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第四讲直线、平面平行的判定与性质ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE知识梳理·双基自测知识梳理知识点一直线与平面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件a∩α＝∅a⊂α，b⊄α，__a∥b____a∥α__a∥α，a⊂β，__α∩β＝b__结论a∥αb∥αa∩α＝∅__a∥b__知识点二面面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件__α∩β＝∅____a⊂β，b⊂β，____a∩b＝P，____a∥α，b∥α____α∥β，____α∩γ＝a，____β∩γ＝b__α∥β，a⊂β结论α∥βα∥βa∥b a∥α重要结论1．垂直于同一条直线的两个平面平行，即“若a⊥α，a⊥β，则α∥β”．2．垂直于同一个平面的两条直线平行，即“若a⊥α，b⊥α，则a∥b”．3．平行于同一个平面的两个平面平行，即“若α∥β，β∥γ，则α∥γ”．双基自测题组一走出误区1．(多选题)下列结论正确的是(BD)A．如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行B．如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面C．若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥αD．若α∥β，直线a⊂α，则a∥β题组二走进教材2．(必修2P58练习T3)设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是(D)A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α[解析]对于选项A，若存在一条直线a，a∥α，a∥β，则α∥β或α与β相交，若α∥β，则存在一条直线a，使得a∥α，a∥β，所以选项A的内容是α∥β的一个必要条件；同理，选项B，C的内容也是α∥β的一个必要条件而不是充分条件；对于选项D，可以通过平移把两条异面直线平移到—个平面中，成为相交直线，则有α∥β，所以选项D的内容是α∥β的一个充分条件．故选D．题组三考题再现3．(2019·课标全国Ⅱ)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是(B)A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面4．(2019·湖南长沙模拟)设a，b，c表示不同直线，α，β表示不同平面，给出下列命题：①若a∥c，b∥c，则a∥b；②若a∥b，b∥α，则a∥α；③若a∥α，b∥α，则a∥b；④若a⊂α，b⊂β，α∥β，则a∥b．其中真命题的个数是(A)A．1 B．2C．3 D．4[解析]只有①正确，故选A．5．(2019·福建师大附中期中)设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，以下命题正确的是(D)A ．若l ∥α，m ∥α，则l ⊥mB ．若l ∥α，m ⊥l ，则m ⊥αC ．若l ⊥α，m ⊥l ，则m ∥αD ．若l ⊥α，m ⊥α，则l ∥m[解析] 若l ∥α，m ∥α，则l ∥m 或l 与m 相交或l 与m 异面；若l ∥α，m ⊥l ，则m ∥α或m 与α相交；若l ⊥α，m ⊥l ，则m ∥α或m ⊂α，∴A 、B 、C 都错，选D ．KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU考点突破·互动探究考点一 空间平行关系的基本问题——自主练透例1 (1)(多选题)(2020·河南名校联盟质检改编)设有不同的直线a ，b 和不同的平面α，β，给出下列四个命题中，其中正确的是( CD )A ．若a ∥α，b ∥α，则a ∥bB ．若a ∥α，a ∥β，则α∥βC ．若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥bD ．若a ⊥α，a ⊥β，则α∥β(2)(2020·辽宁省沈阳市质监)下列三个命题在“( )”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题(其中l ，m 为直线，α，β为平面)，则此条件是__l ⊄α__．①⎭⎪⎬⎪⎫l ∥m m ∥α( )⇒l ∥α；②⎭⎪⎬⎪⎫m ⊂αl ∥m ( )⇒l ∥α；③⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥m m ⊥α( )⇒l ∥α．[解析] (1)对于A ，若a ∥α，b ∥α， 则直线a 和直线b 可以相交也可以异面，故A 错误；对于B ，若a ∥α，a ∥β，则平面a 和平面β可以相交，故B 错误；对于C ，若a ⊥α，b ⊥α，则根据线面垂直性质定理，a ∥b ，故C 正确；对于D ，若a ⊥α，a ⊥β，则α∥β成立；故选CD ．(2)①l ∥m ，m ∥α⇒l ∥α或l ⊂α，由l ⊄α⇒l ∥α；②l ⊄α，m ⊂α，l ∥m ⇒l ∥α；③l ⊥m ，m ⊥α⇒l ∥α或l ⊂α，由l ⊄α⇒l ∥α.故答案为l ⊄α．〔变式训练1〕(多选题)(2020·吉林省吉林市调研改编)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，则下列各直线、平面中，与平面ACD 1平行的是( ABD )A．直线EF B．直线GHC．平面EHF D．平面A1BC1[解析]首先直线EF、GH、A1B都不在平面ACD1内，由中点及正方体的性质知EF∥AC，GH∥A1C1∥AC，A1B∥D1C，∴直线EF，GH，A1B都与平面ACD1平行，又A1C1∥AC，由面面平行判定易知平面A1BC1∥平面ACD1，由EH∥AB1，AB1∩平面ACD1＝A，∴EH与平面ACD1相交，从而平面EHF与平面ACD1相交，∴C错，故选A、B、D．考点二直线与平面平行的判定与性质——多维探究角度1线面平行的判定例2(2019·辽宁抚顺模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为梯形，AB∥CD，∠BAD＝60°，PD＝AD＝AB＝2，CD＝4，E为PC的中点．(1)证明：BE∥平面P AD；(2)求三棱锥E－PBD的体积．[解析](1)证法一：如图，取PD的中点F，连接EF，F A．由题意知EF为△PDC的中位线，∴EF∥CD，且EF＝12CD＝2．又∵AB∥CD，AB＝2，CD＝4，∴AB綊EF，∴四边形ABEF为平行四边形，∴BE∥AF．又AF⊂平面P AD，BE⊄平面P AD，∴BE∥平面P AD．证法二：延长DA 、CB 相交于H ，连PH ，∵AB ∥CD ，AB ＝2，CD ＝4， ∴HB HC ＝AB DC ＝12， 即B 为HC 的中点，又E 为PC 的中点，∴BE ∥PH ，又BE ⊄平面P AD ，PH ⊂平面P AD ，∴BE ∥平面P AD ， 证法三：取CD 的中点H ，连BH ，HE ，∵E 为PC 中点，∴EH ∥PD ， 又EH ⊄平面P AD ，PD ⊂平面P AD ， ∴EH ∥平面P AD ，又由题意知AB 綊DH ，∴BH ∥AD ， 又AD ⊂平面P AD ，BH ⊄平面P AD ， ∴BH ∥平面P AD ，又BH ∩EH ＝H ， ∴平面BHE ∥平面P AD ，∴BE ∥平面P AD ． (2)∵E 为PC 的中点，∴V 三棱锥E －PBD ＝V 三棱锥E －BCD ＝12·V 三棱锥P －BCD ．