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１．直线与圆的位置关系（半径为r，圆心到直线的距离为d）相离相切相交图形量化方程观点Δ错误!0Δ＝0Δ错误!0几何观点d错误!r d错误!r d＜r２．圆与圆的位置关系（两圆半径为r１，r２，d＝|O１O２|）相离外切相交内切内含图形量的关系d＞r１＋r２d＝r１＋r２|r１—r２|＜d＜r１＋r２d＝|r１—r２|d＜|r１—r２|[小题体验]１．（２0１9·徐州调研）已知圆x２＋y２＝r２与圆x２＋y２＋6x—8y—１１＝0相内切，则正数r的值为________．解析：圆x２＋y２＋6x—8y—１１＝0的标准方程为（x＋３）２＋（y—４）２＝３6，圆心为（—３,４），半径为6，圆x２＋y２＝r２的圆心为（0,0），半径为r，则圆心距d＝错误!＝５．若两圆内切，则|r—6|＝５，得r—6＝５或r—6＝—５，即r＝１１或１．答案：１或１１２．直线l：３x—y—6＝0与圆x２＋y２—２x—４y＝0相交于A，B两点，则AB＝________.解析：由x２＋y２—２x—４y＝0，得（x—１）２＋（y—２）２＝５，所以该圆的圆心坐标为（１,２），半径r＝错误!，又圆心（１,２）到直线３x—y—6＝0的距离为d＝错误!＝错误!，由错误!２＝r２—d２，得AB２＝４错误!＝１0，即AB＝错误!.答案：错误!３．若直线x—y＋１＝0与圆（x—a）２＋y２＝２有公共点，则实数a的取值范围为________．解析：由题意可得，圆的圆心为（a,0），半径为错误!，所以错误!≤错误!，即|a＋１|≤２，解得—３≤a≤１．答案：[—３,１]４．若圆x２＋y２＝４与圆x２＋y２—２mx＋m２—１＝0相外切，则实数m＝________.解析：将圆x２＋y２—２mx＋m２—１＝0化成标准方程，得（x—m）２＋y２＝１，圆心为（m,0），半径r１＝１，圆x２＋y２＝４的圆心为（0,0），半径r２＝２．由两圆相外切，得|m|＝r１＋r２＝３，解得m＝±３．答案：±３１．对于圆的切线问题，尤其是圆外一点引圆的切线，易忽视切线斜率k不存在的情形．２．两圆相切问题易忽视分两圆内切与外切两种情形．[小题纠偏]１．过点（２,３）与圆（x—１）２＋y２＝１相切的直线的方程为________．解析：１若切线的斜率存在时，设圆的切线方程为y＝k（x—２）＋３，由圆心（１,0）到切线的距离为半径１，得k＝错误!，所以切线方程为４x—３y＋１＝0，２若切线的斜率不存在，则切线方程为x＝２，也是圆的切线，所以直线方程为４x—３y＋１＝0或x＝２．答案：x＝２或４x—３y＋１＝0２．若圆x２＋y２＝１与圆（x＋４）２＋（y—a）２＝２５相切，则常数a＝________.答案：±２错误!或0错误!错误![题组练透]１．（易错题）（２0１8·苏北四市调研）直线（a＋１）x＋（a—１）y＋２a＝0（a∈R）与圆x２＋y ２—２x＋２y—7＝0的位置关系是________．解析：法一：x２＋y２—２x＋２y—7＝0化为圆的标准方程为（x—１）２＋（y＋１）２＝9，故圆心坐标为（１，—１），半径r＝３，圆心到直线的距离d＝错误!＝错误!.再根据r２—d２＝9—错误!＝错误!，而7a２—４a＋7＝0的判别式Δ＝１6—１96＝—１80＜0，故有r２＞d２，即d＜r，故直线与圆相交．法二：由（a＋１）x＋（a—１）y＋２a＝0（a∈R）整理得x—y＋a（x＋y＋２）＝0，则由错误!解得x＝—１，y＝—１，即直线（a＋１）x＋（a—１）y＋２a＝0（a∈R）过定点（—１，—１），又（—１）２＋（—１）２—２×（—１）＋２×（—１）—7＝—５＜0，则点（—１，—１）在圆x２＋y２—２x＋２y—7＝0的内部，故直线（a＋１）x＋（a—１）y＋２a＝0（a∈R）与圆x２＋y２—２x＋２y—7＝0相交．答案：相交２．（２0１9·南京学情调研）在平面直角坐标系xOy中，若直线ax＋y—２＝0与圆心为C的圆（x—１）２＋（y—a）２＝１6相交于A，B两点，且△ABC为直角三角形，则实数a的值是________．解析：因为△ABC为直角三角形，所以BC＝AC＝r＝４，所以圆心C到直线AB的距离为２错误!，从而有错误!＝２错误!，解得a＝—１．答案：—１３．（２0１8·苏州高三暑假测试）已知点A（１,0）和点B（0,１），若圆x２＋y２—４x—２y＋t＝0上仅有两个不同的点P，使得△PAB的面积为错误!，则实数t的取值范围是________．解析：由题可得AB＝错误!，若△PAB的面积为错误!，则点P到直线AB的距离为错误!，圆x２＋y２—４x—２y＋t＝0的标准方程为（x—２）２＋（y—１）２＝５—t，圆心到直线AB的距离为错误!，所以错误!—错误!＜错误!＜错误!＋错误!，解得错误!＜t＜错误!.答案：错误![谨记通法]判断直线与圆的位置关系的两种方法（１）几何法：圆心到直线的距离与圆半径比较大小，即可判断直线与圆的位置关系．这种方法的特点是计算量较小．（２）代数法：将直线方程与圆方程联立方程组，再将二次方程组转化为一元二次方程，该方程解的情况即对应直线与圆的位置关系．这种方法具有一般性，适合于判断直线与圆锥曲线的位置关系，但是计算量较大，能用几何法，尽量不用代数法．错误!错误![锁定考向]与圆有关的切线及弦长问题，是近年来高考的一个热点，常见的命题角度有：（１）求圆的切线方程（切线长）；（２）求弦长；（３）由弦长或切线问题求参数．[题点全练]角度一：求圆的切线方程（切线长）１．已知圆的方程为x２＋y２＝１，则在y轴上截距为错误!的切线方程为________________．解析：在y轴上截距为错误!且斜率不存在的直线显然不是切线，故设切线方程为y＝kx＋错误!，则错误!＝１，所以k＝±１，故所求切线方程为y＝x＋错误!或y＝—x＋错误!.答案：y＝x＋错误!或y＝—x＋错误!角度二：求弦长２．若a２＋b２＝２c２（c≠0），则直线ax＋by＋c＝0被圆x２＋y２＝１所截得的弦长为________．解析：因为圆心（0,0）到直线ax＋by＋c＝0的距离d＝错误!＝错误!＝错误!，因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于错误!＝错误!，所以弦长为错误!.答案：错误!角度三：由弦长或切线问题求参数３．（２0１8·苏州期末）在平面直角坐标系xOy中，已知过点M（１，１）的直线l与圆（x＋１）２＋（y—２）２＝５相切，且与直线ax＋y—１＝0垂直，则实数a＝________.解析：因为点M在圆上，所以切线方程为（１＋１）（x＋１）＋（１—２）（y—２）＝５，即２x—y—１＝0，所以２a—１＝0，即a＝错误!.