第六章假设检验(上)

• 选择检验统计量 Z • 给定显著性水平1%，查临界值Zα/2=2.58 • 计算检验统计量的观察值： z =-26 • 比较检验统计量的值|z|和临界值，作出结论——
拒绝原假设。
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例,某公司引进一自动包装线包装大米， 设计规格为每袋大米10公斤，标准差4为 0.6公斤。随机抽取100袋大米，调查表 明：每袋大米平均重量为9.8公斤。在α为 5%的显著水平下，该自动包装线可否接 受？
1.第一类错误（ “弃真”或“拒真” 错误） 原假设为真时拒绝原假设（例1，当产品本来合格时） 犯第一类错误的概率为 被称为显著性水平)
Prob （拒绝H0 / H0为真）=
2.第二类错误（“取伪”或“采伪”错误）
原假设不真时接受原假设
例如，产品销售方承诺次品率<2%，这是假的。但买方检验 时作出了信任卖方的错误结论，购买了本来不合格的产 品. 第二类错误的概率为
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14
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（二）确定检验统计量及其分布

检验统计量是用于假设检验问题的统计量；检验 统计量及其分布是假设检验的具体理论依据。 选择统计量的方法与参数估计相同：

• •

是大样本还是小样本 总体方差已知还是未知
常用的检验统计量有：Z、t、卡方、F统计量 等。如：
Z
xX

n
~ N (0,1)
2
2 .58
上述假设前提下，x =3.948等价于Z=26，大于 显著水平1％的临界值，说明这几乎是不可能出现的 事件。然而它发生了，这表明原假设是不合理的。
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假设检验的特点

采用逻辑上的反证法
•

先认为假设为真，观察在此前提下所抽到样 本的出现是否合理。若合理则判断假设可接 受，反之拒绝假设。
11
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单侧检验
有些情况下，我们关心的假设问题带有方向性， 有两种情况：一种是我们所考察的数据越大越 好，如产品的使用寿命、利润率等；另一种是我 们所考察的数据越小越好，如废品率、单位成本 等。这时检验的拒绝区域在分布的左侧或右侧。 如果我们提出的原假设是μ≥ 0 或μ≤ 0
H 0 :μ ≥ 0 ——左侧检验（下限检验） H 0 :μ≤ 0 ——右侧检验（上限检验）

1. 显著性水平
随 减少而增大

2. 总体参数的真值
•

随着总体参数的假设值与真实值的差异缩小而增 大 随着 n 增大，检验统计量的分布曲线更集中，曲 线尾端的面积 则减少。
3. 样本容量 n

4. 总体标准差
当 增大时 增大
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假设检验的P值

——P值（P-value）是一种概率。 ——在原假设成立的假定条件下，检验统计量 等于实际观测值或更极端情况的概率，即观察 到的显著性水平（实测的显著性水平）。检验 的显著性水平是事先设定的拒绝原假设时所犯 错误的概率的最大允许值。而 P值是根据观察 样本实际计算的。因此， P值是拒绝原假设的 最小显著性水平。


α和β的关系 就好比翘翘板
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一般说，哪一类错误带来的后果越严重、 危害越大，就应该作为首要的控制目标. 在假设检验中，一般都首先控制第一类错 误，也即控制α.

• 大家都遵守这个原则，讨论问题比较方便； • 最主要的原因是：原假设是什么非常明确，而
备择假设往往是模糊的。
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确定α时应考虑的因素
2
第一节 假设检验的一般问题
一、假设检验的基本思想 二、假设检验的步骤 三、两类错误
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一、假设检验的基本思想
例1. 某工厂规定产品次品率不超过4％，今天从 1000件产品中抽出10件，有4件次品，问这批产品能 否出厂（=整批产品的次品率P是否低于4% ）？ 提出假设：P≤4% 决策思路：
如果这一假设成立，则根据二项分布理论可算得：出现所 抽样本的概率小于1‰，即在次品率为4%的总体中抽出10 件产品有4件次品的概率是小于1 ‰ 。 这种可能性极小，但在一次抽样中发生了，显然不合理。 这种不合理性源于推论的假设前提，故上述假设不能接 受。即这批产品不能出厂。
4

