北师大版九年级上册数学从课本的一道例题谈起

数学九年级上册课本答案北师大版这篇关于数学九年级上册课本答案北师大版的文章，是特地为大家整理的，希望对大家有所帮助！数学习题1.1答案1.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴BC=AB,BC//AD,∴∠B+∠BAD=180°两直线平行，同旁内角互补）.∵∠BAD=2∠B,∴∠B+2∠B=180°，∴∠B=60°.∵BC=AB，∴△ABC是等边三角形.2.解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=DC=CB=BA,∴AC±BD,AO=1/2AC=1/2×8=4，DO=1/2BD=1/2×6=3.在Rt△AOD中，由勾股定理，得AD=√(AO²+DO²)=√(4²+3²)=5.∴菱形ABCD 的周长为4AD=4×5=20.3.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB,AC±BD，DO=BO,∴△ABD是等腰三角形，∴AO是等腰△ABD低边BD上的高，中线，也是∠DAB的平分线，∴AC平分∠BAD.同理可证AC平分∠BCD,BD平分∠ABC和∠ADC.4.解：有4个等腰三角形和4个直角三角形.数学习题1.2答案1.证明：在□ABCD中，AD//BC,∴∠EAO=∠FCO.∵EF是AC的垂直平分线，∴AO=CO.在△AOE和△COF中，∴△AOE≌△COF，∴AE=CF.∵AE//CF,∴四边形AFCE是平行四边形.∵EF±AC,∴四边形AFCE是菱形.2.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC±BD,OA=OC,OB=OD.又∵点E,F,G,H,分别是OA,OB,OC,OD的中点，∴OE=1/2OA,数学习题1.3答案1.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=CD,AB=CB,∠A=∠C.∵BE=BF,∴AB-BE=CB-BF,即AE=CF.在△ADE和CDF中，.∵△ADE≌△CDF,∴DE=DF,∴∠DEF=∠DFE.2.已知：如图1-1-35所示，四边形ABCD是菱形，AC和BD是对角线.求证：S菱形ABCD=1/2AC∙BD.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD,AO=CO,BO=DO.∴S△AOB=S△AOD=S△BOC=S△COD=1/2AO.BO.∴S菱形ABCD=4×1/2AO∙BO=1/2×2AO∙2BO=1/2AC∙BD.3.解：在菱形ABCD中，AC⊥BD，∴∠AOB=90°，AO=1/2AC=1/2×16=8，BO=1/2BD=1/2×12=6.在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB=√(AO +BO )=√(8 +6 )=10.∵S菱形ABCD=1/2AC∙BD=1/2×16×12=96，又∵DH⊥AB,∴S菱形ABCD=AB∙DH,∴96=AB∙DH,即96=10DH,DH=9.6.∴菱形ABCD的高DH为9.6.4.证明：∵点E,F,G,H分别是AB,CD,AC,BD,的中点，∴GF是△ADC的中位线，EH是△ABD的中位线，∴GF//AD,GF=1/2AD,EH//AD,EH=1/2AD,∴GF//EH,GF=EH,∴四边形EGFH是平行四边形，又∵FH是△BDC的中位线，∴FH=1/2BC.又∵AD=BC,∴GF=FH,∴平行四边形EGFH是菱形.5.请自己动手折叠试一试.。