答案：错误!４．已知圆C：（x—１）２＋（y—２）２＝２截y轴所得线段与截直线y＝２x＋b所得线段的长度相等，则b＝________.解析：记圆C与y轴的两个交点分别是A，B，由圆心C到y轴的距离为１，CA＝CB＝错误!可知，圆心C（１,２）到直线２x—y＋b＝0的距离也等于１才符合题意，于是错误!＝１，解得b＝±错误!.答案：±错误![通法在握]１．圆的切线方程的２种求法（１）代数法：设切线方程为y—y0＝k（x—x0），与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k.（２）几何法：设切线方程为y—y0＝k（x—x0），利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k.[提醒] 若点M（x0，y0）在圆x２＋y２＝r２上，则过M点的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r２.２．弦长的２种求法（１）代数法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长．（２）几何法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝２错误!.[演练冲关]１．（２0１9·启东检测）已知点P是直线y＝x上一个动点，过点P作圆（x＋２）２＋（y—２）２＝１的切线，切点为T，则线段PT长度的最小值为________．解析：圆心C（—２,２），半径r＝１，则切线长PT＝错误!.要使PT最小，只需PC最小即可，此时CP垂直于直线y＝x，则C到直线x—y＝0的距离d＝错误!＝错误!＝２错误!，此时PT＝错误!＝错误!，故线段PT长度的最小值为错误!.答案：错误!２．过原点且与直线错误!x—错误!y＋１＝0平行的直线l被圆x２＋（y—错误!）２＝7所截得的弦长为________．解析：由题意可得l的方程为错误!x—y＝0，因为圆心（0，错误!）到l的距离d＝错误!＝１，所以所求弦长l＝２错误!＝２错误!＝２错误!.答案：２错误!３．已知点A（１，a），圆x２＋y２＝４．（１）若过点A的圆的切线只有一条，求a的值及切线方程；（２）若过点A且在两坐标轴上截距相等的直线与圆相切，求a的值及切线方程．解：（１）由于过点A的圆的切线只有一条，则点A在圆上，故１２＋a２＝４，得a＝±错误!.当a＝错误!，即A（１，错误!）时，切线的斜率为—错误!，故切线方程为y—错误!＝—错误!（x—１），即x＋错误!y—４＝0，当a＝—错误!，即A（１，—错误!）时，切线的斜率为错误!，故切线的方程为y＋错误!＝错误!（x—１），即x—错误!y—４＝0．所以a＝错误!时，切线方程为x＋错误!y—４＝0，a＝—错误!时，切线方程为x—错误!y—４＝0．（２）设直线方程为x＋y＝b，由于直线过点A，所以１＋a＝b，所以直线方程为x＋y＝１＋a，即x＋y—a—１＝0．又直线与圆相切，所以d＝错误!＝２，所以a＝±２错误!—１．所以切线方程为x＋y＋２错误!＝0或x＋y—２错误!＝0．错误!错误![典例引领]１．（２0１9·常州调研）若圆O：x２＋y２＝１0与圆M：（x—a）２＋y２＝90（a＞0）相交于A，B 两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是________．解析：由题意得，O（0,0），r１＝错误!，M（a,0），r２＝３错误!，∴２错误!＜|a|＜４错误!.∵OA⊥MA，∴在Rt△AOM中，根据勾股定理，得OM２＝OA２＋MA２，即a２＝（错误!）２＋（３错误!）２＝１00，∴a＝１0或a＝—１0（不合题意，舍去），则线段AB的长度为错误!＝错误!＝6．答案：6２．（２0１8·南京、盐城、连云港、徐州二模）已知圆O：x２＋y２＝１，动圆M：（x—a）２＋（y—a ＋４）２＝１．若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB＝60°，则实数a的取值范围为________．解析：由题意得圆心M（a，a—４）在直线x—y—４＝0上运动，所以动圆M是圆心在直线x—y—４＝0上，半径为１的圆．又因为圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使∠APB＝60°，所以OP＝２，即点P也在x２＋y２＝４上，于是２—１≤错误!≤２＋１，即１≤错误!≤３，解得２—错误!≤a≤２＋错误!，故实数a的取值范围是错误!.答案：错误![由题悟法]圆与圆位置关系问题的解题策略（１）处理两圆位置关系多用圆心距与半径和或差的关系判断，一般不采用代数法．（２）若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到．[即时应用]１．已知圆x２＋y２＝9与圆x２＋y２—４x＋２y—３＝0相交于A，B两点，则线段AB的长为________．解析：由题意，两圆的公共弦为２x—y—３＝0，∵圆x２＋y２＝9的圆心坐标为（0,0），半径为３，∴圆心到直线的距离d＝错误!，∴线段AB的长为２错误!＝错误!.答案：错误!２．（２0１9·镇江模拟）若圆C１：x２＋y２＝１与圆C２：x２＋y２—6x—8y＋m＝0外切，则m＝________.解析：圆C１的圆心为C１（0,0），半径r１＝１，因为圆C２的方程可化为（x—３）２＋（y—４）２＝２５—m，所以圆C２的圆心为C２（３,４），半径r２＝错误!（m＜２５）．从而C１C２＝错误!＝５．由两圆外切，得C１C２＝r１＋r２，即１＋错误!＝５，解得m＝9．答案：9一抓基础，多练小题做到眼疾手快１．（２0１8·扬州期末）已知直线l：x＋错误!y—２＝0与圆C：x２＋y２＝４交于A，B两点，则弦AB的长为________．解析：圆心C（0,0）到直线l的距离d＝错误!＝１，所以AB＝２错误!＝２错误!，故弦AB的长为２错误!.答案：２错误!２．（２0１9·南京调研）在平面直角坐标系xOy中，直线x＋２y＝0与圆（x—３）２＋（y—１）２＝２５相交于A，B两点，则线段AB的长为________．解析：圆（x—３）２＋（y—１）２＝２５的圆心坐标为（３,１），半径为５．∵圆心（３,１）到直线x＋２y＝0的距离d＝错误!＝错误!，∴线段AB的长为２错误!＝２错误!＝４错误!.答案：４错误!３．设圆（x—３）２＋（y＋５）２＝r２（r＞0）上有且仅有两个点到直线４x—３y—２＝0的距离等于２，则圆半径r的取值范围为________．