程有根,求出y 的取值范围；适合分母为二次且x ∈R 的分式；④分离常数：适合分子分母皆为一次式x 有范围限制时要画图； ⑤单调性法：利用函数的单调性求值域； ⑥图象法：二次函数必画草图求其值域； ⑦利用对号函数四．1．定义:2.性质：①y=fx 是偶函数⇔y=fx 的图象关于y 轴对称, y=fx 是奇函数⇔y=fx 的图象关于原点对称,②若函数fx 的定义域关于原点对称,则f0=0③奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇两函数的定义域D 1 ,D 2,D 1∩D 2要关于原点对称31、函数单调性的定义：2 设()[]x g f y =是定义在M 上的函数,若fx 与gx 的单调性相反,则()[]x g f y =在M 上是减函数；若fx 与gx 的单调性相同,则()[]x g f y =在M 上是增函数;时,1)(>x f ,⑴求证：)(x f 在R 上是增函数； ⑵若4)3(=f ,解不等式2)5(2<-+a a f 3函数)26(log 21.0x x y -+=的单调增区间是________4高考真题已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨>⎩是(,)-∞+∞上的减函数,那么a 的取值范围是A (0,1)B 1(0,)3C 11[,)73D 1[,1)7一：函数单调性的证明1.取值 2,作差 3,定号 4,结论 二：函数单调性的判定,求单调区间x a x y += 0>a xax y -= 0>a 三：函数单调性的应用1.比较大小 例：如果函数c bx x x f ++=2)(对任意实数t 都有)2()2(-=+t f t f ,那么 A 、)4()1()2(f f f << B 、)4()2()1(f f f <<C 、)1()4()2(f f f << C 、)1()2()4(f f f <<2.解不等式例：定义在－1,1上的函数()f x 是减函数,且满足：(1)()f a f a -<,求实数a 的取值范围; 例：设是定义在上的增函数,,且,求满足不等式的x 的取值范围.3.取值范围例: 函数 在上是减函数,则 的取值范围是_______．例：若(31)41()log 1a a x a x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩是R 上的减函数,那么a 的取值范围是A.(0,1)B.1(0,)3C.11[,)73D.1[,1)74. 二次函数最值例：探究函数12)(2+-=ax x x f 在区间[]1,0的最大值和最小值;例：探究函数12)(2+-=x x x f 在区间[]1,+a a 的最大值和最小值;5.抽象函数单调性判断例：已知函数)(x f 的定义域是),0(+∞,当1>x 时,0)(>x f ,且)()()(y f x f xy f +=⑴求)1(f ,⑵证明)(x f 在定义域上是增函数⑶如果1)31(-=f ,求满足不等式)21()(--x f x f ≥2的x 的取值范围例：已知函数fx 对于任意x ,y ∈R ,总有fx ＋fy ＝fx ＋y ,且当x >0时,fx <0,f 1＝－错误!.1求证：fx 在R 上是减函数； 2求fx 在－3,3上的最大值和最小值．例：已知定义在区间0,＋∞上的函数fx 满足f 错误!＝fx 1－fx 2,且当x >1时,fx <0. 1求f 1的值；2判断fx 的单调性；3若f 3＝－1,解不等式f |x |<－2.六．函数的周期性：1．定义若⇔≠=+)0)(()(T x f T x f )(x f 是周期函数,T 是它的一个周期;说明：nT 也是)(x f 的周期推广若)()(b x f a x f +=+,则)(x f 是周期函数,a b -是它的一个周期对照记忆()()f x a f x a +=-说明：()()f a x f a x +=-说明：2．