又∵AD ＝AB ，∠BAD ＝60°，∴△ABD 为等边三角形，∴BD ＝AB ＝2．又∵CD＝4，∠BDC＝∠BAD＝60°，∴BD⊥BC．∴BC＝CD2－BD2＝23．∵PD⊥平面ABCD，∴三棱锥P－BCD的体积V三棱锥P－BCD＝13PD·S△BCD ＝13×2×12×2×23＝433，∴三棱锥E－PBD的体积V三棱锥E－PBD＝233．名师点拨☞判断或证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义(无公共点)．(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)．(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)．(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．注：线面平行的关键是线线平行，证明中常构造三角形中位线或平行四边形．角度2线面平行的性质例3如图，在多面体ABCDEF中，DE⊥平面ABCD，AD∥BC，平面BCEF∩平面ADEF＝EF，∠BAD＝60°，AB＝2，DE＝EF＝1．(1)求证：BC∥EF；(2)求三棱锥B－DEF的体积．[解析](1)证明：∵AD∥BC，AD⊂平面ADEF，BC⊄平面ADEF，∴BC∥平面ADEF．又BC⊂平面BCEF，平面BCEF∩平面ADEF＝EF，∴BC∥EF．(2)过点B作BH⊥AD于点H，∵DE ⊥平面ABCD ，BH ⊂平面ABCD ，∴DE ⊥BH ． ∵AD ⊂平面ADEF ，DE ⊂平面ADEF ，AD ∩DE ＝D ， ∴BH ⊥平面ADEF ．∴BH 是三棱锥B －DEF 的高．在Rt △ABH 中，∠BAD ＝60°，AB ＝2，故BH ＝3． ∵DE ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，∴DE ⊥AD ． 由(1)知BC ∥EF ，且AD ∥BC ， ∴AD ∥EF ，∴DE ⊥EF ．∴三棱锥B －DEF 的体积V ＝13×S △DEF ×BH ＝13×12×1×1×3＝36．名师点拨 ☞空间中证明两条直线平行的常用方法(1)利用线面平行的性质定理，即a ∥α，a ⊂β，α∩β＝b ⇒a ∥b ． (2)利用平行公理推论：平行于同一直线的两条直线互相平行． (3)利用垂直于同一平面的两条直线互相平行． 〔变式训练2〕(1)(角度2)如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和P A 作平面P AHG 交平面BMD 于GH ．求证：P A ∥GH ．(2)(角度1)(2019·贵州黔东南州二模)在四棱锥P －ABCD 中，四边形ABCD 是矩形，平面P AB ⊥平面ABCD ，点E ，F 分别为BC ，AP 的中点．①求证：EF∥平面PCD；②若AD＝AP＝PB＝22AB＝1.求三棱锥P－DEF的体积．[解析](1)证明：如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO，∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，又M是PC的中点，∴P A∥MO．又MO⊂平面BMD，P A⊄平面BMD，∴P A∥平面BMD．∵平面P AHG∩平面BMD＝GH，P A⊂平面P AHG，∴P A∥GH．(2)①证明：如图，取PD中点G，连接GF，GC．在△P AD中，G，F分别为PD，AP的中点，∴GF綊12AD．在矩形ABCD中，E为BC的中点，∴CE 綊12AD ，∴GF 綊EC ，∴四边形EFGC 是平行四边形，∴GC ∥EF ． ∵GC ⊂平面PCD ，EF ⊄平面PCD ， ∴EF ∥平面PCD ． ②∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ⊥AB ，AD ∥BC ．又AD ⊂平面P AD ，BC ⊄平面P AD ， ∴BC ∥平面P AD ．∵平面P AB ⊥平面ABCD ，平面P AB ∩平面ABCD ＝AB ，AD ⊂平面ABCD ， ∴AD ⊥平面P AB ，∴AD ⊥BP ，平面P AD ⊥平面P AB ． AD ＝AP ＝PB ＝22AB ＝1， ∵AB ＝2，∴AP 2＋PB 2＝AB 2， ∴AP ⊥BP .∵AD ∩AP ＝A ，∴BP ⊥平面P AD ．∵BC ∥平面P AD ，∴点E 到平面P AD 的距离等于点B 到平面P AD 的距离． ∵S △PDF ＝12PF ·AD ＝12×12×1＝14，∴V 三棱锥P －DEF ＝V 三棱锥E －PDF ＝13S △PDF ·BP ＝13×14×1＝112，∴ 三棱锥P －DEF 的体积为112．考点三 空间两个平面平行的判定与性质——师生共研例4 如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EF A1∥平面BCHG．[证明](1)因为G，H分别是A1B1，A1C1的中点，所以GH∥B1C1，又B1C1∥BC，所以GH∥BC，所以B，C，H，G四点共面．(2)在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，所以EF∥BC，因为EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，所以EF∥平面BCHG．又因为G，E分别为A1B1，AB的中点，所以A1G綊EB，所以四边形A1EBG是平行四边形，所以A1E∥GB．因为A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，所以A1E∥平面BCHG．又因为A1E∩EF＝E，所以平面EF A1∥平面BCHG．[引申1]在本例条件下，若D为BC1的中点，求证：HD∥平面A1B1BA．[证明]如图所示，连接HD，A1B，因为D为BC1的中点，H为A1C1的中点，所以HD∥A1B，又HD⊄平面A1B1BA，A1B⊂平面A1B1BA，所以HD∥平面A1B1BA．[引申2]在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D．[证明]如图所示，连接A1C交AC1于点M，因为四边形A1ACC1是平行四边形，所以M是A1C的中点，连接MD，因为D为BC的中点，所以A1B∥DM．因为A1B⊂平面A1BD1，DM⊄平面A1BD1，所以DM∥平面A1BD1．又由三棱柱的性质知，D1C1綊BD，所以四边形BDC1D1为平行四边形，所以DC1∥BD1．又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1，所以DC1∥平面A1BD1，又因为DC1∩DM＝D，DC1，DM⊂平面AC1D，所以平面A1BD1∥平面AC1D．名师点拨☞证明面面平行的方法有(1)面面平行的定义．(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(3)利用“垂直于同一条直线的两个平面平行”．(4)如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．〔变式训练3〕(2019·南昌模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD ＝60°，P A⊥平面ABCD，P A＝2，AB＝1.设M，N分别为PD，AD的中点．(1)求证：平面CMN∥平面P AB；(2)求三棱锥P－ABM的体积．[解析](1)证明：∵M，N分别为PD，AD的中点，∴MN∥P A，又MN⊄平面P AB，P A⊂平面P AB，∴MN∥平面P AB．