下载文档原格式
高三数学不等式选讲试题答案及解析1.不等式的解集是．【答案】【解析】由绝对值的几何意义，数轴上之间的距离为，结合图形，当落在数轴上外时.满足不等式，故答案为.【考点】不等式选讲.2.不等式的解集是【答案】【解析】原不等式可化为，解得.考点:绝对值不等式解法3.已知函数（Ⅰ）证明:；（Ⅱ）求不等式:的解集．【答案】（Ⅰ）祥见解析；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）通过对x的范围分类讨论将函数f（x）=|x-2|-|x-5|中的绝对值符号去掉，转化为分段函数，即可解决；（Ⅱ）结合（1）对x分x≤2，2＜x＜5与x≥5三种情况讨论解决即可．试题解析：（Ⅰ）当所以（Ⅱ）由（1）可知，当的解集为空集；当时，的解集为：；当时，的解集为：；综上，不等式的解集为：；【考点】绝对值不等式的解法．4.设函数=（1）证明：2；（2）若，求的取值范围.【答案】（2）【解析】本题第（1）问，可由绝对值不等式的几何意义得出，从而得出结论；对第（2）问，由去掉一个绝对值号，然后去掉另一个绝对值号，解出的取值范围.试题解析：（1）证明：由绝对值不等式的几何意义可知：，当且仅当时，取等号，所以.（2）因为，所以，解得：.【易错点】在应用均值不等式时,注意等号成立的条件:一正二定三相等.【考点】本小题主要考查不等式的证明、绝对值不等式的几何意义、绝对值不等式的解法、求参数范围等不等式知识，熟练基础知识是解答好本类题目的关键.5.（5分）（2011•陕西）（请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）A．（不等式选做题）若不等式|x+1|+|x﹣2|≥a对任意x∈R恒成立，则a的取值范围是．B．（几何证明选做题）如图，∠B=∠D，AE⊥BC，∠ACD=90°，且AB=6，AC=4，AD=12，则AE= ．C．（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系xoy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建极坐标系，设点A，B分别在曲线C1：（θ为参数）和曲线C2：p=1上，则|AB|的最小值为．【答案】（﹣∞，3] 2 1【解析】A．首先分析题目已知不等式|x+1|+|x﹣2|≥a恒成立，求a的取值范围，即需要a小于等于|x+1|+|x﹣2|的最小值即可．对于求|x+1|+|x﹣2|的最小值，可以分析它几何意义：在数轴上点x 到点﹣1的距离加上点x到点2的距离．分析得当x在﹣1和2之间的时候，取最小值，即可得到答案；B．先证明Rt△ABE∽Rt△ADC，然后根据相似建立等式关系，求出所求即可；C．先根据ρ2=x2+y2，sin2+cos2θ=1将极坐标方程和参数方程化成直角坐标方程，根据当两点连线经过两圆心时|AB|的最小，从而最小值为两圆心距离减去两半径．解：A．已知不等式|x+1|+|x﹣2|≥a恒成立，即需要a小于等于|x+1|+|x﹣2|的最小值即可．故设函数y=|x+1|+|x﹣2|．设﹣1、2、x在数轴上所对应的点分别是A、B、P．则函数y=|x+1|+|x﹣2|的含义是P到A的距离与P到B的距离的和．可以分析到当P在A和B的中间的时候，距离和为线段AB的长度，此时最小．即：y=|x+1|+|x﹣2|=|PA|+|PB|≥|AB|=3．即|x+1|+|x﹣2|的最小值为3．即：k≤3．故答案为：（﹣∞，3]．B．∵∠B=∠D，AE⊥BC，∠ACD=90°∴Rt△ABE∽Rt△ADC而AB=6，AC=4，AD=12，根据AD•AE=AB•AC解得：AE=2，故答案为：2C．消去参数θ得，（x﹣3）2+y2=1而p=1，则直角坐标方程为x2+y2=1，点A在圆（x﹣3）2+y2=1上，点B在圆x2+y2=1上则|AB|的最小值为1．故答案为：1点评：A题主要考查不等式恒成立的问题，其中涉及到绝对值不等式求最值的问题，对于y=|x﹣a|+|x﹣b|类型的函数可以用分析几何意义的方法求最值．本题还考查了三角形相似和圆的参数方程等有关知识，同时考查了转化与划归的思想，属于基础题．6.（2012•广东）不等式|x+2|﹣|x|≤1的解集为_________．【答案】【解析】∵|x+2|﹣|x|=∴x≥0时，不等式|x+2|﹣|x|≤1无解；当﹣2＜x＜0时，由2x+2≤1解得x≤，即有﹣2＜x≤；当x≤﹣2，不等式|x+2|﹣|x|≤1恒成立，综上知不等式|x+2|﹣|x|≤1的解集为故答案为7.设函数，若，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由的图象，可知在处取得最小值，∵, ,即,或．∴实数的取值范围为，选C.8.已知不等式的解集与不等式的解集相同，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解不等式得或，所以的两个根为和，由根与系数的关系知.故选.【考点】绝对值不等式的解法，一元二次不等式的解法.9.设函数,其中。
选修4-5 不等式选讲资料不等式选讲知识点1、实数的运算性质与大小顺序的关系：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知：0>-⇔>b a b a0=-⇔=b a b a 0<-⇔<b a b a得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。
2、不等式的基本性质：①、如果a>b ，那么b<a ，如果b<a ，那么a>b 。
(对称性) ②、如果a>b ，且b>c ，那么a>c ，即a>b ，b>c ⇒a>c 。
③、如果a>b ，那么a+c>b+c ，即a>b ⇒a+c>b+c 。
推论：如果a>b ，且c>d ，那么a+c>b+d ．即a>b ， c>d ⇒a+c>b+d ． ④、如果a>b ，且c>0，那么ac>bc ；如果a>b ，且c<0，那么ac<bc ．⑤、如果a>b >0，那么nn b a >(n ∈N ，且n>1) ⑥、如果a>b >0，那么n n b a >(n ∈N ，且n>1)。
3，平均值不等式定理1：如果a 、b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab （当且仅当a ＝b 时取“＝”号） 定理2（基本不等式）：如果a ，b 是正数，那么 a ＋b2≥ab （当且仅当a ＝b 时取“＝”号）说明：（1）我们称a ＋b2为a ，b 的算术平均数，称ab 为a ，b 的几何平均数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.（2）a 2＋b 2≥2ab 和a ＋b2≥ab 成立的条件是不同的：前者只要求a ，b 都是实数，而后者要求a ，b 都是正数.（3）“当且仅当”的含义是充要条件.定理3：如果+∈R c b a ,,，那么abc c b a 3333≥++（当且仅当c b a ==时取“=”）定理4：如果+∈R c b a ,,，那么33abc c b a ≥++。
第一节绝对值不等式考纲要求：1.理解绝对值不等式的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：(1)|a＋b|≤|a|＋|b|；(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|.2．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c.1．绝对值不等式的解法(1)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c.②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(2)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．2．绝对值三角不等式(1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．(2)定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．[自我查验]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若|x|＞c的解集为R，则c≤0.()(2)不等式|x－1|＋|x＋2|<2的解集为∅.()(3)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a＞b＞0时等号成立．()(4)对|a|－|b|≤|a－b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立．()(5)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立．()答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√2．若关于x 的不等式|x －a |<1的解集为(1,3)，则实数a 的值为________． 解析：由|x －a |＜1，则－1＜x －a ＜1， ∴a －1<x ＜a ＋1，∴a ＝2. 答案：23．设不等式|x ＋1|－|x －2|>k 的解集为R ，则实数k 的取值范围为____________． 解析：∵||x ＋1|－|x －2||≤3， ∴－3≤|x ＋1|－|x －2|≤3， ∴k ＜(|x ＋1|－|x －2|)的最小值， 即k ＜－3. 答案：(－∞，－3)4．f (x )＝|2－x |＋|x －1|的最小值为________． 解析：∵|2－x |＋|x －1|≥|2－x ＋x －1|＝1, ∴f (x )min ＝1. 答案：15．若|x －1|≤1，|y －2|≤1，则|x －2y ＋1|的最大值为________． 解析：|x －2y ＋1|＝|(x －1)－2(y －2)－2|≤|x －1|＋2|y －2|＋2＝5. 