若)()(x f a x f -=+；)(1)(x f a x f =+；)(1)(x f a x f -=+；则)(x f 周期是2a1 已知定义在R 上的奇函数fx 满足fx+2=－fx ,则,f 6的值为A －1B 0C 1 D22 定义在R 上的偶函数()f x ,满足(2)(2)f x f x +=-,在区间-2,0上单调递减,设( 1.5),(2),(5)a f b f c f =-==,则,,a b c 的大小顺序为_____________3 已知f x 是定义在实数集上的函数,且,32)1(,)(1)(1)2(+=-+=+f x f x f x f 若则f 2005= .4 已知)(x f 是-∞+∞，上的奇函数,)()2(x f x f -=+,当0≤≤x 1时,fx=x,则f=________ 例11 设)(x f 是定义在R 上的奇函数,且对任意实数x 恒满足)()2(x f x f -=+,当]2,0[∈x 时22)(x x x f -=⑴求证：)(x f 是周期函数；⑵当]4,2[∈x 时,求)(x f 的解析式；⑶计算：1、已知函数54)(2+-=mx x x f 在区间),2[+∞-上是增函数,则)1(f 的范围是A 25)1(≥fB 25)1(=fC 25)1(≤fD 25)1(>f2、方程0122=++mx mx 有一根大于1,另一根小于1,则实根m 的取值范围是_______八．指数式与对数式 1．幂的有关概念1零指数幂)0(10≠=a a 2负整数指数幂()10,n na a n N a-*=≠∈ 3正分数指数幂()0,,,1m n m na a a m n N n *=>∈>； 5负分数指数幂()110,,,1m nm nmnaa m n N n a a-*==>∈>60的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 2．有理数指数幂的性质3．根式根式的性质:当n 是奇数,则a a n n =；当n 是偶数,则⎩⎨⎧<-≥==00a aa aa a n n4．对数1对数的概念:如果)1,0(≠>=a a N a b ,那么b 叫做以a 为底N 的对数,记)1,0(log ≠>=a a N b a2对数的性质：①零与负数没有对数 ②01log =a ③1log =a a3对数的运算性质 logMN=logM+logN对数换底公式：)10,10,0(log log log ≠>≠>>=m m a a N aNN m m a 且且 对数的降幂公式：)10,0(log log ≠>>=a a N N mnN a n a m 且 1 213323121)()1.0()4()41(----⨯b a ab 2 1.0lg 10lg 5lg 2lg 125lg 8lg ⋅--+x 名称 指数函数 对数函数 一般形式 Y=a x a>0且a ≠1 y=log a x a>0 , a ≠1 定义域 -∞,+ ∞ 0,+ ∞ 值域 0,+ ∞ -∞,+ ∞ 过定点 ０,1 1,０ 图象 指数函数y=a x 与对数函数y=log a x a>0 , a ≠1图象关于y=x 对称数相同,如果底数相同,可利用指数函数的单调性；指数相同,可以利用指数函数的底数与图象关系对数式比较大小同理记住下列特殊值为底数的函数图象：3、研究指数,对数函数问题,尽量化为同底,并注意对数问题中的定义域限制4、指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的（1）1、平移变换：左+ 右- ,上+ 下- 即①函数图象及变化规则掌握几类基本的初等函数图像是学好本内容的前题1、基本函数1一次函数、2二次函数、3反比例函数、4指数函数、5对数函数、6三角函数;2、图象的变换1平移变换左加右减①函数y=fx+2的图象是把函数y=fx的图像沿x轴向左平移2个单位得到的；反之向右移2个单位②函数y=fx-3的图象是把函数y=fx的图像沿y轴向下平移3个单位得到的；反之向上移3个单位2对称变换①函数y=fx 与函数y=f-x 的图象关于直线x=0对称； 函数y=fx 与函数y=-fx 的图象关于直线y=0对称；函数y=fx 与函数y=-f-x 的图象关于坐标原点对称；②如果函数y=fx 对于一切x ∈R 都有fx+a=fx-a,那么y=fx 的图象关于直线x=a对称;③y=f-1x 与y=fx 关于直线y=x 对称 ⑤y=fx →y=f|x|3、伸缩变换y=afxa>0的图象,可将y=fx 的图象上的每一点的纵坐标伸长a>1或缩短0<a<1到原来的a 倍;y=faxa>0的图象,可将y=fx 的图象上的每一点的横坐标缩短a>1或伸长0<a<1到原来的a 倍;十．函数的其他性质1．函数的单调性通常也可以以下列形式表达：1212()()0f x f x x x ->- 单调递增1212()()0f x f x x x -<- 单调递减2．函数的奇偶性也可以通过下面方法证明：()()0f x f x +-= 奇函数 ()()0f x f x --= 偶函数3．函数的凸凹性：1212()()()22x x f x f x f ++<凹函数图象“下凹”,如：指数函数 1212()()()22x x f x f x f ++>凸函数图象“上凸”,如：对数函数。

