人教版八年级数学上册12.2.3全等三角形的判定(第3课时)

B
1、 某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三 块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃 ，那么最省事的办法是（ ）。
c
A 带①去 C 带③去
B带②去 D带①和②去
② ① ③
（课本）例4
.如下图，在△ABC和△DEF中,∠A ＝∠D, ∠ B＝∠E, BC＝EF, 求证：△ABC≌△DEF. 在△ABC中,∠A +∠B +∠C＝1800, ∴ ∠C＝1800－∠A－∠B. 同理∠F＝1800－∠D－∠E. 又∵ ∠A ＝∠D, ∠B＝∠E, ∴ ∠C＝∠F. C 在△ABC和△DEF中, ∴ ∠B＝∠E, BC＝EF, ∠C＝∠F, F ∴ △ABC ≌△DEF （ASA）
（课本）
例3 .如图,点D在AB上,点E在AC上,AB=AC,
∠B= ∠C. 求证:AD=AE.
分析:如果能证明△ACD ≌ △ABE,就可以得出AD=AE
证明：
在△ACD ≌ △ABE中， ∠A= ∠A AC=AB ∠C=∠B
∴△ACD ≌△ABE （ASA） ∴ AD=AE
应用“ASA” 判定方法，解决实际问题
在△ABC和△ADC中, ∠B=∠D, ∠1＝∠2, AC＝AC, ∴ △ABC ≌△ADC （AAS） ∴ AB＝AD.
(1) 图中的两个三角形全等吗? 请说明理由. 全等.因为两角和其中一角的对边对应相等的 两个三角形全等.
解：在DABC和DDBC中
ABC DBC (已知)
A
110
B
A D
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 _________________________________________
_________________ 简称“边角边”或“ SAS”
如果已知一个三角形的两角及一边，那 么有几种可能的情况呢？ 答：角边角（ASA） 角角边（AAS）
A
A
B
C
B
C

