小学奥数 小学奥林匹克数学 竞赛数学 第12讲：统筹与对策

统筹与规划【知识要点】我国古代有一句话；“运筹于帷幄之间，决胜于千里之外。

”后人用这句话来形容领导者在后方筹划、制定作战策略，能决定千里之外的战争胜负。

这里“运筹”是制定策略、策划、统筹安排的以上。

在日常生活、学习和生产、工作中经常遇到一些事情需要我们进行合理的安排，而统筹方法是生活和生产中合理安排工作的一种科学方法。

应用统筹方法可以提高工作效率，减少时间的浪费。

应用统筹方法解决实际问题时，一般要做好3项调查：1、要做哪些工作？2、做每件工作需要多长时间？3、弄清所做工作的程序，即先做什么，后做什么，哪些工作可同时做？然后根据结果画一张流程图，然后再根据流程图详细地说明统筹安排的具体方法。

【典型例题】例1、早晨、妈妈起来准备早饭。

她烧开水要用8分钟，擦桌椅要用5分钟，灌开水要用分钟，下楼买油条、拿牛奶要6分钟，煮牛奶要用6分钟，并且灶台上只有一个灶头。

妈妈怎样安排才能使所用的时间最短？是多少分钟？练习、妈妈让玮文给客人烧水沏茶，洗水壶要用1分钟，烧开水要用15分钟，洗茶壶要用1分钟，洗茶杯要用1分钟，拿茶叶要用2分钟，为了使客人早点喝茶，你认为最合理的安排是多少分钟就能沏茶了？例2 用一个平底锅烙饼，每次只能放2张饼，烙熟一张饼需要2分钟（正反面各需要1分钟）如果要烙3张饼，最少需要多少分钟？烙120张饼呢？练习2、正元用平底锅烙饼给大家吃，这只锅同时能放4个大饼，烙一个饼需要4分钟，（每面各需2分钟），可心如烙6个饼只用6分钟，她是怎样操作的？例3、4个人各拿一个大小不同的水桶在自来水龙头前等候打水，他们打水所需要的时间分别是1分钟、2分钟、3分钟和4分钟。

