2018年高考一轮人教版A数学理科 选修4-4 第1节 坐标系

选修4－4 坐标系与参数方程第一节 坐标系———————————————————————————————— [考纲传真] 1.理解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程．1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎨⎧x ′＝λx ，λ＞0，y ′＝μy ，μ＞0的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换．2．极坐标系与点的极坐标(1)极坐标系：如图1所示，在平面内取一个定点O (极点)，自极点O 引一条射线Ox (极轴)；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．图1(2)极坐标：平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．其中ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角．3．极坐标与直角坐标的互化(1)直线l 过极点，且极轴到此直线的角为α，则直线l 的极坐标方程是θ＝α(ρ∈R )．(2)直线l 过点M (a,0)且垂直于极轴，则直线l 的极坐标方程为ρcos θ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＜θ＜π2. (3)直线过M ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ，π2且平行于极轴，则直线l 的极坐标方程为ρsin_θ＝b (0＜θ＜π)．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系．( )(2)若点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的一个极坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3.( ) (3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的．( ) (4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×2．(教材改编)若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( )A ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2B ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4C ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2 D ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4 A [∵y ＝1－x (0≤x ≤1)，∴ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ρcos θ≤1)， ∴ρ＝1sin θ＋cos θ⎝⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2.]3．(教材改编)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，则曲线C 的直角坐标方程为________．x 2＋y 2－2y ＝0 [由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ. 所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0.]4．已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，点A 的极坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4，则点A 到直线l 的距离为________． 522 [由2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，得2ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin θ－22cos θ＝2， ∴y －x ＝1.由A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4，得点A 的直角坐标为(2，－2)．∴点A 到直线l 的距离d ＝|2＋2＋1|2＝522.] 5．(2015·江苏高考)已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4－4＝0，求圆C 的半径．[解] 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy .2分圆C 的极坐标方程可化为ρ2＋22ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin θ－22cos θ－4＝0，4分化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.6分 则圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0， 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝6， 所以圆C 的半径为 6.10分将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．[解] (1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C 上的点(x ，y )，依题意，得⎩⎨⎧x ＝x 1，y ＝2y 1.2分由x 21＋y 21＝1得x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝1， 故曲线C 的方程为x 2＋y24＝1.5分(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2.6分不妨设P 1(1,0)，P 2(0,2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，所求直线斜率为k ＝12，8分于是所求直线方程为y －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3， 故所求直线的极坐标方程为ρ＝34sin θ－2cos θ.10分[规律方法] 1.解答该类问题应明确两点：一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；二是明确变换前的点P (x ，y )与变换后的点P ′(x ′，y ′)的坐标关系，利用方程思想求解．2．求交点坐标，得直线方程，最后化为极坐标方程，其实质是将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入转化．[变式训练1] 在平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：⎩⎨⎧x ′＝3x ，2y ′＝y .【导学号：31222437】(1)求点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－2经过φ变换所得点A ′的坐标；(2)求直线l ：y ＝6x 经过φ变换后所得直线l ′的方程． [解] (1)设点A ′(x ′，y ′)，由伸缩变换 φ：⎩⎨⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝y2，2分∴x ′＝13×3＝1，y ′＝－22＝－1.∴点A ′的坐标为(1，－1).5分 (2)设P ′(x ′，y ′)是直线l ′上任意一点． 由伸缩变换φ：⎩⎨⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′3，y ＝2y ′，8分代入y ＝6x ，得2y ′＝6·x ′3＝2x ′， ∴y ′＝x ′为所求直线l ′的方程.10分1C 2：(x－1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．[解] (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.4分(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得 ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2.8分 故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12.10分[迁移探究1] 若本例条件不变，求直线C 1与C 2的交点的极坐标． [解] 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ρcos θ＝－2，θ＝π4，解得θ＝π4且ρ＝－2 2.6分所以交点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，π4.10分[迁移探究2] 本例条件不变，求圆C 2关于极点的对称圆的方程． [解] 因为点(ρ，θ)与点(－ρ，θ)关于极点对称， 设点(ρ，θ)为对称圆上任意一点，则(－ρ，θ)在圆C 2上， 所以(－ρ)2＋2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0.6分故所求圆C 2关于极点的对称圆的方程为x 2＋y 2＋2x ＋4y ＋4＝0.10分 [规律方法] 1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是灵活应用互化公式：x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0)．2．进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，要注意ρ，θ的取值范围及其影响；要善于对方程进行合理变形，并重视公式的逆向与变形使用；要灵活运用代入法和平方法等方法．[变式训练2] (2016·北京高考改编)在极坐标系中，已知极坐标方程C 1：ρcosθ－3ρsin θ－1＝0，C 2：ρ＝2cos θ.(1)求曲线C 1，C 2的直角坐标方程，并判断两曲线的形状； (2)若曲线C 1，C 2交于A ，B 两点，求两交点间的距离． [解] (1)由C 1：ρcos θ－3ρsin θ－1＝0， ∴x －3y －1＝0，表示一条直线.2分 由C 2：ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ， ∴x 2＋y 2＝2x ，则(x －1)2＋y 2＝1. ∴C 2是圆心为(1,0)，半径r ＝1的圆.4分 (2)由(1)知点(1,0)在直线x －3y －1＝0上， 因此直线C 1过圆C 2的圆心.6分∴两交点A ，B 的连线段是圆C 2的直径． 