【数学】1.2.1《充分条件与必要条件》课件

2
（充要条件） 4）同旁内角互补 " "是 " 两直线平行 "的
5)" x 5" 是 " x 3"的
（必要不充分条件） 6)" a b " 是 " a c b c "的 （充要条件）
7）已知ABC不是直角三角形， "A<B" 是 "tan A tan B "的 （既不充分也不必要条件）
定义： 对于命题“若p则q”
1.若p q, q p, 则p是q的充分不必要条件. q是p的必要不充分条件.
2.若p q, q p,即p q, 则p是q充分必要条件， 简称充要条件 . 也说p与q互为充要条件 .
3.若p q, q p, 则p是q的既充分不必要条件. q是p的既必要不充分条件.
作业：
• P.15 A组 第4题 B组第2题
真
2 0 ac 00 （5方程有 ）若ab ax ，则 ； 假 bx (a 0) 两个不等的实数解 b 2 4ac 0
(6) 若两三角形全等 ，则两三角形面积相等； 两三角形全等
真
两三角形面积相等
定义：
充分条件与必要条件：一般地，如果已知 p q ， 即命题“若p则q” 为真命题，那么就说，p 是q 的充分条件， q 是p 的必要条件．
1 1 当x 0, y 0时，有： . x y
必要性(q p) 1 1 yx 若 , 则有： 0,即xy( y x) 0. x y xy x y y x 0 xy 0.
例2、已知ab 0, 求证：a b 1的充要条件是 a 3 b3 ab a 2 b 2 0.

(3)四边形的对角线相等 D 四边形是矩形；四边形是矩 形⇒四边形的对角线相等，故 p 是 q 的充分不必要条件．
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[点拨] 关于充分条件、必要条件的判断问题，当不易 判断 p⇒q 真假时，也可从集合角度入手判断真假，所以结 合集合关系理解，对解决与逻辑有关的问题是大有益处的．
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充分条件与必要条件的判断 例 1 判断下列各题中 p 是 q 的什么条件． (1)p：|a|≥2，a∈R，q：方程 x2＋ax＋a＋3＝0 有实根； (2)p：a＋b＝0，q：a2＋b2＝0； (3)p：四边形是矩形；q：四边形的对角线相等． [分析] 判断 p 是 q 的什么条件，主要判断 p⇒q 及 q⇒ p 两命题的正确性，若 p⇒q 真，则 p 是 q 成立的充分条件； 若 q⇒p 真，则 p 是 q 成立的必要条件．
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一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A. xy>0⇒xy>>00
B. xy＝0⇒x＝0
C. xy<0⇒xy<>00
D. xy≠0⇒x≠0 且 y≠0
解析：A 中，x、y 同号即可；B 中，y 也可以为零； C 中，x，y 异号即可．
答案：D
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如图(2)，闭合开关 A 而不闭合开关 C，灯泡 B 不亮．反 之，若要灯泡 B 亮，开关 A 必须闭合，说明闭合开关 A 是 灯泡 B 亮的必要不充分条件；
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如图(3)，闭合开关 A 但不闭合开关 C，灯泡 B 不亮．反 之，灯泡 B 亮也不必闭合开关 A，只要闭合开关 C 即可，说 明闭合开关 A 是灯泡 B 亮的既不充分也不必要条件．

第一章 1.2充分条件与必要条件
1.2 充分条件与必要条件
旧知复习
原命题 若p则q
互 否 命 题 真 假 无 关
否命题 若﹁ p则﹁ q
逆命题 若q则p
互 否 命 题 真 假 无 关
逆否命题 若﹁ q则﹁p
课堂导入
情境一：
如果同学甲是我校高二年级的学生， 那么该生一定是我校学生吗？
反之，若同学甲是我校学生，则他 一定是我校高二年级学生吗？
充分条件的含义用通俗语言来说是指“有它就行” 必要条件的含义用通俗语言来说是指“缺它不行”
【定义得出】
定义：如果命题“若p，则q”为真命题,即p q, 那 么我们就说p是q的充分条件；q是p的必要条件．
注： ①充分性：条件是充分的，也就是说条件是充足的，足够 的，足以保证的。符合“若p则q”为真（p=>q）的情势, 即“有之必成立”。
自主建构 【课堂活动】
请同学们自己举例给出 p, q 并判断其二者之间存
在的是否是充分条件或必要条件的关系.
知识联系
p: xZ, q: xR
pq
思考：充分条件和必要条件与集合之间的联系.
p : x A, q : x B ，且 p q ,则集合 A 与 B 有怎样的关系？
任意x A,则x B, 即：A B
A
B
A、B
历史文化
p : x A, q : x B ，且 p q ,则 A B .
A
B
A、B
我国战国时期，墨子所著《墨经》 充分条件：有之则必然，无之则未必不然； 必要条件：无之则必不然，有之则未必然 。
理性认识
原命题： 若 p 则 q ， 为真命题； 逆否命题：若 q 则 p ，为真命题.

