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====Word 行业资料分享--可编辑版本--双击可删====源-于-网-络-收-集 12.1 全等三角形一、全等形：形状、大小相同，能够完全重合．这样的两个图形叫做全等形，用“≌”表示．说明：如果两个或两个以上的图形全等，那么这些图形放在一起就能完全重合。
这里的重合包括两层含义：一是形状相同，二是大小相等，二者缺一不可。
二、全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，•重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角．全等用符号用“≌”表 示．如△ABC 与△DEF 全等，则可表示为△ABC ≌△DEFA B C D E F B(E)注意：1、对应边与对边，对应角与对角的区别。
对应边、对应角是对两个三角形而言的，对边、对角是对同一个三角形的边和角的关系而言的。
2、在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置时，这样容易写出对应边、对应角。
3、由于两个三角形的位置关系不同，在找对应边、对应角时，可以针对两个三角形不同的位置关系，寻找对应边、角的规律：（1）有公共边的，•公共边一定是对应边；（2）有公共角的，公共角一定是对应角；（3）有对顶角的，对顶角一定是对应角；两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角）三、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。
说明：1、因为全等三角形能够完全重合，所以对应边上的中线、高线和对应角的角平分线也相等，全等三角形的周长相等，面积相等。
很多情况下，全等三角形的性质可以用来证明线段或角相等。
2、全等三角形有传递性，若△ABC 与△DEF 全等，△DEF 与△MNP 全等，则△ABC 与△MNP 也全等。
三角形全等的判定（SSS ）一、判定方法：三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS ”）．二、判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等．三、例题：如图所示，△ABC 是一个钢架，AB=AC ，AD 是连接点A 与BC 中点D 的支架，求证△ABD ≌△ACD ．证明：∵D 是BC 的中点，∴BD=CD在△ABD 和△ACD 中,,.AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△ACD （SSS ）．。
初中数学公式之全等三角形的判定最新初中数学公式之全等三角形的判定最新全等三角形的判定公式1边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等2 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等3 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等4 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等5斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等6 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等7 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上8角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合初中数学几何公式大全之全等三角形的判定公式，看过的同学请认真记忆了。
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初中数学正方形定理公式关于正方形定理公式的内容精讲知识，希望同学们很好的掌握下面的内容。
正方形定理公式正方形的特征：①正方形的四边相等；②正方形的四个角都是直角；③正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；正方形的判定：①有一个角是直角的菱形是正方形；②有一组邻边相等的矩形是正方形。
希望上面对正方形定理公式知识的讲解学习，同学们都能很好的掌握，相信同学们会取得很好的成绩的哦。
初中数学平行四边形定理公式同学们认真学习，下面是老师对数学中平行四边形定理公式的内容讲解。
平行四边形平行四边形的性质：①平行四边形的对边相等；②平行四边形的对角相等；③平行四边形的对角线互相平分；平行四边形的判定：①两组对角分别相等的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③对角线互相平分的四边形是平行四边形；④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
上面对数学中平行四边形定理公式知识的讲解学习，同学们都能很好的掌握了吧，相信同学们会从中学习的更好的哦。
初中数学直角三角形定理公式下面是对直角三角形定理公式的内容讲解，希望给同学们的学习很好的帮助。