因此两交点A ，B 间的距离|AB |＝2r ＝2.10分1⎩⎨⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t(t 为参数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .[解] (1)消去参数t 得到C 1的普通方程为x 2＋(y －1)2＝a 2，则C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆.2分将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.4分(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎨⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ.若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0， 由已知tan θ＝2，得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0，8分从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1.当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，且在C 3上． 所以a ＝1.10分[规律方法] 1.第(1)问将曲线C 1的参数方程先化为普通方程，再化为极坐标方程，考查学生的化归与转化能力．第(2)问中关键是理解极坐标方程，有意识地将问题简单化，进而求解．2．由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标方程解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解．[变式训练3] (2017·太原市质检)已知曲线C 1：x ＋3y ＝3和C 2：⎩⎨⎧x ＝6cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位．(1)把曲线C 1和C 2的方程化为极坐标方程；(2)设C 1与x ，y 轴交于M ，N 两点，且线段MN 的中点为P .若射线OP 与C 1，C 2交于P ，Q 两点，求P ，Q 两点间的距离．[解] (1)曲线C 1化为ρcos θ＋3ρsin θ＝ 3. ∴ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝32.2分曲线C 2化为x 26＋y 22＝1.(*) 将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(*)式得ρ26cos 2θ＋ρ22sin 2θ＝1，即ρ2(cos 2θ＋3sin 2θ)＝6. ∴曲线C 2的极坐标方程为ρ2＝61＋2sin 2θ.4分(2)∵M (3，0)，N (0,1)，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，∴OP 的极坐标方程为θ＝π6，6分把θ＝π6代入ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝32得ρ1＝1，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π6.把θ＝π6代入ρ2＝61＋2sin 2θ得ρ2＝2，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6.8分∴|PQ |＝|ρ2－ρ1|＝1，即P ，Q 两点间的距离为1.10分[思想与方法]1．曲线的极坐标方程与直角坐标方程互化：对于简单的可以直接代入公式ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2，但有时需要作适当的变化，如将式子的两边同时平方，两边同乘以ρ等．2．确定极坐标方程的四要素：极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可． [易错与防范]1．平面上点的直角坐标的表示形式是唯一的，但点的极坐标的表示形式不唯一．极坐标与P 点之间不是一一对应的，所以我们又规定ρ≥0,0≤θ＜2π，来使平面上的点与它的极坐标之间是一一对应的，但仍然不包括极点．2．进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，应注意两点： (1)注意ρ，θ的取值范围及其影响．(2)重视方程的变形及公式的正用、逆用、变形使用．课时分层训练(六十七) 坐标系1．在极坐标系中，求点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1的距离．[解] 点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6化为直角坐标为(3，1)，3分直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1化为ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin θ－12cos θ＝1，得32y －12x ＝1，即直线的方程为x －3y ＋2＝0，6分 故点(3，1)到直线x －3y ＋2＝0的距离d ＝|3－3×1＋2|12＋(－3)2＝1.10分2．在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22.【导学号：31222438】(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标． [解] (1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，2分 圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝x ＋y ， 即x 2＋y 2－x －y ＝0，4分直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1， 则直线l 的直角坐标方程为y －x ＝1，即x －y ＋1＝0.6分(2)由⎩⎨⎧ x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，8分故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2.10分 3．(2017·邯郸调研)在极坐标系中，已知直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1，圆C 的圆心的极坐标是C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π4，圆的半径为1. 【导学号：31222439】(1)求圆C 的极坐标方程； (2)求直线l 被圆C 所截得的弦长．[解] (1)设O 为极点，OD 为圆C 的直径，A (ρ，θ)为圆C 上的一个动点，则∠AOD ＝π4－θ或∠AOD ＝θ－π4，2分OA ＝OD cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ或OA ＝OD cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4， ∴圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4.4分 (2)由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1，得22ρ(sin θ＋cos θ)＝1，6分 ∴直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0，又圆心C 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，满足直线l 的方程， ∴直线l 过圆C 的圆心，8分故直线被圆所截得的弦长为直径2.10分4．(2017·南京调研)在极坐标系中，已知圆C 的圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3，半径r ＝3. (1)求圆C 的极坐标方程；(2)若点Q 在圆C 上运动，点P 在OQ 的延长线上，且OQ→＝2QP →，求动点P 的轨迹方程．[解] (1)设M (ρ，θ)是圆C 上任意一点．在△OCM 中，∠COM ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π3，由余弦定理得 |CM |2＝|OM |2＋|OC |2－2|OM |·|OC |cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3， 化简得ρ＝6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3.4分 (2)设点Q (ρ1，θ1)，P (ρ，θ)， 由OQ →＝2QP →，得OQ →＝23OP →， ∴ρ1＝23ρ，θ1＝θ，8分 代入圆C 的方程，得23ρ＝6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3， 即ρ＝9cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3.10分 5．(2015·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α<π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值．[解] (1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0，2分联立⎩⎨⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0， 解得⎩⎨⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.4分 (2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α<π.因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α).8分 所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3. 当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4.10分6．从极点O 作直线与另一直线l ：ρcos θ＝4相交于点M ，在OM 上取一点P ，使OM ·OP ＝12.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设R 为l 上的任意一点，求|RP |的最小值．[解] (1)设动点P 的极坐标为(ρ，θ)，M 的极坐标为(ρ0，θ)，则ρρ0＝12.2分∵ρ0cos θ＝4，∴ρ＝3cos θ，即为所求的轨迹方程.4分(2)将ρ＝3cos θ化为直角坐标方程，得x 2＋y 2＝3x ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322.8分知点P 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0为圆心，半径为32的圆． 直线l 的直角坐标方程是x ＝4.结合图形易得|RP |的最小值为1.10分。