北师大版九年级数学上册全册教案第一章特殊平行四边形 (2)1菱形的性质与判定 (2)第1课时菱形的定义和性质 (2)第2课时菱形的判定 (5)第3课时菱形的性质与判定的应用 (8)2矩形的性质与判定 (11)第1课时矩形的定义和性质 (11)第2课时矩形的判定 (14)第3课时矩形的性质与判定的应用 (16)3正方形的性质与判定 (19)第1课时正方形的定义和性质 (19)第2课时正方形的判定 (22)第二章一元二次方程 (27)1认识一元二次方程 (27)第1课时一元二次方程的定义 (27)第2课时用估算法求一元二次方程的近似解 (29)2用配方法求解一元二次方程 (32)第1课时用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程 (32)第2课时用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程 (34)3用公式法求解一元二次方程 (37)第1课时用公式法求解一元二次方程 (37)第2课时用公式法解决一元二次方程的实际问题 (41)4用因式分解法求解一元二次方程 (43)5一元二次方程的根与系数的关系 (46)6应用一元二次方程 (49)第1课时列一元二次方程解决几何与行程问题 (49)第2课时列一元二次方程解决利润问题 (53)第三章概率的进一步认识 (56)1用树状图或表格求概率 (56)2用频率估计概率 (60)第四章图形的相似 (63)1成比例线段 (63)2平行线分线段成比例 (67)3相似多边形 (69)4探索三角形相似的条件 (72)第1课时相似三角形和判定定理1 (72)第2课时相似三角形的判定定理2和3 (74)第3课时黄金分割 (77)5相似三角形判定定理的证明 (80)6利用相似三角形测高 (83)7相似三角形的性质 (86)8图形的位似 (89)第五章投影与视图 (93)1投影 (93)第1课时灯光与影子 (93)第2课时太阳光与影子 (96)2视图 (99)第六章反比例函数 (101)1反比例函数 (101)2反比例函数的图象与性质 (104)3反比例函数的应用 (107)第一章特殊平行四边形1菱形的性质与判定第1课时菱形的定义和性质1．经历从现实生活中抽象出图形的过程，了解菱形的概念及其与平行四边形的关系．2．体会菱形的轴对称性，经历利用折纸等活动探索菱形性质的过程，发展合情推理的能力．3．在证明菱形的性质和运用性质定理解决问题的过程中进一步发展学生的逻辑推理能力．重点理解并掌握菱形的概念与性质定理．难点菱形性质定理的证明及运用．一、情境导入课件出示教材第2页情境图，提出问题：你能从这几幅图中发现你熟悉的图形吗？你认为它们有什么样的共同特征呢？学生：图片中有八年级学过的平行四边形．教师：请同学们观察，这些平行四边形与下图的平行四边形ABCD相比较，还有什么不同点吗？学生：这些平行四边形不仅对边相等，而且任意两条邻边也相等．教师：同学们观察得很仔细．像这样，有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．二、探究新知1．菱形的性质教师：菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质．你能列举一些这样的性质吗？学生：菱形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分．教师：同学们，你认为菱形还具有哪些特殊的性质？请你与同伴交流．学生讨论交流后，教师点评．教师：请同学们用菱形纸片折一折，回答下列问题：(1)菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？(2)菱形中有哪些相等的线段？学生分小组进行折纸活动后讨论交流，回答问题，教师点评，并进一步讲解：①菱形是轴对称图形，有两条对称轴．对称轴是菱形对角线所在的直线，两条对角线互相垂直．②菱形的四条边相等．2．证明菱形的性质教师：通过折纸活动，同学们已经对菱形的性质有了初步的理解，下面我们要对菱形的性质进行严格的逻辑证明．课件出示：已知：如图，在菱形ABCD中，AB＝AD，对角线AC与BD相交于点O.求证：(1)AB＝BC＝CD＝AD；(2)AC⊥BD.分析：①菱形不仅对边相等，而且邻边相等，这样就可以证明菱形的四条边都相等．②因为菱形是平行四边形，所以点O是对角线AC与BD的中点；又因为在菱形中可以得到等腰三角形，这样就可以利用“三线合一”来证明结论．学生写出证明过程，进行组内交流对比，教师点评．证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB ＝CD ，AD ＝BC(菱形的对边相等)． 又∵AB＝AD ， ∴AB ＝BC ＝CD ＝AD. (2)∵AB＝AD ，∴△ABD 是等腰三角形． 又∵四边形ABCD 是菱形，∴OB ＝OD(菱形的对角线互相平分)． 在等腰三角形ABD 中， ∵OB ＝OD ， ∴AO ⊥BD ， 即AC⊥BD. 三、举例分析例 如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O, ∠BAD ＝60°，BD ＝6，求菱形的边长AB 和对角线AC 的长．分析：①因为菱形的邻边相等，一个内角是60°，所以可以得到等边△ABD，BD ＝6，菱形的边长也是6.②由菱形的对角线互相垂直，可以得到直角△AOB；由菱形的对角线互相平分，可以得到OB ＝3，根据勾股定理可以求出OA 的长度；再一次根据菱形的对角线互相平分，即AC ＝2OA ，求出AC 的长．解：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB ＝AD(菱形的四条边相等)， AC ⊥BD(菱形的对角线互相垂直)，OB ＝OD ＝12BD ＝12×6 ＝3(菱形的对角线互相平分)．在等腰三角形ABD 中， ∵∠BAD ＝60°， ∴△ABD 是等边三角形． ∴AB ＝BD ＝6.在Rt △AOB 中，由勾股定理，得 OA 2＋OB 2＝AB 2，∴OA ＝AB 2－OB 2＝62－32＝3 3.∴AC＝2OA＝63(菱形的对角线互相平分)．四、练习巩固教材第4页“随堂练习”．五、小结1．什么叫做菱形？2．菱形有哪些性质？六、课外作业教材第4～5页习题1.1第1～4题．本节课的主要教学内容为菱形的定义和性质．学生已经学习了平行四边形的性质，这是本节课的知识基础．关于菱形的定义和性质，就是在平行四边形的基础上进一步强化条件得到的．课堂上通过折纸活动，让学生直观地感知图形的特点，激发学生学习的兴趣和积极性，教师要引导学生积极思考，抓住表面现象中的本质．在性质的证明和应用过程中，教师要鼓励学生大胆探索新颖独特的证明思路和方法，提倡证明方法的多样性，并引导学生在与其他同学的交流中进行证明方法的比较，优化证明方法，有利于提高学生的逻辑思维水平．第2课时菱形的判定1．探索证明菱形的判定方法，掌握证明的基本要求、方法及思路．2．经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维．3．经历实际操作，探索菱形判定定理的证明过程，发展合情推理的能力．4．在具体问题的证明过程中，有意识地渗透试验论证、逆向思维的思想，提高学生解决问题的能力．重点菱形判定定理的证明及应用．难点菱形的判定方法的综合运用．一、复习导入1．菱形的定义是什么？2．菱形有哪些性质？教师：同学们对菱形的性质都掌握得很好，那么怎样判定一个四边形是菱形呢？这就是我们这节课所要研究的内容．二、探究新知1．菱形的判定方法一教师：根据菱形的定义，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．这可以作为菱形的第一种判定方法．2．菱形的判定方法二课件出示：用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形．教师转动木条，提出问题：(1)转动木条，这个四边形总有什么特征？(2)继续转动木条，什么时候橡皮筋围成的四边形变成菱形？引导学生猜想：当木条互相垂直时，平行四边形的一组邻边相等，此时四边形为菱形．教师：你能证明你的猜想吗？学生独立完成，指名板演，教师点评．已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥BD.求证：▱ABCD是菱形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC.又∵AC⊥BD，∴BD是线段AC的垂直平分线．∴BA＝BC.∴四边形ABCD是菱形(菱形的定义)．3．菱形的判定方法三教师：已知线段AC，你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD，使AC为菱形的一条对角线吗？学生独立尝试作图，教师点评，并进一步讲解用尺规作菱形的方法：如图，分别以A ，C 为圆心，以大于12AC 的长为半径作弧，两条弧分别相交于点B ，D ，依次连接A ，B ，C ，D.