3.三边分别相等的两个三角形一、选择题1．如图1，AB=AD ，CB=CD ，∠B=30°，∠BAD=46°，则∠ACD 的度数是（ ）A ．120°B ．125°C ．127°D ．104°DCBAODCBAFEDC BA(1) (2) (3)2．如图2，线段AD 与BC 交于点O ，且AC=BD ，AD=BC ，•则下面的结论中不正确的是（ ）A ．△ABC ≌△BADB ．∠CAB=∠DBAC ．OB=OCD ．∠C=∠D 二、填空题3．在△ABC 和△A 1B 1C 1中，已知AB=A 1B 1，BC=B 1C 1，则补充条件____________，可得到△ABC ≌△A 1B 1C 1．4．如图3，AB=CD ，BF=DE ，E 、F 是AC 上两点，且AE=CF ．欲证∠B=∠D ，可先运用等式的性质证明AF=________，再用“SSS ”证明________≌_________•得到结论． 三、解题题5．如图，在四边形ABCD 中AB=CD ，AD=BC ，求证：①AB ∥CD ；②AD ∥BC ．DCBA6．如图，已知AB=CD ，AC=BD ，求证：∠A=∠D ．E DCBA7．如图，AC与BD交于点O，AD=CB，E、F是BD上两点，且AE=CF，DE=BF．•请推导下列结论：（1）∠D=∠B；（2）AE∥CF．O F ED CBA答案:1．C 2．C 3．AC=AC 4．CE；△ABF≌△CDE5．连接AC（或BD） 6．连接BC后证明△ABC≌△DCB7．①证明△ADE≌△CBF；②证明∠AEF=∠CFE14.1 全等三角形一、填空题（每题3分，共30分）1．如图1所示，两个三角形全等，其中已知某些边的长度和某些角的度数，•则x=_______．(1) (2)2．如图2所示，在△ABC和△DEF中，AB=DE，∠B=∠E，要使△ABC≌△DEF，•需要补充的一个条件是____________．3．把“两个邻角的角平分线互相垂直”写成“如果……，那么……”的形式为_______________．4．在△ABC和△A′B′C中，∠A=∠A′，CD与C′D′分别为AB边和A′B•′边上的中线，再从以下三个条件：①AB=A′B′；②AC=A′C′；③CD=C′D•′中任取两个为题设，另一个作为结论，请写出一个正确的命题：________（用题序号写）．5．如图3所示，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=8cm，BD=•5cm，则D点到直线AB的距离是______cm．(3) (4)6．如图4所示，将一副七巧板拼成一只小动物，则∠AOB=•_______．7．如图5所示，P、Q是△ABC的边BC上的两点，且BP=PQ=QC=•AP=AQ，则∠BAC的大小等于__________．(5) (6) (7)8．已知等腰△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，连结AD，若△ACD•和△ABD都是等腰三角形，则∠C的度数是________．9．如图6所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，且AB=AD，•连结BD，过A点作BD的垂线，交BC于E，如果EC=3cm，CD=4cm，则梯形ABCD•的面积是_______cm．10．如图7所示，△ABC、△ADE与△EFG都是等边三角形，D•和G分别为AC和AE的中点，若AB=4时，则图形ABCDEFG外围的周长是________．二、选择题（每题3分，共30分）11．如图8所示，在∠AOB的两边截取AO=BO，CO=DO，连结AD、BC交于点P，考察下列结论，其中正确的是（）①△AOD≌△BOC ②△APC≌△BPD ③点P在∠AOB的平分线上A．只有① B．只有②C．只有①② D．①②③12．下列判断正确的是（）A．有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等B．有两边对应相等且有一角为30°的两个等腰三角形全等 (8)C．有一角和一边相等的两个直角三角形全等D．有两角和一边对应相等的两个三角形全等13．如果两个三角形的两条边和其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三边所对的角的关系是（）A．相等 B．互余 C．互补或相等 D．不相等14．如图9所示，在下面图形中，每个大正方形网格都是由边长为1的小正方形组成，则图中阴影部分面积最大的是（）(9)15．将五边形纸片ABCDE按如图10所示方式折叠，折痕为AF，点E、D分别落在E′，D′，已知∠AFC=76°，则∠CFD′等于（）A．31° B．28° C．24° D．22°(10) (11) (12)16．如图11所示，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，如果EF=2，那么ABCD的周长是（）A．4 B．8 C．12 D．1617．如图12所示，在锐角△ABC中，点D、E分别是边AC、BC的中点，且DA=DE，那么下列结论错误的是（）A．∠1=∠2 B．∠1=∠3 C．∠B=∠C D．∠3=∠B18．如图13所示，把腰长为1的等腰直角三角形折叠两次后，得到的一个小三角形的周长是（）A．1+2 B．1+22C．2-2 D．2-1(13) (14) (15)19．