第1讲坐标系最新考纲1。

了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况;2。

了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化；3。

能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.知识梳理1。

平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x，y）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 ：错误!的作用下，点P(x，y）对应到点P′（x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换。

2。

极坐标系与点的极坐标(1)极坐标系:如图所示，在平面内取一个定点O（极点)；自极点O引一条射线Ox(极轴)；再选定一个长度单位，一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。

（2）极坐标：平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从Ox到OM的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对（ρ,θ）称为点M的极坐标.其中ρ称为点M的极径,θ称为点M 的极角.3.极坐标与直角坐标的互化点M直角坐标（x，y)极坐标(ρ，θ）互化公式ρ2＝x2＋y2 tan θ＝错误!(x≠0)4.圆的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆ρ＝r(0≤θ＜2π)圆心为(r，0），半径为r的圆ρ＝2r cos__θ错误!圆心为错误!，半径为r的圆ρ＝2r sin__θ(0≤θ＜π)5。

直线的极坐标方程(1）直线l过极点，且极轴到此直线的角为α，则直线l的极坐标方程是θ＝α(ρ∈R)。

（2）直线l过点M（a，0)且垂直于极轴，则直线l的极坐标方程为ρcos__θ＝a.(3）直线过M错误!且平行于极轴，则直线l的极坐标方程为ρsin__θ＝b.诊断自测1。

