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初中数学青岛版八年级上册高效课堂资料1.3 尺规作图教学设计第三课时【目标确定的依据】1.相关课程标准的陈述会利用基本作图：已知两角及其夹边作三角形；在尺规作图中，了解作图的道理，保留作图的痕迹，不要求写出作法.2.教材分析本节是在学习基本的尺规作图：作线段和角，使它等于已知线段和角，以及已知三边或两边及夹角作三角形的基础上的继续学习，本节课的重点是掌握从已知条件出发，分析作图思路的方法，明确作图的道理，并保留作图痕迹.难点是作图语言的叙述，使学生明确并会运用这些语言有一定的困难，因此教师应注意自己的语言规范，并注意文字语言、符号语言和图形语言的对照和互译,培养和提高学生的类比思想结合推理能力和操作能力，逐步培养和提高学生分析问题、解决问题的方法和能力.本节是青岛版数学八年级上册第一章第三节第三课时的教学内容.而全等三角形的判定方法是尺规作图的理论依据，因此在进行相关内容的教学时，应关注对学生探索活动过程的设计和评价，符合学生认知规律的教学设计、灵活恰当的对思维过程和水平的评价，以及关注对学生作图技能的评价，根据《数学课程标准》的要求，结合以上分析，从而确定本节课的教学目标.3.学情分析在学习本节课之前，学生已经学习了基本的尺规作图和已知三边或两边及夹角作三角形.在学生的实际学习中，对基本作图的单一应用是没有问题的，但部分学生由于几何意识薄弱，对稍加组合的基本图形的作法，思维发挥有一定差异，主要原因在于四基落实过程中，重视知识忽视能力，而数学能力的养成往往在于思想方法的渗透、归纳以及应用等方面，也就是说几何推理+操作的综合能力不足，需要在教学过程中把握好难易分寸，教给学生分析问题、解决问题的方法，以达到对组合图形的灵活掌握和应用.【教学目标】1.通过从已知条件出发，讨论作图思路的探索，明确作图的道理，并保留作图痕迹.2.通过基本作图，会已知两角及其夹边作三角形.3.通过尺规作图，培养类比思想结合推理能力和操作能力.【教学重难点】重点：利用基本作图：已知两角及其夹边作三角形．难点：已知条件出发，讨论作图思路的过程，明确作图的道理．【评价任务】1.复习基本作图和已知三边或两边及夹角作三角形，能熟练的说出来.2.画出草图，分析尺规作图的思路和方法，再根据给定的条件作三角形：已知两角及其夹边作三角形.3.老师引导学生分析作图思路，共同总结尺规作图的方法，培养类比思想结合推理能力和操作能力.b c课堂总结：谈一下这节课的收获与反思附：板书设计1.3 尺规作图1.从已知条件出发，分析作图思路2.已知两角及其夹边作三角形【教学反思】附件1：教学目标叙写解读1.学习目标的设计要基于课程标准、教材分析和学情三方面的分析.2.学习目标的设计要把课程标准分四步细化分解，找到本节课的核心目标.即：学段目标—学期3.核心目标的分解第一步：分析陈述方式、句型结构和关键词。
上埠二中《农村中小学信息技术与数学教学有效整合的实践研究》课题组2.2 平方根第1课时算术平方根第一环节：问题情境方法一：问题导入内容：上节课学习了无理数，了解到无理数产生的实际背景和引入的必要性，掌握了无理数的概念，知道有理数和无理数的区别是：有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数．比如上一节课我的小正方形，通过剪一剪，1们做过的：由两个边长为a的大的正方形，那么有拼一拼，得到一个边长为2aa是无理数．在2是有理数，，，2?a2aaxx 叫的平方，叫前面我们学过若，则反过来ax?的什么呢？本节课我们一起来学习．方法二：问题导入前面我们学习了勾股定理，请大家根据勾股定理，结内容：合图形完成填空：222，，，?z?x?y2?w．让学生体会到学习算目的：方法一和二都是带着问题进入到这节课的学习，术平方根的必要性．2222，但不能求得，，；能求得效果：能表示，4z?5w?2?x3?y2?z wx ，，的值．y方法一的引入是由上节课“数怎么又不够用了”的例子，起到了承前说明：启后的作用，方法二的引入是由学生学习了第一章“勾股定理”后的应用，说明学习这节课的必要性．相对而言，建议选用方法二．上埠二中《农村中小学信息技术与数学教学有效整合的实践研究》课题组第二环节：初步探究1：情境引出新概念内容2222x，你能求出来，，已知幂和指数，求底数，，4z?5?2w?x3y?吗？让学生体验概念形成过程，感受到概念引入的必要性．目的：wx之间的数但无是2到效果：学生可以估算出之间的数，，是1到23y wx，从而激发学生继续往下学习的兴趣，进而引入新的运算——，，法表示y开方．都是激发学生继续往下学习说明：无论是用方法一引入，还是方法二引入，x ，你能求出来吗？”的兴趣，都可以提出同样的问题“已知幂和指数，求底数2：在上面思考的基础上，明晰概念：内容2axxa就叫做，那么这个正数，如果一个正数一般地，即的平方等于ax?a的算术平方．特别地，我们规定的算术平方根，记为“”，读作“根号0”a0?0 ，即0．根是目的：对算术平方根概念的认识．知道平方运算和求正数的算术平方根是互逆效果：了解算术平方根的概念，的．巩固概念3：简单运用内容求下列各数的算术平方根：1 例49 (4) 14．；(3) ；(1) 900；(2) 1 64利用平方运算求一个正数的算体验求一个正数的算术平方根的过程，目的：有的正数的算让学生明白有的正数的算术平方根可以开出来，术平方根的方法，的算术平方根是．术平方根只能用根号表示，如1414效果：会求一个正数的算术平方根，更进一步了解算术平方根的性质：一个，负数没有算术平方根．0的算术平方根是0正数的算术平方根是正数，上埠二中《农村中小学信息技术与数学教学有效整合的实践研究》课题组2，即30；答案：解：(1)因为，所以900的算术平方根是30900?90030?2 1；，即(2)因为，所以1的算术平方根是11?11?4977494972?()即；的算术平方根是，所以因为(3) ，?648648864 的算术平方根是．(4)1414内容4：回解课堂引入问题2222x?，，，，．，那么5w?5?2w?x3?y3y?第三环节：深入探究t)(与下落时间自由下落物体的高度(米)秒例内容1：2h2米高的建筑物上自由下落，的关系为19.6．有一铁球从t94h?.到达地面需要多长时间？目的：用算术平方根的知识解决实际问题．2t94.h?进行变形，再效果：学生多能利用等式的性质将用求算术平方根的方法求得题目的解．224?4.9tt?h，所以正数解：将，得代入公式6h.?192??t4 ．(秒) 即铁球到达地面需要2秒．t是正数，用的是算术平方根，此题是为得出下面的结说明：强调实际问题论作铺垫的．观察我们刚才求出的算术平方根有什么特点．内容2：aa是一个非负让学生认识到算术平方根定义中的两层含义：中的目的：aa也是一个非负数，负数没有算术平方根．这也是算术平的算术平方根数，方根的性质——双重非负性．上埠二中《农村中小学信息技术与数学教学有效整合的实践研究》课题组明确只有非负数才有算术平方再一次深入地认识算术平方根的概念，效果：根．第四环节：反馈练习一、填空题：；1．若一个数的算术平方根是，那么这个数是7；2 ．的算术平方根是922)(；的算术平方根是3．32．4，则．若2?2?m??2)(m二、求下列各数的算术平方根：121504?)(，，．36 ，，0.64，15，102251446向地面拉三、如图，从帐篷支撑竿AB的顶部A米，地固定帐篷．若绳子的长度为AC5.5一根绳子则米，4.5C到帐篷支撑竿底部B的距离是面固定点帐篷支撑竿的高是多少米？