答案：5[典题1] (2015·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围． [听前试做] (1)当a ＝1时， f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0. 当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解； 当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0， 解得23<x <1；当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2.所以f (x )>1的解集为⎝⎛⎭⎫23，2.(2)由题设可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a .所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝⎛⎭⎫2a －13，0，B (2a ＋1,0)，C (a ，a ＋1)，△ABC 的面积为23(a ＋1)2. 由题设得23(a ＋1)2>6，故a >2. 所以a 的取值范围为(2，＋∞)．含绝对值不等式的常用解法(1)基本性质法：对a ∈(0，＋∞)，|x |<a ⇔－a <x <a ，|x |>a ⇔x <－a 或x >a . (2)平方法：两边平方去掉绝对值符号．(3)零点分区间法(或叫定义法)：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解．(4)几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解． (5)数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解．(2016贵阳模拟)已知函数f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －3|. (1)求不等式f (x )≤6的解集；(2)若关于x 的不等式f (x )<|a －1|的解集非空，求实数a 的取值范围． 解：(1)不等式f (x )≤6，即|2x ＋1|＋|2x －3|≤6， ∴①⎩⎪⎨⎪⎧x <－12，－2x －1＋3－2x ≤6，或②⎩⎪⎨⎪⎧ －12≤x ≤32，2x ＋1＋3－2x ≤6，或③⎩⎪⎨⎪⎧x >32，2x ＋1＋2x －3≤6，解①得－1≤x ＜－12，解②得－12≤x ≤32，解③得32<x ≤2， 即不等式的解集为[－1,2]．(2)∵f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －3|≥|(2x ＋1)－(2x －3)|＝4，即f (x )的最小值等于4，∴|a －1|>4，解此不等式得a <－3或a >5. 故实数a 的取值范围为(－∞，－3)∪(5，＋∞)．[典题2] 设不等式－2＜|x －1|－|x ＋2|＜0的解集为M ，a ，b ∈M .(1)证明：⎪⎪⎪⎪13a ＋16b ＜14；(2)比较|1－4ab |与2|a －b |的大小，并说明理由． [听前试做] (1)证明：记f (x )＝|x －1|－|x ＋2| ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，x ≤－2，－2x －1，－2＜x ＜1，－3，x ≥1.由－2＜－2x －1＜0，解得－12＜x ＜12， 则M ＝⎝⎛⎭⎫－12，12. 所以⎪⎪⎪⎪13a ＋16b ≤13|a |＋16|b |＜13×12＋16×12＝14.(2)由(1)得a 2＜14，b 2＜14. 因为|1－4ab |2－4|a －b |2＝(1－8ab ＋16a 2b 2)－4(a 2－2ab ＋b 2) ＝(4a 2－1)(4b 2－1)＞0， 所以|1－4ab |2＞4|a －b |2， 故|1－4ab |＞2|a －b |.证明绝对值不等式的三种方法(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明． (2)利用三角不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |进行证明． (3)转化为函数问题，利用数形结合进行证明．已知x ，y ∈R ，且|x ＋y |≤16，|x －y |≤14， 求证：|x ＋5y |≤1.证明：∵|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|. ∴由绝对值不等式的性质，得|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|≤|3(x ＋y )|＋|2(x －y )| ＝3|x ＋y |＋2|x －y |≤3×16＋2×14＝1. 即|x ＋5y |≤1.[典题3] 设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |(a >0)． (1)证明：f (x )≥2；(2)若f (3)<5，求a 的取值范围．[听前试做] (1)证明：由a >0，有f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |≥⎪⎪⎪⎪x ＋1a －x －a＝1a＋a ≥2.当且仅当“a ＝1”时等号成立．所以f (x )≥2.(2)f (3)＝⎪⎪⎪⎪3＋1a ＋|3－a |.当a >3时，f (3)＝a ＋1a ， 由f (3)<5得3<a <5＋212. 当0＜a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a ， 由f (3)<5得1＋52<a ≤3. 综上，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫1＋52，5＋212.解决含参数的绝对值不等式问题，常将参数分类讨论，将原问题转化为分段函数问题进行解决．已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3. (1)当a ＝－2时，求不等式f (x )<g (x )的解集；(2)设a >－1，且当x ∈⎣⎡⎭⎫－a 2，12时，f (x )≤g (x )，求 a 的取值范围． 解：(1)当a ＝－2时，不等式f (x )<g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3<0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝⎩⎨⎧－5x ，x<12，－x －2，12≤x ≤1，3x －6，x >1.其图象如图所示．从图象可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y <0.所以原不等式的解集是(0,2)．(2)当x ∈⎣⎡⎭⎫－a 2，12时，f (x )＝1＋a . 不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3.所以x ≥a －2对x ∈⎣⎡⎭⎫－a 2，12都成立．故－a 2≥a －2，即a ≤43.从而a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－1，43.—————————————[课堂归纳——感悟提升]——————————————[方法技巧]1．|ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c (c >0)型不等式的解法(1)若c ＞0，则|ax ＋b |≤c 等价于－c ≤ax ＋b ≤c ，|ax ＋b |≥c 等价于ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c ，然后根据a ，b 的值解出即可．(2)若c ＜0，则|ax ＋b |≤c 的解集为∅，|ax ＋b |≥c 的解集为R .2．|x －a |＋|x －b |≥c (或≤c )(c ＞0)，|x －a |－|x －b |≤c (或≥c )(c ＞0)型不等式的解法 (1)可通过零点分区间法或利用绝对值的几何意义进行求解．零点分区间法的一般步骤： ①令每个绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根； ②将这些根按从小到大排列，把实数集分为若干个区间；③由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式，解这些不等式，求出解集； ④取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集． (2)利用绝对值的几何意义由于|x －a |＋|x －b |与|x －a |－|x －b |分别表示数轴上与x 对应的点到a ，b 对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如|x －a |＋|x －b |≤c (c ＞0)或|x －a |－|x －b |≥c (c ＞0)的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观．3．|f (x )|＞g (x )，|f (x )|＜g (x )(g (x )＞0)型不等式的解法 (1)|f (x )|＞g (x )⇔f (x )＞g (x )或f (x )＜－g (x )． (2)|f (x )|＜g (x )⇔－g (x )＜f (x )＜g (x )．[易错防范]在分类讨论含多个绝对值的不等式时，分类应做到不重不漏；在某个区间上解出不等式后，不要忘了与前提条件求交集．1．(2016·沈阳模拟)设函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|. (1)解不等式f (x )>0；(2)若f (x )＋3|x －4|>m 对一切实数x 均成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)当x ≥4时，f (x )＝2x ＋1－(x －4)＝x ＋5>0，得x >－5，所以x ≥4. 