《现代控制理论》课程综合设计
令狐文艳
单级旋转倒立摆系统
1 引言
单级旋转倒立摆系统一种广泛应用的物理模型，其物理模型如下：图示为单级旋转倒立摆系统原理图。其中摆的长度l=1m，质量1m=0.1kg ，横杆的长度2l =1 m，质量2m=0.1kg，1
重力加速度2
=。以在水平方向对横杆施加的力矩M为
g m s
0.98/
输入，横杆相对参考系产生的角位移
θ为输出。控制的目的是
1
当横杆在水平方向上旋转时，将倒立摆保持在垂直位置上。
图1 单级旋转倒立摆系统模型
单级旋转倒立摆可以在平行于纸面3600的范围内自由摆动。倒立摆控制系统的目的是使倒立摆在外力的推动下，摆杆仍然保持竖直向上状态。在横杆静止的状态下，由于受到重力的作用，倒立摆的稳定性在摆杆微小的扰动下，就会使倒立摆的平衡无法复位，这时必须使横杆在平行于纸面的方向通过位移产生相应的加速度。作用力与物体位移对时间的二阶导数存在线性关系，故单级倒立摆系统是一个非线性系统。
本文综合设计以以在水平方向对横杆施加的力矩M为输入，横杆相对参考系产生的角位移
θ为输出，建立状态空间模
1
型，在原有系统上中综合带状态观测器状态反馈系统，从而实现当横杆在旋转运动时，将倒立摆保持在垂直位置上。
2 模型建立
本文将横杆和摆杆分别进行受力分析，定义以下物理量：本文将横杆和摆杆分别进行受力分析，定义以下物理量：M为加在横杆上的力矩；
m为摆杆质量；1l为摆杆长度；1I为摆杆
1
的转动惯量；
m为横杆的质量；2l为横杆的长度；2I为横杆的
2
转动惯量；
θ为横杆在力矩作用下转动的角度；2θ为摆杆与垂
1
直方向的夹角；N和H分别为摆杆与横杆之间相互作用力的水
平和垂直方向的分量。倒立摆模型受力分析如图2所示。
图2 倒立摆模型受力分析
摆杆水平方向受力平衡方程：
（1θ2l —横杆的转动弧长即位移）
摆杆垂直方向受力平衡方程：
摆杆转矩平衡方程：
横杆转矩平衡方程：
考虑到摆杆在设定点12,=0θθ附近做微小振动，对上式进行
线性化，即22sin θθ≈，2cos 1θ≈ ，20θ≈，其中23
ml J =，近似线性化得到，
整理上式可得倒立摆的状态方程：
本文参数代入计算可得：
取状态变量如下：
11213242x x x x x θθθθ•⎡⎤
⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
11223344001000
0 4.642011.0530********.37909.474x x x x M x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
⎣⎦⎣⎦ 故 3 稳定性和能控性分析
3.1 稳定性分析
判断一个系统是否稳定，只需判断该系统传递函数的极点是否都在左半平面。编写Matlab 语句可得该系统的传递函数，即
A=[0,1,0,0;0,0,-4.642,0;0,0,0,1;0,0,12.379,0];
B=[0;11.053;0;-9.474];
C=[1,0,0,0];
D=0;
Gss=ss(A,B,C,D);
G1=zpk(Gss)
G1 =
11.053 (s+2.898) (s-2.898)
--------------------------
s^2 (s-3.518) (s+3.518)
Continuous-time zero/pole/gain model.
从结果可以看出，传递函数存在一个在复平面右半侧的极点，故该系统是不稳定的。
3.2 能控性分析
判断系统是否完全能控，只需判断该系统能控性矩阵是否为满秩，即
若C rankQ n ，则该系统是完全能控的。根据Matlab 语句中
Qc=ctrb(A,B)，即
A=[0,1,0,0;0,0,-4.642,0;0,0,0,1;0,0,12.379,0];
B=[0;11.053;0;-9.474];
C=[1,0,0,0];
Qc=ctrb(A,B);
n1=rank(Qc)
n1 =
4
从结果可以看出该系统是完全能控的，可以实现任意极点的配置。
3.3 能观测性分析
与判断能控性类似，只需判断该系统能观测性矩阵是否为满秩，即
若0rankQ n =，该系统是完全能观测的。借用Matlab 语句中
Qo=obsv(A,C)，即
A=[0,1,0,0;0,0,-4.642,0;0,0,0,1;0,0,12.379,0];
B=[0;11.053;0;-9.474];
C=[1,0,0,0];
Qo=obsv(A,C);
n2=rank(Qo)
n2 =
4
从结果可以看出该系统是完全能观测的，故可以配置状态观测器
4 状态反馈分析
4.1 原系统Simulink 仿真及分析
根据现代控制原理，绘制原系统的状态模拟图，如图3所示。
图
运用MATLAB 中的Simulink 来对原系统进行仿真，首先可
M
-4.642 ⎰⎰y 4x 3x 2x