下列“ 形式的命题中， 例2 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题 ， 形式的命题中 中的q是 的必要条件 的必要条件？ 中的 是p的必要条件？ (1) 若x=y，则x2=y2。 ， (2) 若两个三角形全等 则这两个三角形的面积相等 若两个三角形全等,则这两个三角形的面积相等 则这两个三角形的面积相等. (3) 若a>b，则ac>bc。 ， 。 解：命题（1）（ ）是真命题，命题（3）是假命 ）（2）是真命题，命题（ ） 命题（ ）（ 所以命题（ ）（ ）（2）中的q是 的必要条件 的必要条件。 题，所以命题（1）（ ）中的 是p的必要条件。
练习2 下列“ 形式的命题中， 练习 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命 ， 形式的命题中 题中的p是 的必要条件 的必要条件？ 题中的 是q的必要条件？ (1) 若a+5是无理数，则a是无理数。 是无理数， 是无理数 是无理数。 是无理数 (2) 若（x-a）（ ）=0，则 x=a。 ）（x-b） ， ）（ 。
分析：注意这里考虑的是命题中的 是q的必要条件。 的必要条件。 分析：注意这里考虑的是命题中的p是 的必要条件 中的 所以应该分析下列命题的逆命题的真假性。 所以应该分析下列命题的逆命题的真假性。
）（2）的逆命题都是真命题， 解：命题（1）（ ）的逆命题都是真命题， 命题（ ）（ 所以命题（ ）（ ）（2）中的p是 的必要条件 的必要条件。 所以命题（1）（ ）中的 是q的必要条件。
解（1）因为若 2ab，所以可以 ）因为若x>a2+b2 ，而a2+b2 ， 得到 x>2ab 。 真命题 则应该有a=0 或b=0。 （2）因为若 ）因为若ab=0 则应该有 。 假命题 所以并不能得到a一定为 一定为0。 所以并不能得到 一定为 。 在真命题（ ） 足以导致q，也就是说条件p充分 充分了 在真命题（1）中，p足以导致 ，也就是说条件 充分了。 足以导致 在假命题（ ）中条件p不充分。 在假命题（2）中条件 不充分。 在真命题（ ） 成立所必须具备的前提。 在真命题（1）中， q 是p成立所必须具备的前提。 成立所必须具备的前提 在假命题（ ） 不是p成立所必须具备的前提 在假命题（2）中， q不是 成立所必须具备的前提。 不是 成立符号“充分”或“必要”填空： 、用符号“充分” 必要”填空：