在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，CN＝AN，∴∠ACN＝60°．又∠BAC＝60°，∴CN∥AB．∵CN⊄平面P AB，AB⊂平面P AB，∴CN∥平面P AB．又CN∩MN＝N，CN，MN⊂平面CMN，∴平面CMN∥平面P AB．(2)由(1)知，平面CMN∥平面P AB，∴点M到平面P AB的距离等于点C到平面P AB的距离．∵AB＝1，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，∴BC＝3，∴三棱锥P－ABM的体积V＝V M－P AB＝V C－P AB＝V P－ABC＝13×12×1×3×2＝33．MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG名师讲坛·素养提升平行中的探索性问题求解策略例5(2019·湖南雅礼中学联考)如图，在等腰梯形ABCD中，已知BC∥AD，AB ＝2，BC＝1，AD＝3，BP⊥AD，垂足为P，将△ABP沿BP折起，使平面ABP⊥平面PBCD，连接AD，AC，M为棱AD的中点，连接CM．(1)试分别在PB，CD上确定点E，F，使平面MEF∥平面ABC；(2)求三棱锥A－PCM的体积．[解析](1)E，F分别为BP，CD的中点时，可使平面MEF∥平面ABC，证明如下：取BP的中点E，CD的中点F，连接ME，MF，EF．∵M，F分别为AD，CD的中点，∴MF∥AC．又E为BP的中点，且四边形PBCD为梯形，∴EF∥BC．∵MF∩EF＝F，AC∩BC＝C，∴平面MEF∥平面ABC．(2)∵平面ABP⊥平面PBCD，平面ABP∩平面PBCD＝BP，AP⊥BP，∴AP⊥平面PBCD，取PD的中点E′，连接AE′，ME′，E′C．易知ME′∥AP，PE′＝1，CE′＝1，AP＝1．∴V M－APC＝V E′－P AC，又V A－PCM＝V M－APC，且V A－PCE′＝V E′－APC，∴V A－PCM＝V A－PCE′＝13S△PCE′·AP＝13×12PE′·E′C·AP＝16，∴三棱锥A－PCM的体积为16．名师点拨☞平行中的探索性问题(1)对命题条件的探索常采用以下三种方法：①先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性；③把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件．(2)对命题结论的探索常采用以下方法：首先假设结论存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论，就肯定假设，如果得到了矛盾的结论，就否定假设．〔变式训练4〕在三棱柱ABC－A1B1C1的棱BC上是否存在一点H，使A1B∥平面AC1H？并证明．[解析]BC上存在点H(即BC的中点)使A1B∥平面AC1H．证明如下：连A1C交AC1于O，则O为A1C的中点连HO，又H为BC的中点，∴HO∥A1B，又OH⊂平面AHC1，A1B⊄平面AHC1，∴A1B∥平面AC1H．。
第八章立体几何第四节直线、平面平行的判定及性质A级·基础过关|固根基|1.已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A 若m⊄α，n⊂α，m∥n，由线面平行的判定定知m∥α.若m∥α，m⊄α，n⊂α，不一定推出m∥n，直线m与n可能异面，故“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件．故选A.2．已知直线l，m，平面α，β，γ，则下列条件能推出l∥m的是( )A．l⊂α，m⊂β，α∥βB．α∥β，α∩γ＝l，β∩γ＝mC．l∥α，m⊂αD．l⊂α，α∩β＝m解析：选B 选项A中，直线l，m也可能异面；选项B中，根据面面平行的性质定理，可推出l∥m，B正确；选项C中，直线l，m也可能异面；选项D中，直线l，m也可能相交．故选B.3．(2019届长沙市统一模拟)设a，b，c表示不同直线，α，β表示不同平面，下列命题：①若a∥c，b∥c，则a∥b；②若a∥b，b∥α，则a∥α；③若a∥α，b∥α，则a∥b；④若a⊂α，b⊂β，α∥β，则a∥b.真命题的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4解析：选A 由题意，对于①，根据线线平行的传递性可知①是真命题；对于②，根据a∥b，b∥α，可以推出a∥α或a⊂α，故②是假命题；对于③，根据a∥α，b∥α，可以推出a 与b平行、相交或异面，故③是假命题；对于④，根据a⊂α，b⊂β，α∥β，可以推出a∥b或a与b异面，故④是假命题．所以真命题的个数是1.故选A.4.如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分别为BC，CD的中点，则( )A．BD∥平面EFGH，且四边形EFGH是矩形B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形解析：选B 由AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4知，EF 15BD，又EF⊄平面BCD，所以EF∥平面BCD.又H，G分别为BC，CD的中点，所以HG 12BD，所以EF∥HG且EF≠HG.所以四边形EFGH是梯形．5.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝2a3，则MN与平面BB1C1C的位置关系是( )A．相交B．平行C ．垂直D ．不能确定解析：选B 由题意可得A 1M ＝13A 1B ，AN ＝13AC ，所以分别取BC ，BB 1上的点P ，Q ，使得CP ＝23BC ，BQ ＝23BB 1，连接MQ ，NP ，PQ ，则MQ23B 1A 1，NP23AB ，又B 1A 1AB ，故MQNP ，所以四边形MQPN 是平行四边形，则MN ∥QP ，QP ⊂平面BCC 1B 1，MN ⊄平面BCC 1B 1，则MN ∥平面BCC 1B 1，故选B.6．设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ⊂α，n ∥α，则m ∥n ； ②若α∥β，β∥γ，m ⊥α，则m ⊥γ； ③若α∩β＝n ，m ∥n ，m ∥α，则m ∥β； ④若m ∥α，n ∥β，m ∥n ，则α∥β.其中是真命题的是________(填上正确命题的序号)．解析：①m ∥n 或m ，n 异面，故①错误；易知②正确；③m ∥β 或m ⊂β，故③错误；④α∥β或α与β相交，故④错误．答案：②7.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，E 为AD 的中点，点F 在CD 上，若EF ∥平面AB 1C ，则EF ＝________．解析：根据题意，因为EF ∥平面AB 1C ，所以EF ∥AC .又E 是AD 的中点，所以F 是CD 的中点．因为在Rt △DEF 中，DE ＝DF ＝1，故EF ＝2.答案：28.如图，平面α∥平面β，△ABC ，△A ′B ′C ′分别在α，β内，线段AA ′，BB ′，CC ′相交于点O ，O 在α，β之间，若AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝60°，OA ∶OA ′＝3∶2，则△A ′B ′C ′的面积为________．解析：相交直线AA ′，BB ′所在平面和两平行平面α，β相交于AB ，A ′B ′，所以AB ∥A ′B ′.同理BC ∥B ′C ′，CA ∥C ′A ′.所以△ABC 与△A ′B ′C ′的三内角相等，所以△ABC ∽△A ′B ′C ′，A ′B ′AB＝OA ′OA＝23.