大学数学高数微积分第二章行列式第七节课件课堂讲义
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高等数学(微积分)ppt课件
，且f'(x0)=0，则可通过二阶导数 f''(x0)的符号来判断f(x)在x0处取得极大值还是极小值。
曲线的凹凸性与拐点
凹凸性
若函数f(x)在区间I上二阶可导，且 f''(x)>0（或<0），则称曲线y=f(x)在 I上是凹的（或凸的）。
拐点
拐点的判定
若函数f(x)在点x0处二阶可导，且 f''(x0)=0，则可通过三阶导数f'''(x0) 的符号来判断点(x0,f(x0))是否为曲线 的拐点。
THANKS
感谢观看
非线性微分方程
通过变量替换、积分等方法求解，或 利用数值方法近似求解
级数的概念与性质
级数的定义 无穷序列的部分和序列
级数的性质 加法、减法、乘法、除法、重排等性
质
级数的收敛与发散 部分和序列有极限则级数收敛，否则 发散
常见级数及其敛散性 等差级数、等比级数、调和级数、交 错级数等，通过比较法、比值法、根 值法等方法判断其敛散性
VS
极限的性质
唯一性、局部有界性、保号性、保不等式 性、迫敛性等。
极限的运算法则
极限的四则运算法则
若两个函数的极限存在，则它们的和、差、积、商（分母不为零）的极限也存在，且等于这两 个函数极限的和、差、积、商。
复合函数的极限运算法则
设函数$y=f[g(x)]$是由函数$u=g(x)$与函数$y=f(u)$复合而成，若$lim_{x
无穷小量的定义
如果函数$f(x)$当$x to x_0$(或$x to infty$)时的极限为零，那么称函数$f(x)$为当$x to x_0$(或$x to infty$)时 的无穷小量。
曲线的凹凸性与拐点
凹凸性
若函数f(x)在区间I上二阶可导，且 f''(x)>0（或<0），则称曲线y=f(x)在 I上是凹的（或凸的）。
拐点
拐点的判定
若函数f(x)在点x0处二阶可导，且 f''(x0)=0，则可通过三阶导数f'''(x0) 的符号来判断点(x0,f(x0))是否为曲线 的拐点。
THANKS
感谢观看
非线性微分方程
通过变量替换、积分等方法求解，或 利用数值方法近似求解
级数的概念与性质
级数的定义 无穷序列的部分和序列
级数的性质 加法、减法、乘法、除法、重排等性
质
级数的收敛与发散 部分和序列有极限则级数收敛，否则 发散
常见级数及其敛散性 等差级数、等比级数、调和级数、交 错级数等，通过比较法、比值法、根 值法等方法判断其敛散性
VS
极限的性质
唯一性、局部有界性、保号性、保不等式 性、迫敛性等。
极限的运算法则
极限的四则运算法则
若两个函数的极限存在，则它们的和、差、积、商（分母不为零）的极限也存在，且等于这两 个函数极限的和、差、积、商。
复合函数的极限运算法则
设函数$y=f[g(x)]$是由函数$u=g(x)$与函数$y=f(u)$复合而成，若$lim_{x
无穷小量的定义
如果函数$f(x)$当$x to x_0$(或$x to infty$)时的极限为零，那么称函数$f(x)$为当$x to x_0$(或$x to infty$)时 的无穷小量。
大学数学(高数微积分)专题七第讲(课堂讲义)
则x0＝x1＋2 x2＝1＋2k22k2，y0＝k(x0－1)＝1＋－2kk2. 26
热点分类突破
∵以MP、MQ为邻边的平行四边形是菱形，
∴MN⊥PQ，∴kMN·kPQ＝－1.
本
－k
讲 栏 目 开 关
即1＋21k＋22k22－k2 m·k＝－1，∴m＝1＋k22k2＝2＋1 k12，
∵k2>0，∴0<m<12.
因为直线与x轴不垂直，
所以设直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
本
讲 栏 目
由xy2＝＋k2xy－2＝12，， 可得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0.
开
关 显然Δ>0恒成立，∴x1＋x2＝1＋4k22k2，x1x2＝21k＋2－2k22.