【导语】进⼊到⾼中阶段，⼤家的学习压⼒都是呈直线上升的，因此平时的积累也显得尤为重要，⼀次函数的图像及性质知识点为⼤家总结了⾼⼀年级数学素有知识点内容，希望⼤家能谨记呦！！ 1.作法与图形：通过如下3个步骤 (1)列表; (2)描点; (3)连线，可以作出⼀次函数的图像——⼀条直线。

因此，作⼀次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。

(通常找函数图像与x轴和y轴的交点) 2.性质：(1)在⼀次函数上的任意⼀点P(x，y)，都满⾜等式：y=kx+b。

(2)⼀次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与x轴总是交于(-b/k，0)正⽐例函数的图像总是过原点。

3.k，b与函数图像所在象限： 当k>0时，直线必通过⼀、三象限，y随x的增⼤⽽增⼤; 当k<0时，直线必通过⼆、四象限，y随x的增⼤⽽减⼩。

当b>0时，直线必通过⼀、⼆象限; 当b=0时，直线通过原点 当b<0时，直线必通过三、四象限。

特别地，当b=O时，直线通过原点O(0，0)表⽰的是正⽐例函数的图像。

这时，当k>0时，直线只通过⼀、三象限;当k<0时，直线只通过⼆、四象限。

【同步练习题】 ⼀、选择题: 1.下列函数中,y是x的⼀次函数的是()A.y=2x2+1;B.y=x-1+1C.y=-2(x+1)D.y=2(x+1)2 2.下列关于函数的说法中,正确的是()A.⼀次函数是正⽐例函数B.正⽐例函数是⼀次函数C.正⽐例函数不是⼀次函数D.不是正⽐例函数的就不是⼀次函数 3.若函数y=(3m-2)x2+(1-2m)x(m为常数)是正⽐例函数,则()A.m=;B.m=;C.m>;D.m< 4.下列函数:①y=-8x;②y=;③y=8x;④y=8x+1;⑤y=.其中是⼀次函数的有() xA.1个B.2个C.3个D.4个 5.若函数y=(m-3)xm?1+x+3是⼀次函数(x≠0),则m的值为()A.3B.1C.2D.3或1 6.过点A(0,-2),且与直线y=5x平⾏的直线是()A.y=5x+2B.y=5x-2C.y=-5x+2D.y=-5x-2 7.将直线y=3x-2平移后,得到直线y=3x+6,则原直线()A.沿y轴向上平移了8个单位B.沿y轴向下平移了8个单位C.沿x轴向左平移了8个单位D.沿x轴向右平移了8个单位 8.汽车由天津开往相距120km的北京,若它的平均速度是60km/h,则汽车距北京的路程s(km)与⾏驶时间t(h)之间的函数关系式是()A.s=60t;B.s=120-60tC.s=(120-60)tD.s=120+60t ⼆、填空题:(每⼩题3分,共27分) 1.若y=(n-2)xn2?n?1是正⽐例函数,则n的值是________. 2.函数y=x+4中,若⾃变量x的取值范围是-3 4.长⽅形的长为3cm,宽为2cm,若长增加xcm,则它的⾯积S(cm2)与x(cm)之间的函数关系式是_____,它是______函数,它的图象是_______. 5.已知函数y=mxm?m?1?m2?1,当m=______时,它是正⽐例函数,这个正⽐例函数的关系式为_______;当m=________时,它是⼀次函数,这个⼀次函数的关系式为_______. 6.把函数y=2x的图象沿着y轴向下平移3个单位,得到的直线的解析式为_____.a13 7.两条直线l1:y?x?b,l2:y?x?中,当a________,b______时,L1∥L2.425 8.直线y=-3x+2和y=3x+2是否平⾏?_________. 9.⼀棵树现在⾼50cm,若每⽉长⾼2cm,x⽉后这棵树的⾼度为ycm,则y与x之间的函数关系式是________. 三、基础训练:(共10分) 求⼩球速度v(⽶/秒)与时间t(秒)之间的函数关系式:(1)⼩球由静⽌开始从斜坡上向下滚动,速度每秒增加2⽶;(2)⼩球以3⽶/秒的初速度向下滚动,速度每秒增加2⽶; (3)⼩球以10⽶/秒的初速度从斜坡下向上滚动,若速度每秒减⼩2⽶,则2秒后速度变为多少?何时速度为零? 四、提⾼训练:(每⼩题9分,共27分) 1.m为何值时,函数y=(m+3)x2m?1+4x-5(x≠0)是⼀次函数? 2.已知⼀次函数y=(k-2)x+1-:(1)k为何值时,函数图象经过原点?(2)k为何值时,函数图象过点A(0,3)?(3)k为何值时,函数图象平⾏于直线y=2x?3.甲每⼩时⾛3千⽶,⾛了1.5⼩时后,⼄以每⼩时4.5千⽶的速度追甲,设⼄⾏⾛的时间为t(时),写出甲、⼄两⼈所⾛的路程s(千⽶)与时间t(时)之间的关系式,并在同⼀坐标系内画出函数的图象. 五、中考题与竞赛题:(共12分) 某机动车出发前油箱内有油42升,⾏驶若⼲⼩时后,途中在加油站加油若⼲升,油箱中余油量Q(升)与⾏驶时间t(时)之间的函数关系如图所⽰,回答下列问题.(1)机动车⾏驶⼏⼩时后加油? (2)求加油前油箱余油量Q与⾏驶时间t的函数关系,并求⾃变量t的取值范围;(3)中途加油多少升? (4)如果加油站距⽬的地还有230千⽶,车速为40千⽶/时,要到达⽬的地,油箱中的油是否够⽤?请说明理由. 参考答案: ⼀、1.C2.B3.A4.C5.D6.B7.A8.B⼆、1.-12.1 5.-1y=-x2或-1y=2x+3或y=-x 36.y=2x-37.=2≠-8.不平⾏9.y=50+2x 5三、(1)v=2t(2)v=3+2t.(3)解:v=10-2t, 当t=2时,v=10-2t=6(⽶/秒),∴2秒后速度为6⽶/秒;当v=0时,10-2t=0, ∴t=5,∴5秒后速度为零. 四、1.解:当m+3=0,即m=-3时,y=4x-5是⼀次函数;当m+3≠0时,由2m+1=1,得m=0,∴当m=0时,y=7x-5是⼀次函数; 1由2m+1=0,得m=-. 215∴当m=-时,y=4x-是⼀次函数, 221综上所述,m=-3或0或-. 2k22.解:(1)∵原点(0,0)的坐标满⾜函数解析式,即1-=0, 4∴k=±2,⼜∵k-2≠0,∴k=-2 k2(2)把A(0,-3)代⼊解析式,得-3=1-, 4∴k=±4. (3)∵该直线与y=2x平⾏,∴k-2=2,∴k=4.3.解:S甲=3t+4.5(t>0),S⼄=4.5t(t>0),五、提⽰:(1)t=5. (2)Q=42-6t(0≤t≤5).(3)Q=24 (4)∵加油后油箱⾥的油可供⾏驶11-5=6(⼩时),∴剩下的油可⾏驶6×40=240(千⽶),∵240>230, ∴油箱中的油够⽤.。

