八年级下册数学易错题练习北师大版

北师大版八年级数学下1-5单元易错题集锦（一）一、选择题1.如图所示，AC=AD ，BC=BD ，则（ ） A.CD 垂直平分AB B.AB 垂直平分CD C.CD 平分∠ACB D.以上说法均不对2.如果a>b ，c<0，那么下列不等式成立的是（ ）A.a+c>bB.a+c>b-cC.ac-l>bc-1D.a （c-1）<b （c-1） 3.下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）A.()ab ac d a b c d ++=++B.2(2)(2)4x x x +-=- C.623ab a b =⋅ D.22816(4)x x x -+=-4.下列等式中成立的是（ ）A.123a b a b +=+B.212a b a b =++ C.2ab a ab b a b =-- D.a aa ba b =--++ 5.下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中属于中心对称图形的有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个6.已知等腰三角形的一个角为50°，则其顶角为（ ） A.50° B.80° C.50°或65° D.50°或80°7.下列说法中，错误的是（ ） A.不等式x<5的整数解有无数多个 B.不等式x>-5的负整数解有有限个 C.不等式-2x<8的解集是x<4 D.-40是不等式2x<-8的一个解8.下列式子能直接用完全平方公式进行因式分解的是（ ）A.21681a a ++B.239a a -+ C.2441a a +- D.2816a a --9.（2020广东佛山华英学校期中）下列各分式中，是最简分式的是（ ）A.22x y x y ++B.22x y x y -+C.2x xxy + D.2xy y10.下列说法中，不正确的是（ ） A.图形平移是由移动的方向和距离所决定的 B.图形旋转是由旋转中心和旋转角度所决定的 C.任意两条相等的线段都成中心对称 D.任意两点都成中心对称11.钟表上的时针走1小时旋转了_________度. 12.当x=_________时，分式225x x -+的值为0. 13.已知x ，y 是二元一次方程组23245x y x y -=⎧⎨+=⎩的解，则代数式224x y -的值为___________.14.用“>”或“<”填空：若a<b<0，则5a -_________5b -；1a _________1b；21a -_________21b -.15.如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=15°，AB 的垂直平分线交BC 于D ，交AB 于E ，若DB=14cm ，则AC=_________.16.（2020独家原创试题）如图，已知在平面直角坐标系中，点P 的坐标为（2a +1，3a -4），则点P 到x 轴的距离为_________.17、计算及解方程。

易错题练习（一）一、若162+-kx x 是一个完全平方式,则k 的值是 。

二、下列说法正确的是( ）A 、三角形的三条角平分线的交点到三个顶点的距离相等。

B 、等腰三角形的高、中线、角平分线重合.C 、将分式24a b a +中的a 和b 的值都扩大为原来的2倍，分式值不变. D 、若分式4242+-x x 的值为0，则x 的值是2。

三、解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧-≥+-<-x x x x 321334)1(372四、分解因式：x x x 6523++五、化简求值：42)223(2-÷--+x x x x x x ,其中4=x六、解分式方程:xx x --=-21122七、如图，点B 为AC 上一 ，分别以AB 、AC 为边在AC 同侧作等边三角形ABC 和等边三角形BCE,点P 、M 、N 分别是AC 、AD 、CE 的中点。

(1）求证:PM=PN ；（2）求∠MPN 的度数.八、陈明同学准备在课外活动时组织部分同学参加电脑网络培训，按原定的人数估计共需费用300元，后因人数增加到原定人数的2倍，享受优惠,一共只需480元，参加活动的每个同学平均分摊的费用比原计划少4元.求原定人数是多少人？易错题练习（2）一、小明爬山时，上去的平均速度为m h km /，下来时平均速度为n h km /（上去与下来的路径是同一条路)则小明的上去与下来这一全部过程的平均速度是 。

二、如图，将等腰直角三角形ABC 绕A 点旋转15°后得到''C AB ∆,若AC=1,则图中阴影部分的面积为( ）A 、33 B 、33 C 、3 D 、63 三、解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧<-->+361213x x x x四、分解因式：18)1(12)1(22+---a a五、化简求值xx x x x x x ----÷-21)12(1，然后给x 选一个你认为合适的数代入求值。

北师大版八年级数学下册《第一章三角形的证明易错题》单元综合测评（附答案）1．如果等腰三角形两边长是5cm和2cm，那么它的周长是（）A．7cm B．9cm C．9cm或12cm D．12cm2．如图，已知△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，在△ABC所在平面内一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（）A．2条B．3条C．4条D．5条3．如图，BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP于P，连接PC，若△ABC的面积为1cm2，则△PBC的面积为（）A．0.4cm2B．0.5cm2C．0.6cm2D．不能确定4．如图，△ABC中，BC＝10，AC﹣AB＝4，AD是∠BAC的角平分线，CD⊥AD，则S△BDC 的最大值为（）A．40B．28C．20D．105．如图，△ABC中，AD⊥BC交BC于D，AE平分∠BAC交BC于E，F为BC的延长线上一点，FG⊥AE交AD的延长线于G，AC的延长线交FG于H，连接BG，下列结论：①∠DAE＝∠F；②∠DAE＝（∠ABD﹣∠ACE）；③S△AEB：S△AEC＝AB：AC；④∠AGH＝∠BAE+∠ACB，其中正确的结论有（）个．A．1B．2C．3D．46．如图，在△ABC中，AC＝BC，点D在AC边上，点E在CB的延长线上，DE与AB相交于点F，若∠C＝50°，∠E＝25°，则∠BFD的度数为（）A．100°B．120°C．140°D．150°7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝36°，以C为原点，AC所在直线为y 轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点M使△MAB为等腰三角形，符合条件的M点有（）A．6个B．7个C．8个D．9个8．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为（）A．1B．6C．3D．129．如图，在△ABC中，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，AM⊥CE于P，交BC 于M，AN⊥BD于Q，交BC于N，∠BAC＝110°，AB＝6，AC＝5，MN＝2，结论①AP ＝MP；②BC＝9；③∠MAN＝35°；④AM＝AN．其中不正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个10．如图，边长为3的等边△ABC中，BD＝AB，BE＝BC，DF⊥AC于点F，G为DF 的中点，连接EG，则EG的长为（）A．B．C．D．211．已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为40°，求此等腰三角形的顶角为．12．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，AB的垂直平分线分别交AC和AB于点D 和E，那么∠DBC＝度．13．在等腰三角形ABC中，BC边上的高恰好等于BC边长的一半，则∠BAC等于．14．如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，点E是BC边的中点，DA平分对角线BD与CD边延长线的夹角，若BD＝5，CD＝7，则AE＝．15．如图，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝120°，BD⊥BC交AC于点D，BD＝1，则AC 的长．16．如图，六边形ABCDEF的六个内角都等于120°，若AB＝BC＝CD＝3cm，DE＝2cm，则这个六边形的周长等于cm．17．如图，P是边长为4的等边三角形ABC内一点，PD，PE，PF分别垂直于BC，AC，AB，垂足为D，E，F．若PD＝BD＝1，则PE+PF＝，CE+AF＝．18．如图，在四边形ABCD中，AB＝AC，BC＝BD，若∠ABC＝∠BAD＝α，则∠BCD＝（用含α的代数式表示）．19．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P为边AC上一动点，过点P作PD⊥BC，垂足为点D，延长DP交BA的延长线于点E，若AC＝10，设CP长为x，BE长为y，则y关于x 的函数关系式为．（不需写出x的取值范围）20．如图，在正△ABC中，点D在边AB上，点E在边AC上，将△ADE折叠，使点A落在BC边上的点F处，则∠BDF+∠CEF＝．21．如图，△ABC中，∠BAC＝80°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC．（1）求∠P AQ的度数．（2）若△APQ周长为12，BC长为8，求PQ的长．22．如图，在平面直角坐标系中，已知等边△ABO的顶点A（2，0），经过点A的直线垂直于OB，交OB点C，交y轴于点E．（1）求线段OC的长度；（2）求点E的坐标；（3）确定直线AE的解析式．23．如图，在等边△ABC中，已知点E在直线AB上（不与点A、B重合），点D在直线BC 上，且ED＝EC．（1）若点E为线段AB的中点时，试说明DB＝AE的理由；（2）若△ABC的边长为2，AE＝1，求CD的长．24．小明在学习了“等边三角形”后，激发了他的学习和探究的兴趣，就想考考他的朋友小崔，小明作了一个等边△ABC，如图，并在边AC上任意取了一点F（点F不与点A、点C重合），过点F作FH⊥AB交AB于点H，延长CB到G，使得BG＝AF，连接FG交AB于点I．（1）若AC＝10，求HI的长度；（2）延长BC到D，再延长BA到E，使得AE＝BD，连接ED，EC，求证：∠ECD＝∠EDC．25．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF，求证：（1）EF⊥AB；（2）△ACF为等腰三角形．26．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C 重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．（1）当∠BDA＝115°时，∠BAD＝°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变（填“大”或“小”）；（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形．27．如图：已知在△ABC中，AD⊥BC于D，E是AB的中点，（1）求证：E点一定在AD的垂直平分线上；（2）如果CD＝9cm，AC＝15cm，F点在AC边上从A点向C点运动速度是3cm/s，求当运动几秒钟时．△ADF是等腰三角形？参考答案1．解：当三边是2cm，2cm，5cm时，不符合三角形的三边关系；当三角形的三边是5cm，5cm，2cm时，符合三角形的三边关系，此时周长是5+5+2＝12cm．故选：D．2．解：如图所示，当AB＝AF＝3，BA＝BD＝3，AB＝AE＝3，BG＝AG时，都能得到符合题意的等腰三角形．故选：C．3．解：如图，延长AP交BC于E，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠EBP，∵AP⊥BP，∴∠APB＝∠EPB＝90°，∴△ABP≌△EBP（ASA），∴AP＝PE，∴S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，∴S△PBC＝S△ABC＝×1＝0.5（cm2），故选：B．4．解：如图：延长AB，CD交于点E，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠EAD，∵CD⊥AD，∴∠ADC＝∠ADE＝90°，在△ADE和△ADC中，，∴△ADE≌△ADC（ASA），∴AC＝AE，DE＝CD；∵AC﹣AB＝4，∴AE﹣AB＝4，即BE＝4；∵DE＝DC，∴S△BDC＝S△BEC，∴当BE⊥BC时，S△BDC最大，即S△BDC最大＝××10×4＝10．故选：D．5．解：如图，AE交GF于M，①∵AD⊥BC，FG⊥AE，∴∠ADE＝∠AMF＝90°，∵∠AED＝∠MEF，∴∠DAE＝∠F；故①正确；②∵AE平分∠BAC交BC于E，∴∠EAC＝，∠DAE＝90°﹣∠AED，＝90°﹣（∠ACE+∠EAC），＝90°﹣（∠ACE+），＝（180°﹣2∠ACE﹣∠BAC），＝（∠ABD﹣∠ACE），故②正确；③∵AE平分∠BAC交BC于E，∴点E到AB和AC的距离相等，∴S△AEB：S△AEC＝AB：CA；故③正确，④∵∠DAE＝∠F，∠FDG＝∠FME＝90°，∴∠AGH＝∠MEF，∵∠MEF＝∠CAE+∠ACB，∴∠AGH＝∠CAE+∠ACB，∴∠AGH＝∠BAE+∠ACB；故④正确；故选：D．6．解：∵△ABC中，AC＝BC，∠C＝50°，∴∠ABC＝（180°﹣50°）＝65°，∵∠ABC是△BEF的外角，∴∠BFE＝∠ABC﹣∠E＝65°﹣25°＝40°，∴∠BFD＝180°﹣40°＝140°，故选：C．