23；二、4；．答案：一、17；2．．3；．163112?151510．；；6；1；；0.8；12△ABC米，∠4.5ABC＝90°，在Rt米，三、解：由题意得AC＝5.5BC＝2222．所以帐篷支撑竿(中，由勾股定理得米)10?5.5?4.5?BC?ABAC?10 的高是米．以便根据学生目的：旨在检测学生对算术平方根的概念和性质的掌握情况，.情况调整教学进程一步步加深对算术平方根的概练习注意了问题的梯度性，效果：由浅入深，.念以及性质的认识对学生的回答，教师要给予评价和点评．上埠二中《农村中小学信息技术与数学教学有效整合的实践研究》课题组第五环节：学习小结是为以后的学习做铺垫内容：这节课学习的算术平方根是本章的基本概念，的．通过这节课的学习，我们要掌握以下的内容：，二是≥0．0算术平方根的概念，式子中的双重非负性：一是a≥(1) a a(2)算术平方根的性质：一个正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根．(3)求一个正数的算术平方根的运算与平方运算是互逆的运算，利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根．目的：依照本节课的教学目标引导学生自己小结本节课的知识要点，强化算术平方根的概念和性质．第六环节：作业布置习题2.3四、教学设计反思1．细讲概念、强化训练要想让学生正确、牢固地树立起算术平方根的概念，需要由浅入深、不断深化的过程．概念是由具体到抽象、由特殊到一般，经过分析、综合去掉非本质特征，保持本质属性而形成的．概念的形成过程也是思维过程，加强概念形成过程的教学，对提高学生的思维水平是很有必要的．概念教学过程中要做到：讲清概念，加强训练，逐步深化．“讲清概念”就是通过具体实例揭露算术平方根的本质特征．算术平方根2ax ax，那的本质特征就是定义中指出的：“如果一个正数，即的平方等于xax”，即被开方数是正的，由的算术平方根，”的“正数么这个正数就叫做a也是正数，因此算术平方根也必须是正的．当然零的算术平方根平方的意义，是零.“加强训练”不但指要加强求算术平方根的基本训练，使练习题达到一定的不是直接写出算也包括书写格式的训练，如在求正数的算术平方根时，质和量，上埠二中《农村中小学信息技术与数学教学有效整合的实践研究》课题组非平方数的算术平方根只能用根而是通过平方运算来求算术平方根，术平方根，. 号来表示组“逐步深化”是指利用算术平方根的概念和性质的题目按不同的“梯度”.成题组，在教学的不同阶段按由浅入深的原则加以使用．发展思维、适度拓展2在教学中，根据学生的实际情况，在学有余力的情况下，可以对的双重a非负性的知识进行适当的拓展.。
弦股勾1.1 探索勾股定理（1） 导学案【学习目标】在方格纸上计算面积的方法探索勾股定理，掌握勾股定理，并能运用勾股定理解决一些实际问题。
【重点】掌握勾股定理，并能运用勾股定理解决一些实际问题。
【难点】探索勾股定理。
【新课学习和探究】1、导入新课：P 22、探索发现图1图2观察图形完成下列问题： 如果正方形 A 边长为，则其面积为______；正方形 B 边长为b , 则其面积为________；正方形 C 边长为c ,则其面积为_______；你能发现正方形A 、B 、C 围住的直角三角形的两直角边长a 、b ，斜边c 之间有怎样的关系。
（小组讨论） 结论：_____________________ 3、画一画：在草稿纸上，以cm 3、cm 4为直角边画一个直角三角形，并测量斜边的长度，前面的结论对这个三角形还成立吗？4、归纳：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
222ab c 或 222AC BC AB注：① 作用：知道直角三角形的任意两边可以求出第三边。
②我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾．， 较长的直角边称为股．，斜边称为弦．． A 的面积（单位面积） B 的面积（单位面积） C 的面积（单位面积） A 、B 、C 面积关系式图1图2图3图4【巩固练习】1、【新课学习和探究】中“导入新课”中的答案为_______米。
2、正方形A的面积为______，正方形B的面积为______。
【例题精讲】如图，强台风使得一根旗杆在离地面9m处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处．旗杆折断之前有多高？【巩固练习】求出下列直角三角形中未知边的长度。
（要求写出简单过程）（１）（２）【课堂小结】本节课有哪些收获？【课后作业】1、在△ABC中，∠C＝90°，（l）若 a＝5，b＝12，则 c＝；（2）若c＝15，a＝9，则b＝ .2、直角三角形的斜边长为17cm，一条直角边长为15cm，则直角三角形的面积为_________cm23、如图，求等腰△ABC的面积。
第一章 勾股定理 1.1探索勾股定理一、问题引入：（1）观察下面下图，若每个小正方形的面积为1，则第①个图中，A S = ，B S = ，C S = . 第②个图中，A S = ，B S = ，C S = .三个正方形A 、B 、C 的面积之间有什么关系？以上结论与三角形三边有什么关系？ 通过这种关系你发现了什么？勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么 即直角三角形 的平方和等于 的平方. 二、基础训练：1、如图（1），图中的数字代表正方形的面积，则正方形A 的面积为 .（1） （2）2、如图（2），三角形中未知边x 与y 的长度分别是x = ，y = .3、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AC ＝6，BC ＝8，则AB 的长为（ ）A.6B.8C.10D.12 三、例题展示：例1:在△ABC 中，∠C=90°，（1）若a =3，b=4，则c=_____________； （2）若a =9，c=15，则b=______________；AB CC BA257例2:如图,一根旗杆在离地面9米处折断倒下,旗杆顶部落在离旗杆底部12米处,旗杆折断前有多高？（提示：用数学符号去表示线段的长）四、课堂检测：1、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝13，BC ＝5，则AC 的长为（ ）A.5B.12C.13D.182、已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若14=+b a cm ，10=c cm ，则Rt △ABC 的面积为（ ）A.24cm 2B.36cm 2C.48cm 2D.60cm 23、若△ABC 中，∠C=90°，（1）若a =5，b =12，则c = ；（2）若a =6，c =10，则b = ；（3）若a ∶b =3∶4，c =10，则a = ，b = . 4、如图，阴影部分是一个半圆，则阴影部分的面积为 . （π不取近似值）5、一个直角三角形的斜边为20cm ,且两直角边长度比为3:4，求两直角边的长.6、（选做题）一个长为10m 为梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直高度为8m ，梯子的顶端下滑2m 后，底端向外滑动了多少米？第4题图第一章勾股定理1.2 一定是直角三角形吗一、问题引入：1、分别以下列每组数为三边作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗?(1)3, 4, 5 (2)6, 8, 102、以上每组数的三边平方存在什么关系？结合上题你能得到什么结论？3、如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形.4、满足a2+b2=c2的三个，称为勾股数.二、基础训练：1、在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（）A. 5，6，7B. 1，4，9C. 5，12，13D. 5，11，122、下列几组数中，为勾股数的是（）A. 4，5，6B. 12，16，20C. 10，24，26D. 2.4，4.5，5.13、若一个三角形的三边长的平方分别为：32，42，x2则此三角形是直角三角形的x2的值是（）A.42B.52C.7D.52或74、将直角三角形的三边扩大同样的倍数，得到的三角形是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形 D .都有可能三、例题展示：例1：一个零件的形状如下左图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都是直角，工人师傅量得某个零件各边尺寸如下右图所示，这个零件符合要求吗？例2：如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，图中有几个直角三角形？请说出你的判断理由.四、课堂检测：1、三角形的三边分别等于下列各组数，所代表的三角形是直角三角形的是（）A. 7，8，10B. 7，24，25C. 12，35，37D. 13，11，102、若△ABC的三边a、b、c满足（a－b）（2a＋2b－2c）＝0，则△ABC是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形3、满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（）A. b2 =c2－a2B. a∶b∶c=3∶4∶5C.∠C =∠A+∠BD.∠A∶∠B∶∠C =2∶3∶44、若三角形的三边之比为3﹕4﹕5，则此三角形为三角形.5、已知一个三角形的三边长分别是12cm，16cm，20cm，则这个三角形的面积为.6、如图所示，在△ABC中，AB=13，BC=10，BC边上的中线AD=12，∠B与∠C相等吗？为什么？7、（选做题）若△ABC的三边长为a，b，c满足a2+b2+c2+200=12a+16b+20c根据条件判断△ABC的形状.第一章 勾股定理 1.3 勾股定理的应用一、问题引入：1、勾股定理：直角三角形两直角边的 等于 .如果用a ，b 和c 表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 .2、勾股定理逆定理：如果三角形三边长a ，b ，c 满足 ，那么这个三角形是直角三角形. 二、基础训练：1、在△ABC 中，已知AB=12cm ，AC=9cm ，BC=15cm ，则△ABC 的面积等于（ ）A.108cm 2B.90cm 2C.180cm 2D.54cm 22、五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）715242520715202425157252024257202415(A)(B)(C)(D)三、例题展示：例1：有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米.在圆柱的底面A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？(π的值取3)。
专题2.2 立方根（专项训练）1．（2021秋•雁江区期末）下列运算正确的是（）A．﹣12＝1B．（﹣1）3＝1C．D．2．（2021秋•沂源县期末）2是8的（）A．平方根B．立方根C．算术平方根D．立方数3．（2022•碑林区校级二模）﹣27的立方根为（）A．±3B．±9C．﹣3D．﹣94．（2021秋•龙华区校级期末）下列各式中正确的是（）A．﹣|﹣2|＝2B．C．＝4D．5．（2021秋•任丘市期末）求下列各式的值．（1）；（2）；6．（2021秋•东台市期末）解方程：（1﹣x）3＝8．7．（2019秋•东台市期末）解方程：8.（2021春•大同期末）已知≈6.882，若≈68.82，则x的值约为（）A．326000B．32600C．3.26D．0.326 9．（2021春•清河县期末）若一个数的平方根和立方根都是它的本身，则这个数是（）A．0B．1C．0或1D．0或±1 10．（2021春•雨花区期末）下列结论正确的是（）A．64的立方根是±4B．﹣没有立方根C．立方根等于本身的数是0D．＝﹣311．（2021秋•阜新县校级期末）若+|b+4|＝0，则﹣ab的立方根为．12．（2021秋•于洪区期末）一个正方体的体积是5m3，则这个正方体的棱长是（）A．m B．m C．25m D．125m13.（2021春•福州期末）如图，有一块正方形铁皮，从四个顶点处分别剪掉一个面积为25cm2的正方形后，所剩部分正好围成一个无盖的长方体容器，量得该容器的体积是180cm3，求原正方形铁皮的边长．14．（2019秋•邢台期末）如图，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8cm3．（1）这个魔方的棱长为．（2）图中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的周长．15．（2021秋•平昌县期末）9的算术平方根是；的立方根是；＝．16．（2021秋•蓬莱市期末）﹣27的立方根与的平方根的和是．17．（2021秋•盱眙县期末）已知某正数的两个不同的平方根是3a﹣14和a﹣2；b﹣15的立方根为﹣3．（1）求a、b的值；（2）求4a+b的平方根．18．（2021秋•东台市期末）解方程：（1﹣x）3＝8．19.（2021秋•衡阳期末）已知5a﹣1的算术平方根是3，3a+b﹣1的立方根为2（1）求a与b的值；（2）求2a+4b的平方根．20．（2021春•前郭县期末）已知2a+1的平方根是±3，3a+2b﹣4的立方根是﹣2，求的立方根．21.（2020春•潮南区期末）已知a+b﹣5的平方根是±3，a﹣b+4的立方根是2．求3a﹣b+2的值．专题2.2 立方根（专项训练）1．（2021秋•雁江区期末）下列运算正确的是（）A．﹣12＝1B．（﹣1）3＝1C．D．【答案】C【解答】解：A．由于﹣12＝﹣1，因此选项A不符合题意；B．由于（﹣1）3＝﹣1，因此选项B不符合题意；C．由于22＝4，所以＝2，因此选项C符合题意；D．由于（﹣2）3＝﹣8，所以＝﹣2，因此选项D不符合题意；故选：C．2．（2021秋•沂源县期末）2是8的（）A．平方根B．立方根C．算术平方根D．立方数【答案】B【解答】解：∵23＝8，∴2是8的立方根．故选：B．3．（2022•碑林区校级二模）﹣27的立方根为（）A．±3B．±9C．﹣3D．﹣9【答案】C【解答】解：＝﹣3．故选：C．4．（2021秋•龙华区校级期末）下列各式中正确的是（）A．﹣|﹣2|＝2B．C．＝4D．【答案】C【解答】解：∵﹣|﹣2|＝﹣2，∴选项A不符合题意；∵＝2，∴选项B不符合题意；∵＝4，∴选项C符合题意；∵无意义，∴选项D不符合题意．