例2. 某零件原平均长度为4 cm，标准差为0.02 cm。进 行工艺改革后，抽取样本：n=100，平均长度 =3.948。 问：改革后的零件长度是否有显著变化（ = 零件平均长 度是否为4 cm )？
假设：改革后 x =4， 根据抽样分布理论，有：
x ~ N ( X , / n ), 即： Z （ x X ) /( / n ) 26 Z
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假设检验必须以有关的 抽样分布理论为依据。
这样的值在一次观 察中出现的可能性 很小，... 如果这个值是 总体参数真值
在抽样观察中 出现这样的值 则很正常...
样本 观察值
总体参数 的假设值
样本估计量
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二、假设检验的步骤
（一）提出原假设和备择假设 （二）确定检验统计量及其分布 （三）规定显著性水平 （四）计算检验统计量的值 （五）作出统计决策
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H
0
: X 10
H
1
: X 10
x X Z ~ N ( 0 ,1 ) n
由=0.05 查标准正态分布表得临界值
Z / 2 Z 0 .025 1 .96
x X 9 . 8 10 Z0 3 . 33 / n 0 . 6 / 100
因为 Z 3.33 Z / 2 1.96 故拒绝原假设，接 受备择假设，即每袋大米的重量有显著变 化，所以不能接受这种包装线。
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利用 P 值进行决策
若p-值 ,不能拒绝 H0 若p-值 < , 拒绝 H0
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P值与的关系显著性水平（图）
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第二节 正态总体参数的检验
对正态总体均值的检验
一、总体方差已知时—— z 检验法 二、总体方差未知时—— t 检验法
对正态总体方差的检验
三、小样本时—— 卡方检验法
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一、方差已知时对正态总体均值的检验——z检 验法
Z x X
0

n
～ N ( 0 ,1 )

临界值——给定α后，查标准正态分布表而
得。
• •
单侧检验时，临界值为 - Zα 或 Zα 双侧检验时，临界值为 - Zα/2 和 Zα/2
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（一）双侧检验

例二，改革后的零件平均长度是否为4cm？

检验的步骤：
• 提出假设
• 原假设: H0:X
= 4，备择假设: H1: X 4
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双侧检验中的显著性水平与拒绝域
抽样分布
/2
(1 －
/2
临界值
HO的值
临界值
HO的拒绝区域 HO的不能拒绝区域
HO的拒绝区域
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单侧检验中的显著性水平与拒绝域
抽样分布
(1 －

HO的值
临界值
样本统计量
HO的不能拒绝区域
HO的拒绝区域
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单侧检验中的显著性水平与拒绝域

视两类错误所产生的后果轻重而定
• •

当犯第一类错误的后果严重时，则希望尽可能不犯第一 类错误，宁愿犯第二类错误，此时α宜小。 当犯第二类错误的后果严重时，则希望尽可能不犯第二 类错误，宁愿犯第一类错误，此时α不宜太小
事前对原假设的信念
• 对原假设越有信心，则越小；反之则越大
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影响 错误的因素
1
: X 1000
x X Z ~ N ( 0 ,1 ) n
由=0.05 查标准正态分布表得临界值 Z / 2 Z 0 . 025 1 . 96
x X 105Biblioteka Baidu 1000 Z0 2 .5 n 100 / 25
因为 Z0 2.5 Z / 2 1.96 故拒绝原假设，接受备 择假设，即这批电子元件的使用寿命有显 著性差异。 40