7．解：如图，①以A为圆心，AB为半径画圆，交直线AC有二点M1，M2，交BC有一点M3，（此时AB＝AM）；②以B为圆心，BA为半径画圆，交直线BC有二点M5，M4，交AC有一点M6（此时BM＝BA）．③AB的垂直平分线交AC一点M7（MA＝MB），交直线BC于点M8；∴符合条件的点有8个．故选：C．8．解：过点D作DH⊥BC交BC于点H，如图所示：∵BD⊥CD，∴∠BDC＝90°，又∵∠C+∠BDC+∠DBC＝180°，∠ADB+∠A+∠ABD＝180°∠ADB＝∠C，∠A＝90°，∴∠ABD＝∠CBD，∴BD是∠ABC的角平分线，又∵AD⊥AB，DH⊥BC，∴AD＝DH，又∵AD＝3，∴DH＝3，又∴点D是直线BC外一点，∴当点P在BC上运动时，点P运动到与点H重合时DP最短，其长度为DH长等于3，即DP长的最小值为3．故选：C．9．解：①∵CE平分∠ACE，∴∠ACP＝∠MCP，∵AM⊥CE，∴∠APC＝∠MPC＝90°，∴∠CAM＝∠CMA，∴AC＝CM，∴AP＝PM，①正确；②同理得：BN＝AB＝6，∵CM＝AC＝5，∴BC＝BN+CM﹣MN＝6+5﹣2＝9，②正确；③∵∠BAC＝∠MAC+∠BAN﹣∠MAN＝110°，由①知：∠CMA＝∠CAM，∠BNA＝∠BAN，△AMN中，∠CMA+∠BNA＝180°﹣∠MAN＝∠BAN+∠MAC，∴180°﹣∠MAN﹣∠MAN＝110°，∴∠MAN＝35°，③正确；④当∠AMN＝∠ANM时，AM＝AN，∵AB＝6≠AC＝5∴∠ABC≠∠ACB，∴∠AMN≠∠ANM，则AM与AN不相等，④不正确；所以本题不正确的有④，故选：D．10．解：如图，连接DE，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝60，AB＝BC＝3，∴BD＝AB＝1，BE＝BC＝1，∴△BDE是等边三角形，∴∠BDE＝60°，DE＝BD＝BE＝1，∵DF⊥AC，∴∠AFD＝90°，∴∠ADF＝30°，∴∠EDG＝90°，∵AD＝AB﹣BD＝2，∵∠ADF＝30°，∴AF＝1，∴DF＝，∵G为DF的中点，∴DG＝DF＝，∴在Rt△DEG中，根据勾股定理，得EG＝＝＝．故选：A．11．解：当为锐角时，如图∵∠ADE＝40°，∠AED＝90°，∴∠A＝50°，当为钝角时，如图∠ADE＝40°，∠DAE＝50°，∴顶角∠BAC＝180°﹣50°＝130°．故答案为：50°或130°．12．解：∵AB＝AC，∠A＝50°，∴∠ABC＝∠C＝65°，∵DE是AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∴∠ABD＝∠A＝50°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝15°．故答案为：15．13．解：如下图，分三种情况：①如图1，AB＝BC，AD⊥BC，AD在三角形的内部，由题意知，AD＝BC＝AB，∵sin∠B＝＝，∴∠B＝30°，∠C＝（180°﹣∠B）＝75°，∴∠BAC＝∠C＝75°；②如图2，AC＝BC，AD⊥BC，AD在三角形的外部，由题意知，AD＝BC＝AC，∴sin∠ACD＝＝，∴∠ACD＝30°＝∠B+∠CAB，∵∠B＝∠CAB，∴∠BAC＝∠ACD＝15°；③如图3，AC＝AB，AD⊥BC，BC边为等腰三角形的底边，由等腰三角形的底边上的高与底边上中线，顶角的平分线重合，可得点D为BC的中点，由题意知，AD＝BC＝CD＝BD，∴△ABD，△ADC均为等腰直角三角形，∴∠BAD＝∠CAD＝45°，∴∠BAC＝90°，∴∠BAC的度数为90°或75°或15°，故答案为：90°或75°或15°．14．解：如图，取BD中点H，连AH、EH，∵AB⊥AD，∴AH＝DH＝BH＝BD＝2.5，∴∠HDA＝∠HAD，∵DA平分∠FDB，∴∠FDA＝∠HDA，∴∠FDA＝∠HAD，∴AH∥DF，∵点E是BC边的中点，点H是BD的中点，∴EH∥CD，EH＝CD＝3.5，∴A、H、E三点共线，∴AE＝AH+EH＝2.5+3.5＝6．故答案为：6．15．解：∵BA＝BC，∠ABC＝120°，∴∠A＝∠C＝30°，∵DB⊥BC，∴∠DBC＝90°，∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝30°，∴∠A＝∠ABD，∵BD＝1，∴AD＝BD＝1，∵CD＝2BD＝2，∴AC＝AD+DC＝1+2＝3，故答案为3．16．解：分别作直线AB、CD、EF的延长线和反向延长线使它们交于点G、H、P，如图所示：∵六边形ABCDEF的六个角都是120°，∴六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60°，∴△APF、△BGC、△DHE、△GHP都是等边三角形，∴GC＝BC＝3cm，DH＝DE＝EH＝2cm，∴GH＝3+3+2＝8（cm），F A＝P A＝PG﹣AB﹣BG＝8﹣3﹣3＝2（cm），EF＝PH﹣PF﹣EH＝8﹣2﹣2＝4（cm）．∴六边形的周长为2+3+3+3+2+4＝17（cm）；故答案为：17．17．解：过A作AG⊥BC于G，∵△ABC是等边三角形，∴CG＝BC＝2，∴AG＝2，连接P A、PB、PC，∵PD，PE，PF分别垂直于BC，AC，AB，∴S△ABC＝S△APB+S△PBC+S△APC，+，AB＝AB（PE+1+PF），∴PE+PF＝2﹣1，延长DP交AB于H，∵PF⊥AB，PD⊥BC，∴∠BFP＝∠BDP＝90°，∵∠ABC＝60°，∴∠HFP＝60°，∴∠BHD＝30°，∵BD＝1，∴BH＝2，DH＝，∵PD＝1，∴PH＝﹣1，Rt△PFH中，PF＝，∴FH＝＝，∴BF＝BH﹣FH＝2﹣＝，∴AF＝4﹣BF＝，∵PE+PF＝2﹣1，∴PE＝2﹣1﹣＝，Rt△PDC中，PC＝＝＝，∴CE＝＝＝＝，∴CE+AF＝＝5故答案为：2﹣1，518．解：延长DA至M，使AM＝AB，连接BM，∵AB＝AC，∴AM＝AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝α，∴∠BAC＝180°﹣2α，∵∠BAD＝2α，∴∠MAB＝180°﹣∠BAD＝180°﹣2α，∴∠BAC＝∠MAB，在△MAB和△CAB中，∵，∴△MAB≌△CAB（SAS），∴∠M＝∠ACB＝α，BC＝BM，∴∠CAD＝180°﹣2∠BAC＝4α﹣180°，∵BM＝BC＝BD，∴∠M＝∠ADB＝∠ACB＝α，∴∠DBC＝∠DAC＝4α﹣180°，∴∠BCD＝＝90°﹣∠DBC＝90°﹣＝180°﹣2α，故答案为：180°﹣2α．19．解：∵AB＝AC＝10，∴∠B＝∠C，∵PD⊥BC，∴∠BDE＝∠CDP＝90°，∴∠E＝∠CPD＝∠APE，∴AE＝AP，∵CP＝x，∴AE＝AP＝10﹣x，∵BE＝y＝AB+AE，∴y＝10+10﹣x＝﹣x+20，故答案为：y＝﹣x+20．20．解：∵△ABC为正三角形∴∠A＝∠B＝∠C＝60°∵折叠∴△ADE≌△FDE∴∠DFE＝∠A＝60°∵∠B+∠BDF+∠BFD＝180°，∠DFE+∠BFD+∠CFE＝180°∴∠BDF+∠BFD＝120°，∠BFD+∠CFE＝120°∴∠BDF＝∠CFE∵∠CFE+∠CEF+∠C＝180°∴∠CFE+∠CEF＝120°∴∠BDF+∠CEF＝120°故答案为：120°．21．解：（1）设∠P AQ＝x，∠CAP＝y，∠BAQ＝z，∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC，∴AP＝PB，AQ＝CQ，∴∠B＝∠BAP＝x+z，∠C＝∠CAQ＝x+y，∵∠BAC＝80°，∴∠B+∠C＝100°，即x+y+z＝80°，x+z+x+y＝100°，∴x＝20°，∴∠P AQ＝20°；（2）∵△APQ周长为12，∴AQ+PQ+AP＝12，∵AQ＝CQ，AP＝PB，∴CQ+PQ+PB＝12，即CQ+BQ+2PQ＝12，BC+2PQ＝12，∵BC＝8，∴PQ＝2．22．解：（1）∵A（2，0），∴OA＝2，∵△ABO是等边三角形，∴OB＝OA＝2，∠AOB＝60°，∴∠COE＝30°，∵AE⊥OB，∴OC＝OB＝1；（2）∵AE⊥OB，∠COE＝30°，∴CE＝OC＝，OE＝2CE＝，∴点E的坐标为（0，）；（3）设直线AE的解析式为y＝kx+b，由题意得：，解得：，∴直线AE的解析式为y＝﹣x+．23．解：（1）∵△ABC是等边三角形，E为AB的中点，∴∠BCE＝30°，BE＝AE，∵ED＝EC，∴∠EDB＝∠BCE＝30°，∵∠ABD＝120°，∴∠DEB＝30°，∴DB＝EB，∴AE＝DB；（2）如图1，∵AB＝2，AE＝1，∴点E是AB的中点，由（1）知，BD＝AE＝1，∴CD＝BC+BD＝3；如图2，过A作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，∵AB＝AC，DE＝CE，∴BM＝BC＝3，CD＝2CN，∵AM⊥BC，EN⊥BC，∴AM∥EN，∴＝，∴＝，∴BN＝，∴CN＝BC﹣BN＝，∴CD＝1，综上所述，CD的长为1或3．24．（1）解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，如图1，过F作FQ∥AB，交BC于Q，过F作FN∥BC，交AC于N，∴∠FQC＝∠ABC＝60°，∴∠FQC＝∠ACB＝∠CFQ＝60°，∴△CQF是等边三角形，∴CQ＝CF，∵AC＝BC，∴AF＝BQ，∵BG＝AF，∴BQ＝BG，∵BI∥QF，∴GI＝FI，∵FN∥BG，∴∠FNI＝∠GBI，在△FNI和△GBI中，∵，∴△FNI≌△GBI（AAS），∴NI＝BI，FN＝BG，∴FN＝AF，∵FH⊥AB，∴AH＝HN，∴HI＝HN+NI＝AB＝×10＝5；（2）证明：解法一：如图2，延长CD至P，使BC＝DP，连接AP、EP，∴BD＝CP，∵AE＝BD，∴AE＝CP，在△ACP和△CAE中，∵，∴△ACP≌△CAE（SAS），∴AP＝CE，∵BE＝AB+AE，BP＝BC+CP，∴BE＝BP，∵∠ABC＝60°，∴△EBP是等边三角形，∴BP＝EP，∠EPD＝60°，∴∠EPD＝∠ABC，在△ABP和△DPE中，∵，∴△ABP≌△DPE（SAS），∴AP＝ED＝EC，∴∠ECD＝∠EDC．解法二：如图3，延长CD至P，使BC＝DP，连接EP，∴BD＝PC＝AE，∵BE＝AB+AE，BP＝BC+CP，∴BE＝BP，∵∠ABC＝60°，∴△EBP是等边三角形，∴EB＝EP，∠EPD＝60°，∴∠EPD＝∠ABC，在△EBC和△EPD中，∵，∴△EBC≌△EPD（SAS）∴EC＝ED，∴∠ECD＝∠EDC．25．证明：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠ABC＝72°，又∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝36°，∴∠BAD＝∠ABD，∴AD＝BD，又∵E是AB的中点，∴DE⊥AB，即FE⊥AB；（2）∵FE⊥AB，AE＝BE，∴FE垂直平分AB，∴AF＝BF，∴∠BAF＝∠ABF，又∵∠ABD＝∠BAD，∴∠F AD＝∠FBD＝36°，又∵∠ACB＝72°，∴∠AFC＝∠ACB﹣∠CAF＝36°，∴∠CAF＝∠AFC＝36°，∴AC＝CF，即△ACF为等腰三角形．26．解：（1）∠BAD＝180°﹣∠ABD﹣∠BDA＝180°﹣40°﹣115°＝25°；从图中可以得知，点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小；故答案为：25°；小．（2∵∠EDC+∠EDA＝∠DAB+∠B，∠B＝∠EDA＝40°，∴∠EDC＝∠DAB．，∵∠B＝∠C，∴当DC＝AB＝2时，△ABD≌△DCE，（3）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝40°，①当AD＝AE时，∠ADE＝∠AED＝40°，∵∠AED＞∠C，∴此时不符合；②当DA＝DE时，即∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣40°）＝70°，∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∴∠BAD＝100°﹣70°＝30°；∴∠BDA＝180°﹣30°﹣40°＝110°；③当EA＝ED时，∠ADE＝∠DAE＝40°，∴∠BAD＝100°﹣40°＝60°，∴∠BDA＝180°﹣60°﹣40°＝80°；∴当∠ADB＝110°或80°时，△ADE是等腰三角形．27．（1）证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∵E是AB的中点，∴AE＝DE，∴E点一定在AD的垂直平分线上；（2）解：∵AD⊥BC，∴AD＝＝＝12（cm），当F A＝AD＝12cm时，t＝＝＝4s，当F A＝FD时，则∠F AD＝∠ADF，又∵∠F AD+∠C＝∠ADF+∠FDC＝90°，∴∠C＝∠FDC，∴FD＝FC，∴F A＝FC＝AC＝cm，∴t＝＝＝s，当DF＝AD时，点F不存在，综上所述，当点F运动4s或s时，△ADF是等腰三角形．。