设线段PQ的中点为N(x0，y0)，
(3)在三角函数求值中，把所求的量看作未知量，其余的量通
本 过三角函数关系化为未知量的表达式，那么问题就能化为未
讲 栏
知量的方程来解．
目 开
(4)解析几何中的许多问题，例如直线与二次曲线的位置关系
关 问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程
与二次函数的有关理论．
(5)立体几何中有关线段的长、面积、体积的计算，经常需要
本
讲 栏 目
由(1)得h′(x)＝1x＋21 x－x＋5452
开
关 ＝2＋2x x－x＋5452<x＋4x5－x＋5452
＝x＋4x5x3＋－52126x.
令 G(x)＝(x＋5)3－216x，则当 1<x<3 时，
18
热点分类突破
G′(x)＝3(x＋5)2－216<0，
大学数学知识点(微积分,线性代数)
线性代数知识点第一章 行列式1． 二阶、三阶行列式的计算*2． 行列式的性质（转置，换行，数乘，求和，数乘求和）3． 行列式展开（=D ，=0）4． 利用性质计算四、五阶行列式5． 克拉默法则解线性方程组及对方程组解的判定（分非齐次的和齐次的） 主要是行列式的计算第二章 矩阵1． 矩阵的定义、矩阵的行列式的定义及矩阵与行列式的区别2． 矩阵的运算（加减、数乘、乘法不满足交换律、转置、方阵的幂）3． 特殊的矩阵（对角、数量、单位矩阵、三角形矩阵、对称矩阵、分块矩阵）4． 矩阵的初等变换（三种）、行阶梯形、行最简形、标准形5． 逆矩阵的定义、运算性质6． 利用初等变换求逆矩阵及矩阵方程7． 矩阵的秩的概念及利用初等变换求矩阵的秩主要是矩阵的运算及逆矩阵和秩的求解第三章 线性方程组1． 线性方程组的求解（分非齐次的和齐次的）2． 线性方程组解的判定（分非齐次的和齐次的）3． N 维向量空间4． 向量间的线性关系a) 线性组合b) 线性相关与线性无关c) 极大无关组5． 线性方程组解的结构（分非齐次的和齐次的）主要是线性相关无关的判定及极大无关组、线性方程组的求解经济数学知识点第七章 无穷级数6． 无穷级数的概念：1231n n n uu u u u ∞==+++++∑7． 无穷级数的敛散性：部分和有极限——级数收敛8． 无穷级数的性质（和差、数乘、加减项、加括号、必要条件——通项不收敛于零）9． 正项级数收敛的基本定理——正项级数收敛的充分必要条件是：它的部分和数列n S 有界10． 常用判别法a) 比较判别法• 参考级数（p-级数、几何级数）• 推论（极限） b)比值判别法 c)根值判别法 • 不需要参考级数 • 与1比较（有时要结合比较判别法）——P285例9 11．交错级数：莱布尼茨定理 12．任意项级数 13．幂级数 a)幂级数的性质（和差、连续性、可积性、可导性——求和函数） b)收敛半径及收敛域 c)非特殊幂级数要结合换元法 14．泰勒公式和麦克劳林公式 15．泰勒级数和麦克劳林级数（条件） 16．函数的幂级数展开 a)直接法(泰勒级数法) b) 三种常用函数的泰勒展开式2111(,)2!!x n e x x x x n =+++++∈-∞+∞ 213511sin (1) (,)3!5!(21)!n n x x x x x x n +=-+-+-+∈-∞+∞+ 2311(1) (1,1)1n n x x x x x x=-+-++-+∈-+17． 函数的幂级数展开（间接法） – 利用已有的函数泰勒展开式 – 变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分 – 注意等式成立的范围 18．幂级数的应用举例 – 近似计算 19． 常用的泰勒公式01(1);1n n x x ∞==-∑01(2)(1);1n n n x x ∞==-+∑2201(3);1n n x x ∞==-∑0(4);!nx n x e n ∞==∑ 210(5)sin (1);(21)!n nn x x n +∞==-+∑10(6)ln(1)(1).1n n n x x n +∞=+=-+∑第八章 多元函数1． 