又因为S △ABC ＝12×2×1×32＝32，所以S △A ′B ′C ′＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝32×49＝239. 答案：2399．(2020届广东七校联考)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝1，AD ＝23，CD ＝4，E 为CD 的中点．(1)求证：AE ∥平面PBC ； (2)求三棱锥C －PBE 的体积．解：(1)证明：∵AB ＝3，BC ＝1，∠ABC ＝90°，∴AC ＝2，∠BCA ＝60°. 在△ACD 中，AD ＝23，AC ＝2，CD ＝4，∴AC 2＋AD 2＝CD 2，∴∠CAD ＝90°，则△ACD 是直角三角形． 又E 为CD 的中点，∴AE ＝12CD ＝CE ＝2，∴△ACE 是等边三角形，∴∠CAE ＝60°，∴∠CAE ＝60°＝∠BCA ，∴BC ∥AE .又AE ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，∴AE ∥平面PBC . (2)∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA ⊥底面BCE ， ∴PA 为三棱锥P －BCE 的高．∵∠BCA ＝60°，∠ACD ＝60°，∴∠BCE ＝120°. 又BC ＝1，CE ＝2，∴S △BCE ＝12×BC ×CE ×sin ∠BCE ＝12×1×2×32＝32，∴V 三棱锥C －PBE ＝V 三棱锥P －BCE ＝13×S △BCE ×PA ＝13×32×2＝33.10.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，S 是B 1D 1的中点，E ，F ，G 分别是BC ，DC ，SC 的中点，求证：(1)EG ∥平面BDD 1B 1； (2)平面EFG ∥平面BDD 1B 1. 证明：(1)如图，连接SB ，在△SBC 中，因为E ，G 分别是BC ，SC 的中点， 所以EG ∥SB .又因为SB ⊂平面BDD 1B 1，EG ⊄平面BDD 1B 1，所以EG∥平面BDD1B1.(2)连接SD，因为F，G分别是DC，SC的中点，所以FG∥SD.又因为SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，所以FG∥平面BDD1B1，又EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，所以平面EFG∥平面BDD1B1.B级·素养提升|练能力|11.如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列说法中，错误的为( )A．AC⊥BDB．AC＝BDC．AC∥截面PQMND．异面直线PM与BD所成的角为45°解析：选B 因为截面PQMN是正方形，所以PQ∥MN，QM∥PN，则PQ∥平面ACD，QM∥平面BDA，所以PQ∥AC，QM∥BD，由PQ⊥QM，可得AC⊥BD，故A正确；由PQ∥AC，可得AC∥截面PQMN，故C正确；由BD∥PN，所以∠MPN(或其补角)是异面直线PM与BD所成的角，且为45°，故D正确；由上面可知，BD ∥PN ，MN ∥AC . 所以PN BD ＝AN AD，MN AC＝DN AD，而AN ≠DN ，PN ＝MN ， 所以BD ≠AC ，故B 错误．故选B. 12.如图所示，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别是棱CC 1，C 1D 1，D 1D ，DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 只需满足条件________时，就有MN ∥平面B 1BDD 1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)解析：连接HN ，FH ，FN ，则FH ∥DD 1，HN ∥BD ，所以平面FHN ∥平面B 1BDD 1，只需M ∈FH ，则MN ⊂平面FHN ，所以MN ∥平面B 1BDD 1.答案：点M 在线段FH 上(或点M 与点H 重合)13．(2020届成都模拟)如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ＝PD ，AB ＝AD ，PA ⊥PD ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝60°，M ，N 分别为AD ，PA 的中点．(1)证明：平面BMN ∥平面PCD ；(2)若AD ＝6，求三棱锥P －BMN 的体积．解：(1)证明：如图，连接BD .∵AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，∴△ABD 为正三角形．∵M 为AD的中点，∴BM⊥AD.∵AD⊥CD，CD，BM⊂平面ABCD，∴BM∥CD.又BM⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，∴BM∥平面PCD.∵M，N分别是AD，PA的中点，∴MN∥PD.又MN⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，∴MN∥平面PCD.又BM，MN⊂平面BMN，BM∩MN＝M，∴平面BMN∥平面PCD.(2)在(1)中已证BM⊥AD.∵平面PAD⊥平面ABCD，BM⊂平面ABCD，∴BM⊥平面PAD.又AD＝6，∠BAD＝60°，∴BM＝3 3.∵M，N分别是AD，PA的中点，PA＝PD＝22AD＝32，∴△PMN的面积S△PMN＝14S△PAD＝14×12×(32)2＝94.∴三棱锥P－BMN的体积V P－BMN＝V B－PMN＝13S△PMN·BM＝13×94×33＝934.14．在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和四边形ACC1A1都为矩形．设D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使DE∥平面A1MC？请证明你的结论．解：存在点M为线段AB的中点，使DE∥平面A1MC，证明如下：如图，取线段AB的中点M，连接A1M，MC，A1C，AC1，设O为A1C与AC1的交点．由已知，O为AC1，A1C的中点．连接MD，OE，OM，则MD，OE分别为△ABC，△ACC1的中位线，所以MD 12AC，OE12AC，因此MD OE.从而四边形MDEO为平行四边形，则DE∥MO.因为DE⊄平面A1MC，MO⊂平面A1MC，所以DE∥平面A1MC.即线段AB上存在一点M(线段AB的中点)，使DE∥平面A1MC.。