因式分解和分式方程（易错必刷44题18种题型专项训练）➢因式分解的意义 ➢因式分解-运用公式法 ➢提公因式法与公式法的综合运用 ➢因式分解-十字相乘法等 ➢分式有意义的条件 ➢分式有意义的条件 ➢分式的值➢因式分解-提公因式法➢因式分解-运用公式法➢因式分解-分组分解法➢因式分解的应用➢分式的值为零的条件➢分式的值为零的条件➢ 分式的基本性质 ➢分式的加减法 ➢分式的化简求值➢分式方程的解 ➢解分式方程➢分式方程的增根 ➢分式方程的应用一．因式分解的意义（共5小题）1．若多项式x 2﹣ax ﹣1可分解为（x ﹣2）（x +b ），则a +b 的值为（ ）A ．2B ．1C ．﹣2D ．﹣1【答案】A【解答】解：∵（x ﹣2）（x +b ）＝x 2+bx ﹣2x ﹣2b ＝x 2+（b ﹣2）x ﹣2b ＝x 2﹣ax ﹣1，∴b ﹣2＝﹣a ，﹣2b ＝﹣1，∴b ＝0.5，a ＝1.5，∴a+b＝2．故选：A．2．下列各式变形中，是因式分解的是（）A．a2﹣2ab+b2﹣1＝（a﹣b）2﹣1B．2x2+2x＝2x2（1+）C．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4D．x4﹣1＝（x2+1）（x+1）（x﹣1）【答案】D【解答】解：A a2﹣2ab+b2﹣1＝（a﹣b）2﹣1中不是把多项式转化成几个整式积的形式，故A错误；B2x2+2x＝2x2（1+）中不是整式，故B错误；C（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4是整式乘法，故C错误；D x4﹣1＝（x2+1）（x2﹣1）＝（x2+1）（x+1）（x﹣1），故D正确．故选：D．3．对于①x﹣3xy＝x（1﹣3y），②（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3，从左到右的变形，表述正确的是（）A．都是因式分解B．都是乘法运算C．①是因式分解，②是乘法运算D．①是乘法运算，②是因式分解【答案】C【解答】解：①x﹣3xy＝x（1﹣3y），从左到右的变形是因式分解；②（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3，从左到右的变形是整式的乘法，不是因式分解；所以①是因式分解，②是乘法运算．故选：C．4．如果把多项式x2﹣8x+m分解因式得（x﹣10）（x+n），那么m＝，n＝．【答案】见试题解答内容【解答】解：根据题意得：x2﹣8x+m＝（x﹣10）（x+n）＝x2+（n﹣10）x﹣10n∴n﹣10＝﹣8，﹣10n＝m解得m＝﹣20，n＝2；故应填﹣20，2．5．仔细阅读下面的例题，并解答问题：例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式以及m的值．解法一：设另一个因式为x+n，得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n，∴解得n＝﹣7，m＝﹣21．∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21．解法二：设另一个因式为x+n，得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）∴当x＝﹣3时，x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）＝0即（﹣3）2﹣4×（﹣3）+m＝0，解得m＝﹣21∴x2﹣4x+m＝x2﹣4x﹣21＝（x+3）（x﹣7）∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21．问题：仿照以上一种方法解答下面问题．（1）若多项式x2﹣px﹣6分解因式的结果中有因式x﹣3，则实数p＝．（2）已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是2x+5，求另一个因式及k的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1x+a，得x2﹣px﹣6＝（x﹣3）（x+a）则x2﹣px﹣6＝x2+（a﹣3）x﹣3a，∴，解得a＝2，p＝1．故答案为：1．（2）设另一个因式为（x+n），得2x2+3x﹣k＝（2x+5）（x+n）则2x2+3x﹣k＝2x2+（2n+5）x+5n∴，解得n＝﹣1，k＝5，∴另一个因式为（x﹣1），k的值为5．二．公因式（共1小题）6．多项式﹣5mx3+25mx2﹣10mx各项的公因式是（）A．5mx2B．﹣5mx3C．mx D．﹣5mx【答案】D【解答】解：﹣5mx3+25mx2﹣10mx各项的公因式是﹣5mx，故选：D．三．因式分解-提公因式法（共2小题）7．若长和宽分别是a，b的长方形的周长为10，面积为4，则a2b+ab2的值为（）A．14B．16C．20D．40【答案】C【解答】解：∵长和宽分别是a，b的长方形的周长为10，面积为4，∴2（a+b）＝10，ab＝4，∴a+b＝5，则a2b+ab2＝ab（a+b）＝20．故选：C．8．把﹣a（x﹣y）﹣b（y﹣x）+c（x﹣y）分解因式正确的结果是（）A．（x﹣y）（﹣a﹣b+c）B．（y﹣x）（a﹣b﹣c）C．﹣（x﹣y）（a+b﹣c）D．﹣（y﹣x）（a+b﹣c）【答案】B【解答】解：﹣a（x﹣y）﹣b（y﹣x）+c（x﹣y），＝a（y﹣x）﹣b（y﹣x）﹣c（x），＝（y﹣x）（a﹣b﹣c）．故选：B．四．因式分解-运用公式法（共2小题）9．若4x2﹣（k﹣1）x+9能用完全平方公式因式分解，则k的值为．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵4x2﹣（k﹣1）x+9是一个完全平方式，∴k﹣1＝±12，解得：k＝13或k＝﹣11，故选：13或﹣11．10．分解因式：（4a+b）2﹣4（a+b）2．【答案】3（2a+b）（2a﹣b）．【解答】解：（4a+b）2﹣4（a+b）2＝（4a+b）2﹣（2a+2b）2＝（4a+b+2a+2b）（4a+b﹣2a﹣2b）＝（6a+3b）（2a﹣b）＝3（2a+b）（2a﹣b）．五．提公因式法与公式法的综合运用（共3小题）11．将a3b﹣ab进行因式分解，正确的是（）A．a（a2b﹣b）B．ab（a﹣1）2 C．ab（a+1）（a﹣1）D．ab（a2﹣1）【答案】C【解答】解：a3b﹣ab＝ab（a2﹣1）＝ab（a+1）（a﹣1），故选：C．12．因式分解：（1）4m2n﹣8mn2﹣2mn（2）m2（m+1）﹣（m+1）（3）4x2y+12xy+9y（4）（x2﹣6）2+2（x2﹣6）﹣15．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）4m2n﹣8mn2﹣2mn＝2mn（2m﹣4n﹣1）；（2）m2（m+1）﹣（m+1）＝（m+1）（m2﹣1）＝（m+1）2（m﹣1）；（3）4x2y+12xy+9y＝y（4x2+12x+9）＝y（2x+3）2；（4）（x2﹣6）2+2（x2﹣6）﹣15＝（x2﹣6﹣3）（x2﹣6+5）＝（x2﹣9）（x2﹣1）＝（x+3）（x﹣3）（x+1）（x﹣1）．13．先阅读下列材料，再解答下列问题：材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2再将“A”还原，得：原式＝（x+y+1）2上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解下列问题：（1）因式分解：9+6（x﹣y）+（x﹣y）2＝．（2）因式分解：（a+b）（a+b﹣8）+16．（3）证明：若n为正整数，则式子（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）+1的值一定是某一个整数的平方．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）将“x﹣y”看成整体，令x﹣y＝A，则原式＝A2+6A+9＝（A+3）2再将“A”还原，得：原式＝（x﹣y+3）2故答案为：（x﹣y+3）2；（2）因式分解：（a+b）（a+b﹣8）+16．将“a+b”看成整体，令a+b＝A，则原式＝A（A﹣8）+16＝A2﹣8A+16＝（A﹣4）2再将“A”还原，得：原式＝（a+b﹣4）2；（3）证明：（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）+1＝（n+1）（n+4）•（n+3）（n+2）+1＝（n2+5n+4）（n2+5n+6）+1令n2+5n＝A，则原式＝（A+4）（A+6）+1＝A2+10A+25＝（A+5）2＝（n2+5n+5）2∵n为正整数，∴n2+5n+5是整数，∴式子（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）+1的值是某一个整数的平方．六．因式分解-分组分解法（共1小题）14．已知整数a，b满足2ab+4a＝b+3，则a+b的值是（）A．0或﹣3B．1C．2或3D．﹣2【答案】A【解答】解：由2ab+4a＝b+3，得：2ab+4a﹣b﹣2＝1∴（2a﹣1）（b+2）＝1，∵2a﹣1，b+2都为整数，∴或，解得或，∴a+b＝0或﹣3．故选：A．七．因式分解-十字相乘法等（共2小题）15．若多项式2x2+ax﹣6能分解成两个一次因式的积，且其中一个一次因式2x﹣3，则a的值为（）A．1B．5C．﹣1D．﹣5【答案】A【解答】解：∵多项式2x2+ax﹣6能分解成两个一次因式的积，且其中一个次因式2x﹣3，﹣6＝﹣3×2．∴2x2+ax﹣6＝（2x﹣3）（x+2）＝2x2+x﹣6．∴a＝1．故选A．16．若关于x的二次三项式x2+kx+b因式分解为（x﹣1）（x﹣3），则k+b的值为（）A．﹣1B．1C．﹣7D．7【答案】A【解答】解：由题意得：x2+kx+b＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3，∴k＝﹣4，b＝3，则k+b＝﹣4+3＝﹣1．故选：A．八．因式分解的应用（共8小题）17．已知x2+2x﹣1＝0，则x4﹣5x2+2x的值为（）A．0B．﹣1C．2D．1【答案】A【解答】解：∵x2+2x﹣1＝0，∴x2＝1﹣2x，x4﹣5x2+2x＝（x2）2﹣5x2+2x＝（1﹣2x）2﹣5（1﹣2x）+2x＝1﹣4x+4x2﹣5+10x+2x＝4x2+8x﹣4＝4（1﹣2x）+8x﹣4＝4﹣8x+8x﹣4＝0，故选：A．18．已知正数a，b满足a3b+ab3﹣2a2b+2ab2＝7ab﹣8，则a2﹣b2＝（）A．1B．3C．5D．不能确定【答案】B【解答】解：∵a3b+ab3﹣2a2b+2ab2＝7ab﹣8，⇒ab（a2+b2）﹣2ab（a﹣b）＝7ab﹣8，⇒ab（a2﹣2ab+b2）﹣2ab（a﹣b）+2a2b2﹣7ab+8＝0，⇒ab（a﹣b）2﹣2ab（a﹣b）+2a2b2﹣7ab+8＝0，⇒ab[（a﹣b）2﹣2（a﹣b）+1]+2（a2b2﹣4ab+4）＝0，⇒ab（a﹣b﹣1）2+2（ab﹣2）2＝0，∵a、b均为正数，∴ab＞0，∴a﹣b﹣1＝0，ab﹣2＝0，即a﹣b＝1，ab＝2，解方程，解得a＝2、b＝1，a＝﹣1、b＝﹣2（不合题意，舍去），∴a2﹣b2＝4﹣1＝3．故选：B．19．已知496﹣1可以被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（）A．61，63B．63，65C．65，67D．63，64【答案】B【解答】解：利用平方式公式进行分解该数字：496﹣1＝（448+1）（448﹣1）＝（448+1）（424+1）（424﹣1）＝（448+1）（424+1）（412+1）（46+1）（43+1）（43﹣1）＝（448+1）（424+1）（412+1）（46+1）×65×63故选：B．20．已知x2+x＝1，那么x4+2x3﹣x2﹣2x+2020的值为（）A．2019B．2020C．2021D．2022【答案】A【解答】解：∵x2+x＝1，∴x4+2x3﹣x2﹣2x+2020＝x4+x3+x3﹣x2﹣2x+2020＝x2（x2+x）+x3﹣x2﹣2x+2020＝x2+x3﹣x2﹣2x+2020＝x（x2+x）﹣x2﹣2x+2020＝x﹣x2﹣2x+2020＝﹣x2﹣x+2020＝﹣（x2+x）+2020＝﹣1+2020＝2019．故选：A．21．已知x2+x+1＝0，则x2019+x2018+x2017+…+x+1的值是（）A．0B．1C．﹣1D．2【答案】B【解答】解：原式＝（x2019+x2018+x2017）+（x2016+x2015+x2014）+•+（x3+x2+x）+1＝x2017（x2+x+1）+x2014（x2+x+1）+•+x（x2+x+1）+1＝0+0+0+•+0+1＝1．故选：B．22．已知a+b＝2，则a2﹣b2+4b的值为．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵a+b＝2，∴a2﹣b2+4b，＝（a+b）（a﹣b）+4b，＝2（a﹣b）+4b，＝2a+2b，＝2（a+b），＝2×2，＝4．故答案为：4．23．a，b，c是△ABC的三边，若（a2+b2）（a﹣b）＝c2（a﹣b），则△ABC的形状是三角形．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵（a2+b2）（a﹣b）＝c2（a﹣b）∴（a﹣b）（a2+b2﹣c2）＝0∴a﹣b＝0或a2+b2﹣c2＝0，①当a﹣b＝0时，解得：a＝b，此时△ABC是等腰三角形；②直角三角形，理由如下，如图所示：在△ABC中，设AB＝c，AC＝b，BC＝a，∠ACB＝90°，四个全等直角三角拼接成边长为c的大正方形，边长为a﹣b的小正方形，由面积的和差得：S正方形ABMN＝S正方形CDEF+4•S△ABC，∴＝a2﹣2ab+b2+2ab＝a2+b2∴a2+b2﹣c2＝0即△ABC是直角三角形；故答案为等腰或直角．24．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣4n+4＝0，求m，n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣4n+4＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣4n+4）＝0，∴（m﹣n）2+（n﹣2）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣2）2＝0，∴n＝2，m＝2．（1）a2+b2+6a﹣2b+10＝0，则a＝，b＝．（2）已知x2+2y2﹣2xy+8y+16＝0，求xy的值．（3）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣8b+18＝0，求△ABC的周长．【答案】见试题解答内容【解答】（1）解：由：a2+b2+6a﹣2b+10＝0，得：（a+3）2+（b﹣1）2＝0，∵（a+3）2≥0，（b﹣1）2≥0，∴a+3＝0，b﹣1＝0，∴a＝﹣3，b＝1．故答案为：﹣3；1．（2）由x2+2y2﹣2xy+8y+16＝0得：（x﹣y）2+（y+4）2＝0∴x﹣y＝0，y+4＝0，∴x＝y＝﹣4∴xy＝16．答：xy的值为16．