当－12≤x ＜4时，f (x )＝2x ＋1＋x －4＝3x －3>0，得x >1，所以1<x <4. 当x <－12时，f (x )＝－x －5>0，得x <－5， 所以x <－5.综上，原不等式的解集为(－∞，－5)∪(1，＋∞)．(2)f (x )＋3|x －4|＝|2x ＋1|＋2|x －4|≥|2x ＋1－(2x －8)|＝9， 当－12≤x ≤4时等号成立，所以m <9，即m 的取值范围为(－∞，9)． 2．(2016·南宁模拟)已知函数f (x )＝|x －a |. (1)若f (x )≤m 的解集为[－1,5]，求实数a ，m 的值； (2)当a ＝2且0≤t ≤2时，解关于x 的不等式f (x )＋t ≥f (x ＋2)． 解：(1)∵|x －a |≤m ，∴－m ＋a ≤x ≤m ＋a . ∵－m ＋a ＝－1，m ＋a ＝5， ∴a ＝2，m ＝3.(2)f (x )＋t ≥f (x ＋2)可化为|x －2|＋t ≥|x |.当x ∈(－∞，0)时，2－x ＋t ≥－x,2＋t ≥0，∵0≤t ≤2，∴x ∈(－∞，0)； 当x ∈[0,2)时，2－x ＋t ≥x ，x ≤1＋t 2，0≤x ≤1＋t 2，∵1≤1＋t 2≤2，∴0≤t ＜2时，0≤x ≤1＋t2，t ＝2时，0≤x ＜2；当x ∈[2，＋∞)时，x －2＋t ≥x ，t ≥2，当0≤t ＜2时，无解，当t ＝2时，x ∈[2，＋∞)，∴当0≤t ＜2时原不等式的解集为⎝⎛⎦⎤－∞，t 2＋1；当t ＝2时x ∈R .3．(2016·辽宁联考)已知函数f (x )＝log 2(|x ＋1|＋|x －2|－m )． (1)当m ＝7时，求函数f (x )的定义域；(2)若关于x 的不等式f (x )≥2的解集是R ，求m 的取值范围． 解：(1)由题设知：|x ＋1|＋|x －2|>7， 不等式的解集是以下不等式组解集的并集；⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2，x ＋1＋x －2>7或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＜2，x ＋1－x ＋2＞7 或⎩⎪⎨⎪⎧x <－1，－x －1－x ＋2>7， 解得函数f (x )的定义域为(－∞，－3)∪(4，＋∞)． (2)不等式f (x )≥2，即|x ＋1|＋|x －2|≥m ＋4，∵x ∈R 时，恒有|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3， 不等式|x ＋1|＋|x －2|≥m ＋4的解集是R ， ∴m ＋4≤3，m 的取值范围是(－∞，－1]． 4．(2016·九江模拟)已知函数f (x )＝|x －3|－|x －a |. (1)当a ＝2时，解不等式f (x )≤－12；(2)若存在实数a ，使得不等式f (x )≥a 成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)∵a ＝2，∴f (x )＝|x －3|－|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≤2，5－2x ，2<x <3，－1，x ≥3，∴f (x )≤－12等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤2，1≤－12或⎩⎪⎨⎪⎧ 2<x <3，5－2x ≤－12或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3，－1≤－12， 解得114≤x ＜3或x ≥3，∴不等式的解集为⎣⎡⎭⎫114，＋∞.(2)由不等式性质可知f (x )＝|x －3|－|x －a |≤|(x －3)－(x －a )|＝|a －3|， ∴若存在实数x ，使得不等式f (x )≥a 成立，则|a －3|≥a ，解得a ≤32， ∴实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，32.5．(2016·兰州模拟)已知函数f (x )＝|2x －a |＋a .(1)若不等式f (x )≤6的解集为[－2,3]，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若存在实数n 使f (n )≤m －f (－n )成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)由|2x －a |＋a ≤6得|2x －a |≤6－a ， ∴a －6≤2x －a ≤6－a ，即a －3≤x ≤3， ∴a －3＝－2，∴a ＝1. (2)由(1)知f (x )＝|2x －1|＋1， 令φ(n )＝f (n )＋f (－n )，则φ(n )＝|2n －1|＋|2n ＋1|＋2＝⎩⎪⎨⎪⎧2－4n ，n ≤－12，4，－12＜n ≤12，2＋4n ，n >12，∴φ(n )的最小值为4，故实数m 的取值范围是[4，＋∞)．6．(2016·郑州模拟)已知函数f (x )＝|3x ＋2|. (1)解不等式f (x )<4－|x －1|；(2)已知m ＋n ＝1(m ，n >0)，若|x －a |－f (x )≤1m ＋1n (a >0)恒成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)不等式f (x )<4－|x －1|，即|3x ＋2|＋|x －1|<4. 当x <－23时，即－3x －2－x ＋1<4，解得－54<x <－23； 当－23≤x ≤1时，即3x ＋2－x ＋1<4，解得－23≤x ＜12； 当x >1时，即3x ＋2＋x －1<4，无解．综上所述，x ∈⎝⎛⎭⎫－54，12. (2)1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n (m ＋n )＝1＋1＋n m ＋mn ≥4，令g (x )＝|x －a |－f (x )＝|x －a |－|3x ＋2|＝⎩⎨⎧2x ＋2＋a ，x <－23，－4x －2＋a ，－23≤x ≤a ，－2x －2－a ，x >a ，∴x ＝－23时，g (x )max ＝23＋a ，要使不等式恒成立，只需g (x )max ＝23＋a ≤4，即0<a ≤103.故实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤0，103.第二节 不等式证明的基本方法考纲要求：1.了解下列柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明． (1)柯西不等式的向量形式：|α|·|β|≥|α·β|. (2)(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2. (3)x 1－x 22＋y 1－y 22＋x 2－x 32＋y 2－y 32≥ x 1－x 32＋y 1－y 32(通常称为平面三角不等式)．2．会用向量递归方法讨论排序不等式．3．了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题． 4．会用数学归纳法证明贝努利不等式：(1＋x )n >1＋nx (x >－1，x ≠0，n 为大于1的正整数)，了解当n 为大于1的实数时贝努利不等式也成立．5．会用上述不等式证明一些简单问题．能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值．6．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法．1．比较法作差比较法与作商比较法的基本原理： (1)作差法：a －b >0⇔a >b . (2)作商法：ab >1⇔a >b (a >0，b >0)． 2．综合法与分析法(1)综合法：证明不等式时，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过推理论证而得出命题成立，综合法又叫顺推证法或由因导果法．(2)分析法：证明命题时，从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立．这是一种执果索因的思考和证明方法．3．反证法先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法．4．放缩法证明不等式时，通过把所证不等式的一边适当地放大或缩小，以利于化简，并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显，从而得出原不等式成立，这种方法称为放缩法．5．数学归纳法数学归纳法证明不等式的一般步骤：(1)证明当n＝n0时命题成立；(2)假设当n＝k(k∈N*，且k≥n0)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立．综合(1)(2)可知，结论对于任意n≥n0，且n0，n∈N*都成立．6．柯西不等式设a，b，c，d均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，等号当且仅当ad＝bc时成立．[自我查验]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)用反证法证明命题“a，b，c全为0”时假设为“a，b，c全不为0”．()(2)若实数x、y适合不等式xy>1，x＋y>－2，则x>0，y>0.()答案：(1)×(2)√2．若m＝a＋2b，n＝a＋b2＋1，则m与n的大小关系为________．解析：∵n－m＝a＋b2＋1－a－2b＝b2－2b＋1＝(b－1)2≥0，∴n≥m.答案：n≥m[典题1](2015·新课标全国卷Ⅱ)设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d.