2018年高一数学寒假作业(人教A版必修2)空间几何体的表面积和体积word版含答案

高一数学人教A 版必修2同步课时作业1.3 空间几何体的表面积与体积一、选择题1.已知圆柱的上、下底面的中心分别为12,O O ,过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为( ) A.B.C.12πD.10π2.已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上,ABC 是边长为1的正三角形,SC 为球O 的直径,且2SC =,则此棱锥的体积为( )3.圆台的上、下底面的面积分别为π4π、,侧面积为6π,则这个圆台的体积为( )B. 4.已知三棱锥S ABC -中,π,4,2,62SAB ABC SB SC AB BC ∠=∠=====,则三棱锥S ABC -的体积是( ) A.4B.6C. D.5.如图,在三棱柱111ABC A B C -中,1AA ⊥底面111,,2,30ABC AB BC AA AC ACB ⊥==∠=︒,则该三棱柱的侧面积为( )A.4+B.4+C.12D.8+6.《九章算术》卷第五《商功》中,提到这样一种立体图形:"今有刍甍,下广三丈,袤四丈,上袤二丈,无广,高一丈."意思是:"今有底面为矩形的屋脊状的楔体,下底面宽3丈,长4丈;上棱长2丈,无宽,高1丈(如图)."对于这个立体图形,如果将上棱长缩短至1丈,那么它的体积为( )A.92立方丈 B.5立方丈 C.4立方丈 D.6立方丈7.已知圆锥的轴截面是边长为4的正三角形,则该圆锥的表面积为( ) A.8πB.12πC.16πD.20π8.用平面α截一个球，所得的截面面积为π，若α到该球球心的距离为1，则球的体积为( )A ．8π3B C ． D ．32π3二、填空题9.若圆锥的母线长为4,底面半径为则圆锥的体积为______.10.正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2,D 为BC 中点,则三棱锥11A B DC -的体积为__________.11.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上.若球的体积为9π2, 则正方体的棱长为__________. 三、解答题12.已知在正四棱柱1111ABCD A B C D -中,底面正方形的边长为4,,E F 分别为棱,AB BC 的中点.求三棱锥11B EFD -的体积.参考答案1.答案：C解析：设圆柱的底面半径为r ,高为h ,由题意得22,8r h h ==,所以r h ==,所以圆柱的表面积为222π2π2π8π12πr rh +=⨯+=.故选C. 2.答案：A解析：在直角三角形ASC 中,1,90,2AC SAC SC =∠=︒=,所以SA ==同理,SB =.过A 点作SC 的垂线交SC 于D 点,连接DB ,因为SAC SBC ≅,故BD SC ⊥,故SC ⊥平面ABD ,且ABD 为等腰三角形.因为30ASC ∠=︒,故12AD SA ==,则ABD 的面积为112⨯则三棱锥的体积为123=. 3.答案：A解析：由π,2,62ABC AB BC ∠===,得AC =由π,2,42SAB AB SB ∠===,得SA =则222SA AC SC +=,得SA AC ⊥,又SA AB ⊥,所以SA ⊥平面ABC .所以三棱锥S ABC -的体积为11126332ABCS SA ⋅=⨯⨯⨯⨯= 5.答案：A解析：由题意,得1A C =又由棱柱的性质和AB BC ⊥易证11A B ⊥平面11BCC B ,所以111A B B C ⊥.在11Rt A B C 中,11130,A CB A C ︒∠==,所以11A B =所以AB =又因为2AC =,所以BC 所以该三棱柱的侧面积为(224⨯=+6.答案：A解析：如图,作//,//FM ED FN EC ,连接MN ,则23F MNCD FMN EDC V V --=,又113113F MNCD V -=⨯⨯⨯=32FMV EDC V -∴=133133F ABNM V -=⨯⨯⨯=39322V ∴=+=总 7.答案：B解析：圆锥的表面积2π22π412πS =⋅+⋅=,选B ． 8.答案：B解析：用一平面去截球所得截面的面积为π，所以小圆的半径为1 已知球心到该截面的距离为1，所以球的半径为r ==所以球的体积为：34π3r =. 9.答案：8π解析：因为圆锥的母线长为4,底面半径为所以圆锥的高为2,所以圆锥的体积为(21283V ππ=⨯⨯⨯=.故答案为：8π 10.答案：1解析：易知AD 为三棱锥11A B DC -的底面11B DC 上的高, 且323AD =⨯=,∴11111112331332A B DC B DC V S AD -∆=⋅=⨯⨯⨯⨯=11.解析：设正方体的棱长为a 则正方体的外接球半径R =. 因为球的体积为9π2,所以349π·π32R =,即32R ==, 所以a =12.答案：以D 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系则11(0,0,4),B D E F ,1111(22,2,4),(2,22,4),(22,2D E D F D B ∴=-=-= 11111112cos ,13||||26D E D F D E D F D E D F⋅∴〈〉===⋅⨯, 115sin ,13D E D F ∴〈〉=, 11111115||||sin ,52213EFD S D E D F D F E D ∴=⋅⋅〈〉==△, 设平面1EFD的法向量为(,,)n x y z=,则1100n D E n D F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即4040z z ⎧-=⎪+-=令1x =,则1,y z ==,则31,1,n ⎛= ⎝⎭是平面1EFD 的一个法向量, 所以点1B 到平面1EFD 的距离11||165||D B n d n ⋅==, 11111161653353B EFD EFD V S d -∴=⨯⨯=⨯⨯=△.。