故选：C．5．（2021秋•任丘市期末）求下列各式的值．（1）；（2）；【解答】解：（1）；（2）；6．（2021秋•东台市期末）解方程：（1﹣x）3＝8．【解答】解：（1﹣x）3＝8，∴1﹣x＝2，解得x＝﹣1．7．（2019秋•东台市期末）解方程：（x+1）3﹣27＝0【解答】解：（x+1）3﹣27＝0，（x+1）3＝27，x+1＝3，x＝28.（2021春•大同期末）已知≈6.882，若≈68.82，则x的值约为（）A．326000B．32600C．3.26D．0.326【答案】A【解答】解：∵68.82＝6.882×10，∴x＝326×103＝326000，故选：A．9．（2021春•清河县期末）若一个数的平方根和立方根都是它的本身，则这个数是（）A．0B．1C．0或1D．0或±1【答案】A【解答】解：∵02＝0，∴一个数的平方根是它的本身的数是0，∵03＝0，（﹣1）3＝﹣1，13＝1，∴一个数的立方根是它本身的数是﹣1或0或1，∴一个数的平方根和立方根都是它本身的数为0，故选：A．10．（2021春•雨花区期末）下列结论正确的是（）A．64的立方根是±4B．﹣没有立方根C．立方根等于本身的数是0D．＝﹣3【答案】D【解答】解：A、64的立方根是4，原说法错误，故这个选项不符合题意；B、﹣的立方根为﹣，原说法错误，故这个选项不符合题意；C、立方根等于本身的数是0和±1，原说法错误，故这个选项不符合题意；D、＝﹣3，原说法正确，故这个选项符合题意；故选：D．11．（2021秋•阜新县校级期末）若+|b+4|＝0，则﹣ab的立方根为．【答案】2【解答】解：由题意得，a﹣2＝0，b+4＝0，解得a＝2，b＝﹣4，∴﹣ab＝﹣2×（﹣4）＝8，∵23＝8，∴﹣ab的立方根为2．故答案为：212．（2021秋•于洪区期末）一个正方体的体积是5m3，则这个正方体的棱长是（）A．m B．m C．25m D．125m【答案】B【解答】解：设这个正方体的棱长为am，由题意得，a3＝5，∴a＝（m），故选：B．13.（2021春•福州期末）如图，有一块正方形铁皮，从四个顶点处分别剪掉一个面积为25cm2的正方形后，所剩部分正好围成一个无盖的长方体容器，量得该容器的体积是180cm3，求原正方形铁皮的边长．【解答】解：∵从四个顶点处分别剪掉一个面积为25 cm2的正方形，∴剪掉的正方形边长为5 cm，设原来正方形的边长为xcm，由题意可得：5（x﹣10）2＝180，∴（x﹣10）2＝36，x﹣10＝±6，解得：x＝16或x＝4（不合题意，舍去），∴原来正方形的边长为16 cm．14．（2019秋•邢台期末）如图，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8cm3．（1）这个魔方的棱长为．（2）图中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的周长．【答案】【解答】解：（1）＝2（cm）．故这个魔方的棱长是2cm．故答案为：2cm．（2）∵魔方的棱长为2cm，∴小立方体的棱长为1cm，∴阴影部分是正方形，其边长为：＝（cm），∴出阴影部分的周长4cm．15．（2021秋•平昌县期末）9的算术平方根是；的立方根是；＝．【答案】3、2、．【解答】解：9的算术平方根是3，∵＝8，∴的立方根是2，＝﹣，故答案为：3、2、．16．（2021秋•蓬莱市期末）﹣27的立方根与的平方根的和是．【答案】0或﹣6【解答】解：∵﹣27的立方根是﹣3，的平方根是±3，所以它们的和为0或﹣6．故答案为：0或﹣6．17．（2021秋•盱眙县期末）已知某正数的两个不同的平方根是3a﹣14和a﹣2；b﹣15的立方根为﹣3．（1）求a、b的值；（2）求4a+b的平方根．【解答】解：（1）∵正数的两个不同的平方根是3a﹣14和a﹣2，∴3a﹣14+a﹣2＝0，解得a＝4，∵b﹣15的立方根为﹣3，∴b﹣15＝﹣27，解得b＝﹣12∴a＝4、b＝﹣12；（2）a＝4、b＝﹣12代入4a+b得4×4+（﹣12）＝4，∴4a+b的平方根是±2．18．（2021秋•东台市期末）解方程：（1﹣x）3＝8．【解答】解：（1﹣x）3＝8，∴1﹣x＝2，解得x＝﹣1．19.（2021秋•衡阳期末）已知5a﹣1的算术平方根是3，3a+b﹣1的立方根为2（1）求a与b的值；（2）求2a+4b的平方根．【解答】解：（1）由题意，得5a﹣1＝32，3a+b﹣1＝23，解得a＝2，b＝3．（2）∵2a+4b＝2×2+4×3＝16，∴2a+4b的平方根＝±4．20．（2021春•前郭县期末）已知2a+1的平方根是±3，3a+2b﹣4的立方根是﹣2，求的立方根．【解答】解：∵2a+1的平方根是±3，3a+2b﹣4的立方根是﹣2，∴2a+1＝9，3a+2b﹣4＝﹣8，解得a＝4，b＝﹣8，∴4a﹣5b+8＝4×4﹣5×（﹣8）+8＝64，∴＝＝8，∴的立方根为＝221.（2020春•潮南区期末）已知a+b﹣5的平方根是±3，a﹣b+4的立方根是2．求3a﹣b+2的值．【解答】解：∵a+b﹣5的平方根是±3，a﹣b+4的立方根是2，∴a+b﹣5＝9，a﹣b+4＝8，解得：a＝9，b＝5．∴3a﹣b+2＝27﹣5+2＝24．。
第一章勾股定理1探索勾股定理第1课时勾股定理知识点一认识勾股定理精练版P1我们可以通过求网格中大正方形的面积来探索勾股定理．在求正方形网格中大正方形的面积时，一般采用数格子和图形割补两种方法：数格子时，直接数出大正方形内部所包含的完整的小方格的个数，将不足一个方格的部分进行适当拼凑，拼出若干个完整的小方格，将它们相加即可；图形割补时，通常是将图形分割成几个格点三角形和几个网格正方形，再将所分割成的各三角形和网格正方形的面积求出来相加即可．勾股定理的定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2＋b2＝c2.例1如图①，在直角三角形外部作出3个正方形．(1)正方形A中含有________个小方格，即A的面积是________；(2)正方形B中含有________个小方格，即B的面积是________；(3)正方形C中含有________个小方格，即C的面积是________；(4)如果用S A，S B，S C分别表示正方形A，B，C的面积，那么它们之间的关系是：______________；(5)如图②中是否仍然存在着这样的关系？解析：通过观察、拼凑可以直接得出图中A，B，C三个正方形的面积及它们之间的关系，再按照同样的方法计算图②中几个正方形的面积，发现同样满足这个关系．解：(1)1616(2)99(3)2525(4)S A＋S B＝S C(5)图②中，S A′＝1，S B′＝9，S C′＝10，所以仍然有S A′＋S B′＝S C′.知识点二勾股定理的简单应用精练版P11．已知直角三角形的两边求第三边．2．已知直角三角形的一边，确定另两边的关系．3．证明线段的平方关系．例2如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了________米的路，却踩伤了花草．解析：根据勾股定理求得AB的长，再进一步求得少走的路的米数，即(AC＋BC)－AB.在Rt△ABC中，AB2＝BC2＋AC2，AC＝3米，BC＝4米，则AB＝AC2＋BC2＝5米，所以他们仅仅少走了AC＋BC－AB＝4米．答案：4第2课时勾股定理的验证及其应用知识点一勾股定理的验证精练版P2勾股定理的证明方法较多，中外数学史上关于勾股定理的证明一般是用拼图法来验证的．