辽宁省丹东市高三总复习质量测试(二)(二模)数学(文科)试题(解析版)
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丹东市2023届高三总复习质量测试(二)数学试题评分参考一、选择题1.B 2.C 3.A 4.C 5.D 6.A7.D8.D二、选择题9.BC 10.AC11.ABD12.BCD三、填空题13.7 14.2215.1216.9四、解答题 17.解:(1)当n ≥2时,由na n +1=S n -n (n +1)2+1得(n -1)a n =S n -1-n (n -1)2+1,两式相减得a n +1-a n =-1.由a 1=5,得a 2=S 1=5,从而{a n +1}是以5为首项,-1为公差的等差数列. 故a n +1=a 2+(n -1)(-1)=6-n .因为7-1=6≠a 1,所以a n =⎩⎪⎨⎪⎧5, n =1,7-n ,n ≥2.…………(5分)(2)由题设及(1)可知S n =na n +1+n (n +1)2-1=-12(n -6.5)2+1618. 当n =6和n =7时,S n 取最大值20,于是S n ≤20.…………(10分)18.解:(1)f (x )=2sin(ωx +π3),由2πω=π,得ω=2.…………(6分)(2)解法1:由f (x )在[π12,7π12]上是减函数知7π12-π12≤T 2,因为T =2πω,所以ω≤2.因为ω>0,x ∈[π12,7π12],所以ωx +π3∈[ωπ12+π3,7ωπ12+π3].由0<ω≤2得π3<ωπ12+π3≤π2,π3<7ωπ12+π3≤3π2,由题意只能ωπ12+π3=π2,从而ω=2.…………(12分) 解法2:因为ω>0,x ∈[π12,7π12],所以ωx +π3∈[ωπ12+π3,7ωπ12+π3].由题设知[ωπ12+π3,7ωπ12+π3]⊆[2k π+π2,2k π+3π2],k ∈Z ,从而⎩⎨⎧ωπ12+π3≥2k π+π2,7ωπ12+π3≤2k π+3π2.解得24k +2≤ω≤247k +2.因为ω>0,所以⎩⎨⎧247k +2>0,24k +2≤247k +2.故-712<k ≤0,因为k ∈Z ,所以k =0,于是ω=2.…………(12分)19.解法1:(1)因为平面CDD 1C 1⊥平面ABCD ,AD ⊥DC ,所以AD ⊥平面CDD 1C 1,∠D 1DC 是二面角D 1-AD -C 的平面角,故∠D 1DC =120º.连结DE ,则DE ⊥C 1D 1,从而DE ⊥CD .又AD ⊥CD ,DE ∩AD =D ,所以CD ⊥平面AED ,因此CD ⊥AE . …………(6分)yπ12π37π12 5π63πxO-22D 1 CBAA 1B 1C 1 FE GODA H D 1 CBAA 1B 1C 1FE G I D(2)设AB =2,则DE =3,所以CE =AE =AD 2+DE 2=7.连结AC 交BD 于点O ,连结CE 交交DF 于点G ,连结OG .因为AE ∥平面BDF ,所以AE ∥OG ,因为O 为AC 中点,所以G 为CE 中点,故OG =12AE =72.且直线OG 与DF所成角等于直线AE 与DF 所成角.在Rt △EDC 中,DG =12CE =72,因为OD =2,所以cos ∠OGD =(72)2+(72)2-(2)22×72×72=37.因此直线AE 与DF 所成角的余弦值为37.…………(12分)解法2:(1)同解法1.(2)设AB =2,则DE =3,所以AE =AD 2+DE 2=7. 取DC 中点为G ,连结EG 交交DF 于点H ,则EG =DD 1=2.连结AG 交BD 于点I ,连结HI ,因为AE ∥平面BDF ,所以AE ∥IH .直线HI 与DH 所成角等于直线AE 与DF 所成角. 正方形ABCD 中,GI =13AG ,DI =13DB =223, 所以GH =13EG ,故HI =13AE =73. 在△DHG 中,GH =13EG =23,GD =1,∠EGD =60º, 由余弦定理DH =73.在△DHI 中,cos ∠DHI =(73)2+(73)2-(223)22×73×73=37.因此直线AE 与DF 所成角的余弦值为37.…………(12分)解法3:(1)同解法1.(2)由(1)知BE ⊥平面ABCD ,以D为坐标原点,→DA 为x 轴正方向,|→DA |为2个单位长,建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz .由(1)知DE =3,得A (2,0,0),B (2,2,0), C (0,2,0),E (0,0,3),C 1(0,1,3).则→CC 1=(0,-1,3),→DC =(0,2,0), →AE =(-2,0,3),→DB =(2,2,0).由→CF =t →CC 1(0<t <1),得→DF =→DC +→CF =(0,2-t ,3因为AE ∥平面BDF ,所以存在唯一的λ,μ∈R ,使得→AE =λ→DB +μ→DF ,解得t =23,从而→DF =(0,43,233).所以直线AE 与DF 所成角的余弦值为|cos<→AE ,→DF >|=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪→AE ·→DF |→AE||→DF |=37.…………(12分) 20.解:(1)f (x )定义域为(0,+∞),f ′(x )=1-ax x ,由f ′(12)=0得a =2.若a =2,当0<x <12时,f ′(x )>0,f (x )单调递增;当x >12时,f ′(x )<0,f (x )单调递减.因此a =2. …………(4分)(2)设g (x )=xf (x )+(x -12)2,则g ′(x )=ln x -2x +2=f (x ).因为g ′(e -2)=-2e -2<0,g ′(12)=1-ln2>0,所以存在唯一x 0∈(0,12),使g ′(x 0)=0,且当0<x <x 0时,g ′(x )<0,g (x )单调递减;当x 0<x <12时,g ′(x )>0,f (x )单调递增,当1<x <32时,g ′(x )<0,g (x )单调递减.由g ′(x 0)=0得ln x 0=2x 0-2,所以g (x 0)=(x 0-12)2>0.因此当0<x <12时,g (x )≥g (x 0)>0.而g (32)=12(ln27-ln8e)>0,于是当0<x <32时,xf (x )+(x -12)2>0.…………(12分) 21.解:(1)法1:记甲地小白鼠样本X 值的平均数为-x ,方差为s 21;记乙地小白鼠样本X 值的平均数为-y ,方差为s 22,则-x =14,-y =21,s 21=6,s 22=17,所以 μ=120-x +90-y 210=120×14+90×21210=17.σ2=120[s 21+(-x -μ)2]+90[s 22+(-y -μ)2]210=4×[6+(14-17)2]+3×[17+(21-17)2]7≈23.…………(4分)法2:记甲地小白鼠样本的X 值为x 1,x 2,…,x 120,平均数为-x ,方差为s 21;记乙地小白鼠样本的X 值为y 1,y 2,…,y 90,平均数为-y ,方差为s 22.因为-x =14,-y =21,s 21=6,s 22=17.所以μ=120-x +90-y 210=120×14+90×21210=17. 由∑k =1120(x k --x )2=120s 21,∑k =1120(x k --x )=0,可得∑k =1120(x k-μ)2=∑k =1120(x k --x +-x -μ)2 =∑k =1120[(x k --x )2+2(x k --x )(-x -μ)+(-x -μ)2]=∑k =1120(x k --x )2+2(-x -μ)∑k =1120(x k --x )+∑k =1120(-x -μ)2=120s 21+120(-x -μ)2 =30×60.同理∑k =190(y k -μ)2=90s 22+90(-y -μ)2=30×99,于是s 2=1210[∑k =1120(x k -μ)2+∑k =190(y k -μ)2]=30×60+30×99210≈23.…………(4分)(2)法1:因为σ=23=4.8,所以P (12.2≤X ≤21.8)=P (μ-σ≤X ≤μ-σ)≈0.68.从注射过疫苗的小白鼠取出N 只,其中产生抗体的有K 只,则K ~B (N ,0.68),P (K =k )=C 102N 0.32N (178)k (k =0,1,2,…,N ). 当N <102时,P (K =102)=0;当N ≥102时,P (K =102)=(178)102C 102N 0.32N . 记α(N )=(178)102C 102N 0.32N ,则 α(N )α(N +1)=C 102N 0.32C 102N +1=N -1010.32(N +1). 由α(N )α(N +1)<1等价于N -101<0.32(N +1),当且仅当N <101.320.68=149,知当103≤N ≤148时,α(N )<α(N +1);当N =149时,α(N )=α(N +1);当N >149时, α(N )>α(N +1);故N =149或N =150时,α(N )最大,所以N 的估计值为149,或150. …………(8分)法2:因为σ=23=4.8,所以P (12.2≤X ≤21.8)=P (μ-σ≤X ≤μ-σ)≈0.68.从注射过疫苗的小白鼠取出N 只,其中产生抗体的有K 只,则K ~B (N ,0.68),P (K =k )=C 102N 0.32N (178)k (k =0,1,2,…,N ).当N <102时,P (K =102)=0;当N ≥102时,P (K =102)=(178)102C 102N 0.32N . 若N =102,则P (K =102)=178×102P (K =101)<P (K =101).若N ≥103,则⎩⎨⎧(178)102C 102N 0.32N ≥(178)102C 102N +10.32N +1, (178)102C 102N 0.32N ≥C 102N -10.32N -1.化简得⎩⎪⎨⎪⎧0.32(N +1)≤N -101,0.32N ≥N -102.解得149≤N ≤150.综上,N 的估计值为149,或150.…………(8分)(3)记n 只小白鼠检测费用为Y 元,当n 只小白鼠全部产生抗体时,Y =n +9,当n 只小白鼠不都产生抗体时,Y =11n +9,则P (Y =n +9)=0.991n ,P (Y =11n +9)=1-0.991n .因此E (Y )n =(n +9)0.991n +(11n +9)(1-0.991n )n =11-10×(1-0.009)n +9n. 因为n ≤50,所以(1-0.009)n =1-C 1n 0.0091+C 2n 0.0092-C 3n 0.0093+…≈1-0.009n .故E (Y )n =0.09n +9n +1≥20.09n ×9n+1=2.8,当且仅当n =10时取等号. 于是每只小白鼠平均检测费用的最小值约为2.8元,n 的估计值为10.…………(12分) 【注1】(2)等价于这个问题: 数列{a n }中,a n =⎩⎪⎨⎪⎧0, 1≤n <102, (178)102C 102n 0.32n , n ≥102.,求使a n 取最大值时的n 值.【注2】(2)法2若N =102时的验证不可少.【注3】(2)因为σ=23=4.8,所以P (12.2≤X ≤21.8)=P (μ-σ≤X ≤μ-σ)≈0.68. 从注射过疫苗的小白鼠取出N 只,其中产生抗体的有Y 只,则K ~B (N ,0.68),P (K =k )=C 102N 0.32N (178)k (k =0,1,2,…,N ). …………(5分)【以下得0分】因为使P (K =k )取得最大值时的整数k =102,所以⎩⎨⎧C 102N 0.32N (178)102≥C 101N 0.32N (178)101,C 102N 0.32N (178)102≥C 103N 0.32N (178)103.化简得⎩⎨⎧N ≥101+102×0.320.68,N ≤102+103×0.320.68.解得149≤N ≤150.47.因此N 的估计值为149,或150.…………(5分)22.解法1:(1)由题设4-a =2,a =2.由a 2-b 2 a =32,得b =1.所以C 的方程为x24+y 2=1.…………(4分)(2)A (-2,0),B (2,0),设M (x 1,y 1),则y 21=4-x 214,所以直线AM 与BM 的斜率之积为y 1x 1+2·y 1x 1-2=y 21x 21-4=-14.因为直线BM 与BN 的斜率之积为-34,所以直线BN 斜率为AM 斜率的3倍.…………(6分)因为M 1(x 1,-y 1),设N (x 2,y 2),由⎩⎪⎨⎪⎧y 2x 2-2=3y 1x 1+2,y 2x 2-4=-y1x 1-4.得x 2=5x 1-82x 1-5,y 2=3y 12x 1-5.