解析：∵圆（x—３）２＋（y＋５）２＝r２（r＞0）的圆心坐标为（３，—５），半径为r，∴圆心（３，—５）到直线４x—３y—２＝0的距离d＝错误!＝５，∵圆（x—３）２＋（y＋５）２＝r２（r＞0）上有且仅有两个点到直线４x—３y—２＝0的距离等于２，∴|r—５|＜２，解得３＜r＜7．答案：（３,7）４．（２0１8·苏锡常镇调研）若直线３x＋４y—m＝0与圆x２＋y２＋２x—４y＋４＝0始终有公共点，则实数m的取值范围是________．解析：圆的标准方程为（x＋１）２＋（y—２）２＝１，故圆心到直线的距离d＝错误!≤１．即|m—５|≤５，解得0≤m≤１0．答案：[0,１0]５．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x２＋y２—6x＋５＝0的圆心为C，点A，B在圆C上，且AB＝２错误!，则S△ABC＝________.解析：圆C：x２＋y２—6x＋５＝0化为标准方程得（x—３）２＋y２＝４，圆心为（３,0），半径为２．∵点A，B在圆C上，且AB＝２错误!，∴圆心（３,0）到直线AB的距离为错误!＝１，∴S△ABC＝错误!×２错误!×１＝错误!.答案：错误!6．若圆x２＋y２＋mx—错误!＝0与直线y＝—１相切，其圆心在y轴的左侧，则m＝________.解析：圆的标准方程为错误!２＋y２＝错误!２，圆心到直线y＝—１的距离错误!＝|0—（—１）|，解得m＝±错误!，因为圆心在y轴的左侧，所以m＝错误!.答案：错误!二保高考，全练题型做到高考达标１．（２0１9·苏北四市调研）在平面直角坐标系xOy中，若点A到原点的距离为２，到直线错误!x ＋y—２＝0的距离为１，则满足条件的点A的个数为________．解析：如图，作出直线错误!x＋y—２＝0，作出以原点为圆心，以２为半径的圆，∵原点O到直线错误!x＋y—２＝0的距离为１，∴在直线错误!x＋y—２＝0的右上方有一点满足到原点的距离为２，到直线错误!x＋y—２＝0的距离为１，过原点作直线错误!x＋y—２＝0的平行线，交圆于两点，则两交点满足到原点的距离为２，到直线错误!x＋y—２＝0的距离为１．故满足条件的点A共３个．答案：３２．（２0１8·苏州调研）两圆交于点A（１,３）和B（m,１），两圆的圆心都在直线x—y＋错误!＝0上，则m＋c＝________.解析：由题意可知线段AB的中点错误!在直线x—y＋错误!＝0上，代入得m＋c＝３．答案：３３．（２0１8·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调）在平面直角坐标系xOy中，过点P（—２,0）的直线与圆x２＋y２＝１相切于点T，与圆（x—a）２＋（y—错误!）２＝３相交于点R，S，且PT＝RS，则正数a的值为________．解析：因为PT与圆x２＋y２＝１相切于点T，所以在Rt△OPT中，OT＝１，OP＝２，∠OTP＝错误!，从而∠OPT＝错误!，PT＝错误!，故直线PT的方程为x±错误!y＋２＝0，因为直线PT截圆（x—a）２＋（y—错误!）２＝３得弦长RS＝错误!，设圆心到直线的距离为d，则d＝错误!，又错误!＝２错误!，即d＝错误!，即|a±３＋２|＝３，解得a＝—8或a＝—２或a＝４，因为a＞0，所以a＝４．答案：４４．（２0１8·无锡模拟）已知圆C：（x—２）２＋y２＝４，线段EF在直线l：y＝x＋１上运动，点P 为线段EF上任意一点，若圆C上存在两点A，B，使得错误!·错误!≤0，则线段EF长度的最大值是________．解析：由错误!·错误!≤0得∠APB≥90°，从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时，∠APB才是最大的角，不妨设切线为PM，PN，当∠APB≥90°时，∠MPN≥90°，sin∠MPC＝错误!≥sin ４５°＝错误!，所以PC≤２错误!.另当过点P，C的直线与直线l：y＝x＋１垂直时，PC min ＝错误!，以C为圆心，CP＝２错误!为半径作圆交直线l于E，F两点，这时的线段长即为线段EF长度的最大值，所以EF max＝２错误!＝错误!.答案：错误!５．（２0１9·镇江调研）若圆O：x２＋y２＝５与圆O１：（x—m）２＋y２＝２0（m∈R）相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是________．解析：如图，因为圆O１与圆O在A处的切线互相垂直，则两切线分别过另一圆的圆心，所以O１A⊥OA. 又因为OA＝错误!，O１A＝２错误!，所以OO１＝５．又A，B关于OO１对称，所以AB为Rt△OAO１斜边上高的２倍．由错误!·OA·O１A＝错误!OO１·AC，得AC＝２．所以AB＝４．答案：４6．（２0１8·淮阴期末）圆C１：x２＋y２＋２ax＋a２—４＝0和圆C２：x２＋y２—２by＋b２—１＝0相内切，若a，b∈R，且ab≠0，则错误!＋错误!的最小值为________．解析：由题意，两圆的标准方程分别为（x＋a）２＋y２＝４，x２＋（y—b）２＝１，∴圆心分别为（—a,0），（0，b），半径分别为２和１．∵两圆相内切，∴错误!＝１，∴a２＋b２＝１，∴错误!＋错误!＝错误!（a２＋b２）＝５＋错误!＋错误!≥５＋４＝9，当且仅当错误!＝错误!，即a２＝错误!，b２＝错误!时等号成立．故错误!＋错误!的最小值为9．答案：97．（２0１8·苏北四市期末）已知A，B是圆C１：x２＋y２＝１上的动点，AB＝错误!，P是圆C２：（x—３）２＋（y—４）２＝１上的动点，则|错误!＋错误!|的取值范围为________．解析：如图，因为A，B是圆C１：x２＋y２＝１上的动点，AB＝错误!，所以线段AB的中点H在圆O：x２＋y２＝错误!上，且|错误!＋错误!|＝２|错误!|.因为点P是圆C２：（x—３）２＋（y—４）２＝１上的动点，所以５—错误!≤|错误!|≤５＋错误!，即错误!≤|错误!|≤错误!，所以7≤２|错误!|≤１３，从而|错误!＋错误!|的取值范围为[7,１３]．答案：[7,１３]8．（２0１9·淮安模拟）已知圆O：x２＋y２＝１．若直线y＝错误!x＋２上总存在点P，使得过点P 的圆O的两条切线互相垂直，则实数k的最小值为________．解析：圆O的圆心为O（0,0），半径r＝１．设两个切点分别为A，B，则由题意可得四边形PAOB 为正方形，故有PO＝错误!r＝错误!，∴圆心O到直线y＝错误!x＋２的距离小于或等于PO＝错误!，即错误!≤错误!，即１＋k≥２，解得k≥１，∴实数k的最小值为１．答案：１9．已知圆C经过点A（２，—１），和直线x＋y＝１相切，且圆心在直线y＝—２x上．（１）求圆C的方程；（２）已知直线l经过原点，并且被圆C截得的弦长为２，求直线l的方程．