如图14所示中的4×4的正方形网格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+•∠7=（）A．245° B．300° C．315° D．330°20．已知：如图15所示，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD•相交于点O，∠1=∠2，图中全等的三角形共有（）A．1对 B．2对 C．3对 D．4对三、解答题（共60分）21．（9分）如图所示，有一池塘，要测量池塘两端A、B的距离，请用构造全等三角形的方法，设计一个测量方案（画出图形），并说明测量步骤和依据．22．（9分）如图所示，已知∠1=∠2，∠C=∠D，求证：AC=BD．23．（9分）如图所示，D、E分别为△ABC的边AB、AC上点，•BE与CD相交于点O．现有四个条件：①AB=AC；②OB=OC；③∠ABE=∠ACD；④BE=CD．（1）请你选出两个条件作为题设，余下作结论，写一个正确的命题：命题的条件是_______和_______，命题的结论是_______和________（均填序号）（2）证明你写的命题．24．（10分）如图所示，△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，•使DE=BD.求证：CE=12 BC．25．（11分）如图①所示，把一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，将重合部分△BFD剪去，得到△ABF和△EDF．①（1）判断△ABF与△EDF是否全等？并加以证明；（2）把△ABF与△EDF不重合地拼在一起，可拼成特殊三角形和特殊四边形，将下列拼图（图②）按要求补充完整．②26．（12分））如图（1）所示，OP是∠MON的平分线，•请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考这个作全等三角形方法，解答下列问题：（1）如图（2），在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AC、CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线交于F，试判断FE与FD之间的数量关系．（2）如图（3），在△ABC中，若∠ACB≠90°，而（1）中其他条件不变，请问（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由．1．60° 2．BC=EF或∠D=∠A或∠C=∠F3．如果作两个邻补角的角平分线，那么这两条角平分线互相垂直4．如果①②，那么③ 5．36．135° 7．120° 8．36°或45°9．26 10．15 11．D 12．D 13．C 14．D15．B 16．D 17．D 18．B 19．C 20．D21．在平地任找一点O，连OA、OB，延长AO至C使CO=AO，延BO至D，使DO=•BO，•则CD=AB，依据是△AOB≌△COD（SAS），图形略．22．证△ACB≌△BDA即可．23．（1）条件①、③结论②、④，（2）证明略24．略25．（1）△ABF≌△EDF，证明略（2）如图:26．（1）FE=FD（2）（1）中的结论FE=FD仍然成立．在AC上截取AG=AE，连结FG．证△AEF≌△AGF得∠AFE=∠AFG，FE=FG．由∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线得∠DAC+∠ECA=60°．所以∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°，所以∠CFG=60°．由∠BCE=∠ACE及FC为公共边．可证△CFG≌△CFD，所以FG=FD，所以FE=FD．检测内容：第十六章 二次根式得分________ 卷后分________ 评价________一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列各式中，一定是二次根式的是( C ) A.32 019B.32a C.2a 2＋1D.x ＋1 2．(2019·云南)要使x ＋12有意义，则x 的取值范围为( B ) A ．x ≤0 B ．x ≥－1 C ．x ≥0 D ．x ≤－13．(2019·河池)下列式子中，为最简二次根式的是( B ) A.12B.2C.4D.12 4．下列运算中错误的是( A )A.2＋3＝5B.2×3＝6C.8÷2＝2 D ．(－3)2＝3 5．等式（4－x ）2（6－x ）＝(x －4)6－x 成立的条件是( B ) A ．x ≥4 B ．4≤x ≤6 C ．x ≥6 D ．x ≤4或x ≥6 6．(2019·重庆)估计(23＋62)×13的值应在( C ) A ．4和5之间 B ．5和6之间 C ．6和7之间 D ．7和8之间7．已知k ，m ，n 为三个整数，若135＝k 15，450＝15m ，180＝6n ，则下列有关于k ，m ，n 大小关系，何者正确？( D )A ．k ＜m ＝nB ．m ＝n ＜kC ．m ＜n ＜kD ．m ＜k ＜n 8．若x ＝3－22，y ＝3＋22，则x 2＋y 2的值是( A ) A.52B.32C.3D.149．若a ＋b ＜0，ab ＞0，则化简a 2b 2的结果是( A ) A ．ab B ．－a b C ．－ab D ．