由对称性知MN 经过x 轴上的定点Q (t ,0),因为y 2x 2-t =3y 12x 1-55x 1-82x 1-5-t =3y 1(5-2t )x 1-(8-5t ),由y 2x 2-t =y 1x 1-t ,得t =1,所以MN 经过定点Q (1,0).…………(8分)所以||S 1-S 2=12|||QA |-|QB |·||y 1-y 2 =⎪⎪⎪⎪⎪⎪2y 1(4-x 1)2x 1-5=(4-x 21)(4-x 1)2(2x 1-5)2=14-[(5-2x 1+95-2x 1-2)]2+64.设5-2x 1=x ,因为-2<x 1<2,所以1<x <9.设f (x )=x +9x ,f ′(x )=(x +3)(x -3)x,因为当1<x <3时,f ′(x )<0,当3<x <9时,f ′(x )>0,所以6≤f (x )<10.因此||S 1-S 2=14-[f (x )-2]2+64≤14-[(6-2)]2+64=3,当且仅当x =3取等号,取等号时,x 1=1,y 1=±32.于是当M (1,±32),N (1,32)时,||S 1-S 2取最大值3.…………(12分)解法2:(1)同解法1.(2)A (-2,0),B (2,0),设M (x 1,y 1),则y 21=4-x 214,所以直线AM 与BM 的斜率之积为y 1x 1+2·y 1x 1-2=y 21x 21-4=-14.因为直线BM 与BN 的斜率之积为-34,所以直线BN 斜率为AM 斜率的3倍.…………(6分)因为M 1(x 1,-y 1),设N (x 2,y 2),由⎩⎪⎨⎪⎧y 2x 2-2=3y 1x 1+2,y 2x 2-4=-y1x 1-4.得x 2=5x 1-82x 1-5,y 2=3y 12x 1-5.由y 21=1-x 214,知x 224+y 22=(5x 1-8)24(2x 1-5)2+9y 21(2x 1-5)2=(5x 1-8)2+36-9x 214(2x 1-5)2=1,故点N 在C 上.由对称性知MN 经过x 轴上的定点Q (t ,0),因为y 2x 2-t =3y 12x 1-55x 1-82x 1-5-t =3y 1(5-2t )x 1-(8-5t ),由y 2x 2-t =y 1x 1-t ,得t =1,所以MN 经过定点Q (1,0).…………(8分)可知MN 不垂直于y 轴,设MN :x =my +1,联立x 24+y 2=1得(m 2+4)y 2+2my -3=0,因为△=16(m 2+3)>0,所以y 1,y 2=-m ±2m 2+3m 2+4,因此||S 1-S 2=12|||QA |-|QB |·||y 1-y 2=4m 2+3m 2+4=4-(1m 2+4-12)2+14.由-(1m 2+4-12)2+14≤34,得||S 1-S 2≤3,当M (1,±32),N (1,32)时等号成立,于是||S 1-S 2取最大值3.…………(12分)。
丹东市2016年高三总复习质量测试(二)数学(文科)注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(1)若集合{2,1,0,1,2}M =--,2{|2}N x x x =+≥,则M N =(A ){2,1,0,1,2}-- (B ){2,1,0,1}-- (C ){1,0,1}- (D ){1,0,1,2}-(2)复数(1)(22)i i -+=(A )4(B )4-(C )2(D )2-(3)北宋欧阳修在《卖油翁》中写道:“(翁)乃取一葫芦置于地,以钱覆其扣,徐以杓酌油沥之,自钱孔入,而钱不湿.因曰:‘我亦无他,唯手熟尔.’”可见技能都能透过反复苦练而达至熟能生巧之境的.若铜钱是半径为1cm 的圆,中间有边长为0.5cm 的正方形孔,你随机向铜钱上滴一滴油,则油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率为 (A )1π(B )14π(C )12(D )14(4)若2sin 23α=,则1tan tan αα+= (A(B(C )3 (D )2(5)设122,3()2log ,3x x f x x x -≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩,则[(4)]f f =(A )4 (B )1(C )1- (D )2-(6)把“正整数N 除以正整数m记为(mod )N n m ≡,例如82(mod3)≡执行右边的该程序框图后,输出的i 值为 (A )14 (B )17 (C )22(D )23(7)如图,半径为2的圆O 与直线射线PK 从PN 出发,绕点PPM,旋转过程中,PK 与交圆O 于点Q ,设POQ x ∠=,弧 PmQ的长度()L L x =,那 么()L x 的图象大致是(A ) (B ) (C ) (D )(8)已知定义域为R 的函数()f x 不是偶函数,则下列命题一定为真的是 (A ),()()x f x f x ∀∈-≠R(B ),()()x f x f x ∀∈-≠-R (C )000,()()x f x f x ∃∈-≠R(D )000,()()x f x f x ∃∈-≠-R(9)已知αβ,表示两个不同的平面,,a b 表示两条不同的直线,给出下列两个命题:①若b a αα⊂⊄,,则“//a b ”是“//a α”的充分不必要条件; ②若a b αα⊂⊂,,则“//αβ”是“//a β且//b β”的充分且必要条件. 则判断正确的是(A )①是真命题②是假命题 (B )①是假命题②是真命题(C )①②都是真命题(D )①②都是假命题(10)已知0x 是函数()ln x f x e x =-的极值点,若0(0,)a x ∈,),(0+∞∈x b ,则4242 4242(A )()0f a '<,()0f b '< (B )()0f a '>,()0f b '> (C )()0f a '<,()0f b '>(D )()0f a '>,()0f b '<(11)已知焦点为F 的抛物线22(0)y px p =>上有一点(A m ,以A 为圆心,||AF 为半径的圆被y 轴截得的弦长为m =(A(B )(C ) 2 (D )4(12)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某个多面体的三视图,若该多面体 的所有顶点都在球O 的表面上,则球O 的 表面积是 (A )8π (B )12π (C )16π (D )32π第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
绝密★启用前辽宁省丹东市普通高中2020届高三毕业班下学期总复习质量测试(二)(二模)数学(文)试题(解析版)一、选择题.1.已知集合{|1A x x =<-或}2x >,{}3,2,1,0,1,2,3B =---,则A B =( )A. {}3,2--B. {}3,2,3--C. 1,0,1,2D. {}3,2,2,3-- 【答案】B【解析】【分析】由集合交集的概念直接运算即可得解.【详解】由题意A B ={|1x x <-或}{}{}23,2,1,0,1,2,33,2,3x >⋂---=--. 故选:B.【点睛】本题考查了集合的运算,考查了运算求解能力,属于基础题.2.已知复数()()31z i i =-+,则实数z =( )A. B. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意结合复数的运算法则可得42z i =+,再根据复数模的概念即可得解.【详解】由题意()()2313242z i i i i i =-+=-+=+,所以z ==故选:B.【点睛】本题考查了复数的运算与复数模的求解,关键是对于运算法则的熟练使用及概念的识记,属于基础题.3.命题“0x R ∃∈,20010x x ++≤”的否定为( )A. x R ∀∈,210x x ++>B. x R ∀∉ ,210x x ++≤C. 0x R ∃∈,20010x x ++>D. 0x R ∃∉, 20010x x ++≤【答案】A【解析】【分析】由题意结合特称的命题的否定是全称命题正确改写,即可得解.【详解】因为命题“0x R ∃∈,20010x x ++≤”为特称命题,所以其否定为“x R ∀∈,210x x ++>”.故选:A.【点睛】本题考查了特称命题的否定,关键是对于特称命题否定规则的掌握,属于基础题.4.已知地震释放出的能量E 与地震的里氏震级M 的关系为lg 4.8 1.5E M =+,2011年3月11日,日本北部海域发生的里氏9.0级地震释放出的能量设为1E ,2008年5月12日,我国汶川发生的里氏8.0级地震释放出的能量设为2E ,那么12:E E =( )A. 1.5B. lg1.5C. 1.510D. 1.510-【答案】C【解析】【分析】由题意可得1lg 4.8 1.59E =+⨯,2lg 4.8 1.58E =+⨯,结合对数的运算法则作差即可得解. 详解】由题意1lg 4.8 1.59E =+⨯,2lg 4.8 1.58E =+⨯,。
丹东市2013届高三总复习质量测试(二)数 学本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分,其中第II 卷第(22)题~第(24)题为选考题,其它题为必考题.第I 卷1至3页,第II 卷3至6页.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第I 卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)集合{|lg 0}M x x =>,2{|4}N x x =≤,则M N =I(A )(0,2] (B )(0,2) (C )(1,2] (D )(1,2) (2)已知00(,)M x y 是抛物线2:8C y x =上一点,F 为抛物线C 的焦点,若||4MF >,则0x 的取值范围是 (A )(,2)-∞(B )(2,)+∞(C )(,4)-∞(D )(4,)+∞(3)下列命题中,真命题的是(A )00,0x x e∃∈≤R(B )2,2xx x ∀∈>R(C )“若3>x ,则2>x ”的否命题(D )“21x ≠”是“1x ≠”的充分不必要条件(4)如下图,正三棱锥的主视图由等腰直角三角形ABC 及斜边AB 上的高组成,如果AB = (A)(B(C )9 (D )3(5)变量x y 、满足约束条件222441x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩,则目标函数33z x y =-+的取值范围是(A )3[,9]2(B )3[,6]2(C )[2,9]- (D )[2,9](6)若圆C 与直线04=--y x 和圆02222=-++y x y x 都相切,则当圆C 的半径最小时,圆C 的方程是CAB(A )22(1)(1)2x y +++= (B )22(1)(1)8x y +++= (C )22(1)(1)2x y -++=(D )22(1)(1)8x y -++=(7)已知函数()f x 是奇函数,当0x >时,21()2()log 2f x f x =+,则(2)f -=(A )1(B )3(C )1-(D )3-(8)右图所示的是根据输入的x 值计算y 的值的程序框图,若x 依次取数列2*5()n n n ⎧⎫+∈⎨⎬⎩⎭N 中的项,则所得y 值的最小值为 (A )28 (B )27 (C )9 (D)(9)在△ABC 中,60A ∠=o,A ∠的内角平分线AD 将BC 分成BD DC 、两段,若向量1()3AD AB AC λλ=+∈R u u u r u u u r u u u r,则B ∠=(A )30o(B )45o(C )60o(D )90o(10)已知0ω>,函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ单调递减,则ω的最大值是 (A )12 (B )34 (C )54(D )2 (11)过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点1F 作一条渐近线的垂线,垂足为A ,与另一条渐近线交于点B ,若A 恰好是1F B 的中点,则双曲线的离心率是(A(B(C )2(D(12)棱长是1的正四面体PABC 的四个顶点都在球O 的表面上,若M N 、分别是棱CA CB 、的中点,则△PMN 所在的平面截球O 所得的截面面积是(A )211π (B )411π (C )811πPACMN(D )1611π 第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须做答.第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. (13)42(2)t x dx -⎰的展开式中2t 的系数是 ;(14)现有10个数,它们能构成一个以1为首项,3-为公比的等比数列,从这10个数中随机抽取一个数,事件A =“抽取出的数小于8”,事件B =“抽取出的数 是正数”,则(|)P B A = ;(15)把复数z 的共轭复数记作z ,复数34z i =-(i 为虚数单位),则复数62||iz z--在复平面内所对应的点在第 象限;(16)设a b c 、、分别表示△ABC 内角A B C 、、的对边,若22ac b a =-,6A π∠=,则B ∠= .