教师：你能说明得到的四边形为什么是菱形吗？ 学生小组讨论交流，找到原因：该四边形四边相等． 教师：你能证明四边相等的四边形是菱形吗？ 学生独立完成，指名板演，教师点评．已知：如图，在四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝DA. 求证： 四边形ABCD 是菱形．证明：∵AB＝CD ，AD ＝BC ， ∴四边形ABCD 是平行四边形． 又∵AB＝BC ，∴四边形ABCD 是菱形(菱形的定义). 教师：你能用折纸等办法得到一个菱形吗？ 学生动手操作，教师巡视指导． 三、举例分析例 已知：如图，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AB ＝5，OA ＝2，OB ＝1. 求证：▱ABCD 是菱形．思考：(1)观察题目中的数据，AB ，OA ，OB 有什么数量关系？ (2)利用勾股定理的逆定理能否判定△ABO 是直角三角形？(3)如果可以得到直角三角形，那么利用菱形的哪一个判定定理进行判断？ 四、练习巩固1．教材第7页“随堂练习”．2．教材第7页习题1.2第1题．五、小结1．怎样判定一个四边形是菱形？2．通过本节课的学习，你还学到了哪些知识？六、课外作业教材第7页习题1.2第2，3题．在本节课中，课前复习为本节课的探究作了有效的铺垫．学生资源的灵活运用提高了学生参与探究的兴趣，证明思路的分析过程让学生体会了逆向思维、一题多解等数学思想．另外，学生通过经历试验—猜想—证明—应用的探索过程提高了自身的科学素养．第3课时菱形的性质与判定的应用1．能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一些相关问题，并掌握菱形面积的求法．2．经历菱形的性质定理及判定定理的应用过程，体会数形结合、转化等思想方法．重点菱形的性质定理与判定定理的综合应用及菱形面积的求法．难点等宽纸条交叉部分为菱形的证明及菱形面积的综合应用．一、复习导入1．如图①，在菱形ABCD中，AB＝6.(1)求AD，DC，BC的长．(2)对角线AC与BD有什么位置关系？(3)若∠ADC＝120°，求AC的长．图①图②2．如图②，在▱ABCD 中添加一个条件使其成为菱形． 添加方式1：________________________________________________________________________.添加方式2：________________________________________________________________________.二、探究新知 1．课件出示：如图，四边形ABCD 是边长为13 cm 的菱形，其中对角线BD 长10 cm .求： (1)对角线AC 的长度； (2)菱形ABCD 的面积．解：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴∠AED ＝90°(菱形的对角线互相垂直)， DE ＝12BD ＝12×10＝5(cm )(菱形的对角线互相平分)．∴在Rt △ADE 中，由勾股定理可得： AE ＝AD 2－DE 2＝132－52＝12(cm )．∴AC ＝2AE ＝2×12＝24(cm )(菱形的对角线互相平分)． (2)S 菱形ABCD ＝ S △ABD ＋ S △CBD ＝2×S △ABD ＝2×12×BD×AE＝BD×AE ＝10×12 ＝120( cm 2)．注意：学生对于第一个问题的解决比较容易，但是学生的书写过程不规范；对于第二个问题，学生很容易求一边上的高，经过讨论、交流、点拨后学生能接受这种方法．在实际过程中教师应追问学生菱形的面积和对角线有什么关系，引起学生的思考，进而突破这一教学难点．2．课件出示教材第87页图1－7，提出问题：两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD是菱形吗？为什么？分析：由图可知，重叠部分为平行四边形，且相邻的两边对应的高相等，由平行四边形的面积，可证平行四边形ABCD为菱形．三、举例分析例(变式训练)如上图，四边形ABCD是菱形，其中对角线BD长12 cm，AC长16 cm.求：(1)菱形的边长；(2)菱形一条边上的高．分析：灵活运用菱形的面积等于对角线乘积的一半求出面积进而求出一边上的高．教师：同学们，在我们刚才完成的例题及变式训练中你有什么感悟或经验？教师引导学生总结经验，帮助学生形成解题思路．四、练习巩固1．教材第9页“随堂练习”第1，2题．2．教材第10页习题1.3第5题．五、小结通过本节课的学习，你有哪些收获？还有什么疑问？六、课外作业1．教材第9页习题1.3第1～4题．2．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为BC的中点，BC＝2AD，EA＝ED＝2，AC与ED 相交于点F.当AB与AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形？请说明理由，并求出此时菱形AECD的面积．本节课的教学内容是菱形的性质定理与判定定理的综合运用．通过课前复习，加深学生对菱形的性质定理及判定定理的记忆．在教学中，通过例题讲解，帮助学生总结经验并形成解题思路．学生对于几何题的规范答题是在课堂上需要重点强调的，这是培养学生严谨细致的数学素养的一个手段．同时，在教学中应注意学生解题的反思过程，例如由例题及变式训练完成反思过程后，学生的思维得到了升华，同时对于同类题目的突破方式有了初步的框架，能促进以后的学习，从本质上讲学习就是在学生不断反思中完成的．2矩形的性质与判定第1课时矩形的定义和性质1．了解矩形的概念，理解并掌握矩形的性质定理．2．经历探索矩形的概念和性质定理的过程，发展学生合情推理的意识．3．培养学生严谨的推理能力，掌握几何思维方法，体会逻辑推理的思维价值．重点矩形的性质定理的理解及应用．难点矩形的性质定理的应用．一、情境导入课件出示教材第11页情境图，提出问题：这三幅图片中都含有一些特殊的平行四边形．观察这些特殊的平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？学生讨论交流后汇报，教师点评，并进一步讲解：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．教师：你还能举出一些生活中矩形的例子吗？二、探究新知1．探究矩形的性质定理教师出示一个平行四边形活动框架，完成以下探究．(1)改变平行四边形活动框架，将框架夹角∠α变为90°，平行四边形成为一个矩形，这说明平行四边形与矩形具有怎样的从属关系？学生：矩形是平行四边形的特例，属于平行四边形，因此它具有平行四边形所有的性质．(2)用橡皮筋做出两条对角线，这两条对角线有什么关系？学生：橡皮筋的长度相等，因此矩形的两条对角线相等．(3)矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？学生：矩形是轴对称图形，它有2条对称轴． (4)你认为矩形还具有哪些特殊性质？ 学生：矩形的四个角都是直角，对角线相等． 教师：你能证明这些结论吗？学生独立完成，指名板演，教师点评，得到如下定理： 矩形的四个角都是直角． 矩形的对角线相等．2．探究直角三角形的性质定理课件出示教材第12页图1－9，提出问题：如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点E ，那么BE 是Rt △ABC 中一条怎样的特殊线段？它与AC 有什么大小关系？由此你能得到怎样的结论？学生观察、思考后发现：AE ＝12AC ，BE ＝12BD ，BE 是Rt △ABC 的中线．由此归纳直角三角形的一个性质定理： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 三、举例分析例1 如图，在矩形ABCD 中，两条对角线相交于点O ，∠AOB ＝60°，AB ＝4 cm ，求这个矩形对角线的长．分析：利用矩形对角线相等且平分得到OA ＝OB ，由于∠AOB＝60°，∴△AOB 为等边三角形，则OA ＝AB ＝4 cm ，∴AC ＝BD ＝2OA ＝8 cm .例2 如图，在△ABC 中，∠A ＝2∠B，CD 是△ABC 的高，E 是AB 的中点，求证：DE ＝12AC.分析：本题可从E 是AB 的中点切入，考虑应用三角形中位线定理．应用三角形中位线必需找到另一个中点．可以取BC 的中点F ，也可以取AC 的中点G.学生分四人小组，合作探究不同的证法． 证法一：取BC 的中点F ，连接EF ，DF ，如图①. ∵E 为AB 中点，∴EF ∥AC.∴∠FEB ＝∠A.∵∠A ＝2∠B，∴∠FEB ＝2∠B.∵DF＝12BC ＝BF ，∴∠1＝∠B.∴∠FEB＝2∠B＝2∠1＝∠1＋∠2.∴∠1＝∠2.∴DE＝EF ＝12AC.证法二：取AC 的中点G ，连接DG ，EG ，如图②. ∵CD 是△ABC 的高，∴在Rt △ADC 中，DG ＝12AC ＝AG.∵E 是AB 的中点，∴GE ∥BC.