证明：(1)若ab>cd，则a＋b>c＋d；(2)a＋b>c＋d是|a－b|<|c－d|的充要条件．[听前试做](1)因为(a＋b)2＝a＋b＋2ab，(c＋d)2＝c＋d＋2cd，由题设a＋b＝c＋d，ab>cd，得(a＋b)2>(c＋d)2.因此a＋b>c＋d.(2)①必要性：若|a－b|<|c－d|，则(a－b)2<(c－d)2，即(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.由(1)，得a＋b>c＋d.②充分性：若a＋b>c＋d，则(a＋b)2>(c＋d)2，即a＋b＋2ab>c＋d＋2cd.因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd .于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2. 因此|a －b |<|c －d |.综上，a ＋b >c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件．作差比较法证明不等式的步骤(1)作差；(2)变形；(3)判断差的符号；(4)下结论．其中“变形”是关键，通常将差变形成因式连乘积的形式或平方和的形式，再结合不等式的性质判断出差的正负．设a ，b 是非负实数，求证：a 3＋b 3≥ab (a 2＋b 2)． 证明：由a ，b 是非负实数，作差得 a 3＋b 3－ab (a 2＋b 2)＝a 2a (a －b )＋b 2b (b －a ) ＝(a －b )((a )5－(b )5)． 当a ≥b 时，a ≥b ，从而(a )5≥(b )5，得(a －b )((a )5－(b )5)≥0； 当a <b 时，a <b ，从而(a )5<(b )5， 得(a －b )((a )5－(b )5)>0. 所以a 3＋b 3≥ab (a 2＋b 2)．[典题2] 若a >0，b >0，且1a ＋1b ＝ab . (1)求a 3＋b 3的最小值；(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6并说明理由． [听前试做] (1)由ab ＝1a ＋1b ≥2ab ，得ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立．故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥42，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立． 所以a 3＋b 3的最小值为4 2. (2)由(1)知，2a ＋3b ≥26ab ≥4 3.由于43>6，从而不存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6.综合法证明不等式的技巧综合法证明不等式，主要从目标式的结构特征探索思路．如果这种特征不足以明确解题方法时，就应从目标式开始，通过“倒推”探索解题思路．已知a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：1a ＋1b ＋1c ≥9.解：1a ＋1b ＋1c ＝(a ＋b ＋c )·⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c ≥3·3abc ·3·31abc ＝9当且仅当a ＝b ＝c ＝13时等号成立．[典题3] (2015·陕西高考)已知关于x 的不等式|x ＋a |＜b 的解集为{x |2＜x ＜4}． (1)求实数a ，b 的值； (2)求at ＋12＋bt 的最大值．[听前试做] (1)由|x ＋a |＜b ，得－b －a ＜x ＜b －a ，则⎩⎪⎨⎪⎧ －b －a ＝2，b －a ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝1.(2)－3t ＋12＋t ＝3·4－t ＋t ≤[32＋12][4－t2＋t2]＝24－t ＋t ＝4， 当且仅当4－t 3＝t1，即t ＝1时等号成立， 故(－3t ＋12＋t )max ＝4.柯西不等式的常见类型及解题策略(1)求表达式的最值．依据已知条件，利用柯西不等式求最值，注意等号成立的条件； (2)求解析式的值．利用柯西不等式的条件，注意等号成立的条件，进而求得各个量的值，从而求出解析式的值；(3)证明不等式．注意所证不等式的结构特征，寻找柯西不等式的条件，然后证明．已知定义在R 上的函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|的最小值为a . (1)求a 的值；(2)若p ，q ，r 是正实数，且满足p ＋q ＋r ＝a ，求证：p 2＋q 2＋r 2≥3. 解：(1)因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，当且仅当－1≤x ≤2时，等号成立，所以f (x )的最小值等于3，即a ＝3.(2)证明：由(1)知p＋q＋r＝3，又因为p，q，r是正实数，所以(p2＋q2＋r2)(12＋12＋12)≥(p×1＋q×1＋r×1)2＝(p＋q＋r)2＝9，即p2＋q2＋r2≥3.—————————————[课堂归纳——感悟提升]——————————————[方法技巧]证明不等式的方法和技巧(1)如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证的命题以“至少”“至多”等方式给出或是否定性命题、唯一性命题，则考虑用反证法；如果待证不等式与自然数有关，则考虑用数学归纳法等．(2)在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明．尤其是对含绝对值不等式的解法或证明，其简化的基本思路是化去绝对值号，转化为常见的不等式(组)求解．多以绝对值的几何意义或“找零点、分区间、逐个解、并起来”为简化策略，而绝对值三角不等式，往往作为不等式放缩的依据．[易错防范]比较法证明不等式最常用的是差值比较法，其基本步骤是：作差—变形—判断差的符号—下结论．其中“变形”是证明的关键，一般通过因式分解或配方将差式变形为几个因式的积或配成几个代数式平方和的形式，当差式是二次三项式时，有时也可用判别式来判断差值的符号．个别题目也可用柯西不等式来证明．1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c，证明：(1)1a3＋1b3＋1c3＋abc≥23；(2)πA＋πB＋πC≥9.证明：(1)因为a，b，c为正实数，由基本(均值)不等式可得1a3＋1b3＋1c3≥331a3·1b3·1c3，即1a3＋1b3＋1c3≥3abc，所以1a3＋1b3＋1c3＋abc≥3abc＋abc，而3abc＋abc≥23abc·abc＝23，所以1a3＋1b3＋1c3＋abc≥2 3.当且仅当a＝b＝c＝63时取等号．(2)1A ＋1B ＋1C ≥331ABC ＝33ABC ≥3A ＋B ＋C 3＝9π，所以πA ＋πB ＋πC ≥9，当且仅当A ＝B ＝C ＝π3时取等号．2．(2016·云南模拟)已知a 是常数，对任意实数x ，不等式|x ＋1|－|2－x |≤a ≤|x ＋1|＋|2－x |都成立．(1)求a 的值；(2)设m >n >0，求证：2m ＋1m 2－2mn ＋n 2≥2n ＋a .解：(1)设f (x )＝|x ＋1|－|2－x |，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤－1，2x －1，－1<x <2，3，x ≥2，∴f (x )的最大值为3.∵对任意实数x ，|x ＋1|－|2－x |≤a 都成立，即f (x )≤a ，∴a ≥3. 设h (x )＝|x ＋1|＋|2－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1，x ≤－1，3，－1<x <2，2x －1，x ≥2，则h (x )的最小值为3.∵对任意实数x ，|x ＋1|＋|2－x |≥a 都成立，即h (x )≥a ，∴a ≤3.∴a ＝3. (2)由(1)知a ＝3.∵2m ＋1m 2－2mn ＋n 2－2n ＝(m －n )＋(m －n )＋1m －n 2，且m >n >0，∴(m －n )＋(m －n )＋1m －n2≥33m －n m －n1m －n2＝3，∴2m ＋1m 2－2mn ＋n 2≥2n ＋a .3．设函数f (x )＝|x －4|＋|x －3|，f (x )的最小值为m . (1)求m 的值；(2)当a ＋2b ＋3c ＝m (a ，b ，c ∈R )时，求a 2＋b 2＋c 2的最小值．解：(1)法一：f (x )＝|x －4|＋|x －3|≥|(x －4)－(x －3)|＝1，故函数f (x )的最小值为1，即m ＝1.法二：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －7，x ≥4，1，3≤x ＜4，7－2x ，x <3.当x ≥4时，f (x )≥1；当x <3时，f (x )>1；当3≤x ＜4时，f (x )＝1，故函数f (x )的最小值为1，即m ＝1.(2)(a 2＋b 2＋c 2)(12＋22＋32)≥(a ＋2b ＋3c )2＝1， 故a 2＋b 2＋c 2≥114，当且仅当a ＝114，b ＝17，c ＝314时取等号． 故a 2＋b 2＋c 2的最小值为114.4．设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1.证明： (1) ab ＋bc ＋ac ≤13； (2) a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥1.证明：(1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1.