三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分12分)曲线*()ny x n =∈N 在点(2,2)n处的切线与x 轴交点的横坐标为n a .(I )求数列{}n a 的通项公式n a ;(II )设2(2)(2)n n n b a a +=--,求数列{}n b 的前n 项和n S ,求证433n S ≤<.(18)(本小题满分12分)某同学在生物研究性学习中,对春季昼夜温差大小与黄豆种子发芽多少之间的关系进行观测研究,于是他在4月份的30天中随机挑选了5天进行研究,且分别记录了每天昼夜温差与每天每100颗种子浸泡后的发芽数,得到如下资料:(I )请根据4月7日、4月15日、4月21日三天的数据,求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+; (II )若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗,则认为得到的线性回归方程是可靠的,若选取的是4月1日与4月30日的两组数据作为检验数据,试问(I )中所得的线性回归方程是否可靠?(III )以这5天的观测数据来估计总体,在4月份任取3天,求恰有2天每100颗种子浸泡后的发芽数在[25,30]内的概率.参考公式:1221ˆni ii ni i x y nx ybx nx==-=-∑∑,x b y aˆˆ-=; 参考数据:112513*********⨯+⨯+⨯=,222111312434++=.(19)(本小题满分12分)如图,在空间几何体ABCDE 中,平面ACD ⊥平面ABC ,△ABC 和△ACD 都是边长为2的等边三角形, 2BE =,点E 在平面ABC 内的射影落在ABC ∠的平分 线上,//DE 平面ABC .(I )求直线BE 与平面ABC 所成的角; (II )求二面角E BC A --的余弦值.(20)(本小题满分12分)已知e 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率,点(1)e ,和(2e ,都在椭圆上.(I )求椭圆的方程;(II )直线l 与椭圆相交于两点11(,)A x y 、22(,)B x y ,设11(,)P bx ay 、22(,)Q bx ay , 若以PQ 为直径的圆C 恒过坐标原点O ,求证:△AOB 的面积等于定值.ABC DE(21)(本小题满分12分)已知函数2()ln ,02a f x x x x a =-≠. (I )当1a ≥时,判断函数()f x 的单调性; (II )若函数()f x 在22(0,)x a∈有两个极值点,求实数a 的取值范围.请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答,如果多答,则按答题位置最前的题记分.做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑. (22)(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图⊙1O 与⊙2O 相交于A B 、两点,过A 点的直线分别与⊙1O 、⊙2O 相文于C D 、两点,以C D 、为切点分别作两圆的切线相交于点E .(I )若EA 的延长线与⊙1O 交于点M , 证明切割线定理:EM EA EC ⋅=2;(II )证明: E C B D 、、、四点共圆.(23)(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程直角坐标系xOy 中,直线l的参数方程为2x y t ⎧=-⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),以原点O 为极点,x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=,直线l 与曲线C 的公共点为M .(I )求点M 的极坐标;(II )经过M 点的直线'l 被曲线C 截得的线段长为2,求直线'l 的极坐标方程.(24)(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数()|2|f x x a a =-+.(I )若不等式()6f x ≤的解集为{|23}x x -≤≤,求实数a 的值;(II )在(I )的条件下,若存在实数t 使()()2t f m f t ≤--成立,求实数m 的取值范围.丹东市2013届高三总复习质量测试(二)数学(理科)试题参考答案与评分参考说明:一、本解答给出了一种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。
辽宁省丹东市2020届高三下学期总复习质量测试(二)数学(文)试题1.已知集合{|1A x x =<-或}2x >,{}3,2,1,0,1,2,3B =---,则A B =I ( ) A .{}3,2-- B .{}3,2,3-- C .{}1,0,1,2- D .{}3,2,2,3-- 2.已知复数()()31z i i =-+,则实数z =( )A .B .CD .3.命题“0x R ∃∈,20010x x ++≤”的否定为( )A .x R ∀∈,210x x ++>B .x R ∀∉ ,210x x ++≤C .0x R ∃∈,20010x x ++>D .0x R ∃∉, 20010x x ++≤4.已知地震释放出的能量E 与地震的里氏震级M 的关系为lg 4.8 1.5E M =+,2011年3月11日,日本北部海域发生的里氏9.0级地震释放出的能量设为1E ,2008年5月12日,我国汶川发生的里氏8.0级地震释放出的能量设为2E ,那么12:E E =( ) A .1.5 B .lg1.5 C . 1.510 D . 1.510- 5.在ABC V 中,3cos 5A =-,则tan 4A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭( ) A .7 B .17- C .7± D .17± 6.已知平面向量a r ,b r 满足0a b a b +==≠r r r r ,那么a r 与b r 的夹角为( )A .3πB .23πC .6πD .56π 7.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( )A .y x =B .3x y =C .3y x =D .1y x x =- 8.如图是某圆锥的三视图,其正视图是一个边长为1的正三角形,圆锥表面上的点M ,N 在正视图上的对应点分别是A 、B .则在此圆锥的侧面上,从M 到N 的路径中,最短路径的长度为( )A .1 BC .2D .π9.圆心都在直线0x y m ++=上的两圆相交于两点(),3M n ,()1,1N -,则m n +=( )A .1-B .1C .2-D .210.已知O 为椭圆C 的中心,F 为C 的一个焦点,点M 在C 外,3MO OF =u u u u r u u u r ,经过M 的直线l 与C 的一个交点为N ,MNF V 是有一个内角为120o 的等腰三角形,则C 的离心率为( )ABC1 D11.关于函数()332,02cos ,0x x x f x x x ⎧-+=⎨≤⎩>,有下述四个结论: ①()f x 是周期函数.②()f x 在[],1π-上单调递增.③()f x 的值域为(],2-∞.④若函数()y f x m =-有且仅有两个不同的零点,则()2,4m ∈.其中所有正确结论的序号是( )A .①②B .②③C .②④D .③④12.已知函数()sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在()0,π内有且仅有一个极小值点,则正数ω的取值范围为( )A .10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B .17,33⎛⎤ ⎥⎝⎦C .110,33⎛⎤ ⎥⎝⎦D .410,33⎛⎤ ⎥⎝⎦13.某家庭电话在家中有人时,打进的电话响第一声时被接的概率为0.1,响第二声时被接的概率为0.3,响第三声时被接的概率为0.4,响第四声时被接的概率为0.1,那么电话在响前4声内被接的概率是__________.14.已知ABC V 内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,()sin b C C =,则B =__________.15.中国古代《九章算术》将上、下两面为平行矩形的六面体称为刍童.现有一个长宽高分别为4,3,2的长方体,将上底面绕着上、下底面中心连线为对称轴旋转90o ,得到一个刍童如图,则该刍童的外接球的表面积为__________.16.经过抛物线()2:20C y px p =>的焦点F ,倾斜角为30o 的直线l 与C 交于A ,B 两点,若线段AB 的中点M 的横坐标为7,那么p =__________.17.已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和,a 3=5,S 7=49.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设2n n na b =,T n 为数列{b n }的前n 项和,求证:T n <3. 18.如图,在四棱锥P ABCD -中,底面四边形ABCD 是菱形,点E 在线段PC 上,PA ∥平面EBD .(1)证明:点E 为线段PC 中点;(2)已知PA ⊥平面ABCD ,60ABC ∠=o ,点P 到平面EBD 的距离为1,四棱锥P ABCD -的体积为PA .19.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>经过点A ⎛ ⎝⎭,两个焦点为()12,0F -,()22,0F .(1)求C 的方程;(2)设()()000,0P x y y ≠是C 上一点,直线2200:0l x x a y y a --=与直线2x =相交于点M ,与直线32x =相交于点N ,证明:当P 点在C 上移动时,22MF NF 为定值,并求此定值. 20.某企业批量生产了一种汽车配件,总数为N ,配件包装上标有从1到N 的连续自然数序号,为对配件总数N 进行估计,质检员随机抽取了n 个配件,序号从小到大依次为1x ,2x ,…,n x ,这n 个序号相当于从区间()0,1N +上随机抽取了n 个整数,这n 个整数将区间()0,1N +分为1n +个小区间()10,x ,()12,x x ,…,(),1n x N +.由于这n 个整数是随机抽取的,所以前n 个区间的平均长度n x n 与所有1n +个区间的平均长度11N n ++近似相等,进而可以得到N 的估计值.已知32n =,质检员随机抽取的配件序号从小到大依次为83,135,274, (3104)(1)用上面的方法求N 的估计值.(2)将(1)中的N 估计值作为这批汽车配件的总数,从中随机抽取100个配件测量其内径y (单位:mm ),绘制出频率分布直方图如下:将这100个配件的内径落入各组的频率视为这N 个配件内径分布的概率,已知标准配件的内径为200mm ,把这N 个配件中内径长度最接近标准配件内径长度的800个配件定义为优等品,求优等品配件内径y 的取值范围(结果保留整数).21.设函数()ln xf x e a x a =--.(2)若0a e <<,证明:在区间,1a e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内,()f x 存在唯一的极小值点0x ,且()00f x >. 22.在平面直角坐标系xOy 中,曲线1C的参数方程为1x y t⎧=-⎪⎨=⎪⎩(t 为参数).以O 为极点,以x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程()221sin2p θ+=.(1)求曲线1C 的极坐标方程;(2)设A ,B 为曲线2C 上位于x 轴上方的两点,且OA OB ⊥,射线OA ,OB 分别与1C 相交于点D 和点C ,当AOB V 面积取最小值时,求四边形ABCD 的面积. 23.已知函数()(1)1()f x x a x x x a =+++-+.(1)当0a =时,求()0f x ≥的解集;(2)若()0f x <在(),0-∞上恒成立,求a 的取值范围.参考答案1.B【解析】【分析】由集合交集的概念直接运算即可得解.【详解】由题意A B =I {|1x x <-或}{}{}23,2,1,0,1,2,33,2,3x >⋂---=--.