如果只有一个水龙头，那么怎样适当安排他们的打水顺序，才能使每个人排队和打水的时间的总和最小？请你求出这个最小值。

练习1、在一条公路上每隔100千米有一个仓库，共有5个仓库。

一号仓库有20吨货物，二号仓库有10吨货物，五号仓库有50吨货物，其余两个仓库都是空的。

统筹问题（二）本讲主要研究物资调运问题和场地选择问题。

将一些物资从某些地方调往另一些地方，要求总运费或物资运行的总吨千米数最少，大大节省人力、物力和财力，就是物资调运问题。

在日常工作、生活中，由于地点、费用的不同，因而完成一些任务所需的时间和花费的代价也不同。

通过对若干地点的合理安排选择，使所用时间最少或花费代价最小，就是场地选择问题。

【例1】甲地有59吨货物要运到乙地，大货车的载重量是7吨，小货车的载重量是4吨，大货车运一趟耗油14升，小货车运一趟耗油9升。

运完这批货物最少耗油多少升？［分析］要想使总的耗油最少，应尽量让平均每吨耗油少的车子来运。

根据题意，小货车每吨耗油9÷4＝2.25（升），大货车每吨耗油14÷7＝2（升），大货车每吨耗油少，所以应尽可能让大货车运。

因59÷7≈8，大货车若要运9趟，则要耗油14×9＝126（升），如果运8趟，剩下的让小货车运1趟，这样只要用14×8＋9＝121（升）油。

所以，最少应耗油121升。

［解］9÷4＝2.25（升）14÷7＝2（升）59÷7≈814×8＋9＝121（升）答：运完这批货物最少耗油121升。

［评析］当我们根据某一种策略得出结果时，不要轻易下结论。

还要考虑其它的情况，和前一次结果比一比，看一看谁用得更少，才能找到最优化的方案。

【例2】A、B、C三地的距离（单位：千米）如左下图所示。

现有一辆载重量4吨的汽车要完成下列任务：从A地运12吨煤到B地，从B地运8吨钢材到C地，从C地运16吨粮食到A地。

怎样安排才能使汽车空驶里程最短？［分析］如右上图所示，将各段需运输的次数（括号内的数）及运输走向（箭头指向）标在图上。

由于C到A的次数最多，所以应从C开始。

按C--A--B--C，两次循环后，B地的钢材运完，C地还有8吨粮食待运，A地还有4吨煤待运。

再从C运4吨粮食到A，然后空驶回C地，再从C运4吨粮食到A，最后从A运4吨煤到B。

统筹规划教学目标1.掌握合理安排时间、地点问题.2.掌握合理布线和调运问题．知识点拨知识点说明：统筹学是一门数学学科，但它在许多的领域都在使用，在生活中有很多事情要去做时，科学的安排好先后顺序，能够提高我们的工作效率．我国著名数学家华罗庚教授生前十分重视数学的应用，并亲自带领小分队推广优选法、统筹法，使数学直接为国民经济发展服务，他在中学语文课本中，曾有一篇名为《统筹原理》的文章详，细介绍了统筹方法和指导意义．运筹学是利用数学来研究人力、物力的运用和筹划，使它们能发挥最大效率的科学。

它包含的内容非常广泛，例如物资调运、场地设置、工作分配、排队、对策、实验最优等等，每类问题都有特定的解法。

运筹学作为一门科学，要运用各种初等的和高等的数学知识及方法，但是其中分析问题的某些朴素的思想方法，如高效率优先的原则、调整比较的思想、尝试探索的方法等，都是我们小学生能够掌握的。

这些来源于生活实际的问题，正是启发同学们学数学、用数学最好的思维锻炼题目。

本讲主要讲统筹安排问题、排队问题、最短路线问题、场地设置问题等。

这些都是人们日常生活、工作中经常碰到的问题，怎样才能把它们安排得更合理，多快好省地办事，就是这讲涉及的问题。

“节省跑空车的距离”是物资调运问题的一个原则。

“发生对流的调运方案”不可能是最优方案。

“小往大靠，支往干靠”。

例题精讲板块一、合理安排时间【例 1】一只平底锅上最多只能煎两张饼，用它煎1张饼需要2分钟(正面、反面各1分钟)．问：煎3张饼需几分钟？怎样煎？【考点】统筹规划【难度】2星【题型】解答【解析】因为这只平底锅上可煎两只饼，如果只煎1个饼，显然需要2分钟；如果煎2个饼，仍然需要2分钟；如果煎3个饼，所以容易想到：先把两饼一起煎，需2分钟；再煎第3只，仍需2分钟，共需4分钟，但这不是最省时间的办法．最优方法应该是：首先煎第1号、第2号饼的正面用1分钟；其次煎第1号饼的反面及第3号饼的正面又用1分钟；最后煎第2号、第3号饼的反面再用1分钟；这样总共只用3分钟就煎好了3个饼．(因为每只饼都有正反两面，3只饼共6面，1分钟可煎2面，煎6面只需3钟．)【答案】3分钟【巩固】烙饼需要烙它的正、反面，如果烙熟一块饼的正、反面，各用去3分钟，那么用一次可容下2块饼的锅来烙21块饼，至少需要多少分钟？【考点】统筹规划【难度】2星【题型】解答【关键词】2000年，小学生数学报，数学邀请赛【解析】先将两块饼同时放人锅内一起烙，3分钟后两块饼都熟了一面，这时取出一块，第二块翻个身，再放人第三块，又烙了3分钟，第二块已烙熟取出，第三块翻个身，再将第一块放入烙另一面，再烙3分钟，锅内的两块饼均已烙熟．这样烙3块饼，用去9分钟，所以烙21块饼，至少用÷⨯=(分钟)．213963【巩固】一只平底锅上最多只能煎两张饼，用它煎1张饼需要2分钟(正面、反面各1分钟)．问：煎2009张饼需几分钟？【考点】统筹规划【难度】2星【题型】解答【解析】我们归纳出煎1、2、3个饼分别需要2、2、3分钟，我们可以继续往下分析，煎4个饼最少需要4分钟，煎5个饼需要325+÷⨯=+=分钟，煎6个饼需要6226÷⨯=分钟，煎7个饼需要34227分钟，那么煎2009个饼至少需要2009分钟．【答案】2009分钟【例 2】星期天妈妈要做好多事情。

