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平面向量数量积第一课时公开课

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平面向量的数量积(公开课)

平面向量的数量积(公开课)

平面向量的数量积(公开课) 大家好，今天我们来聊聊一个非常有趣的话题——平面向量的数量积。

让我们来搞清楚什么是平面向量。

想象一下，你在一张纸上画了一条线段，这条线段有两个端点，我们把这两个端点叫做起点和终点。

现在，我们在这条线段上任意选了一个点，这个点叫做向量的一个分量。

那么，这条线段就变成了一个向量。

那么，什么是向量的内积呢？想象一下，你有两个向量A和B,它们的起点分别是A1和B1,终点分别是A2和B2。

那么，这两个向量的内积就是它们在这两个点处的乘积之和。

用数学公式表示就是：(A1 * A2) + (B1 * B2)。

这个概念有点难懂吧？没关系，我们来看一个例子。

假设你有两个向量A和B,A的起点是1,终点是2;B的起点是3,终点是4。

那么，A 的第一个分量是1,第二个分量是0;B的第一个分量是0,第二个分量是1。

所以，A和B 的内积就是(1 * 4) + (0 * 1) = 4。

这就是平面向量的数量积。

那么，为什么我们需要学习平面向量的数量积呢？因为它在很多领域都有应用。

比如说，在物理学中，力和速度之间的关系就是一个向量的数量积；在工程学中，建筑物的结构设计也需要考虑向量的数量积；在计算机图形学中，光照效果的计算也离不开向量的数量积。

所以，学好平面向量的数量积对我们的生活和工作都有很大的帮助。

好了，现在我们已经知道了平面向量的数量积是什么，那么怎么计算它呢？其实很简单，只需要按照上面的公式进行计算就可以了。

如果你觉得这个公式还是有点复杂，也可以把它简化成两个部分：第一个分量的乘积加上第二个分量的乘积。

这样一来，问题就变得简单多了。

平面向量的数量积是一个非常重要的概念，它在很多领域都有应用。

希望大家能够认真学习这个知识点，将来在生活和工作中都能派上用场。

好了，今天的课就讲到这里了，希望大家能够喜欢这个课程！下次再见啦！。

平面向量的数量积与运算律公开课课件

平面向量的数量积与运算律公开课课件

平面向量的数量积及运算律 复习 新课 例题 练习
例、求证：
2 2 2 (1)( a b ) a 2a b b 2 2 2(a b ) (a b ) a b
问:
(a b ) (a b ) ? (a b )
平面向量的数量积及运算律
小 结
总结:
掌握平面向量数量积的运算 律,体会平面向量数量积运算与数 与式运算的区别与联系；
理解利用性质求长度、角度、 证垂直的方法与手段。
平面向量的数量积及运算律 复习 新课 例题 练习
练习2 向量a与b 夹角是3 则 | a 源自 b | | a b | _____
， | a | 2,| b | 1,
平面向量的数量积及运算律 复习 新课 例题 练习
作业：
1、若 | a || b | 1, a b 且2a 3b 与 ka 4b 也互相垂直，求k的值。 2、设a是非零向量，且b c , 求证： a b a c a (b c )
平面向量的数量积及运算律 复习 新课 例题 练习
平面向量的数量积及运算律 复习 新课 例题 练习
1、数量积的定义：
a b | a || b | cos
2、数量积的几何意义：
a b 等于 a 的长度 | a |与 b 在a方向上的投影
| b | cos 的乘积。
所以 | a b | cos | a | cos 1 | b | cos 2
0
A
a
1
A1
2 b
B C
c A2
| a b || c | cos | a || c | cos1 | b || c | cos2