解：（１）设圆心的坐标为C（a，—２a），则错误!＝错误!.化简，得a２—２a＋１＝0，解得a＝１．所以C（１，—２），半径r＝|AC|＝错误!＝错误!.所以圆C的方程为（x—１）２＋（y＋２）２＝２．（２）１当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，此时直线l被圆C截得的弦长为２，满足条件．２当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx，由题意得错误!＝１，解得k＝—错误!，所以直线l的方程为y＝—错误!x.综上所述，直线l的方程为x＝0或３x＋４y＝0．１0．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x２＋y２—４x＝0及点A（—１，0），B（１,２）．（１）若直线l∥AB，与圆C相交于M，N两点，MN＝AB，求直线l的方程；（２）在圆C上是否存在点P，使得PA２＋PB２＝１２？若存在，求点P的个数；若不存在，请说明理由．解：（１）圆C的标准方程为（x—２）２＋y２＝４，所以圆心C（２,0），半径为２．因为l∥AB，A（—１,0），B（１,２），所以直线l的斜率为错误!＝１，设直线l的方程为x—y＋m＝0，则圆心C到直线l的距离为d＝错误!.因为MN＝AB＝错误!＝２错误!，而CM２＝d２＋错误!２，所以４＝错误!＋２，解得m＝0或m＝—４，故直线l的方程为x—y＝0或x—y—４＝0．（２）假设圆C上存在点P，设P（x，y），则（x—２）２＋y２＝４，PA２＋PB２＝（x＋１）２＋（y—0）２＋（x—１）２＋（y—２）２＝１２，即x２＋y２—２y—３＝0，即x２＋（y—１）２＝４．因为|２—２|＜错误!＜２＋２，所以圆（x—２）２＋y２＝４与圆x２＋（y—１）２＝４相交，所以点P的个数为２．三上台阶，自主选做志在冲刺名校１．（２0１9·苏州调研）过曲线y＝２|x—a|＋x—a上的点P向圆O：x２＋y２＝１作两条切线PA，PB，切点为A，B，且∠APB＝60°，若这样的点P有且只有两个，则实数a的取值范围是________．解析：根据题意，若经过点P作圆O：x２＋y２＝１的两条切线，切点为A，B，且∠APB＝60°，则∠OPA＝３0°，所以PO＝２AO＝２，故点P的轨迹方程为x２＋y２＝４．y＝２|x—a|＋x—a＝错误!当x≤a时，曲线为x＋y—a＝0，当x≥a时，曲线为３x—y—３a＝0．故当a＜0时，若这样的点P有且只有两个，必有错误!＜２，即—错误!＜２，解得a＞—错误!，即—错误!＜a＜0；当a＝0时，曲线为y＝２|x|＋x＝错误!符合题意；当a＞0时，若这样的点P有且只有两个，必有错误!＜２，解得a＜２错误!，即0＜a＜２错误!，综上，实数a的取值范围是错误!.答案：错误!２．（２0１8·苏锡常镇调研）在平面直角坐标系xOy中，过点M（１,0）的直线l与圆x２＋y２＝５交于A，B两点，其中点A在第一象限，且错误!＝２错误!，则直线l的方程为__________．解析：法一：易知直线l的斜率存在，设l：y＝k（x—１）．由错误!＝２错误!，可设BM＝２t，MA＝t，如图，过原点O作OH⊥l于点H，则BH＝错误!.设OH＝d，在Rt△OBH中，d２＋错误!２＝r２＝５，在Rt△OMH中，d２＋错误!２＝OM２＝１，解得d２＝错误!.所以d２＝错误!＝错误!，解得k＝１或k＝—１，因为点A在第一象限，错误!＝２错误!，由图知k＝１，所以直线l的方程为y＝x—１，即x—y—１＝0．法二：设A（x１，y１），B（x２，y２），所以错误!＝（x１—１，y１），错误!＝（１—x２，—y２）．因为错误!＝２错误!，所以错误!即错误!又x错误!＋y错误!＝５，所以（２x１—３）２＋４y错误!＝５，联立错误!解得x１＝２，代入可得y１＝±１，又点A在第一象限，故A（２,１），所以直线l的方程为y＝x—１，即x—y—１＝0．答案：x—y—１＝0３．已知圆C１：（x＋１）２＋y２＝１和圆C２：（x—４）２＋y２＝４．（１）过点C１作圆C２的切线，求该切线方程；（２）过圆心C１作倾斜角为θ的直线l交圆C２于A，B两点，且A为C１B的中点，求sin θ；（３）过点P（m,１）引圆C２的两条割线l１和l２.直线l１和l２被圆C２截得的弦的中点分别为M，N，试问过点P，M，N，C２的圆是否过定点（异于点C２）？若过定点，求出该定点；若不过定点，说明理由．解：（１）显然切线的斜率存在，设切线方程为y＝k（x＋１），由题意得错误!＝２，解得k＝±错误!，所以所求直线方程为y＝±错误!（x＋１），即２x±错误!y＋２＝0．（２）设直线l的方程为y＝k（x＋１），则圆心C２到直线l的距离d＝错误!，设AB的中点为R，则AR＝错误!＝错误!AB＝错误!C１R＝错误!错误!，解得d２＝错误!.在Rt△C１RC２中，sin θ＝错误!＝错误!＝错误!.（３）依题意，过点P，M，N，C２的圆即为以PC２为直径的圆，所以（x—４）（x—m）＋（y—１）（y—0）＝0，即x２—（m＋４）x＋４m＋y２—y＝0，整理成关于实数m的等式（４—x）m＋x２—４x＋y２—y＝0恒成立，则错误!所以错误!或错误!（舍去）．即存在定点（４,１）．命题点一直线与方程、两条直线的位置关系１．（２0１7·北京高考）已知x≥0，y≥0，且x＋y＝１，则x２＋y２的取值范围是________．解析：依题意，x２＋y２可视为原点到线段x＋y—１＝0（x≥0，y≥0）上的点的距离的平方，如图所示，故（x２＋y２）min＝错误!２＝错误!，（x２＋y２）max＝|OA|２＝|OB|２＝１，故x２＋y２∈错误!.答案：错误!２．（２0１５·山东高考改编）一条光线从点（—２，—３）射出，经y轴反射后与圆（x＋３）２＋（y—２）２＝１相切，则反射光线所在直线的斜率为________．解析：由已知，得点（—２，—３）关于y轴的对称点为（２，—３），由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点（２，—３）．设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y＋３＝k（x—２），即kx—y—２k—３＝0．由反射光线与圆相切，则有d＝错误!＝１，解得k＝—错误!或k＝—错误!.答案：—错误!或—错误!３．（２0１6·上海高考）已知平行直线l１：２x＋y—１＝0，l２：２x＋y＋１＝0，则l１与l２的距离是________．解析：由两平行线间的距离公式得d＝错误!＝错误!.答案：错误!命题点二圆的方程、直线与圆的位置关系１．