a b10．对于任意的正数m ，n 定义运算※为：m※n＝⎩⎨⎧m －n （m≥n），m ＋n （m ＜n ）.计算(3※2)×(8※12)的结果为( B )A ．2－46B ．2C ．25D ．20 二、填空题(每小题3分，共15分) 11．(天门中考)计算：33＋|3－2|－(12)－1＝__0__．12．(烟台中考)12与最简二次根式5a ＋1是同类二次根式，则a ＝__2__．13．若已知一个梯形的上底长为(7－2)cm ，下底长为(7＋2) cm ，高为27cm ，则这个梯形的面积为__14__cm 2.14．如图，数轴上表示1，3的对应点分别为点A ，B ，点B 关于点A 的对称点为点C ，设点C 所表示的数为x ，则x ＋3x的值为．15．观察分析下列数据：0，－3，6，－3，23，－15，32，…，根据数据排列的规律得到第16个数据应是结果需化简)．三、解答题(共75分) 16．(8分)计算： (1)22(212＋418－348)； (2)(上海中考)18＋(2－1)2－9＋(12)－1. 解：原式＝46＋2－126＝2－86解：原式＝32＋2－22＋1－3＋2＝2＋217．(9分)如果最简二次根式2m ＋n 与m －n －1m ＋7是可以合并的，求正整数m ，n 的值．解：m ＝5，n ＝218．(9分)(1)已知y ＝x －3＋3－x ＋x ＋3，求x ＋y 的值； (2)比较大小：35与211.解：(1)∵y ＝x －3＋3－x ＋x ＋3，∴x ＝3， 故y ＝6，∴x ＋y ＝9＝3 (2)∵35＝45，211＝44， ∴45＞44，即35＞21119．(9分)先化简，再求值： (1)(宁夏中考)(1x ＋3－13－x )÷2x －3，其中x ＝3－3；解：原式＝(1x ＋3－13－x)·x －32＝2x （x ＋3）（x －3）·x －32＝xx ＋3. 当x ＝3－3时，原式＝3－33＝1－3(2)(资阳中考)a 2－b 2b ÷(a2b －a)，其中a ＝2－1，b ＝1.解：原式＝（a ＋b ）（a －b ）b ÷a 2－ab b ＝（a ＋b ）（a －b ）b·b a （a －b ）＝a ＋ba，当a ＝2－1，b ＝1时，原式＝2－1＋12－1＝22－1＝2（2＋1）（2－1）（2＋1）＝2＋220．(9分)在△ABC 中，BC 边上的高h ＝63cm ，它的面积恰好等于边长为32cm 的正方形的面积，求BC 的长．解：∵12BC·h ＝(32)2＝18，∴BC ＝36h ＝3663＝23(cm )，答：BC 的长为23cm21．(10分)已知9＋11与9－11的小数部分分别为a ，b ，求ab －3a ＋4b －7的值．解：∵3＜11＜4，∴9＋11的小数部分为11－3，即a ＝11－3，9－11的小数部分为4－11，即b ＝4－11，∴ab －3a ＋4b －7＝(11－3)(4－11)－3(11－3)＋4(4－11)－7＝－522．(10分)观察，猜想，证明． 观察下列等式：①223＝2＋23；②338＝3＋38；③4415＝4＋415；… (1)根据上述3个等式的规律，猜想第5个等式进行验证；(2)写出含字母n(n 为任意自然数，且n≥2)表示的等式，并写出证明过程．解：(1)猜想：第5个等式为6635＝6＋635. 验证：右边＝6＋635＝210＋635＝21635＝36×635＝6635＝左边 (2)第(n －1)个等式为n·nn 2－1＝n ＋n n 2－1. 证明：右边＝n ＋n n 2－1＝n （n 2－1）＋n n 2－1＝n 3－n ＋n n 2－1＝n 3n 2－1＝n·n n 2－1＝左边23．(11分)阅读材料：像(5＋2)(5－2)＝3，a ·a ＝a(a≥0)，(b ＋1)(b －1)＝b －1(b≥0)……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如3与3，2＋1与2－1，23＋35与23－35等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如：123＝323×3＝36；2＋12－1＝（2＋1）2（2－1）（2＋1）＝3＋2 2. 解答下列问题：(1)3－7与互为有理化因式，将232分母有理化得3； (2)计算：12－3－63； (3)已知有理数a 、b 满足a 2＋1＋b 2＝1＋22，求a 、b 的值． 解：(2)12－3－63＝2＋3－23＝2－3 (3)∵a 2＋1＋b 2＝－1＋22， ∴a (2－1)＋22b ＝－1＋22， ∴－a ＋(a ＋b2)2＝－1＋22，∴－a ＝－1，a ＋b 2＝2， 解得a ＝1，b ＝2。
三角形全等的几个条件
1. 全等条件一，SSS（边-边-边）条件。
当两个三角形的三条边分别相等时，这两个三角形是全等的。
2. 全等条件二，SAS（边-角-边）条件。
当两个三角形的一对对应边相等，夹角相等，另一对对应边相等时，这两个三角形是全等的。
3. 全等条件三，ASA（角-边-角）条件。
当两个三角形的一对对应角相等，夹边相等，另一对对应角相等时，这两个三角形是全等的。
4. 全等条件四，AAS（角-角-边）条件。
当两个三角形的两对对应角相等，另一对对应边相等时，这两个三角形是全等的。
这些条件是用来判断两个三角形是否全等的基本依据。
在几何学中，通过这些条件可以快速判断两个三角形是否全等，从而推导出它们的性质和关系。
这些条件在解决各种相关问题时都具有重要的作用。