第二节 空间几何体的表面积和体积一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．设下图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A ．9π＋42B ．36π＋18 C.92π＋12D.92π＋18解析 该几何体是由一个球与一个长方体组成的组合体，球的直径为3，长方体的底面是边长为3的正方形，高为2，故所求体积为2×32＋43π⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝92π＋18，故选D.答案 D2．如图是一个几何体的三视图(侧视图中的弧线是半圆)，则该几何体的表面积是( )A．20＋3π B．24＋3πC．20＋4π D．24＋4π解析由三视图可知该几何体为一组合体，上面是一个棱长为2的正方体．下面是半个圆柱，其半径为1，母线为2.故S＝5×22＋π＋π×1×2＝20＋3π.答案 A3．(2014·唐山市期末)某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为()A．8π＋16 B．8π－16C ．8π＋8D ．16π－8解析 V ＝π·222·4－12·4·2·4＝8π－16，选B. 答案 B4．一个几何体的三视图如下图所示，则该几何体外接球的表面积为( )A.163π B.1912π C.193πD.43π解析 由三视图可知该几何体是底面边长为2，高为1的正三棱柱．其外接球的球心为上下底面中心连线的中点．∴R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＝1912，S ＝4πR 2＝193π.答案 C5．正六棱锥P —ABCDEF 中，G 为PB 的中点，则三棱锥D —GAC 与三棱锥P —GAC 体积之比为( )A ．1:1B ．1:2C ．2:1D ．3:2解析 设棱锥的高为h ， V D —GAC ＝V G —DAC ＝13S △ADC ·12h ， V P —GAC ＝12V P —ABC ＝V G —ABC ＝13S △ABC ·h 2. 又S △ADC S △ABC ＝21，故V D —GACV P —GAC ＝2 1. 答案 C6．已知球的直径SC ＝4，A ，B 是该球球面上的两点，AB ＝2，∠ASC ＝∠BSC ＝45°，则棱锥S －ABC 的体积为( )A.33B.233C.433D.533解析 如图，设球心为O ，OS ＝OA ＝OC 得∠SAC ＝90°，又∠ASC ＝45°，所以AS ＝AC ＝22SC ，同理BS ＝BC ＝22SC ，可得SC ⊥面AOB ，则V S －ABC ＝13S △AOB ·SC ＝13×3×4＝433，故选C.答案 C二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为________．解析 设底面半径为r ，如图所示． 12·2πr ·l ＝2π，∴rl ＝2. 又∵12πl 2＝2π，∴l ＝2，∴r ＝1. ∴h ＝l 2－r 2＝3， ∴V ＝13·π·12·3＝33π. 答案 33π8．(2013·福建卷)已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是________．解析 该球为一棱长为2的正方体的外接球，体对角线为球的直径，2R ＝22＋22＋22＝23，所以该球的表面积为4πR 2＝12π.答案 12π9．(2013·江苏卷)如图，在三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，AA 1的中点．设三棱锥F —ADE 的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1—ABC 的体积为V 2，则V 1V 2＝________.解析 设三棱柱A 1B 1C 1—ABC 的高为h ，底面△ABC 的面积为S ，V 1＝13×14S ×12h ＝124Sh ＝124V 2，所以V 1V 2＝124.答案 124三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分) 10．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S.解(1)由该几何体的俯视图、正视图、侧视图可知，该几何体是四棱锥，且四棱锥的底面ABCD是相邻两边长分别为6和8的矩形，高HO＝4，O点是AC与BD的交点，如图所示．∴该几何体的体积V＝13×8×6×4＝64.(2)如图所示，作OE⊥AB，OF⊥BC，侧面HAB中，HE＝HO2＋OE2＝42＋32＝5，∴S△HAB＝12×AB×HE＝12×8×5＝20.侧面HBC中，HF＝HO2＋OF2＝42＋42＝4 2.∴S△HBC＝12×BC×HF＝12×6×42＝12 2.∴该几何体的侧面积S＝2(S△HAB＋S△HBC)＝40＋24 2.11．(2014·滨州质检)一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：m)：(1)试画出它的直观图；(2)求它的表面积和体积．解(1)直观图如图所示：(2)方法1：由三视图可知该几何体是长方体被截去一个角，且该几何体的体积是以A 1A ，A 1D 1，A 1B 1为棱的长方体的体积的34，在直角梯形AA 1B 1B 中，作BE ⊥A 1B 1于E ，则AA 1EB 是正方形，∴AA 1＝BE ＝1 m.在Rt △BEB 1中，BE ＝1 m ，EB 1＝1 m ，∴BB 1＝ 2 m. ∴几何体的表面积S ＝S 正方形AA 1D 1D ＋2S 梯形AA 1B 1B ＋S 矩形BB 1C 1C ＋S正方形ABCD ＋S矩形A 1B 1C 1D 1＝1＋2×12×(1＋2)×1＋1×2＋1＋1×2 ＝7＋2(m 2)．∴几何体的体积V ＝34×1×2×1＝32(m 3)． ∴该几何体的表面积为(7＋2)m 2，体积为32 m 3.方法2：几何体也可以看作是以AA 1B 1B 为底面的直四棱柱，其表面积求法同方法1，V 直四棱柱D 1C 1CD －A 1B 1BA ＝Sh ＝12×(1＋2)×1×1＝32(m 3)．∴几何体的表面积为(7＋2)m 2，体积为32 m 3.12．如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面是直角梯形ABCD ，其中AD ⊥AB ，CD ∥AB ，AB ＝4，CD ＝2，侧面P AD 是边长为2的等边三角形，且与底面ABCD 垂直，E 为P A 的中点．(1)求证：DE ∥平面PBC ；(2)求三棱锥A —PBC 的体积．解 (1)证明：如图，取AB 的中点F ，连接DF ，EF .在直角梯形ABCD 中，CD ∥AB ，且AB ＝4，CD ＝2，所以BF 綊CD .所以四边形BCDF 为平行四边形．所以DF ∥BC .在△P AB 中，PE ＝EA ，AF ＝FB ，所以EF ∥PB .又因为DF ∩EF ＝F ，PB ∩BC ＝B ，所以平面DEF ∥平面PBC .因为DE ⊂平面DEF ，所以DE ∥平面PBC .(2)取AD 的中点O ，连接PO .在△P AD 中，P A ＝PD ＝AD ＝2，所以PO ⊥AD ，PO ＝ 3.又因为平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，所以PO ⊥平面ABCD .在直角梯形ABCD 中，CD ∥AB ，且AB ＝4，AD ＝2，AB ⊥AD ，所以S △ABC ＝12×AB ×AD ＝12×4×2＝4.故三棱锥A —PBC 的体积V A —PBC ＝V P —ABC ＝13×S △ABC ×PO ＝13×4×3＝433.。

空间几何体的表面积与体积一．相关知识点1．几何体的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各个面的面积的和。

(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环。

(3)若圆柱、圆锥的底面半径为r，母线长l，则其表面积为S柱＝2πr2＋2πrl，S锥＝πr2＋πrl。

(4)若圆台的上下底面半径为r1，r2，母线长为l，则圆台的表面积为S＝π(r21＋r22)＋π(r1＋r2)l。

(5)球的表面积为4πR2(球半径是R)。

2．几何体的体积(1)V柱体＝Sh。

(2)V锥体＝13Sh。

(3)V台体V圆台＝13π(r21＋r1r2＋r22)h，V球＝43πR3(球半径是R)。

一、细品教材1．(必修2P28A组T3改编)如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________。

2．(必修2P36A组T10改编)一直角三角形的三边长分别为6 cm,8 cm,10 cm，绕斜边旋转一周所得几何体的表面积为________。

细品教材答案：1．1∶47； 2.3365π cm2二、基础自测1．(2016·全国卷Ⅱ)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A．20π B．24πC．28π D．32π2．已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为32，则这个四棱锥的外接球的表面积为()A．12π B．36πC．72π D．108π3．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为__________。

4．(2016·北京高考)某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为________。

5．(2016·赤峰模拟)已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱和底面垂直，且所有棱长都相等，若该三棱柱的各顶点都在球O的表面上，且球O的表面积为7π，则此三棱柱的体积为________。