高一上必修一第三章《函数》知识点梳理3.1.1函数及其表示方法学习目标：（1）在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用；（2）了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域、值域；（3）通过具体问题情境总结共性，抽象出函数概念，积累从具体到抽象的活动经验，发展数学抽象的核心素养。

【重点】1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用（函数分段不超过三段）.【难点】1、求函数的定义域和值域回顾初中所学的函数，在情境与问题中感受高中函数表达方式与初中的不同。

一、函数的概念我们已经学习过一些函数的知识，例如已经总结出：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量；在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就称y是x的函数.再例如，我们知道y=2x是正比例函数，y=-3x-1是一次函数，y=-2是反比例函数，y=x2+2x-3是二次函数，等等。

【情境与问题】（1）国家统计局的课题组公布，如果将2005年中国创新指数记为100，近些年来中国创新指数的情况如下表所示。

以y表示年度值，i表示中国创新指数的取值，则i是y的的函数吗？如果是，这个函数用数学符号可以怎样表示？（2）利用医疗仪器可以方便地测量出心脏在各时刻的指标值，据此可以描绘出心电图，如下图所示。

医生在看心电图时，会根据图形的整体形态来给出诊断结果（如根据两个峰值的间距来得出心率等）.初中实际上是用变量的观点和解析式来描述函数的，但从情境与问题中的两个实例可知，初中的方法有一定的局限性：情境与问题中的i是y的函数，v是t的函数，但是这两个函数与初中的函数有所不同，比如都很难用一个解析式表示，而且每个变量的取值范围也有了限制，等等。

高中数学知识点易错点梳理函数1函数图像的对称性C 3.函数图像的对称性(1)一个函数图像自身的对称性性质1：对于函数()y f x =，若存在常数,,a b 使得函数定义域内的任意x ，都有()()f a x f b x +=-，则函数()y f x =的图像关于直线2a b x +=对称.【特例】，当a b =时，()()()f a x f a x f x +=-⇔的图像关于直线x a =对称.性质2：对于函数()y f x =，若存在常数,,a b 使得函数定义域内的任意x ，都有-()()f a x f b x +=-()f x ⇔的图像关于点(,0)2a b+对称.【特例】：当a b =时，()()()f a x f a x f x +=--⇔的图像关于点(,0)a 对称.事实上，上述结论是广义奇(偶)函数的性质.性质3：设函数()y f x =，如果对于定义域内任意的x ，都有()()f a mx f b mx +=-(,,,0)a b m R m ∈≠且，则()y f x =的图像关于直线2a b x +=对称.(这实际上是偶函数的一般情形)广义偶函数.性质4：设函数()y f x =，如果对于定义域内任意的x ，都有()()f a mx f b mx +=--(,,,0)a b m R m ∈≠且，则()y f x =的图像关于点(2a b +,0)对称.(实际上是奇函数的一般情形)广义奇函数.(2)两个函数图像之间的对称性1.函数()y f x =与()y f x =-的图像关于直线0y =对称.2.函数()y f x =与()y f x =-的图像关于直线0x =对称.3.函数()y f x =与()y f x =--的图像关于原点(0,0)对称.4.函数()y f a mx =+与()y f b mx =-的图像,,,0a b m R m ∈≠()关于直线2b a x m-=对称.特别地，函数()y f a x =+与()y f b x =-的图像关于直线2b a x -=对称.（2010江苏卷5）设函数f(x )=x (e x+a e -x )(x ∈R)是偶函数，则实数a =_________ a = -1C4.几个函数方程的周期(约定0a ≠)(1)若()()f x f x a =+，或()()22af x f x a +=-，则()f x 的周期T a =；(2)若()()0f x f x a ++=，或1()()1()f x f x a f x -+=+，或()()22f f a ax x =-+- ，或()()f x a f x a +=-，或()()1f x a f x +=±(()0)f x ≠，则()f x 的周期2T a =；【说明】函数()y f x =满足对定义域内任一实数x （其中a 为常数）,都有等式成立.上述结论可以通过反复运用已知条件来证明.C5.对称性与周期性的关系（可与三角函数类比） 定理1：若定义在R 上的函数()f x 的图像关于直线x a =和x b =()a b ≠对称，则()f x 是周期函数，且2a b -是它的一个周期.