平面向量的数量积PPT课件

平面向量的数量积PPT课件

运算律
向量与标量乘法结合律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$kmathbf{a} cdot mathbf{b} = (kmathbf{a}) cdot mathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b})$。
向量与标量乘法交换律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$mathbf{a} cdot kmathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b}) = (kmathbf{b}) cdot mathbf{a}$。
向量数量积的性质
向量数量积满足交换律和结合 律，即a·b=b·a和 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足分配律，即 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足正弦律，即 a·b=|a||b|sinθ，其中θ为向量a 和b之间的夹角。
02 平面向量的数量积的运算
计算公式
定义
平面向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的数量积定义为 $mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| times |mathbf{b}| times cos theta$，其中$theta$是向量 $mathbf{a}$和$mathbf{b}$之间的夹角。
交换律
平面向量的数量积满足交换律，即$mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{b} cdot mathbf{a}$。
分配律
平面向量的数量积满足分配律，即$(mathbf{a} + mathbf{b}) cdot mathbf{c} = mathbf{a} cdot mathbf{c} + mathbf{b} cdot mathbf{c}$。

数学公开课平面向量数量积的各种求法ppt课件

数学公开课平面向量数量积的各种求法ppt课件

向量 $vec{a}$ 与单位向 量 $hat{u}$ 的数量积等 于 $vec{a}$ 在 $hat{u}$ 方向上的投影 ，即 $vec{a} cdot hat{u} = |vec{a}| cos theta$。
几何意义及应用
01 夹角计算
02 投影计算
03 判断垂直关系
04 判断共线关系
05 在力学中的应用
物理意义
在物理中，数量积可以表示两个力的合力在某一方向上的分量，或者表示一个 力在另一个力的方向上的投影。
运算律与性质
交换律
分配律
$vec{a} cdot vec{b} = vec{b} cdot vec{a}$
$(vec{a} + vec{b}) cdot vec{c} = vec{a} cdot vec{c} + vec{b} cdot vec{c}$
2. 已知向量$vec{a} = (1,2)$，向量$vec{b} = (2,-1)$，且$vec{a}$与$vec{b}$的夹角为锐 角，求$vec{a} cdot vec{b}$。
解：首先计算夹角$theta$的余弦值，由于$costheta > 0$且夹角为锐角，因此可以直接计 算$costheta = frac{vec{a} cdot vec{b}}{|vec{a}| cdot |vec{b}|} = frac{1 times 2 + 2 times (-1)}{sqrt{1^2 + 2^2} times sqrt{2^2 + (-1)^2}} = 0$。
$\vec{a} \cdot (\vec{a} + 2\vec{b}) = (1, 2) \cdot (5, 0) = 1 \times 5 + 2 \times 0 = 5$。 • 例题 2：已知 $|\vec{a}| = 3$，$|\vec{b}| = 4$，$\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60^\circ$，求

数学公开课：平面向量数量积的各种求法课件

数学公开课：平面向量数量积的各种求法课件

02
平面向量数量积的坐标求法
坐标表示法
定义
平面向量数量积的坐标表示法是通过向量的坐标来计算数量积的方法。
公式
设向量$overset{longrightarrow}{a} = (x_{1}, y_{1})$，$overset{longrightarrow}{b} = (x_{2}, y_{2})$，则 $overset{longrightarrow}{a} cdot overset{longrightarrow}{b} = x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2}$。
应用
适用于已知向量基底的情况，可以方 便地表示任意向量，并计算其数量积 。
03
平面向量数量积的基底求法
基底的定义与选择
基底的定义
基底是一组不共线的向量，可以 用来表示任意向量。
选择基底的技巧
选择基底时应考虑向量的线性无 关性、几何意义以及计算简便性 。
基底运算求法
01
02
03
定义法
根据数量积的定义，利用 基底表示任意向量，再计 算数量积。
平面向量数量积的投量在另一个向量上的投影 是一个标量，等于被投影向量与 投影方向向量的数量积除以投影
方向向量的模。
投影性质
投影长度总是非负的，当且仅当两 个向量共线时，投影长度为零。
投影与夹角关系
投影长度与被投影向量和投影方向 向量的夹角有关，夹角越小，投影 长度越大。
03
投影运算的几何解释
在三维空间中，投影运算可以理解为将一个向量从原点出发沿着某个方
向移动一定的距离。
投影与坐标求法
坐标系选择
在计算投影时，需要选择一个合适的 坐标系，使得投影方向向量和被投影 向量都落在坐标轴上或与坐标轴平行 。