（２0１7·江苏高考）在平面直角坐标系xOy中，A（—１２,0），B（0,6），点P在圆O：x２＋y２＝５0上．若错误!·错误!≤２0，则点P的横坐标的取值范围是________．解析：设P（x，y），则错误!·错误!＝（—１２—x，—y）·（—x,6—y）＝x（x＋１２）＋y（y—6）≤２0．又x２＋y２＝５0，所以２x—y＋５≤0，所以点P在直线２x—y＋５＝0的上方（包括直线上）．又点P在圆x２＋y２＝５0上，由错误!解得x＝—５或x＝１，结合图象，可得—５错误!≤x≤１，故点P的横坐标的取值范围是[—５错误!，１]．答案：[—５错误!，１]２．（２0１8·全国卷Ⅲ改编）直线x＋y＋２＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x—２）２＋y２＝２上，则△ABP面积的取值范围是________．解析：设圆（x—２）２＋y２＝２的圆心为C，半径为r，点P到直线x＋y＋２＝0的距离为d，则圆心C（２,0），r＝错误!，所以圆心C到直线x＋y＋２＝0的距离为错误!＝２错误!，可得d max＝２错误!＋r＝３错误!，d min＝２错误!—r＝错误!.由已知条件可得|AB|＝２错误!，所以△ABP面积的最大值为错误!×|AB|×d max＝6，△ABP面积的最小值为错误!×|AB|×d min＝２．综上，△ABP面积的取值范围是[２,6]．答案：[２,6]３．（２0１8·北京高考改编）在平面直角坐标系中，记d为点P（cos θ，sin θ）到直线x—my—２＝0的距离，当θ，m变化时，d的最大值为________．解析：由题知点P（cos θ，sin θ）是单位圆x２＋y２＝１上的动点，所以点P到直线x—my—２＝0的距离可转化为单位圆上的点到直线的距离．又直线x—my—２＝0恒过点（２,0），所以当m变化时，圆心（0,0）到直线x—my—２＝0的距离错误!的最大值为２，所以点P到直线x—my—２＝0的距离的最大值为３，即d的最大值为３．答案：３４．（２0１8·全国卷Ⅰ）直线y＝x＋１与圆x２＋y２＋２y—３＝0交于A，B两点，则|AB|＝________.解析：由x２＋y２＋２y—３＝0，得x２＋（y＋１）２＝４．∴圆心C（0，—１），半径r＝２．圆心C（0，—１）到直线x—y＋１＝0的距离d＝错误!＝错误!，∴|AB|＝２错误!＝２错误!＝２错误!.答案：２错误!５．（２0１7·全国卷Ⅲ）在直角坐标系xOy中，曲线y＝x２＋mx—２与x轴交于A，B两点，点C 的坐标为（0,１），当m变化时，解答下列问题：（１）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；（２）证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．解：（１）不能出现AC⊥BC的情况，理由如下：设A（x１,0），B（x２,0），则x１，x２满足x２＋mx—２＝0，所以x１x２＝—２．又C的坐标为（0,１），故AC的斜率与BC的斜率之积为错误!·错误!＝—错误!，所以不能出现AC⊥BC的情况．（２）证明：由（１）知BC的中点坐标为错误!，可得BC的中垂线方程为y—错误!＝x２错误!.由（１）可得x１＋x２＝—m，所以AB的中垂线方程为x＝—错误!.联立错误!可得错误!所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为错误!，半径r＝错误!.故圆在y轴上截得的弦长为２错误!＝３，即过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．6．（２0１6·江苏高考）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x２＋y２—１２x—１４y＋60＝0及其上一点A（２,４）．（１）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；（２）设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程；（３）设点T（t,0）满足：存在圆M上的两点P和Q，使得错误!＋错误!＝错误!，求实数t的取值范围．解：圆M的标准方程为（x—6）２＋（y—7）２＝２５，所以圆心M（6,7），半径为５．（１）由圆心N在直线x＝6上，可设N（6，y0）．因为圆N与x轴相切，与圆M外切，所以0＜y0＜7，圆N的半径为y0，从而7—y0＝５＋y0，解得y0＝１．因此，圆N的标准方程为（x—6）２＋（y—１）２＝１．（２）因为直线l∥OA，所以直线l的斜率为错误!＝２．设直线l的方程为y＝２x＋m，即２x—y＋m＝0，则圆心M到直线l的距离d＝错误!＝错误!.因为BC＝OA＝错误!＝２错误!，而MC２＝d２＋错误!２，所以２５＝错误!＋５，解得m＝５或m＝—１５．故直线l的方程为２x—y＋５＝0或２x—y—１５＝0．（３）设P（x１，y１），Q（x２，y２）．因为A（２,４），T（t,0），错误!＋错误!＝错误!，所以错误!１因为点Q在圆M上，所以（x２—6）２＋（y２—7）２＝２５．２将１代入２，得（x１—t—４）２＋（y１—３）２＝２５．于是点P（x１，y１）既在圆M上，又在圆[x—（t＋４）]２＋（y—３）２＝２５上，从而圆（x—6）２＋（y—7）２＝２５与圆[x—（t＋４）]２＋（y—３）２＝２５有公共点，所以５—５≤错误!≤５＋５，解得２—２错误!≤t≤２＋２错误!.因此，实数t的取值范围是[２—２错误!，２＋２错误!]．。
高考数学大一轮复习 9.4直线、圆的位置关系学案理苏教版1、能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系、2、能用直线和圆的方程解决一些简单的问题、3、在学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想、自主梳理1、直线与圆的位置关系位置关系有三种：________、________、________、判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法：①代数法：利用判别式Δ，即直线方程与圆的方程联立方程组消去x或y整理成一元二次方程后，计算判别式Δ＝b2－4ac②几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：d<r⇔________，d＝r⇔________，d>r⇔________、2、圆的切线方程若圆的方程为x2＋y2＝r2，点P(