推论1：若函数()f x 满足()()f a x f a x +=-及()()f b x f b x +=-()a b ≠，则()f x 是以2a b -为周期的周期函数.定理2：若定义在R 上的函数()f x 的图像关于点(,0)a 和直线x b =()a b ≠对称，则()f x 是周期函数，且4a b -是它的一个周期.推论2：若函数()f x 满足()()f a x f a x +=--及()()f b x f b x +=--()a b ≠，则()f x 是以4a b -为周期的周期函数.定理3：若定义在R 上的函数()f x 的图像关于点0(,)a y 和0(,)b y ()a b ≠对称，则()f x 是周期函数，且2a b -是它的一个周期.推论3：若函数()f x 满足0()()2f a x f a x y -++=及0()()2f b x f b x y -++=()a b ≠，则()f x 是以2a b -为周期的周期函数.C6. 1、若函数()y f x a =+为偶函数，则函数)(x f y =的图像关于直线x a =对称.2、若函数()y f x a =+为奇函数，则函数)(x f y =的图像关于点(,0)a 对称.3、定义在R 上的函数()f x 满足()()f a x f a x -=+，且方程()0f x =恰有2n 个实根，则这2n 个实根的和为2na .C7.关于奇偶性与单调性的关系.①如果奇函数)(x f y =在区间()0,+∞上是递增的,那么函数)(x f y =在区间(),0-∞上也是递增的;② 如果偶函数)(x f y =在区间()0,+∞上是递增的,那么函数)(x f y =在区间(),0-∞上是递减的;C11.函数图像变换（主要有平移变换、翻折变换、对称变换和伸缩变换等）. 1.平移变换（1）函数()y f x a =+的图象是把()y f x =的图象沿x 轴向左(0)a >或向右(0)a <平移a 个单位得到的．（2）函数()y f x =+a 的图象是把()y f x =助图象沿y 轴向上(0)a >或向下(0)a <平移a 个单位得到的 2.翻折变换(1)由()y f x =得到|()|y f x =，就是把()y f x =的图像在x 轴下方的部分作关于x 轴对称的图像，即把x 轴下方的部分翻到x 轴上方，而原来x 轴上方的部分不变.(2)由()y f x =得到(||)y f x =，就是把()y f x =的图像在y 轴右边的部分作关于y 轴对称的图像，即把y 轴右边的部分翻到y 轴的左边，而原来y 轴左边的部分去掉，右边的部分不变.3.伸缩变换：将()y f x =的横坐标变为原来的a 倍，纵坐标变为原来的m 倍，得到x y mf a =⎛⎫⎪⎝⎭4.对称变换(1)函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于y 轴对称即可得到；()()轴y y f x y f x =−−→=-(2)函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于x 轴对称即可得到；()()轴x y f x y f x =−−→=-(3)函数()y f x =--的图像可以将函数()y f x =的图像关于原点对称即可得到；()()原点y f x y f x =−−−→=--(4)函数)(y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线y x =对称得到.()()直线y x y f x x f y ==−−−−→=(5)函数)2(x a f y -=的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线a x =对称即可得到；()()直线2x ay f x y f a x ==−−−−→=-.【注意】：函数图像平移和伸缩变换应注意的问题(1) 观察变换前后位置变化：.函数图像的平移、伸缩变换中，图像的特殊点、特殊线也作相应的变换.(2) 观察变换前后量变化：直线、双曲线、抛物线通过伸缩变换后仍分别为直线、双曲线、抛物线，但可以改变直线的倾斜角，双曲线的离心率、抛物线的开口大小及它们的位置；(3)图像变换应重视将所研究函数与常见函数（正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、对数函数、指数函数、三角函数、“函数()0ky x k x=+>”及函数()0k y x k x=+<等）相互转化.(4)应特别重视“二次三项式”、“二次方程”、“二次函数”、“二次曲线”之间的特别联系,理解函数、方程、曲线及不等方程的联系.12、求一个函数的解析式时，你标注了该函数的定义域了吗？ 13、求函数的定义域的常见类型记住了吗？（1）函数y=2)3lg()4(--x x x 的定义域是 ；复合函数的定义域弄清了吗？（2）函数)(x f 的定义域是[0,1],求)(log 5.0x f 的定义域. 函数)(x f 的定义域是[b a ,],,0>->a b 求函数)()()(x f x f x F -+=的定义域14、含参的二次函数的值域、最值要记得讨论。