教材答疑 1.[教材2.1思考交流] 定理2是对顶角相等，也就是说，如果能确定两个角是对顶角，那么 一定可以得出这两个角相等，而一旦这两个角不相等，那么这两个角 一定不是对顶角． 定理3是全等三角形的性质定理，也就是说如果两个三角形全等，那 么一定可以得到这两个三角形的对应角相等，而一旦这两个三角形的 对应角不相等，那么这两个三角形一定不是全等三角形．
3．[多选题]如果命题“p⇒q”是真命题，则下列说法正确的是( ) A．p是q的充分条件 B．p是q的必要条件 C．q是p的充分条件 D．q是p的必要条件
答案：AD
解析：根据必要条件和充分条件的含义，p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必 要条件，所以AD正确．
答案：必要
题型1 必要条件的语言表述——师生共研 例1将下面的性质定理写成“若p则q”的形式，并用必要条件的语言 表述： (1)平面四边形的外角和是360°；
方法归纳 用必要条件的语言表述定理的一般步骤
(1)分析定理的条件和结论； (2)将定理写成“若p，则q”的形式； (3)利用必要条件的概念来表述定理．
跟踪训练1 判断下列各组中是否有p⇒q或q⇒p成立，并用必要条件 的语言表述：
(1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；
解析：
，但两个三角形全等⇒两个三
解析：“平面四边形的外角和是360°”可表述为“若平面多边形为四边形，则 它的外角和为360°”，所以“外角和为360°”是“平面多边形为四边形”的必 要条件．
(2)在平面直角坐标系中，关于x轴对称的两个点的横坐标相同．
解析：在平面直角坐标系中，关于x轴对称的两个点的横坐标相同”可表述为 “若平面直角坐标系中的两个点关于x轴对称，则这两个点的横坐标相同”，所 以“两个点的横坐标相同”是“在平面直角坐标系中，两个点关于x轴对称”的 必要条件．

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小结
作业
复习引入
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小结
作业
1、命题：可以判断真假的陈述句，可写成：若p则q。 2、四种命题及相互关系： 原命题 若 p则 q
互 否 互逆
逆命题 若 q则 p
互 否
互为
逆否
否命题 若 p则 q
互逆
逆否命题 若 q则 p
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例
判断下列命题是真命题还是假命题?
（1）若x>a2+b2,则x>2ab。
解:命题(1)(2)是真命题,命题(3)是假命题. 所以,命题(1)(2)中的p是q的充分条件.
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新课
小结
作业
例2、 下列“若p，则q”形式的命题中， 哪些命题中的q是p的必要条件? (1) 若 x=y,则x2=y2; (2) 若两个三角形全等,则这两个三角形的 面积相等; (3) 若a>b,则ac>bc.
解:命题(1)(2)是真命题,命题(3)是假命题. 所以,命题(1)(2)中的q是p的必要条件.
p、 q分别表示某条件
1 ） p q且 q p
则称条件p是条件q的充分不必要条件
2 ） p q且 q p
则称条件p是条件q的必要不充分条件
3 ） p q且 q p
则称条件p是条件q的充要条件
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重。在那个以“三寸金莲”为美的缠足时代，这郭氏却破天荒地长了一双大脚板儿。因此，她可以经常帮着丈夫下地干农活儿。 庄稼人嘛，讲究的就是个实在。看到这“三六九镇”第一饼铺的女儿成长的如此快乐，而且长大后也没有因长了一双大脚而找 不到好婆家，于是，一些人家也就不在乎自家的女娃儿缠足不缠足了。所以，“三六九镇”的大街上和小巷子里，到处都能见 到逛街、串门儿的大脚女人们。郭氏虽然把儿女们视为心肝宝贝和掌上明珠，但却从来都不娇生惯养他们。因此，耿家的孩子 们一个比一个勤快、能吃苦。经常挂在郭氏嘴边上的一句话就是“勤谨勤谨，衣饭随身；懒起懒做，多受饥饿！”。耿家孩子 们的童年生活是无比幸福的，他们不愁吃不愁穿，在那种特别和谐、其乐融融的家庭里成长着。爹娘虽然对他们百般呵护，疼 爱有加，但对他们的要求也是很严格的；经常言传身教地告诫他们，一定要做正直善良、意志坚强、有知识、有进取心、有本 事的人！更重要的是，夫妻俩很注重孩子们读书学习。每当晚饭后郭氏在堂屋的油灯下做针线活儿时，耿老爹就在另一个屋子 里再点上一盏特别明亮的粗灯芯油灯，教孩子们读书写字，或是拉起二胡、吹起笛子，让孩子们在优美的音乐声中快乐地遐想； 或者干脆来一段古戏清唱，陶冶孩子们的情操。天长日久，凡是耿老爹会的，孩子们也都学会了，而且有时还会别出心裁地讲 出一个有趣的故事，随口说出来一大段儿饶有趣味儿的数来宝，编一段自创的快板书、唱一曲自编自演的打油诗因此，耿老爹 坚持认为，自己的孩子们实在是难得的可塑之材！经常与妻子提起，一定要带孩子们走出去闯世界，就像自己年轻的时候那样。 当年，由于战乱和匪患，耿老爹并没有实现做生意赚大钱起家的想法。在外面闯荡的近十年里，也就是做过一些小本生意。由 于受无赖、兵痞和土匪的骚扰,小本生意也没能做长久。后来，看看老父亲年事已高，也就回家种田奉养父母、娶妻生子过小 日子了。如今，他看着孩子们日益长大，出门的想法再次萌生、放弃，再萌生、再放弃，时常在脑海里翻腾。毕竟，故土难离 啊！再说了，当年自己远离家乡去外地谋生是为了躲避兵患，而眼下尚属太平盛世，有地种，有贤妻，有可爱的孩子们。正所 谓“三亩土地一头牛，老婆孩子热炕头”，在那个年代，中国北方的农民，大多是这样想的。更何况，耿老爹家种的土地除了 三亩肥沃的水田之外，还有不少坡地。在风调雨顺的好年景，这些坡地上的收获也是很不错的。不过，耿老爹家养的并不是一 头牛，而是一只高大的黑灰色毛驴，以及由这只驴子单挑驾辕的一挂木制平板车，也就是老百姓常说的“平车”。139第三回 古镇脉动岁岁荣|（小镇得名“三六九”，缘自