（3）由2a2+b2﹣4a﹣8b+18＝0得：2（a﹣1）2+（b﹣4）2＝0，∴a﹣1＝0，b﹣4＝0，∴a＝1，b＝4；已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，由三角形三边关系知c＝4，∴△ABC的周长为9．九．分式有意义的条件（共1小题）25．当x＝时，分式无意义．【答案】见试题解答内容【解答】解：根据题意得：x（x﹣1）＝0，解得x1＝0，x2＝1．故答案为：0或1．十．分式的值为零的条件（共1小题）26．如果分式的值为0，那么x的值为（）A．﹣1B．1C．﹣1或1D．1或0【答案】B【解答】解：根据题意，得：|x|﹣1＝0且x+1≠0，解得，x＝1．故选：B．十一．分式的值（共1小题）27．若1＜x＜2，则的值是（）A．﹣3B．﹣1C．2D．1【答案】D【解答】解：∵1＜x＜2，∴x﹣2＜0，x﹣1＞0，x＞0，∴原式＝﹣1﹣（﹣1）+1＝1，故选：D．十二．分式的基本性质（共3小题）28．若＝2，则＝．【答案】见试题解答内容【解答】解：由＝2，得x+y＝2xy则＝＝＝．故答案为．29．若把分式中的x和y都变为原来的3倍，那么分式的值（）A．变为原来的3倍B．变为原来的C．变为原来的D．不变【答案】B【解答】解：用3x和3y代替式子中的x和y得：，则分式的值变为原来的．故选：B．30．阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；，这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．如：，；解决下列问题：（1）分式是分式（填“真”或“假”）；（2）将假分式化为带分式；（3）如果x为整数，分式的值为整数，求所有符合条件的x的值．【答案】（1）真；（2）x﹣2+；（3）﹣1或﹣3或11或﹣15．【解答】解：（1）分式是真分式；故答案为：真；（2）；（3）原式＝，∵分式的值为整数，∴x+2＝±1或±13，∴x＝﹣1或﹣3或11或﹣15．十三．分式的加减法（共2小题）31．如图，若x为正整数，则表示﹣的值的点落在（）A．段①B．段②C．段③D．段④【答案】B【解答】解∵﹣＝﹣＝1﹣＝又∵x为正整数，∴≤＜1故表示﹣的值的点落在②故选：B．32．分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如，．（1）将假分式化为一个整式与一个真分式的和；（2）若分式的值为整数，求x的整数值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）由题可得，＝＝2﹣；（2）＝＝＝x﹣1+，∵分式的值为整数，且x为整数，∴x+1＝±1，∴x＝﹣2或0．十四．分式的化简求值（共1小题）33．先化简，再求值：，然后从0，1，2，3四个数中选择一个恰当的数代入求值．【答案】，﹣．【解答】解：原式＝（﹣）•＝•＝，∵x≠3，0，2，∴当x＝1时，原式＝＝﹣．十五．分式方程的解（共4小题）34．若关于x的分式方程﹣1＝无解，则m的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：方程两边同乘x（x﹣3），得x（2m+x）﹣（x﹣3）x＝2（x﹣3）（2m+1）x＝﹣6x＝﹣，当2m+1＝0，方程无解，解得m＝﹣．x＝3时，m＝﹣，x＝0时，m无解．故答案为：﹣或﹣．35．若方程的根为正数，则k的取值范围是（）A．k＜2B．﹣3＜k＜2C．k≠﹣3D．k＜2且k≠﹣3【答案】A【解答】解：方程两边都乘以（x+3）（x+k）得：3（x+k）＝2（x+3），3x+3k＝2x+6，3x﹣2x＝6﹣3k，x＝6﹣3k，∵方程的根为正数，∴6﹣3k＞0，解得：k＜2，∵分式方程的解为正数，x+3≠0，x+k≠0，x≠﹣3，k≠3，即k的范围是k＜2，故选：A．36．已知关于x的分式方程＝1的解是非负数，则m的取值范围是．【答案】见试题解答内容【解答】解：去分母得，m﹣3＝x﹣1，解得x＝m﹣2，由题意得，m﹣2≥0，解得，m≥2，x＝1是分式方程的增根，所有当x＝1时，方程无解，即m≠3，所以m的取值范围是m≥2且m≠3．故答案为：m≥2且m≠3．37．若关于x的方程有正整数解，且关于x的不等式组有且只有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和为．【答案】﹣4．【解答】解：方程的解为x＝，根据题意，得，解得a＜1，a为奇数且a≠﹣5．∵不等式的解集为﹣5≤x＜，且只有3个整数解，∴﹣3＜≤﹣2，解得﹣7＜a≤1．综上：﹣7＜a＜1，a为奇数且a≠﹣5，∴a＝﹣3，﹣1．∵﹣3﹣1＝﹣4，∴符合条件的所有整数a的和为﹣4故答案为：﹣4．十六．解分式方程（共2小题）38．解方程：（1）；（2）．【答案】（1）无解；（2）x＝﹣2．【解答】解：（1），原分式方程可化为：+2＝，﹣3+2（x﹣4）＝1﹣x，﹣3+2x﹣8＝1﹣x，2x+x＝1+8+3，3x＝12，x＝4，检验：把x＝4代入（x﹣4）＝0，∴原分式方程无解；（2），原分式方程可化为：﹣1＝，1+4x﹣（x﹣2）＝﹣3，1+4x﹣x+2＝﹣3，4x﹣x＝﹣3﹣1﹣2，3x＝﹣6，x＝﹣2，检验：把x＝﹣2代入（x﹣2）≠0，∴原分式方程解为x＝﹣2．39．代数式的值比代数式的值大4，则x＝．【答案】见试题解答内容【解答】解：由题意得：﹣＝4，x+2＝4（2x﹣3），解得：x＝2，检验：当x＝2时，2x﹣3≠0，∴x＝2是原方程的根，故答案为：2．十七．分式方程的增根（共1小题）40．若方程＝1有增根，则它的增根是（）A．0B．1C．﹣1D．1和﹣1【答案】B【解答】解：方程两边都乘（x+1）（x﹣1），得6﹣m（x+1）＝（x+1）（x﹣1），由最简公分母（x+1）（x﹣1）＝0，可知增根可能是x＝1或﹣1．当x＝1时，m＝3，当x＝﹣1时，得到6＝0，这是不可能的，所以增根只能是x＝1．故选：B．十八．由实际问题抽象出分式方程（共1小题）41．在临桂新区建设中，需要修一段全长2400m的道路，为了尽量减少施工对县城交通工具所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8天完成任务，求原计划每天修路的长度．若设原计划每天修路xm，则根据题意可得方程．【答案】见试题解答内容【解答】解：原计划用的时间为：，实际用的时间为：．所列方程为：，故答案为：．十九．分式方程的应用（共3小题）42．甲、乙两人加工同一种零件，甲每天加工的数量是乙每天加工数量的1.5倍，两人各加工600个这种零件，甲比乙少用5天．（1（2）已知甲、乙两人加工这种零件每天的加工费分别是150元和120元，现有3000个这种零件的加工任务，甲单独加工一段时间后另有安排，剩余任务由乙单独完成．如果总加工费不超过7800元，那么甲至少加工了多少天？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设乙每天加工x个零件，则甲每天加工1.5x个零件，由题意得：＝+5化简得600×1.5＝600+5×1.5x解得x＝40∴1.5x＝60经检验，x＝40是分式方程的解且符合实际意义．答：甲每天加工60个零件，乙每天加工，40个零件．（2）设甲加工了a天，乙加工了b天，则由题意得，由①得b＝75﹣1.5a③将③代入②得150a+120（75﹣1.5a）≤7800解得a≥40，当a＝40时，y＝15，符合问题的实际意义．答：甲至少加工了40天．43．在“扶贫攻坚”活动中，某单位计划选购甲、乙两种物品慰问贫困户．已知甲物品的单价比乙物品的单价高10元，若用500元单独购买甲物品与450元单独购买乙物品的数量相同．①请问甲、乙两种物品的单价各为多少？②如果该单位计划购买甲、乙两种物品共55件，总费用不少于5000元且不超过5050元，通过计算得出共有几种选购方案？【答案】见试题解答内容【解答】解：①设乙种物品单价为x元，则甲种物品单价为（x+10）元，由题意得：＝解得x＝90经检验，x＝90符合题意∴甲种物品的单价为100元，乙种物品的单价为90元．②设购买甲种物品y件，则乙种物品购进（55﹣y）件由题意得：5000≤100y+90（55﹣y）≤5050解得5≤y≤10∴共有6种选购方案．44．某项工程，乙队单独完成所需天数是甲队单独完成所需天数的1.5倍；若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天刚好如期完成．（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？（2）已知甲队每天的施工费用为2.5万元，乙队每天的施工费用为2万元，工程预算的施工费用为160万元．①若在甲、乙工程队工作效率不变的情况下使施工时间最短，问安排预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？②若要求施工总费用不超预算又要如期完工，问甲工程队至少需要施工几天？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设甲队单独完成这项工程需要x天，则乙队单独完成这项工程需要1.5x天．根据题意，得：（10+30）+×30＝1，解得x＝60．经检验，x＝60是原方程的根．∴1.5x＝60×1.5＝90．答：甲、乙两队单独完成这项工程分别需60天和90天．（2）①设甲、乙两队合作完成这项工程需要y天，（+）y＝1，解得：y＝36，36×（2.5+2）＝162（万元），∵162＞160，∴不够，需追加162﹣160＝2（万元），答：不够用，需追加预算2万元；②甲工程队需要施工a天，乙工程队需要施工b天，根据题意得：，由①得：2b＝180﹣3a③，把③代入②得：2.5a+180﹣3a≤160，a≥40，∴甲工程队至少需要施工40天．。

八年级下册易错题第一章 三角形的证明1.已知等腰三角形的两边长分别为5㎝、2㎝，则该等腰三角形的周长是（D ） A ．7㎝ B ．9㎝ C ．12㎝或者9㎝ D ．12㎝考查知识点：三角形的基本知识及等腰三角形边的关系：任意两边之和大于第三边，等腰三角形两腰相等， 因此只能是：5cm ，5cm,2cm.2.一个等腰三角形的一个角是40°，则它的底角是（D ） A ．40° B ．50° C ．60° D ．40°或70°考查知识点：三角形的内角和及等腰三角形两底角相等：①当40°是顶角时，底角就是70°；②40°就是一个底角.3.已知△ABC 的三边长分别是6cm 、8cm 、10cm ，则最长边上的高是（D ）A.2.4cmB.3cmC.4cmD. 4.8cm提示：设最长边上的高为h,由题意可得△ABC 是直角三角形，利用面积相等求，即h .10.218.6.21 解得h=4.84.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为300，腰长为6，则其底边上的高是3或33. 解：①三角形是钝角三角形时，如图1，∵∠ABD=30°∴AD=21AB=21×6=3， ∵AB=AC ， ∴∠ABC=∠ACB=21∠BAD=21(90°-30°)=30°， ∴∠ABD=∠ABC ，∴底边上的高AE=AD=3；②三角形是锐角三角形时，如图2，∵∠ABD=30° ∴∠A=90°-30°=60°， ∴△ABC 是等边三角形，∴底边上的高为23×6=33 综上所述，底边上的高是3或335.到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形（B ）的交点.A.三个内角平分线B.三边垂直平分线C.三条中线D.三条高考查的知识点：三角形三边垂直平分线的交点到到三角形三个顶点的距离相等【归纳为：点到点距离相等，为垂直平分线上的点】还有一个：三角形三个内角平分线的交点到三角形三边的距离相等【归纳为：点到线的距离相等，为角平分线的交点，此时的距离有“垂直”】6.如图，在△ABC 中，AB=5，AC=3，BC 的垂直平分线交AB 于D ，交BC 于E ，则△ADC 的周长等于8考查的知识点：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等7. 用反证法证明：一个三角形中至少有一个内角小于或等于60°.答案：已知：△ABC , 求证：△ABC 中至少有一个内角小于或等于60° 证明：假设△ABC 中没有一个内角小于或等于60°，即每一内角都大于60° 则∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°∴∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180° 即∠A+∠B+∠C>180°，这与三角形的内角和为180度矛盾．假设不成立． ∴△ABC 中至少有一个内角小于或等于60°考查知识：反证法，用反证法进行证明时先写出已知、求证，再假设求证的反面成立，推出与题设、定理等相矛盾的结论，从而肯定原结论成立【注意：反证法一般很少用到，除非是题目要求用反证法证明，否则一般不考虑该方法】8. 如图所示，∠AOB=30°，OC 平分∠AOB ，P 为OC 上任意一点，PD ∥OA 交OB 于点D ，PE ⊥OA 于点E ，若PE=2cm ，则PD=_________cm ．解：过点P 作PF ⊥OB 于F ， ∵∠AOB=30°，OC 平分∠AOB ， ∴∠AOC=∠BOC=15°， ∵PD ∥OA ，∴∠DPO=∠AOP=15°， ∴∠DPO=∠AOP=15°， ∴∠BOC=∠DPO ， ∴PD=OD=4cm ，∵∠AOB=30°，PD ∥OA ， ∴∠BDP=30°， ∴在Rt △PDF 中，PF=21PD=2cm ， ∵OC 为角平分线，PE ⊥OA ，PF ⊥OB, ∴PE=PF ，∴PE=PF=2cm9.如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点E ，过点E 作MN ∥BC 交AB 于M ，交AC 于N ，若BM+CN=9，则线段MN 的长为（ ） A.6 B.7 C.8 D.9解：∵∠ABC 、∠ACB 的平分线相交于点E ，∴∠MBE=∠EBC ，∠ECN=∠ECB ， ∵MN ∥BC ，∴∠EBC=∠EBC ，∠ECN=∠ECB ， ∴BM=ME ，EN=CN ， ∴MN=BM+CN ， ∵BM+CN=9， ∴MN=9考查知识点：平行+平分，必有等腰三角形10.