函数图像变换知识点总结一、基本概念1. 函数图像的平移函数图像的平移是指将原函数图像沿横轴或纵轴方向平移一定的距离。

平移的方向和距离可以是正数也可以是负数。

- 沿横轴方向平移：对于函数y=f(x)，如果在横轴方向上平移了a个单位，新函数表示为y=f(x-a)。

- 沿纵轴方向平移：对于函数y=f(x)，如果在纵轴方向上平移了b个单位，新函数表示为y=f(x)+b。

2. 函数图像的伸缩函数图像的伸缩是指将原函数图像沿横轴或纵轴方向进行拉伸或压缩。

伸缩的方向和比例可以是正数也可以是负数。

- 沿横轴方向伸缩：对于函数y=f(x)，如果在横轴方向上进行了伸缩，新函数表示为y=f(kx)。

- 沿纵轴方向伸缩：对于函数y=f(x)，如果在纵轴方向上进行了伸缩，新函数表示为y=kf(x)。

3. 函数图像的翻转函数图像的翻转是指对原函数图像进行镜像操作，可以分为关于横轴翻转和关于纵轴翻转两种情况。

- 关于横轴翻转：对于函数y=f(x)，进行横轴翻转后，新函数表示为y=-f(x)。

- 关于纵轴翻转：对于函数y=f(x)，进行纵轴翻转后，新函数表示为y=f(-x)。

二、函数图像变换的特点1. 平移：平移不改变函数的基本形状，只是改变了函数的位置；2. 伸缩：伸缩可以改变函数的斜率和幅度，但不改变函数的形状；3. 翻转：翻转改变了函数的整体形状，使得原函数变为其镜像；4. 组合变换：可以将多种变换进行组合，得到更复杂的函数图像变换。