判断正误(在括号内打“√”或“×"）(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系。

( )(2)若点P的直角坐标为(1，－3),则点P的一个极坐标是错误!。

第1课时圆的极坐标方程学习目标 1.了解极坐标方程的意义.2.掌握圆的极坐标方程.3.能根据极坐标方程研究曲线的有关性质．知识点一曲线的极坐标方程(1)在极坐标系中，如果曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程．(2)建立曲线的极坐标方程的方法步骤①建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点；②列出曲线上任意一点的极径与极角之间的关系式；③将列出的关系式整理、化简；④证明所得方程就是曲线的极坐标方程．知识点二圆的极坐标方程思考1在极坐标系中，点M(ρ，θ)的轨迹方程中一定含有ρ或θ吗？答案不一定．思考2圆心在极点，半径为2的圆的极坐标方程是什么？答案ρ＝2.梳理圆的极坐标方程类型一求圆的极坐标方程例1求圆心在(ρ0，θ0)，半径为r的圆的方程．解在圆周上任取一点P(如图)，设其极坐标为(ρ，θ)，由余弦定理知，CP2＝OP2＋OC2－2OP·OC cos∠COP，故其极坐标方程为r2＝ρ20＋ρ2－2ρρ0cos(θ－θ0)．引申探究若圆心在(3,0)，半径r＝2，求圆的极坐标方程．解设P(ρ，θ)为圆上任意一点，则|CP|2＝|OP|2＋|OC|2－2|OP|·|OC|·cos ∠COP，∴22＝ρ2＋9－6ρcos θ，即ρ2＝6ρcos θ－5.反思与感悟求圆的极坐标方程的步骤(1)设圆上任意一点的极坐标为M(ρ，θ)．(2)在极点、圆心与M构成的三角形中运用余弦定理或解直角三角形列出方程f(ρ，θ)＝0并化简．(3)验证极点、圆心与M三点共线时，点M(ρ，θ)的极坐标也适合上述极坐标方程．跟踪训练1 求圆心在C (2，3π2)处并且过极点的圆的极坐标方程，并判断点(－2，sin 5π6)是否在这个圆上． 解 如图，由题意知，圆经过极点O ，OA 为其一条直径，设M (ρ，θ)为圆上除点O ，A 以外的任意一点，则|OA |＝2r ，连接AM ，则OM ⊥MA . 在Rt △OAM 中，|OM |＝|OA |cos ∠AOM ，即ρ＝2r cos (3π2－θ)，∴ρ＝－4sin θ，经验证，点O (0,0)，A (4，3π2)的坐标满足上式．∴满足条件的圆的极坐标方程为ρ＝－4sin θ. ∵sin5π6＝12， ∴ρ＝－4sin θ＝－4sin 5π6＝－2， ∴点(－2，sin5π6)在此圆上． 类型二 极坐标方程与直角坐标方程的互化 命题角度1 直角坐标方程化极坐标方程 例2 把下列直角坐标方程化为极坐标方程． (1)x 2＋y 2＝1； (2)x 2＋y 2－4x ＋4＝0； (3)x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.解 把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入方程化简，(1)∵(ρcos θ)2＋(ρsin θ)2＝1， ∴ρ2＝1，即ρ＝1.(2)∵(ρcos θ)2＋(ρsin θ)2－4ρcos θ＋4＝0， ∴ρ2－4ρcos θ＋4＝0.(3)∵(ρcos θ)2＋(ρsin θ)2－2ρcos θ－2ρsin θ－2＝0. ∴ρ2－2ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，∴ρ2－22ρsin(θ＋π4)－2＝0.反思与感悟 在进行两种坐标方程间的互化时，要注意(1)互化公式是有三个前提条件的，即极点与直角坐标系的原点重合、极轴与直角坐标系的横轴的正半轴重合，两种坐标系的单位长度相同．(2)由直角坐标求极坐标时，理论上不是惟一的，但这里约定只在0≤θ<2π范围内求值． 跟踪训练2 把下列直角坐标方程化为极坐标方程． (1)y 2＝4x ；(2)x 2＋y 2－2x －1＝0.解 (1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y 2＝4x ， 得(ρsin θ)2＝4ρcos θ， 化简，得ρsin 2θ＝4cos θ.(2)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－2x －1＝0， 得(ρcos θ)2＋(ρsin θ)2－2ρcos θ－1＝0， 化简，得ρ2－2ρcos θ－1＝0.命题角度2 极坐标方程化直角坐标方程 例3 把下列极坐标方程化为直角坐标方程．(1)ρ2cos 2θ＝1；(2)ρ＝2cos(θ－π4)；(3)ρcos(θ＋π4)＝22；(4)ρ＝12－cos θ.解 (1)∵ρ2cos 2θ＝1， ∴ρ2cos 2θ－ρ2sin 2θ＝1，∴化为直角坐标方程为x 2－y 2＝1. (2)∵ρ＝2cos θcos π4＋2sin θsin π4＝2cos θ＋2sin θ， ∴ρ2＝2ρcos θ＋2ρsin θ，∴化为直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －2y ＝0. (3)∵ρcos(θ＋π4)＝22，∴ρ(cos θ·cos π4－sin θ·sin π4)＝22，∴ρcos θ－ρsin θ－1＝0. 又ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ， ∴x －y －1＝0.