第3讲直线、平面平行的判定与性质一、知识梳理1．直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行)因为l∥a，aα，l⊆/α，所以l∥α性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)因为l∥α，lβ，α∩β＝b，所以l∥b2.平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)因为a∥β，b∥β，a∩b＝P，aα，bα，所以α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线因为α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，平行所以a∥b常用结论牢记线面平行、面面平行的七个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.(3)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．(4)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(5)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．(6)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．(7)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行．二、教材衍化1．下列命题中正确的是()A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行C．平行于同一条直线的两个平面平行D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊆/α，则b∥α解析：选D.A错误，a可能在经过b的平面内；B错误，a与α内的直线平行或异面；C错误，两个平面可能相交；D正确，由a∥α，可得a平行于经过直线a的平面与α的交线c，即a∥c，又a∥b，所以b∥c，bα，cα，所以b∥α.2．平面α∥平面β的一个充分条件是()A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，aα，a∥βC．存在两条平行直线a，b，aα，bβ，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a，b，aα，bβ，a∥β，b∥α解析：选D.若α∩β＝l，a∥l，aα，aβ，a∥α，a∥β，故排除A.若α∩β＝l，a α，a∥l，则a∥β，故排除B.若α∩β＝l，aα，a∥l，bβ，b∥l，则a∥β，b∥α，故排除C.3．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面AEC的位置关系为________．解析：连接BD，设BD∩AC＝O，连接EO，在△BDD1中，E为DD1的中点，O为BD的中点，所以EO为△BDD1的中位线，则BD1∥EO，而BD1⊆/平面ACE，EO平面ACE，所以BD1∥平面ACE.答案：平行一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．()(2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线．()(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．()(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．()(5)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.()(6)若α∥β，直线a∥α，则a∥β.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√(5)×(6)×二、易错纠偏常见误区|Ｋ(1)对空间平行关系的转化条件理解不够致误；(2)对面面平行判定定理的条件“平面内两相交直线”认识不清致误；(3)对面面平行性质定理理解不深致误．1．若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B∈β，则在平面β内且过B点的所有直线中()A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在唯一的与a平行的直线解析：选A.当直线a在平面β内且过B点时，不存在与a平行的直线．故选A.2．下列条件中，能判断两个平面平行的是________．①一个平面内的一条直线平行于另一个平面；②一个平面内的两条直线平行于另一个平面；③一个平面内有无数条直线平行于另一个平面；④一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面．解析：由两个平面平行的判定定理可知，如果一个平面内的两条相交直线与另外一个平面平行，那么这两个平面平行．显然只有④符合条件．答案：④3．如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________．解析：因为平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，所以EF∥HG.同理EH∥FG，所以四边形EFGH是平行四边形．答案：平行四边形线面平行的判定与性质(多维探究)角度一直线与平面平行的判定如图所示，斜三棱柱ABC-A1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1的中点．(1)证明：AD1∥平面BDC1；(2)证明：BD∥平面AB1D1.【证明】(1)因为D1，D分别为A1C1，AC的中点，四边形ACC1A1为平行四边形，所以C1D1綊DA，所以四边形ADC1D1为平行四边形，所以AD1∥C1D，又AD1⊆/平面BDC1，C1D平面BDC1，所以AD1∥平面BDC1.(2)连接D1D，因为BB1∥平面ACC1A1，BB1平面BB1D1D，平面ACC1A1∩平面BB1D1D＝D1D，所以BB1∥D1D，又因为D1，D分别为A1C1，AC的中点，所以DD1綊AA1，所以BB1＝AA1＝DD1，故四边形BDD1B1为平行四边形，所以BD∥B1D1，又BD⊆/平面AB1D1，B1D1平面AB1D1，所以BD∥平面AB1D1.角度二直线与平面平行的性质如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217，点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC ∥平面GEFH.(1)证明：GH∥EF；(2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积．【解】(1)证明：因为BC∥平面GEFH，BC平面PBC，且平面PBC∩平面GEFH＝GH ，所以GH ∥BC .同理可证EF ∥BC ， 因此GH ∥EF .(2)连接AC ，BD 交于点O ，BD 交EF 于点K ，连接OP ，GK . 因为P A ＝PC ，O 是AC 的中点，所以PO ⊥AC ，同理可得PO ⊥BD .又BD ∩AC ＝O ，且AC ，BD 都在底面ABCD 内，所以PO ⊥底面ABCD .又因为平面GEFH ⊥平面ABCD ，且PO ⊆/平面GEFH ，所以PO ∥平面GEFH .因为平面PBD ∩平面GEFH ＝GK ， 所以PO ∥GK ，所以GK ⊥底面ABCD ， 从而GK ⊥EF .所以GK 是梯形GEFH 的高．由AB ＝8，EB ＝2得EB ∶AB ＝KB ∶DB ＝1∶4， 从而KB ＝14DB ＝12OB ，即K 为OB 的中点．再由PO ∥GK 得GK ＝12PO ，且G 是PB 的中点，所以GH ＝12BC ＝4.由已知可得OB ＝42，PO ＝PB 2－OB 2＝68－32＝6， 所以GK ＝3. 易得EF ＝BC ＝8，故四边形GEFH 的面积S ＝GH ＋EF 2·GK ＝4＋82×3＝18.判断或证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义(无公共点)． (2)利用线面平行的判定定理(a ⊆/α，b α，a ∥b ⇒a ∥α)．(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，aα⇒a ∥β)．