基础自测答案1．C；2．B；3．2；4．32；5．94三．直击考点考点一空间几何体的表面积【典例1】(1)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于()A．8＋22B．11＋22C．14＋2 2 D．15(2)(2016·全国卷Ⅰ)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径。

2018年高一数学寒假作业（人教A 版必修2）空间几何体的表面积与体积(时间：40分钟)一、选择题1．将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( )A ．4πB ．3πC ．2πD ．π2．用平面α截球O 所得截面圆的半径为3，球心O 到平面α的距离为4，则此球的表面积为A.100π3B.500π3C ．75πD ．100π3．(2016·安庆二模)一个几何体的三视图如图所示，其体积为A.116B.116 3C.32D.124．(2016·北京高考)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( )A.16B.13 C.12 D ．15．在三棱锥A －BCD 中，侧棱AB ，AC ，AD 两两垂直，△ABC ，△ACD ，△ADB 的面积分别为22，32，62，则三棱锥A －BCD 的外接球的体积为( ) A.6π B ．26π C ．36π D ．46π6.如图，正方体ABCD—A′B′C′D′的棱长为4，动点E，F在棱AB上，且EF＝2，动点Q在棱D′C′上，则三棱锥A′­EFQ的体积( )A．与点E，F位置有关B．与点Q位置有关C．与点E，F，Q位置都有关D．与点E，F，Q位置均无关，是定值二、填空题7．某几何体的三视图如图所示，则其体积为__________。

8．(2016·天津高考)已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示(单位：m)，则该四棱锥的体积为________m3。

9．(2016·河南八市质检)正方形ABCD的边长为4，点E，F分别是边BC，CD的中点，沿AE，EF，FA折成一个三棱锥B－AEF(使点B，C，D重合于点B)，则三棱锥B－AEF的外接球的表面积为________。

三、解答题10．如图，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)。

(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；(2)求这个几何体的表面积及体积。

空间几何体的表面积和体积一．课标要求：了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式〔不要求记忆公式〕。

二．命题走向近些年来在高考中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题，也有面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题。

即使考查空间线面的位置关系问题，也常以几何体为依托.因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.同时也要学会运用等价转化思想，会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题，会等体积转化求解问题，会把立体问题转化为平面问题求解，会运用“割补法〞等求解。

由于本讲公式多反映在考题上，预测07年高考有以下特色：〔1〕用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式；〔2〕考题可能为：与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题；与多面体和旋转体中某些元素有关的计算问题；三．要点精讲1．多面体的面积和体积公式l表示侧棱长。

2．旋转体的面积和体积公式12上、下底面半径，R表示半径。

四．典例解析题型1：柱体的体积和表面积例1．一个长方体全面积是20cm2，所有棱长的和是24cm，求长方体的对角线长.解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm、ycm、zcm、lcm依题意得：⎩⎨⎧=++=++24)(420)(2z y x zx yz xy )2()1(由〔2〕2得：x 2+y 2+z 2+2xy+2yz+2xz=36〔3〕由〔3〕－〔1〕得x 2+y 2+z 2=16 即l 2=16所以l =4(cm)。

点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察。

我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素〔对角线、内切〕与面积、体积之间的关系。

例2．如图1所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=5，AD=4，AA 1=3，AB ⊥AD ，∠A 1AB=∠A 1AD=3π。

〔1〕求证：顶点A 1在底面ABCD 上的射影O 在∠BAD 的平分线上； 〔2〕求这个平行六面体的体积。

第课时柱体、锥体、台体的表面积
学习目标.通过对柱体、锥体、台体的研究，掌握柱体、锥体、台体的表面积的求法.了解柱体、锥体、台体的表面积计算公式，能运用柱体、锥体、台体的表面积公式进行计算和解决有关实际问题．
知识点一棱柱、棱锥、棱台的表面积
思考正方体与长方体的展开图如图()()所示，则相应几何体的表面积与其展开图的面积有何关系？
答案相等．
思考棱柱、棱锥、棱台的表面积与其展开图的面积是否也都相等？
答案是．
梳理
图形表面积
多面体
多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积
知识点二圆柱、圆锥、圆台的表面积
思考圆柱′及其侧面展开图如图所示，则其侧面积为多少？表面积为多少？
答案侧＝π，
表
＝π(＋)．
思考圆锥及其侧面展开图如图所示，则其侧面积为多少？表面积为多少？
答案底面周长是π，利用扇形面积公式得
侧
＝×π＝π，
表
＝π＋π＝π(＋)．
思考圆台′及其侧面展开图如图所示，则其侧面积为多少？表面积为多少？
答案如图，圆台的侧面展开图是扇环，内弧长等于圆台上底周长，外弧长等于圆台下底周长，。