故选:B.【点睛】本题考查了集合的运算,考查了运算求解能力,属于基础题.2.B【解析】【分析】由题意结合复数的运算法则可得42z i =+,再根据复数模的概念即可得解.【详解】由题意()()2313242z i i i i i =-+=-+=+,所以z ==故选:B.【点睛】 本题考查了复数的运算与复数模的求解,关键是对于运算法则的熟练使用及概念的识记,属于基础题.3.A【解析】【分析】由题意结合特称的命题的否定是全称命题正确改写,即可得解.【详解】因为命题“0x R ∃∈,20010x x ++≤”为特称命题,所以其否定为“x R ∀∈,210x x ++>”.故选:A.本题考查了特称命题的否定,关键是对于特称命题否定规则的掌握,属于基础题.4.C【解析】【分析】由题意可得1lg 4.8 1.59E =+⨯,2lg 4.8 1.58E =+⨯,结合对数的运算法则作差即可得解.【详解】由题意1lg 4.8 1.59E =+⨯,2lg 4.8 1.58E =+⨯,所以()()12lg lg 4.8 1.59 4.8 1.58 1.5E E -=+⨯-+⨯=, 所以1122lg lg lg 1.5E E E E =-=, 所以 1.512:10E E =.故选:C.【点睛】本题考查了对数运算法则的应用,考查了运算求解能力,关键是对于题意的理解和对数运算法则的熟练运用,属于基础题.5.A【解析】【分析】 由题意结合同角三角函数的平方关系、商数关系可得4tan 3A =-,再利用两角差的正切公式即可得解.【详解】 Q 3cos 5A =-,A 为ABC V 的一个内角, ∴()0,A π∈,4sin 5A ==,∴sin 4tan cos 3A A A ==-, ∴41tan tan 34tan 7441tan tan 143A A A πππ---⎛⎫-=== ⎪⎝⎭+⋅-. 故选:A.本题考查了同角三角函数关系的应用,考查了两角差正切公式的应用与运算求解能力,属于基础题.6.B【解析】【分析】设a r 与b r 的夹角为α,由题得212a b b ⋅=-r r r ,再代入向量的夹角公式化简即得解. 【详解】 由题得a b a +=r r r ,所以221+2=02b a b a b b ⋅∴⋅=-r r r r r r ,. 设a r 与b r 的夹角为α, 所以2222112cos ===2||||||b a b a b a b a b b b bα-⋅⋅⋅==-r r r r r r r r r r r r . 因为[0,]απ∈, 所以23πα=. 故选:B.【点睛】本题主要考查向量的数量积运算,考查向量的夹角的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7.C【解析】【分析】分别讨论四个函数的奇偶性及单调性,可选出答案.【详解】对于选项A ,y x =是R 上的偶函数,不符合题意;对于选项B ,3xy =是非奇非偶函数,不符合题意;对于选项C ,3y x =是奇函数,又是R 上增函数,符合题意;对于选项D ,因为函数1y x x =-在(),0-?和()0,+?上都单调递减,在其定义域上不是单调函数,不符合题.故选:C .【点睛】 本题考查函数单调性与奇偶性的应用,考查学生的推理能力,属于基础题.8.B【解析】【分析】由三视图可知几何体的直观图为圆锥,则圆锥的侧展图如图所示,再根据三视图中的数据,即可得答案;【详解】由三视图可知几何体的直观图为圆锥,Q 圆锥的底面周长为122ππ⨯=,∴圆锥侧展图的圆心角为π, 由三视图可得,点,A B 在侧展图的位置,如图所示,Q 1OA OB ==,OA OB ⊥, ∴AB =.故选:B.【点睛】本题考查三视图还原几何体的直观图、圆锥表面上两点间的最短距离,考查空间想象能力、运算求解能力.9.A【解析】【分析】MN 的中点在直线0x y m ++=上,MN 和直线0x y m ++=垂直,联立方程得到答案.【详解】根据题意:MN 的中点为1,22n A -⎛⎫⎪⎝⎭,则A 点在直线0x y m ++=上,即1202n m -++=,且MN 和直线0x y m ++=垂直,3111MN k n -==+,解得1n =,2m =-,故1m n +=-. 故选:A. 【点睛】本题考查了根据直线和圆的位置关系求参数,意在考查学生的计算能力和转化能力. 10.B 【解析】 【分析】不妨取(),0F c ,计算M 坐标,根据等腰三角形得到N 点坐标,代入椭圆化简计算得到答案. 【详解】不妨取(),0F c ,3MO OF =u u u u r u u u r,则()3,0M c -,易知MNF V 中只能120MNF ∠=︒,MNF V 是有一个内角为120o的等腰三角形,则,3N c c ⎛⎫-± ⎪ ⎪⎝⎭, 将N 代入椭圆方程得到:2222431c c a b +=,即()2224131e e e +=-, 解得213e =或23e =(舍去),故e =. 故选:B. 【点睛】本题考查了椭圆的离心率,意在考查学生的计算能力和转化能力,确定N 点坐标是解题的关键. 11.C 【解析】 【分析】先对()()3320f x x x x =-++>求导,知其单调性及最值,画出()f x 的图象,数形结合再结合选项进行判断即可.当0x >时,()332f x x x =-++,所以()()'223331f x x x =-+=--,令()'0fx =得:1x =或1x =-,所以当()0,1x ∈时,()'0f x >,()f x 递增,当()1,x ∈+∞时,()'0fx <,()f x 递减,且()()max 14f x f ==, 则()f x 的图象如图所示:由图可知:()f x 不是周期函数,故①错误; ()f x 在[],1π-上单调递增,故②正确; ()f x 的值域为(],4-∞,故③错误;若函数()y f x m =-有且仅有两个不同的零点,即函数y m =与函数()y f x =有两个交点,所以由图可知:()2,4m ∈,故④正确. 综上,②④正确. 故选:C. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、零点问题,关键在于利用导数先得到0x >时,函数()f x 的单调性及最值,画出其图象,数形结合进行判断,属于中档题.【解析】 【分析】 由0πx <<,可得666x πππωωπ<+<+,结合三角函数的图象与性质,列出不等式组,即可求解. 【详解】 由0πx <<,可得666x πππωωπ<+<+,因为函数()sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在()0,π内有且仅有一个极小值点,则满足362762ππωπππωπ⎧+>⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩,解得41033w <≤,即正数ω的取值范围为410,33⎛⎤⎥⎝⎦. 故选:D. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质,以及函数极值点的概念及其应用,着重考查推理与运算能力. 13.0.9 【解析】 【分析】根据互斥事件的概率加法公式,电话在响前4声内被接的概率等于电话响起第一声接的概率,加上响第二声时被接的概率,加上响第三声时被接的概率,加上响第四声时被接的概率,得到结果. 【详解】根据互斥事件的概率加法公式,电话在响前4声内被接的概率等于电话响起第一声接的概率, 加上响第二声时被接的概率, 加上响第三声时被接的概率,加上响第四声时被接的概率, 故电话在响前4声内被接的概率是:0.10.30.40.10.9+++=,故答案为:0.9. 【点睛】该题考查的是有关互斥事件有一个发生的概率的求解问题,涉及到的知识点有互斥事件概率加法公式,属于基础题目. 14.3π【解析】 【分析】根据正弦定理结合三角恒等变换计算化简得到答案. 【详解】()sin sin A B C C =,)sin cos sin cos sin sin sin B C C B B C C B +=,且sin 0C ≠,sin B B =,即tan B =()0,B π∈,故3B π=.故答案为:3π. 【点睛】本题考查了三角恒等变换,正弦定理,意在考查学生的计算能力和应用能力. 15.29π 【解析】 【分析】上、下底面中心连接所得线段的中点为该刍童的外接球的球心,设该刍童的外接球的半径为R ,利用勾股定理可得2R ,进而得出表面积.【详解】解:由题意可得:上、下底面中心连接所得线段的中点为该刍童的外接球的球心, 设该刍童的外接球的半径为R ,则22229422R ⎛⎫=+ ⎪⎭=⎝⎝⎭,∴该刍童的外接球的表面积22944294S R πππ⋅===. 故答案为:29π. 【点睛】本题考查了长方体的性质、勾股定理、球的表面积,考查了推理能力与计算能力,属于基础题. 16.2 【解析】 【分析】由已知条件写出直线方程与抛物线方程联立,由韦达定理及1272x x +=,即可求得结果. 【详解】根据题意可以得过焦点的倾斜角为30o直线方程为()32py x =-,设()()1122,,,A x y B x y ,联立22)2y pxp y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩可得:22704p x px ⇒-+= Q AB 的中点M 的横坐标为7,127=14x x p ∴+=,计算得出: 2p =, 故答案为:2. 【点睛】本题考查直线和抛物线的关系,考查中点问题,考查韦达定理的应用,属于基础题. 17.(1)21n a n =-(2)见解析 【解析】 【分析】(1)直接利用递推关系式求出数列的通项公式.(2)利用(1)的结论,进一步利用乘公比错位相减法求出结果. 【详解】(1)设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,则:1125767492a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩,解得:a 1=1,d =2,故:()11221n a n n =+-⨯=- . (2)由于:a n =2n ﹣1,所以()12122n n n n a b n ==-⋅, 则:()121111321222n n T n =⋅+⋅++-⋅L ①()231111113212222n n T n +=⋅+⋅++-⋅L ② ①﹣②得:212123333222n n n nn n T --+=--=-<. 【点睛】本题考查的知识要点:数列的通项公式的求法及应用,乘公比错位相减法在数列求和中的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型. 18.(1)见解析(2)3PA = 【解析】 【分析】(1)连结AC ,与BD 相交于点O ,由线面平行的性质定理即可证得//PA EO ,在PAC V 中,由O 为AC 中点,即可证得结论;(2)PA ⊥平面ABCD ,//PA EO ,可证得平面EBD ⊥平面ABCD ,由面面垂直的性质可证得AO ⊥面EBD ,由已知可得1AO =,根据体积公式即可求得PA . 【详解】解:(1)连结AC ,与BD 相交于点O ,连结EO ,则经过PA 的平面PAC 与平面EBD 交线为EO .因为//PA 平面EBD , 所以//PA EO .因为四边形ABCD 是菱形, 所以O 为AC 的中点,所以EO 是PAC V 中位线,于是E 为线段PC 中点. (2)因为//PA 平面EBD ,所以点A 到平面EBD 的距离等于点P 到平面EBD 的距离等于1. 因为PA ⊥平面ABCD , 所以EO ⊥平面ABCD , 所以平面EBD ⊥平面ABCD ,平面EBD I 平面=ABCD BD .因为AO BD ⊥, 所以AO ⊥面EBD ,因此1AO =.因为60ABC ∠=o ,所以四边形ABCD 是边长为2的菱形,面积为22sin 60⨯⨯o , 所以四棱锥P ABCD -的体积为13P ABCD V PA -⋅=,由13PA ⋅=3PA =.【点睛】本题考查线面平行的性质,考查线面垂直,面面垂直及锥体的体积公式,考查学生的逻辑推理能力,属于中档题.19.(1)2213x y -=(2)见解析,22MF NF. 【解析】 【分析】(1)由已知可得2c =,点A 代入方程解方程即可得解,或者利用双曲线的定义求得a ,即可得双曲线方程;(2)由(1)可知a =00232,3x M y ⎛⎫- ⎪⎝⎭,003332,23x N y ⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,利用两点间距离公式代入化简即可证得22MF NF 为定值.【详解】解:解法1:(1)由题意2c =,所以224a b =-,C 的方程可化为222214x y b b-=-. 因为C的方程经过点2,3A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,所以2241143b b -=-,解得21b =,或243b =-(舍去). 