空间解析几何简介2． 多（二）元函数的概念a) 定义域b) 二元函数的图象是一个曲面3． 二元函数的极限（方向任意）4． 二元函数的连续性及闭区间上连续函数的性质5． 二元函数的偏导数a) 偏导数的定义及计算b) 高阶偏导数c) 可微的必要条件、充分条件d) 二元函数的全微分e) 全微分在近似计算中的应用f) 复合函数的微分法（链式法则）g) 隐函数的微分法h) 二元函数的极值的必要条件、充分条件),(y x f 在点),(00y x 处是否取得极值的条件如下：（1）20B AC -<时具有极值， 当0<A 时有极大值， 当0>A 时有极小值； （2）20B AC ->时没有极值；（3）20B AC -=时可能有极值,也可能没有极值i) 条件极值及拉格朗日乘数法6． 二重积分a) 二重积分的定义及几何意义b) 二重积分的性质（数乘、和差、可加性、比较、长度、范围、中值） c) 二重积分的计算i. 积分顺序的交换ii. 化为累次积分第九章 微分方程与差分方程简介1． 微分方程的的概念2． 一阶微分方程——注意常数C 的选择a) 可分离变量的微分方程()()g y dy f x dx =、()()dy f x g y dx = b) 齐次微分方程()dy y f dx x= c) 一阶线性微分方程()()dy P x y Q x dx+= i. 一阶线性齐次方程()0dy P x y dx+= ii. 一阶线性非齐次方程()()dy P x y Q x dx+= 3． 几种二阶微分方程a) 22() d y f x dx=型的微分方程——两端连续两次积分即可 4． 差分方程。
线性代数-行列式PPT课件
矩阵的秩和行列式
矩阵的秩和行列式之间也存在关系。矩阵的 秩等于其行向量或列向量生成的子空间的维 数，而行向量或列向量生成的子空间的维数 又等于该矩阵的阶数与非零特征值的个数之 和减去一，而一个矩阵的非零特征值的个数 又等于该矩阵的行列式的值。
05
特殊行列式介绍
二阶行列式
定义
二阶行列式表示为2x2的矩 阵，其计算公式为a11*a22a12*a21。
对于任何n阶方阵A，其行列式|A|和转置行列式|A^T|相等，即|A^T| = |A|。
行列式的乘法规则
总结词
行列式的乘法规则
详细描述
行列式的乘法规则是两个矩阵的行列式相乘等于它们对应元素相乘后的行列式。即，如果矩阵A和B分别是m×n 和n×p矩阵，那么它们的行列式相乘|AB| = |A||B|。
向量和向量的外积
行列式可以用来描述向量的外积，即两个向量的叉积。叉积 的结果是一个向量，其方向垂直于作为叉积运算输入的两个 向量，大小等于这两个向量的模的乘积与它们之间夹角的正 弦的乘积。
在线性方程组中的应用
解线性方程组
行列式可以用来判断线性方程组是否有 解，以及解的个数。如果一个线性方程 组的系数矩阵的行列式不为零，则该线 性方程组有唯一解；如果系数矩阵的行 列式为零，则该线性方程组可能无解、 有唯一解或有无穷多解。
线性代数-行列式ppt课件
• 引言 • 行列式的计算方法 • 行列式的性质 • 行列式的应用 • 特殊行列式介绍 • 行列式的计算技巧
01
引言
主题简介
01
行列式是线性代数中的基本概念 之一，用于描述矩阵的某些性质 和运算规则。
02
行列式在数学、物理、工程等领 域有广泛的应用，是解决实际问 题的重要工具。
二章行列式ppt课件
a11x1+a12x2+a13x3=b1
a11 a12 a13
a21x1+a22x2+a23x3=b2
a21 a22 a23
a31x1+a32x2+a33x3=b3
定义3.2 三阶行列式
a11 a12 a13 a21 a22 a23
a31 a32 a33
对角线 法则
a31 a32 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32.