x0，y0)在圆上，则过P点且与圆x2＋y2＝r2相切的切线方程为______________________、注：点P必须在圆x2＋y2＝r2上、经过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上点P(x0，y0)的切线方程为________________________、3、计算直线被圆截得的弦长的常用方法(1)几何方法运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算、(2)代数方法运用韦达定理及弦长公式AB＝|xA－xB|＝、说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法、4、圆与圆的位置关系(1)圆与圆的位置关系可分为五种：________、________、________、________、________、判断圆与圆的位置关系常用方法：(几何法)设两圆圆心分别为O1、O2，半径为r1、r2 (r1≠r2)，则O1O2>r1＋r2________；O1O2＝r1＋r2________；|r1－r2|<O1O2<r1＋r2________；O1O2＝|r1－r2|________；0≤|O1O2|<|r1－r2|________、(2)已知两圆x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则与两圆共交点的圆系方程为_________________________________________________________ ___，其中λ为λ≠－1的任意常数，因此圆系不包括第二个圆、当λ＝－1时，为两圆公共弦所在的直线，方程为(D1－D2)x ＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0、自我检测1、(xx江西)直线y＝kx＋3与圆(x－3)2＋(y－2)2＝4相交于M，N两点，若MN≥2，则k的取值范围是________、2、圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，)处的切线方程为______________、3、圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有________条、4、过点(0,1)的直线与x2＋y2＝4相交于A、B两点，则AB的最小值为________、5、若P(2，－1)为圆C：(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是______________、探究点一直线与圆的位置关系例1 已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0、(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；(2)从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有PM＝PO，求使得PM取得最小值时点P的坐标、变式迁移1 从圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1外一点P(2,3)向该圆引切线，求切线的方程及过两切点的直线方程、探究点二圆的弦长、中点弦问题例2 已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0、(1)若直线l过点P且被圆C截得的线段长为4，求l的方程；(2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程、变式迁移2 已知圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0和直线kx－y－4k＋3＝0、(1)证明：不论k取何值，直线和圆总有两个不同交点；(2)求当k取什么值时，直线被圆截得的弦最短，并求这条最短弦的长、探究点三圆与圆的位置关系例3 已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，m为何值时，(1)圆C1与圆C2相外切；(2)圆C1与圆C2内含、变式迁移3 已知⊙A：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，⊙B：x2＋y2－2ax－2by＋a2－1＝0、当a，b变化时，若⊙B始终平分⊙A的周长，求：(1)⊙B的圆心B的轨迹方程；(2)⊙B的半径最小时圆的方程、探究点四综合应用例4 已知圆C：x2＋y2－2x＋4y －4＝0、问在圆C上是否存在两点A、B关于直线y＝kx－1对称，且以AB为直径的圆经过原点？若存在，写出直线AB的方程；若不存在，说明理由、变式迁移4 已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y －3)2＝1相交于M、N两点、(1)求实数k的取值范围；(2)若O为坐标原点，且＝12，求k的值、1、求切线方程时，若知道切点，可直接利用公式；若过圆外一点求切线，一般运用圆心到直线的距离等于半径来求，但注意有两条、2、解决与弦长有关的问题时，注意运用由半径、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形，也可以运用弦长公式、这就是通常所说的“几何法”和“代数法”、3、判断两圆的位置关系，从圆心距和两圆半径的关系入手、(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1、直线l：y－1＝k(x－1)和圆x2＋y2－2y＝0的位置关系是________、2、直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－2＝0相切，则实数m＝______________、3、过原点且倾斜角为60的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为________、4、若圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上有且仅有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离为1，则半径r的取值范围是______________、5、若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的长为2，则a＝________、6、已知点A是圆C：x2＋y2＋ax＋4y－5＝0上任意一点，A点关于直线x＋2y－1＝0的对称点也在圆C上，则实数a＝________、7、设直线3x＋4y－5＝0与圆C1：x2＋y2＝4交于A，B两点，若圆C2的圆心在线段AB上，且圆C2与圆C1相切，切点在圆C1的劣弧上，则圆C2的半径的最大值是________、8、(xx全国Ⅰ改编)已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值为____________、二、解答题(共42分)9、(14分)圆x2＋y2＝8内一点P(－1,2)，过点P的直线l 