第三节第1课时平面向量的数量积课件共42张PPT

第三节第1课时平面向量的数量积课件共42张PPT

(3)a·c＝a·( 7a＋ 2b)＝ 7a2＋ 2a·b＝ 7；
|c|＝ （ 7a＋ 2b）2 ＝ 7a2＋2b2＋2 14a·b ＝
7＋2＝3；
所以cos〈a，c〉＝
a·c |a||c|
＝
7 1×3
＝
7 3
；所以sin〈a，
c〉＝ 32.故选B. 答案：(1)B (2)B (3)B
1．根据平面向量数量积的性质：若a，b为非零向
CD，CD＝2，∠BAD＝
π 4
，若
→ AB
→ ·AC
＝2
→ AB
→ ·AD
，则
A→D·A→C＝________．
解析：法一(几何法) 因为A→B·A→C＝2A→B·A→D， 所以A→B·A→C－A→B·A→D＝A→B·A→D， 所以A→B·D→C＝A→B·A→D.
因为AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝π4， 所以2|A→B|＝|A→B|·|A→D|cos π4，化简得|A→D|＝2 2. 故A→D·A→C＝A→D·(A→D＋D→C)＝|A→D|2＋A→D·D→C＝(2 2)2＋ 2 2×2cos π4＝12. 法二(坐标法) 如图，建立平面直角坐标系xAy.依 题意，可设点D(m，m)，C(m＋2， m)，B(n，0)，其中m>0，n>0，
求非零向量a，b的数量积的三种方法
方法 定义法
基底法
适用范围
已知或可求两个向量的模和夹角
直接利用定义法求数量积不可行时，可选取合适 的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量 积的两个向量分别表示出来，进而根据数量积的 运算律和定义求解
①已知或可求两个向量的坐标； 坐标法 ②已知条件中有(或隐含)正交基底，优先考虑建
1 2

2.4.1平面向量的数量积》(第一课时)

平面向量的数量积的物理背景 及其含义
问题提出
1.向量的模和夹角分别是什么概念？ 1.向量的模和夹角分别是什么概念？ 向量的模和夹角分别是什么概念
, 注意: 两向量的夹角定义两向量必须 是同起点的范围是 ≤θ ≤ π. , 0
向量的夹角 两个非零向量a 两个非零向量 和b ，作OA = a ，OB = b ，则 ∠AOB = θ
数量积a·b等于 的模与 数量积 等于a的模与 在a方向上的 等于 的模与b在 方向上的 投影︱ ︱ θ的乘积，或等于b的模与 投影︱b︱cosθ的乘积，或等于 的模与 a在b方向上的投影︱a︱cosθ的乘积. 方向上的投影︱ ︱ θ的乘积. 在 方向上的投影
平面向量的数量积的运算性质 问题5 都是非零向量， 等于多少？ 问题5：设a与b都是非零向量，若a⊥b，则a·b等于多少？ 与 都是非零向量 ⊥ ， 等于多少 反之成立吗？ 反之成立吗？
数量积的运算律： 数量积的运算律： 交换律： 交换律： r r r r r r r 分配律： 分配律：(a + b) ⋅ c = a ⋅ c + b ⋅ c
r r r r a ⋅b = b ⋅ a
数乘结合律： 数乘结合律：
(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) ＝ 关于向量的数量积运算： 关于向量的数量积运算： 数量积运算不满足结合律。 数量积运算不满足结合律。 思考４：对于实数λ,(λa)·b表示什么意义?它可以转化为哪
Байду номын сангаас
F
S
W＝︱F︱︱s︱cosθ ＝
问题2：你能用文字语言来表述功的计算公式吗 如果 问题 ：你能用文字语言来表述功的计算公式吗?如果 我们将公式中的力与位移推广到一般向量，其结果又该 我们将公式中的力与位移推广到一般向量， 如何表述？ 如何表述？ 功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积； 功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积； 两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。 两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。