2018年高一数学寒假作业（人教A版必修2）空间中的平行与垂直1、(2017江苏无锡一模,16)如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1C1C是菱形,AC1与A1C交于点O,E是棱AB上一点,且OE∥平面BCC1B1.(1)求证:E是AB的中点;(2)若AC1⊥A1B,求证:AC1⊥BC.2.(2017江苏南京三模,15)如图,在三棱锥A-BCD中,E,F分别为BC,CD上的点,且BD∥平面AEF.(1)求证:EF∥平面ABD;(2)若AE⊥平面BCD,BD⊥CD,求证:平面AEF⊥平面ACD.3.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC为等腰直角三角形,∠BAC=90°,且AB=AA1,D,E,F分别为B1A,C1C,BC的中点,求证:(1)DE∥平面ABC;(2)B1F⊥平面AEF.4.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,BC=2,CC1=4,点E在线段BB1上,且EB1=1,D,F,G分别为CC,C1B1,C1A1的中点.1D⊥平面ABD;求证:(1)B(2)平面EGF∥平面ABD.5.(2017北京房山一模,理16)如图1,在边长为2的菱形ABCD中,∠BAD=60°,将△BCD沿对角线BD折起到△BC'D的位置,使平面BC'D⊥平面ABD,E是BD的中点,FA⊥平面ABD,且FA=2,如图2.(1)求证:FA∥平面BC'D;(2)求平面ABD与平面FBC'所成角的余弦值;(3)在线段AD上是否存在一点M,使得C'M⊥平面FBC'?若存6.在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AA 1=2AB=2BC ,E ,F ,E 1分别是棱AA 1,BB 1,A 1B 1的中点. (1)求证:CE ∥平面C 1E 1F ;(2)求证:平面C1E 1F ⊥平面CEF.7.(2017安徽安庆二模,理18)在如图所示的五面体中,四边形ABCD 为直角梯形,∠BAD=∠ADC=,平面ADE ⊥平面ABCD ,EF=2DC=4AB=4,△ADE 是边长为2的正三角形.(1)证明:BE ⊥平面ACF ;(2)求二面角A-BC-F 的余弦值.8.(2017北京西城二模,理16)如图,在几何体ABCDEF 中,底面ABCD 为矩形,EF ∥CD ,AD ⊥FC.点M 在棱FC 上,平面ADM 与棱FB 交于点N. (1)求证:AD ∥MN ;(2)求证:平面ADMN ⊥平面CDEF ;(3)若CD ⊥EA ,EF=ED ,CD=2EF ,平面ADE ∩平面BCF=l ,求二面角A-l-B 的大小.2018年高一数学寒假作业（人教A版必修2）空间中的平行与垂直答案1.(2017江苏无锡一模,16)如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1C1C是菱形,AC1与A1C交于点O,E是棱AB 上一点,且OE∥平面BCC1B1.(1)求证:E是AB的中点;(2)若AC1⊥A1B,求证:AC1⊥BC.证明(1)连接BC1,取AB的中点E'.∵侧面AA1C1C是菱形,AC1与A1C交于点O,∴O为AC1的中点.∵E'是AB的中点,∴OE'∥BC1.∵OE'⊄平面BCC1B1,BC1⊂平面BCC1B1,∴OE'∥平面BCC1B1.∵OE∥平面BCC1B1,∴E,E'重合,∴E是AB的中点.(2)∵侧面AA1C1C是菱形,∴AC1⊥A1C.∵AC1⊥A1B,A1C∩A1B=A1,A1C⊂平面A1BC,A1B⊂平面A1BC,∴AC1⊥平面A1BC,∵BC⊂平面A1BC,∴AC1⊥BC.2.(2017江苏南京三模,15)如图,在三棱锥A-BCD中,E,F分别为BC,CD上的点,且BD∥平面AEF.(1)求证:EF∥平面ABD;(2)若AE⊥平面BCD,BD⊥CD,求证:平面AEF⊥平面ACD.证明(1)∵BD∥平面AEF,BD⊂平面BCD,平面BCD∩平面AEF=EF,∴BD∥EF.又BD⊂平面ABD,EF⊄平面ABD,∴EF∥平面ABD.(2)∵AE⊥平面BCD,CD⊂平面BCD,∴AE⊥CD.由(1)可知BD∥EF.∵BD⊥CD,∴EF⊥CD.又AE∩EF=E,AE⊂平面AEF,EF⊂平面AEF,∴CD⊥平面AEF.又CD⊂平面ACD,∴平面AEF⊥平面ACD.3.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC为等腰直角三角形,∠BAC=90°,且AB=AA1,D,E,F分别为B1A,C1C,BC 的中点,求证:(1)DE∥平面ABC;(2)B1F⊥平面AEF.证明如图,建立空间直角坐标系Axyz,不妨设AB=AA1=4,则A(0,0,0),E(0,4,2),F(2,2,0),B(4,0,0),B1(4,0,4).(1)取AB的中点为N,连接CN,则N(2,0,0),C(0,4,0),D(2,0,2),∴=(-2,4,0),=(-2,4,0),∴,∴DE∥NC.∵NC⊂平面ABC,DE⊄平面ABC,∴DE∥平面ABC.(2)=(-2,2,-4),=(2,-2,-2),=(2,2,0).∴=(-2)×2+2×(-2)+(-4)×(-2)=0,=(-2)×2+2×2+(-4)×0=0.∴,即B1F⊥EF,B1F⊥AF.又AF∩EF=F,∴B1F⊥平面AEF.4.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,BC=2,CC1=4,点E在线段BB1上,且EB1=1,D,F,G分别为CC1,C1B1,C1A1的中点.求证:(1)B1D⊥平面ABD;(2)平面EGF∥平面ABD.证明(1)以B为坐标原点,BA,BC,BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示,则B(0,0,0),D(0,2,2),B1(0,0,4),C1(0,2,4).设BA=a,则A(a,0,0),所以=(a,0,0),=(0,2,2),=(0,2,-2),=0,=0+4-4=0,即B1D⊥BA,B1D⊥BD.又BA∩BD=B,BA,BD⊂平面ABD,因此B1D⊥平面ABD.(2)由(1)知,E(0,0,3),G,F(0,1,4),则=(0,1,1),=0+2-2=0,=0+2-2=0,即B1D⊥EG,B1D⊥EF.又EG∩EF=E,EG,EF⊂平面EGF,因此B1D⊥平面EGF.结合(1)可知平面EGF∥平面ABD.5.(2017北京房山一模,理16)如图1,在边长为2的菱形ABCD中,∠BAD=60°,将△BCD沿对角线BD折起到△BC'D的位置,使平面BC'D⊥平面ABD,E是BD的中点,F A⊥平面ABD,且F A=2,如图2.(1)求证:F A∥平面BC'D;(2)求平面ABD与平面FBC'所成角的余弦值;(3)在线段AD上是否存在一点M,使得C'M⊥平面FBC'?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.(1)证明∵BC'=C'D,E为BD的中点,∴C'E⊥BD.又平面BC'D⊥平面ABD,且平面BC'D∩平面ABD=BD,∴C'E⊥平面ABD.∵F A⊥平面ABD,∴F A∥C'E.又C'E⊂平面BC'D,F A⊄平面BC'D,∴F A∥平面BC'D.(2)解以DB所在直线为x轴,AE所在直线为y轴,EC'所在直线为z轴建立空间直角坐标系,则B(1,0,0),A(0,-,0),D(-1,0,0),F(0,-,2),C'(0,0,),∴=(-1,-,2),=(-1,0,).设平面FBC'的一个法向量为m=(x,y,z),则取z=1,则m=(,1,1).∵平面ABD的一个法向量为n=(0,0,1),∴cos<m,n>=.则平面ABD与平面FBC'所成角的余弦值为.(3)解假设在线段AD上存在M(x,y,z),使得C'M⊥平面FBC',设=λ,则(x,y+,z)=λ(-1,,0)=(-λ,λ,0),∴x=-λ,y=(λ-1),z=0.而=(-λ,(λ-1),-),由m∥,得,λ无解.∴线段AD上不存在点M,使得C'M⊥平面FBC'.6.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=2BC,E,F,E1分别是棱AA1,BB1,A1B1的中点.(1)求证:CE∥平面C1E1F;(2)求证:平面C1E1F⊥平面CEF.证明以D为原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设BC=1,则C(0,1,0),E(1,0,1),C1(0,1,2),F(1,1,1),E1.(1)设平面C1E1F的法向量为n=(x,y,z).∵=(-1,0,1),∴令x=1,得n=(1,2,1).∵=(1,-1,1),n·=1-2+1=0,∴⊥n.又CE⊄平面C1E1F,∴CE∥平面C1E1F.(2)设平面EFC的法向量为m=(a,b,c),由=(0,1,0),=(-1,0,-1),∴令a=-1,得m=(-1,0,1).∵m·n=1×(-1)+2×0+1×1=-1+1=0,∴平面C1E1F⊥平面CEF.〚7.(2017安徽安庆二模,理18)在如图所示的五面体中,四边形ABCD为直角梯形,∠BAD=∠ADC=,平面ADE ⊥平面ABCD,EF=2DC=4AB=4,△ADE是边长为2的正三角形.(1)证明:BE⊥平面ACF;(2)求二面角A-BC-F的余弦值.(1)证明取AD的中点O,以O为原点,OA为x轴,过O作AB的平行线为y轴,OE为z轴,建立空间直角坐标系, 则B(1,1,0),E(0,0,),A(1,0,0),C(-1,2,0),F(0,4,),∴=(-1,-1,),=(-1,4,),=(-2,2,0),∴=1-4+3=0,=2-2=0,∴BE⊥AF,BE⊥AC.又AF∩AC=A,∴BE⊥平面ACF.(2)解=(-2,1,0),=(-1,3,).设平面BCF的法向量n=(x,y,z),则取x=1,得n=.易知平面ABC的一个法向量m=(0,0,1).设二面角A-BC-F的平面角为θ,则cos θ==-.∴二面角A-BC-F的余弦值为-.8.(2017北京西城二模,理16)如图,在几何体ABCDEF中,底面ABCD为矩形,EF∥CD,AD⊥FC.点M在棱FC 上,平面ADM与棱FB交于点N.(1)求证:AD∥MN;(2)求证:平面ADMN⊥平面CDEF;(3)若CD⊥EA,EF=ED,CD=2EF,平面ADE∩平面BCF=l,求二面角A-l-B的大小.(1)证明因为四边形ABCD为矩形,所以AD∥BC,所以AD∥平面FBC.又因为平面ADMN∩平面FBC=MN,所以AD∥MN.(2)证明因为四边形ABCD为矩形,所以AD⊥CD.因为AD⊥FC,所以AD⊥平面CDEF.所以平面ADMN⊥平面CDEF.(3)解因为EA⊥CD,AD⊥CD,所以CD⊥平面ADE,所以CD⊥DE.由(2)得AD⊥平面CDEF,所以AD⊥DE.所以DA,DC,DE两两互相垂直.建立空间直角坐标系Dxyz.不妨设EF=ED=1,则CD=2.设AD=a(a>0),由题意,得A(a,0,0),B(a,2,0),C(0,2,0),D(0,0,0),E(0,0,1),F(0,1,1).所以=(a,0,0),=(0,-1,1).设平面FBC的法向量为n=(x,y,z),则令z=1,则y=1.所以n=(0,1,1).又平面ADE的一个法向量为=(0,2,0),所以|cos<n,>|=.因为二面角A-l-B的平面角是锐角,所以二面角A-l-B的大小是45°.。