如图，AD 是△ABC 的角平分线，DF ⊥AB ，垂足为F ，DE=DG ，△ADG 和△AED 的面积分别为50和39，则△EDF 的面积为（B ） A.11 B.5.5 C.7 D.3.5解：作DM=DE 交AC 于M ，作DN ⊥AC ， ∵在△AED 和△AMD 中∴△AED ≌△AMD ∴ADM ADE S S V V = ∵DE=DG ，DM=DE ， ∴DM=DG ，∵AD 是△ABC 的外角平分线，DF ⊥AB ， ∴DF=DN ，在Rt △DEF 和Rt △DMN 中，Rt △DEF ≌Rt △DMN （HL ），∵△ADG 和△AED 的面积分别为50和39， ∴ADM ADG MDG S S S V V V -==50-39=11MDG DEF DNM S S S V V V 21===21×11=5.5考查知识点：角平分线上的点到角两边的距离相等及三角形的全等11．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C 到AB 的距离是（A ） A.B.C.D.解：在Rt △ABC 中，AC=9，BC=12，根据勾股定理得：AB=151292222=+=+BC AC 过C 作CD ⊥AB ，交AB 于点D ，则由ABC S V =21AC ．BC=21AB ．CD ，得CD=AB BC AC .=1512x 91=536考查知识：利用面积相等法12.如图，在△ABC 中AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，AD 、CE 交于点H ，已知EH=EB=3，AE=4，则CH 的长是（A ）A.1 B.2 C.3 D.4解：∵AD ⊥BC ， ∴∠EAH+∠B=90°， ∵CE ⊥AB ，∴∠EAH+∠AHE=90°，∵EH=EB ，在△AEH 和△CEB 中，∴△AEH ≌△CEB （ASA ） ∴CE=AE ，∵EH=EB=3，AE=4， ∴CH=CE-EH=4-3=1考查知识：利用三角形全等求线段长度.13.如图，在△ABC 中，AD 是中线，AE 是角平分线，CF ⊥AE 于点F ，AB=5,AC=2,则DF 的长为23.解：延长CF 交AB 于点G ， ∵AE 平分∠BAC ， ∴∠GAF=∠CAF ， ∵AF 垂直CG ， ∴∠AFG=∠AFC ， 在△AFG 和△AFC 中，∴△AFG ≌△AFC （ASA ） ∴AC=AG ，GF=CF ， 又∵点D 是BC 的中点， ∴DF 是△CBG 的中位线， ∴DF=21BG=21（AB-AG ）=21（AB-AC ）=23点评：本题考查了三角形的中位线定理，解答本题的关键是作出辅助线，一般出现既是角平分线又是高的情况，我们就需要寻找等腰三角形．14.如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，FE 垂直平分AD ，交AD 于E ，交BC 的延长线于F. 求证：∠CAF=∠B.解：∠B=∠CAF. ∵FE 垂直平分AD ， ∴FA=FD ，∵AD为∠BAC的平分线，∴∠CAD=∠BAD又∵∠CAF=∠FAD=∠CAD，∠B=∠ADF-∠BAD，∴∠B=∠CAF点评：此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的定义及三角形的外角等知识点.15.如图，OA、OB表示两条相交的公路，点M、N是两个工厂，现在要在∠AOB内建立一个货物中转站P，使中转站到公路OA、OB的距离相等，并且到工厂M、N的距离也相等，用尺规作出货物中转站P的位置．解：①作∠AOB的角平分线；②连接MN，作MN的垂直平分线，交OM于一点，交点就是所求货物中转站的位置．16. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．（1）求证：△ACD≌△AED；（2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长．(1)证明：∵AD平分∠CAB∴∠CAD=∠EAD∵DE⊥AB，∠C=90°，∴∠ACD=∠AED=90°又∵AD=AD，∴△ACD≌△AED（2）解：∵△ACD≌△AED∴DE=CD=1∵∠B=30°，∠DEB=90°，∴BD=2DE=217.如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF．（1）求证：BF=2AE；（2）若CD=，求AD的长．（1）证明：∵AD⊥BC，∠BAD=45°∴∠ABD=∠45°=∠BAD∴AD=BD∵BE⊥AC∴∠CAD+∠AFE=90°∵AD⊥BC∴∠FBD=∠BFD=90°∴∠CAD=∠FBD又∠ADC=∠BDF=90° ∴△ADC ≌△BDF ∴AC=BF∵AB=BC ，BE ⊥AC ∴AC=2AE ∴BF=2AE(2)解：设AD=x ，则BD=x ∴AB=BC=2+x∵△ABD 是等腰直角三角形 ∴AB=2AD ∴2+x=2x 解得x=2+2即AD=2+218.如图，已知△ABC 是等边三角形，D 、E 分别在BA 、BC 的延长线上，且AD=BE.求证：DC=DE 证明：延长BE 至F ，使EF=BC ∵△ABC 是等边三角形 ∴∠B=60°，AB=BC ∴AB=BC=EF∵AD=BE ，BD=AB+AD, BF=BE+EF ∴BD=BF∴△BDF 是等边三角形 ∴∠F=60°，BD=FD 在△BCD 和△FED 中， BC=EF∠B=∠F=60° BD=FD∴△BCD ≌△FED （SAS ） ∴DC=DE19.如图，在△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，D 是AC 上一点，AE ⊥BD 交BD 的延长线于E ，且AE=21BD ，求证：BD 是∠ABC 的角平分线.证明：延长AE 、BC 交于点F ∵AE ⊥BE∴∠BEF=90°，又∠ACF=∠ACB=90° ∴∠DBC+∠AFC=∠FAC+∠AFC=90° ∴∠DBC=∠FAC 在△ACF 和△BCD 中∴△ACF ≌△BCD （ASA ） ∴AF=BD 又AE=21BD ∴AE=EF,即点E 是AF 的中点 ∴AB=BF∴BD 是∠ABC 的角平分线20.如图，在△ABC 中，分别以AC 、AB 为边，向外作正△ACD ，正△ABE ，BD 与AE 相交于F ，连接AF ，求证：AF 平分∠DME证明：过点A 分别作AM ⊥BD,AN ⊥CE,分别交BD ，CE 于M ，N 两点 ∵△ABE 和△ACD 均为等边三角形， ∴∠EAB=∠CAD=60°，AD=AC，AB=AE∵∠EAC=∠BAD=60°+∠BAC ， ∴△EAC ≌△BAD ，∴ AM BD S AN CE S BAD EAC .21.21===V V CE=BD ∴AN=AM∴AF 平分∠DME （在角的内部到角两边距离相等的点在该角的平分线上）21.如图，已知：AB=AC ，∠A=90°，AF=BE,BD=DC.求证：FD ⊥ED.证明：连接AD. ∵∠A=90° AB=AC D 是BC 的中点 ∴AD ⊥BC ∠ADB=90° ∠B=45°=∠CAD AD=BD （直角三角形中，中线等于斜边的一半）且BE=AF ∴易证△BED ≌△AFD （SAS ） ∴∠BDE=∠ADF ∵∠ADE+∠EDB=∠ADB=90° ∴∠ADF+∠ADE=90° ∴ED ⊥FD第二章 不等式(组)不等式基本性质例：如果x ＞y ，那么下列各式中正确的是（C ） A ．x-2＜y-2 B ．2x ＜2yC ．-2x ＜-2yD ．-x ＞-y 1.系数含有字母的不等式（组）解题思路：先把字母系数当做已知数，解除未知数的取值范围，再根据题意及不等式的性质或解不等式组的方法进行计算【特别注意：“=”一定要考虑，如果满足题意则要取，不满足题意就不取】(2) 已知关于x 的不等式（1-a ）x ＞2的解集为x ＜a-12，则a 的取值范围是a ＞1. 提示：利用不等式的基本性质三：a-1＜0 （3）如果不等式组⎩⎨⎧<+>-00b x a x 的解集是3<x <5,那么a=3,b=-5.提示：解得不等式组的解集为：a<x <-b而不等式组的解集为：3<x <5 ∴a=3,b=-5(4) 如果不等式 ⎩⎨⎧><m x x 8无解,那么m 的取值范围是 （B ）A ．m ＞8 B.m ≥8 C.m ＜8 D.m ≤8提示：不等式组无解的条件是：比大的还大，比小的还小；∴m ≥8【“=”一定要考虑，这个题取“=”就满足题意】(5)如果不等式组⎩⎨⎧>-<+m x x x 148的解集是3>x ，则m 的取值范围是(A )． A ．m ≤3 B ． m ≥3 C ．m=3 D ．m ＜3提示：不等式组解集：同大取大；解不等式组得而该不等式组的解集是3>x ，∴m ≤3【“=”一定要考虑，这个题取“=”就满足题意】(6)关于x 的不等式组()⎪⎩⎪⎨⎧->-+--<-325251263x x a x x 有三个整数解，则a 的取值范围是65-＜a ≤32-． 解：解该不等式组得∵有三个整数解 ∴2＜x ＜6a+10∴三个整数解应该是3,4,5 ∴5＜6a+10≤6 解得65-＜a ≤32- 【自己解答】(7) 若方程组⎩⎨⎧+=++=+3654,2m y x m y x 的解x ，y 均为正数，求m 的取值范围.提示：先将m 当作已知数，将x 、y 用含m 的式子表示出来，然后利用x ，y 均为正数，列出含m 的不等式组，解出m 的取值范围【自己解】2.解不等式（组）【不等式组的结果不能写成大括号的形式】 （1）解不等式1213312+-≥+）（x x ，并将解集在数轴上表示出来； （2）解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+--+<-1215312)1(315x x x x ，并把它的解集表示在数轴上.3.一元一次不等式（组）与一次函数利用一次函数解一元一次不等式（组）：实质就是比较两个函数y 值得大小，函数值（y ）越大，图像越高，函数值（y ）越小，图像越高低，这里一般是让求自变量x 的取值范围，找出与x 轴交点的横坐标（指一元一次不等式），看让求图像在x 轴以上的自变量的取值范围（还是图像在x 轴以下的自变量的取值范围）；或找出函数交点的横坐标，然后看在该交点以左满足题意还是交点以右满足题意. (1)函数y ＝kx ＋b （k 、b 为常数，k ≠0）的图象如图所示，则关于x 的不等 式kx+b>0的解集为（C ）．A ．x>0B ．x<0C ．x<2D ．x>2（2）直线b x k y l +=11:与直线x k y l 22:=在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式x k b x k 21>+的解为x<-14.一元一次不等式（组）应用题◆一件商品的进价是500元，标价为600元，打折销售后要保证获利不低于8%，则此商品最多打9折.商品销售中需注意的地方：①“进价”也叫“成本”；“售价”也叫“标价”；②获利是在进价的基础上获利；打折是在售价基础上打折；③打几折就是给售价×10x 解：设可以打x 折． 那么（600×10x-500）÷500≥8% 解得x ≥9．故答案为：9．◆某商贩去菜摊买黄瓜，他上午买了30斤，价格为每斤x 元；下午，他又买了20斤．价格为每斤y 元．后来他以每斤2yx +元的价格卖完后，结果发现自己赔了钱，其原因是（B ） <B ．>C ．≤D ．≥惠方式：第一种：买一支毛笔附赠一本书法练习本； 第二种：按购买金额打九折付款。

八年级数学下册第一章《三角形的证明》易错题之角平分线综合专练（三）1．如图，BD是∠ABC的平分线，AD＝CD．求证：∠DAB+∠BCD＝180°．2．如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，∠ACB的平分线交AD于E，交AB于F，FG⊥BC于G，请猜测AE与FG之间有怎样的关系，并说明理由．3．已知：如图，P是OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，F、G分别是OA、OB 上的点，且PF＝PG，DF＝EG．求证：OC是∠AOB的平分线．4．在△ABC中，AE、BF是角平分线，交于O点．（1）如图1，AD是高，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAC和∠BOA的度数．（2）如图2，若OE＝OF，AC≠BC，求∠C的度数．（3）如图3，若∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，AB＝10，求S△AOB．5．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，则＝吗？请说明理由．6．如图①，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），OC＝4OB．（1）若△ABC的面积为10，分别求点B、C的坐标；（2）如图①，向x轴正方向移动点B，使∠ABC﹣∠ACB＝90°，作∠BAC的平分线AD交x轴于点D，求∠ADO的度数；（3）如图②，在（2）的条件下，线段AD上有一动点Q，作∠AQM＝∠DQP，它们的边分别交x、y轴于点M、P，作∠FMG＝∠DMQ，试判断FM与PQ的位置关系，并说明理由．7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC上一点，DF∥AB交AC于点F，BD ＝DF＝AF，DE⊥AB于点E．求证：（1）AD平分∠BAC；（2）CF＝BE．8．小明采用如图所示的方法作∠AOB的平分线OC：将带刻度的直角尺DEMN按如图所示摆放，使EM边与OB边重合，顶点D落在OA边上并标记出点D的位置，量出OD 的长，再重新如图放置直角尺，在DN边上截取DP＝OD，过点P画射线OC，则OC 平分∠AOB．请判断小明的做法是否可行？并说明理由．9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BE＝FC．求证：BD＝DF．10．如图所示，OC平分∠AOB，OA＝OB，P为OC上一点，PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分别为E，F．求证：PE＝PF．11．