于是C 的方程为2213x y -=.(2)由(1)知直线l 的方程为00330x x y y --=.把2x =,32x =分别代入00330x x y y --=得:00232,3x M y ⎛⎫- ⎪⎝⎭,003332,23x N y ⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 又()00,P x y 在C 上,所以220033y x =-.()22,0F ,所以()()()()()()()202222220000022222222000000020202332323412944443333312123332332331243x MF y x x x x x x x y x x x NF x y ----+==⋅=⋅=⋅=-+-++--+-⎛⎫- ⎪⎝⎭+. 于是22MF NF. 解法2:(1)由双曲线定义得122a AF AF =-==所以a =2c =,所以2221b c a =-=,于是C 的方程为2213x y -=.(2)同解法1. 【点睛】本题考查双曲线方程,考查直线和双曲线的关系及定值问题,考查计算能力,属于中档题. 20.(1)N 的估计值为3200.(2)()196,204 【解析】 【分析】 (1)由题意可知1=1n x N n n ++,32n = ,3104n x =代入即可求得N 的估计值; (2)先求得优等品的概率为8000.253200=,设优等品的内径范围为()200,200t t -+,()()2002000.0290.04110=0.25P t y t t t -≤≤+=+⨯,计算即可求得t ,即可得出结果.【详解】解:(1)抽取的32个配件将区间[]0,1N +划分为33个区间,平均长度为133N +, 前31个区间平均长度为310432,由题设得131043332N +=,得N 的估计值为3200.(2)抽取的800件优等品占总数的比为8000.253200=. 设优等品的内径范围为()200,200t t -+,由题设知()2002000.25P t y t -≤≤+=. 由直方图知()()1902100.0290.041100.7.25P y ≤≤=+⨯=>0,故010t <<. 因此()()2002000.0290.04110P t y t t t -≤≤+=+⨯. 由0.0290.041100.251010t t ⎛⎫+⨯= ⎪⎝⎭,得 3.57t ≈,取4t =. 因此优等品的内径范围为()196,204. 【点睛】本题主要考查概率和统计的实际应用,考查学生对频率分布图的理解和分析问题的能力,属于中档题.21.(1)0y =(2)见解析 【解析】 【分析】(1)根据导数的几何意义可求得切线方程; (2)利用导数以及零点存在性定理可证得:在区间,1a e ⎛⎫⎪⎝⎭内,()f x 存在唯一的极小值点0x ,根据00xa x e =和01ax e<<,可证得()00f x >. 【详解】(1)()f x 定义域为()0,∞+,()xa f x e x'=-. 当a e =时,()xef x e x'=-,所以()10f '=,()10f =, 所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为0y =. (2)因为0a e <<,所以()xa f x e x '=-在,1a e ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增. 因为0ae af a e e '⎛⎫=-< ⎪⎝⎭,()10f e a '=->,所以存在0,1a x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,使得()00f x '=.当0,a x x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0f x '<,当()0,1x x ∈时,()0f x '>,所以()f x 在0,a x e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,在()0,1x 上单调递增,所以()f x 在区间,1a e ⎛⎫⎪⎝⎭内有唯一的极小值点0x . 由()00f x '=得00xa x e =,于是()()000001ln x f x e x x x =--.因为当01ax e<<时,()0001ln 0x x x -->,所以()00f x >. 【点睛】本题考查了导数的几何意义,考查了零点存在性定理,考查了由导数研究函数的极值点,属于中档题.22.(1)sin 26πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭;(2)223【解析】【分析】 (1)消去参数t 得曲线1C 的普通方程,代入cos x ρθ=,sin y ρθ=后可得极坐标方程; (2)用极坐标求解,不妨设()1,A ρθ,2,2B πρθ⎛⎫+⎪⎝⎭,()3,D ρθ,4,2C πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,求出1234,,,ρρρρ,由ABCD OCD OAB S S S =-V V 可得.【详解】 (1)消去1x y t⎧=-⎪⎨=⎪⎩中的参数t得4x +=.将cos x ρθ=,sin y ρθ=代入1C 得的极坐标方程为sin 26πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. (2)不妨设()1,A ρθ,2,2B πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,()3,D ρθ,4,2C πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,则1ρ=,2ρ= AOB V面积为121223ρρ=≥,4πθ=时,AOB V 面积取最小值为23. 此时3sin 246ππρ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,4cos 246ππρ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,3455sin cos 41212ππρρ=,可得3416ρρ=,COD △面积为34182ρρ=,因此四边形ABCD 的面积为222833-=. 【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化,考查极坐标方程与直角坐标方程的互化,考查极坐标的应用.极坐标方程与直角坐标方程之间通过公式cos x ρθ=,sin y ρθ=实现互化. 23.(1){}0x x ≥;(2)0a ≤.【解析】【分析】(1)当0a =时,()(1)1f x x x x x =++-.分别讨论1x ≥,01x ≤<和0x <时()0f x ≥,即可求得答案;(2)由(1)可知当0a =时,在(),0x ∈-∞内()0f x <恒成立;讨论0a <和0a >时,()0f x <在(),0-∞上是否恒成立,即可求得答案.【详解】(1)当0a =时,()(1)1f x x x x x =++-.当1x ≥时,2()(1)(1)2f x x x x x x =++-=,此时()0f x ≥的解集为{}1x x ≥; 当01x ≤<时,()(1)(1)2f x x x x x x =++-=,此时()0f x ≥的解集为{}01x x ≤<;当0x <时,2()(1)(1)2f x x x x x x =-+--=-,此时()0f x ≥的解集为∅ 综上所述()0f x ≥的解集为:{}0x x ≥(2)由(1)可知当0a =时,在(),0x ∈-∞内()0f x <恒成立;当0a <时,在(),0x ∈-∞内()()(1)(1)()2()0f x x a x x x a x x a =-++--+=-+<恒成立;当0a >时,在(),0x a ∈-内()()(1)(1)()2()0f x x a x x x a x a =++--+=+>,不满足()0f x <在(,0)-∞上恒成立的条件综上所述0a ≤.【点睛】本题主要考查了求解绝对值不等式和根据不等式恒成立求参数范围,解题关键是掌握不等式基础知识和讨论法解不等式步骤,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.。
丹东市高三总复习质量测试数学试题文科本试卷共23题,共150分,共4页。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.若集合{|||3}A x x =∈<N ,{2,1,0,1}B =--,则A B =( ) A .{0,1} B .{1} C .{2,0}- D .{2,1,0,1}-- 2.复数z 为纯虚数,复数21iz +-为实数,则z =( ) A .2i - B .i - C .i D .2i3.圆心为(2,0)的圆C 与圆224640x y x y ++-+=相外切,则C 的方程为( )A .22420x y x +++=B .22420x y x +-+=C .2240x y x ++=D .2240x y x +-=4.中国南宋数学家秦九韶(公元1208~1268)在《数书九章》 中给出了求n 次多项式1110n n n n a x a x a x a --++++L 在t x = 处的值的简捷算法,例如多项式323210a x a x a x a +++可改写 为()3210)(a x a x a x a +++后,再进行求值.右图是实现该算 法的一个程序框图,该程序框图可计算的多项式为( ) A .432234x x x x ++++ B .4322345x x x x ++++ C .52432345x x x x x +++++D .532423456x x x x x +++++5.已知某种商品的广告费支出x (单位:万元)与销售额y (单位:万元)之间有如下对根据上表可得回归方程y bx a =+,计算得7b =,则当投入10万元广告费时,销售额的预报值为( ) A .75万元 B .85万元 C .99万元D .105万元6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( A .3π4+ B .4π4+ C .6π4+ D .8π4+7.设n S 为数列{}n a 的前n 项和,若23n n S a =-,则5S = ( ) A .93 B .62 C .45 D .218.若m ,n 是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题正确的是( ) A .若m α⊥,//n β,//αβ,则m n ⊥ B .若//m α,n β⊥,αβ⊥,则m n ⊥ C .若//m α,//n β,//αβ,则//m n D .若m α⊥,n β⊥,αβ⊥,则//m n9.若121πlog (1)x x -=+,22πln x x -=,323πlog x x -=,则( )A .312x x x <<B .321x x x <<C .123x x x <<D .132x x x <<10.设P 是△ABC 所在平面上的一点,若|2|2AP BP CP --=,||4BP CP -=, 则AB AC ⋅=( )A .1-B .3-3-C .3D .111.设()sin()(0)f x x ωϕω=+>,若π()14f =,则函数π()4y f x =- ( ) A .是奇函数 B .的图象关于点π(,0)2对称 C .是偶函数 D .的图象关于直线π2x =对称 12.已知函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处取极值10,则a =( ) A .4或3- B .4或11- C .4 D .3-二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