知识点回顾
一，合理安排工作进程，使得总时间最少。

二，从某个方案出发，通过比较法和调整法寻找达到最短时间、最短距离或者最少花费的最佳方案。

知识点回顾
一，“有m 枚棋子，两人轮流取棋子，规定每人每次可以取走1~n枚，直到把棋子取完为止，谁取得最后一枚棋子谁获胜”的取胜策略是：每次取走棋子数除以（n+1）的余数枚棋子，让对方面对（n+1）的倍数枚棋子——必败状态
知识点回顾
二，处于必胜状态的一方，总能进行一次适当的操作后，把必败的状态留给对手。

反之，处于必败状态的一方，无论采取什么策略，都只能把必胜状态留给对手.
三，在很多对策问题中，具有对称性的状态往往是解决问题的关键。

四，在问题较复杂时，可以从简单情况入手，寻找规律.
【3】（高思学校竞赛数学导引P75）
【4】（高思学校竞赛数学导引P75）
【7】 （高思学校竞赛数学导引P 76）
武汉 西安
北京
5 6 上海 7 10
终点
起点
【8】（高思学校竞赛数学导引P76）
【9】（高思学校竞赛数学导引P76）
【10】（高思学校竞赛数学导引P76）
【11】（高思学校竞赛数学导引P76）
【12】（高思学校竞赛数学导引P77）
【13】（高思学校竞赛数学导引P77）
B A
【14】（高思学校竞赛数学导引P77）。

第12讲统筹与对策内容概述生活中的统筹规划问题，包括合理安排顺序、选择最短或最长路线、人员分配、货物调度等，一般采用枚举、比较和逐步调整的方法。

各种游戏对策问题，在必胜方案中通常要占据关键位置或选取特殊数值分析时一般从简单情形出发进行逆推。

典型例题兴趣篇1．妈妈让小高给客人烧水沏茶，洗开水壶要用1分钟，烧开水要用15分钟，洗茶壶要用1分钟，洗茶杯要用1分钟，拿茶叶要用2分钟．小高估算了一下，完成这些工作要花20分钟．为了尽快给客人沏茶，你认为最合理的安排，最少需要多少分钟？答案：16分钟解析:如图，心高先洗开水壶，紧接着烧开水，在烧开水的过程斗截次去完成其他三项工作，这时需要的时间最少，是16分钟．2．理发店里同时来了A、B、C三位顾客，A理板寸需要7分钟，B理光头需要10分钟，C烫卷发需要40分钟．请问：如何安排这三人的理发顺序才能使得他们三人所花的时间总和最短？这个最短的时间总和是多少？答案：A先理发，然后B，最后C；81分钟解析：①若A先理发，B、C需要等待7+7=14（分钟）．②若B先理发，A、C需要等待10十10=20（分钟）．③若C先理发，A、B需要等待40+40=80（分钟）．所以应该让理发时间短的人先理发，那么理发顺序是A、B、C时所用总时间最短，为81分钟．3．一个水房有两个永龙头，一天早晨6：00，有五个人同时需要用水龙头：甲刷牙，用5分钟；乙洗脸，用2分钟；丙洗头，用10分钟；丁浇花，用1分钟；戊洗衣服，用15分钟，请问：如何合理安排，最快在早晨几点几分，这五个人都能用完水？答案：6:17解析：5+2+10+1+15=33分钟，有两个水龙头，33÷2=16.5，则至少要17分钟。