132 1 0 1, 奇排列 负号,
a a a 11
12
13
a a a (1) a a a . 21
22
23
( p1 p2 p3 ) 1 p1 2 p2 3 p3
a a a 31
32
33
定义 6 由 n2 个数组成的 n 阶行列式等于所有
取自不同行不同列的 n 个元素的乘积
的代数和
说明： (1)项数：2阶行列式含2项， 3阶行列式含6项, 这恰好就是2!,3!. (2)每项构成: 2阶和3阶行列式的每项分别是位于 不同行不同列的2个和3个元素的乘积. (3)各项符号: 2阶行列式含2项,其中1正1负, 3阶 行列式6项,3正3负.
对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
1 4 2 例1 计算行列式 D 3 0 3 .
例4 证明
a11
a12
an1,1 an1
an1,2
a1n
n( n1)
1
a a 2 1n 2,n1
上面的行列式中，未写出的元素都是0。
an1,2an1
证: 行列式的值为
《高等数学第二章》课件
讲解复合函数的微分法则，以及计算方法和 应用。
高阶导数及其应用
高阶导数的 定义
解释高阶导数的概 念和计算方法，以 及与一阶导数的关 系。
阶乘
讨论阶乘的定义和 性质，以及在高阶 导数中的应用。
幂指函数的 导数
给出幂指函数的导 数计算公式和性质。
洛必达法则 及其应用
介绍洛必达法则的 原理和应用方法， 解决极限的问题。
极限的定义
清晰地定义函数的极限，包括左极限和右极限。
极限的性质
介绍极限的性质，如极限的唯一性和四则运算法则。
连续性
连续函数的概念
解释连续函数的定义和性质，以及在实际问 题中的应用。
连续函数的性质
讨论连续函数的重要性质，如介值定理和最 值定理。
导数
导数的定义
给出导数的几何和 代数定义，以及导 数的计算法则。
导数的性质
介绍导数的性质， 如导数的唯一性和 四则运算法则。
导数的计算
探讨不同类型函数 的导数计算方法， 如幂函数、三角函 数和复合函数的求 导法则。
几何意义和 物理意义
解释导数在几何和 物理中的意义和应 用。
微分学基本公式
函数的四则运算及其微分
给出函数的加减乘除法则，并给出微分的法 则。
复合函数的微分
《高等数学第二章》PPT 课件
欢迎大家来到《高等数学第二章》课件。本课将介绍函数的基本概念、常用 函数、极限、连续性、导数、微分学基本公式、高阶导数及其应用，以及函 数的图形与曲率。让我们一起探索数学的魅力吧！
导言
概述
介绍《高等数学第二章》的重要性和内容 概览。
常用符号说明
解释常见的数学符号的意义和用法。
常用函数
幂函数、指数函 数、对数函数
高阶导数及其应用
高阶导数的 定义
解释高阶导数的概 念和计算方法，以 及与一阶导数的关 系。
阶乘
讨论阶乘的定义和 性质，以及在高阶 导数中的应用。
幂指函数的 导数
给出幂指函数的导 数计算公式和性质。
洛必达法则 及其应用
介绍洛必达法则的 原理和应用方法， 解决极限的问题。
极限的定义
清晰地定义函数的极限，包括左极限和右极限。
极限的性质
介绍极限的性质，如极限的唯一性和四则运算法则。
连续性
连续函数的概念
解释连续函数的定义和性质，以及在实际问 题中的应用。
连续函数的性质
讨论连续函数的重要性质，如介值定理和最 值定理。
导数
导数的定义
给出导数的几何和 代数定义，以及导 数的计算法则。
导数的性质
介绍导数的性质， 如导数的唯一性和 四则运算法则。
导数的计算
探讨不同类型函数 的导数计算方法， 如幂函数、三角函 数和复合函数的求 导法则。
几何意义和 物理意义
解释导数在几何和 物理中的意义和应 用。
微分学基本公式
函数的四则运算及其微分
给出函数的加减乘除法则，并给出微分的法 则。
复合函数的微分
《高等数学第二章》PPT 课件
欢迎大家来到《高等数学第二章》课件。本课将介绍函数的基本概念、常用 函数、极限、连续性、导数、微分学基本公式、高阶导数及其应用，以及函 数的图形与曲率。让我们一起探索数学的魅力吧！
导言
概述
介绍《高等数学第二章》的重要性和内容 概览。
常用符号说明
解释常见的数学符号的意义和用法。
常用函数
幂函数、指数函 数、对数函数