（1）如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则有相等关系DE＝DF，AE＝AF．（2）如图2，在（1）的情况下，如果∠MDN＝∠EDF，∠MDN的两边分别与AB、AC 相交于M、N两点，其它条件不变，那么又有相等关系AM+ ＝2AF，请加以证明．（3）如图3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC 交BC于D，∠MDN＝120°，ND∥AB，求四边形AMDN的周长．12．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE＝CF．求证：AD是△ABC的角平分线．13．如图直线EF∥GH，点A、点B分别在EF、GH上，连接AB，∠FAB的角平分线AD 交GH于D，过点D作DC⊥AB交AB延长线于点C，若∠CAD＝36°，求∠BDC的度数．14．在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连接AD．（1）如图①，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ACD＝；（2）如图②，当AD是∠BAC的平分线时，若AB＝m，AC＝n，求S△ABD：S△ACD的值（用含m，n的代数式表示）；（3）如图③，AD平分∠BAC，延长AD到E，使得AD＝DE，连接BE，如果AC＝2，AB＝4，S△BDE＝6，求S△ABC的值．15．已知：如图，AD是∠BAC的平分线，∠B＝∠EAC，ED⊥AD于D．求证：DE平分∠AEB．16．如图，△ABC中，P是角平分线AD，BE的交点．求证：点P在∠C的平分线上．参考答案1．证明：作DE⊥BA于E，DF⊥BC于F，∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥BA，DF⊥BC，∴DE＝DF，在Rt△ADE和Rt△CDF中，，∴Rt△ADE≌Rt△CDF，∴∠DAE＝∠DCB，∵∠DAB+∠DAE＝180°，∴∠DAB+∠BCD＝180°．2．解：AE＝FG，AE∥FG．理由如下：∵CF是∠ACB的平分线，∠BAC＝90°，FG⊥BC，∴FA＝FG，∠AFC＝∠CED，∵∠AEF＝∠CED，∴∠AEF＝∠AFC，∴AE＝AF，∴AE＝FG，∵AD⊥BC，FG⊥BC，∴AE∥FG，∴AE＝FG，AE∥FG．3．证明：在Rt△PFD和Rt△PGE中，，∴Rt△PFD≌Rt△PGE（HL），∴PD＝PE，∵P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，∴OC是∠AOB的平分线．4．解：（1）∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵∠C＝70°，∴∠DAC＝180°﹣90°﹣70°＝20°；∵∠BAC＝50°，∠C＝70°，∴∠BAO＝25°，∠ABC＝60°，∵BF是∠ABC的角平分线，∴∠ABO＝30°，∴∠BOA＝180°﹣∠BAO﹣∠ABO＝180°﹣25°﹣30°＝125°；（2）连接OC，∴AE、BF是角平分线，交于O点，∴OC是∠ACB的角平分线，∴∠OCF＝∠OCE，过O作OM⊥BC，ON⊥AC，则OM＝ON，在Rt△OEM与Rt△OFN中，，∴Rt△OEM≌Rt△OFN，（HL），∴∠EOM＝∠FON，∴∠MON＝∠EOF＝180°﹣∠ACB，∵AE、BF是角平分线，∴∠AOB＝90°+∠ACB，即90°+∠ACB＝180°﹣∠ACB，∴∠ACB＝60°；（3）连接OC，过O作OD⊥AB于D，OG⊥BC于G，OH⊥AC于H，∵AE、BF是角平分线，交于O点，∴OD＝OG＝OE，∴S△ABC＝×8×6＝×10OD+6×OG+8×OH，∴OD＝2，∴S△AOB＝10×2＝10．5．解：＝，理由如下：过点D作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，过点A作AH⊥BC于点H，如图所示．∵AD平分∠BAC，∴DE＝DF．∵S△ABD＝AB•DE＝BD•AH，S△ACD＝AC•DF＝CD•AH，∴＝＝＝．6．解：（1）∵点A的坐标为（0，4），∴OA＝4，∵△ABC的面积为10，∴×AO×BC＝10，∴BC＝5，∵OC＝4OB，∴OB＝，OC＝，∴点B（，0），点C（，0）；（2）∵∠ABC﹣∠ACB＝90°，∠ABC＝90°+∠BAO，∴∠BAO＝∠ACB，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠CAD+∠DAC＝∠BAO+∠BAD，∴∠DAO＝∠ADO，∵∠DAO+∠ADO＝90°，∴∠DAO＝∠ADO＝45°；（3）FM⊥PQ，理由如下：延长FM交QP于H，设∠DQP＝∠AQM＝x，∠FMG＝∠DMQ＝y，则∠DMH＝∠FMG＝y，∠AQM＝∠QMD+∠QDM，即x＝y+45°，∴∠1＝180°﹣∠DQP﹣∠ADO＝90°﹣y，则∠2＝∠1＝90°﹣y，∴∠2+∠DMH＝y+90°﹣y＝90°，∴∠MHQ＝90°，即FM⊥PQ．7．证明：（1）∵DF＝AF，∴∠FAD＝∠FDA，∵DF∥AB，∴∠BAD＝∠FDA，∴∠FAD＝∠BAD，即AD平分∠BAC；（2）∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DC＝DE，在Rt△CDF和Rt△EDB中，，∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），∴CF＝BE．8．解：小明的做法可行．理由如下：在直角尺DEMN中，DN∥EM，∴∠DPO＝∠POM，∵DP＝OD，∴∠DPO＝∠DOP，∴∠POM＝∠DOP，∴OC平分∠AOB．9．证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，∴DC＝DE，在△DCF和△DEB中，，∴△DCF≌△DEB，（SAS），∴BD＝DF．10．证明：在△AOC和△BOC中，，∴△AOC≌△BOC，∴∠ACO＝∠BCO，又PE⊥AC，PF⊥BC，∴PE＝PF．11．（1）证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED＝∠AFD＝90°，在△ADE和△ADF中，，∴△ADE≌△ADF（AAS），∴DE＝DF，AE＝AF；（2）解：AM+AN＝2AF；证明如下：由（1）得DE＝DF，∵∠MDN＝∠EDF，∴∠MDE＝∠NDF，在△MDE和△NDF中，，∴△MDE≌△NDF（ASA），∴ME＝NF，∴AM+AN＝（AE+ME）+（AF﹣NF）＝AE+AF＝2AF；（3）由（2）可知AM+AN＝2AC＝2×6＝12，∵∠BAC＝60°，AD平分∠BAC交BC于D，∴∠BAD＝∠CAD＝30°，∵ND∥AB，∴∠ADN＝∠BAD＝30°，∴∠CAD＝∠ADN，∴AN＝DN，在Rt△CDN中，DN＝2CN，∵AC＝6，∴DN＝AN＝×6＝4，∵∠BAC＝60°，∠MDN＝120°，∴∠CDE＝∠MDN，∴DM＝DN＝4，∴四边形AMDN的周长＝12+4×2＝20．12．证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴Rt△BDE和Rt△CDF是直角三角形．，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴DE＝DF，又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD是角平分线．13．解：∵∠FAB的角平分线AD，∠CAD＝36°，∴∠DAF＝∠CAD＝36°，∵DC⊥AB，∴∠ACD＝90°，∴∠ADC＝90°﹣36°＝54°，∵EF∥GH，∴∠ADB＝∠DAF＝36°，∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝54°﹣36°＝18°．14．解：（1）如图1中，过A作AE⊥BC于E，∵点D是BC边上的中点，∴BD＝DC，∴S ABD：S△ACD＝（×BD×AE）：（×CD×AE）＝1：1，故答案为：1：1；（2）如图2中，过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∵AD为∠BAC的角平分线，∴DE＝DF，∵AB＝m，AC＝n，∴S ABD：S△ACD＝（×AB×DE）：（×AC×DF）＝m：n；（3）如图3中，∵AD＝DE，∴由（1）知：S△ABD：S△EBD＝1：1，∵S△BDE＝6，∴S△ABD＝6，∵AC＝2，AB＝4，AD平分∠CAB，∴由（2）知：S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝4：2＝2：1，∴S△ACD＝3，∴S△ABC＝3+6＝9．15．证明：延长AD交BC于F，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠CAD，∵∠DFE＝∠B+∠BAD，∠DAE＝∠EAC+∠CAD，∵∠B＝∠EAC，∴∠DFE＝∠DAE，∴AE＝FE，∵ED⊥AD，∴ED平分∠AEB．16．证明：如图，过点P作PM⊥AB，PN⊥BC，PQ⊥AC，垂足分别为M、N、Q，∵P在∠BAC的平分线AD上，∴PM＝PQ，P在∠ABC的平分线BE上，∴PM＝PN，∴PQ＝PN，∴点P在∠C的平分线．。

北师大八年级数学下册易错题整理第一章三角形的证明1.已知等腰三角形的两边长分别为5㎝、2㎝，则该等腰三角形的周长是（）A．7㎝ B．9㎝ C．12㎝或者9㎝ D．12㎝2.一个等腰三角形的一个角是40°，则它的底角是（）A．40° B．50° C．60° D．40°或70°3.已知△ABC的三边长分别是6cm、8cm、10cm，则最长边上的高是（）A.2.4cmB.3cmC.4cmD. 4.8cm4.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为300，腰长为6，则其底边上的高是5.到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形（）的交点.A.三个内角平分线B.三边垂直平分线C.三条中线D.三条高6.如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，BC的垂直平分线交AB于D，交BC于E，则△ADC的周长等于7. 用反证法证明：一个三角形中至少有一个内角小于或等于60°.8. 如图所示，∠AOB=30°，OC平分∠AOB，P为OC上任意一点，PD∥OA交OB于点D，PE⊥OA 于点E，若PE=2cm，则PD=_________cm．9.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC 于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为（） A.6 B.7 C.8 D.910.如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（） A.11 B.5.5 C.7 D.3.511．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是（）A. B. C. D.12.如图，在△ABC中AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH=EB=3，AE=4，则CH的长是（）A.1 B.2 C.3 D.413.如图，在△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于点F，AB=5,AC=2,则DF的长为15.如图，OA、OB表示两条相交的公路，点M、N是两个工厂，现在要在∠AOB内建立一个货物中转站P，使中转站到公路OA、OB的距离相等，并且到工厂M、N的距离也相等，用尺规作出货物中转站P的位置．16. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB ，交CB 于点D ，过点D 作DE ⊥AB 于点E ． （1）求证：△ACD ≌△AED ；（2）若∠B=30°，CD=1，求BD 的长．17.如图，△ABC 中，AB=BC ，BE ⊥AC 于点E ，AD ⊥BC 于点D ，∠BAD=45°，AD 与BE 交于点F ，连接CF ．（1）求证：BF=2AE ；（2）若CD=，求AD 的长．18.如图，已知△ABC 是等边三角形，D 、E 分别在BA 、BC 的延长线上，且AD=BE.求证：DC=DE19.如图，在△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，D 是AC 上一点，AE ⊥BD 交BD 的延长线于E ，且AE=21BD ，求证：BD 是∠ABC 的角平分线.20.如图，在△ABC 中，分别以AC 、AB 为边，向外作正△ACD ，正△ABE ，BD 与AE 相交于F ，连接AF ，求证：AF 平分∠DME21.如图，已知：AB=AC ，∠A=90°，AF=BE,BD=DC.求证：FD ⊥ED.第二章 不等式(组)不等式基本性质例：如果x ＞y ，那么下列各式中正确的是（ ）A ．x-2＜y-2B ． 2x ＜2yC ．-2x ＜-2yD ．-x ＞-y (2) 已知关于x 的不等式（1-a ）x ＞2的解集为x ＜a-1 ，则a 的取值范围是（3）如果不等式组⎩⎨⎧<+>-0b x a x 的解集是3<x <5,那么a= ,b=(4) 如果不等式 ⎩⎨⎧><m x x 8无解,那么m 的取值范围是 （ ）A ．m ＞8 B.m ≥8 C.m ＜8 D.m ≤8(5)如果不等式组⎩⎨⎧>-<+m x x x 148的解集是3>x ，则m 的取值范围是( )． A ．m≤3 B ． m≥3 C ．m=3 D ．m ＜3(6)关于x 的不等式组()⎪⎩⎪⎨⎧->-+--<-325251263x x a x x 有三个整数解，则a 的取值范围是． 并把它的解集表示在数轴上.3.一元一次不等式（组）与一次函数利用一次函数解一元一次不等式（组）：实质就是比较两个函数y 值得大小，函数值（y ）越大，图像越高，函数值（y ）越小，图像越高低，这里一般是让求自变量x 的取值范围，找出与x 轴交点的横坐标（指一元一次不等式），看让求图像在x 轴以上的自变量的取值范围（还是图像在x 轴以下的自变量的取值范围）；或找出函数交点的横坐标，然后看在该交点以左满足题意还是交点以右满足题意.(1)函数y ＝kx ＋b （k 、b 为常数，k ≠0）的图象如图所示，则关于x 的不等 式kx+b>0的解集为（ ）．A ．x>0B ．x<0C ．x<2D ．x>2（2）直线b x k y l +=11:与直线x k y l 22:=在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式x k b x k 21>+的解为4.一元一次不等式（组）应用题◆一件商品的进价是500元，标价为600元，打折销售后要保证获利不低于8%，则此商品最多打 折.商品销售中需注意的地方：①“进价”也叫“成本”；“售价”也叫“标价”；②获利是在进价的基础上获利；打折是在售价基础上打折；③打几折就是给售价×10x◆某商贩去菜摊买黄瓜，他上午买了30斤，价格为每斤x 元；下午，他又买了20斤．价格为每斤y 元．后来他以每斤2yx +元的价格卖完后，结果发现自己赔了钱，其原因是（ ） x <yB ．x >yC ．x ≤yD ．x ≥y（2）甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出300元之后，超出部分按原价8折优惠；在乙超市累计购买商品超出200元之后，超出部分按原价8.5折优惠．设顾客预计累计购物x 元（x>300）． （1）请用含x 的代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用；（2）顾客到哪家超市购物更优惠？说明你的理由．（3）去年6月份广州市某果农收获荔枝30吨，香蕉13吨，现计划租用甲、乙两种货车共10辆将这批水果全部运往深圳，已知甲货车可装荔枝4吨和香蕉1吨。