新知导学 p⇒q，“若 1．如果命题“若p，则q”为真，则记为__________
p⇒ / q p则q”为假，记为__________.
充分条件 ， q 是 p 的 2 ． 如 果 已 知 p⇒q ， 则 称 p 是 q 的 __________ 必要条件 ． __________
第一章
1.2
第1课时
充分条件、必要条件 思维导航 1．当x>3时，x>5成立吗？当x>5时，x>3成立吗？
2 ． 对 于 任 意 角 α 、 β ， 由 α>β 能 得 出 sinα>sinβ 吗 ？ 对 于
△ABC的内角A、B，当A>B时，sinA>sinB成立吗？
第一章
1.2
第1课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 · 选修2-1
第一章
1.2
第1课时
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2．在下列横线上填上“充分”或“必要”．
(1)a>1是a>2的__________ 条件． 必要
充分 (2)a<1是a<2的__________ 条件．
第一章
1.2
第1课时
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第一章
1.2
第1课时
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牛刀小试
3 ． (2012· 浙江理， 3) 设 a∈R ，则“ a ＝ 1” 是“直线 l1 ： ax ＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＝0平行”的( A．充分不必要条件 C．充分必要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 )

在数学中的应用
函数关系
在数学中，函数关系是一种重要的概 念。充分条件与必要条件的概念可以 帮助我们更好地理解函数的各种性质 ，例如单调性、奇偶性等。
证明方法
在数学证明中，充分条件与必要条件 的运用是非常常见的。它们可以帮助 我们更加严谨地证明各种数学命题， 确保我们的证明过程严密、准确。
03 充分条件与必要条件的证 明方法
02 充分条件与必要条件的应 用
在逻辑推理中的应用
推理依据
充分条件与必要条件是逻辑推理中的重要概念，它们帮助我 们理解命题之间的逻辑关系，从而进行有效的推理。
逻辑结构
充分条件和必要条件在逻辑结构上有着明确的区别。充分条 件是一个命题的真，能够确保另一个命题的真；而必要条件 则是另一个命题的真，必须要求这个命题的真。
逻辑推理实例
总结词
逻辑推理是充分条件与必要条件的重要应用领域，通过实例解析可以帮助学生更好地理 解概念。
详细描述
在逻辑推理中，充分条件与必要条件的概念经常被使用。例如，在推理“如果天下雨， 那么地面会湿”中，“天下雨”是“地面湿”的充分条件，因为只要下雨就一定会导致 地面湿。而“地面湿”是“天下雨”的必要条件，因为如果地面湿了，那一定是因为之
填空题及解析
填空题1
若``若$p$则$q$''是真命题，则``若非$q$则 非$p$''也是真命题，这两个命题在逻辑上 称为____命题。
解析
根据逆否命题的定义，若``若$p$则$q$''是 真命题，则其逆否命题``若非$q$则非$p$'' 也是真命题，这两个命题在逻辑上称为逆否
命题。
解答题及解析
前下过雨。
生活实例