三、函数图像变换的应用函数图像变换不仅仅是数学中的一种抽象概念，还可以应用到具体的问题中，如物理、经济等领域。

1. 物理问题：在物理学中，函数图像变换可以用来描述物体的运动、变形等。

例如，对于速度-时间图像，进行平移可表示物体的起始位置不同；进行伸缩则可以描述加速度的变化；进行翻转可以描述反向运动等情况。

2. 经济问题：在经济学中，函数图像变换可以用来描述经济模型的变化。

例如，对于需求-价格图像，进行平移可以表示需求量或价格的变化；进行伸缩可以描述需求的弹性；进行翻转可以描述替代品或补充品的关系等情况。

数学函数图像知识点总结函数是数学中的一个重要概念，通过函数可以描述各种现象和规律。

函数图像是函数的图形表示，通过函数图像可以直观地理解函数的性质和行为。

在学习数学函数图像时，我们需要掌握一些重要的知识点，包括函数的定义、基本函数图像、函数的性质、函数图像的变换等内容。

本文将围绕这些知识点展开详细的介绍。

一、函数的定义1.1 函数的定义在数学中，函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每一个元素都对应到另一个集合中的唯一元素。

通俗的讲，函数就是一种映射关系，将自变量映射到因变量。

函数的定义可以用一个公式、图形或者文字描述。

函数通常用f(x)或者y来表示，其中x是自变量，y是因变量。

函数的一般表示形式为y=f(x)，其中f表示函数名，x表示自变量，y表示因变量。

1.2 函数的性质函数有许多重要的性质，包括定义域、值域、奇偶性、周期性等。

在图像中，这些性质通常能够直观地表现出来。

- 定义域：函数的自变量的取值范围称为函数的定义域。

在函数图像上，定义域通常可以通过图形的横坐标范围来表示。

- 值域：函数的因变量的取值范围称为函数的值域。

在函数图像上，值域通常可以通过图形的纵坐标范围来表示。

- 奇偶性：函数的奇偶性是指函数图像关于y轴对称还是关于原点对称。

奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。

- 周期性：具有周期性的函数在一定的距离内重复出现相似的图像。

周期函数的图像通常具有明显的重复性特征。

1.3 常见的基本函数在函数图像中，一些基本函数的图像具有重要的参考意义，这些函数包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