第二章(行列式)ppt课件
a 1 1 a 1 2 a 1 3 D a 2 1 a 2 2 a 2 3 a 3 1 a 3 2 a 3 3
③
看看D1与D有 何关系。
代
数
则
a aa aaa a aa a aa a aa a aa 1 1 2 23 3 1 22 33 1 1 3 2 13 2 1 3 2 23 1 1 2 2 13 3 1 1 2 33 2
b 1 a 1 2 a 1 3 b 3 a 2 3 a 3 3 b aa b aa b aa b aa b aa b aa 1 2 23 3 3 1 22 3 2 1 33 2 3 1 32 2 2 1 23 3 1 2 33 2
D b 1 2 a 2 2 a 2 3
a 1 1 b 1 a 1 3 D a b a a b a a b a a b a a b a a b a a 2 2 1b 2 a 2 3 1 2 3 3 1 2 1 1 3 3 3 1 3 2 1 1 2 1 3 3 2 1 3 3 1 3 1 1 2 3 a 3 1b 3 a 3 3
代
数
b a 2 a 22 21 b 2 x , x 1 2 a a a 11 12 11 a 12 a a 21 a 22 21 a 22
称符号① 蓝线表示 次对角线
a11 a 21
a12 a 22
看看与矩阵 有什么差别
红线表示 主对角线
a ij 称为它的(i, j)-元， 为二阶行列式。它含有两行、两列， 其下角标i 表示 a ij 所在的行数，j 表示 a ij 所在的列数。
a11 引用符号 a 21 a12 ① a 22
a a a 表示 a 11 22 12 21 , 即令
③
看看D1与D有 何关系。
代
数
则
a aa aaa a aa a aa a aa a aa 1 1 2 23 3 1 22 33 1 1 3 2 13 2 1 3 2 23 1 1 2 2 13 3 1 1 2 33 2
b 1 a 1 2 a 1 3 b 3 a 2 3 a 3 3 b aa b aa b aa b aa b aa b aa 1 2 23 3 3 1 22 3 2 1 33 2 3 1 32 2 2 1 23 3 1 2 33 2
D b 1 2 a 2 2 a 2 3
a 1 1 b 1 a 1 3 D a b a a b a a b a a b a a b a a b a a 2 2 1b 2 a 2 3 1 2 3 3 1 2 1 1 3 3 3 1 3 2 1 1 2 1 3 3 2 1 3 3 1 3 1 1 2 3 a 3 1b 3 a 3 3
代
数
b a 2 a 22 21 b 2 x , x 1 2 a a a 11 12 11 a 12 a a 21 a 22 21 a 22
称符号① 蓝线表示 次对角线
a11 a 21
a12 a 22
看看与矩阵 有什么差别
红线表示 主对角线
a ij 称为它的(i, j)-元， 为二阶行列式。它含有两行、两列， 其下角标i 表示 a ij 所在的行数，j 表示 a ij 所在的列数。
a11 引用符号 a 21 a12 ① a 22
a a a 表示 a 11 22 12 21 , 即令
高等数学第二章课件-行列式的计算
§2.5 行列式的计算
一、矩阵⎟⎟⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎝⎛mn m m n n a a a a a a a a a ⋯
⋮⋮⋮⋯⋯2
1
2222111211
().ij m n A a ×=简记为数 称为矩阵A 的 i 行 j 列的元素，其中i 为行指ij a 标，j 为列指标.
定义
由数域 上
个数排成的 行 列的数表m n ×m n P 称为数域 上一个
矩阵,m n ×P
称为矩阵
矩阵A A的行列式
(2)(2)只有一行的矩阵
只有一行的矩阵(),
,,,21n a a a A ⋯=称为行矩阵(或行向量).
,
21⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜
⎜⎝⎛=n a a a B ⋮只有一列的矩阵称为列矩阵(或列向量).