请联系网站删除资料收集于网络，如有侵权八年级下册易错题明证一章三角形的第）1.已知等腰三角形的两边长分别为5㎝、2㎝，则该等腰三角形的周长是（D㎝㎝或者9㎝ D．12 A．7㎝ B．9㎝ C．12等腰三考查知识点：三角形的基本知识及等腰三角形边的关系：任意两边之和大于第三边，角形两腰相等，5cm,2cm.因此只能是：5cm， 2.一个等腰三角形的一个角是40°，则它的底角是（D） D70°．40°或A．40° B．50° C．60°°；底角就是70①当40°是顶角时，考查知识点：三角形的内角和及等腰三角形两底角相等：.°就是一个底角②40）10cm，则最长边上的高是（D3.已知△ABC的三边长分别是6cm、8cm、 D. 4.8cmA.2.4cmB.3cmC.4cm是直角三角形，利用面积相等求，即h,由题意可得△ABC提示：设最长边上的高为11h10.6..8 .22解得h=4.8330.3或30等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，腰长为6，则其底边上的高是4.°ABD=30解：①三角形是钝角三角形时，如图1，∵∠11，AB=∴AD=×6=322∵AB=AC，11ACB=∠°∠BAD=(90°-30)=30°，∴∠ABC=22，∠ABCABD=∴∠；∴底边上的高AE=AD=3 ABD=30°②三角形是锐角三角形时，如图2，∵∠°，A=90∴∠°-30°=60 ABC∴△是等边三角形，333∴底边上的高为6=×233或综上所述，底边上的高是3.到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形（5.B）的交点三条高 C.三个内角平分线 B.三边垂直平分线三条中线 D.A.考查的知识点：三角形三边垂直平分线的交点到到三角形三个顶点的距离相等【归纳为：点到点距离相等，为垂直平分线上的点】还有一个：三角形三个内角平分线的交点到三角形三只供学习与交流．请联系网站删除资料收集于网络，如有侵权】边的距离相等【归纳为：点到线的距离相等，为角平分线的交点，此时的距离有“垂直”的周，则△ADCAB于D，交BC于E，6.如图，在△ABC中，AB=5AC=3，BC的垂直平分线交长等于8考查的知识点：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.60°7. 用反证法证明：一个三角形中至少有一个内角小于或等于60°已知：△ABC ,求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于答案：°60°，即每一内角都大于证明：假设△ABC中没有一个内角小于或等于60 °°=180C>60°+60°+60∠,∠B>60°,∠C>60°∴∠A+B+∠则∠A>60°度矛盾．假设不成立．°，这与三角形的内角和为180∠B+∠C>180即∠A+60中至少有一个内角小于或等于°∴△ABC反证法，用反证法进行证明时先写出已知、求证，再假设求证的反面成立，推出考查知识：【注意：反证法一般很少用到，除非是与题设、定理等相矛盾的结论，从而肯定原结论成立题目要求用反证法证明，否则一般不考虑该方法】PE⊥OAD，交OB于点OC∠AOB=30°，OC平分∠AOB，P为上任意一点，PD∥OA8. 如图所示， PD=_________cm．，若PE=2cm，则于点E，OB于F解：过点P作PF⊥，平分∠AOB°，∵∠AOB=30OC °，∠BOC=15∴∠AOC= ，∥OA∵PD AOP=15°，∴∠DPO=∠ AOP=15°，∴∠DPO=∠，∠∴∠BOC=DPO ，∴PD=OD=4cm ，∥OA∵∠AOB=30°，PD BDP=30°，∴∠1 PF=，PD=2cm中，∴在Rt△PDF2OB, ⊥OA⊥，PFPEOC∵为角平分线，PE=PF=2cm ，∴PE=PF∴只供学习与交流．资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除AC，交于ME作MN∥BC交AB过点9.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E， A.6 B.7 C.8 D.9），若BM+CN=9，则线段MN的长为（于N，的平分线相交于点E∵∠ABC、∠ACB解： ECB，EBC，∠ECN=∠∴∠MBE=∠ BC，∵MN∥ ECB，，∠ECN=∠∴∠EBC=∠EBC EN=CN，∴BM=ME，，∴MN=BM+CN ，∵BM+CN=9MN=9∴平分，必有等腰三角形考查知识点：平行的面积分和△AEDE=D，△ADA是△AB的角平分线，DF⊥AB，垂足10如图 A.11 B.5.5 C.7 D.3.553，则△ED的面积为为，DN，作⊥AC解：作DM=DE交AC于M 中AED和△AMD∵在△AMDAED≌△∴△SS?∴ADMADE VV，DE=DG，DM=DE∵ DM=DG，∴，⊥的外角平分线，是△∵ADABCDFAB只供学习与交流．资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除DF=DN，∴中，Rt△DMNRt在△DEF和HL），DEF≌Rt△DMN（Rt△和39，∵△ADG和△AED的面积分别为5=50-39=11ADMDAD1SS?S?11=5.5 =×MDG VVV DNMDEF22角平分线上的点到角两边的距离相等及三角形的全等考查知识点： AB的距离是（A）Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到11．在 C.D. B.A. BC=12，中，解：在Rt△ABCAC=9，222215AC12?BC?9?? AB=根据勾股定理得：，，交过C作CD⊥ABAB于点D1129x3611AC.BCS =，得CD==．AC=则由．BC=ABCD ABC V1552AB2考查知识：利用面积相等法，EH=EB=3HCEADED中12.如图，在△ABCAD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为、，、交于点，已知A.1 B.2 C.3 D.4A CH，则AE=4的长是（）只供学习与交流．资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除B解A°B=9∴EAHCA°∴EAHAHE=9BAH∴EH=E中AE和CE在△ASA）∴△AEH≌△CEB（ CE=AE，∴，EH=EB=3∵，AE=4CH=CE-EH=4-3=1∴.考查知识：利用三角形全等求线段长度的长AB=5,AC=2,则DF于点是中线，AE是角平分线，CF⊥AEF，中，13.如图，在△ABCAD3. 为2，AB延长CF交于点G解：BAC∵AE平分∠，∠CAF，GAF=∴∠，CG∵AF垂直AFG=∴∠∠AFC，AFCAFG在△和△中，只供学习与交流．资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除（ASA）∴△AFG≌△AFC ，GF=CF，∴AC=AG 是BC的中点，又∵点D CBG的中位线，DF∴是△3111）=）∴DF==（AB-ACAB-AGBG=（2222一般出现既是角平本题考查了三角形的中位线定理，解答本题的关键是作出辅助线，点评：分线又是高的情况，我们就需要寻找等腰三角形．14.如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，FE垂直平分AD，交AD于E，交BC的延长线于F.求证：∠CAF=∠B.解：∠B=∠CAF.∵FE垂直平分AD，∴FA=FD，∴∠FAD=∠ADF∵AD为∠BAC的平分线，∴∠CAD=∠BAD又∵∠CAF=∠FAD=∠CAD，∠B=∠ADF-∠BAD，∴∠B=∠CAF点评：此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的定义及三角形的外角等知识点.15.如图，OA、OB表示两条相交的公路，点M、N是两个工厂，现在要在∠AOB内建立一个货物中转站P，使中转站到公路OA、OB的距离相等，并且到工厂M、N的距离也相等，用尺规作出货物中转站P的位置．解：①作∠AOB的角平分线；②连接MN，作MN的垂直平分线，交OM于一点，交点就是所求货物中转站的位置．只供学习与交流．资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除．于点EAB，过点D作DE⊥16. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D ；≌△AED（1）求证：△ACD 的长．，求BD（2）若∠B=30°，CD=1CAB 平分∠∵AD (1)证明：EAD∠∴∠CAD= AB，∠C=90°，∵DE⊥ AED=90°∴∠ACD=∠ AD=AD，又∵≌△AED∴△ACDAED ACD ≌△）解：∵△（2DE=CD=1∴°，B=30°，∠DEB=90∵∠BD=2DE=2∴交于点BEAD与⊥BC于点D，∠BAD=45°，BE如图，△ABC中，AB=BC，⊥AC于点E，AD17. CF．F，连接BF=2AE；（1）求证：的长．CD=，求AD（2）若）证明：（1，∠BAD=45°⊥BC∵ADBAD =∠ABD=∠45°∴∠AD=BD ∴AC⊥∵BE AFE=90°∠∴∠CAD+BC⊥∵AD °∠∴∠FBD=BFD=90只供学习与交流．请联系网站删除资料收集于网络，如有侵权BFD AFE=∠又∠FBDCAD=∠∴∠ BDF=90°又∠ADC=∠BDF ≌△∴△ADCAC=BF∴AC ⊥∵AB=BC，BEAC=2AE ∴∴BF=2AEBD=x (2)解：设AD=x，则2+x∴AB=BC= 是等腰直角三角形∵△ABD2AD ∴AB=22x ∴+x=2解得x=2+2即AD=2+18.如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在BA、BC的延长线上，且AD=BE.求证：DC=DE证明：延长BE至F，使EF=BC∵△ABC是等边三角形∴∠B=60°，AB=BC∴AB=BC=EF∵AD=BE，BD=AB+AD, BF=BE+EF∴BD=BF∴△BDF是等边三角形∴∠F=60°，BD=FD在△BCD和△FED中，BC=EF∠B=∠F=60°BD=FD∴△BCD≌△FED（SAS）只供学习与交流．资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除∴DC=DE19.如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC上一点，AE⊥BD交BD的延长线于E，1BD，求证：BD是∠ABC的角平分线. 且AE=2证明：延长AE、BC交于点F∵AE⊥BE∴∠BEF=90°，又∠ACF=∠ACB=90°∴∠DBC+∠AFC=∠FAC+∠AFC=90°∴∠DBC=∠FAC在△ACF和△BCD中∴△ACF≌△BCD（ASA）∴AF=BD1BD 又AE=2∴AE=EF,即点E是AF的中点∴AB=BF∴BD是∠ABC的角平分线20.如图，在△ABC中，分别以AC、AB为边，向外作正△ACD，正△ABE，BD与AE相交于F，连接AF，求证：AF平分∠DME只供学习与交流．资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除证明：两点，NBD，CE于M过点A分别作AM⊥BD,AN⊥CE,分别交均为等边三角形，和△ACD ∵△ABEAB=AE ，，AD=AC∴∠EAB=∠CAD=60°BAC，∠BAD=60°+∠∵∠EAC= BAD，∴△EAC≌△11AM.??S?SBDCE.AN CE=BD ∴BAD VV EAC22AN=AM∴（在角的内部到角两边距离相等的点在该角的平分线上）AF平分∠DME∴ED.⊥求证：FDAB=AC，∠A=90°，AF=BE,BD=DC.21.如图，已知：连接AD.证明：BC的中点D是AB=AC ∵∠A=90°（直角三角形中，中线等于斜边的一半）CAD AD=BD B=45°=∠⊥BC ∠ADB=90°∠AD∴BE=AF且SAS）≌△∴易证△BEDAFD （∠ADB=90°∠∠∴∠BDE=ADF ∵∠ADE+EDB=ADE=90°∠∴∠ADF+⊥FDED∴只供学习与交流．