第课时柱体、锥体、台体、球的体积与球的表面积学习目标.掌握柱体、锥体、台体的体积公式，会利用它们求有关几何体的体积.了解球的表面积与体积公式，并能应用它们求球的表面积及体积.会求简单组合体的体积及表面积．知识点一柱体、锥体、台体的体积公式．柱体的体积公式＝(为底面面积，为高)；．锥体的体积公式＝(为底面面积，为高)；．台体的体积公式＝(′＋＋)(′、为上、下底面面积，为高)；．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系＝＝(′＋＋)＝.知识点二球的表面积和体积公式．球的表面积公式＝π(为球的半径)；．球的体积公式＝π.类型一柱体、锥体、台体的体积例()如图所示，已知三棱柱－的所有棱长均为，且⊥底面，则三棱锥－的体积为()答案解析三棱锥－的体积等于三棱锥－的体积，三棱锥－的高为，底面积为，故其体积为××＝.()现有一个底面直径为的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为，高为的圆锥形铅锤，铅锤完全浸没在水中．当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降()．．．．答案解析设杯里的水下降，由题意知π()＝××π×，解得＝.反思与感悟()常见的求几何体体积的方法①公式法：直接代入公式求解．②等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．③分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．()求几何体体积时需注意的问题柱、锥、台体的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算．跟踪训练()如图所示，在长方体－′′′′中，用截面截下一个棱锥－′′，求棱锥－′′的体积与剩余部分的体积之比．解设＝，＝，′＝，∴－′′＝·△′′＝·＝，∴剩余部分的体积为－′′′′－－′′＝－＝，。