一般步骤如下：拼出图形→找出图形面积的表达式→建立等量关系→恒等变形→推导出勾股定理．如图(1)．因为S大正方形＝4S三角形＋S小正方形，所以(a＋b)2＝4×12ab＋c2，所以a2＋b2＝c2.如图(2)．因为S大正方形＝4S三角形＋S小正方形，所以c2＝4×12ab＋(b－a)2，所以c2＝a2＋b2.如图(3)．因为S梯形＝2S小三角形＋S大三角形，所以12(a＋b)(a＋b)＝2×12ab＋12c2，整理，得a2＋b2＝c2.知识点二勾股定理的应用精练版P21．勾股定理揭示的是直角三角形三边之间的关系．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，则斜边AB称为弦，较短直角边BC称为勾，较长直角边AC称为股，BC2＋AC2＝AB2.这就是勾股定理．2．应用勾股定理时要注意：(1)勾股定理成立的前提条件是“直角三角形”，在锐角三角形和钝角三角形中不存在这一结论．(2)应用勾股定理时应分清直角边与斜边．在一些Rt△ABC中，斜边未必是c.(3)应用勾股定理进行计算时，若没有明确直角边与斜边，应分类讨论．例1“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(a＋b)2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为()A．3B．4C．5D．6解析：观察图形可知，小正方形的面积＝大正方形的面积－4个直角三角形的面积，利用已知(a＋b)2＝21，大正方形的面积为13，可以得出直角三角形的面积，进而求出答案．因为(a＋b)2＝21，所以a2＋2ab ＋b2＝21，因为大正方形的面积为13，2ab＝21－13＝8，所以小正方形的面积为13－8＝5.故选C.答案：C易错点没有明确直角边和斜边用勾股定理时，若题目没有指明谁是斜边，应按未知边是斜边或是直角边两种情况分类讨论．例2在Rt△ABC中，AC＝9，BC＝12，求AB2.解：当AB为斜边时，AB2＝AC2＋BC2＝225；当AB为直角边时，AB2＝BC2－AC2＝63.所以AB2为225或63.注意：此题易错误地认为AB2＝225.原因是没有分清AB边是直角边还是斜边，只是模糊地记住了勾股定理的原形，而没有注意到题目中并没有给出明确的条件．因此，对于此类问题我们应该分情况讨论．2一定是直角三角形吗知识点一勾股定理的逆定理精练版P3如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．(此判别条件也称为勾股定理的逆定理)利用三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是不是直角三角形，把数与形有效地统一起来，体现了数形结合的数学思想．温馨提示：(1)在判别一个三角形是不是直角三角形时，a2＋b2是否等于c2需通过计算说明，不能直接写成a2＋b2＝c2.(2)验证一个三角形是不是直角三角形的方法是：当(较小边长)2＋(较大边长)2＝(最大边长)2时，此三角形为直角三角形；否则，此三角形不是直角三角形．例1判断由线段a，b，c组成的三角形是否为直角三角形．(1)a＝4，b＝5，c＝6；(2)a∶b∶c＝3∶4∶5.解：(1)因为a2＋b2＝42＋52＝41，c2＝36，a2＋b2≠c2，所以由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形．(2)设a＝3k，b＝4k，c＝5k(k≠0)．因为a2＋b2＝(3k)2＋(4k)2＝25k2，c2＝(5k)2＝25k2，所以a2＋b2＝c2，所以由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形．知识点二 勾股数精练版P3满足a 2＋b 2＝c 2的三个正整数，称为勾股数．常见的勾股数有：①3，4，5；②6，8，10；③8，15，17；④7，24，25；⑤5，12，13；⑥9，12，15；⑦9，40，41.勾股数有无数组．一组勾股数中，各数的相同整数倍得到一组新的勾股数，如：3，4，5是勾股数，9，12，15也是勾股数．温馨提示：勾股数必须都是正整数，如：0.3，0.4，0.5，尽管有0.32＋0.42＝0.52成立，但它们都是小数，因而不是勾股数．例2 判断下列各组数是不是勾股数：(1)3，4，7；(2)5，12，13；(3)13，14，15；(4)3，－4，5. 解析：判断的时候，要紧扣两个条件：(1)是否符合a 2＋b 2＝c 2，即两个较小数的平方和是否等于最大数的平方；(2)它们是不是正整数．解：(1)因为32＋42≠72，所以3，4，7不是勾股数．(2)因为52＋122＝132，所以5，12，13是勾股数．(3)中的各数都不是正整数，所以这组数不是勾股数．(4)虽然32＋(－4)2＝52，但－4不是正整数，所以这组数不是勾股数．注意：判断勾股数的方法步骤：(1)确定三个数是正整数；(2)确定出最大数；(3)计算较小两数的平方和是否等于最大数的平方．易错点 运用边的关系识别直角三角形时，忽视最大边，从而造成判断错误运用直角三角形的判别条件判断一个三角形是否为直角三角形时，首先要确定最长边，不能盲目地计算或想当然地认为某一边为最长边．例3 已知三角形的三边长分别是m 2－1，2m ，m 2＋1(m 为大于1的自然数)，试判断这个三角形的形状．解：因为(m 2－1)2＋(2m )2＝m 4－2m 2＋1＋4m 2＝m 4＋2m 2＋1，(m 2＋1)2＝m 4＋2m 2＋1，所以(m 2－1)2＋(2m )2＝(m 2＋1)2，所以此三角形为直角三角形．注意：此题易认为2m为最大边，得到(m2－1)2＋(m2＋1)2≠(2m)2，从而得出三角形不是直角三角形的错误结论．在做此类题时，一定要找准最大边．3勾股定理的应用知识点一确定几何体上的最短路线精练版P5柱体和长方体的展开图是一个长方形．求柱体或长方体上两点之间最短距离，需要把柱体或长方体展开成平面图形，依据两点之间线段最短，以最短路线为边构造成直角三角形，再利用勾股定理求解．例1有一个圆柱形油罐，如图所示，要从A点环绕油罐建梯子，正好到A点的正上方B点，问梯子最短需要多长？(已知油罐的底面周长是12m，高AB是5m)解：将圆柱形油罐的侧面沿AB剪开展成一个平面图形，如图所示，沿AB′建梯子最节省材料(两点之间，线段最短)．由已知得AB＝5m，BB′＝12m.在Rt△ABB′中，AB′2＝AB2＋BB′2＝52＋122＝132(m2)，所以AB′＝13m.因此所建的梯子最短需要13m.注意：由于梯子要绕着曲面建，因此最短路线应将曲面展成平面后，再依据“两点之间，线段最短”来确定．知识点二利用勾股定理解决生活中的长度问题精练版P5由勾股定理的知识，可以解决与直角三角形相关的一些实际问题．在解决实际问题时，应具体问题具体分析，将生活中的问题转化为数学问题，利用勾股定理加以解决．勾股定理的逆定理主要用来说明一个三角形为直角三角形．在实际问题中，有些线段的求解、角的求解在很大程度上转化为在直角三角形内求解．因此，熟练地判断一个三角形是否为直角三角形是首先要解决的问题．例2小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度．解析：根据题意寻找出绳子长度与旗杆高度之间的关系，设未知数，利用勾股定理构造方程．解方程求得结论．解：设旗杆高x米，则绳长(x＋1)米．依题意，得x2＋52＝(x＋1)2，解得x＝12.即旗杆的高度为12米．