[点评] 1.根据定义，已知p是q的充分条件(或q是p 的必要条件)，则p⇒q成立．
2．可从集合的角度判断： ①若集合A⊆B，则A是B的充分条件，B是A的必要 条件． ②若集合A B，则A不是B的充分条件，B也不是 A的必要条件．
思悟升华 1．充分条件与必要条件的正确理解 一般地，“若p则q”为真命题，是指由p，通过推 理可以得出q，这时，我们就说，由p可推出q，记作 p⇒q.并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件．
(2)关于充分条件、必要条件、充要条件，当不容 易判断p⇒q及q⇒p的真假时，也可以从集合角度入手 去判断，结合集合中“小集合⇒大集合”的关系来理 解，对解决与逻辑有关的问题是大有益处的．
类型二 用集合法判断充分条件、必要条件
[例2] 0<x<5是不等式|x－2|<4成立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
典例精析
类型一 用定义法判断充分条件、必要条件 [例1] 判断下列各题中p是q的什么条件． (1)p：a2＋b2＝0，q：a＋b＝0； (2)p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形； [分析] 只需分析当p成立时q是否成立，还有当q 成立时p是否成立．
[解] (1)由a2＋b2＝0得a＝b＝0，从而可以推出a ＋b＝0；而由a＋b＝0，推不出a2＋b2＝0(如a＝1，b＝ －1)，所以p是q的充分不必要条件．
充分条件与必要条件
1．充分条件：如果p⇒q，则p叫q的充分条件，原 命题(或逆否命题)成立，命题中的条件是充分的，也 可称q是p的必要条件．
2．必要条件：如果q⇒p，则p叫q的必要条件，逆 命题(或否命题)成立，命题中的条件为必要的，也可 称q是p的充分条件．
思考感悟 1．如何理解充分条件与必要条件中的“充分”和 “必要”呢？ 提示：由上述定义知“p⇒q”表示有 p 必有 q，所 以 p 是 q 的充分条件，这点容易理解．但同时说 q 是 p 的必要条件是为什么呢？q 是 p 的必要条件说明没有 q 就没有 p，q 是 p 成立的必不可少的条件，但有 q 未必 一定有 p.

1.对充分条件的理解 充分条件是某一个结论成立应具备的条件,当命题具备此条件 时,就可以得出此结论;或要使此结论成立,只要具备此条件就 足够了,当命题不具备此条件时,结论也有可能成立.例如,x=6 ⇒x2=36,但是,当x≠6时,x2=36也可以成立,所以“x=6”是“x2 =36成立”的充分条件.
(2)命题判断法:①如果命题:“若p,则q”为真命题,那么p是q 的充分条件,同时q是p的必要条件. ②如果命题:“若p,则q”为假命题,那么p不是q的充分条件,同 时q也不是p的必要条件.
【变式训练】已知p:|x|=|y|,q:x=y,则p是q的什么条件?
【解题指南】解答本题的关键是判断命题“若|x|=|y|,则
1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若p是q的必要条件,则q是p的充分条件.( (2)若p是q的充分条件,则﹁p是﹁q的充分条件.( ) ) )
(3)“两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要条件.(
【解析】(1)正确.若p是q的必要条件,即p⇐q,所以q是p的充分 条件. (2)错误.若p是q的充分条件,即p⇒q,其逆否命题为﹁p⇐﹁q,所 以﹁p是﹁q的必要条件. (3)错误.“对顶角相等”的逆否命题为“不相等的两个角不是
3 2 2 3
所以p是q的充分条件,但p不是q的必要条件. ②因为(x+1)(x-2)=0 x+1=0,但x+1=0⇒(x+1)(x-2)=0,所 以p是q的必要条件,但p不是q的充分条件.
【方法技巧】充分条件、必要条件的两种判断方法 (1)定义法:①确定谁是条件,谁是结论. ②尝试从条件推结论,若条件能推出结论,则条件为充分条件, 否则就不是充分条件. ③尝试从结论推条件,若结论能推出条件,则条件为必要条件, 否则就不是必要条件.