(4)利用面面平行的性质(α∥β，a ⊆/α，a ⊆/β，a ∥α⇒a ∥β)．1．如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是( )解析：选A.对于选项B ，如图所示，连接CD ，因为AB ∥CD ，M ，Q 分别是所在棱的中点，所以MQ ∥CD ，所以AB ∥MQ ，又AB ⊆/平面MNQ ，MQ 平面MNQ ，所以AB ∥平面MNQ .同理可证选项C ，D 中均有AB ∥平面MNQ .故选A.2．如图，四棱锥P -ABCD 中AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ，E ，F ，H 分别为线段AD ，PC ，CD 的中点，AC 与BE 交于O 点，G 是线段OF 上一点．(1)求证：AP ∥平面BEF ； (2)求证：GH ∥平面P AD .证明：(1)连接EC ，因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以BC 綊AE ，所以四边形ABCE 是平行四边形，所以O 为AC 的中点． 又因为F 是PC 的中点， 所以FO ∥AP ， FO平面BEF ，AP ⊆/平面BEF ，所以AP ∥平面BEF .(2)连接FH ，OH ，因为F ，H 分别是PC ，CD 的中点，所以FH∥PD，所以FH∥平面P AD.又因为O是BE的中点，H是CD的中点，所以OH∥AD，所以OH∥平面P AD.又FH∩OH＝H，所以平面OHF∥平面P AD.又因为GH平面OHF，所以GH∥平面P AD.面面平行的判定与性质(典例迁移)如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EF A1∥平面BCHG.【证明】(1)因为G，H分别是A1B1，A1C1的中点，所以GH∥B1C1，又B1C1∥BC，所以GH∥BC，所以B，C，H，G四点共面．(2)在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，所以EF∥BC，因为EF⊆/平面BCHG，BC平面BCHG，所以EF∥平面BCHG.又因为G，E分别为A1B1，AB的中点，所以A1G綊EB，所以四边形A1EBG是平行四边形，所以A1E∥GB.因为A1E⊆/平面BCHG，GB平面BCHG，所以A1E∥平面BCHG.又因为A1E∩EF＝E，所以平面EF A1∥平面BCHG.【迁移探究1】(变条件)在本例条件下，若D为BC1的中点，求证：HD∥平面A1B1BA.证明：如图所示，连接HD，A1B，因为D为BC1的中点，H为A1C1的中点，所以HD∥A1B，又HD⊆/平面A1B1BA，A 1B平面A1B1BA，所以HD∥平面A1B1BA.【迁移探究2】(变条件)在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.证明：如图所示，连接A1C交AC1于点M，因为四边形A1ACC1是平行四边形，所以M是A1C的中点，连接MD，因为D为BC的中点，所以A1B∥DM.因为A1B平面A1BD1，DM⊆/平面A1BD1，所以DM∥平面A1BD1.又由三棱柱的性质知，D1C1綊BD，所以四边形BDC1D1为平行四边形，所以DC1∥BD1.又DC1⊆/平面A1BD1，BD1平面A1BD1，所以DC1∥平面A1BD1，又因为DC1∩DM＝D，DC1，DM平面AC1D，所以平面A 1BD 1∥平面AC 1D .证明面面平行的常用方法(1)面面平行的定义．(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化进行证明．1.如图，AB ∥平面α∥平面β，过A ，B 的直线m ，n 分别交α，β于C ，E 和D ，F ，若AC ＝2，CE ＝3，BF ＝4，则BD 的长为( )A.65 B ．75C.85D ．95解析：选C.由AB ∥α∥β，易证 AC CE ＝BD DF .即AC AE ＝BD BF， 所以BD ＝AC ·BF AE ＝2×45＝85.2.如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，S 是B 1D 1的中点，E ，F ，G 分别是BC ，DC ，SC 的中点，求证：(1)直线EG ∥平面BDD 1B 1； (2)平面EFG ∥平面BDD 1B 1. 证明：(1)如图，连接SB ，因为E ，G 分别是BC ，SC 的中点， 所以EG ∥SB .又因为SB平面BDD1B1，EG⊆/平面BDD1B1，所以直线EG∥平面BDD1B1.(2)连接SD，因为F，G分别是DC，SC的中点，所以FG∥SD.又因为SD平面BDD1B1，FG⊆/平面BDD1B1，所以FG∥平面BDD1B1，又EG平面EFG，FG平面EFG，EG∩FG＝G，所以平面EFG∥平面BDD1B1.平行关系中的探索性问题(师生共研)如图，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的点．(1)当A1D1D1C1等于何值时，BC1∥平面AB1D1?(2)若平面BC1D∥平面AB1D1，求ADDC的值．【解】(1)如图，取D1为线段A1C1的中点，此时A1D1D1C1＝1，连接A1B交AB1于点O，连接OD1.由棱柱的性质，知四边形A1ABB1为平行四边形，所以点O为A1B的中点．在△A1BC1中，点O，D1分别为A1B，A1C1的中点，所以OD1∥BC1.又因为OD 1平面AB 1D 1，BC 1⊆/平面AB 1D 1，所以BC 1∥平面AB 1D 1. 所以当A 1D 1D 1C 1＝1时，BC 1∥平面AB 1D 1. (2)由已知，平面BC 1D ∥平面AB 1D 1， 且平面A 1BC 1∩平面BDC 1＝BC 1， 平面A 1BC 1∩平面AB 1D 1＝D 1O . 因此BC 1∥D 1O ，同理AD 1∥DC 1. 因为A 1D 1D 1C 1＝A 1O OB ，A 1D 1D 1C 1＝DC AD.又因为A 1O OB ＝1，所以DC AD ＝1，即AD DC＝1.解决探索性问题的方法(1)根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在这个假设下进行推理论证，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设．(2)按类似于分析法的格式书写步骤：从结论出发“要使……成立”“只需使……成立”．(一题多解)如图，四棱锥E -ABCD ，平面ABCD ⊥平面ABE ，四边形ABCD为矩形，AD ＝6，AB ＝5，BE ＝3，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE .(1)求证：AE ⊥BE ；(2)设M 在线段DE 上，且满足EM ＝2MD ，试在线段AB 上确定一点N ，使得MN ∥平面BCE ，并求MN 的长．解：(1)证明：因为四边形ABCD 为矩形，所以BC ⊥AB . 因为平面ABCD ⊥平面ABE ，平面ABCD ∩平面ABE ＝AB ，且BC 平面ABCD ，所以BC ⊥平面ABE .又AE平面ABE ，所以BC ⊥AE .因为BF ⊥平面ACE ，AE 平面ACE ，所以BF ⊥AE .又因为BC ∩BF ＝B ，BC 平面BCE ，BF 平面BCE ，所以AE ⊥平面BCE ， 因为BE平面BCE ，所以AE ⊥BE .(2)法一：如图，在△ADE 中过M 点作MG ∥AD 交AE 于G 点，在△ABE 中过G 点作GN ∥BE 交AB 于N 点，连接MN ，因为NG ∥BE ，NG ⊆/平面BCE ，BE 平面BCE ，所以NG ∥平面BCE . 同理可证，GM ∥平面BCE . 