易错点将长方体展开时，忽视展开方式不唯一对长方体来说，由于一般情况下，长、宽、高不相等，则展开得到的距离也不相同，故对此问题应把可能出现的情况考虑全，分别计算，经过比较求出最短距离．例3有一个长方体纸盒，如图所示，小明所在数学小组研究由长方体的底面A点到长方体中与A点相对的B点的最短距离，若长方体的底面长为12，宽为9，高为5，请帮助该小组求出由A点到B点的最短距离．(参考数据：21.592≈466，19.242≈370，18.442≈340)解：将四边形ACDF与四边形DCEB展开在同一平面，如图(1)所示．在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB2＝AE2＋BE2＝(12＋9)2＋52＝466；同理，由图(2)，得AB2＝AC2＋BC2＝122＋(9＋5)2＝340；由图(3)，得AB2＝AD2＋BD2＝(12＋5)2＋92＝370.因为340＜370＜466，所以最短距离为图(2)所示线段AB的长度，AB≈18.44.注意：解决长方体相对顶点表面最短距离问题，要全面考虑，先将所有路线都找出来，避免出现漏解，再通过计算找到最短路线．章末知识汇总类型一勾股定理与面积的综合应用例1已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰直角三角形ACD，再以△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰直角三角形ADE，…，依此类推，第7个等腰直角三角形的面积是________，第n个等腰直角三角形的面积为________．解析：要求等腰直角三角形的面积，只需求腰长的平方即可．S1＝12·AB·BC＝12，由勾股定理得，AC2＝AB2＋BC2＝2，AD2＝AC2＋DC2＝2＋2＝4，AE2＝AD2＋DE2＝4＋4＝8，所以S2＝12·AC2＝1，S3＝12·AD2＝2，S4＝12·AE2＝4.由此可得S7＝25＝32，S n＝2n－2.答案：322n－2注意：等腰直角三角形的面积是腰长平方的一半，利用整体代换解决．整体代换是数学一种重要方法．类型二直角三角形判定方法的实际应用例2如图所示，点A是一个半径为400m的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B，C两个村庄，现要在B，C两村庄之间修一条长为1000m的笔直公路将两村连通，经测量得AB＝600m，AC＝800m，问此公路是否会穿过该森林公园？请通过计算说明．解：因为AC2＋AB2＝8002＋6002＝10002＝BC2，所以△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°. 过点A作AD⊥BC，垂足为D.如图所示．因为S△ABC＝12×AB×AC＝12×AD×BC，所以AD＝AB×ACBC＝600×8001000＝480(m)．因为480m＞400m，所以此公路不会穿过该森林公园．注意：(1)根据“垂线段最短”只需计算最短距离．(2)求直角三角形斜边上的高经常用“等面积法”．类型三利用勾股定理解决实际生活中的最值问题例3如图，A，B两个小镇在河流l的同侧，到河的距离分别为AC＝10千米，BD＝30千米，且CD ＝30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A，B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元，请你在河流l上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？解：如图所示，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，交CD于点M，点M即为所求．连接AM，则MA＋MB最小．作A′E⊥BD交BD的延长线于点E.在直角三角形A′BE中，A′E＝30千米，BE＝BD＋DE＝BD＋AC＝40千米，由勾股定理A′B2＝A′E2＋BE2＝302＋402，所以A′B＝50千米．所以MA＋MB＝A′M＋BM＝A′B＝50千米，修管道的费用为50×3＝150(万元)．注意：(1)解决实际问题时，应将实际问题转化为数学问题，建立相应的数学模型．(2)费用最少即要求管道最短，问题便转化为“在直线CD同侧有两点A，B，试在CD上找一点M，使MA＋MB最小”．探究中要把握问题的实质，注意问题的转化．第二章实数1认识无理数知识点一非有理数的存在精练版P9整数和分数统称为有理数．随着研究的深入，人们发现了不是有理数的数，比如面积为5的正方形的边长，设该正方形的边长为x，则x2＝5，这里x既不是整数，也不是分数，也就是说没有一个有理数的平方是5，现实生活中存在着大量的不是有理数的数．例1以下各正方形的边长不是有理数的是()A．面积为49的正方形B．面积为916的正方形C．面积为8的正方形D．面积为1.21的正方形解析：可设边长为a(a＞0)，由A项得a2＝49，49＝72，所以a＝7；由B项得a2＝916，而916＝⎝⎛⎭⎫342，所以a＝34；由D项得a2＝1.21，而1.21＝1.12，所以a＝1.1；由C项得a2＝8，8不能写成一个整数或分数的平方．答案：C知识点二估计数值的大小精练版P9用x表示正方形的边长，若x2＝2，则x既不是整数，也不是分数，我们可以用无限逼近的方法估计x 的值，从而求出x的近似值．方法：因为1＜2＜4，所以1＜x＜2，即x的整数位是1.又因为1.42＝1.96，1.52＝2.25.而2在1.42与1.52之间，所以x的十分位上的数是4，用同样的方法可以确定其他数位上的数．例2已知直角三角形的两直角边长分别是9cm和5cm，斜边长是x cm.(1)估计x在哪两个整数之间．(2)如果把x的结果精确到十分位，估计x的值．如果精确到百分位呢？用计算器验证你的估计值．解析：此题首先根据勾股定理求出x2，再看x2的值介于哪两个完全平方数之间，其他数位依次类推．解：根据条件，得x2＝92＋52＝106.(1)因为100＜106＜121，所以100＜x2＜121，所以10＜x＜11，即x在整数10和11之间．(2)因为10.292＝105.8841，10.302＝106.09，所以10.292＜106＜10.302，所以精确到十分位时，x≈10.3.又因为10.2952＝105.987025，10.2962＝106.007616，所以10.2952＜106＜10.2962，所以10.2952＜x2＜10.2962，所以精确到百分位时，x≈10.30.注意：本题采用了无限逼近的方法，即将x的范围逐渐缩小，使得x2越来越接近某个数，渗透了用有理数近似地表示无理数的思想．知识点三无理数的概念精练版P9无限不循环小数称为无理数．例如，圆周率π＝3.14159265…是一个无限不循环小数，因此它是一个无理数．再如，0.989889888988889…(相邻两个9之间8的个数逐次加1)也是无理数．温馨提示：(1)无理数是一种与有理数不同的数，要区分“无限不循环小数”与“无限循环小数”的差别，前者不能化为分数，后者可以化为分数．事实上，有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示．反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数．