所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13. (2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c ，故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )，即a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c .所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥1. 5．(2016·长春质检)(1)已知a ，b 都是正数，且a ≠b ，求证：a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2； (2)已知a ，b ，c 都是正数，求证：a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2a ＋b ＋c ≥abc .证明：(1)(a 3＋b 3)－(a 2b ＋ab 2)＝(a ＋b )(a －b )2. 因为a ，b 都是正数，所以a ＋b >0. 又因为a ≠b ，所以(a －b )2>0.于是(a ＋b )(a －b )2>0，即(a 3＋b 3)－(a 2b ＋ab 2)>0， 所以a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2.(2)因为b 2＋c 2≥2bc ，a 2>0，所以a 2(b 2＋c 2)≥2a 2bc .① 同理，b 2(a 2＋c 2)≥2ab 2c .② c 2(a 2＋b 2)≥2abc 2.③①②③相加得2(a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2)≥2a 2bc ＋2ab 2c ＋2abc 2，从而a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2≥abc (a ＋b＋c )．由a ，b ，c 都是正数，得a ＋b ＋c >0，因此a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2a ＋b ＋c≥abc .6．设a ，b ，c 为正数且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2＋⎝⎛⎭⎫c ＋1c 2≥1003. 证明：⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2＋c ＋1c 2＝13(12＋12＋12)⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2＋⎝⎛⎭⎫c ＋1c 2≥131×⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＋1×b ＋1b ＋1×⎝⎛⎭⎫c ＋1c 2＝131＋1a ＋1b＋1c 2＝131＋(a ＋b ＋c )1a ＋1b ＋1c 2≥13×(1＋9)2＝1003.即原不等式成立．。
2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)专题76不等式选讲最新考纲1.理解绝对值不等式的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)；|a－c|≤|a－b|＋|b－c|(a，b∈R)．2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c.3.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法.基础知识融会贯通1．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．2．含有绝对值的不等式的性质(1)如果a，b是实数，则|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．(2)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．3．不等式证明的方法(1)比较法①作差比较法知道a>b⇔a－b>0，a<b⇔a－b<0，因此要证明a>b，只要证明a－b>0即可，这种方法称为作差比较法．②作商比较法由a >b >0⇔a b >1且a >0，b >0，因此当a >0，b >0时，要证明a >b ，只要证明ab >1即可，这种方法称为作商比较法． (2)综合法从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，最终推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫做综合法，即“由因导果”的方法． (3)分析法从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)，从而得出要证的不等式成立，这种证明方法叫做分析法，即“执果索因”的方法．重点难点突破【题型一】绝对值不等式的解法【典型例题】已知函数f （x ）＝|2x ﹣1|+|x +a |，g （x ）＝x +2．（1）当a ＝﹣1时，求不等式f （x ）＜g （x ）的解集； （2）设，且当，求a 的取值范围．【解答】解：（1）当a ＝﹣1时，不等式f （x ）＜g （x ）化为|2x ﹣1|+|x ﹣1|﹣x ﹣2＜0， （i ）当x 时，不等式化为﹣（2x ﹣1）﹣（x ﹣1）﹣x ﹣2＜0，解得0＜x ．（ii ）当x ≤1时，不等式化为2x ﹣1﹣（x ﹣1）﹣x ﹣2＜0，解得x ≤1，（iii ）当x ＞1时，不等式化为2x ﹣1+x ﹣1﹣x ﹣2＜0，解得1＜x ＜2 综上，原不等式的解集为（0，2）． （2）由﹣a ≤x ，得﹣2a ≤2x ＜1，﹣2a ﹣1≤2x ﹣1＜0， 又0≤x +aa ，则f （x ）＝﹣（2x ﹣1）+x +a ＝﹣x +a +1， ∴不等式f （x ）≤g （x ）化为﹣x +a +1≤x +2， 得a ≤2x +1对x ∈[﹣a ，）都成立，故a≤﹣2a+1，即a，又a，故a的取值范围是（，]．【再练一题】求不等式4﹣2|x+2|≤|x﹣1|的解集．【解答】解：①当x≤﹣2时，原不等式可化为4﹣2（x﹣2）≤1﹣x，解得x，此时x；②当﹣2＜x＜1时，原不等式可化为4﹣2（x﹣2）≤1﹣x，解得x≥﹣1，此时﹣1≤x＜1；③当x≥1时，原不等式可化为4﹣2（x﹣2）≤x﹣1，解得x，此时x≥1．综上，原不等式的解集为（﹣∞，]∪[﹣1，+∞）．思维升华解绝对值不等式的基本方法(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式．(2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式．(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解．【题型二】利用绝对值不等式求最值【典型例题】已知函数f（x）＝|x+1|，g（x）＝2|x|+a．（1）当a＝﹣1时，解不等式f（x）≤g（x）；（2）若存在x0∈R，使得f（x0）g（x0），求实数a的取值范围．【解答】解：（1）a＝﹣1时，由f（x）≤g（x）得，|x+1|≤2|x|﹣1；x≤﹣1时，﹣x﹣1≤﹣2x﹣1，解得：x≤﹣1；﹣1＜x≤0时，x+1≤﹣2x﹣1，解得：﹣1＜x；x＞0时，x+1≤2x﹣1，解得：x≥2；∴不等式f（x）≤g（x）的解集为{x|x，或x≥2}；（2）存在x0∈R，使得f（x0）g（x0），即存在x0∈R，使得|x0+1|≤|x0|；即存在x0∈R，使得|x0+1|﹣|x0|；设h（x）＝|x+1|﹣|x|，则h（x）的最小值为﹣1；∴1；即a≥﹣2；∴实数a的取值范围为：[﹣2，﹣∞）．【再练一题】已知函数f（x）＝|2x﹣4|+|x+1|，（Ⅰ）解不等式f（x）≤9；（Ⅱ）若不等式f（x）＜2x+a的解集为A，B＝{x|x2﹣3x＜0}，且满足B⊆A，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）≤9可化为|2x﹣4|+|x+1|≤9，故，或，或；…解得：2＜x≤4，或﹣1≤x≤2，或﹣2≤x＜﹣1；…不等式的解集为[﹣2，4]；…（Ⅱ）易知B＝（0，3）；…所以B⊆A，又|2x﹣4|+|x+1|＜2x+a在x∈（0，3）恒成立；…⇒|2x﹣4|＜x+a﹣1在x∈（0，3）恒成立；…⇒﹣x﹣a+1＜2x﹣4＜x+a﹣1在x∈（0，3）恒成立；…故思维升华求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种(1)利用绝对值的几何意义．(2)利用绝对值三角不等式，即|a|＋|b|≥|a±b|≥|a|－|b|.(3)利用零点分区间法．【题型三】绝对值不等式的综合应用【典型例题】已知不等式x+|x﹣a|≥1的解集为R．（1）求a的取值范围；（2）当a取得最小值时，请画出f（x）＝x+|x﹣a|的图象．【解答】解：（1）∵x+|x﹣a|≥x﹣x+a＝a，∴不等式x+|x﹣a|≥1的解集为R等价于a≥1，a的取值范围是[1，+∞）（2）由（1）知a＝1，f（x）＝x+|x﹣1|，图象如下：【再练一题】设函数f（x）＝|2x﹣4|+1．（Ⅰ）求不等式f（x）≥x+3的解集；（Ⅱ）关于x的不等式f（x）﹣2|x+2|≥a在实数范围内有解，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）≥x+3，即|2x﹣4|+1≥x+3，则2|x﹣2|≥x+2，当x≥2时，解得x≥6，当x＜2，解得x，所以原不等式的解集为（﹣∞，）∪（6，+∞）（Ⅱ）由不等式f（x）﹣2|x+2|≥a在实数范围内有解可得：a≤2|x﹣2|﹣2|x+2|+1在实数范围内有解，令g（x）＝2|x﹣2|﹣2|x+2|+1，则a≤g（x）nax，因为g（x）＝2|x﹣2|﹣2|x+2|+1≤2|（x﹣2）﹣（x+2）|+1＝9，所以a≤g（x）max＝9，即a∈（﹣∞，9]．