矩阵的相等
,1,2,,,1,2,,ij ij a b i m j n
===⋯⋯则称矩阵矩阵A A 与B 相等，记作，记作
A=B ．(),(),ij m n ij m n A a B b ××==设矩阵如果
2) 以P 中一个非零数c 乘矩阵的一行(列) ；.
k P ∈3) 把矩阵的某一行(列)的k 倍加到另一行(列) ，
1) 互换矩阵中的两行(列)的位置；二、矩阵的初等变换定义
数域P 上的矩阵的初等行上的矩阵的初等行(
(列)变换是指：
01(n
i b a ==−∑
每一行乘以加到下一行，直至第
λ
11n n a λλ−=++
n。
《高数微积分》课件
了解级数的定义和基本性质，包括常数
收敛与发散的判别法
2
项级数、幂级数等，掌握级数的收敛与 发散的判别法。
学会使用比较判别法、比值判别法等方
法判定级数收敛与发散，深入理解级数
的性质。
3
微积分基本定理推广
研究级数与函数的关系，探讨级数的一 致收敛性和各种求和方法，推广微积分 基本定理。
应用
应用微分中值定理解决实际问题，例如最 值、图像的性态分析等。
第四章：不定积分
不定积分概念及基本性 质
学习不定积分的定义和基本 性质，深入理解原函数和不 定积分的关系，掌握常见的 积分公式。
常用换元法
揭开换元法的神秘面纱，学 会选择合适的换元方式，并 熟练使用换元法求定积分。
常用分块法
掌握常用的分块法，如分段 函数积分法、齐次性原则等， 解决含有可分段函数的积分 问题。
《高数微积分》PPT课件
探索高数微积分的奥秘，从函数与极限、导数与微分，到定积分、级数等多 个章节，深入浅出地解释概念与性质，并给出丰富的应用示例。
第一章：函数与极限
函数概念及性质
掌握函数的定义与特性，理解函数图像与性态间的关系，为后续章节打下坚实基础。
极限概念及性质
深入研究极限的概念，包括数列极限与函数极限，探索极限的运算法则和极限的存在性。
连续性及分类
学习连续函数的定义、判定与性质，深入探讨不连续点、间断点的分类和特性。
第二章：导数与微分
导数概念及计算方法
从定义出发，探究导数的求解方 法，如极限法、微分法、隐函数 求导法等，理解导数表示的物理 含义。
导数基本性质
研究导数的基本性质，如可导与 连续的关系、导数的四则运算、 导数与函数图像的关系等。
大一高数课件第二章
微分的计算方法：微分的计算方法包括基本初等函数的微分公式和微分运算法则。通 过这些方法，我们可以快速地计算出函数的微分值。
导数在函数单调性、极值和最值方面的应用 导数在几何图形中的应用，如切线斜率、曲线的变化趋势等 微分在近似计算、误差估计等方面的应用 导数和微分在经济学、物理学等领域的应用实例
导数与单调性的关系
添加标题
添加标题
多元函数极限与连续性的应用
偏导数的定义与 性质
偏导数的计算方 法
全微分的定义与 性质
全微分的计算方 法
极值的概念和定义 极值的必要条件 极值的充分条件 极值的应用
多元函数微积分在物理中的应用：解决多变量问题，如力学、电磁学等。 多元函数微积分在经济学中的应用：分析多元函数的边际效应、弹性效应等。 多元函数微积分在计算机科学中的应用：图像处理、数据挖掘、机器学习等。 多元函数微积分在生物医学中的应用：研究多变量生物系统，如神经网络、基因调控等。
PPT,a click to unlimited possibilities
01 单 击 添 加 目 录 项 标 题 02 导 数 与 微 分 03 导 数 的 应 用 04 不 定 积 分 05 定 积 分 06 常 微 分 方 程
导数的定义：导数描述了函数在某一点的变化率，是函数值的极限 导数的性质：导数具有连续性、可导性、单调性等性质 导数的几何意义：导数可以描述曲线在某一点的切线斜率，表示函数在该点的变化趋势 导数的应用：导数可以用于求函数的极值、最值等问题，也可以用于求解一些物理问题
自然科学：用于研究物理、化学、生物等领域的自然现象，例如物种繁殖、化学反应等。
工程领域：用于解决各种实际问题的数学模型，例如电路分析、机械振动等。 社会科学：用于研究社会现象的动态变化，例如人口迁移、经济发展等。
导数在函数单调性、极值和最值方面的应用 导数在几何图形中的应用，如切线斜率、曲线的变化趋势等 微分在近似计算、误差估计等方面的应用 导数和微分在经济学、物理学等领域的应用实例