(2)小数的分类：小数⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎬⎫有限小数无限循环小数有理数无限不循环小数——无理数例3 227，0.2·03·，－π7，2.3131131113，－0.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)中无理数的个数是( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个解析：－π7，－0.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)是无理数，227，0.2·003·，2.3131131113是有理数．答案：A注意：π是无限不循环小数，是无理数，－π7不是分数，是一个无理数．易错点 错把π当成有理数，把无限循环小数当成无理数 π是无理数，无理数除以非零有理数仍是无理数，无限循环小数为有理数，区别有理数与无理数时，应注意观察所给的数据． 例4 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？0．1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)，－119180，345.202·，π2.解：有理数：－119180，345.202·；无理数：0.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)，π2.注意：学生很容易把π2看成有理数，以为它是分数，事实上，它是一个无理数．也很容易把345.202·看成无理数，错误原因是对无理数的概念认识不清，误以为无限小数都是无理数，事实上，只有无限小数中的无限不循环小数才是无理数．2 平方根知识点一 算术平方根的概念与性质精练版P11定义：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2＝a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为a ，读作“根号a ”．温馨提示：(1)特别地，我们规定0的算术平方根是0，即0＝0.(2)负数没有算术平方根，也就是说，当式子a 有意义时，a 一定表示一个非负数．(3)a (a ≥0)是一个非负数．例1 求下列各数的算术平方根：(1)400；(2)2536；(3)13.解析：因为求一个非负数的算术平方根的运算与正数的平方运算是互逆的，所以我们可以借助平方运算来求这些数的算术平方根．解：(1)因为202＝400，所以400的算术平方根是20. (2)因为⎝⎛⎭⎫562＝2536，所以2536的算术平方根是56. (3)13的算术平方根是13.注意：(1)在求a 的算术平方根时，若a 是有理数的平方，a 的算术平方根就不带根号；若a 不是有理数的平方，a 的算术平方根就带有根号，如13.(2)由于求一个非负数的算术平方根常借助于平方运算，所以熟记常用完全平方数对求一个数的算术平方根有着事半功倍的效果．知识点二 平方根的概念与性质精练版P111．定义：一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即x 2＝a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根(也叫做二次方根)．2．性质：一个正数有两个平方根；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．温馨提示：一个正数a 必有两个平方根，一个是a 的算术平方根a ，另一个是－a ，它们互为相反数，这两个平方根合起来可以记作±a ，读作“正、负根号a ”．例2 判断下列各数是否有平方根．若有，求出其平方根；若没有，请说明理由．解析：根据平方根的性质判断一个数是否有平方根；根据平方根的定义可直接化简求值．解：(1)因为169＞0，所以169有平方根．因为(±13)2＝169，所以169的平方根是±13，即±169＝±13.(2)因为(－1)2＝1＞0，所以(－1)2有平方根．因为(±1)2＝1，所以1的平方根是±1，即±（－1）2＝±1.(3)因为(－1)3＝－1＜0，所以(－1)3没有平方根．注意：判断一个数有没有平方根，就是确定该数的性质符号(是正数、负数或零)．知识点三开平方精练版P11定义：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，其中a叫做被开方数．温馨提示：(1)开平方时，被开方数a必须是非负数．(2)平方根是数，是开平方的结果；而开平方是一种运算，是求平方根的过程．(3)平方和开平方的关系是它们互为逆运算，可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确．例3(1)(16)2等于多少？(2)⎝⎛⎭⎫9252等于多少？(3)5.52等于多少？(4)（－2）2等于多少？解析：从算术平方根的定义出发，可直接推出结果．解：(1)(16)2＝42＝16.(2)⎝⎛⎭⎫9252＝⎝⎛⎭⎫352＝925.(3)5.52＝30.25＝5.5.(4)（－2）2＝4＝2.P111.a2＝|a|，即当a≥0时，a2＝a，当a＜0时，a2＝－a.2．(a)2＝a(a≥0)．温馨提示：(1)a的取值范围不同，公式(1)中a的取值可以是正数，可以是负数，也可以是0，而公式(2)中a的取值是非负数．(2)运算顺序不同，公式(1)中a先平方再开平方，而公式(2)中a先开平方再平方．例4求下列各式的值：(1)(7)2；(2)（－7）2；(3)（2－x）2(x＞2)．解析：对于a2与(a)2(a≥0)这两种形式要注意区分．解：(1)(7)2＝7.(3)因为x＞2，所以2－x＜0，所以（2－x）2＝|2－x|＝－(2－x)＝x－2.注意：运用a2＝|a|化简时，一定要先判断出a的符号，然后才能化简．易错点不完全理解题意而出错若“算术平方根”和“平方根”两个概念出现在一个题中，或在同一题中两次出现同一概念，应注意进行两步运算．如：求16的平方根时，先要计算16＝4，再求4的平方根．例536的算术平方根是________．解析：36＝6，6的算术平方根是6，所以36的算术平方根是6.答案：6注意：本题易将36的算术平方根误认为是36的算术平方根，而得到错误答案6.本题实际上是求6的算术平方根．3立方根知识点一立方根的概念与性质精练版P131．立方根的概念：一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3＝a，那么这个数x就叫做a的立方根或三次方根，例如：53＝125，则5是125的立方根．2．表示方法：数a的立方根用符号3a表示，读作“三次根号a”，其中a叫做被开方数，3是根指数．注意根指数“3”不能省略．3．立方根的性质：正数有一个正的立方根；负数有一个负的立方根；0的立方根是0.例1下列说法正确的是()A．64的立方根是2B．125216的立方根是±56C．(－1)2的立方根是－1D．－3是27的立方根解析：因为64＝8，所以64的立方根是2，故A选项正确．任何数只有一个立方根，排除B选项．正数的立方根为正数，故排除C，D选项．答案：A知识点二开立方精练版P131．定义：求一个数a的立方根的运算叫做开立方，a叫做被开方数．开立方与立方互为逆运算．2．重要公式：①(3a0)3＝3a3＝a；②3－a＝－3a.运用这两个公式求负数的立方根时，可先求出这个负数的绝对值的立方根，然后再取它的相反数即可，即三次根号内的负号可以移到根号外面．