思维升华(1)解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数来解决．(2)数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法．【题型四】用综合法与分析法证明不等式【典型例题】用综合法或分析法证明：（1）求证2．（2）已知a+b+c＝1，a，b，c为正实数，证明8．【解答】证明（1）要证2，只需证明（）2＞（）2，即证明22，也就是证明42＞40，上式显然成立，故原结论成立．（2）（分析法）要证明8，∵a+b+c＝1，只要证明••8，∵，，，∴相乘可得；（综合法）∵a，b，c为正实数，∴，，，∴••8，∵a+b+c＝1，∴8．【再练一题】已知函数f（x）＝x3，x∈[0，1]．（1）用分析法证明：f（x）≥1﹣x+x2；（2）证明：．【解答】证明：（1）∵x ∈[0，1]，∴x +1∈[1，2]． 要证明：f （x ）≥1﹣x +x 2，只要证明：x 3（x +1）+1≥（x +1）（1﹣x +x 2）， 只要证明：x 4≥0， 显然成立，∴f （x ）≥1﹣x +x 2； （2）∵1﹣x +x 2＝（x ）2，当且仅当x时取等号，∵f （），f （x ）≥1﹣x +x 2，∴f （x ），（2）∵0≤x ≤1，∴x 3≤x ， ∴f （x ）≤x ，设g （x ）＝x ，x ∈[0，1]，∴g ′（x ）＝10，∴g （x ）在[0，1]上单调递增， ∴f （x ）≤g （1）， 综上所述明． 思维升华 用综合法证明不等式是“由因导果”，用分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法．综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野． 所以(a ＋b )3≤8，因此a ＋b ≤2.基础知识训练1．已知()()0f x x a a =−>．（1）若函数()()()2F x f x f x =+的最小值为3，求实数a 的值；（2）若2a =时，函数()()()g x f x f x =−−的最大值为k ，且()230,0m n k m n +=>>．求123m n+的最小值．【答案】（1）6（2）2 【解析】解：（1）0a >，2aa ∴<，∴函数()()3222232x a x aa F x x a x a x x a a a x x ⎧⎪−>⎪⎪⎛⎫=−+−=≤≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫−<⎪ ⎪⎝⎭⎩∴当2a x =时，函数()F x 的最小值为322a aF ⎛⎫== ⎪⎝⎭，6a ∴=．（2）当2a =时，()22g x x x =−−+，()()22224x x x x −−+≤−−+=，4k ∴=，所以234m n +=因为()12112134123442343434n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，所以当343n m m n =，即2n =，1m =时，123m n +最小值为2 2．选修4-5：不等式选讲 已知正实数,ab 满足2a b+=. ≤(Ⅱ) 若对任意正实数,a b ，不等式|1||3|x x ab +−−≥恒成立，求实数x 的取值范围. 【答案】(Ⅰ)见解析.(Ⅱ)3[,)2+∞. 【解析】(Ⅰ)22()262()212a b a b=+++≤+++=≤(Ⅱ)对正实数,a b 有a b +…所以2≤，解得1ab ≤，当且仅当a b =时等号成立． 因为对任意正实数,a b ，|1||3|x x ab +−−≥恒成立， 所以|1||3|1x x +−−≥恒成立．当1x ≤−时，不等式化为1(3)1x x −−−−≥，整理得41−≥，所以不等式无解； 当13x −<<时，不等式化为1(3)1x x +−−≥，解得332x ≤≤； 当3x ≥时，不等式化为1(3)1x x +−−≥，整理得41≥，不等式恒成立． 综上可得x 的取值范围是3[,)2+∞． 3．已知函数()||,f x x x a a R =+∈． （1）若()()111f f +−>，求a 的取值范围； （2）若0a <，对,(,]x y a ∀∈−∞−，不等式3(2)4f x y y a≤+++恒成立，求a 的取值范围． 【答案】（1）30.1/mol L NaHCO ；（2）[)3,0−. 【解析】（1）由()()111f f +−>得111a a +−−>， 若1a ≤−，则111a a −−+−>，显然不成立； 若11a −<<，则111a a ++−>，12a >，即112a ＜＜； 若1a ≥，则111a a +−+>，即21>，显然成立， 综上所述，a 的取值范围是30.1/mol L NaHCO ． （2）由题意知，要使得不等式恒成立，只需3))42((max min f x y ay ≤+++， 当(,]x a ∈−∞−时，()()f x x x a =−+，所以2()24maxa a f x f ⎛⎫=−= ⎪⎝⎭；因为223344a y y a +++≥−，所以23442a a ≤−，解得31a −≤≤，结合0a <，所以a 的取值范围是[)3,0−． 4．已知函数()3f x x =−. （1）解不等式()241f x x −+≤；（2）当()1f m ≤，()22f n ≤时，存在,m n R ∈，使得42131m n a −−>−，求实数a 的取值范围。
不等式选讲(用基本不等式证明不等式)一、用基本不等式证明不等式1．（2014年1卷）若0,0a b >>，且11a b +=．证明： （1） 求33a b +的最小值；（2）是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由．【解析】（I11a b =+≥，得2ab ≥，且当a b == 故33a b+≥≥，且当a b ==时取等号．所以33a b +的最小值为（II ）由（I）知，23a b +≥≥6>，从而不存在,a b ， 使得236a b +=．2.（2013年2卷）设均为正数，且，证明：（1） （2） 【解析】（Ⅰ）2222222,2,2a b ab b c bc c a ca +≥+≥+≥得 222a b c ab bc ca ++≥++由题设得()21a b c ++=，即2222221a b c ab bc ca +++++=． 所以()31ab bc ca ++≤，即13ab bc ca ++≤ （Ⅱ）∵2222,2,2a b c b a c b a c b c a+≥+≥+≥ ,,a b c 1a b c ++=13ab bc ca ++≤2221a b c b c a++≥∴222()2()a b c a b c a b c b c a+++++≥++ 即222a b c a b c b c a++≥++ ∴2221a b c b c a++≥3.（2019年1卷）已知a ，b ，c正数，且满足abc=1．证明： （1）222111a b c a b c++≤++； （2）333()()()24a b b c c a +++≥++．【解析】（1）1abc = 111111abc bc ac ab a b c a b c ⎛⎫∴++=++⋅=++ ⎪⎝⎭ ()()()()2222222222222a b c a b b c c a ab bc ac ++=+++++≥++当且仅当a b c ==时取等号， ()22211122a b c a b c ⎛⎫∴++≥++ ⎪⎝⎭，即：222111a b c a b c ++++≥ （1） ()()()()()()3333a b b c c a a b b c c a +++++≥+++，当且仅当a b c ==时取等号又a b +≥b c +≥a c +≥（当且仅当a b c ==时等号同时成立）()()()3333a b b c c a ∴+++++≥⨯=又1abc()()()33324a b b c c a ∴+++++≥4.已知正数x 、y 、z ，且1xyz =.（1）证明：222x y z y z x y++≥+； （2）证明：()()()22212x y y z z x +++++≥.【详解】（1）因为x 、y 、z 为正数，且1xyz =，所以222x y y z +≥==， 当且仅当32y zx =时等号成立，即4y x =时，等号成立；同理22y z z x +≥，22x z y x +≥22222x y z y z x z y ⎛⎛⎫++≥++ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，即222x y z y z x z y++≥+，当且仅当1x y z ===时等号成立；（2）因为()()()222x y y z z x +++++≥由二元均值不等式得x y +≥y z +≥，z x +≥，当且仅当x y z ==时，等号同时成立，所以()24x y xy +≥，()24y z yz +≥，()24z x xz +≥， ()()()()22226464x y y z z x xyz ∴+++≥=，因此，()()()22212x y y z z x +++≥=++，当且仅当1x y z ===时，等号同时成立.【点睛】本题考查利用三元和二元均值不等式证明不等式，考查推理能力，属于中等题.5.（2020年3卷）设a ，b ，c ∈R ，a+b+c=0，abc=1．（1）证明：ab+bc+ca<0；（2）用max{a ，b ，c}表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c}．【详解】（1）2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=，()22212ab bc ca a b c ∴++=-++. 1,,,abc a b c =∴均不为0，则2220a b c ++>，()222120ab bc ca a b c ∴++=-++<； （2）不妨设max{,,}a b c a =，由0,1a b c abc ++==可知，0,0,0a b c ><<，1,a b c a bc =--=，()222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc++++∴=⋅==≥=. 当且仅当b c =时，取等号，a ∴≥，即3max{,,}4a b c .。