∴∠1＝∠B. ∴∠GDA ＝∠A＝2∠B＝2∠1.又∠GDA＝∠1＋∠2，∴∠1＋∠2＝2∠1. ∴∠2＝∠1.∴DE＝DG ＝12AC.四、练习巩固1．教材第13页“随堂练习”．2．如图，从矩形ABCD 的顶点C 作对角线BD 的垂线与∠BAD 的平分线相交于点E.求证：AC ＝CE.分析：要证AC ＝CE ，可以考虑证明∠E＝∠CAE.∵AE 平分∠BAD，∴∠DAE ＝∠BAE，且∠CAE＝∠DAE－∠DAC.另外一个条件是CE⊥BD，过点A 作AF⊥BD 于点F ，则AF∥CE，可以将∠E 转化为∠FAE，∠FAE ＝∠BAE－∠FAB.现在只要证明∠BAF＝∠DAC 即可，而实际上，∠BAF ＝∠BDA＝∠DAC，问题迎刃而解．五、小结 1．什么叫矩形？2．矩形有哪些性质？3．矩形有几条对称轴？六、课外作业教材第13～14页习题1.4第1～4题．本节课依据新课标的要求，设计的每个环节都是以学生为主体，在学生已有的知识经验的基础上，让学生自己动手探究完成，提高学生的探索创新思维和创造能力．首先，从矩形的定义和平行四边形的性质引入，提出问题，让学生猜想矩形应具有的性质，调动学生的思维积极性，激发探究欲望．教学过程中，先利用平行四边形活动框架，让学生通过观察、测量、思考、讨论等活动，得出矩形的性质．在解决问题的过程中发展了学生的合情推理意识．再引导学生进行推理证明及应用，通过探索证明，发展了学生的思维能力，帮助他们在自主探索与合作交流过程中真正理解和掌握矩形的性质定理，体验数学学习过程中的探索性、挑战性以及推理的严谨性．第2课时矩形的判定1．理解和掌握矩形的判定定理．2．经历探索、猜测、证明的过程，发展学生的推理论证能力．3．通过对比已学的知识，体会证明过程中所运用的归纳、概括以及转化等数学思想方法．重点理解和掌握矩形的判定定理．难点矩形的判定定理的应用．一、情境导入课前准备小木板和橡皮筋，制作一个如图所示的平行四边形活动框架．用两根橡皮筋分别套在两个相对的顶点上，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生什么变化？二、探究新知1．矩形的判定定理1根据上面的实践活动提出问题：(1)随着∠α的变化，两条对角线的长度将发生怎样的变化？(2)当两条对角线的长度相等时，平行四边形有什么特征？由此你能得到一个怎样的猜想？学生讨论交流后回答，教师点评，并归纳：矩形的判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形．矩形的判定定理1的证明过程：(1)学生独立画出图形，在教师引导下写出已知、求证；(2)对比平行四边形和菱形的判定定理的证明，对已知、求证进行分析；(3)请学生交流大体思路；(4)用规范的数学语言写出证明过程；(5)同学之间进行交流，找出自己还存在的问题．2．矩形的判定定理2教师：我们知道，矩形的四个角都是直角．反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？请证明你的结论，并与同伴交流．学生讨论交流后回答，教师点评，并引导学生归纳：矩形的判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形．矩形的判定定理2的证明过程：(1)学生独立画出图形，在教师引导下写出已知、求证；(2)对比平行四边形和菱形的判定定理的证明，对已知、求证进行分析；(3)请学生交流大体思路；(4)用规范的数学语言写出证明过程；(5)同学之间进行交流，找出自己还存在的问题．三、举例分析例1 实际问题：(1)如果仅有一根足够长的绳子，如何判断一个四边形是平行四边形？(2)如果仅有一根足够长的绳子，如何判断一个四边形是菱形？(3)如果仅有一根足够长的绳子，如何判断一个四边形是矩形？学生分小组讨论后回答，教师点评，并总结：先利用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”证明是平行四边形，再由“对角线相等的平行四边形是矩形”得证．例2 如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB＝4，求▱ABCD的面积．学生独立完成，指名板演，教师点评．四、练习巩固1．教材第16页“随堂练习”．2. 已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O, CM∥BD，DM∥AC.求证：四边形OCMD是矩形．五、小结1．通过本节课的学习，你有什么收获？2．矩形的判定定理有哪些？六、课外作业教材第16页习题1.5第1～3题．对于本节课的知识，不能机械地照搬教材内容，而应该对教材内容进行再加工，灵活运用，使教材内容得到升华．课堂是学生展示自己的一个舞台，在课堂教学中，给予学生充分的时间和空间展示自己，不仅有利于提高学生学习的积极性，更有利于教师发现学生的独到见解和新思维、新想法，同时还能发现学生存在的问题，这对于课堂教学是非常有利的．几何教学对学生想象能力要求比较高，有些学生在这方面很有优势，而有些学生可能要差一点，课堂教学不能过急．此外，几何教学中要合理把握学生的课堂兴奋点，合理安排时间，力图让学生在注意力最集中时完成最重要的知识内容，掌握本节课重要的学习方法．还要注意的是，不要让思维活跃的学生的回答掩盖了其他学生的疑问，应该争取关注每一个学生．第3课时矩形的性质与判定的应用1．能够运用矩形的性质定理和判定定理解决问题．2．经历矩形的性质与判定的应用过程，发展学生的推理论证能力． 3．通过学生独立完成证明的过程，让学生体会数学的严谨性．重点矩形的性质定理与判定定理的应用． 难点灵活地运用矩形的性质定理与判定定理解决问题．一、复习导入1．如图①，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，已知∠AOD＝ 120°，AB ＝2.5 cm ，则∠DAO＝__________，AC ＝__________ cm ，S 矩形ABCD ＝__________ cm 2.2. 如图②，四边形ABCD 是平行四边形，添加一个条件________________，可使它成为矩形．二、探究新知课件出示：如图，在矩形ABCD 中，AD ＝6，对角线AC 与BD 相交于点O ，AE ⊥BD ，垂足为E ，ED ＝3BE.求AE 的长．学生小组合作完成本题的求解，教师点评并板书： 解：∵ 四边形ABCD 是矩形，∴AO ＝BO ＝DO ＝12BD(矩形的对角线相等且互相平分)，∠BAD ＝90°(矩形的四个角都是直角)． ∵ED ＝3BE ， ∴BE ＝OE. 又∵ AE⊥BD， ∴AB ＝AO.∴AB ＝AO ＝BO.即 △ABO 是等边三角形． ∴∠ABO ＝60°.∴∠ADB＝90°－∠ABO＝30°. 在Rt △AED 中， ∵∠ADE ＝30°， ∴AE ＝12AD ＝12×6＝3.注意：本题的解法不唯一，采取小组合作时，应当鼓励学生提出自己不同的意见． 三、举例分析例 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 为∠BAC 的平分线，AN 为△ABC 的外角∠CAM 的平分线，CE ⊥AN ，垂足为E.求证：四边形ADCE 是矩形．证明：∵AD 平分∠BAC，AN 平分∠CAM， ∴∠CAD ＝12∠BAC，∠CAN ＝12∠CAM.∴∠DAE ＝∠CAD＋∠CAN ＝12(∠BAC＋∠CAM)＝12×180°＝90°. 在△ABC 中，∵AB ＝AC ，AD 为∠BAC 的平分线， ∴AD ⊥BC. ∴∠ADC ＝90°. 又∵CE⊥AN， ∴∠CEA ＝90°.∴四边形ADCE 为矩形(有三个角是直角的四边形是矩形)． 四、练习巩固1．在上一题中，条件不变，连接DE ，交AC 于点F(如图①)． (1)试判断四边形ABDE 的形状，并证明你的结论． (2)线段DF 与AB 有怎样的关系？请证明你的结论．图①图②2．如图②，四边形ABCD是由两个全等的等边△ABD和△CBD组成，点M，N分别是BC 和AD的中点．求证：四边形BMDN是矩形．五、小结通过本节课的学习，你有什么收获？还有哪些疑问？六、课外作业教材第18～19页习题1.6第1～5题．本课时，是综合运用矩形的性质定理和判定定理，应给予学生充分的时间和空间展示自己，不仅有利于提高学生学习的积极性，更有利于教师发现学生的独到见解和新思维、新想法，同时还能发现学生存在的问题，这对于课堂教学是非常有利的．在教学过程中，不应加大习题量，题目在精不在多，扎实地讲解和学习比大量练习要有效果得多．把关注学生能力的培养提到首位，达到本节课所要完成的真正目标．3正方形的性质与判定第1课时正方形的定义和性质1．理解正方形的概念和性质定理，通过由一般到特殊的研究方法，分析平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念及性质之间的区别与联系．2．在探索正方形的性质定理的过程中，发展学生的合情推理能力．3．培养学生勇于探索、团结协作交流的精神，激发学生学习的积极性与主动性．。