(4)∵ρ＝12－cos θ，∴2ρ－ρcos θ＝1， ∴2x 2＋y 2－x ＝1.化简， 得3x 2＋4y 2－2x －1＝0.反思与感悟 由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性，通常总要用ρ去乘方程的两端，应该检查极点是否在曲线上，若在，是等价变形，否则，不是等价变形． 跟踪训练3 把下列直角坐标方程与极坐标方程进行互化． (1)x 2＋y 2－2x ＝0； (2)ρ＝cos θ－2sin θ； (3)ρ2＝cos 2θ.解 (1)∵x 2＋y 2－2x ＝0， ∴ρ2－2ρcos θ＝0. ∴ρ＝2cos θ.(2)∵ρ＝cos θ－2sin θ， ∴ρ2＝ρcos θ－2ρsin θ. ∴x 2＋y 2＝x －2y ， 即x 2＋y 2－x ＋2y ＝0. (3)∵ρ2＝cos 2 θ， ∴ρ4＝ρ2cos 2 θ＝(ρcos θ)2. ∴(x 2＋y 2)2＝x 2，即x 2＋y 2＝x 或x 2＋y 2＝－x .类型三 直角坐标与极坐标方程互化的应用例4 若曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)若曲线ρsin(θ－π4)＝0与曲线C 相交于A 、B ，求|AB |的值．解 (1)∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴ρ2＝x 2＋y 2， 由ρ＝2sin θ＋4cos θ， 得ρ2＝2ρsin θ＋4ρcos θ， ∴x 2＋y 2－4x －2y ＝0， 即(x －2)2＋(y －1)2＝5.(2)由ρsin(θ－π4)＝0，得ρ(22sin θ－22cos θ)＝0， 即ρsin θ－ρcos θ＝0， ∴x －y ＝0.由于圆(x －2)2＋(y －1)2＝5的半径为r ＝5，圆心(2,1)到直线x －y ＝0的距离为d ＝|2－1|2＝12，∴|AB |＝2r 2－d 2＝3 2.反思与感悟 在研究曲线的性质时，如交点、距离等，如果用极坐标不方便，可以转化为直角坐标方程，反之，可以转化为极坐标方程．跟踪训练4 在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为ρsin 2 θ＝cos θ和ρsin θ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1和C 2交点的直角坐标为________． 答案 (1,1)1．极坐标方程分别为ρ＝cos θ和ρ＝sin θ的两个圆的圆心距是( ) A ．3 B. 2 C ．1 D.22答案 D2．将极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0化为直角坐标方程为( ) A ．x 2＋y 2＝0或y ＝1 B ．x ＝1 C ．x 2＋y 2＝0或x ＝1 D ．y ＝1答案 B3．在极坐标系中，圆ρ＝2sin θ的圆心的极坐标是( ) A ．(1，π) B ．(2，π2) C ．(1，π2) D ．(1,0)答案 C解析 由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，化为直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，即x 2＋(y －1)2＝1，圆心坐标为(0,1)，化为极坐标为(1，π2)．4．4ρsin 2 θ2＝5表示的曲线是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．抛物线答案 D解析 4ρsin 2 θ2＝5⇒4ρ1－cos θ2＝5⇒2ρ＝2ρcos θ＋5.∵ρ＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，代入上式得2x 2＋y 2＝2x ＋5，两边平方并整理，得y 2＝5x ＋254，∴它表示的曲线为抛物线． 5．在极坐标系中，已知圆C 的圆心为C (2，π6)，半径为1，求圆C 的极坐标方程．解 在圆C 上任取一点P (ρ，θ)，在△POC 中， 由余弦定理可得CP 2＝OC 2＋OP 2－2OC ·OP ·cos ∠POC ， 即1＝4＋ρ2－2×2×ρcos(θ－π6)，化简可得ρ2－4ρcos(θ－π6)＋3＝0.当O ，P ，C 共线时，此方程也成立， 故圆C 的极坐标方程为ρ2－4ρcos(θ－π6)＋3＝0.1．曲线的极坐标方程与直角坐标方程的区别由于平面上点的极坐标的表示形式不惟一，即(ρ，θ)，(ρ，2π＋θ)，(－ρ，π＋θ)，(－ρ，－π＋θ)都表示同一点的坐标，这与点的直角坐标的惟一性明显不同．所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式，只要求至少有一个能满足极坐标方程即可．例如对于极坐标方程ρ＝θ，点M ⎝⎛⎭⎫π4，π4可以表示为⎝⎛⎭⎫π4，π4＋2π或⎝⎛⎭⎫π4，π4－2π或⎝⎛⎭⎫－π4，5π4等多种形式，其中，只有⎝⎛⎭⎫π4，π4的极坐标满足方程ρ＝θ.2．求曲线的极坐标方程，就是在曲线上任找一点M (ρ，θ)，探求ρ，θ的关系，经常需利用三角形知识和正弦、余弦定理来求解．课时作业一、选择题1．在极坐标系中，方程ρ＝6cos θ表示的曲线是( ) A ．以点(－3,0)为圆心，3为半径的圆 B ．以点(3，π)为圆心，3为半径的圆 C ．以点(3,0)为圆心，3为半径的圆 D ．以点(3，π2)为圆心，3为半径的圆答案 C2．以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是( ) A ．