辽宁省丹东市2021届高三数学总复习质量测试试题(二)文(含解析)一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合2{|1}A x x ==,2{|20,}B x x x x Z =+-<∈,则A B ⋂=( ) A. {}1- B. {1}C. {1,1}-D. {}1,0,1-【答案】A 【解析】 【分析】运用二次不等式的解法,化简集合B ,再由交集的定义,即可得到所求集合.【详解】集合{}2{|1}11?A x x ==-=,,集合2{|20,}B x x x x Z =+-<∈={x |﹣2<x <1,x ∈Z }={-1,0 }, 则A ∩B ={1-}. 故选:A .【点睛】本题考查集合的交集的求法,考查了二次不等式的解法,属于基础题.2.在复平面内,复数(2i)z -对应的点位于第二象限,则复数z 可取( ) A. 2B. -1C. iD. 2i +【答案】B 【解析】 【分析】由题意首先分析复数z 的实部和虚部的关系,然后考查所给的选项即可确定z 的值. 【详解】不妨设(),z a bi a b R =+∈,则()()()()()2222i z i a bi a b b a i -=-+=++-,结合题意可知:20,20a b b a +<->,逐一考查所给的选项: 对于选项A :24,22a b b a +=-=-,不合题意; 对于选项B :22,22a b b a +=--=,符合题意; 对于选项C :22,24a b b a +=-=,不合题意; 对于选项D :25,20a b b a +=-=,不合题意; 故选:B .【点睛】本题主要考查复数的运算法则,各个象限内复数的特征等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.已知变量x ,y 之间具有线性相关关系,其散点图如图所示,回归直线l 的方程为y bx a =+,则下列说法正确的是( )A. 0a >,0b <B. 0a >,0b >C. ˆ0a<,0b < D. ˆ0a<,0b > 【答案】D 【解析】 【分析】利用回归直线方程,判断斜率以及截距的大小,判断选项即可.【详解】由题图可知,回归直线的斜率是正数,即ˆb>0;回归直线在y 轴上的截距是负数,即ˆa<0, 故选:D .【点睛】本题考查回归直线方程的判断与应用,是基本知识的考查.4.设3log a e =,131log 4b =,则( ) A. 1a b >> B. 1a b >> C. 1b a >> D. 1b a >>【答案】D 【解析】 【分析】容易看出,313101124log e log <<,<<,从而可得出a ,b 的大小关系. 【详解】0=log 31<log 3e <log 33=1,1113331111?2349log log log ==<<; ∴a <1<b 故选:D .【点睛】考查对数函数单调性的应用,对数的运算,属于基础题.5.在ABC ∆中,60C =︒,AC =,AB =A =( )A. 15︒B. 45︒C. 75︒D. 105︒【答案】C 【解析】 【分析】由题意和正弦定理求出sin B ,再由边角关系求出角B ,则可求得A . 【详解】由题意得,60C =︒,AC AB ==,, 由正弦定理得,AC ABsinB sinC=,则sinB==所以B =45︒或135︒,因为AB >AC ,所以C >B ,则B =45︒, 则A=180456075︒-︒-︒=︒ 故选:C .【点睛】本题考查正弦定理及三角形内角和定理的应用,属于基础题.6.经过抛物线212y x =的焦点F ,作圆22(1)(2)8x y -+-=的切线l ,则l 的方程为( )A. 30x y +-=B. 30x y +-=或3x =C. 30x y --=D. 30x y --=或3x =【答案】C【解析】 【分析】设切线l 的方程为x=my+3,利用点到直线距离为r ,即可求实数m 的值【详解】抛物线212y x =的焦点F (3,0),圆的圆心为(1,2),圆的半径为22, 设切线l 的方程为x=my+3,则(1,2)到切线l 的方程的距离d=212m 3221m--=+,∴m =1;∴切线l 的方程为30x y --=, 故选C.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系,考查点到直线的距离公式,属于基础题.7.据中国古代数学名著《九章算术》中记载,公元前344年,先秦法家代表人物商鞅督造一种标准量器一商鞅铜方升,其三视图如图所示(单位:寸),其体积为12.6立方寸.若取圆周率3π=,则图中的x 值为( )A. 1.5B. 2C. 3D. 3.1【答案】C 【解析】 【分析】由三视图可知:该几何体是由一圆柱和长方体组而成,根据体积,可以求出图中的x 值。
2020届辽宁省丹东市高三总复习阶段测试数学(文)试题一、单选题 1.复数21ii+等于 A.1i + B.1i -+ C.1i -- D.1i - 【答案】A【解析】试题分析:()()()21-22+2i ===1+111-2i i i i i i i ++。
【考点】复数的运算。
点评:复数在考试中一般是必出的一道小题,放在较靠前的位置,属于简单题,要求学生必须得分。
因此,要对复数中的每个知识点都熟练掌握。
同时,也要熟记一些常用公式:2i)-i)(1(1,2-)-1(,2122=+==+i i i i )(。
2.已知集合A ={x |–1<x <2},B ={x |x >1},则A ∪B = A .(–1,1) B .(1,2)C .(–1,+∞)D .(1,+∞)【答案】C【解析】根据并集的求法直接求出结果. 【详解】∵{|12},{|1}A x x B x =-<<=> , ∴(1,)A B =-+∞U , 故选C. 【点睛】考查并集的求法,属于基础题. 3.sin75cos75︒︒=( )A .14-B .C .14D 【答案】C【解析】根据正弦二倍角公式化简,结合诱导公式即可求解. 【详解】由正弦二倍角公式及诱导公式,化简可得,sin75cos75︒︒()11sin 275sin15022=⨯︒=︒ 11sin 3024=︒= 故选:C 【点睛】本题考查了正弦二倍角公式的简单应用,诱导公式化简求值,属于基础题.4.从2名男同学,2名女同学共4人中任选2人参加体能测试,则选到的2名同学中恰好有1名男同学的概率是( ) A .34B .23C .13D .14【答案】B【解析】根据古典概型概率,利用列举法得所有基本事件,由恰好有1名男同学的事件个数,即可求得概率. 【详解】设两名男同学为,A B .两名女同学为1,2.从4人中任选2人的所有可能为:,1,2,1,2,12AB A A B B ,共6种可能.选到的2名同学中恰有1名男同学的基本事件为: 1,2,1,2,A A B B ,有4种可能. 所以选到的2名同学中恰好有1名男同学的概率为4263=, 故选:B 【点睛】本题考查了列举法求典概型概率,属于基础题. 5.ABC ∆中,D 为BC 的中点,则( ) A .2AB AC AD -=u u u r u u u r u u u rB .2AB AC AD +=u u u r u u u r u u u rC .AB AC DB DC +=+u u u r u u u r u u u r u u u rD .AB AC DB DC BC -=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r【答案】B【解析】根据向量的线性运算,化简四个选项即可判断. 【详解】根据向量的线性运算,化简可知:对于A ,2AB AC CB AD -=≠u u u r u u u r u u u r u u u r,所以A 错误;对于B ,2AB AC AD +=u u u r u u u r u u u r,所以B 正确;对于C ,0DB DC +=u u u r u u u r r ,所以AB AC DB DC +≠+u u u r u u u r u u u r u u u r,所以C 错误;对于D ,AB AC DB DC CB BC -=-=≠u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,所以D 错误; 综上可知,B 为正确选项, 故选:B. 【点睛】本题考查了平面向量的线性运算,属于基础题. 6.函数()33xxf x -=-是( )A .奇函数,且在R 上是增函数B .奇函数,且在R 上是减函数C .偶函数,且在()0,∞+上是增函数D .偶函数,且在()0,∞+上是减函数【答案】A【解析】根据函数解析式,结合奇偶性性质,即可判断函数的奇偶性;由解析式可直接判断函数的单调性. 【详解】函数()33xxf x -=-,定义域为R ,则()()33xxf x f x --=-=-所以函数()f x 为奇函数, 函数()133xx f x -=+,所以函数()f x 在R 上是增函数, 综上可知,A 为正确选项, 故选:A 【点睛】本题考查了函数奇偶性与单调性的判断,属于基础题.7.已知两个平面α,β相互垂直,l 是它们的交线,则下面结论正确的是( ) A .垂直于平面β的平面一定平行于平面α B .垂直于直线l 的平面一定平行于平面α C .垂直于平面β的平面一定平行于直线l D .垂直于直线l 的平面一定与平面α,β都垂直 【答案】D【解析】根据空间中直线与平面、平面与平面的位置关系即可判断四个选项.【详解】对于A ,当两个平面α,β相互垂直,且平面α,β为正方体的两个面时,垂直于平面β的平面会垂直于平面α,所以A 错误;对于B ,当两个平面α,β相互垂直,且平面α,β为正方体的两个面时,垂直于直线l 的平面会垂直于平面α,所以B 错误;对于C ,当两个平面α,β相互垂直,且平面α,β为正方体的两个面时,垂直于平面β的平面可能平行于直线l ,也可能垂直于直线l ,所以C 错误;对于D ,两个平面α,β相互垂直,l 是它们的交线,由线面垂直性质可知垂直于直线l 的平面一定与平面α,β都垂直,所以D 正确;综上可知,D 为正确选项, 故选:D. 【点睛】本题考查了直线与平面、平面与平面位置关系的判断,对空间想象能力要求较高,注意特殊空间图形的应用,属于基础题.8.已知向量a r ,b r 满足2a =r ,1b =r ,2a b +=r r a r 与b r的夹角为( )A .30°B .60︒C .120︒D .150︒【答案】B【解析】根据模的向量运算,将2a b +r r平方后化简,即可由平面向量的数量积定义求得a r 与b r的夹角. 【详解】向量a r ,b r满足2a =r ,1b =r ,2a b +=r r则()(222a b+=r r所以()224212aa b b +⋅+=r r r r ,代入2a =r ,1b =r,可求得1a b ⋅=r r,由平面向量数量积定义可知,设a r 与b r的夹角为θ,则cos 1a b a b θ⋅=⋅=r r r r,则1cos 2θ=, 因为0180θ︒≤≤︒, 所以60θ=︒,故选:B. 【点睛】本题考查了平面向量夹角的求法,平面向量数量积定义及模的运算,属于基础题.9.函数()()1f x cosx sinx -=在[],ππ﹣的图象大致为( ) A . B .C .D .【答案】D【解析】判断函数f (x )为奇函数,由此排除选项A 、B ,再观察C 、D 选项,即可得出正确答案. 【详解】()()1f x cosx sinx cosxsinx sinx =-=-,易知,函数f x ()为奇函数,其图象关于原点对称,故排除A B 、选项,又f ′(x )=(cos x ﹣1)′sin x +(cos x ﹣1)(sin x )′ =﹣sin 2x ﹣cos x +cos 2x =﹣cos x +cos2x , 故可得f ′(0)=0,可排除C , 故选:D . 【点睛】本题主要考查了由函数解析式判断函数图象,考查导数的应用,属于中档题. 10.“()1,x ∈+∞”是“x 属于函数()()2ln 28f x x x =--单调递增区间”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分且必要条件D .既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据函数()()2ln 28f x x x =--单调递增区间,由复合函数单调性的性质先求得单调递增的区间;由两个区间的包含关系即可判断充分必要性. 【详解】函数()()2ln 28f x x x =--单调递增区间,由复合函数单调性可知()219y x =--单调递增且2280x x -->, 解得4x >,即()4,x ∈+∞时函数()()2ln 28f x x x =--单调递增,所以“()1,x ∈+∞”是“x 属于函数()()2ln 28f x x x =--单调递增区间”的必要不充分条件, 故选:B. 【点睛】本题考查了复合函数单调区间求法,注意对数函数定义域的要求,充分必要条件的判断,属于中档题.11.已知当x α=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得最小值,则cos α=( )A .B .CD 【答案】C【解析】根据辅助角公式化简三角函数式,结合当x α=时取得最小值,即可得α表达式,结合诱导公式即可求解. 【详解】函数()sin 2cos f x x x =-由辅助角公式化简可得()f x x x ⎫=-⎪⎪⎭(),sin x θθ=-=因为当当x α=时,函数取得最小值, 所以32,2k k Z παθπ-=+∈, 则32,2k k Z παθπ=++∈所以cos co 22s 3k π⎛⎫+θ+π ⎪⎝α⎭=2cos 3π⎛⎫+θ ⎝=⎪⎭sin θ==故选:C. 【点睛】本题考查了辅助角公式在化简三角函数式中的应用,诱导公式求三角函数值,属于中档题.12.