因为MG ∩GN ＝G ， 所以平面MGN ∥平面BCE ， 又因为MN平面MGN ，所以MN ∥平面BCE ，因为N 点为线段AB 上靠近A 点的一个三等分点， AD ＝6，AB ＝5，BE ＝3，所以MG ＝23AD ＝4，NG ＝13BE ＝1，所以MN ＝MG 2＋NG 2＝42＋12＝17.法二：如图，过M 点作MG ∥CD 交CE 于G 点，连接BG ，在AB 上取N 点，使得BN ＝MG ，连接MN ，因为MG ∥CD ，EM ＝2MD ， 所以MG ＝23CD ，因为AB ∥CD ，BN ＝MG ， 所以四边形MGBN 是平行四边形， 所以MN ∥BG ，又因为MN ⊆/平面BCE ，BG平面BCE ，所以MN ∥平面BCE ，又MG ＝23CD ，MG ＝BN ，所以BN ＝23AB ，所以N 点为线段AB 上靠近A 点的一个三等分点．在△CBG 中，因为BC ＝AD ＝6，CG ＝13CE ＝1362＋32＝5，cos ∠BCG ＝255，所以BG 2＝36＋5－2×6×5×255＝17， 所以MN ＝BG ＝17.[基础题组练]1．(2020·河北衡水模拟一)已知m ，n 为两条不重合直线，α，β为两个不重合平面，下列条件中，α∥β的充分条件是( )A ．m ∥n ，mα，n β B ．m ∥n ，m ⊥α，n ⊥βC ．m ⊥n ，m ∥α，n ∥βD ．m ⊥n ，m ⊥α，n ⊥β解析：选B.对于A ，两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，这两个平面可能平行， 也可能相交，因此A 中条件不是α∥β的充分条件；对于B ，因为m ∥n ，m ⊥α，所以n ⊥α，结合n ⊥β，知α∥β，因此B 中条件是α∥β的充分条件；对于C ，由m ⊥n ，m ∥α知nα，或n ∥α，或n 与α相交，结合n ∥β，知α，β可能平行，也可能相交，所以C 中条件不是α∥β的充分条件；对于D ，由m ⊥n ，m ⊥α知n α，或n ∥α，结合n ⊥β，知α⊥β，所以D 中条件不是α∥β的充分条件．综上可知．选B.2．(2020·江西红色七校联考)设m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是( )A ．若m ∥n ，n α，则m ∥αB ．若mα，nβ，α∥β，则m ∥nC ．若α∥β，m ⊥α，则m ⊥βD ．若mα，nβ，m ∥β，n ∥α，则α∥β解析：选C.若m ∥n ，n α，则m ∥α或m α，所以选项A 不正确；若mα，nβ，α∥β，则m ∥n 或m 与n 异面，所以选项B 不正确；若m α，nβ，m ∥β，n ∥α，则α∥β或α与β相交，所以选项D 不正确．故选C.3．(2020·湖南长沙模拟)设a ，b ，c 表示不同直线，α，β表示不同平面，下列命题： ①若a ∥c ，b ∥c ，则a ∥b ； ②若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α； ③若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ； ④若aα，b β，α∥β，则a ∥b .其中真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选A.由题意，对于①，根据线线平行的传递性可知①是真命题；对于②，根据a ∥b ，b ∥α，可以推出a ∥α或aα，故②是假命题；对于③，根据a ∥α，b ∥α，可以推出a与b 平行，相交或异面，故③是假命题；对于④，根据aα，bβ，α∥β，可以推出a ∥b 或a 与b 异面，故④是假命题．所以真命题的个数是1.故选A.4.如图所示，在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别为边AB ，AD 上的点，且AE ∶EB ＝AF ∶FD ＝1∶4，又H ，G 分别为BC ，CD 的中点，则( )A ．BD ∥平面EFGH ，且四边形EFGH 是矩形B ．EF ∥平面BCD ，且四边形EFGH 是梯形C ．HG ∥平面ABD ，且四边形EFGH 是菱形 D ．EH ∥平面ADC ，且四边形EFGH 是平行四边形解析：选B.由AE ∶EB ＝AF ∶FD ＝1∶4知EF 綊15BD ，又EF ⊆/平面BCD ，所以EF ∥平面BCD .又H ，G 分别为BC ，CD 的中点，所以HG 綊12BD ，所以EF ∥HG 且EF ≠HG .所以四边形EFGH 是梯形．5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，给出下列四个推断：①FG∥平面AA1D1D；②EF∥平面BC1D1；③FG∥平面BC1D1；④平面EFG∥平面BC1D1.其中推断正确的序号是()A．①③B．①④C．②③D．②④解析：选A.因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，所以FG∥BC1，因为BC1∥AD1，所以FG∥AD1，因为FG⊄平面AA1D1D，AD1⊂平面AA1D1D，所以FG∥平面AA1D1D，故①正确；因为EF∥A1C1，A1C1与平面BC1D1相交，所以EF与平面BC1D1相交，故②错误；因为E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，所以FG∥BC1，因为FG⊆/平面BC1D1，BC1平面BC1D1，所以FG∥平面BC1D1，故③正确；因为EF与平面BC1D1相交，所以平面EFG与平面BC1D1相交，故④错误．故选A.6．在四面体A-BCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________．解析：如图，取CD的中点E，连接AE，BE，则EM∶MA＝1∶2，EN∶BN＝1∶2，所以MN∥AB.因为AB平面ABD，MN⊆/平面ABD，AB平面ABC，MN⊆/平面ABC，所以MN∥平面ABD，MN∥平面ABC.答案：平面ABD与平面ABC7．如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．解析：因为EF ∥平面AB 1C ，EF平面ABCD ，平面ABCD ∩平面AB 1C ＝AC ，所以EF ∥AC ，所以点F 为DC 的中点． 故EF ＝12AC ＝ 2.答案： 28.如图所示，在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别是棱CC 1，C 1D 1，D 1D ，DC 的中点，N 是 BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 只需满足条件________时，就有MN ∥平面B 1BDD 1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)解析：连接HN ，FH ，FN ，则FH ∥DD 1，HN ∥BD ，FH ∩HN ＝H ，DD 1∩BD ＝D ， 所以平面FHN ∥平面B 1BDD 1，只需M ∈FH ，则MN 平面FHN ，所以MN ∥平面B 1BDD 1.答案：点M 在线段FH 上(或点M 与点H 重合)9.在如图所示的一块木料中，棱BC 平行于平面A ′B ′C ′D ′.(1)要经过平面A ′B ′C ′D ′内的一点P 和棱BC 将木料锯开，应怎样画线？ (2)所画的线与平面ABCD 是什么位置关系？并证明你的结论． 解：(1)过点P 作B ′C ′的平行线， 交A ′B ′，C ′D ′于点E ，F ， 连接BE ，CF .作图如下：(2)EF∥平面ABCD.