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积（或内积），记作a b ，即
a b a b cos .
规定：零向量与任一向量的数量积为 0 .
注：
(1) 两个向量的数量积是一个数量，这数
量的大小与两个向量的长度及其夹角有
关.
(2)前面所说的力所做的功，就是力
此 点
F 与其作用下物体产生的位移 s 的数 很
重
量积 F s .
要
(3)两个向量a 与 b 的数量积
D
求：(1)AD • BC
(2) AB • CD
60
A
C B
(3) AB • DA
4. 向量的投影的概念
(1) 定 义 ： 如 图 ， 设OA a , OB b , AOB ,
过 点 B 作 BB1 垂 直 于 直 线OA , 垂 足 为B1 , 则
OB1 b cos .
我 们 把 b cos 叫 做 向 量b 在 a 方 向 上 的 投 影.
2 则a • b ( ) 2、 | a | 12,| b | 9, a • b 54 2,
则向量a与向量b的夹角 （ ）
例2 : 如图：边长为 2的正三角形ABC中，
设BC a，CA b
C
求a • b 的值。
A
B
练习：在平行四边形ABCD中，
已知|AB|=4，|AD|=3，DAB 60
特别地，a 2 a 2 , 也就是 a
2
a.
(4) cos a b . (5) a b a b .
ab
• 6. 进一步思考：
(1) 在实数中，如果 a b 0 , 且 a 0 , 那么， 一定有 b 0.这一结论对于向量，还 成立吗？
若 a b 0 , 且 a 0 , 是否一定有 b 0 .

《平面向量的数量积》公开课课件


5．两个向量的数量积的性质：
设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量。 1 ea = ae =|a|cos 2 ab ab = 0 3 当a与b同向时，ab = |a||b|；当a与b反向时， ab = |a||b|。
特例：aa = |a|2或 | a | a a
b O a
1．两个非零向量夹角的概念
b
O
a
记a⊥ｂ；
（4）注意在两向量的夹角定义中，两向量必 须是同起点
的.范围0≤≤180
1、数量积的定义：a b | a || b | cos
其中： a 0, b 0

是向量
aபைடு நூலகம்
和
b
的夹角，范围是：
0
≤

≤
180

特别地: a 0 0 a 0
例3 已知｜a｜＝3，｜ｂ｜＝6， 当①a∥ｂ，②a⊥ｂ， ③a与ｂ的夹角是60°时，分别求a· ｂ.
例4 3 判断下列命题的真假： 在△ABC中，若 ABBC 0 ，则△ABC是锐角三角形； 在△ABC中，若 ABBC 0 ,则△ABC 是钝角三角形； △ABC为直角三角形的充要条件是 ABBC 0
3．“投影”的概念： 定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影。
投影也是一个数量，不是向量； 当为锐角时投影为正值； 当为钝角时投影为负值； 当为直角时投影为0； 当 = 0时投影为 |b|； 当 = 180时投影为 |b|。 4．向量的数量积的几何意义： 数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积。
AB CD AB CD cos180 4 4 ( 1) 16