- 线性函数：线性函数的图像是一条直线，具有固定的斜率和截距。

- 二次函数：二次函数的图像是一个抛物线，具有一个顶点。

- 指数函数：指数函数的图像是以底数为底的指数幂函数，具有快速增长或者快速衰减的特点。

- 对数函数：对数函数的图像是以底数为底的对数函数，具有反映增长速度缓慢的特点。

高一数学函数图像知识点总结一、函数图像知识点汇总1．函数图象的变换1平移变换①水平平移：y＝fx±aa＞0的图象,可由y＝fx的图象向左＋或向右－平移a个单位而得到．②竖直平移：y＝fx±bb＞0的图象,可由y＝fx的图象向上＋或向下－平移b个单位而得到．2对称变换①y＝f－x与y＝fx的图象关于y轴对称．②y＝－fx与y＝fx的图象关于x轴对称．③y＝－f－x与y＝fx的图象关于原点对称．由对称变换可利用y＝fx的图象得到y＝|fx|与y＝f|x|的图象．①作出y＝fx的图象,将图象位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到上方,其余部分不变,得到y＝|fx|的图象；②作出y＝fx在y轴上及y轴右边的图象部分,并作y轴右边的图象关于y轴对称的图象,即得y＝f|x|的图象．3伸缩变换①y＝afxa＞0的图象,可将y＝fx图象上每点的纵坐标伸a＞1时或缩a＜1时到原来的a倍,横坐标不变．②y＝faxa＞0的图象,可将y＝fx的图象上每点的横坐标伸a＜1时或缩a＞1时到原来的倍,纵坐标不变．4翻折变换①作为y＝fx的图象,将图象位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到上方,其余部分不变,得到y＝|fx|的图象；②作为y＝fx在y轴上及y轴右边的图象部分,并作y轴右边的图象关于y轴对称的图象,即得y＝f|x|的图象．2．等价变换可看出函数的图象为半圆．此过程可归纳为：1写出函数解析式的等价组；2化简等价组；3作图．3．描点法作图方法步骤：1确定函数的定义域；2化简函数的解析式；3讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值甚至变化趋势；4描点连线,画出函数的图象．注意：一条主线数形结合的思想方法是学习函数内容的一条主线,也是高考考查的热点．作函数图象首先要明确函数图象的形状和位置,而取值、列表、描点、连线只是作函数图象的辅助手段,不可本末倒置．两个区别1一个函数的图象关于原点对称与两个函数的图象关于原点对称不同,前者是自身对称,且为奇函数,后者是两个不同的函数对称．2一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称也不同,前者也是自身对称,且为偶函数,后者也是两个不同函数的对称关系．三种途径明确函数图象形状和位置的方法大致有以下三种途径．1图象变换：平移变换、伸缩变换、对称变换．2函数解析式的等价变换．3研究函数的性质．二、例题解析三、复习指导函数图象是研究函数性质、方程、不等式的重要工具,是数形结合的基础,是高考考查的热点,复习时,应重点掌握几种基本初等函数的图象,并在审题、识图上多下功夫,学会分析“数”与“形”的结合点,把几种常见题型的解法技巧理解透彻。

函数图像的变换技巧例题和知识点总结函数图像是研究函数性质的重要工具，通过对函数图像进行变换，可以更直观地理解函数的特点和规律。

下面我们将介绍一些常见的函数图像变换技巧，并通过例题来加深理解。

一、平移变换1、水平平移对于函数\（y ＝ f(x)＼），将其图像向左平移\（h\）个单位，得到\（y ＝ f(x ＋ h)＼）；向右平移\（h\）个单位，得到\（y ＝ f(x h)＼）。

例如，函数\（y ＝ x^2\）的图像向左平移\（2\）个单位，得到\（y＝（x ＋ 2)＾2\）的图像；向右平移\（3\）个单位，得到\（y ＝（x 3)＾2\）的图像。

例题：将函数\（y ＝ 2x ＋ 1\）的图像向左平移\（3\）个单位，求平移后的函数表达式。

解：将\（x\）替换为\（x ＋ 3\），得到平移后的函数为\（y ＝ 2(x＋ 3) ＋ 1 ＝ 2x ＋ 7\）2、竖直平移函数\（y ＝ f(x)＼）的图像向上平移\（k\）个单位，得到\（y ＝ f(x) ＋ k\）；向下平移\（k\）个单位，得到\（y ＝ f(x) k\）。

例如，函数\（y ＝＼sin x\）的图像向上平移\（1\）个单位，得到\（y ＝＼sin x ＋ 1\）的图像；向下平移\（2\）个单位，得到\（y ＝＼sin x 2\）的图像。

例题：将函数\（y ＝＼log_2 x\）的图像向下平移\（2\）个单位，求平移后的函数表达式。

解：平移后的函数为\（y ＝＼log_2 x 2\）二、伸缩变换1、水平伸缩对于函数\（y ＝ f(x)＼），将其图像上所有点的横坐标伸长（或缩短）到原来的\（＼omega\）倍（＼（＼omega ＞0\）），纵坐标不变，得到\（y ＝ f(＼frac{1}｛＼omega}x)＼）。

当\（＼omega ＞ 1\）时，图像沿\（x\）轴缩短；当\（0 ＜＼omega ＜ 1\）时，图像沿\（x\）轴伸长。

例如，函数\（y ＝＼sin x\）的图像横坐标缩短到原来的\（＼frac{1}｛2}＼），得到\（y ＝＼sin 2x\）的图像；横坐标伸长到原来的\（2\）倍，得到\（y ＝＼sin ＼frac{1}｛2}x\）的图像。