例如：3－125＝－3125＝－5.例2求下列各数的立方根：(1)30.064；(2)3－27.解：(1)30.064＝30.43＝0.4.(2)3－27＝3（－3）3＝－3.知识点三立方根与平方根的区别与联系精练版P131．区别：(1)平方根的根指数是2，能省略，立方根的根指数是3，不能省略．(2)平方根只有对非负数才有意义，而立方根对任何数都有意义，且每个数都只有一个立方根．(3)正数的平方根有两个，而正数的立方根只有一个．2．联系：(1)都与相应的乘方运算互为逆运算．(2)都可归结为非负数的非负方根来研究，平方根主要通过算术平方根来研究，而负数的立方根也可转化为正数的立方根来研究，即3－a＝－3a.例3一个数的平方等于64，则这个数的立方根是________．解析：因为(±8)2＝64，所以这个数为±8，3±8＝±2.答案：±2易错点错把3a的立方根当成a的立方根做开方运算时要认准被开方数，如求81的立方根，被开方数是81，而不是81.例4364的立方根是________．解析：因为364＝4，所以364的立方根是34.答案：3 4注意：本题容易把364的立方根误以为是64的立方根，从而得错解为4，解题时应先求出364＝4，再求4的立方根．4估算知识点一估算法确定无理数的大小精练版P171．估算是现实生活中一种常用的解决问题的方法．很多情况下需要去估算无理数的近似值，估算无理数经常用到“夹逼法”，即通过平方运算或立方运算，通过两边无限逼近，逐渐夹逼，确定其所在范围．于1m，答案在其值左右1m都符合题意，答案不唯一．一般情况下，误差小于1m就是估算到个位，误差小于10m就是估算到十位．例1870≈40正确吗？说明你的理由．解：因为402＝1600＞870，所以40＞870，且差别太大，所以870≈40不正确．知识点二比较两个无理数的大小的方法精练版P171．估算法：用估算法比较两个数的大小，一般至少有一个是无理数，在比较大小时，一般先采用分析的方法，估算出无理数的大致范围，再作具体比较．例2比较10－34与14的大小．解：因为3＜10＜4，所以0＜10－3＜1，所以0＜10－34＜14.2．求差法：若a－b＞0，则a＞b；若a－b＜0，则a＜b.对于上例：因为10－34－14＝10－44＜0(因为3＜10＜4)，所以10－34＜14.3．平方法(或立方法)：当比较两个带根号的无理数的大小时可用如下结论：若a＞b≥0，则a＞b；若a＞b，则3a＞3b.例3比较26和33的大小．解：因为(26)2＝24，(33)2＝27，所以26＜33.易错点比较两个含根号的无理数的大小时，误认为只比较被开方数的大小比较两个含根号的无理数的大小，可以先确定它们的整数部分，进行比较，若无法比较，则再估计十分位后比较，直到得出结论为止．也可将两数同时平方，比较平方后的数的大小即可得出结果．例4比较大小：27与72.解：因为2＜7＜3，所以4＜27＜6.因为72＞7，所以27＜72.[或(27)2＝28，(72)2＝98，28＜98，即27＜72]注意：解本题时易认为被开方数7大于2，而得到错误的答案27＞72，因为2＜7＜3，1＜2＜2，所以27＜6，72＞7，即27＜72.因此比较两个无理数的大小时要比较它们结果的大小，不能仅比较被开方数的大小．另外本题中2与7，7与2之间是乘积的关系．5 用计算器开方知识点一 利用计算器开方精练版P18 利用计算器开方按键顺序：用计算器开方⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧开平方⎩⎪⎨⎪⎧先按“□”键 再输入被开方数再按“＝”键最后按“S ⇔D ”键开立方⎩⎨⎧先按“SHIFT ”键再按“□”键再输入被开方数最后按“＝”键例1 用计算器求下列各式的值(结果精确到千分位)． (1)3.1；(2)35. 解：(1)按键顺序：□3·1＝S ⇔D ，显示1.760681…因为结果精确到千分位，所以答案为1.761. (2)按键顺序：SHIFT □5＝，显示1.709976…因为结果精确到千分位，所以答案为1.710. 知识点二 利用计算器进行较复杂的计算精练版P18此类问题要注意根号下相乘除(或相加减)的按键顺序，切记“π”值的按键顺序． 例2 求5×6－π的值．解：按照教材中型号的计算器的按键顺序为□5×6⊳－SHIFT×10x＝，则5×6－π的值显示的结果为2.335632921.注意：使用计算器进行混合运算时，在运算过程中，要按照算式的书写顺序从左到右按键输入算式，不同的计算器按键顺序有所不同，如有的计算器按照□（5×6）－SHIFT EXP＝的按键顺序显示2.335632921，按此方法按键要注意该加括号时加括号．易错点在求和、差、积、商的算术平方根或立方根时易出错在用计算器求和、差、积、商的算术平方根或立方根时，要注意按键顺序，在不同型号的计算器中按键顺序有所不同，有的要注意括号的作用，按键时要加括号．例3用计算器求7＋1的值．(精确到千分位)解：按键：□（7＋1）＝S⇔D，显示2.828427125，精确到千分位是2.828.注意：在求“和、差、积、商”的算术平方根、立方根时，特别容易出现错误，不同型号的计算器使用时按键顺序不同，有的容易漏掉括号等导致答案错误．6实数。
北师大版八年级上册教学案同庆初中教学设计（导学模式）学科：；任课班级：；任课教师：；年月日第一章勾股定理§1.1 探索勾股定理（一）教学目标：1、经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推力意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。
2、探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单的推理的意识及能力。
重点难点：重点：了解勾股定理的由来，并能用它来解决一些简单的问题。
难点：勾股定理的发现教学过程一、创设问题的情境，激发学生的学习热情，导入课题出示投影1 （章前的图文 p1）教师道白：介绍我国古代在勾股定理研究方面的贡献，并结合课本p5谈一谈，讲述我国是最早了解勾股定理的国家之一，介绍商高(三千多年前周期的数学家)在勾股定理方面的贡献。
出示投影2 （书中的P2 图1—2）并回答：1、观察图1-2，正方形A中有_______个小方格，即A的面积为______个单位。
正方形B中有_______个小方格，即A的面积为______个单位。
正方形C中有_______个小方格，即A的面积为______个单位。
2、你是怎样得出上面的结果的？在学生交流回答的基础上教师直接发问：3、图1—2中，A,B,C 之间的面积之间有什么关系？学生交流后形成共识，教师板书，A+B=C，接着提出图1—1中的A.B,C 的关系呢？二、做一做出示投影3（书中P3图1—4）提问：1、图1—3中，A,B,C 之间有什么关系？2、图1—4中，A,B,C 之间有什么关系?3、从图1—1，1—2，1—3，1|—4中你发现什么？学生讨论、交流形成共识后，教师总结：以三角形两直角边为边的正方形的面积和，等于以斜边的正方形面积。
三、议一议1、图1—1、1—2、1—3、1—4中，你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？2、你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？在同学的交流基础上，老师板书：直角三角形边的两直角边的平方和等于斜边的平方。