ρ＝2cos(θ－π4)B ．ρ＝2sin(θ－π4)C ．ρ＝2cos(θ－1)D ．ρ＝2sin(θ－1)答案 C3．极坐标方程ρcos θ＝2sin 2θ表示的曲线为( ) A ．一条射线和一个圆 B ．两条直线 C ．一条直线和一个圆 D ．一个圆 答案 C4．极坐标系内，点(1，π2)到直线ρcos θ＝2的距离是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B5．下列点不在曲线ρ＝cos θ上的是( ) A ．(12，π3)B ．(－12，2π3)C ．(12，－π3)D ．(12，－2π3)答案 D 二、填空题6．把圆的直角坐标方程x 2＋(y －2)2＝4化为极坐标方程为________． 答案 ρ＝4sin θ解析 将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入，得ρ2cos 2θ＋ρ2sin 2θ－4ρsin θ＝0，即ρ＝4sin θ. 7．曲线C 的极坐标方程为ρ＝3sin θ，则曲线C 的直角坐标方程为________． 答案 x 2＋y 2－3y ＝0解析 由ρ＝3sin θ，得ρ2＝3ρsin θ， 故x 2＋y 2＝3y ，即所求方程为x 2＋y 2－3y ＝0.8．在极坐标系中，若过点A (3,0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ＝4cos θ于A 、B 两点，则|AB |＝________. 答案 2 3解析 由题意知，直线方程为x ＝3，曲线方程为(x －2)2＋y 2＝4，将x ＝3代入圆的方程，得y ＝±3，则|AB |＝2 3.9．在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)的一个交点在极轴上，则a ＝________. 答案22解析 曲线C 1的直角坐标方程为2x ＋y ＝1，曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝a 2，C 1与x 轴的交点坐标为(22，0)，此点也在曲线C 2上，代入解得a ＝22. 三、解答题10．从极点O 引定圆ρ＝2cos θ的弦OP ，延长OP 到Q 使OP PQ ＝23，求点Q 的轨迹方程，并说明所求轨迹是什么图形？解 设Q (ρ，θ)，P (ρ0，θ0)，则θ＝θ0，ρ0ρ－ρ0＝23，∴ρ0＝25ρ.∵ρ0＝2cos θ0，∴25ρ＝2cos θ，即ρ＝5cos θ，它表示一个圆． 11．若圆C 的方程是ρ＝2a sin θ，求： (1)关于极轴对称的圆的极坐标方程； (2)关于直线θ＝3π4对称的圆的极坐标方程．解 设所求圆上任意一点M 的极坐标为(ρ，θ)． (1)点M (ρ，θ)关于极轴对称的点为(ρ，－θ)， 代入圆C 的方程ρ＝2a sin θ，得ρ＝2a sin(－θ)， 即ρ＝－2a sin θ为所求．(2)点M (ρ，θ)关于直线θ＝3π4对称的点为(ρ，3π2－θ)，代入圆C 的方程ρ＝2a sin θ，得ρ＝2a sin (3π2－θ)，即ρ＝－2a cos θ为所求．12．把下列极坐标方程化为直角坐标方程． (1)ρ＝4cos θ＋2sin θ； (2)ρ2＝204cos 2θ＋5sin 2 θ.解 (1)方程ρ＝4cos θ＋2sin θ两边同时乘以ρ，并把ρ＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y 代入，化简可得(x －2)2＋(y －1)2＝5. (2)ρ2＝204cos 2θ＋5sin 2 θ可化为4(ρcos θ)2＋5(ρsin θ)2＝20，把ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y 代入，化简可得x 25＋y 24＝1.四、探究与拓展13．已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρsin(θ－π4)－4＝0，则圆C 的半径及圆心坐标分别为____________． 答案6，⎝⎛⎭⎫2，7π4 解析 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy ，圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρ(22sin θ－22cos θ)－4＝0， 化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.则圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0， 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝6，所以圆C 的半径为 6. 圆心C 的直角坐标为(1，－1)，∴ρ＝x 2＋y 2＝2，tan θ＝－1，且C 在第四象限． ∴θ＝7π4，∴C 的极坐标为(2，7π4)． 14．判断两圆ρ＝cos θ＋3sin θ和ρ＝2cos θ的位置关系．解 圆C 1：ρ＝cos θ＋3sin θ的直角坐标方程为x 2＋y 2－x －3y ＝0，即(x －12)2＋(y －32)2＝1.∴C 1(12，32)，r 1＝1.同理，圆C 2：ρ＝2cos θ的直角坐标为(x －1)2＋y 2＝1， ∴C 2(1,0)，r 2＝1，∴|C 1C 2|＝1， ∴r 1－r 2<|C 1C 2|<r 1＋r 2＝2，∴两圆相交．。