导数与单调性的关系
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多元函数极限与连续性的应用
偏导数的定义与 性质
偏导数的计算方 法
全微分的定义与 性质
全微分的计算方 法
极值的概念和定义 极值的必要条件 极值的充分条件 极值的应用
多元函数微积分在物理中的应用：解决多变量问题，如力学、电磁学等。 多元函数微积分在经济学中的应用：分析多元函数的边际效应、弹性效应等。 多元函数微积分在计算机科学中的应用：图像处理、数据挖掘、机器学习等。 多元函数微积分在生物医学中的应用：研究多变量生物系统，如神经网络、基因调控等。
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01 单 击 添 加 目 录 项 标 题 02 导 数 与 微 分 03 导 数 的 应 用 04 不 定 积 分 05 定 积 分 06 常 微 分 方 程
导数的定义：导数描述了函数在某一点的变化率，是函数值的极限 导数的性质：导数具有连续性、可导性、单调性等性质 导数的几何意义：导数可以描述曲线在某一点的切线斜率，表示函数在该点的变化趋势 导数的应用：导数可以用于求函数的极值、最值等问题，也可以用于求解一些物理问题
自然科学：用于研究物理、化学、生物等领域的自然现象，例如物种繁殖、化学反应等。
工程领域：用于解决各种实际问题的数学模型，例如电路分析、机械振动等。 社会科学：用于研究社会现象的动态变化，例如人口迁移、经济发展等。
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(12)(1)2.
所以
x1
(1) 2
,
x2
1
2
,
x3
( 1)2 2
.
克拉默法则的意义主要在于它给出了解与系数
的明显关系，这一点在以后的许多问题的讨论中是
重要的.
但是用克拉默法则进行计算是不方便的，
因为按这一法则解一个 n 个未知量 n 个方程的线性
方程组就要计算 n + 1 个 n 级行列式，这个计算量
s1
1 n d s1
n
aijAsjbs
j1
1 n
d s1
n aijAsjbs.
j1
根据第六节的
定 理 4 设有
a11 a12 a1n
1n
ds1
jn 1aijAsjbds d 1 a21daib 22bi.
a2n
n xn
bx 这与第 i 11 方程组
d d 个方程1 的右端一致.
i1
d,
d0,
a当 j = k, 21
当 j k,
a22
a2n
a a a
所以 于是等式
n n aijAikcj dck .
j1 i1
n
n
n
Aik
aijcj
bA 就变成 i ik
i1 j1
i1
dck = dk , k = 1, 2, … , n .
也就是
ck
dk ,k1,2,,n. d
2
, x 2
d d ( 1A) ij 表 示的解.元
,
素a
,
ij
xn
的
代
d a 也就是n说 n1 数d余 子
式
a(3n 2)
，则
a 确为 nn
下列公式成
n xn bn
a k 1 Ai1 a k 2 Ai 2 a kn A kn
d
0
, ,
当 当
a1l A1 j
a2l A2 j
a nl A nj
入第 i 个方程，左端为
(3)
的确是 (1) 的解.
把 (3) 代
n aij
j1
dj d
1 d
n
aijdj
j1
.
因为
n
djb 1A 1jb 2A 2j b nA n j b sA s,j s 1
所以
d 1jn 1aijdj
d 1jn 1aij
n
bsAsj
s1
1 n d j1
n
aijAsjbs
a11x1 a12x2 a1n xn b1
a21x1
a22x2 a2n xn
b2
(1)
an1x1 an2 x2 ann xn bn
的系数矩阵
a11
A
a21
a12
a22
a1n a2n
(2)
an1 an2 ann
的行列式
d = | A | 0,
那么线性方程组 (1) 有解，并且解是唯一的，解可 以通过系数表为
大学数学(高数微积分)第二章行列 式第七节课件(课堂讲义)
一、非齐次线性方程组克拉默法则
现在我们来应用行列式解决线性方程组的问
题. 在这里只考虑方程个数与未知数的个数相等的
情形.