高中数学《平面向量的数量积》公开课优秀课件

(5)|a·b|≤|a||b|.
4．平面向量数量积的坐标运算 设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量 a 与 b 的夹角为θ， 则 (1)a·b＝x1x2＋y1y2.
(2)|a|＝ x12＋y21. (3)cos〈a，b〉＝ x21x＋1x2y＋12 yx122y＋2 y22.
(4)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. 5．若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，A→B＝a，则|a|＝ x1－x22＋y1－y22 (平面内两点间的距离公式)．
平面向量的数量积
❖ 教学目标：1 ．理解平面向量数量积的含义及其物理
意义. 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量 积的运算．
4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判 断两个平面向量的垂直关系.
❖ 教学重点：1.平面向量数量积的几何意义。
类型三 数量积的基本运算
已知平面向量a，b满足|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°. (1)计算：①|a＋b|，②|4a－2b|； (2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)． 解：由已知得，a·b＝4×8× 12＝－16. (1)①因为|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2× (－16)＋64＝48，所以 |a＋b|＝4. ②因为|4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4b2＝16× 16－16×(－16)＋ 4×64＝768，所以|4a－2b|＝16. (2)因为(a＋2b)⊥(ka－b)，所以(a＋2b)·(ka－b)＝0， 所以ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0， 即16k－16(2k－1)－2×64＝0，解得k＝－7. 即k＝－7时，a＋2b与ka－b垂直．
课后作业
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9 工程量清单 10 工程报价单或预算书 11 甲方提供的各项管理制度 12 甲方与建设单位（项目业主）总承包合同文件相关内容 除非另有约定，合同履行过程中双方共同签署的补充协议、会议纪要、备忘录及其他文件， 以及经确认的双方往来文件也视为本合同组成部分。 六、本合同中有关词语的含义与本合同第二部分《通用条件》中分别赋予它们的解释相同。 七、乙方向甲方承诺，按照合同约定的工期和质量标准，完成本协议书第一条约定的工程（以 下简称为“本分包工程”，）并在质量保修期内承担保修责任。 八、乙方向甲方承诺，履行总包合同中与分包工程有关的甲方的所有义务，并与甲方共同向 业主承担履行本分包工程合同以及确保本分包工程质量的连带责任。 九、合同的生效 本合同自经双方加盖公章并经法定代表人或委托代理人签字、乙方向甲方交纳履约保证金后 生效，合同规定的责任、权利和义务履行完毕且价款结清后终止。 本合同一式份，甲方执份，乙方执份。
除非本合同另有约定，乙方应对其作业内容的实施、完工负责，乙方并应履行总包合同及本 合同约定的、与劳务作业有关的所有义务及工作程序。 具体见合同协议书及专用条件中所述。 4 合同工期 4.1 开工 4.1.1 本工程计划开工时间由甲乙双方在合同协议书中约定。 4.1.2 工程实际开工日期以甲方现场书面通知进场施工时间为准，无论实际开工日期与本合 同约定计划开工时间是否一致，乙方均已在投标中考虑了该项风险，不得再就此向甲方提出 任何索赔。 4.2 阶段工期 4.2.1 乙方须在本合同签订后五日内报送本分包工程进度计划，该计划应满足甲方整体工程 总体进度计划要求。该计划经甲方审核确认后，作为合同附件，具备合同约束力，乙方必须 遵守该计划中关于本分包工程的阶段工期及完工日期的要求。除专用条件另有约定之外，甲 方无义务对乙方工期提前的行为予以奖励或支付任何补偿。 4.2.2 乙方应根据甲方要求，每月 25 日前提交下月施工计划，有阶段工期要求的提交阶段