学案75 不等式选讲 (二)不等式的证明导学目标： 1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法.2.会用比较法、综合法、分析法、数学归纳法证明比较简单的不等式．自主梳理1．证明不等式的常用方法(1)比较法：比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其基本思想是____与0比较大小或____与1比较大小．(2)综合法：从已知条件出发，利用不等式的有关性质或________，经过推理论证，最终指导出所要证明的不等式成立．(3)分析法：从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的________条件，到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)．(4)反证法①反证法的定义先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法．②反证法的特点先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾．(5)放缩法①定义：证明不等式时，通过把不等式的一边适当地________或________以利于化简，并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显，从而得出原不等式成立．这种方法称为放缩法．②思路：分析观察证明式的特点，适当放大或缩小是证题关键． (6)数学归纳法与自然数有关的不等式可考虑用数学归纳法证明． 自我检测1．已知M ＝a 2＋b 2，N ＝ab ＋a ＋b －1，则M ，N 的大小关系为________． 2．设x ＝a 2b 2＋5，y ＝2ab －a 2－4a ，若x >y ，则实数a ，b 应满足的条件为______________． 3．若a >0，b >0，给出下列四个不等式：①a ＋b ＋1ab ≥22；②(a ＋b )(1a ＋1b )≥4；③a 2＋b 2ab≥a ＋b ；④a ＋1a ＋4≥－2.其中正确的序号为______________．4．用数学归纳法证明(1＋13)(1＋15)(1＋17)…(1＋12k －1)>2k ＋12(k >1)，则当n ＝k ＋1时，左端应乘上________．这个乘上去的代数式共有因子的个数是________．5．用数学归纳法证明a n ＋b n 2≥(a ＋b 2)n(a ，b 是非负实数，n ∈N )时，假设n ＝k 命题成立之后，证明n ＝k ＋1命题也成立的关键是______________．探究点一 比较法证明不等式例1 已知a >0，b >0，求证：a b ＋ba≥a ＋b .变式迁移1 (2011·福建)设不等式|2x －1|<1的解集为M . ①求集合M ；②若a ，b ∈M ，试比较ab ＋1与a ＋b 的大小．探究点二 用综合法证明不等式例2 设a 、b 、c 均为正数，求证： 12a ＋12b ＋12c ≥1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b .变式迁移2 设x 是正实数，求证： (x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥8x 3.探究点三 用分析法证明不等式例3 已知a >b >0，求证：(a －b )28a <a ＋b 2－ab <(a －b )28b.变式迁移3 已知a >0，求证：a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.探究点四 数学归纳法例4 用数学归纳法证明： 12＋13＋14＋…＋12n －1>n －22(n ≥2)．变式迁移4 用数学归纳法证明n 2＋n <n ＋1(n ∈N *)转化与化归思想的应用例 (10分)已知f (x )＝x 2＋px ＋q .求证： (1)f (1)＋f (3)－2f (2)＝2；(2)|f (1)|、|f (2)|、|f (3)|中至少有一个不小于12.多角度审题 已知f (x )，要证f (1)＋f (3)－2f (2)＝2，只需化简左边式子，看是怎样的形式，然后才能视情况而定如何证明．求证|f (1)|、|f (2)|、|f (3)|中至少有一个不小于12包括：|f (1)|、|f (2)|、|f (3)|中有一个大于等于12，其余两个小于12；三个中有2个大于等于12，另一个小于12；三个都大于等于12.如果从正面证明，将有7种情况需要证明，非常繁杂，可考虑用反证法证明．【答题模板】证明 (1)∵f (1)＋f (3)－2f (2)＝(1＋p ＋q )＋(9＋3p ＋q )－2(4＋2p ＋q )＝2， ∴f (1)＋f (3)－2f (2)＝2.[2分](2)假设|f (1)|、|f (2)|、|f (3)|都小于12，则|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|<2，[4分]而|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|≥|f (1)＋f (3)－2f (2)|＝2， 与假设矛盾．[9分]∴|f (1)|、|f (2)|、|f (3)|中至少有一个不小于12.[10分]【突破思维障碍】根据正难则反的证明原则，|f (1)|、|f (2)|、|f (3)|至少有一个不小于12的反面为|f (1)|、|f (2)|、|f (3)|都小于12，所以用反证法证明只有一种情况，如果这一种情况不成立，则原命题成立．【易错点剖析】在证明(2)中如果不知道用反证法证，而是从正面分七种情况证明，往往会出现这样或那样的失误．1．证明不等式的常用方法有六种，即比较法、分析法、综合法、数学归纳法、反证法、放缩法，重点是前四种方法．2．比较法是证明不等式的一个最基本，最常用的方法．当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时，一般使用作差比较法；当被证的不等式(或变形后)的两端都是正数且为乘积形式或幂指数形式时，一般使用作商比较法．3．分析法执果索因，利于思考；综合法由因导果，宜于表达，适合人们的思维习惯，凡是能用分析法证明的不等式，一般可以用综合法证明．因此，我们做题时，通常先用分析法探求证题途径，在解答问题时用综合法书写． 4．放缩法就是利用不等式的传递性的方法，即要证a >b ，可以证a >c 且c >b .其中c 的确定是最困难的，要凭借对题意的分析和一定的解题经验．放缩法的常用措施：(1)舍去或加上一些项，如⎝⎛⎭⎫a ＋122＋34>⎝⎛⎭⎫a ＋122；(2)将分子或分母放大(缩小)，如1k 2<1k (k －1)，1k 2>1k (k ＋1)，1k <2k ＋k －1，1k >2k ＋k ＋1(k ∈N *且k >1)等．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共42分)1．已知a 、b 、m ∈R ＋且a >b ，则a b 与a ＋mb ＋m的大小关系为________．2．设a ∈R 且a ≠0，以下四个式子中恒大于1的个数是________．①a 3＋1；②a 2－2a ＋2；③a ＋1a ；④a 2＋1a2.3．在下列不等式中，一定成立的是________(填序号)．①48a <84b ； ②a a b b >a b b a ； ③a 3>a 2－a ＋1；④(5＋2)m 2<m 2＋12－3. 4．如图所示，矩形OP AQ 中，a 1<a 2，b 1<b 2，则阴影部分的矩形的面积之和________空白部分的矩形的面积之和．(填“>”“<”或“＝”)5．已知P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4，则P 、Q 的大小关系为________． 6．有一台天平，两臂长略有差异，其他均精确．现将一物体A 分别放在左、右托盘内各称一次，称得的结果分别为a 克和b 克，关于物体A 的质量，有下列一些说法：(1)物体A 的质量是a ＋b2克；(2)物体A 的质量介于a 克与b 克之间；(3)物体A 的质量大于a ＋b2克；(4)物体A 的质量大于2aba ＋b克．其中正确的说法是________．(将满足题意的所有序号填在题中横线上)7．设两个不相等的正数a ，b 满足a 3－b 3＝a 2－b 2，则a ＋b 的取值范围是________．二、解答题(共48分)8．(12分)若a ＋b ＝1，求证： a ＋12＋b ＋12≤2.9．(12分)(2009·江苏)设a ≥b >0，求证：3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2.10．(12分)已知x ，y ，z 均为正数，求证： x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z .11．(12分)用数学归纳法证明1·2＋2·3＋…＋n (n ＋1)>n (n ＋1)2.学案75 不等式选讲 (二)不等式的证明答案自主梳理1．(1)差 商 (2)定理 (3)充分 (5)①放大 缩小 自我检测 1．M ≥N解析 ∵M －N ＝a 2＋b 2－ab －a －b ＋1 ＝12(2a 2＋2b 2－2ab －2a －2b ＋2) ＝12[(a 2－2ab ＋b 2)＋(a 2－2a ＋1)＋(b 2－2b ＋1)] ＝12[(a －b )2＋(a －1)2＋(b －1)2]≥0，当且仅当a ＝b ＝1时“＝”成立．∴M ≥N . 2．