下面的构造说明17分钟是可以的，5+l0+1=16，2+15=17.所以最快在早晨6点17分，这五个人都能用完水．4．西点店里卖的面包都是5个一袋或3个一袋的，不拆开零售．已知5个一袋的售价是8元，3个一袋的售价是5元，要给47位同学每人发1个面包最少要花多少钱？答案：76元解析：因为买15个面包时，3个大袋比5个小袋划算，所以大袋的单价比小袋的便宜，那么应该尽量多买大袋的．①若买9个大袋和1个小袋，9×5+1×3=48个，多出1个，总价是8×9+5×1=77元．②若买8个大袋和3个小袋，8×5+3×3=49个，多出2个，总价是8×8+5×3=79元．③若买7个大袋和4个小袋，7×5+4×3=47个，不多不少，总价是8×7+5×4=76元．比较后得最少要花76元．5．如图12 -1所示，一条环形公路上有A、B、C、D四个仓库.A仓库存盐40吨，B仓库存盐5吨，C仓库存盐35吨，D仓库没有盐．现在要调整存放数量，计划A、B、C、D每个仓库各存盐20吨，已知每吨盐运1千米需要运费2元．试问：为完成上述调运计划，最少需要多少元运费？（图12-1中公路旁的数字表示相邻仓库间的里程数，单位为千米）答案：700元解析：A仓库存盐40吨，要运出40-20=20吨.C仓库存盐35吨，要运出35 – 20=15吨．而A仓库把20吨盐运往D仓库，C仓库把15吨盐运往B仓库，刚好能使每个仓库存盐20吨．此即最节省的方案，运费为20×10×2+15×10×2=700元．6．2008个小方格从左到右排成一行，甲、乙两人轮流在空格内放棋子，每人每次放一枚．规定：每个空格只能放一枚棋子，当甲放好一枚棋子后，乙必须在紧挨着这枚棋子的空格内放；而当乙放好棋子后，甲必须隔一个位子放；谁放不了就判谁输．如果乙一开始在左边第一个方格内放了一枚棋子，那么谁将有必胜策略？答案：甲解析：当甲放下第一个棋子后，游戏呈现如下形式：这时乙有两个选择：A或B，如果乙选择B，那么甲放到A的话，乙就输了，所以乙只能选择A，接下来甲只有选择B，之后乙必须放到C里面，至此，格子变成以下形式：乙占据了除去最左边4格后剩下的2004个格子中的最左边一个，那么重复上面的分析可以知道，如果乙不想输的话，以后的摆放必然是“乙乙甲甲乙乙甲甲……”的规律，到最后只剩四格的时候乙占据最左边的格子：甲放到B后，无论乙放到A还是C，甲放好后所有的格子都有棋子，所以乙无法再放棋子，于是甲有必胜策略，7．有9根火柴，甲、乙两人轮流取，规定每次可以取1根或者2根火柴，以取走最后一根火柴的人为胜者，试问：如果甲先取，谁有必胜的策略？答案：乙解析：如果剩1根或2根，那么先取的直接取走便可，先取的必胜．如果剩3根，先取的无论取1根还是2根，后取的都可以取完，后取的有必胜策略．如果剩4根或5根，先取的取走1根或2根后剩下3根，由上面的分析知他必胜．如果剩6根，先取的取完后剩4根或5根，由上面分析知，后取的获胜．题目中是9根，这时甲取后剩7或8根，轮到乙时，他只要保证取完后剩下6根，根据前面的分析便可以知道乙必胜，所以这里乙有必胜策略，8．有100根火柴，甲、乙两人轮流取，规定每次可以取1根、2根、3根或4根火柴，谁取到最后～根火柴谁输．若甲先取，问：谁有必胜的策略？答案：甲解析：如果剩1根，那么先取的输．如果剩2至5根，先取可以取得剩1根，所以先取必胜．如果剩6根，先取酌取完后剩2～5根，那么根据上面的分析知，先取的输．如果剩7至10根，先取的取完后可以保证剩6根，他必胜．根据上面的分析，对100根的总数，田可以取4根，剩96艰，等乙取完后，甲再取使得剩下91根，之后每次甲只要使自己取完后剩下的数目是5的倍数加1，那么最后1根必然是乙取到，所以甲必胜．9．如图12-2方格A中放有一枚棋子，甲先乙后轮流移动这枚棋子，只能向上、向右或向右上方沿45 3角走1步，最终将棋子走到方格B的人获胜，请问：谁有必胜策略，策略是什么？答案：甲有必胜策略，标有“√”的方格是“制胜点”，即棋子已经出现在“√”处，轮到谁走谁就会赢．如图：解析：如图1，谁若从与B相邻的格开始走，则一步{就能走到B，因此谁如果从这些格走的话一定赢，我们将这种点称为“制胜点”，打“√”表示，再看图2，谁若走到图中打。