已知函数()21,0log ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩,则()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦的零点个数为( ) A .4 B .3C .2D .1【答案】A【解析】令()f x t =,由()10f t +=得到12t =-,212t =,再根据()1f x t =和()2f x t =,得到x 的值,从而得到答案.【详解】令()f x t =,则()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦的零点, 转化为()10f t +=,而()21,0log ,0t t f t t t +≤⎧=⎨>⎩,解得12t =-,212t =,所以()12f x t ==-,即0x ≤时,12x +=-,得3x =-,0x >时,2log 2x =-,得14x =()212f x t ==, 即0x ≤时,112x +=,得12x =-,0x >时,21log 2x =,得x .所以()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦有4个零点. 故选:A. 【点睛】本题考查求复合函数的零点,通过换元法区分内外层函数,逐层求解,属于中档题.二、填空题13.已知α是第三象限的角,若4cos 5α=-,则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭______ .【答案】7【解析】利用同角三角函数关系,求得sin α,进而得tan α.结合正切和角公式展开即可求解. 【详解】α是第三象限的角,若4cos 5α=-,则3sin 5α==-, 所以sin 3tan cos 4ααα==, 由正切和角公式可得,tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭tan tan41tan tan4παπα+=-⋅31473114+==-⨯‘’ 故答案为:7. 【点睛】本题考查了同角三角函数关系式的应用,正切和角公式的应用,属于基础题. 14.已知()f x 为偶函数,当0x <时,()()ln 3f x x x =-+,则()'1f =______ . 【答案】-2【解析】根据0x <时的解析式,结合偶函数性质可求得0x >时的解析式.求得导函数,即可代入求得()'1f 的值. 【详解】当0x <时,()()ln 3f x x x =-+, 则当0x >,0x -<, 所以()ln 3f x x x -=-因为()f x 为偶函数,()()f x f x -= 所以()ln 3f x x x =- 所以()1'3f x x=- 则()'1132f =-=- 故答案为:2-. 【点睛】本题考查了根据奇偶性求函数解析式,基本求导公式的应用及求导数值,属于基础题. 15.ABC ∆中,6AC =,2BC AB =,3B π=,则AB =______ .【答案】【解析】设AB x =,则由条件和余弦定理即可求得AB . 【详解】设AB x =,则22BC AB x ==ABC ∆中,6AC =,3B π=,由余弦定理可知222cos cos 23AB BC AC B AB BC π+-==⨯,代入可得224361222x x x x +-=⋅⋅,解得x =x =-故答案为:【点睛】本题考查了余弦定理在解三角形中的简单应用,属于基础题.16.边长为2的等边三角形ABC 的三个顶点A ,B ,C 都在以O 为球心的球面上,若球O 的表面积为883π,则三棱锥O ABC -的体积为_______.【解析】先根据球的表面积求得球的半径,由等边三角形ABC 求得三角形ABC 的外接圆半径,结合球的性质即可求得三棱锥O ABC -的高,即可求得三棱锥O ABC -的体积. 【详解】边长为2的等边三角形ABC 的三个顶点A ,B ,C 都在以O 为球心的球面上,球O 的表面积为883π,设球的半径为R ,由球的表面积公式可得28843R ππ=,解得3R =, 等边三角形ABC 的边长为2,设等边三角形ABC 的外接圆半径为r ,圆心为'O ,由正弦定理可得22sin 60r =o ,解得r =,由球的截面性质可知'OO ⊥平面ABC ,设'OO h =,则h === 由三棱锥体积公式可得13O ABC ABC V S h -∆=⨯2123==【点睛】本题考查了根据球的表面积求球的半径,三棱锥外接球的性质及应用,三棱锥体积求法,属于中档题.三、解答题17.如图,M 是半圆弧»CD上异于C ,D 的点,四边形ABCD 是矩形,P 为AM 中点.MC平面PBD;(1)证明://(2)若矩形ABCD所在平面与半圆弧»CD所在平面垂直,证明:平面AMD⊥平面BMC.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析MC OP,进【解析】(1)连结AC交BD于O,连结OP,根据中位线定理可证明//MC平面PBD;而由线面平行判定定理即可证明//⊥;再根据圆的性(2)由面面垂直的性质可知BC⊥平面CMD,进而可得BC DM⊥,从而DM⊥平面BMC,由面面垂直判定定理即可证明平面质可知DM CMAMD⊥平面BMC.【详解】(1)连结AC交BD于O,连结OP,如下图所示:因为ABCD为矩形,所以O为AC中点.因为P为AM中点,MC OP.所以//MC⊄平面PBD,OP⊂平面PBD,MC平面PBD.所以//(2)平面CMD⊥平面ABCD,交线为CD.⊥,BC⊂平面ABCD,因为BC CD所以BC⊥平面CMD,⊥.故BC DM因为M 为»CD上异于C ,D 的点,且DC 为直径, 所以DM CM ⊥.又BC CM C =I ,所以DM ⊥平面BMC .而DM ⊂平面AMD ,故平面AMD ⊥平面BMC .【点睛】本题考查了线面平行的判定,直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定,属于基础题. 18.某种产品的质量用其质量指标值来衡量)质量指标值越大表明质量越好,且质量指标值大于或等于102的产品为优质品.现用两种新配方(分别称为A 配方和B 配方)做试验,各生产了100件这种产品,并测量了每件产品的质量指标值,得到下面试验结果: A 配方的频数分布表:B 配方的频数分布表:(1)分别估计用A 配方、B 配方生产的产品的优质品率;(2)已知用B 配方生产的一件产品的利润(单位:元)与其质量指标值t 的关系为2,942,941024,102t y t t -<⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩,估计用B 配方生产的一件产品的利润大于0的概率,并求用B 配方生产的上述100件产品的平均利润.【答案】(1):0.3A ,:0.42B (2)0.96,2.68元【解析】(1)根据某种产品的质量用其质量指标值来衡量,质量指标值越大表明质量越好,且质量指标值大于或等于102的产品为优质品,根据评论计算公式即可求得答案.(2) 由条件知,用B 配方生产的一件产品的利润大于0当且仅当其质量指标值94t ≥,由试验结果知,质量指标值94t ≥的频率为0.96,用B 配方生产的一件产品的利润大于0的概率约为0.96,即可求得答案.【详解】(1)Q 由试验结果知,用A 配方生产的产品中优质品的频率为2280.3100+= ∴ 用A 配方生产的产品中优质品率的估计值为0.3Q 由试验结果知,用B 配方生产的产品中优质品的频率为32100.42100+= ∴用B 配方生产的产品中优质品率的估计值为0.42(2)由条件知,用B 配方生产的一件产品的利润大于0当且仅当其质量指标值94t ≥ 由试验结果知,质量指标值94t ≥的频率为0.96.∴ 用B 配方生产的一件产品的利润大于0的概率约为0.96.用B 配方生产的100件产品的平均利润为()142542424 2.68100⨯⨯-+⨯+⨯=⎡⎤⎣⎦(元). 【点睛】本题考查了求数据的频率和用频率解决实际问题,解题的关键是掌握频率的基础知识,考查了分析能力和计算能力.19.ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知sin cos a B A =. (1)求A ;(2)若2b =,3c =,BAC ∠平分线AD 交BC 于点D ,求AD 的长.【答案】(1)60︒(2)5【解析】(1)根据正弦定理,将条件中的边化为角的表达式,结合ABC ∆的内角范围即可求得A .(2)由三角形面积公式分别表示出ABC ∆、ABD ∆、ACD ∆的面积,由ABC ABC ACD S S S ∆∆∆=+即可求得AD 的长.【详解】(1)由条件及正弦定理得sin sin cos A B B A =.因为sin 0B ≠,所以sin A A =,tan A =因为0180A <<︒︒,因此60A =︒.(2)ABC ∆的面积为1sin 22b c A ⋅⋅=. ABD ∆的面积为13sin 3024c AD AD ⋅⋅︒=. ACD ∆的面积为11sin 3022b AD AD ⋅⋅︒=. 因为ABC ABC ACD S S S ∆∆∆=+所以3142AD AD +=解得5AD =. 【点睛】本题考查了正弦定理边角转化的应用,三角形面积公式的应用,属于基础题. 20.已知()f x 是定义域为R 的奇函数,满足()()11f x f x -=+.(1)证明:()()4f x f x +=;(2)若()12f =,求式子()()()()12350f f f f +++⋯+的值.【答案】(1)证明见解析 (2)2【解析】(1)根据题意,由函数的奇偶性以及()()11f x f x -=+分析可得(2)f x f x +=-(),变形即可得答案(2)由(1)的结论分析可得f (2)、f (3)、f (4)的值,利用函数的周期分析可得答案.【详解】(1)证明:根据题意,f x ()是定义域为R 的奇函数,则f x f x (-)=-(),又由f x ()满足11f x f x +()=(-),则2f x f x -+()=(),则有(2)f x f x +=-(),变形可得:4f x f x +()=(),即可得证明;(2)由(1)的结论,4f x f x +()=(),又由f x ()是定义域为R 的奇函数,则00f ()=, 则200312400f f f f f f ()=-()=,()=-()=-,()=()=, 则123420200f f f f ++++++()()()()=(-)=, 则有12350f f f f +++⋯+()()()() 1234124950122[]f f f f f f f f +++⨯+++=()()()()()()=()()=.【点睛】本题主要考查了抽象函数的求值,涉及函数的奇偶性与周期性的综合应用,属于中档题.21.已知函数()ln x f x ax x =-,曲线()y f x =在1x =处的切线经过点()2,1-. (1)求实数a 的值;(2)证明:()f x 在()0,1单调递增,在()1,+∞单调递减;(3)设1b >,求()f x 在1,b b⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 【答案】(1)1(2)证明见解析(3)-1,1ln b b b-- 【解析】(1)先求得导函数,根据在1x =处的切线经过点()2,1-,代入导函数即可求得a 的值;(2)将1a =代入导函数可得()()221ln 'x x f x x --=,即可分别判断当01x <<和1x >时导函数的符号,即可证明函数在各自区间上的单调性.(3)根据1b >,由不等式性质可知101b b <<<。