传真： 开户银行： 账号： 邮政编码：
传真： 开户银行： 账号： 邮政编码：
Hale Waihona Puke 第二部分8 技术资料 9 环境保护及安全文明施工 10 材料及设备管理 11 检验、验收及完工 12 工程保修 13 合同价格 14 合同价款的支付 15 变更 16 索赔 17 合同价款结算 18 违约 19 合同的解除 20 担保及保险 21 争议 22 不可抗力
5.3 违约责任 5.3.1 若甲方通知乙方后 24 小时内，乙方不能对缺陷进行修返工、修理或整改，或乙方返 工、修理或整改后仍不能达到相应的质量要求，甲方可在发出通知或专用条件约定期限 24 小时后雇佣第三方进行修补，并直接从乙方的工程款或保修金中扣除因此发生的费用，扣除 金额为甲方与返工、修理或整改的第三方签订的合同金额和甲方由此产生的其他费用，无须 通知乙方和征得乙方同意，如工程款 /保证金不足以弥补造成的损失时，甲方有权追索所有 损失。同时甲方有权要求乙方承担违约责任。 5.3.2 因乙方原因造成在施工中出现影响结构、使用功能等重大质量事故时，乙方必须承担 事故处理所发生的所有费用。同时，甲方可无条件终止本合同，并要求乙方按本合同第 18 条规定承担违约责任。 6 甲方权利及义务 6.1 派驻甲方代表 6.1.1 甲方项目经理代表甲方行使本合同的约定责任，履行本合同条款。其权限在专用条件 中约定。 6.1.2 除甲方项目经理及其书面确定具有详细权限的代表人外，任何人的签字及行为均不发
合同编号：
工程 主体结构劳务分包合同
第一部分
工程承包人（甲方）：
法定代表人：
住
所：
劳务分包人（乙方）：
法定代表人：
住
所：
资质证书号码：
发证机关：
资质专业及等级：
复审时间及有效期：
营业执照号码：
合同协议书
一、分包工程概况 分包工程名称： 分包工程地点： 分包工程承包范围： 二、分包合同价款 暂定合同总价：，大写：人民币元。 固定单价金额：，大写：人民币元。 三、工期 计划开工日期：本分包工程暂定于年月日开工； 计划完工日期：本分包工程暂定于年月日完工； 合同工期总日历天数为：天。 四、工程质量标准 本分包工程质量标准双方约定为：，并要求达到质量奖项的评定标准。 五、组成本分包合同的文件包括： 除专用条件另有约定外，组成本合同的文件及优先解释顺序如下：
方须在事件发生后 7 天内以书面形式报告甲方，并附上相应的证据资料。经甲方审核确认后， 按甲方批准时间顺延阶段工期或总工期，但乙方无权要求因工期延长引起的合同价款的增 加。若本条所述审核需建设单位审批的，则以建设单位审核结果为准。 4.3.3 除本条所述原因外其他情况导致的工期延误，及乙方未在上述规定期限内向甲方提出 书面报告的，视为不影响本分包工程工期，也不涉及任何费用及利润的增加。 4.4 违约责任 4.4.1 在施工期间，若甲方认为乙方进度不能满足本合同约定，乙方应按甲方要求安排赶工 措施，除专用条件另有约定外，由此发生费用由乙方自行承担。 4.4.2 甲方认为乙方施工能力不能满足甲方工期要求的，甲方可单方面减少乙方施工范围或 工作内容，另行雇佣第三方实施，因此发生的费用双倍从应付乙方工程款中扣除，无须通知 乙方或征得乙方同意，扣除依据为甲方与第三方签订的合同额。 5 质量标准 5.1 质量标准及奖项 乙方应严格执行甲方的质量保证体系及项目部质量管理规定，认真按照施工图、设计变更以 及有关标准、规范规程和设计要求组织施工。工程质量确保符合国家或专业的现行质量检验
格的当事人。 1.5 总包合同：甲方与建设单位签订的工程总承包合同。 1.6 整体工程：工程，即总包合同约定的承包范围内的所有工程。 1.7 整体工程质量奖项：总包合同中约定整体工程需取得的质量奖项。 1.8 实际开工日期：甲方发出开工通知中记载的日期。 1.9 实际完工日期：完工验收报告中记载的完工日期。 1.10 现场现有的垂直运输设施及脚手架：指甲方为实施其整体工程租赁、搭设的垂直运输 设施及脚手架，且搭设时间仅限于甲方为完成主体工程所需时间或总包合同中约定的时间。 1.11 合同价款：指本合同协议书中约定并依本合同约定调整后的价格。 1.12 罚款：本合同中所称“罚款”，性质皆属“违约责任”。 1.13 日、天：本文所述之“日”、“天”均指日历日。 1.14 项目经理：指甲方派驻工地负责工程管理和履行合同的代表，并唯一具有现场签认用 工、办理洽商变更手续的最终确认权，但任何签认用工、洽商变更均须符合本合同规定，否 则甲方仍有权不予认可。 1.15 乙方现场代表：指乙方派驻工地负责工程管理和履行合同的代表。