理由如下：因为BC∥平面A′B′C′D′，又因为平面B′C′CB∩平面A′B′C′D′＝B′C′，所以BC∥B′C′，因为EF∥B′C′，所以EF∥BC，又因为EF⊆/平面ABCD，BC平面ABCD，所以EF∥平面ABCD.10．如图所示，四边形ABCD与四边形ADEF都为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．求证：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.证明：(1)如图所示，设DF与GN交于点O，连接AE，则AE必过点O，连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO.因为BE⊆/平面DMF，MO平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN.因为DE⊆/平面MNG，GN平面MNG，所以DE∥平面MNG.因为M为AB的中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN.因为BD⊆/平面MNG，MN平面MNG，所以BD∥平面MNG.因为DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，所以平面BDE∥平面MNG.[综合题组练]1．如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD-A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：①没有水的部分始终呈棱柱形；②水面EFGH所在四边形的面积为定值；③棱A1D1始终与水面所在的平面平行；④当容器倾斜如图所示时，BE·BF是定值．其中正确的个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：选C.由题图，显然①是正确的，②是错的；对于③因为A1D1∥BC，BC∥FG，所以A1D1∥FG且A1D1⊆/平面EFGH，所以A1D1∥平面EFGH(水面)．所以③是正确的；因为水是定量的(定体积V)．所以S△BEF·BC＝V，即12BE·BF·BC＝V.所以BE·BF＝2VBC(定值)，即④是正确的，故选C.2.(2020·江西吉安一模)如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是A1D1，A1B1的中点，过直线BD的平面α∥平面AMN，则平面α截该正方体所得截面的面积为()A. 2 B ．98C. 3D ．62解析：选B.如图1，取B 1C 1的中点E ，C 1D 1的中点F ，连接EF ，BE ，DF ，B 1D 1，则EF ∥B 1D 1，B 1D 1∥BD ，所以EF ∥BD ，故EF ，BD 在同一平面内，连接ME ，因为M ，E 分别为A 1D 1，B 1C 1的中点，所以ME ∥AB ，且ME ＝AB ，所以四边形ABEM 是平行四边形，所以AM ∥BE ，又因为BE平面BDFE ，AM ⊆/平面BDFE ，所以AM ∥平面BDFE ，同理AN ∥平面BDFE ，因为AM ∩AN ＝A ， 所以平面AMN ∥平面BDFE ，BD ＝2，EF ＝12B 1D 1＝22，DF ＝BE ＝52，等腰梯形BDFE 如图2，过E ，F 作BD 的垂线，垂足分别为G ，H ，则四边形EFGH 为矩形，所以FG ＝DF 2－DG 2＝54－18＝324， 故所得截面的面积为12×⎝⎛⎭⎫22＋2×324＝98，故选B.3．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，Q 分别是棱D 1C 1，A 1D 1，BC 的中点，点P 在BD 1上且BP ＝23BD 1.则以下四个说法：①MN ∥平面APC ； ②C 1Q ∥平面APC ； ③A ，P ，M 三点共线； ④平面MNQ ∥平面APC .其中说法正确的是________(填序号)． 解析：①连接MN ，AC ，则MN ∥AC ，连接AM ，CN ， 易得AM ，CN 交于点P ，即MN平面APC ，所以MN ∥平面APC 是错误的；②由①知M ，N 在平面APC 上，由题易知AN ∥C 1Q ，AN 平面APC ，所以C 1Q ∥平面APC 是正确的； ③由①知A ，P ，M 三点共线是正确的； ④由①知MN 平面APC ，又MN平面MNQ ，所以平面MNQ ∥平面APC 是错误的． 答案：②③4.如图所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点P 是棱AD 上一点，且AP ＝a3，过B 1，D 1，P 的平面交底面ABCD 于PQ ，Q 在直线CD 上，则PQ ＝________．解析：因为平面A 1B 1C 1D 1∥平面ABCD ，而平面B 1D 1P ∩平面ABCD ＝PQ ，平面B 1D 1P ∩平面A 1B 1C 1D 1＝B 1D 1，所以B 1D 1∥PQ .又因为B 1D 1∥BD ，所以BD ∥PQ ， 设PQ ∩AB ＝M ，因为AB ∥CD ， 所以△APM ∽△DPQ .所以PQ PM ＝PDAP＝2，即PQ ＝2PM .又知△APM ∽△ADB ， 所以PM BD ＝AP AD ＝13，所以PM ＝13BD ，又BD ＝2a ，所以PQ ＝223a .答案：223a5.如图，在四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 中，BC ∥AD ，且AD ＝2BC ，O ，E 分别为AD ，PD 的中点．(1)设平面P AB ∩平面PCD ＝l ，请作图确定l 的位置并说明你的理由； (2)若Q 为直线CE 上任意一点，证明：OQ ∥平面P AB .解：(1)分别延长AB 和DC 交于点R ，连接PR ，则直线PR 就是l 的位置； R ∈AB平面P AB ，R ∈CD平面PCD ，所以P 、R 是平面P AB 和平面PCD 的两个公共点， 由公理1可知，过P 、R 的直线就是两个平面的交线l . (2)证明：连接OE 、OC ，因为BC ∥AD ，且BC ＝12AD ，又AO ＝12AD ，所以BC ∥AO ，且BC ＝AO ，所以四边形ABCO 为平行四边形， 所以OC ∥AB ，则OC ∥平面P AB ； 又OE 为△P AD 的中位线，则OE ∥AP ， 所以OE ∥平面P AB ， 又OE平面OEC ，OC平面OEC ，且OE ∩OC ＝O ，所以平面P AB ∥平面OEC ，又OQ平面OEC，所以OQ∥平面P AB.6．如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形．(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)若平面ABCD∩平面B1D1C＝直线l，证明B1D1∥l.证明：(1)由题设知BB1綊DD1，所以四边形BB1D1D是平行四边形，所以BD∥B1D1.又BD⊆/平面CD1B1，B1D1平面CD1B1，所以BD∥平面CD1B1.因为A1D1綊B1C1綊BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥D1C.又A1B⊆/平面CD1B1，D1C平面CD1B1，所以A1B∥平面CD1B1.又因为BD∩A1B＝B，所以平面A1BD∥平面CD1B1.(2)由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1，又平面ABCD∩平面B1D1C＝直线l，平面ABCD∩平面A1BD＝直线BD，所以直线l∥直线BD，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四边形BDD1B1为平行四边形，所以B1D1∥BD，所以B1D1∥l.。