北师大版九年级上册的数学教学计划一、扎扎实实打好基础。

1、重视课本，系统复习。

初中数学基础包括基础知识和基本技能两方面。

现中考仍以基础的为主，有些基础题是课本的原型或改造，后面的大题是教材题目的引伸、变形或组合，复习时应以课本为主。

尤其课后的读一读，想一想，有些中考题就在此基础上延伸的，所以，在做题时注意方法的归纳和，做到举一反三。

2、充实基础，学会思考。

中考时基础分很多，所以在应用基础知识时做到熟练、正确、迅速。

上课要边听边悟，敢于质疑。

3、重视基础知识的理解和方法的学习。

基础知识既是初中所涉及的概念、公式、公理、定理等。

掌握知识间的联系，要做到理清知识结构，形成整体知识，并能综合运用。

例如：中考涉及的动点问题，既是方程、不等式与函数问题的结合，同时也涉及到几何中的相似三角形，比例推导等。

还重视数学方法的考察。

如：配方法、判别式等方法。

二、综合运用知识，提高自身的各种能力。

初中数学基本能力有运算能力、思维能力、空间想象能力以及体现数学与生产、生活相关学科相联系的能力等等。

1、提高综合运用数学知识解题的能力。

要求学生必须把各章节的知识联系起来，并能综合运用，做到触类旁通。

目前应根据自身的实际，有针对性地复习，查漏补缺做好知识归纳、解题方法地归纳。

2、狠抓重点内容，适当练习题型。

几年来，初中的数学的方程、函数、直线型一直是中考的重点内容。

方程思想、函数思想贯穿试卷始终。

另外，开放题、探索题、阅读理解题、方案设计、动手操作等问题也是中考的热点题型，所以应重视这方面的学习与训练，以便适应这类题型。

我们必须了解中考的有关的政策，避免走弯路，走错路。

研读《中考说明》，看清范围，研究评分的标准，牢记每一个得分点。

避免解题中出现“跳步”现象。

三、精选习题。

1、初三下学期刚开始，每一周末安排一次综合练习。

让学生开始接触中考题型、题量，____月底后就每周一次综合模拟测试。

2、每天利用几分钟时间练习。

初一初二时是作为速度练习，初三时用作专题（解方程、方程组、不等式、不等式组、分解因式、代数式等）练习，在后段专门训练中考模拟试题中的选择题、填空题。

九年级上册数学书北师大版
《九年级上册数学——北师大版》是实现中小学数学素质教育的中坚力量。

它
扎实梳理了学前教育阶段所要掌握的基础知识，从象形算符、算式改写、几何图形到数论解题和代数表示，几乎涵盖了九年级数学的所有知识内容。

课本的知识内容排列合理，联系实际，耐心指导，有助于学生缓慢掌握基础知识，既形成学生对知识的逻辑性思维，又帮助学生运用数学模式进行简单推理，这正是数学素质教育的要求。

课本中特别注重强化学生的解题技巧。

设计了大量案例题，增强了学生对课本
知识的熟悉度，在解题过程中，特别强调使学生仔细审题，识别出题目本身所暗含的途径，再根据正确的步骤来判断，这有利于强化学生的素质。