的倾斜角为α，直线l交圆于A、B两点、(1)当α＝时，求AB的长；(2)当弦AB被点P平分时，求直线l的方程、10、(14分)自点A(－3,3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求光线l所在直线的方程、11、(14分)已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x －12y＋m＝0、求：(1)m取何值时两圆外切？(2)m取何值时两圆内切？(3)m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长、学案48 直线、圆的位置关系答案自主梳理1、相切相交相离①相交相切相离②相交相切相离2、x0x＋y0y＝r2 (x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r24、(1)外离外切相交内切内含外离外切相交内切内含(2)(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1)＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0自我检测1、2、x－y＋2＝03、24、25、x－y－3＝0课堂活动区例1 解题导引(1)过点P作圆的切线有三种类型：当P在圆外时，有2条切线；当P在圆上时，有1条切线；当P在圆内时，不存在、(2)利用待定系数法设圆的切线方程时，一定要注意直线方程的存在性，有时要进行恰当分类、(3)切线长的求法：过圆C外一点P作圆C的切线，切点为M，半径为R，则PM＝、解(1)将圆C配方得(x＋1)2＋(y－2)2＝2、①当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y＝kx，由＝，解得k＝2，得y＝(2)x、②当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为x＋y－a＝0，由＝，得|a－1|＝2，即a＝－1，或a＝3、∴直线方程为x＋y＋1＝0，或x＋y－3＝0、综上，圆的切线方程为y＝(2＋)x，或y＝(2－)x，或x＋y＋1＝0，或x＋y －3＝0、(2)由PO＝PM，得x＋y＝(x1＋1)2＋(y1－2)2－2，整理得2x1－4y1＋3＝0、即点P在直线l：2x－4y＋3＝0上、当PM取最小值时，即OP取得最小值，直线OP⊥l，∴直线OP的方程为2x＋y＝0、解方程组得点P的坐标为、变式迁移1 解设圆切线方程为y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0，∴1＝，∴k＝，另一条斜率不存在，方程为x＝2、∴切线方程为x＝2和3x－4y＋6＝0、圆心C为(1,1)，∴kPC＝＝2，∴过两切点的直线斜率为－，又x＝2与圆交于(2,1)，∴过切点的直线为x＋2y－4＝0、例2 解题导引(1)有关圆的弦长的求法：已知直线的斜率为k，直线与圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，点C到l的距离为d，圆的半径为r、方法一代数法：弦长AB＝|x2－x1|＝；方法二几何法：弦长AB＝2、(2)有关弦的中点问题：圆心与弦的中点连线和已知直线垂直，利用这条性质可确定某些等量关系、解(1)如图所示，AB ＝4，取AB的中点D，连结CD，则CD⊥AB，连结AC、BC，则AD＝2，AC＝4，在Rt△ACD中，可得CD＝2、当直线l的斜率存在时，设所求直线的斜率为k，则直线的方程为y－5＝kx，即kx－y＋5＝0、由点C到直线AB的距离公式，得＝2，解得k＝、当k＝时，直线l的方程为3x－4y＋20＝0、又直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x＝0、∴所求直线的方程为3x－4y＋20＝0或x＝0、(2)设过P点的圆C的弦的中点为D(x，y)，则CD⊥PD，即＝0，(x＋2，y－6)(x，y－5)＝0，化简得所求轨迹方程为x2＋y2＋2x－11y＋30＝0、变式迁移2 (1)证明由kx－y－4k＋3＝0，得(x－4)k－y＋3＝0、∴直线kx－y－4k＋3＝0过定点P(4,3)、由x2＋y2－6x－8y＋21＝0，即(x－3)2＋(y－4)2＝4，又(4－3)2＋(3－4)2＝2<4、∴直线和圆总有两个不同的交点、(2)解kPC＝＝－1、可以证明与PC垂直的直线被圆所截得的弦AB最短，因此过P点斜率为1的直线即为所求，其方程为y－3＝x－4，即x－y －1＝0、PC＝＝，∴AB＝2＝2、例3 解题导引圆和圆的位置关系，从交点个数也就是方程组解的个数来判断，有时得不到确切的结论，通常还是从圆心距d与两圆半径和、差的关系入手、解对于圆C1与圆C2的方程，经配方后C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9；C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4、(1)如果C1与C2外切，则有＝3＋2、(m＋1)2＋(m＋2)2＝25、m2＋3m－10＝0，解得m＝－5或m＝2、(2)如果C1与C2内含，则有<3－2、(m＋1)2＋(m＋2)2<1，m2＋3m＋2<0，得－2<m<－1，∴当m＝－5或m＝2时，圆C1与圆C2外切；当－2<m<－1时，圆C1与圆C2内含、变式迁移3 解(1)两圆方程相减得公共弦方程2(a＋1)x＋2(b＋1)y－a2－1＝0、①依题意，公共弦应为⊙A的直径，将(－1，－1)代入①得a2＋2a＋2b＋5＝0、②设圆B的圆心为(x，y)，∵，∴其轨迹方程为x2＋2x＋2y＋5＝0、(2)⊙B方程可化为(x－a)2＋(y－b)2＝1＋b2、由②得b＝－[(a＋1)2＋4]≤－2，∴b2≥4，b2＋1≥5、当a＝－1，b＝－2时，⊙B半径最小，∴⊙B方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝5、例4 