ab ≠1或a ≠－2解析 由x >y ，得a 2b 2＋5－2ab ＋a 2＋4a ＝(ab －1)2＋(a ＋2)2>0，所以有ab ≠1或a ≠－2.3．①②③④解析 ∵a >0，b >0，∴①a ＋b ＋1ab ≥2ab ＋1ab ≥2·2ab ·1ab＝22；②(a ＋b )(1a ＋1b )≥4ab 1ab ＝4；③∵a 2＋b 22≥a ＋b2，∴a 2＋b 2≥(a ＋b )22＝(a ＋b )·a ＋b 2≥(a ＋b )ab .∴a 2＋b2ab≥a ＋b ；④∵a >0，∵a ＋1a ＋4>0，∴④恒成立．4．(1＋12k ＋1)(1＋12k ＋3)…(1＋12k ＋1－1) 2k －1解析 因为分母的公差为2，所以乘上去的第一个因式是(1＋12k ＋1)，最后一个是(1＋12k ＋1－1)，共有2k －2k －1＝2k －1项．5．两边同乘以a ＋b2解析 要想办法出现a k ＋1＋b k ＋1，两边同乘以a ＋b 2，右边也出现了要求证的(a ＋b 2)k ＋1.课堂活动区例1 解题导引 不等式左、右两边是多项式形式，可用作差或作商比较法，也可用分析法、综合法．证明 ∵a b ＋ba －(a ＋b )＝(a )3＋(b )3－(a ＋b )ab ab ＝(a ＋b )(a －b )2ab，又a ＋b >0，ab >0，(a －b )2≥0， ∴a b ＋b a －(a ＋b )≥0.故a b ＋ba≥a ＋b .变式迁移1 解 ①由|2x －1|<1得－1<2x －1<1，解得0<x <1，所以M ＝{x |0<x <1}． ②由①和a ，b ∈M 可知0<a <1,0<b <1. 所以(ab ＋1)－(a ＋b )＝(a －1)(b －1)>0， 故ab ＋1>a ＋b .例2 解题导引 本例不等式中的a 、b 、c 具有同等的地位，证明此类型不等式往往需要通过系数的变化，利用基本不等式进行放缩，得到要证明的结论．证明 ∵a 、b 、c 均为正数， ∴12⎝⎛⎭⎫12a ＋12b ≥12ab ≥1a ＋b ， 当且仅当a ＝b 时等号成立；同理：12⎝⎛⎭⎫12b ＋12c ≥12bc ≥1b ＋c ， 当且仅当b ＝c 时等号成立； 12⎝⎛⎭⎫12c ＋12a ≥12ca ≥1c ＋a， 当且仅当a ＝c 时等号成立．三个不等式相加即得12a ＋12b ＋12c ≥1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立．变式迁移2 证明 x 是正实数，由基本不等式知， x ＋1≥2x ，1＋x 2≥2x ，x 3＋1≥2x 3， 故(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥2x ·2x ·2x 3＝8x 3 (当且仅当x ＝1时等号成立)．例3 解题导引 当要证的不等式较复杂，已知条件信息量太少，已知与待证间的联系不明显时，一般可采用分析法．分析法是步步寻求不等式成立的充分条件，而实际操作时往往是先从要证的不等式出发，寻找使不等式成立的必要条件，再考虑这个必要条件是否充分，这种“逆求”过程能培养学生的发散思维能力，也是分析问题、解决问题时常用的思考方法．证明 欲证(a －b )28a <a ＋b 2－ab <(a －b )28b ，只需证(a －b )28a <(a －b )22<(a －b )28b .∵a >b >0，∴只需证a －b 22a <a －b 2<a －b22b ，即a ＋b 2a <1<a ＋b 2b .欲证a ＋b 2a<1，只需证a ＋b <2a ，即b <a .该式显然成立．欲证1<a ＋b2b，只需证2b <a ＋b ，即b <a .该式显然成立．∴a ＋b 2a <1<a ＋b 2b 成立，且以上各步均可逆．∴(a －b )28a <a ＋b 2－ab <(a －b )28b成立．变式迁移3 证明 要证 a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2，只需证 a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋2，∵a >0，∴只需证⎝⎛⎭⎫ a 2＋1a 2＋22≥⎝⎛⎭⎫a ＋1a＋22， 从而只要证2 a 2＋1a2≥2⎝⎛⎭⎫a ＋1a ， 只要证4⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2≥2⎝⎛⎭⎫a 2＋2＋1a 2， 即a 2＋1a2≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．例4 解题导引 用数学归纳法证明不等式，推导n ＝k ＋1也成立时，证明不等式的常用方法，如比较法、分析法、综合法均要灵活运用．在证明过程中，常常利用不等式的传递性对式子放缩，建立关系．证明 (1)当n ＝2时，12>0，不等式成立．(2)假设n ＝k (k ≥2)时，原不等式成立． 即12＋13＋14＋15＋…＋12k －1>k －22， 则当n ＝k ＋1时，左边＝12＋13＋14＋…＋12k －1＋12k －1＋1＋12k －1＋2＋…＋12k －1＋2k －1>k －22＋12k －1＋1＋12k －1＋2＋…＋12k －1＋2k －1>k －22＋12k ＋12k ＋…＋12k ＝k －22＋2k －12k ＝k －12＝(k ＋1)－22. ∴当n ＝k ＋1时，原不等式成立．由(1)(2)知，原不等式对n ≥2的所有的自然数都成立， 即12＋13＋14＋…＋12n －1>n －22(n ≥2)． 变式迁移4 证明 (1)当n ＝1时，显然命题成立． (2)假设n ＝k (k ∈N *)时，原不等式成立． 即k 2＋k <k ＋1，∴k 2＋k <(k ＋1)2. 则当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋1)2＋(k ＋1)＝k 2＋3k ＋2 ＝k 2＋k ＋2k ＋2<(k ＋1)2＋2k ＋2＝k 2＋4k ＋3<k 2＋4k ＋4＝k ＋2＝(k ＋1)＋1. ∴(k ＋1)2＋k ＋1<(k ＋1)＋1.∴当n ＝k ＋1时，原不等式成立．由(1)(2)知，原不等式对n ∈N *成立．即n 2＋n <n ＋1. 课后练习区 1.a b >a ＋m b ＋m解析 ∵a b －a ＋m b ＋m ＝ab ＋am －ab －bm b (b ＋m )＝m (a －b )b (b ＋m )>0，∴a b >a ＋m b ＋m . 2．1解析 只有a 2＋1a2≥2>1.3．④解析 取a ＝b ＝1，显然有48a 84b ＝⎝⎛⎭⎫484·44＝16>1，∴48>84，①不成立； ∵a a b b a b ba ＝⎝⎛⎭⎫ab a ·⎝⎛⎭⎫b a b ＝⎝⎛⎭⎫a b a －b ， 当a <b <0时，⎝⎛⎭⎫a b a －b<1，∴②不一定成立； ∵a 3－a 2＋a －1＝(a －1)(a 2＋1)， 当a <1时，③不成立；∵(5＋2)2＝7＋210，⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32＝(2＋3)2＝7＋212，∴5＋2<12－3，又m 2<m 2＋1，∴(5＋2)m 2<m 2＋12－3，故④正确． 4．> 5．P <Q解析 将P 、Q 平方，比较大小． 6．(2)(4)解析 设物体A 的质量为x 克，天平左臂长m ，右臂长n ，则由题设，得 mx ＝na ， ① mb ＝nx . ②从而，由①②两式相除，得x b ＝ax，即x ＝ab .若a ＝b ，则由①②两式相乘，得m 2bx ＝n 2ax ，即m ＝n ，这与题设中“两臂长略有差异”相矛盾．于是，必有a ≠b ，从而a ＋b2>ab ，所以(1)(3)错误．由放缩法易知ab 必介于a ，b 之间，所以说法(2)正确． 又2ab a ＋b <2ab 2ab＝ab ，所以说法(4)正确． 7．(1，43)解析 ∵a 3－b 3＝a 2－b 2(a ≠b )，∴a 2＋ab ＋b 2＝a ＋b ，∴(a ＋b )2－ab ＝a ＋b ，∴ab ＝(a ＋b )2－(a ＋b )，又∵0<ab <(a ＋b 2)2，∴0<(a ＋b )2－(a ＋b )<(a ＋b 2)2，解之得1<a ＋b <43.8．证明 要证 a ＋12＋ b ＋12≤2成立，即证( a ＋12＋ b ＋12)2≤4，(2分)即证a ＋b ＋1＋2( a ＋12·b ＋12)≤4，(4分)∵a ＋b ＝1，故就是证 a ＋12· b ＋12≤1，(6分)即证ab ＋12(a ＋b )＋14≤1，即证ab ≤14，(8分)只需证ab ≤(a ＋b 2)2，也就是证2ab ≤a 2＋b 2，这是显然成立的，故原不等式成立．(12分)9．证明 3a 3＋2b 3－(3a 2b ＋2ab 2) ＝3a 2(a －b )＋2b 2(b －a ) ＝(3a 2－2b 2)(a －b )．(8分)因为a ≥b >0，所以a －b ≥0,3a 2－2b 2>0，(10分) 从而(3a 2－2b 2)(a －b )≥0，即3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2.(12分)10．证明 因为x ，y ，z 均为正数，所以x yz ＋y zx ＝1z ⎝⎛⎭⎫x y ＋y x ≥2z，(3分) 同理可得y zx ＋z xy ≥2x ，z xy ＋x yz ≥2y，(6分)当且仅当x ＝y ＝z 时，以上三式等号都成立，将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z.(12分) 11．证明 (1)当n ＝1时，2>1，命题成立．(2分)(2)假设n ＝k 时命题成立，即1·2＋2·3＋…＋k (k ＋1)>k (k ＋1)2.则当n ＝k ＋1时，1·2＋2·3＋…＋k (k ＋1)＋(k ＋1)(k ＋2)>k (k ＋1)2＋(k ＋1)(k ＋2)>k (k ＋1)2＋(k ＋1)＝(k ＋1)(k ＋2)2，即当n ＝k ＋1时不等式也成立．(10分)综合(1)(2)，得对一切正整数n ，不等式都成立．(12分)。