以后会看到，这是一个重要的情形.
至于更
一般的情形留到下一章讨论.
下面我们将得出与二
元和三元线性方程组相仿的公式.
定理 5 (克拉默法则) 如果线性方程组
请单击返回按钮.
谢谢观赏
d
0
, ,
当 当
2. 设 (c1, c2, … , cn) 是方程组
(1)
a n1x1
a x 于是有 n 个恒等式 n2 2
a nn x n
bn
n
aijcj bi ,i1,2,,n.
j1
为了证明
dk
我们取系数矩阵中第 k 列元素
c d , k
的代数余子式 A1k, A2k, … , Ank , 用它们分别乘以
1
1
1
1
B ＝ 2 列式不为零的方程组，它只能应用于这种方程组；
2
-1
4
-3 -1 -5
3 至于方程组的系数行列式为零的情形，将在下一章
1
2 11
方程组的解为
的一般情形中一并讨论.
行列式计算区
2
1
1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
5
常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方
程组.
显然，齐次线性方程组总是有解的，因为
(0, 0, … , 0) 就是一个解，它称为零解.
这就是说，如果(c1, c2, … , cn) 是方程组的一个解，
它必为
d1 , d2 ,, dn , 即解唯一.
d d d
证毕
例 1 任意输入一个未知数个数与方程个数相
等的线性方程组，判断其是否能由克拉默法则求解
若能，求其解.
Cramer 法 则
方程组的增广矩阵
2 应该注意，定理 5 所讨论的只是系数矩阵的行
0
an1x1 an2 x2 annxn 0
的系数矩阵的行列式 | A | 0，那么它只有零解.
换句话说，如果它有非零解，则必有| A | = 0.
定理 6 的证明，略. 例 2 讨论 为何值时, 线性方程组
x1
x1
x2
x2
x3 x3
1
x1 x2 x3 2
有唯一解, 并求出其解.
d 中第 k 列换成 b1, b2, … , bn 所得的行列式，也就
是 dk .
再来看左端
n
n
nn
Aik aijcj
aijAikcj
i1 j1
i1 j1
nn
aijAikcj
j1 i1
n n
aijAikcj .
j1 i1
由上节
定理 4 设中的公式 a11 a12 a1n
n ai j Ai k
x1
d1 d
,
x2
d2 d
,,
xn
dn d
,
(3)
其中 dj 是把矩阵 A 中第 j 列换成方程组的常数项
b1, b2, …, bn 所成的矩阵的行列式，即
a11 a1, j1 b1 a1, j1 a1n
dj
a21
a2, j1
b2
a2, j1
a2n
(4)
an1 an, j1 bn an, j1 ann
是很大的.
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的一个解，
n
aijcj bi ,i1,2,,n
j1
中 n 个恒等式，有
n
Aik aijcj biAik,i1,2, ,n, j1
这还是 n 个恒等式.
把它们加起来，即得
n
n
n
Aik aijcj biAik.
i1 j1
i1
等式右端等于在行列式 d 按第 k 列的展开式中把 aik
分别换成 bi (i = 1, 2, … , n)，因此，它等于把行列式
线性方程组，我们关心的问题是，它除去零解以外 还有没有其他解，或者说，它有没有非零解.
对于方程个数与未知量个数相同的齐次线性方
程组，应用克拉默法则就有
对于齐次
二、齐次线性方程组克拉默法则
定理 6 如果齐次线性方程组
a11x1 a12x2 a1n xn 0
a21x1
a22x2 a2n xn
解 方程组的系数矩阵的行列式
11 d 1 1
1 1
单击这里求解
(12)(2),
由此可知,当 程组有唯一解.
1且2 时, d 0, 这时方
1 11
d1 1 2 1
单击这里求解
(12)(1),
11
d2 1 1 1 2
单击这里求解
(1)2,
1 1
d3 1 1 1 2
单击这里求解
j 1,2,, n .