Z检验法——利用服从标准正态分布的 Z
统计量进行假设检验的方法。 对总体均值的Z检验，主要适用于：

• 若总体呈正态分布,且总体方差已知时； • 若总体非正态分布, 但 n 30 时可近似采用Z
检验
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H0:
X X0
；H1:
X (or or ) X 0 ,
根据抽样分布理论，总体方差已知时，对均值 的检验统计量为：
反证法带有概率性质
•
判断是否合理的依据统计上的小概率原理， 并非严格的逻辑证明。
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假设检验中的小概率原理
• • • • •
小概率事件：发生概率很小的随机事件 小概率原理：小概率事件在一次试验（观察） 中几乎不可能发生。 什么样的概率才算小概率？ 研究者事先确定（根据决策的风险或要求的 把握程度来决定），没有统一的界定标准。 假设检验中把这个概率称为检验的 “显著性水 平”，用 表示。
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例,某厂生产的电子元件，根据以前的资料，
其平均使用寿命为1000小时。现从一批采用 新工艺生产的该种电子元件中随机抽出25 件，测得其样本平均使用寿命为1050小时。 已知总体的标准差为100小时，试在显著性 水平 =0.05下，检验这批电子元件的使用寿 命是否有显著性差异？
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H 0 : X 1000 H
Prob（接受H0 / H0不真）=
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决策结果与两类错误
实际情况 决策 H0为真 第一类错误 (拒真） （ 接受H0 正确 （1 – ） H0为不真
拒绝H0
正确 (1- 第二类错误 （采伪） (
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和 的关系
在检验中人们总希望犯两类错误的可能性都 很小，然而，在其它条件不变的情况下， 和 不可能同时减小，就象交易中买卖双方各自承担 的风险一样。
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P值表示所观察到的样本对原假设的支持 程度。
•
P值越大，在原假设为真的情况下，样本出现 的概率越大，出现这样的样本不是小概率事 件，说明原假设不能拒绝。反之， P值越小， 在原假设为真的情况下，样本出现的概率越 小，出现这样的样本属于小概率事件，而实际 却正好抽到了这样的样本，说明原假设不能成 立，应拒绝原假设。
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P值的计算
单侧检验中，P值通常为统计量分布曲线从检验 统计量的观察值到拒绝区域这一侧的面积。 设检验的统计量为ξ，c是计算得出的检验 统计量的值。
• 左侧检验时，P值= • 右侧检验时，P值=

P{ξ c } P{ξ c }
双侧检验中，P值=单侧P值的2倍。即： P值=2P{ξ≥c }，当 c 在右侧时; 或： P值=2P{ξ≤c }，当 c 在左侧时。


原假设的提出应该本着“保守”或“不轻易拒绝”的原 则。
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假设的三种形式：
0 H 0 : o , H 1 : 0 0

双侧检验 左侧检验 右侧检验
单侧检验
严格地讲，单侧检验中原假设应该用 “ ≤ ” 或 “ ≥ ” 表 示，且必须包括 “=” 。但实际检验时，只取其边界 值，该值能够拒绝，其它值更有理由拒绝。
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（三）规定显著性水平


显著性水平——小概率，也即当原假设为真时，拒绝原假设 的概率。 给定 了，也就确定了临界值
•
•

临界值——原假设的拒绝区域与不能拒绝区域的分界 点。根据检验统计量的分布，给定的 查相应的概率分布 表，即得临界值。 如： 采用Z统计量时=0.05，对应的单测临界值 Z0.05=1.645。 临界值还与检验形式（单双侧）有关. 确定了显著性水平和临界值，也就等于建立了检验的具体规 则。 由研究者根据具体情况事先确定，如0.01, 0.05, 0.10
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（一）提出假设

包括原假设和备择假设。 原假设(Null Hypothesis)——待检验的假设，也称 为零假设，用 H0表示。 备择假设（Alternative Hypothesis ）——也称对 立假设，与原假设内容完全相反的假设。准备在拒 绝原假设后应接受的假设。用 H1表示。对某个问题 提出了原假设，也就同时给出了备择假设。
抽样分布

(1 －
临界值
HO的值
样本统计量
HO的拒绝区域
HO的不能拒绝区域
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（四）计算检验统计量的值
•
根据样本资料计算出检验统计量 的观察值。
（五）作出检验结论
• 将检验统计量的值与 水平的临 界值进行比较，看其是否落在了 拒绝区内，从而得出接受或拒绝 原假设的结论。
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三、假设检验中的两类错误
第六章 假设检验与方差分析
1
实际中的假设检验问题

产品自动生产线工作是否正常； 某种新生产方法是否会降低产品成本； 治疗某疾病的新药是否比旧药疗效更高； 厂商声称产品质量符合标准，是否可信； 学生考试成绩是否服从正态分布…
※ 假设检验——事先作出关于总体参数、分布形式 、相互关系等的命题，然后通过样本信息来判断该命 题是否成立。可分为： 参数检验和非参数检验。