空间几何体的表面积和体积【学习目标】1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法；2.能运用公式求解柱体、锥体和台体的体积，并且熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系；3.了解球的表面积和体积公式推导的基本思想，掌握球的表面积和体积的计算公式，并会求球的表面积和体积；4.会用柱、锥、台体和球的表面积和体积公式求简单几何体的表面积和体积. 【要点梳理】要点一、棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台是多面体，它们的各个面均是平面多边形，它们的表面积就是各个面的面积之和．计算时要分清面的形状，准确算出每个面的面积再求和．棱柱、棱锥、棱台底面与侧面的形状如下表：求多面体的表面积时，只需将它们沿着若干条棱剪开后展开成平面图形，利用平面图形求多面体的表面积．要点二、圆柱、圆锥、圆台的表面积圆柱、圆锥、圆台是旋转体，它们的底面是圆面，易求面积，而它们的侧面是曲面，应把它们的侧面展开为平面图形，再去求其面积．1．圆柱的表面积（1）圆柱的侧面积：圆柱的侧面展开图是一个矩形，如下图，圆柱的底面半径为r ，母线长l ，那么这个矩形的长等于圆柱底面周长C=2πr ，宽等于圆柱侧面的母线长l （也是高），由此可得S 圆柱侧=C l =2πr l ．（2）圆柱的表面积：2222()S r rl r r l πππ=+=+圆柱表．2．圆锥的表面积（1）圆锥的侧面积：如下图（1）所示，圆锥的侧面展开图是一个扇形，如果圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，那么这个扇形的弧长等于圆锥底面周长C=πr ，半径等于圆锥侧面的母线长为l ，由此可得它的侧面积是12S Cl rl π==圆锥侧． （2）圆锥的表面积：S 圆锥表=πr 2+πr l ．3．圆台的表面积（1）圆台的侧面积：如上图（2）所示，圆台的侧面展开图是一个扇环．如果圆台的上、下底面半径分别为r ＇、r ，母线长为l ，那么这个扇形的面积为π(r ＇+r)l ，即圆台的侧面积为S 圆台侧=π(r ＇+r)l ．（2）圆台的表面积：22('')S r r r l rl π=+++圆台表．要点诠释：求旋转体的表面积时，可从旋转体的生成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长之间的关系．4．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系如下图所示．要点三、柱体、锥体、台体的体积 1．柱体的体积公式棱柱的体积：棱柱的体积等于它的底面积S 和高h 的乘积，即V 棱柱=Sh ． 圆柱的体积：底面半径是r ，高是h 的圆柱的体积是V 圆柱=Sh=πr 2h ． 综上，柱体的体积公式为V=Sh ． 2．锥体的体积公式棱锥的体积：如果任意棱锥的底面积是S ，高是h ，那么它的体积13V Sh =棱锥． 圆锥的体积：如果圆锥的底面积是S ，高是h ，那么它的体积13V Sh =圆锥；如果底面积半径是r ，用πr 2表示S ，则213V r h π=圆锥． 综上，锥体的体积公式为13V Sh =． 3．台体的体积公式棱台的体积：如果棱台的上、下底面的面积分别为S ＇、S ，高是h ，那么它的体积是1(')3V h S S =棱台．圆台的体积：如果圆台的上、下底面半径分别是r ＇、r ，高是h ，那么它的体积是2211(')('')33V h S S h r rr r π=+=++圆台．综上，台体的体积公式为1(')3V h S S =． 4．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系如下图所示．要点四、球的表面积和体积 1．球的表面积（1）球面不能展开成平面，要用其他方法求它的面积． （2）球的表面积设球的半径为R ，则球的表面积公式 S 球=4πR 2． 即球面面积等于它的大圆面积的四倍． 2．球的体积设球的半径为R ，它的体积只与半径R 有关，是以R 为自变量的函数． 球的体积公式为343V R π=球． 要点五、侧面积与体积的计算 1．多面体的侧面积与体积的计算在掌握直棱柱、正棱锥、正棱台侧面积公式及其推导过程的基础上，对于一些较简单的几何组合体的表面积与体积，能够将其分解成柱、锥、台、球，再进一步分解为平面图形（正多边形、三角形、梯形等），以求得其表面积与体积．要注意对各几何体相重叠部分的面积的处理，并要注意一些性质的灵活运用．（1）棱锥平行于底的截面的性质：在棱锥与平行于底的截面所构成的小棱锥中，有如下比例关系：S S S S S S ===小锥底小锥全小锥侧大锥底大锥全大锥侧对应线段（如高、斜高、底面边长等）的平方之比．要点诠释：这个比例关系很重要，在求锥体的侧面积、底面积比时，会大大简化计算过程．在求台体的侧面积、底面积比时，将台体补成锥体，也可应用这个关系式．（2）有关棱柱直截面的补充知识．在棱柱中，与各侧棱均垂直的截面叫做棱柱的直截面，正棱柱的直截面是其上下底面及与底面平行的截面．棱柱的侧面积与直截面周长有如下关系式：S 棱柱侧=C 直截l （其中C 直截、l 分别为棱柱的直截面周长与侧棱长）， V 棱柱=S 直截l （其中S 直截、l 分别为棱柱的直截面面积与侧棱长）． 2．旋转体的侧面积和体积的计算（1）圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形式及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系，是掌握它们的侧面积公式及解决有关问题的关键．（2）计算柱体、锥体和台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关问题的关键．【典型例题】类型一、简单几何体的表面积例1．如右图，有两个相同的直三棱柱，高为2a，底面三角形的三边长分别为345(0)a a a a >、、．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则a 的取值范围是 ．【答案】03a <<． 【解析】底面积为26a ，侧面面积分别为6、8、10，拼成四棱柱时，有三种情况：221(86)2462428s a a =+⨯+⨯=+222242(108)2436,s a a =++=+ 223242(106)2432,s a a =++=+拼成三棱柱时也有三种情况：表面积为22262(1086)1248a a ⨯+++=+，24a 2+36, 24a 2+32由题意得2224281248a a +<+，解得03a <<． 【总结升华】（1）直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的乘积；表面积等于它的侧面积与上、下两个底面的面积之和．（2）求斜棱柱的侧面积一般有两种方法：一是定义法；二是公式法．所谓定义法就是利用侧面积为各侧面面积之和来求，公式法即直接用公式求解．举一反三：【变式1】一个圆柱的底面面积是S ，侧面展开图是正方形，那么该圆柱的侧面积为（ ）A ．4S πB ．2S πC ．S πD S 【答案】A【解析】由圆柱的底面面积是S ，求出圆柱的半径为r =4S π．例2．在底面半径为R ，高为h 的圆锥内有一内接圆柱，求内接圆柱的侧面积最大时圆柱的高，并求此时侧面积的最大值．【思路点拨】一般要画出其轴截面来分析，利用相似三角形求解。