除数学思维训练外，书中还关注学生身心发展。

课文中不时设置人文历史背景，用深藏不漏的口才来书写科学文化的传播历史，帮助学生塑造科学的形象，增强兴趣，激发学习热情，提高解题能力。

《九年级上册数学——北师大版》不仅重新定义了数学教学观念，而且为实现
中小学数学教育质量改善提供了一份权威解答答案。

这本数学课本将深深影响未来一代学子的数学学习，引领数学教育内容探索中新融合，构建综合理性型教学模式并以之来实现素质教育精彩。

北师数学九年级一道教材习题的解析、变式与拓展思考在北师版数学九年级上册特殊的四边形P28页上有如下习题：已知：如图1，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，过点 C 作 BD 的平行线，过点 D 作 AC 的平行线，两线相交于点 P．求证：四边形 CODP 是菱形．分析:起点四边形是矩形,且切入点是矩形的对角线,因此解题要优先思考矩形的对角线的性质,牵线的条件是平行线,因此解答时要考虑平行线性质得作用,结论是菱形,所以解答时解题的思路是菱形的判定定理.解:因为四边形ABCD的矩形,所以OD=OC.因为OD∥CP,PD∥OC,所以四边形OCPD是平行四边形,因为OD=OC,所以四边形OCPD为菱形.点拨与提升:解答时,要牢牢把握三个重要要素,一是起点四边形的形状与性质特点;二是把已知与结论建立起来的条件,三是结论四边形的判定方法.解答时,要立足结论,合理选择,科学梳理,规范推理,最终实现目标.解答完毕，静心思忖，若是将已知与结论对换,成立吗?于是得到一种新思考.具体如下：变式1: 已知：如图2，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，过点 C 作 BD 的平行线，过点 D 作 AC 的平行线，两线相交于点 P．求证：四边形 OCPD 是矩形．分析:菱形的对角线互相垂直为矩形的证明提供了直角.证明: 因为四边形ABCD的菱形,所以OD⊥OC，所以∠DOC=90°，因为OD∥CP,PD∥OC,所以四边形OCPD是平行四边形,因为∠DOC=90°，所以四边形OCPD为矩形.点播与提升：解答时，基本思路是平行线构筑四边形是平行四边形；菱形的对角线互相垂直，为结论提供直角，实现目标.若是将基础四边形更改为正方形会有什么结论产生呢：于是得到第二个变式.变式2已知：如图3，在正方形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，过点 C 作 BD 的平行线，过点 D 作 AC 的平行线，两线相交于点 P．求证：四边形 OCPD 是正方形．分析:正方形的对角线互相垂直，平分且相等是证明结论的根本依据.证明: 因为四边形ABCD的正方形,所以OD⊥OC，所以∠DOC=90°，因为OD∥CP,PD∥OC,所以四边形OCPD是平行四边形,因为∠DOC=90°，所以四边形OCPD为矩形，因为四边形ABCD是正方形，所以OD=OC，所以四边形ABCD是正方形.点播与提升：解答时，基本思路是平行线构筑四边形是平行四边形；正方形的对角线互相垂直，升级四边形为矩形，利用正方形的对角线相等，平分，最终实现目标.刚才从基础四边形的更换中生成了两种不同问题的变式，锻炼了自身的创新思维，当图形一定时，两个图形之间还有其他的联系吗？如何建立起联系？有怎样的联系呢？带着这诸多疑问，一起走进问题的拓展思考，继续探究.拓展一：两个图形的周长之间的关系拓展1. 已知：如图1，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，过点 C 作 BD 的平行线，过点 D 作 AC 的平行线，两线相交于点 P，则四边形 CODP的周长是AC+BD．解析：易证四边形OCPD是菱形，所以四边形OCPD的周长为4OC,因为四边形ABCD是矩形，所以AC=2OC,BD=2OD，所以四边形OCPD的周长=4OC=2OC+2OD=AC+BD.点评：由此，可以引申得到如下结论：菱形的周长是矩形对角线的2倍.对于这个结论，同学们可以自己给出证明.拓展2. 已知：如图2，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，过点 C 作 BD 的平行线，过点 D 作 AC 的平行线，两线相交于点 P．则四边形 CODP的周长是AC+BD．解析：易证四边形OCPD是矩形，所以四边形OCPD的周长为2OC+2OD,因为四边形ABCD是菱形，所以AC=2OC,BD=2OD，所以四边形OCPD的周长=2OC+2OD=AC+BD.点评：由此，可以引申得到如下结论：矩形的周长是菱形对角线的和.对于这个结论，同学们可以自己给出证明.拓展3.已知：如图3，在正方形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，过点 C 作 BD 的平行线，过点 D 作 AC 的平行线，两线相交于点 P，则四边形 CODP的周长是AC+BD．证明请同学们仿照上面的证明自己独立完成吧！点评：由此，可以引申得到如下结论：正方形的周长是菱形原正方形对角线的和.对于这个结论，同学们可以自己给出证明.拓展二：两个图形的面积之间的关系拓展1. 已知：如图1，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，过点 C 作 BD 的平行线，过点 D 作 AC 的平行线，两线相交于点 P ．设四边形OCPD 的面积为1S ，矩形ABCD 的面积为2S ,则1S ：2S =1:2．解析：根据题意，易证四边形OCPD 是菱形，所以四边形OCPD 的面积1S =12×CD ×PO.因为四边形ABCD 是矩形，所以矩形 ABCD 的面积2S =CD ×BC.易证四边形BCPO 是平行四边形，所以PO=BC ， 所以1S ：2S =12×CD ×BC ：CD ×BC=1:2． 点评：此题可得到如下结论：已知：如图1，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，过点 C 作 BD 的平行线，过点 D 作 AC 的平行线，两线相交于点 P ．则四边形 CODP 的面积是矩形ABCD 的面积的一半．拓展2. 已知：如图2，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，过点 C 作 BD 的平行线，过点 D 作 AC 的平行线，两线相交于点 P ．设四边形OCPD 的面积为1S ，菱形ABCD 的面积为2S ,求1S ：2S 的值．解析：根据题意，易证四边形OCPD 是矩形，所以四边形OCPD 的面积1S =OD ×OC ，因为四边形ABCD 是菱形，所以OD=12×BD ,OC=12×AC ，所以四边形OCPD 的面积1S =14×BD ×AC ；菱形 ABCD 的面积2S =12×BD ×AC.所以1S ：2S =14×BD ×AC ：12×BD ×AC=1:2． 点评：此题可得到如下结论：已知：如图2，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，过点 C 作 BD 的平行线，过点 D 作 AC 的平行线，两线相交于点 P ．则四边形 CODP 的面积是矩形ABCD 的面积的一半．拓展3. 已知：如图3，在正方形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，过点 C 作 BD 的平行线，过点 D 作 AC 的平行线，两线相交于点 P ．设四边形OCPD 的面积为1S ，正方形ABCD 的面积为2S ,求1S ：2S 的值．解析：根据题意，易证四边形OCPD 是正方形，所以四边形OCPD 的面积1S =OD ×OC ，正方形 ABCD 的面积2S =12×BD ×AC=2 OD ×OC.所以1S ：2S =OD ×OC ：2OD ×OC=1:2． 点评：此题可得到如下结论：已知：如图3，在正方形ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，过点 C 作 BD 的平行线，过点 D 作 AC 的平行线，两线相交于点 P ．则四边形 CODP 的面积是正方形ABCD 的面积的一半．。