解题导引这是一道探索存在性问题，应先假设存在圆上两点关于直线对称，由垂径定理可知圆心应在直线上，以AB为直径的圆经过原点O，应联想直径所对的圆周角为直角利用斜率或向量来解决、因此能否将问题合理地转换是解题的关键、解圆C的方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，圆心为C(1，－2)、假设在圆C上存在两点A、B，则圆心C(1，－2)在直线y＝kx－1上，即k＝－1、于是可知，kAB＝1、设lAB：y＝x＋b，代入圆C的方程，整理得2x2＋2(b＋1)x＋b2＋4b－4＝0，Δ＝4(b＋1)2－8(b2＋4b－4)>0，b2＋6b－9<0，解得－3－3<b<－3＋3、设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－b－1，x1x2＝b2＋2b－2、由O A⊥OB，知x1x2＋y1y2＝0，也就是x1x2＋(x1＋b)(x2＋b)＝0，∴2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝0，∴b2＋4b－4－b2－b＋b2＝0，化简得b2＋3b－4＝0，解得b＝－4或b＝1，均满足Δ>0、即直线AB的方程为x－y－4＝0，或x－y＋1＝0、变式迁移4 解(1)∵直线l过点A(0,1)且斜率为k，∴直线l的方程为y＝kx＋1、将其代入圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1，得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0、①由题意：Δ＝[－4(1＋k)]2－4(1＋k2)7>0，得<k<、(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由①得，∴＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＋8＝12⇒k＝1(经检验符合题意)，∴k＝1、课后练习区1、相交2、－3或3、2解析如图所示，x2＋y2－4y＝0⇔x2＋(y－2)2＝4，∴A(0,2)，OA＝2，A到直线l：y＝x的距离是AN＝1，∴ON＝，∴弦长OJ＝2、4、(4,6)5、16、－107、1解析圆C1的圆心C1(0,0)到直线3x＋4y－5＝0的距离为＝1，圆C1的半径为2，弧上的点到直线3x＋4y－5＝0距离最大为2－1＝1，因此圆C2的半径最大为1、8、－3＋2解析设∠APB＝2θ，则∠APO＝∠BPO＝θ，＝()2cos2θ＝cos2θ＝(1－2sin2θ)＝＋2sin2θ－3≥2－3，当且仅当＝2sin2θ，即sin2θ＝时取等号、9、解(1)当α＝时，kAB＝－1，直线AB的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0、(3分)故圆心(0,0)到AB的距离d＝＝，从而弦长AB＝2 ＝、(7分)(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－2，y1＋y2＝4、由两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0，即－2(x1－x2)＋4(y1－y2)＝0，∴kAB＝＝、(12分)∴直线l 的方程为y－2＝(x＋1)，即x－2y＋5＝0、(14分)10、解已知圆C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0关于x轴对称的圆为C1：(x－2)2＋(y＋2)2＝1，其圆心C1的坐标为(2，－2)，半径为1，由光的反射定律知，入射光线所在直线方程与圆C1相切、(4分)设l的方程为y－3＝k(x＋3)，则＝1，(10分)即12k2＋25k＋12＝0、∴k1＝－，k2＝－、则l的方程为4x＋3y＋3＝0或3x＋4y－3＝0、(14分)11、解两圆的标准方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x －5)2＋(y－6)2＝61－m，圆心分别为M(1,3)，N(5,6)，半径分别为和、(1)当两圆外切时，＝＋、解得m＝25＋10、(4分)(2)当两圆内切时，因定圆的半径小于两圆圆心间距离，故只有－＝5、解得m＝25－10、(8分)(3)两圆的公共弦所在直线的方程为(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，即4x＋3y－23＝0、(12分)由圆的半径、弦长、弦心距间的关系，不难求得公共弦的长为2 ＝2、(14分)第 1 页共 1 页。
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第九章平面解析几何 9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系教师用书理苏教版1.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系。
d<r⇔相交；d＝r⇔相切；d〉r⇔相离.（2)代数法:错误!错误!2。
圆与圆的位置关系设圆O1：（x－a1)2＋(y－b1）2＝r错误!（r1>0），圆O2:(x－a2)2＋（y－b2）2＝r错误!(r2〉0).方法位置关系几何法:圆心距d与r1,r2的关系代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况外离d>r1＋r2无解外切d＝r1＋r2一组实数解相交|r1－r2|〈d<r1＋r2两组不同的实数解内切d＝|r1－r2|(r1≠r2）一组实数解内含0≤d<｜r1－r2|(r1≠r2)无解【知识拓展】1。
圆的切线方程常用结论(1）过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0）的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.(2）过圆（x－a）2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0）的圆的切线方程为(x0－a）（x－a)＋(y0－b）(y－b)＝r2。