四年级奥数第十二讲简单统筹规划（学生用）四年级奥数第十二讲-简单统筹规划（学生用）远辉教育远辉教育奥数班第十二讲简单的总体规划主讲人：杨老师学生：四年级电话：62379828一、学习要点：最优化概念反映了人类实践活动中十分普遍的现象，即要在尽可能节省人力、物力和时间的前提下，努力争取获得在允许范围内的最佳效益．因此，最优化问题成为现代应用数学的一个重要研究对象，它在生产、科学研究以及日常生活中都有广泛的应用．作为数学爱好者，接触一些简单的实际问题，了解一些优化的思想是十分有益的．二、典型示例分析：例1妈妈让小明给客人烧水沏茶．洗开水壶要用1分钟，烧开水要用15分钟．洗茶壶要用1分钟，洗茶杯要用1分钟，拿茶叶要用2分钟．小明估算了一下，完成这些工作要20分钟．为了使客人早点喝上茶，按你认为最合理的安排，多少分钟就能沏茶了？例2：用平底锅煎煎饼。

你可以一次放两个煎饼。

如果煎一个煎饼需要2分钟（假设正面1分钟，背面1分钟），煎1993年的煎饼至少需要多少分钟？例35个人各拿一个水桶在自来水龙头前等候打水，他们打水所需的时间分别是1分钟、2分钟、3分钟、4分钟和5分钟．如果只有一个水龙头，试问怎样适当安排他们的打水顺序，才能使每个人排队和打水时间的总和最小？并求出最小值．例4从a地到B地需要运输157吨货物。

大型卡车的载货能力为5吨，小型卡车的载货能力为2吨。

大型卡车和小型卡车的油耗分别为10升和5升。

如何选择车辆以最大限度地减少运输的油耗？你需要多少升机油？远辉教育例5有十个村庄，位于从县城开始的公路上（如下图所示，距离单位为公里）。

应该安装水管，将自来水从县城输送到每个村庄。

可以使用两种厚水管和薄水管。

粗管足以为所有村庄供水，细管只能为一个村庄供水。

粗管每公里8000元，细管每公里2000元。

通过粗管和细管的合理匹配和连接，可以降低工程总成本。

根据你认为最经济的方法，费用应该是多少？例6有1993名少先队员分散在一条公路上值勤宣传交通法规，问完成任务后应该在公路的什么地点集合，可以使他们从各自的宣传岗位沿公路走到集合地点的路程总和最小？模拟试验1．妈妈杀好鱼后，让小明帮助烧鱼．他洗鱼、切鱼、切姜片葱花、洗锅煎烧，各道工序共花了17分钟（如下图），请你设计一个顺序，使花费的时间最少．2.用平底锅煎煎饼。

【知识要点】科学的安排时间，合理地设计工作步骤使工作时间最短、需要的人数最少、路线最短、费用最 省等等的方法，叫做统筹法，也叫做最佳选择。

游戏当中的统筹安排可以让你，运筹帷幄，决胜千里，把它叫做“最佳策略”是研究具有竞争 或者利益对抗活动战术（取胜方法）的一门数学分支，比如我们常玩的游戏“石头、剪子、布”就 是策略问题的典型例子，历史上最著名的以弱胜强，凭借智谋与策略决胜的例子是“田忌赛马”的 故事。