《特殊平行四边形》说课稿尊敬的各位评委老师：下午好！今天我说课的内容是：北师大版数学教材九年级上册第一章《特殊平行四边形》第二节第一课时。

下面我将从教材分析、教法学法分析、教学程序和设计说明四个方面谈一下我对本节课的理解。

一、教材分析1.教材所处的地位和作用本节课主要研究的是矩形的概念、性质和判定。

是在学生已经掌握三角形、平行四边形的相关知识，及图形变换（对称、平移、旋转）等内容的基础上进行的，是本章的学习重点。

同时矩形不仅是特殊的平行四边形，又是后面学习正方形的基础，因此，本节知识具有承上启下的作用。

2.学情分析初三的学生思维活跃，求知欲强，已经具备一定的观察、猜想、归纳和推理能力。

此外，学生在小学已学过有关长方形的相关知识，且掌握了探究平行四边形定义、性质和判定的一般思路和方法。

这些都为本节课的学习打下了良好的基础。

3.目标分析根据以上教材分析，结合课程标准，我制定了以下四维教学目标：知识技能：掌握矩形的概念、性质和判定，理解矩形与平行四边形的区别和联系．数学思考：经历观察、探究、实验、猜想、说理验证等数学活动，发展合情推理能力，体会类比转化、数形结合的思想。

问题解决：会初步运用矩形的性质和判定来解决有关问题．情感态度：培养学生独立思考的习惯与合作交流的意识。

4.教学重点、难点根据以上教材分析，结合学生实际情况，我确定本节课的教学重点和难点为：教学重点:矩形的性质和判定方法的探究与应用。

教学难点：矩形判定方法的探究与应用。

二、教法与学法分析兴趣是学生最好的老师，为了调动学生学习的积极性，发挥学生主观能动性，使学生真正变成学习的主人。

我采取了以下教法和学法。

1.教法选择：以学生主动参与为前提，采用开放式、探究式教学方式展开教学。

2.学法指导：以学习小组为载体，学生动手实践、自主探究、合作互助。

三、教学程序数学来源于生活又应用于生活，数学在生活中无处不在。

为了贴近现实生活，把抽象问题具体化。

所以我设计了欣赏图片这一环节。

数学书九上北师习题答案数学是一门具有严密逻辑和抽象思维的学科，它不仅在我们的日常生活中起着重要的作用，而且在各个领域都有广泛的应用。

而北师大版九年级上册数学教材中的习题是帮助学生巩固知识、提高技能的重要工具。

下面，我将为大家提供一些九上北师习题的答案，希望能够对大家的学习有所帮助。

第一章：有理数1. 计算下列各题：（1）$(-3.2)+5.6+(-1.8)+4.9$解：将数按照正负号进行分类，然后相加，得到结果为$6.5$。

（2）$(-0.6)-(-2.9)-1.5$解：将减法转化为加法，即$(-0.6)+2.9-1.5$，然后按照正负号进行分类，得到结果为$0.8$。

（3）$(-0.5)\times(-3.6)\div(-1.2)$解：先计算括号里的乘法和除法，得到结果为$1.5$。

2. 下列各题中，哪些是真命题，哪些是假命题？（1）若$a>b$，则$-a<-b$。

解：真命题。

（2）若$a>b$，则$-a>b$。

解：假命题。

（3）若$a>b$，则$a^2>b^2$。

解：假命题。

第二章：代数初步1. 求下列各题中的未知数：（1）$3x+5=17$解：将方程两边同时减去5，得到$3x=12$，再将方程两边同时除以3，得到$x=4$。

（2）$2(4x-3)=10$解：先计算括号里的乘法，得到$8x-6=10$，然后将方程两边同时加上6，得到$8x=16$，再将方程两边同时除以8，得到$x=2$。