选修4-4 第一讲A 组基础巩固一、选择题1．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝5x ，y ′＝3y后，曲线C 变为曲线x ′2＋y ′2＝1，则曲线C 的方程为导学号 30073458( A )A ．25x 2＋9y 2＝1B ．9x 2＋25y 2＝1C ．25x ＋9y ＝1D ．x 225＋y 29＝12．极坐标方程ρ＝cos θ化为直角坐标方程为导学号 30073459( D ) A ．(x ＋12)2＋y 2＝14B ．x 2＋(y ＋12)2＝14C ．x 2＋(y －12)2＝14D ．(x －12)2＋y 2＝14[解析] 由ρ＝cos θ，得ρ2＝ρcos θ，∴x 2＋y 2＝x .选D ．3．(2017·宁夏固原一中高三上学期第一次月考数学试题)原点与极点重合，x 轴正半轴与极轴重合，则直角坐标为(－2，－23)的点的极坐标是导学号 30073460( B )A ．(4，π3)B ．(4，4π3)C ．(－4，－2π3)D ．(4，2π3)[解析] 根据极坐标公式，求出ρ、θ即可． 解：∵x ＝－2，y ＝－23；∴ρ＝x 2＋y 2＝(－2)2＋(－23)2＝4； 又x ＝ρcos θ＝－2，∴cos θ＝－2ρ＝－12，且θ为第三象限角， ∴θ＝4π3；∴该点的极坐标为(4，4π3)．故选B ．[点拨] 本题考查了极坐标方程的应用问题，解题时应熟记极坐标与普通方程的互化，是基础题目．4．(2016·皖北协作区联考)在极坐标系中，直线ρ(3cos θ－sin θ)＝2与圆ρ＝4sin θ的交点的极坐标为导学号 30073461( A )A ．(2，π6)B ．(2，π3)C ．(4，π6)D ．(4，π3)[解析] ρ(3cos θ－sin θ)＝2可化为直角坐标方程3x －y ＝2，即y ＝3x －2.ρ＝4sin θ可化为x 2＋y 2＝4y ，把y ＝3x －2代入x 2＋y 2＝4y ，得4x 2－83x ＋12＝0，即x 2－23x ＋3＝0，所以x ＝3，y ＝1.所以直线与圆的交点坐标为(3，1)化为极坐标为(2，π6)，故选A ．5．(2016·石景山模拟)在极坐标系中，圆ρ＝2被直线ρsin θ＝1截得的弦长为导学号 30073462( C )A ． 3B ．2C ．2 3D ．3[解析] 圆ρ＝2的极坐标方程转化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝4，直线ρsin θ＝1转化成直角坐标方程为y ＝1，所以圆心到直线y ＝1的距离为1，则弦长l ＝222－1＝23，故选C ．6．(2016·安徽模拟)在极坐标系中，点(2，－π3)到圆ρ＝－2cos θ的圆心的距离为导学号 30073463( D )A ．2B ．4＋π29C ．9＋π29D ．7[解析] 由点P (2，－π3)可得：x P ＝2cos(－π3)＝1，y P ＝2sin(－π3)＝－3，∴P (1，－3)，圆ρ＝－2cos θ化为ρ2＝－2ρcos θ，∴x 2＋y 2＝－2x ，化为(x ＋1)2＋y 2＝1，可得圆心C (－1,0)，∴|PC |＝22＋(3)2＝7，故选D ．二、填空题7．(2017·广东省江门市高三3月模拟数学试题)在极坐标系中，曲线ρ＝2上到直线ρcos(θ－π4)＝1的距离为1的点的个数是_3__.导学号 30073464 [解析] 曲线ρ＝2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4，表示圆心为(0,0)，半径为2的圆，直线ρcos(θ－π4)＝1的直角坐标方程为x ＋y －2＝0，圆心到直线的距离为d ＝|－2|2＝1，因此与直线x ＋y －2＝0平行且距离为1的直线有两条，一条与圆相交，一条与圆相切，所求点有3个．8．(2015·安徽高考)在极坐标中，圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝π3(ρ∈R )距离的最大值是_6__.导学号 30073465[解析] 圆ρ＝8sin θ即ρ2＝8ρsin θ，化为直角坐标方程为x 2＋(y －4)2＝16，直线θ＝π3，则tan θ＝3，化为直角坐标方程为3x －y ＝0，圆心(0,4)到直线的距离为|－4|4＝2，所以圆上的点到直线距离的最大值为2＋4＝6.9．在极坐标系中，直线ρsin(θ＋π4)＝2被圆ρ＝4所截得的弦长为导学号 30073466[解析] 将极坐标化为直角坐标，因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρsin(θ＋π4)＝22(ρcos θ＋ρsin θ)＝2，故直线方程为2x ＋2y ＝4，而圆的半径为4，所以弦长为216－4＝4 3. 三、解答题10．(2016·福建质检)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos(θ－π3)＝1，M ，N 分别为C 与x 轴、y 轴的交点.导学号 30073467(1)写出C 的直角坐标方程，并求M 、N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． [解析] (1)由ρcos(θ－π3)＝1得ρ(12cos θ＋32sin θ)＝1.