资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除如图，在Rt△ABC中，D，E为斜边AB上的两点，且BD=BC，AE=AC，则∠DCE的大小为_____°.如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°，∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠OEC的度数是_____.第二章不等式(组)不等式基本性质例：如果x＞y，那么下列各式中正确的是（C）xy-y -x＞D．-2y C．-2x＜＜A．x-2y-2 B．＜221.系数含有字母的不等式（组）解题思路：先把字母系数当做已知数，解出未知数的取值范围，再根据题意及不等式的性质或解不等式组的方法进行计算【特别注意：“=”一定要考虑，如果满足题意则要取，不满足题意就不取】【自己做】（1）已知关于x的方程3k－5x＝－9的解是非负数，求k的取值范围.2，则a的取值范围是a x＜＞1. (2) 已知关于x的不等式（1-a）x＞2的解集为1?a0 利用不等式的基本性质三：a-1＜提示：x?a?0?的解集是3<（3）如果不等式组x<5,那么a=3,b=-5. ?x?b?0?提示：解得不等式组的解集为：a<x<-b而不等式组的解集为：3<x<5∴a=3,b=-5x?8?无解,那么m的取值范围是(4) 如果不等式（B）?x?m?A．m＞8 B.m≥8 C.m＜8 D.m≤8提示：不等式组无解的条件是：比大的还大，比小的还小；∴m≥8【“=”一定要考虑，这个题取“=”就满足题意】x?8?4x?1?x?3，则m的取值范围是(A )如果不等式组(5)的解集是．?x?m?只供学习与交流．资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除3m＜D．C．m=3 m≥3 A．m≤3 B．解不等式组得提示：不等式组解集：同大取大；3x?=”就满足题意】【而该不等式组的解集是“=”一定要考虑，这个题取“，∴m≤3??1x?2?x?3?6?25?ax??≤的不等式组．有三个整数解，则的取值范围是＜a(6)关于x25??36?x2a?5??3?解该不等式组得解：∵有三个整数解6a+10＜x＜∴23,4,5 ∴三个整数解应该是6 ＜6a+10≤∴525?? a解得≤＜36,m?2x?y??my. 的取值范围的解】【自己解答(7) 若方程组，均为正数，求?x3m??5y?64x?y均为正数，列，y 用含m的式子表示出来，然后利用提示：先将m当作已知数，将x、x的取值范围的不等式组，解出出含mm不等式组的结果不能写成大括号的形式2.解不等式（组）【】【自己解】）?1（3x2x?11??）解不等式，并将解集在数轴上表示出来；（123)1(x?x?1?35??，并把它的解集表示在数轴上）解不等式组.（2115x?2x????1?23?3.一元一次不等式（组）与一次函数利用一次函数解一元一次不等式（组）：实质就是比较两个函数y值得大小，函数值（y）越大，图像越高，函数值（y）越小，图像越高低，这里一般是让求自变量x的取值范围，找出与x轴交点的横坐标（指一元一次不等式），看让求图像在x轴以上的自变量的取值范围（还是图像在x轴以下的自变量的取值范围）；或找出函数交点的横坐标，然后看在该交点以左满足题意还是交点以右满足题意.?0）的图象如图所示，则关于x为常数，bk的不等、（＋＝函数(1)ykxbk式kx+b>0的解集为（C）．只供学习与交流．请联系网站删除资料收集于网络，如有侵权x>2D．x<2 C B．x<0 ．A．x>0xy?kx?bl::ly?k在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则（2）直线与直线2112x x?kkx?b的不等式关于的解x<-121一元一次不等式（组）应用题4.，则此商品8%600元，打折销售后要保证获利不低于◆一件商品的进价是500元，标价为.9折最多打；②获利是在进；“售价”也叫“标价”商品销售中需注意的地方：①“进价”也叫“成本”x价的基础上获利；打折是在售价基础上打折；③打几折就是给售价×10折．设可以打x解：x8% ≥那么（600×-500）÷50010．9解得x≥．故答案为：9斤．价格为30◆某商贩去菜摊买黄瓜，他上午买了斤，价格为每斤x元；下午，他又买了20y?x元．后来他以每斤y 每斤元的价格卖完后，结果发现自己赔了钱，其原因是（B）2x xxxyyyy D ．C B．> ．≥≤<y2030x?根据题意得，他买黄瓜每斤平均价是解：50yx?元的价格卖完后，结果发现自己赔了钱，则以每斤2y?20yx?30x＞250y＞解得：x只供学习与交流．请联系网站删除资料收集于网络，如有侵权＞y∴赔钱的原因是x该商场为促销制5元。

2021年北师大版八年级数学下册第二章一元一次不等式与一元一次不等式组易错题专题突破训练1（附答案）1．若m＞n，则下列结论错误的是（）A．m+2＞n+2B．m﹣2＞n﹣2C．2m＞2n D．＞2．如果关于x的不等式ax＜﹣a的解集为x＞﹣1，那么a的取值范围是（）A．a＜0B．a＞0C．a＜1D．a＞13．已知关于x的不等式3（x+1）﹣2mx＞2m的解集是x＜﹣1，则m的取值范围在数轴上可表示为（）A．B．C．D．4．不等式的解集是（）A．x＜﹣2B．x＜﹣1C．x＜0D．x＞25．已知三个连续自然数的和小于19，则这样的数共有（）组．A．4B．5C．6D．76．不等式组的解集为（）A．x＞0B．x＞1C．无解D．0＜x＜17．如果不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（）A．a≤﹣1B．a＜﹣1C．﹣2≤a＜﹣1D．﹣2＜a≤﹣1 8．八年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树7棵，还剩9棵，若每人平均植树9棵，则有1名同学植树的棵数不到8棵．若设同学人数为x人，下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是（）A．7x+9﹣9（x﹣1）＞0B．7x+9﹣9（x﹣1）＜8C．D．9．一瓶饮料净重360g，瓶上标有“蛋白质含量≥0.5%”，设该瓶饮料中蛋白质的含量为xg，则x g．10．利用不等式的性质填空．若a＞b，c＞0，则a+c b+c．11．不等式组的解集是．12．不等式组里每个不等式的解集表示在同一数轴上如图，则此不等式组的解集用x表示为．13．若（m+1）x|m|＜2019是关于x的一元一次不等式，则m＝．14．如果关于x的不等式（a﹣1）x＞a+5和2x＞4的解集相同，则a的值为．15．若不等式3x﹣m≤0的正整数解是1，2，3，则m的取值范围是．16．用不等式表示语句“a与b的差不大于﹣2”为．17．某校初一年级68名师生参加社会实践活动，计划租车前往，租车收费标准如下：车型大巴车（最多可坐55人）中巴车（最多可坐39人）小巴车（最多可坐26人）每车租金（元∕天）900800550则租车一天的最低费用为元．18．已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是．19．（1）若x＞y，比较﹣3x+5与﹣3y+5的大小，并说明理由；（2）若x＜y，且（a﹣3）x＞（a﹣3）y，求a的取值范围．20．已知不等式组（1）当k＝﹣时，写出它的解集；（2）当k＝时，写出它的解集；（3）当k＝3时，写出它的解集；（4）由（1）（2）（3）当k的值发生变化时，原不等式组的解集也发生变化，试根据k值的变化情况，写出原不等式组的解集．21．（1）计算：﹣|1﹣+（π﹣2020）0﹣2﹣2；（2）解不等式组并把解集表示在数轴上．22．阅读下面的材料：对于实数a，b，我们定义符号min{a，b}的意义为：当a＜b时，min{a，b}＝a；当a≥b 时，min{a，b}＝b，如：min{4，﹣2}＝﹣2，min{5，5}＝5．根据上面的材料回答下列问题：（1）min{﹣1，3}＝；（2）当min时，求x的取值范围．23．已知不等式3x﹣a≤0的正整数解恰是1，2，3，求a的取值范围．24．某公司决定从厂家购进甲、乙两种不同型号的显示器共50台，购进显示器的总金额不超过77000元，已知甲、乙型号的显示器价格分别为1000元/台、2000元/台．（1）求该公司至少购买甲型显示器多少台？（2）若要求甲型显示器的台数不超过乙型显示器的台数，问有哪些购买方案？25．解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．26．对于三个数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的中位数，用max{a，b，c}表示这三个数中最大的数．例如：M{﹣2，﹣1，0}＝﹣1；max{﹣2，﹣1，0}＝0；max{﹣2，﹣1，a}＝，根据以上材料解决下列问题：若max{4，2﹣3x，2x﹣1}＝M{3，7，4}，则x的取值范围为．参考答案1．解：A、∵m＞n，∴m+2＞n+2，原变形正确，故本选项不符合题意；B、∵m＞n，∴m﹣2＞n﹣2，原变形正确，故本选项不符合题意；C、∵m＞n，∴2m＞2n，原变形正确，故本选项不符合题意；D、∵m＞n，∴＜，原变形错误，故本选项符合题意；故选：D．2．解：∵不等式ax＜﹣a的解集为x＞﹣1，∴a＜0，故选：A．3．解：不等式3（x+1）﹣2mx＞2m变形为：（3﹣2m）x＞﹣（3﹣2m），∵关于x的不等式3（x+1）﹣2mx＞2m的解集是x＜﹣1，∴3﹣2m＜0，解得：m＞，在数轴上表示：故选：C．4．解：原不等式的两边同时乘以2，得3x+2＜2x，不等式的两边同时减去2x，得x+2＜0，不等式的两边同时减去2，得x＜﹣2．故选：A．5．解：设最小的数为x，则其余2个数为（x+1），（x+2），∴x+（x+1）+（x+2）＜19，x＜5，∴x可取0、1、2、3、4、5共6个，∴这样的数共有6组．故选：C．6．解：，解不等式①得：x＞0，解不等式②得：x＜1，∴不等式组的解集为0＜x＜1故选：D．7．解：如图，由图象可知：不等式组恰有3个整数解，需要满足条件：﹣2≤a＜﹣1．故选：C．8．解：（x﹣1）位同学植树棵树为9×（x﹣1），∵有1位同学植树的棵数不到8棵．植树的棵数为（7x+9）棵，∴可列不等式组为：，即．故选：C．9．解：由题意可得，x≥360×0.5%＝1.8，故答案为：≥1.8．10．解：∵a＞b，c＞0，∴a+c＞b+c．故答案为：＞．11．解：因为x＞﹣5，且x＜4，所以不等式组的解集为﹣5＜x＜4．故答案为：﹣5＜x＜4．12．解：由图示可看出，从﹣2出发向右画出的折线且表示﹣2的点是空心圆，表示x＞﹣2；从0出发向右画出的折线且表示0的点是实心圆，表示x≥0．从1出发向左画出的折线且表示1的点是空心圆，表示x＜1；从3出发向右画出的折线且表示3的点是实心圆，表示x≥3；故答案为：无解．13．解：∵（m+1）x|m|＜2019是关于x的一元一次不等式，∴m+1≠0，|m|＝1，解得：m＝1，故答案为：1．14．解：由2x＞4得x＞2，∵两个不等式的解集相同，∴由（a﹣1）x＞a+5可得x＞，∴＝2，解得a＝7．故答案为：7．15．解：不等式3x﹣m≤0的解集是x≤，∵正整数解是1，2，3，∴m的取值范围是3≤＜4即9≤m＜12．故答案为：9≤m＜12．16．解：“a与b的差不大于﹣2”用不等式表示为：a﹣b≤﹣2．故答案为：a﹣b≤﹣2．17．解：依题意得：租车费用最低的前题条件是将68名师生同时送到目的地，其方案如下：①全部一种车型：小巴车26座最少3辆，其费用为：3×550＝1650元，中巴车39座最少2辆，其费用为：2×800＝1600元，大巴车55座最少2辆，其费用为：2×900＝1800元∵1600＜1650＜1800，∴同种车型应选取中巴车2辆费用最少．②搭配车型：2辆26座小巴车和1辆39座中巴车，其费用为：550×2+800＝1900元，1辆26座小巴车和1辆55座大巴车，其费用为：550+900＝1450元，1辆39座中巴车和1辆55座大巴车，其费用为：800+900＝1700元，∵1450＜1700＜1900，∴搭配车型中1辆26座小巴车和1辆55座大巴车最少．综合①、②两种情况，费用最少为1450元．故答案为1450．18．解：由x﹣a＞0，∴x＞a，由5﹣2x≥﹣1移项整理得，2x≤6，∴x≤3，又不等式组无解，∴a≥3．19．解：（1）∵x＞y，∴不等式两边同时乘以﹣3得：（不等式的基本性质3）﹣3x＜﹣3y，∴不等式两边同时加上5得：5﹣3x＜5﹣3y；（2）∵x＜y，且（a﹣3）x＞（a﹣3）y，∴a﹣3＜0，解得a＜3．即a的取值范围是a＜3．20．解：（1）当k＝﹣时，不等式解集为﹣1＜x＜1；（2）当k＝时，不等式解集为﹣1＜x＜；（3）当k＝3时，不等式无解；（4）①当k≤0时，不等式组的解集为﹣1＜x＜1；②当0＜k＜2时，不等式组的解集为﹣1＜x＜1﹣k；③当k≥2时，不等式组无解．21．解：（1）原式＝2+1﹣+1﹣＝+2﹣＝+；（2）解不等式组，由不等式①得：x＜1，由不等式②得：x≥﹣4，则原不等式组的解集为﹣4≤x＜1．表示在数轴上为：22．解：（1）由题意得min{﹣1，3}＝﹣1；故答案为：﹣1；（2）由题意得：3（2x﹣3）≥2（x+2）6x﹣9≥2x+44x≥13x≥，∴x的取值范围为x≥．23．解：3x﹣a≤0，移项得，3x≤a，系数化为1得，x≤．∵不等式3x﹣a≤0的正整数解恰是1，2，3，∴3≤x＜4，∴3≤＜4时，即9≤a＜12时，不等式3x﹣a≤0的正整数解恰是1，2，3．故a的取值范围是9≤a＜12．24．解：（1）设该公司购进甲型显示器x台，则购进乙型显示器（50﹣x）台，由题意，得1000x+2000（50﹣x）≤77000解得：x≥23．∴该公司至少购进甲型显示器23台．（2）依题意可列不等式：x≤50﹣x，解得：x≤25．∴23≤x≤25．∵x为整数，∴x＝23，24，25．∴购买方案有：①甲型显示器23台，乙型显示器27台；②甲型显示器24台，乙型显示器26台；③甲型显示器25台，乙型显示器25台．25．解：解不等式①，可得x＜3，解不等式②，可得x≥﹣1，∴不等式组的解集为﹣1≤x＜3，在数轴上表示为：26．解：由题意得，M{3，7，4}＝4，∵max{4，2﹣3x，2x﹣1}＝M{3，7，4}，∴max{4，2﹣3x，2x﹣1}＝4，∴，∴x的取值范围为：﹣≤x≤．故答案为：﹣≤x≤。