2. 求下列各题中的未知数组成的方程：（1）若某数的三倍减去5等于7，求这个数。

解：设这个数为$x$，则有$3x-5=7$，解得$x=4$。

（2）某数的四倍加上3等于11，求这个数。

解：设这个数为$x$，则有$4x+3=11$，解得$x=2$。

第三章：图形的认识1. 判断下列各题中的图形是否相似：（1）两个正方形。

解：相似。

（2）一个正方形和一个长方形。

解：不相似。

（3）一个正方形和一个圆。

北师版数学九年级上册 一道正方形数学问题的一题多解探析有许多是可以一题多解的，一题多解正是同学们知识扎实，方法灵活，综合运用等多方面能力的体现．也是培养发散思维的有效途径，下面就向同学们推荐一例．原题：如图1，正方形ABCD 的边长为2，点E 是BC 边的中点，过点B 作BG⊥AE，垂足为G ，延长BG 交AC 于点F ，则CF= ．1．过点F 向BC 构造垂线法解： 如图2所示，过点F 作FH ⊥BC ，垂足为H ，因为BG⊥AE，四边形ABCD 是正方形，所以∠AGB=∠ABE=∠EGB=90°, 所以∠BAG+∠AEB=90°, ∠GBE+∠AEB=90°,所以∠BAG=∠EBG ，所以△AGB ∽△BGE ，所以GE BG BE AB BG AG ==．因为AB=2,BE=1， 所以AG=2BG ，BG=2GE ．因为∠BGE=∠BHF=90°,∠GBE=∠HBF ，所以△BGE ∽△BHF ，所以FHGE BH BG =， 所以BH=2FH ．因为AC 是正方形的对角线，所以∠ACB=45°，所以FH=HC ，所以BH+HC=2，所以3HC=2，所以HC=32，所以CF=2HC=322．2．过点E 构造BF 的平行线法解：如图3所示，过点E 作EH ∥BF ，交AC 于点H ，由解法1知道：AG=2BG ，BG=2GE ，所以AG=4GE ．因为EH ∥BF ，所以△AGF ∽△AEH ，所以AH AF AE AG =，所以FHAF GE AG =，所以AF=4FH ． 因为EH ∥BF ，BE=EC ，所以FH=HC ，所以CF=2FH ．所以AF+FC=4FH+FC=2FC+FC=3FC ． 因为四边形ABCD 是正方形，且边长为2，所以AC=22，所以3FC=22，所以CF=322． 3.延长BF 于CD 相交，构造全等三角形法解： 如图4所示，延长BF 交CD 于点H ，因为BG⊥AE，四边形ABCD 是正方形， 所以∠AGB=∠ABE=∠EGB=90°, 所以∠BAG+∠AEB=90°, ∠GBE+∠AEB=90°,所以∠BAE=∠CBH ，∠ABE=∠BCH=90°，AB=BC ，所以△ABE ≌△BCH ，所以BE=CH ．因为BE=EC=1，所以CH=1， 我们易证△CHF ∽△ABF ，所以AB CH AF CF =，因为CH=1，AB=2，所以AF=2CF ． 所以AC=AF+CF=2CF+CF=3CF ．因为四边形ABCD 是正方形，且边长为2，所以AC=22，所以3FC=22，所以CF=322．4.过点F 作BC 的平行线法解：如图5所示，过点F 作FH ∥BC ，交AE 于点P ，交AB 于点H ，易证△BGE ∽△FHB ，所以GEBG HB FH =，由（1）知道BG=2GE ，所以FH=2BH ．因为AC 是正方形的对角线，所以∠BAC=45°，所以AH=HF ，所以AH=2BH ．因为FH ∥BC ，所以AH:HB=AF:FC,所以AF:FC=2:1，即AF=2CF ．所以AC=AF+CF=2CF+CF=3CF ．因为四边形ABCD 是正方形，且边长为2，所以AC=22，所以3FC=22，所以CF=322． 5. 过点C 构造BF 的垂线法解：如图6所示，过点C 作CH ⊥BF ，交BF 的延长线于点H ．因为BG⊥AE，所以AE ∥CH ，因为BE=EC ，所以CH=2GE ．由（1）知道AG=4GE ， 所以CH:AG=2GE:4GE=1:2．因为AE ∥CH ，所以△CFH ∽△AFG ，所以CF:AF=CH:AG=1:2即AF=2CF ．所以AC=AF+CF=2CF+CF=3CF ．因为四边形ABCD 是正方形，且边长为2，所以AC=22，所以3FC=22，所以CF=322．6.构建坐标系，利用直线解析式的交点法解：如图7所示，以B 为原点，BC 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则点A 的坐标为（0，2），点C 的坐标为（2，0），设直线AC 的解析式为y=kx+b ，所以⎩⎨⎧=+=022b k b ，解得：k=-1，b=2，所以直线AC 的解析式为：y=-x+2.过点G 作GP ⊥x 轴，垂足为P ，过点F 作FH ⊥x 轴，垂足为H ，易证PG:BP=GE:BG=1:2,所以点G 的坐标为（2a ，a ），设直线BF 的解析式为y=kx ，则a=2ak ，所以k=21，所以直线的解析式是：y=21x ，所以⎪⎩⎪⎨⎧+-==221x y x y ，解得x=34，y=32，所以FH=32,因为∠ACB=45°，所以FH=HC ，所以CF=2FH=322．同学们你还有更好的解决方法吗？写下来我们一起分享！。

列一元二次方程解几何图形问题代数、几何的综合题一直是中考的热点，用代数方法解几何问题，是初中数学的一种重要思想.在解几何题时，如果能根据几何问题中的数量关系，恰当地建立一元二次方程模型，并借助一元二次方程的相关知识来求解，定能收到事半功倍的效果.下面举例说明.一、利用勾股定理建立一元二次方程模型例1.(深圳中考题)在△ABC 中，AB 边上的中线CD=3，AB=6，BC+AC=8，则△ABC 的面积为______________________.分析：对于本题，先画出图形，判断出△ABC 为直角三角形后，再利用勾股定理建立一元二次方程模型求边长.解：如图，在△ABC 中，CD 是AB 边上的中线，∵ CD=3，AB=6，∴AD=BD=3，∴CD=AD=BD.∴∠A=∠ACD ，∠B=∠BCD.∵∠A ＋∠B ＋∠ACD ＋∠BCD=180°.∴∠A ＋∠B=90°.∴△ABC 为直角三角形，∴AC 2＋BC 2=AB 2=36.又∵BC+AC=8，∴设BC 的长为x ，则8AC x =-.∴22(8)36x x -+=，整理，得28140x x -+=. 解得42x =±.∴42BC =+，42AC =-.或42BC =-，42AC =+.∴12ABC S BC ∆=·1(42)(42)72AC =+-=. 说明：本题主要考查直角三角形中线的有关性质、一元二次方程的相关知识以及综合分析、解答问题的能力.二、利用面积公式建立一元二次方程模型例2. (辽宁十一市中考题)如图，在宽为20m ，长为32m 的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为2540m ，求道路的宽．(部分参考数据：2321024=，2522704=，2482304=)分析：本题是一道典型的列一元二次方程解决的实际应用问题.下面从两个角度给出如下的解法.解法(1)：由题意转化为右图，设道路宽为x 米.根据题意，可列出方程为()()2032540x x --=.整理得2521000x x -+=.解得150x =(舍去)，22x =.答：道路宽为2米.解法(2)：由题意转化为右图，设道路宽为x 米，根据题意列方程得： ()220322032540x x ⨯-++=.整理得：2521000x x -+=.解得：12x =，250x =(舍去).答：道路宽应是2米.说明：把不规则的图形转化为规则的图形是解决这类问题的关键所在，同时整体代换的思想方法在解题中起着化难为易的作用，同学们应该既能理解它，又会应用它.。