从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2.当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2,0)． 当θ＝π2时，ρ＝233，所以N (233，π2)．(2)因为M 点的直角坐标为(2,0)， N 点的直角坐标为(0，233)．所以P 点的直角坐标为(1，33)， 则P 点的极坐标为(233，π6)，所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )．11．(2016·山西模拟)在极坐标系中，曲线C 的方程为ρ2＝31＋2sin 2θ，点R (22，π4).导学号 30073468 (1)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，R 点的极坐标化为直角坐标；(2)设P 为曲线C 上一动点，以PR 为对角线的矩形PQRS 的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值，及此时点P 的直角坐标．[解析] (1)由于x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 则曲线C 的方程为ρ2＝31＋2sin 2θ，转化成x 23＋y 2＝1，点R 的极坐标转化成直角坐标为：R (2,2)． (2)设P (3cos θ，sin θ)，根据题意，得Q (2，sin θ)， 则|PQ |＝2－3cos θ，|QR |＝2－sin θ， 所以|PQ |＋|QR |＝4－2sin(θ＋π3)．当θ＝π6时，(|PQ |＋|QR |)min ＝2，矩形的最小周长为4，点P (32，12)．B 组能力提升1．(2016·桐城市模拟)在极坐标方程中，曲线C 的方程是ρ＝4sin θ，过点(4，π6)作曲线C的切线，切线长为导学号 30073469( C )A ．4B ．7C ．2 2D ．32[解析] 由曲线C 的方程ρ＝4sin θ， 可得ρ2＝4ρsin θ，∴x 2＋y 2＝4y ，配方为x 2＋(y －2)2＝4. 圆心C (0,2)，r ＝2.点(4，π6)化为直角坐标P (4cos π6，4sin π6)，即P (23，2)，CP ＝23，切线长＝CP 2－r 2＝(23)2－22＝22，故选C ．2．(2016·安徽模拟)在极坐标系中，圆ρ＝2与极轴交于点A ，与直线θ＝π3(ρ∈R )交于点B ，C ，则△ABC 的周长为导学号 30073470( B )A ．6＋2 2B ．6＋2 3C ．6＋ 2D ．6＋ 3[解析] 如图所示，由题意可得△AOB 为等边三角形，∠AOC ＝2π3，由余弦定理可得AC ＝OA 2＋OC 2－2OA ·OC ·cos 2π3＝4＋4－2×2×2×(－12)＝23，∴△ABC 的周长为AB ＋BC ＋AC ＝2＋4＋23＝6＋23，故选B ．3．(2016·安庆模拟)在极坐标系中，曲线C ：ρ＝2sin θ上的两点A ，B 对应的极角分别为2π3，π3，则弦长|AB |等于导学号 30073471( C ) A ．1B ． 2C ． 3D ．2[解析] A 、B 两点的极坐标分别为(3，2π3)，(3，π3)，化为直角坐标为(－32，32)，(32，32)，故|AB |＝(32＋32)2＋(32－32)2＝3，故选C ． 4．(2016·江西模拟)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知某圆的极坐标方程为：ρ2－4ρcos θ＋2＝0.导学号 30073472(1)将极坐标方程化为普通方程；(2)若点P (x ，y )在该圆上，求x ＋y 的最大值和最小值． [解析] (1)ρ2－4ρcos θ＋2＝0，化为直角坐标方程：x 2＋y 2－4x ＋2＝0； (2)由x 2＋y 2－4x ＋2＝0化为(x －2)2＋y 2＝2， 令x －2＝2cos α，y ＝2sin α，α∈[0,2π)． 则x ＋y ＝2cos α＋2＋2sin α＝2sin(α＋π4)＋2，∵sin(α＋π4)∈[－1,1]，∴(x ＋y )∈[0,4]，其最大值、最小值分别为4,0.5．(2016·东北师大附中、吉林市一中等五校联考)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C 1的极坐标方程为ρ2＝21＋sin 2θ，直线l 的极坐标方程为ρ＝42sin θ＋cos θ.导学号 30073473(1)写出曲线C 1与直线l 的直角坐标方程；(2)设Q 为曲线C 1上一动点，求点Q 到直线l 的距离的最小值． [解析] (1)由题意可得C 1：x 2＋2y 2＝2；l ：2y ＋x －4＝0. (2)设Q (2cos θ，sin θ)，则点Q 到直线l 的距离 d ＝|2sin θ＋2cos θ－4|3＝|2sin (θ＋π4)－4|3≥23＝233，当且仅当θ＝2k π＋π4(k ∈Z )时取等号．所以点Q 到直线l 的距离的最小值为233.。