F D E C
BED CFD （已证）
B
BDE CDF （对顶角相等）
BE CF （已知）
\DBDE DCDF （AAS）
\ BD CD （全等三角形对应边相等）
(3) 如图，AC、BD交于点O,AC=BD,AB=CD. 求证： (1)C B (2)OA OD
D A
1 2 B
C
∴△ABD≌△ABC（ASA）
变式2：已知如图， ∠1＝∠2，∠3＝∠4 求证：AD＝AC. 为什么？
证明：∵∠3＝∠4 ∴∠ABD＝∠ABC 等角的补角相等或等式性质1 在△ABD和△ABC中 D ∠1＝∠2 AB＝AB 3 1 ∠ABD＝∠ABC A 2 B4 ∴△ABD≌△ABC（ASA） ∴AD＝AC
C E C’ D
A
B
通过实验你发现了什么规律？
A’
B’
三角形全等判定定理3
探究反映的规律是：
两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全 等 (可以简写成“角边角”或“ASA”）。
几何语言: 在△ABC 和△A′B′C′中，
∠ A= ∠A′
注意书写时 条件顺序
AB=A′B′
∠ B= ∠B′
∴△ABC
≌△A′B′C′(ASA)
证明：∵ AD∥CB ， ∴ ∠A =∠C. ∵ AE =CF ， ∴ AF =CE. 在△ADF 和△CBE 中, A D
F
E B
C
课堂练习
练习 如图，E，F 在线段AC上，AD∥CB，AE = CF．若∠B =∠D，求证：DF =BE．
证明： ∠A =∠C， ∠D =∠B ， AF =CE ， A D
是否全等（全等画 “√”，不全等画 “×”
公理或推 论（简写 ）
三条边
两边夹角
√
两边一角 两边与一 边对角 两角夹边 两角一边 两角与一
三 个
√ × √ √ ×
SSS SAS
ASA AAS
角对边 角
到目前为止,我们一共探索出判定三 角形全等的四种规律，它们分别是:
1、边边边 2、边E
探究反映的规律是：
两角分别相等和其中一组等角的对边相等的两个 三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）。
A A'
用数学符号表示: 在△ABE和△A’CD中 AE=A’D（已知 ） ∠A=∠A’ （已知 ） ∠B=∠C（已知 ）
E B
D C
∴ △ABE≌△A’CD（AAS）
两个三角 形中相等 的边或角
A
B
1C 2
D
F
E
跟踪练习： 已知如图， ∠1＝∠2， ∠C＝∠D 求证：AD＝AC.
证明：在△ABD和△ABC中 ∠1＝∠2 ∠D＝∠C AB＝AB ∴△ABD≌△ABC（AAS） ∴AD＝AC
D A 1 2 B C
变式1：已知如图， ∠1＝∠2，∠ABD＝∠ABC 求证：AD＝AC.
证明：在△ABD和△ABC中 ∠1＝∠2 AB＝AB ∠ABD＝∠ABC ∴AD＝AC
人民教育出版社义务教育教科书八年级数学（上册）
第十二章 全等三角形
课件说明
• 学习目标： 1．探索并正确理解“ASA”和“AAS”判定方法． 2．会用“ASA”和“AAS”判定方法证明两个三角 形全等． • 学习重点： 理解两种判定方法，并掌握用这两种方法证明两个 三角形全等．
三个条件判断三角形全等
∴ ∴ △ABE ≌△ACD（ASA）． AE =AD．
D B
E C
例题示范，巩固新知
例2 如图，AE⊥BE，AD⊥DC，CD =BE，∠DAB =∠EAC．求证：AB =AC． A 证明：∵ ∠DAB =∠EAC， ∴ ∠DAC =∠EAB. E D ∵ AE⊥BE，AD⊥DC， ∴ ∠D =∠E =90°. 在△ADC 和△AEB 中,
证明: (1)连接AD, 在△ADC和△DAB中 D AD=DA（公共边） AC=DB（已知） DC=AB（已知） ∴△ADC≌△DAB （SSS） ∴∠C=∠B（全等三角形的对应角相等） A C
2
1
O B
(2) 在△ AOB 和△ DOC中 ∴△DOC≌△AOB （AAS） ∠ B =∠ C （已证） ∠1=∠2 （对顶角相等） ∴OA=OD （全等三角形的对应边相等） DC=AB（已知）
课堂小结
知识要点：
(1) 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. 简写成“角边角”或“ASA”. (2) 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等. 简写成“角角边”或“AAS”. （3）探索三角形全等是证明线段相等（对应边相等）， 角相等（对应角相等）等问题的基本途径。
小明踢球时不慎把一块 三角形玻璃打碎为两块,他是 否可以只带其中的一块碎片 到商店去,就能配一块于原来 一样的三角形玻璃呢?
(2) (1)
如果可以,带哪块去合适 呢?为什么?
应用“ASA” 判定方法，解决实际问题
A
(2) (1)
D
(2)
C 利用“角边角”可知,带第(2)块去， 可以配到一个与原来全等的三角形玻璃。E
F
E
∴ ∴
△ADF ≌△CBE（AAS）． DF =BE． B
C
课堂练习
变式 若将条件 “∠B =∠D”变为“DF∥BE”， 那么原结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请 说明理由．
A D
F
E B
C
知识应用
2.如图,AB⊥BC, AD⊥DC, ∠1=∠2. 求证: AB=AD. 证明： ∵ AB⊥BC, AD⊥DC, ∴ ∠B=∠D=900,
C
练一练：
1、完成下列推理过程：
在△ABC和△DCB中， A ∵

D
4
∠ 3 ＝∠ 4 ∠ABC=∠DCB 3 ∠2＝∠ 1公共边 ） BC=CB （ 1 BC ＝ CB ∠ 2= ∠ 1 B
O
2
C
ASA ） ∴△ABC≌△DCB（ AAS
1、如图∠ACB=∠DFE，BC=EF，根据SAS,ASA或AAS， 或∠B=∠E或∠A=∠D 那么应补充一个直接条件 AC=DF --------------------------， （写出一个即可），才能使△ABC≌△DEF.
例: 如图,O是AB的中点，∠C= ∠D， △AOC与△BOD全等吗?为什么？
C
两角和对边 对应相等
A
O
B D
解：在
DAOC 和DBOD
中
∠C= ∠D (已知) AO BO (中点的定义) AOC BOD (对顶角相等) \ DAOC DBOD (AAS)
例题示范，巩固新知
例1 如图，点D 在AB上，点E 在AC上，BA =AC， ∠B =∠C．求证：AD =AE． A 证明：在△ABE 和△ACD 中， ∠B =∠C， AB =AC ， ∠A =∠A ，
1. 三个角 2. 三条边 不能 SSS
3. 两边一角 SAS能，但是SSA不能 4. 两角一边
?
1. 边边边：
三边分别相等的两个三角形全等 _________________________________________
_____________________________ 简称“边边边”或“SSS” 2. 边角边：

A
D
B
E
C
F
∴△ABC ≌△DEF（ AAS ASA SSS ）
练习
1.如图,AB⊥BC, AD⊥DC, ∠1=∠2. 求证: AB=AD. 证明： ∵ AB⊥BC, AD⊥DC, ∴ ∠B=∠D=900,
在△ABC和△ADC中, ∠B=∠D, ∠1＝∠2, AC＝AC, ∴ △ABC ≌△ADC （AAS） ∴ AB＝AD.