2018年丹东市高三总复习质量测试(二)文科数学试题及答案本试卷共23题,共150分,共4页。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.选择题必须使用2B 铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.若集合{|||3}A x x =∈<N ,{2,1,0,1}B =--,则A B = A .{0,1}B .{1}C .{2,0}-D .{2,1,0,1}--2.复数z 为纯虚数,复数21i z +-为实数,则z = A .2i -B .i -C .iD .2i3.圆心为(2,0)的圆C 与圆224640x y x y ++-+=相外切,则C 的方程为 A .22420x y x +++=B .22420x y x +-+=C .2240x y x ++=D .2240x y x +-=4.中国南宋数学家秦九韶(公元1208~1268)在《数书九章》中给出了求n 次多项式1110n n n n a x a x a x a --++++在t x =处的值的简捷算法,例如多项式323210a x a x a x a +++可改写为()3210)(a x a x a x a +++后,再进行求值.右图是实现该算 法的一个程序框图,该程序框图可计算的多项式为 A .432234x x x x ++++ B .4322345x x x x ++++ C .52432345x x x x x +++++D .532423456x x x x x +++++5.已知某种商品的广告费支出x (单位:万元)与销售额y (单位:万元)之间有如下40 50 根据上表可得回归方程y bx a =+,计算得7b =,则当投入10万元广告费时,销售额的预报值为 A .75万元 B .85万元 C .99万元 D .105万元6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 A .3π4+ B .4π4+ C .6π4+ D .8π4+7.设n S 为数列{}n a 的前n 项和,若23n n S a =-,则5S =A .93B .62C .458.若m ,n 是两条不同的直线,α,β A .若m α⊥,//n β,//αβ,则m n ⊥ B .若//m α,n β⊥,αβ⊥,则m n ⊥ C .若//m α,//n β,//αβ,则//m n D .若m α⊥,n β⊥,αβ⊥,则//m n 9.若121πlog (1)x x -=+,22πln x x -=,323πlog x x -=,则A .312x x x <<B .321x x x <<C .123x x x <<D .132x x x <<10.设P 是△ABC 所在平面上的一点,若|2|2AP BP CP --=,||4BP CP -=,则AB AC ⋅= A .1-B .3-3-C .3D .111.设()sin()(0)f x x ωϕω=+>,若π()14f =,则函数π()4y f x =- A .是奇函数 B .的图象关于点π(,0)2对称C .是偶函数D .的图象关于直线π2x =对称12.已知函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处取极值10,则a = A .4或3- B .4或11- C .4 D .3-二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
丹东市高三总复习质量测试(二)文科数学一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1. 若集合,,则A. B. C. D.2. 复数为纯虚数,复数为实数,则A. B. C. D.3. 圆心为的圆与圆相外切,则的方程为A. B.C. D.4. 中国南宋数学家秦九韶(公元1208~1268)在《数书九章》中给出了求次多项式在处的值的简捷算法,例如多项式可改写为后,再进行求值.下图是实现该算法的一个程序框图,该程序框图可计算的多项式为A. B.C. D.5. 已知某种商品的广告费支出x(单位:万元)与销售额y(单位:万元)之间有如下对应数据:根据上表可得回归方程,计算得,则当投入10万元广告费时,销售额的预报值为A. 75万元B. 85万元C. 99万元D. 105万元6. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为A. B. C. D.7. 设为数列的前项和,若,则A. 93B. 62C. 45D. 218. 若,是两条不同的直线,,是两个不同的平面,则下列命题正确的是A. 若,,,则B. 若,,,则C. 若,,,则D. 若,,,则9. 若,,,则A. B. C. D.10. 设是△所在平面上的一点,若,,则A. B. C. 3 D.11. 设,若,则函数A. 是奇函数B. 的图象关于点对称C. 是偶函数D. 的图象关于直线对称12. 已知函数在处取极值10,则A. 4或B. 4或C. 4D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13. 等差数列中,,,则的值为_______.14. 设实数,满足约束条件,则的取值范围为_______.15. 为了考查考生对于“数学知识形成过程”的掌握情况,某高校自主招生考试面试中的一个问题是:写出对数的换底公式,并加以证明.甲、乙、丙三名考生分别写出了不同的答案.公布他们的答案后,三考生之间有如下对话,甲说:“我答错了”;乙说:“我答对了”;丙说:“乙答错了”.评委看了他们的答案,听了他们之间的对话后说:你们三人的答案中只有一人是正确的,你们三人的对话中只有一人说对了.根据以上信息,面试问题答案正确的考生为_______.16. 双曲线的左右焦点分别为,,以为圆心,为半径的圆与的左支相交于,两点,若△的一个内角为,则的离心率为_______.三、解答题:共70分。
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
17. △中,,.(1)求;(2)若,是上的点,平分,求.18. 某代卖店代售的某种快餐,深受广大消费者喜爱,该种快餐每份进价为8元,并以每份12元的价格销售.如果当天19:00之前卖不完,剩余的该种快餐每份以5元的价格作特价处理,且全部售完.(1)若这个代卖店每天定制15份该种快餐,求该种类型快餐当天的利润y(单位:元)关于当天需求量x(单位:份,)的函数解析式;(2)该代卖点记录了一个月30天的每天19:00之前的销售数量该种快餐日需求量,统计数据如下:以30天记录的日需求量的频率作为日需求量发生的概率,假设这个代卖店在这一个月内每天都定制15份该种快餐.(i)求该种快餐当天的利润不少于52元的概率.(ii)求这一个月该种快餐的日利润的平均数(精确到0.1).19. 如图,在四面体中,,.(1)证明:;(2)若,,四面体的体积为2,证明:平面平面.20. 已知为椭圆:长轴上的一个动点,过点的直线与交于,两点,点在第一象限,且.(1)若点为的下顶点,求点的坐标;(2)若为坐标原点,当△的面积最大时,求点的坐标.21. 设函数.(1)若,讨论的单调性;(2)若在上有两个零点,求的取值范围.22. 在直角坐标系中,将圆上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的倍,再把所得曲线上每一点向下平移1个单位得到曲线.以为极点,以轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程是.(1)写出的参数方程和的直角坐标方程;(2)设点在上,点在上,求使取最小值时点的直角坐标.23. 设函数,若,.(1)证明:;(2)比较与的大小.丹东市高三总复习质量测试(二)文科数学一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1. 若集合,,则A. B. C. D.【答案】A【解析】分析:解绝对值不等式后根据可得集合A,然后再求.详解:由题意得,∴.故选A.点睛:本题考查绝对值不等式的解法和集合的交集,属容易题,主要考查学生的运算能力.2. 复数为纯虚数,复数为实数,则A. B. C. D.【答案】A【解析】分析:由待定系数法设,代入后化为代数形式,根据复数为实数求得后可得结果.详解:设,则.∵复数为实数,∴,解得.∴.故选A.点睛:本题考查复数的除法运算和复数的概念,解题的关键是准确理解和运用复数为纯虚数、复数为实数的条件.3. 圆心为的圆与圆相外切,则的方程为A. B.C. D.【答案】D【解析】分析:由两圆外切得圆心距为半径和从而得解.详解:圆,即.圆心为,半径为3设圆的半径为.由两圆外切知,圆心距为.所以.的方程为,展开得:.故选D.点睛:此题主要考查解析几何中圆的标准方程,两圆的位置关系,以及两点间的距离公式的应用等有关方面的知识与技能,以属于中低档题型,也是常考考点.判断两圆的位置关系,有两种方法,一是代数法,联立两圆方程,消去其中一未知数,通过对所得方程的根决断,从而可得两圆关系;一是几何法,通计算两圆圆心距与两圆半径和或差进行比较,从而可得两圆位置关系.4. 中国南宋数学家秦九韶(公元1208~1268)在《数书九章》中给出了求次多项式在处的值的简捷算法,例如多项式可改写为后,再进行求值.下图是实现该算法的一个程序框图,该程序框图可计算的多项式为A.B.C.D.【答案】C【解析】分析:依次运行程序框图中的程序后可得多项式的形式.详解:依次运行程序可得①,满足条件,继续运行;②,满足条件,继续运行;③,满足条件,继续运行;④,满足条件,继续运行;⑤,不满足条件,停止运行,输出.故选C.点睛:解答本题的关键是模拟程序的运行过程,依次写出每次循环得到的结果,根据循环结构的条件得到结果.5. 已知某种商品的广告费支出x(单位:万元)与销售额y(单位:万元)之间有如下对应数据:根据上表可得回归方程,计算得,则当投入10万元广告费时,销售额的预报值为A. 75万元B. 85万元C. 99万元D. 105万元【答案】B【解析】分析:根据表中数据求得样本中心,代入回归方程后求得,然后再求当的函数值即可.详解:由题意得,∴样本中心为.∵回归直线过样本中心,∴,解得,∴回归直线方程为.当时,,故当投入10万元广告费时,销售额的预报值为85万元.故选B .点睛:本题考查回归直线过样本中心这一结论和平均数的计算,考查学生的运算能力,属容易题. 6. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为A. B.C.D.【答案】B【解析】分析:根据三视图得到几何体的直观图,然后根据所给数据求解. 详解:由三视图可得该几何体由上下两部分组成, 上方为半径是1的四分之一球,下方是底面圆半径为1, 高为2的半圆柱. 故该几何体的表面积为:.故选B .点睛:(1)解题的关键是由三视图得到几何体的直观图,此类问题主要考查学生的空间想象能力和运算能力.(2)解题时注意几何体“表面积”和“全面积”的区别. 7. 设为数列的前项和,若,则A. 93B. 62C. 45D. 21 【答案】A【解析】分析:根据与的关系求得数列的通项公式,然后再求出即可.详解:∵, ∴,∴,整理得,又,解得.∴数列是首项为3,公比为2的等比数列,∴.故选A.点睛:已知与的关系解题时,要注意联系与的纽带:,运用这一关系时要注意使用的前提是,对于的情形要进行检验,看是否满足一般的规律.8. 若,是两条不同的直线,,是两个不同的平面,则下列命题正确的是A. 若,,,则B. 若,,,则C. 若,,,则D. 若,,,则【答案】A【解析】分析:对每个选项逐一分析,利用综合法或举反例的方法进行排除即可得到结论.详解:对于选项A,由,可得或,又,所以可得,故A正确.对于选项B,由条件可得或,故B不正确.对于选项C,由条件可得或相交或异面,故C不正确.对于选项D,由题意得,故D不正确.点睛:点、线、面的位置关系的判断方法(1)平面的基本性质是立体几何的基本理论基础,也是判断线面关系的基础.对点、线、面的位置关系的判断,常采用穷举法,即对各种关系都进行考虑,要发挥模型的直观性作用.(2)利用线线平行、线面平行、面面平行以及线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定定理、性质定理综合进行推理和判断命题是否正确.9. 若,,,则A. B. C. D.【答案】D【解析】分析:在同一坐标系内画出函数的图象,根据图象并结合函数值得到自变量间的关系后可得结果.详解:画出函数的图象,如下图所示.∵,∴由图象可得,∴.故选D.点睛:本题考查对数函数、指数函数图象的画法,以及运用函数图象解决问题,主要考查学生的动手能力和运用图象解决问题的能力.10. 设是△所在平面上的一点,若,,则A. B. C. 3 D.【答案】B【解析】分析:将条件转化为,将两式分别平方后相减可得的值.详解:∵,∴.①又,∴.②①②得,∴.故选B.点睛:数量积的运算有两种方式,一是运用定义计算,二是利用向量的坐标进行运算.在本题中由于不满足以上两种方式的条件,故要考虑其他的方法了.将条件变为和成了解题的关键,对于此种类型的问题一般采用两边平方的方法.11. 设,若,则函数A. 是奇函数B. 的图象关于点对称C. 是偶函数D. 的图象关于直线对称【答案】C【解析】分析:由可得,将其代入化简得到,所以函数为偶函数.详解:由题意得,∴.∴,∴函数为偶函数.故选C.点睛:研究三角函数的性质时,首先要将所给函数通过三角变换、辅助角公式化为或的形式,然后将看作一个整体并结合正弦或余弦函数的性质求解,在解题时要注意和的符号对结果的影响.12. 已知函数在处取极值10,则A. 4或B. 4或C. 4D.【答案】C【解析】分析:根据函数的极值点和极值得到关于的方程组,解方程组并进行验证可得所求.详解:∵,∴.由题意得,即,解得或.当时,,故函数单调递增,无极值.不符合题意.∴.故选C.点睛:(1)导函数的零点并不一定就是函数的极值点,所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是函数的极值点.(2)对于可导函数f(x),f′(x0)=0是函数f(x)在x=x0处有极值的必要不充分条件,因此在根据函数的极值点或极值求得参数的值后需要进行验证,舍掉不符合题意的值.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。