在我们数学竞赛中，也有这一类很有趣味的智力游戏题，利用数学中的原理和方法，正确、合 理地选择“战术”策略，那你就能战无不胜，做一名“常胜将军”。

解决策略问题，我们通常采用的方法是：倒推法、对称法、配对法和归纳法。

【例题】例1、【时间最短】现在有一个铁锅，一次只能烤2个饼，每烤一面要3分钟，芳芳要烤3个饼，最少要多少时间？如 果要烤1个、5个、10个、n 个呢？3 个：3X3=9 分*1 个：3+3=6 分5 个：3X5=15 分10 个：3X10=30 分n 个：当n=1时，需6分当n>1时，需3n 分例2、【费用最省】A 、B 两个粮站分别有大米90吨、80吨，甲、乙、丙三个 居民点分别需要大米40吨、50吨、60吨。

从A 、B 两粮 站每运1吨大米到三个居民点的运费如下表所示。

如何调 运才能使运费最少？运费是多少？ 650 （元）例3、【人数最少】 山区有一个工厂.它的十个车间分散在一条环行的铁道上. 车在铁道上转圈运送货物。

货车到了某一车间，就要有装卸工人装 上或卸下货物.各车间由于工作量不同，所需装卸工人数也不同， 各车间所需装卸工人数如图所示。

当然，装卸工可以固定在车间等 车；也可以坐在货车上跟车到各车间去干活；也可以一部分装卸工 固定在车间，另一部分跟车.问怎样安排跟车人数和各车间固定人 数，才能使装卸工的总人数最少？最少需多少名工人?小学五年级奥数统筹安排和最佳策略 范配 舌工占 X 甲 乙5. 3 7 ：： 二’ 5 1D四列货如跟车人数为57,则各车间都不用安排人，但这样在需要人数少的车间，浪费人力，不行；为此找出各车间人数的平均数，后再调整。

第12讲统筹与对策兴趣篇1.妈妈让小高给客人浇水沏茶，洗开水壶要用1分钟，烧开水要用15分钟，洗茶壶要用1分钟，洗茶杯要用1分钟，拿茶叶要用2分钟。

小高估算了一下，完成这些工作要花20分钟。

为了尽快给客人沏茶，你认为最合理的安排，最少需要几分钟？2.理发店里同时来了A、B、C三个顾客，A理板寸需要7分钟，B理光头需要10分钟，C理卷发需要40分钟。

请问：如何安排这三个人的理发顺序才能使得他们三人所花的时间总和最短？这个最短的时间是多少？3.一个水房有两个水龙头，一天早晨6：00，有五个人同时需要用水龙头：甲刷牙，用5分钟；乙洗脸，用2分钟；丙洗头，用10分钟；丁浇花，用1分钟；戊洗衣服，用15分钟。

请问：如何合理安排，最快在早晨几点几分，这五个人都能用完水？4.西点店里卖的面包都是5个一袋或3个一袋的，不拆开零售。

已知5个一袋的售价是8元，3个一袋的售价是5元。

要给47位同学每人发1个面包最少要花多少钱？5.如图12-1所示，一条环形公路上有A、B、C、D四个仓库。

A仓库存盐40吨，B仓库存盐5吨，C仓库存盐35吨，D仓库没有盐。

现在要调整存放数量，计划A、B、C、D每个仓库各存盐20吨。

已知每吨盐运1千米需要运费2元。

试问：为完成上述调运计划，最少需要多少元运费？（图12-1中公路旁的数字表示相邻仓库间的里程数，单位为千米）6.2008个小方格从左到右排成一行，甲、乙两人轮流在空格内放棋子，每人每次放一枚。

规定：每个空格至多放一枚棋子，当甲放好一枚棋子后，乙必须在紧挨着这枚棋子的空格内放；而当乙放好棋子后，甲必须隔一个位子放；谁放不了就判谁输。

如果乙一开始在左边第一个方格内放了一枚棋子，谁将有必胜策略？7.有9根火柴，甲、乙两人轮流取，规定每次可以取1根或者2根火柴，以取走最后一根火柴的人为胜者。

试问：如果甲先取，谁有必胜的策略？8.有100根火柴，甲、乙两人轮流取，规定每次可以取1根、2根、3根或4根火柴，谁取到最后一根火柴谁输，若甲先取，问：谁有必胜的策略？9.如图12-2方格A中放有一枚棋子，甲先乙后轮流移动这枚棋子，只能向上、向右或向45角走1步，最终将棋子走到方格B的人获胜。