2018年高一数学寒假作业（人教A 版必修2）空间几何体一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．正方体1111ABCD A BC D -中，P 、Q 、R 分别是AB 、AD 、11B C 的中点．那么，正方体的过P 、Q 、R 的截面图形是( )A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形2．在空间直角坐标系中, 点P(2,3,4)与Q (2, 3,- 4)两点的位置关系是（ ）A ．关于x 轴对称B ．关于xOy 平面对称C ．关于坐标原点对称D ．以上都不对3．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为( )A ．7B ．6C ．5D ．34．如图，是由4个相同小正方体组合而成的几何体，它的左视图是( )A ．B ．C ．D ．5．如图，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 、N 分别是对边OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且2MG GN = ，现用基向量,,OA OB OC 表示向量，设OG xOA yOB zOC =++ ，则x 、y 、z 的值分别是( )A ． x ＝31，y ＝31，z ＝31 B ． x ＝31，y ＝31，z ＝61 C ． x ＝31，y ＝61，z ＝31 D ． x ＝61，y ＝31，z ＝31 6．点P 是等腰三角形ABC 所在平面外一点，ABC PA ABC PA ∆=⊥，在，平面8中，底边BC P AB BC 到，则点，56==的距离为( )A ．54B ．3C ．33D ．327．一个正方体的展开图如图所示，A 、B 、C 、D 为原正方体的顶点，则在原来的正方体中( )A ．AB ∥CDB ．AB 与CD 相交C ．AB ⊥CD D ．AB 与CD 所成的角为60°8．下列说法正确的是( )A ．圆台是直角梯形绕其一边旋转而成；B ．圆锥是直角三角形绕其一边旋转而成；C ．圆柱不是旋转体；D ．圆台可以看作是平行底面的平面截一个圆锥而得到9．设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( )A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥B ．若l α⊥，l m //，则m α⊥C ．若l α//，m α⊂，则l m //D ．若l α//，m α//，则l m //10．如图，点P 、Q 、R 、S 分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ 与RS 是异面直线的一个图是( )11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A ．π34 B ．2 C ．π38 D ．π31012．已知平面α外的直线b 垂直于α内的二条直线，有以下结论：○1b 一定不垂直于α；○2b 可能垂直于平面α；○3b 一定不平行于平面α，其中正确的结论有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．在空间直角坐标系中,若点(1,2,1),A -点(3,1,4)B --,则||AB = .14．一个几何体的三视图及部分数据如图所示，左视图为等腰三角形，俯视图为正方形，则这个几何体的体积等于 ．15．四棱锥ABCD P -的三视图如右图所示,四棱锥ABCD P -的五个顶点都在一个球面上，E 、F 分别是棱AB 、CD 的中点，直线EF 被球面所截得的线段长为22，则该球表面积为 .16．一个几何体的三视图如下图所示，正视图是一个边长为2的正三角形，侧视图是一个等腰直角三角形，则该几何体的体积为 ．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．如图，已知平行四边形ABCD 中，2AD =，CD =45AD C ∠=︒，AE BC ⊥，垂足为E ，沿直线AE 将BAE ∆翻折成'B AE ∆，使得平面'B AE ⊥平面AECD ．连接'B D ，P 是'B D 上的点．(I ）当'B P PD =时，求证CP ⊥平面'AB D ；(Ⅱ）当'2B P PD =时，求二面角P AC D --的余弦值．18．如图所示，已知BCD ，AB 平面⊥M 、N 分别是AC 、AD 的中点，BC ⊥CD ．(I ）求证：MN ∥平面BCD ；(II ）求证：平面B CD ⊥平面ABC ；(III ）若AB ＝1，BC ＝3，求直线AC 与平面BCD 所成的角．19．如图，已知正三棱柱111ABC A B C -各棱长都为a ，P 为线段1A B 上的动点.（Ⅰ）试确定1:A P PB 的值，使得PC AB ⊥；(Ⅱ）若1:2:3A P PB =，求二面角P AC B --的大小；20．一个多面体的直观图和三视图如图所示：(I）求证：PA⊥BD；(II）连接AC、BD交于点O，在线段PD上是否存在一点Q，使直线OQ与平面ABCD所成的角为30o？若存在，求DQDP的值；若不存在，说明理由．21．如图，在四梭锥P -ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD,AD =2，AB＝1.点M线段PD的中点． (I）若PA＝2，证明：平面ABM ⊥平面PCD；(II）设BM与平面PCD所成的角为θ，当棱锥的高变化时，求sinθ的最大值．22．如图，四棱锥P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，PD=DC=4，AD=2，E为PC的中点. (I）求证：AD⊥PC；(II）求三棱锥P-ADE的体积；(III）在线段AC上是否存在一点M，使得PA//平面EDM，若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由.2018年高一数学寒假作业（人教A 版必修2）空间几何体答案一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．正方体1111ABCD A BC D -中，P 、Q 、R 分别是AB 、AD 、11B C 的中点．那么，正方体的过P 、Q 、R 的截面图形是( )A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形【答案】A2．在空间直角坐标系中, 点P(2,3,4)与Q (2, 3,- 4)两点的位置关系是（ ）A ．关于x 轴对称B ．关于xOy 平面对称C ．关于坐标原点对称D ．以上都不对【答案】B3．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为( )A ．7B ．6C ．5D ．3【答案】A4．如图，是由4个相同小正方体组合而成的几何体，它的左视图是( )A ．B ．C ．D ．【答案】D5．如图，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 、N 分别是对边OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且2MG GN = ，现用基向量,,OA OB OC 表示向量，设OG xOA yOB zOC =++ ，则x 、y 、z 的值分别是( )A ． x ＝31，y ＝31，z ＝31 B ． x ＝31，y ＝31，z ＝61 C ． x ＝31，y ＝61，z ＝31 D ． x ＝61，y ＝31，z ＝31【答案】D6．点P 是等腰三角形ABC 所在平面外一点，ABC PA ABC PA ∆=⊥，在，平面8中，底边BC P AB BC 到，则点，56==的距离为( )A ．54B ．3C ．33D ．32【答案】A7．一个正方体的展开图如图所示，A 、B 、C 、D 为原正方体的顶点，则在原来的正方体中( )A ．AB ∥CDB ．AB 与CD 相交C ．AB ⊥CDD ．AB 与CD 所成的角为60°【答案】D8．下列说法正确的是( )A ．圆台是直角梯形绕其一边旋转而成；B ．圆锥是直角三角形绕其一边旋转而成；C ．圆柱不是旋转体；D ．圆台可以看作是平行底面的平面截一个圆锥而得到【答案】D9．设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( )A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥B ．若l α⊥，l m //，则m α⊥C ．若l α//，m α⊂，则l m //D ．若l α//，m α//，则l m // 【答案】A10．如图，点P 、Q 、R 、S 分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ 与RS 是异面直线的一个图是( )【答案】C11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A ．π34 B ．2 C ．π38 D ．π310 【答案】A 12．已知平面α外的直线b 垂直于α内的二条直线，有以下结论：○1b 一定不垂直于α；○2b 可能垂直于平面α；○3b 一定不平行于平面α，其中正确的结论有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个【答案】B二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．在空间直角坐标系中,若点(1,2,1),A -点(3,1,4)B --,则||AB = .【答案】14．一个几何体的三视图及部分数据如图所示，左视图为等腰三角形，俯视图为正方形，则这个几何体的体积等于 ．【答案】1315．四棱锥ABCD P -的三视图如右图所示,四棱锥ABCD P -的五个顶点都在一个球面上，E 、F 分别是棱AB 、CD 的中点，直线EF 被球面所截得的线段长为22，则该球表面积为 .【答案】π1216．一个几何体的三视图如下图所示，正视图是一个边长为2的正三角形，侧视图是一个等腰直角三角形，则该几何体的体积为 ．【答案】4三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．如图，已知平行四边形ABCD 中，2AD =，CD =45AD C ∠=︒，AE BC ⊥，垂足为E ，沿直线AE 将BAE ∆翻折成'B AE ∆，使得平面'B AE ⊥平面AECD ．连接'B D ，P 是'B D 上的点．(I ）当'B P PD =时，求证CP ⊥平面'AB D ；(Ⅱ）当'2B P PD =时，求二面角P AC D --的余弦值．【答案】（1）∵BC AE ⊥，平面⊥'AE B 平面AECD ，∴EC E B ⊥'．如图建立空间直角坐标系．则)0,1,0(A ，)1,0,0(B '，)0,0,1(C ，)0,1,2(D ，)0,0,0(E ，)21,21,1(P ．)1,1,0(-=B A ，)0,0,2(=AD ，)21,21,0(=CP ．∵02121=+-='⋅B A ，0=⋅，∴B A CP '⊥，AD CP ⊥．又A AB AD = ，∴⊥CP 平面AD B '．设面PAC 的法向量为),,(z y x n = ，则⎪⎩⎪⎨⎧=-=⋅=+-=⋅003334y x nz y x n．取1==y x ，3-=z ，则)3,1,1(-=n，又平面DAC 的法向量为)1,0,0(=m，∴||cos ,m n m n m n ⋅<>==．∴二面角D AC P --的余弦值11．18．如图所示，已知BCD ，AB 平面⊥M 、N 分别是AC 、AD 的中点，BC ⊥CD ．(I ）求证：MN ∥平面BCD ；(II ）求证：平面B CD ⊥平面ABC ；(III ）若AB ＝1，BC ＝3，求直线AC 与平面BCD 所成的角．【答案】 (1）因为,M N 分别是,AC AD 的中点，所以//MN CD ． 又MN ⊄平面BCD 且CD ⊂平面BCD ，所以//MN 平面BCD ． (2)因为AB ⊥平面BCD , CD ⊂平面BCD ，所以AB CD ⊥． 又CD BC AB BC B ⊥⋂=且，所以CD ⊥平面ABC ． 又CD ⊂平面BCD ，所以平面BCD ⊥平面ABC ．(3)因为AB ⊥平面BCD ，所以ACB ∠为直线AC 与平面BCD 所成的角． 在直角∆ABC中，tan AB ACB BC ∠==30ACB ∠= ． 故直线AC 与平面BCD 所成的角为30 ．19．如图，已知正三棱柱111ABC A B C -各棱长都为a ，P 为线段1A B 上的动点.（Ⅰ）试确定1:A P PB 的值，使得PC AB ⊥；(Ⅱ）若1:2:3A P PB =，求二面角P AC B --的大小；【答案】【法一】（Ⅰ）当PC AB ⊥时，作P 在AB 上的射影D . 连结CD .则AB ⊥平面PCD ，∴AB C D ⊥，∴D 是AB 的中点，又1//PD AA ，∴P 也是1A B 的中点，即1:1A P PB =. 反之当1:1A P PB =时，取AB 的中点D '，连接CD '、PD '.∵ABC ∆为正三角形，∴CD AB '⊥. 由于P 为1A B 的中点时，1//PD A A '∵1A A ⊥平面ABC ，∴PD '⊥平面ABC ，∴AB PC ⊥.（Ⅱ）当1:2:3A P PB =时，作P 在AB 上的射影D .则PD ⊥底面ABC .作D 在AC 上的射影E ，连结PE ，则PE A C ⊥.∴DEP ∠为二面角P AC B --的平面角.又∵1//PD AA ，∴132B D B PD A P A==，∴25A D a =.∴60DE AD sin =⋅= ，又∵135PD AA =，∴35P D a =.∴PDtan PED DE∠==，∴P AC B --的大小为60PED ∠= . 【法二】以A 为原点，AB 为x 轴，过A 点与AB 垂直的直线为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，如图所示，设(),0,P x z ，则(),0,0B a 、()10,0,A a、2a C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.（Ⅰ）由0CP AB ⋅=得(),,0,002a x z a ⎛⎫-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭，即02a x a ⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，∴12x a =，即P 为1A B 的中点，也即1:1A P PB =时，AB PC ⊥.(Ⅱ）当1:2:3A P PB=时，P点的坐标是23,0,55a a⎛⎫⎪⎝⎭.取()3,2m=-.则()233,2,0,055a am AP⎛⎫⋅=-⋅=⎪⎝⎭，()3,202am AC⎛⎫⋅=-⋅=⎪⎪⎝⎭.∴m是平面PAC的一个法向量.又平面ABC的一个法向量为()0,0,1n=.1,2m ncos m nm n⋅〈〉==⋅，∴二面角P AC B--的大小是60 . 20．一个多面体的直观图和三视图如图所示：(I）求证：PA⊥BD；(II）连接AC、BD交于点O，在线段PD上是否存在一点Q，使直线OQ与平面ABCD所成的角为30o？若存在，求DQDP的值；若不存在，说明理由．【答案】(I）由三视图可知P-ABCD为四棱锥，底面ABCD为正方形，且PA＝PB＝PC＝PD，连接AC、BD交于点O，连接PO ．因为BD⊥AC，BD⊥PO，所以BD⊥平面PAC，即BD⊥PA．(II）由三视图可知，BC＝2，PA＝Q，因为AC⊥OQ，AC⊥OD，所以∠DOQ为直线OQ与平面ABCD所成的角在△POD中，PD＝ODPDO＝60o，在△DQO中，∠PDO＝60o，且∠QOD＝30o．所以DP⊥OQ．所以ODQD＝．所以14DQDP=．21．如图，在四梭锥P -ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD,AD =2，AB＝1.点M线段PD的中点． (I）若PA＝2，证明：平面ABM ⊥平面PCD；(II ）设BM 与平面PCD 所成的角为θ，当棱锥的高变化时，求sin θ的最大值．【答案】 (Ⅰ)∵PA ⊥平面ABCD ，AD PA ⊥∴.∵点M 为线段PD 的中点，PA= AD =2，AM PD ⊥∴. 又∵⊥AB 平面PAD ，AB PD ⊥∴. ⊥∴PD 平面ABM .又⊂PD 平面PCD ，∴平面ABM ⊥平面PCD .(Ⅱ)设点B 到平面PCD 的距离为d . ∵AB ∥CD, ∴AB ∥平面PCD.∴点B 到平面PCD 的距离与点A 到平面PCD 的距离相等. 过点A 在平面PAD 内作AN ⊥PD 于N,平面ABM ⊥平面PCD ，⊥∴AN 平面PCD .所以AN 就是点A 到平面PCD 的距离. 设棱锥的高为x ，则=d.在Rt △ABM 中，22AM AB BM +=4241)2(22222x AP AD PD AB +=++=+=. ∴sin =θ22422232124123244242x x x x xx x xBMd ++=++=++=.因为()222222322123212+=+≥++x x ，当且仅当2232x x=，即x 时，等号成立.故()222222432124sin 222-=+≤++=x xθ.22．如图，四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，PD=DC=4，AD=2，E 为PC 的中点. (I ）求证：AD ⊥PC ；(II ）求三棱锥P-ADE 的体积；(III ）在线段AC 上是否存在一点M ，使得PA//平面EDM ，若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由.【答案】（I ）因为PD ⊥平面ABCD. 所以PD ⊥AD.又因为ABCD 是矩形， 所以AD ⊥CD. 因为,D CD PD =⋂ 所以AD ⊥平面PCD.又因为⊂PC 平面PCD ， 所以AD ⊥PC.(II ）因为AD ⊥平面PCD ，V P-ADE =V A-PDE ， 所以AD 是三棱锥A —PDE 的高. 因为E 为PC 的中点，且PD=DC=4， 所以.444212121=⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯⨯==∆A PDC PDE S S 又AD=2， 所以.38423131=⨯⨯=⋅=∆-PDE PDE A S AD V (III ）取AC 中点M，连结EM 、DM ，因为E 为PC 的中点，M 是AC 的中点， 所以EM//PA ，又因为EM ⊂平面EDM ，PA ⊄平面EDM ， 所以PA//平面EDM. 所以.521==AC AM 即在AC 边上存在一点M ，使得PA//平面EDM ，AM 的长为5.。